利息论第一章

第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b) 7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+ 12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式 19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23） 22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论 24. 用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴v di e a δ，∴c)中，v ln -=δ， d)中，δ--=ed 128.⎰=tdx x e t a 0)()(δ29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；he j =+131.（1）902天 39.t e tA dr +=⎰10δ )1ln(0t dr t A +=⎰∴δ，两边同时求导，tt A+=11)(δ，)(t B δ类似46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x第二章 年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A --⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xii i xi a y ii----+==⇒+=--+--===将1di d=-代入（*）7.解：()51218100010.0839169.84s -+=8.解：100.1100.15000s Ra = 9.解：100.1100.155000s Ra = 14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎫=- ⎪⎝⎭17.解：0.0081500100000m a = 解得95.6m ≈ 即正常还款次数为95次 95950.0081500(10.008)100000a f -++= 解得965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+++-++= 令105()1715f t t t t =+-+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i --=--(1.032)0.003186f =-1000 1000 1000 011718…23.解：()4660.0411 1.04i a i ---++，40.04114i ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24.解：修改于2009/11/4分解成两个数列：第一个数列：时刻0，2，4，…，20共付款11次，各期付款额成等比数列。

第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。

利息理论第一章课后答案利息理论第一章课后答案1. 已知A （t ）A (t ) 2t（1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）=A (0)=5++1（2）I 3；II 4A (4)-A (3)===A (3)（3）i 4; i4=A (3)2. 证明：（1）A (n ) -A (m ) =I (m+1) +I (m +2) +..... +In （2）A (n )=(1+in ) A (n -1).A (n ) -A (m ) =A (n ) -A (n -1) +A (n -1) -A (n -2) +.... A (m +1) -A (m ) =In +In -1+... +Im +1 （mIn A (n )-A (n -1)=A n -1A n -1inA (n -1) =A (n ) -A (n -1)A (n ) =(1+i n ) A (n - 13.(a)若k 是时期k 的单利利率（k=1,2...,n）证明a(n)-a(0)= (b)若k 是时期k的复利利率（k=1,2....,n）证明i 1+i 2+... +i nA (n ) -A (0)=I 1+I 2+.... +I ni n +i n -1+..... +i 1（a ）a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)=（b ）A (n ) -A (0)=A (n ) -A (n -1) +A (n -1) -A (n -2) +... +A (1)-A (0)=I n+I n -1+... +I 14. 已知投资500元，3年后得到120元的利息。

试分别确定以相同的单利利息，复利利息投资800元在5年后的积累值。

I =A (3) -A (0=) ①单利 a (t ) =1+it 3500+(1i 3-*=1)=0.08150*3 A (5)=800(1+5*0.08)=11205⎡00+(i 1-⎡⎡⎡) =t (3) -A (0=) a (t ) =(1+i ) I =A ②复利 35A (5) =800+(1i =) i 18005*/1. =241144. 975. 已知某笔投资在三年后的积累值为1000元，第一年的利率为1=10%，第二年的利率为i 2=8%，第三年的利率为i 3=6%，求该笔投资的原始金额 A (3)=A (0)(1+i 1)(1+i2)(1+i 3) A (0) =(1+i 1) (+1i 2) +(1i 3)=794. 101. 1*1. 08*1. 0 66. 证明：设当前所处时刻为0，则过去n 期的一元钱的现值与未来n 期后的一元钱的现值之和大于等于2(1+i ) (1+i ) 过去n 期1元钱的现值为，未来n 期后一元钱的现值为 (1+i ) n +(1+i ) n（当n=0时，等号成立）7. （1）对于8%的复利，确定d 4； d 4；（2）对于8%的单利，确定I 4(1+8%)4-(1+8%)31d ===1-=0.0744t 4a (t ) =(1+8%)a (4)1.08(1+8%)（1）I 41+8%*4-1-8%*38%===0.061a (4)1+8%*41.321+i (m ) ) 1+=(m i (6)6，确定m 8. 已知i (5)i (5) 5*m1+(1+) 5m m m (m ) (m )-i i m 5556301+=() 1+i =(1+) ==(1+i ) =(1+i ) m (6)6*m m i (6)i1+(1+) 66 6 ∴m =30&A (t ) =ka b d 9. 如果，其中k,a,b,c,d 为常数，求t 的表达式A (t ) =ka t b t d cA '(t ) ka t b t d c ln a +2kta t b t d c ln b +kc t a t b t d c ln d ln c t&t ===ln a +2t ln b +c ln d ln c 2tt c t A (t ) ka b d10. 确定下列导数：2t 2t 2td d d d d d i σd d d d （a ）t ；（b ） d ；（c ）v （d ）σ。

?利息理论?复习提纲第一章利息的根本概念第一节利息度量一.实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开场时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。

利息金额I n=A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，那么i n=I n/A(n-1；)例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，〔1〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*，t那么称这样产生的利息为单利；实际利率i n a(n)a(na(n1)1)1ii(n1)〔2〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t，那么称这样产生的利息为复利。

实际利率i n i例题：1.1.3三..实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。

等价的利率i、贴现率d和贴现因子〔折现因子〕v之间关系如下：dii,d(1i)i,d1d1i1v1d,div,v,idid1i例题：1.1.6四．名义利率与名义贴现率(m)用i表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。

所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为im。

(m)(m)m与i等价的实际利率i之间的关系：1i(1i/m)。

(m)(m)m名义贴现率d，1d(1d/m)。

(m )(m )()m ()midid 名义利率与名义贴现率之间的关系： mmmm。

例题：1.1.9五．利息强度定义利息强度〔利息力〕为tA(t)a(t) A(t)a(t)，t s dsa(t)e 。

(m)(p)idm11p一个常用的关系式如下：[1]1iv(1d )[1]emp。

例题：1.1.12(m d(p ))要求：,,,,idi ，之间的计算。

习题：1、2、3、4、15、16、19、24。

第二节利息问题求解 一.价值等式例题：1.2.1 二.投资期确实定计算利息的根本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/根底天数。

《利息理论》习题详解第一章 利息的基本概念1、解：（1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-===（3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -=== 2、解：202()(0)(1)1(1-6)180=100(a 5+1)4a=125a t at ba b i =+∴==+=∴∴用公式(8)300(83)386.4A a ∴=-=12、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得(0)794.1A =15、解：3400300(1)i =+ 0.1006i ∴= 又11110.9085911 1.1006i v d i i =-=-===++ 246500()1034.7v v v ∴++=19、解：（1）430.06(3)10000(1)119564A ⨯=+= （2）1()1441(1)4d i -+=-1()14334(3)10000(1)10000(1)122854d A i -⨯∴=+=-=20、解：（1）()1(1)m m i i m +=+， 1()(1)1m m i i m ∴+=+11(6)(5)651(1),1(1)65i i i i ∴+=++=+ (5)11()530(6)161(1)5(1)11(1)6m i i i i i m i ++∴==+=+++所以m=30 （2）1()()1(1),1(1)m m m m d d d d m m-=-∴-=-，所以和（1）有类似的解答m=30。

24、解：0()t t dt a t e δ⎰=，1212000.01(12)100001000020544.332t dt tdt A e e δ⎰⎰∴===25、解：设常数实际利率为i 有41420.060.05(1)(10.1)(10.08)(1)(1)42i --+=+-+-解得 0.0749i = 33、解：27.722e δ= ln 227.72δ∴==0.025 又2(12)7.04n δ+=21.057.0449.5616n ∴== 49.56161.05log 80n ∴== 36、解：设第十年末未付金额为x ，有40.12(1)10.125514i =+-= 11(1) 1.12551v i --∴=+= 又51015101000400800400 1.12551800 1.12551 1.12551v v xv x ---=++=⨯+⨯+⨯解得x=657.8375 42、解：338104001100(3)0.8166865t dt ae e -⎰=== 44、解：0.510.3(10.25)v -=-，解得v=0.87111110.14796i v ∴=-= 51、解：46400(1)6404j ⨯+=，解得j=0.079106第二章 年金 4解：实际月利率为0.087/120.00725i ==，16000010001200.0072580037.04A a =-=7解：X 取得的存款为：11251000180.08(10.08)39169.84s -⨯⨯+= 8解：50001010s Ra =，500015.93742 6.14457R ∴⨯=⨯，解得R=12968.719解：5000100.1100.15s Ra =，解得R=15187.4814解：10.5an an i =-，111.5 1.5n v an i i -∴==，解得13n v = 17解：月利率为0.096/12=0.008，15000.008100000an ∴=，0.00866.66667an ∴=，解得n=95.6取整数n=95，又951500950.008(10.008)100000a f -++=，解得f=965.7528解：设3年的实际利率为j ，有31(1)j i +=+，又112991j =，3912301(1)129129i ∴+=+=，解得i=0.195。