第七章 线性变换 综合练习

第七章——线性变换 测试题一、填空题：1．设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，线性变换B 在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 . 2．设矩阵A 的特征为1，2，3，那么A -1的特征值为 。

3．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100001与矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000001y 相似，那么y x ,的值分别是 。

4．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，A （X ）=AX 是P 3上的线性变换，那么A 的零度= 。

5．在P[x]3中,定义D （)())(x f x f '=，那么D 的特征值为 。

二、判断题1．设α是V 中固定非零向量，V ∈∀ξ，A αξξ+=)(，那么A 是V 上的线性变换。

（ ）2．设V=P 22⨯，L (V)是V 上的全体线性变换组成的空间，那么L （V ）的维数=4。

（ ）3．两个矩阵A ，B 有相同的特征值，则A ～B 。

（ ）4．设线性变换A 在给定基下的矩阵为A ，那么A 的值域的维数等于A 的秩。

（ ）5.线性变换A 的核与值域的交是A 的不变子空间。

（ ）三、2][x P 表示次数小于等于2的多项式连同零组成的线性空间，定义A )()())((x f x f x x f -'=1.证明A 是2][x p 上的线性变换。

2．求A 在基1，1,12--x x 下的矩阵。

3．说明A 是否可以对角化？若可以对角化，找出一组基，使A 在该基下的矩阵为对角形。

四、在P 2x2上定义线性变换 A X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111（1）求A 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵；（2）求A 的核和它的零度。

（3）求A 的值域和A 的秩。

五、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A（1）求A 的全部特征值。

（2）求A 的属于每个特征值的特征向量。

第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1.设鸟送，3是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换仃在这组基下的矩 阵是A=(a j 最3，口=x 11x %+2x 8炉V 则仃在基833V l下的矩阵B= 「001、T ，AT,而可逆矩阵T=010满足B=T,AT,ua 在基£132d 3下的坐标为♦0- &'Ax 2.2 .设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间P n 的线性变换仃：仃(与=人3"P n ,则仃,(0)={"A Z=0』w P n },dim (a -1(0))=n —r,dim 二(P n )=r.n 3.复矩阵A=(a j ).的全体特征值的和等于Z a ii ，而全体特征值的积等于i =1 IAJ.4 .设仃是n 维线性空间V 的线性变换，且仃在任一基下的矩阵都相同，则仃为__数乘一变换.5 .数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间L(V)为工2维线性空间，它与P n>n 同构.6 .设n 阶矩阵A 的全体特征值为入口2,…，4,f(x)为任一多项式，则f(A) 的全体特征值为f(1),f(2),,f(n ).7 .设A 」13i,则向量*'是A 的属于特征值4的特征向量.摩2)⑺0 -1相似，则k =』2 1」9 .设三阶方阵A 的特征多项式为f(?Q=73-2K 2-2九+3,则|A|=)10 .n 阶方阵A 满足A 2=A,则A 的特征值为0和1.f 18.右A =—1<0 01)<011 .线性空间R3上的线性变换为A(X I,X2,X3)=(K十2X3,3X2+3X3,X2—2x i),「102、变换A在基a=(1,0,0)"2=(0,1,0),S=(0,0,1)下的矩阵为033.「21。

」二、判断题1 .设。

是线性空间V的一个线性变换，口1,0(2，…R s W V线性无关，则向量组仃包工虫%)，…，仃Q s)也线性无关.(错)2 .设仃为n维线性空间V的一个线性变换，则由仃的秩+仃的零度=n,有V=D(V)㊉仃」(0).(错)未必有V=G(V)@<T-1(0).3 .在线性空间R2中定义变换。

第七章 线性变换 测试题一、单项选择题7.71.对于数域P 上线性空间V 的任意数乘变换K 来说,下列选项正确的是（ ）.A.只有一个不变子空间B.不存在不变子空间C.每个子空间都是K 的不变子空间D.无法判断是否存在不变子空间 2.设σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，下列选项不是-σ子空间的是( ).A.线性空间V 的任意子空间B.线性变换σ的核1(0)σ-C.线性变换σ的值域V σD.线性空间V 和零空间{}0 3.设στ，是数域P 上线性空间V 的线性变换，若=σττσ，则下列选项不是-σ子空间的是( ).A.线性变换τ的核1(0)τ-B.线性变换σ的值域V σ与核1(0)σ-C.线性变换τ的值域V τD.线性空间V 任意子空间二、填空题7.11.在3P 中的线性变换),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=σ, 则=-)1,2,1(σ__________.7.22.线性空间2R 的两个线性变换τσ,为),(),(),,(),(2212112121x x x x x x x x x x -=-=τσ则=-),)((212x x σστ .7.33.83)(2++=x x x f 在基4)(,3)(,2)(2321++=+==x x x f x x f x f 下的坐标是 .4.若线性变换σ关于基21,αα的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，则σ关于基21,2αα的矩阵为 . 7.45.设A 为3阶方阵,其特征值为2,1,-2,则A = .6.设A 为3阶方阵,其特征值为2,1,-2,则22A A -= . 三、证明题7.11.在n n P ⨯中，n n X P ⨯∀∈，有()X BXC σ=，其中,n n B C P ⨯∈是两个固定的矩阵.证明σ是n n P ⨯的一个线性变换.2.在[]P x 中，[]()f x P x ∀∈，有()()()f x f x σ'=，其中()f x '是()f x 微商.证明σ是数域P上线性空间[]P x 的一个线性变换.3.在线性空间3P 中，3P α∀∈，有()),,2(),,(3321321x x x x x x x +==ασα，，证明σ是3P 的一个线性变换.五、综合题7.4和7.51.已知0λ=是矩阵322143A k k k -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值.(1)求矩阵A 的行列式和k 的值；(2)判断矩阵A 能否对角化，并说明理由.2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量. （1）求参数,a b 以及特征向量α所确定的特征值；（2）判断矩阵A 能否相似于对角矩阵，并说明理由.3.已知矩阵122212221A-⎛⎫⎪=--⎪⎪--⎝⎭，（1）求矩阵A的特征值；（2）利用A的特征值求方阵1E A-+的特征值.。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章线性变换1) 在线性空间 V 中，A,其中 V 是一固疋的向量2) 在线性空间 V 中，A其中 V 是一固疋的向量； 3) 在P 3中，• A (X 1X ,X 3)(xix X 3, x f ) • 4) 在P 3中， A (X 1,X 2, X 3) (2X 1 X 2,X 2 X 3, X 1 )； 5) 在P[x ]中, Af(x) f(x 1)；6) 在P[X ]中, A f(x) f(x 0),其中 X 。

P 是一固定的数； 1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是: A n 是两个固定的矩阵.7) 8)解 2) 当 把复数域上看作复数域上的线性空间，n n「 _ …「 — n 在P 中，AX=BXC 其中B,C P1)当 0时，是;当 0时,不是。

0时，是;当 0时,不是。

(1,0,0), k 2 时,k A ( ) (2,0,0), A (k ) (4,0,0), 3) 不是•例如当 A (k ) k A()。

4) 是•因取 (X 1,X 2,X 3),A () = A (X 1 y 1,X 2= (2x 1 2y 1 X 2 = (2x 1 X 2, X 2 =A + A ，A (k )A (kx 1,kx 2,kx 3)kx 2, kx 2 kx 2, kx 2)，(2kx 1 (2kx 1 =k A ((y 1, y 2, y 3),有 y 2X 『3)y 2,X 2 y X 3 y 3,X 1 yj X 3,xJ (2y 1 y 2,y 2 y 3,yjkx 3,kxj kx 3,kxj故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取 f (x)P[x],g(x)u(x) f(x) g(x)则A (f (x)g(x)) = A u(x) = u(x 再令 v(x) kf (x)则 A (kf(x)) 故A 为P[X]上的线性变换。

6) 是•因任取 f(x) P[x], g(x) P[X],并令 1) = f (x 1)A (v(x))P[x]则.A (f(x)g(x))=f(x 。

第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量;4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 15) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)6) 在P[ X ]中，A f (X) f(X o )，其中X o P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当 0时,是;当 0时,不是。

2)当o 时，是；当 o 时，不是。

3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0),A (k )k A()。

4)是•因取(X 1,X 2,X 3),(y 1, y 2, y 3),有A()= A(X 1y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3)= (2X 1 2y 1 X 2 y 2,X 2 y= (2X 1X 2, X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3)(2kx 1kx 2, kx 2=k A (), 3故A 是P 上的线性变换。

5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f(x) g(x)则A ( f (x)g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)),2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A(X l ，X 2,X 3)其中(X I 2,X 2V 是一固定的向量;2、X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1)(2kx 1kx 2, kx 2kx 3,kxjkx 3,kxjA(kf (x)) kf (x0) k A( f (x))。

第七章 线性变换7.1线性映射1.令123()(,,)x x x σξ=是3R 的任意向量,下列映射σ哪些3R 是到自身的线性映射？（1）()σξξα=+，α是3R 的一个固定向量；（2）123233()(2,,)x x x x x x σξ=-++-；（3）222123()(,,)x x x σξ=； （4）12()(cos ,sin ,0)x x σξ=．结果：由定义可判断 （１）当0α=时，是；当0α≠时，不是． （2）是 （3）不是 （4）不是．2.设V 是数域F 上一个一维向量空间,证明V 到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是:对于任意V ξ∈,都有()a σξξ=，这里a 是F 中一个定数.证： 必要性：设0α≠是V 的一个基，由σ是V 到自身的线性映射，有()V σα∈．设()a σαα=（a 是F 中的一个定数）．所以，V ξ∀∈，有()V σξ∈，而k ξα=（k 是F 中的任意数），则有()()k σξσα=()k σα=()k a α==()a k α=a ξ．充分性a 是F 中的一个定数，∴V ξ∀∈，都有唯一确定的V 中的向量a ξ，使得()σξ=a ξ．12,Vξξ∀∈及12,a a F∈，1122()a a σξξ+=a 1122()a a ξξ+=1a 1()a ξ+22()a a ξ=11()a σξ+ 22()a σξ．∴σ是V 到自身的线性映像．3.令()Mn F 表示数域F 上一切n 阶矩阵所成的向量空间.取定()A Mn F ∈．对任意()X Mn F ∈,定义()X AX XA σ=-.(i) 证明:σ是()Mn F 到自身的线性映射. (ii) 证明: 对于任意,,()X Y Mn F ∈,()()()XY X Y X Y σσσ=+证明：（见常用方法例1）４.令4F 表示数域F 上四元列空间.取 1151112331811397A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭对于4F ξ∈,令()A σξξ=.求线性映射σ的核和像的维数.解：先求ker()σ的维数．1234x x x x ξ⎛⎫⎪ ⎪∀=∈⎪ ⎪⎝⎭ker()σ，由核的定义，有()σξ＝0A ξ=．即1151112331811397--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭12340000x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，()Ker σ就是齐次线性方程组的解空间，由解空间的维数定理，得dim ()Ker σ=解空间的维数＝４－秩A ＝４－２＝２，再求Im()σ的维数．4F ξ∀∈，取4F 的标准基1,ε2,ε3,ε4,ε有:1k ξ=12k ε+23k ε+34k ε+4,ε()σξ=A ξ=A 1(k 122k εε+3k +34k ε+4)ε=1k (A 12)k ε+(A 23)k ε+(A 34)k ε+(A 4),ε∴Im()σ=1234(,,,)L A A A A εεεε1234(,,,)L A A A A =, (i A 是A 的第i列)，故dimIm()σ=秩A =2．5.设V 和W 都是数域F 上向量空间,且dim V n =.令σ是V 到W 的一个线性映射.我们如此选取V 的一个基：121,,,,,,s s n ααααα+使得12,,,s ααα是ker()σ的一个基.证明:(i) 1(),,()s n σασα+组成Im()σ的一个基；(ii) dimker()dimIm()n σσ+=.证: (i)V ξ∀∈,有1k ξ=12k α+2s k α++s α+1s k +1s α+n k ++,n α(σ1)k ξ=(σ1)α(s k σ++s α）+1s k +(σ1)s α+ n k ++(σ),n α1,,s αα是()Ker σ的基，∴1(),,()s σασα =0，故(σ)ξ=1s k +(σ1)s α+++n k (σ),n α (σ1),,s α+ (σ)n α是Im()σ的生成元，下证它们也是Im()σ基，1s k +(σ1)s n k α+++(σ)n α=0，∴σ(1s k +1s nk α+++)n α=0,即：1s k +1s n k α+++nα∈()Ker σ，1s k +1s n k α+++n α=1k 1S k α++S α， 1k 1S k α++S α1s k +-1s n k α+--n α=0，由1,,s αα，1,,S n αα+是V 的基，有1k S k ===1s k +n k ===0，所以，(σ1),,s α+(σ)n α是Im()σ的基．(ii)由题设 dim ()Ker σ=s ,由(i)得dimIm()σ=n s -∴dim ()Ker σ+dimIm()σ=n6.设σ是数域F 上n 维向量空间V 到自身的一个线性映射.12,W W 是V 的子空间,并且12V W W =⊕.证明:σ有逆映射的充要条件是12()()V W W σσ=⊕．证明：设1,,r αα是1W 的基，1,,r n αα+是2W 的基，则1,,r αα，1,,r n αα+是V 的基．若σ有逆，则1()σα,,()r σα, 1(),,()r n σασα+也是V 的基，这是因为，若11()()r r k k σασα++=11()()0r r n n k k σασα++++=．则1(σ-11()())n n k k σασα++=0，11k α+0n n k α++=，由1,α，n α是基，有：1k =n k ==0．，那么，1(),,()r σασα是1()W σ的基，1(),,()r n σασα+是()n W σ的基，因此，V =1()W σ⊕()n W σ．反之，若V =1()W σ⊕()n W σ，因为V =1()W σ⊕()n W σ⊆()V σ，且显然有()V V σ⊆，∴()V V σ=，即σ为满射．设：1,,n ββ为V 的基，由σ为满射，所以，∃1,,n r r V ∈，使得：11()r σβ=，,()n n r σβ=而且1,,n r r 线性无关．这是因为若110n n k r k r ++=，有(σ11)0n n k r k r ++=，即11()()0n n k r k r σσ++=，110n n k k ββ++=，∴1k n k ===0．下证σ为单射，,V ξη∀∈，有11n n a r a r ξ=++，11n n b r b r η=++，那么，11()n n a a σξββ=++，11()n n b b σηββ=++，若()σξ=()ση，则有ξη=．综上，σ为双射，从而σ有逆．7.2线性变换的运算1.举例说明,线性变换的乘法不满足交换律. 解：以本节第2题可得()(())f x τσ'(())f x τ='()xf x =，()(())f x στ(())xf x σ='()()f x xf x =+，故τσστ≠．2.在[]F x 中,定义:()'(),:()()f x f x f x xf x στ.这里'()f x 表示()f x 的导数,证明,,στ都是V 的线性变换,并且对于任意正整数n 都有1n n n n σττσσ--=.证：(),()(),,f x g x F x a b F∀∈∈，有(()())af x bg x σ+='(()())af x bg x +''()()af x bg x =+(())(())a f x b g x σσ=+，(()())af x bg x τ+(()())x af x bg x =+()()axf x bxg x =+(())(())a f x b g x ττ=+． ∴,στ为()F x 的线性变换．利用数学归纳法证：1n n n n σττσσ--=，当1n =时，()()f x σττσ-=()(())()(())f x f x σττσ-='(())(())xf x f x στ-='()()f x xf x +'()xf x -=()f x 111(())f x σ-=⋅，∴111σττσσ--=． 当2n =时，22()()f x σττσ-=22()(())()(())f x f x σττσ-=2(())xf x σ-'()(())f x τσ=='""2()())()f x xf x xf x +-= '2()f x =2(())f x σ，∴．假设1n -时，结论成立，即：111(1)n n n n σττσσ----=-．而()()n n f x σττσ-=()()()()n n f x f x σττσ-=11(())((()))n n f x f x σσττσσ---=1'1'(()())(())n n xf x f x f x στσ--+-=1(())n f x σ-+1'[(())n xf x σ--1'(())]n f x τσ-=1(())n f x σ-+1'1'[(())(())]n n f x f x σττσ---=1(())n f x σ-+11'[](())n n f x σττσ---=1(())n f x σ-+2(1)n n σ--'(())f x =1(())n f x σ-+1(1)n n σ--(())f x =1(())n n f x σ-．∴n n nn σττσσ-=．3.设V 是数域F 上一个有限维向量空间.证明,对于V 的线性变换σ来说,下列三个条件是等价的:(i)σ是满射;(ii)ker()0σ=;(iii)σ非奇异. 当V 不是有限维时,(i),(ii)是否等价?提示：参照7.1习题第6题中充分性的证明． 4.设(),L V V σξ∈∈,并且1,(),,()k ξσξσξ-都不等于零,但()0k σξ=.证明:1,(),,()k ξσξσξ-线性无关.证明：用反证法，若1,(),,()k ξσξσξ-线性相关，则存在F 中不全为零的数，011,,,,k a a a -使得：1011()k k a a a ξσξσ--+++()0ξ=，假设i a 是011,,,,k a a a -中第一个不为零，因而有 ：11()()0i k i k a a σξσξ--++=，则111(()())k i ik i k a a σσξσξ----++0=，有：11()()k ki i a a σξσξ-++221()0k i k a σξ---++=，由于()0k σξ=，∴122()()k k i σξσξ+--==0=， 从而1()0k i a σξ-=，但1()0k σξ-≠，∴0i a =，这与0i a ≠矛盾，故1,(),,()k ξσξσξ-线性无关．5.设()L V σ∈.证明(1) Im()ker()σσ⊆当且仅当20σ=；(2) 23ker()ker()ker()σσσ⊆⊆⊆； (3)23Im()Im()Im()σσσ⊇⊇⊇.证明：(1) Im()()Ker σσ⊆(Im()){0}(())σσσσξ⇔=⇔0=2(Im()){0}(())0()0σσσσξσξ⇔=⇔=⇔=2σθ⇔=,(2) 设ξ∈()i Ker σ()0i σξ⇒=，而1()(())i iσξσσξ+= (0)0σ==⇒ξ∈1()i Ker σ+ ∴()i Ker σ⊆`()i Ker σ+．(3) ξ∈1Im()i σ+，则存在η使得1()i σηξ+=⇒(())i σσηξ=⇒ξ∈Im()iσ，∴Im()i σ1Im()i σ+⊇6.设12{(,,,)|}n n i F x x x x F =∈是数域F上n 维行空间,定义12121(,,,)(0,,,,)n n x x x x x x σ-=.(1) 证明:σ是nF 的一个线性变换，且20σ=；(2) 求ker()σ和Im()σ的维数．证明：(1),nF ξη∀∈,,a b F ∈,且12(,,,)n x x x ξ=，12(,,,)n y y y η=，a b ξη+=11(,,)n n ax by ax by ++，()a b σξη+=1111(0,,,)n n ax by ax by --++=11(0,,,)n ax ax -+11(0,,,)n by by -=11(0,,,)n a x x -+11(0,,,)n b y y -=()()a b σξση+∴σ为nF 的线性变换．又因为σ12(,,,)n x x x =121(0,,,,)n x x x -，2σ12(,,,)n x x x =12(0,0,,,)n x x -，,1n σ-12(,,,)n x x x =1(0,0,,)x ， n σ12(,,,)n x x x =(0,0,,,0)12(,,,)n x x x θ=，∴nσθ=．(2) 显然，()Ker σ={(0,0,,)a |a F ∈}，dim ()1Ker σ=，dimIm()1n σ=-．7.3线性变换和矩阵1.令[]n F x 表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，:()'()f x f x σ.求σ关于以下两个基的矩阵:(1) 21,,,,n x x x ,(2)2()()1,,,,2!!nx c x c x c n ---.解（1）(1)0100nx x σ=⋅+⋅++⋅，()1100nx x x σ=⋅+⋅++⋅，,1()0100n n nx x nx x σ-=⋅+⋅++⋅∴σ关于基1,,,nx x 的矩阵为0100000200000000000n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（它的阶数为1n +）．（2）同理，σ关于基2()()1,,,2!!nx c x c x c n ---的矩阵为010000000001000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭2.设F 上三维向量空间的线性变换σ关于基123{,,}ααα的矩阵是1511520158876-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．求σ关于基112321233123233422βαααβαααβααα=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 的矩阵.设1232ξααα=+-．求()σξ关于基123,,βββ的坐标.解：已知σ关于基123{,,}ααα的矩阵为1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为231342112T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1652431111T ---⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，设σ关于基123,,βββ的矩阵为B ，则有1B T AT -==100020003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，设ξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)x x x ，()σξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)y y y ，则有112233y x y B x y x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ关于123,,ααα的坐标为(2,1,1)-，所以123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1211T -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，所以123y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1211BT -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭580-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭． 3.设12{,,,}n γγγ是n 维向量空间V 的一个基11,,1,2,,nnj ij i j ij i i i a b j nαγβγ=====∑∑并且12,,,n ααα线性无关,又设σ是V 的一个线性变换,使得(),1,2,,j j j nσαβ==.求σ关于基12{,,,}n γγγ的矩阵.解 ：由已知，有12(,,,)n ααα12(,,,)n r r r A =（A 可逆）， 12(,,,)n βββ12(,,,)n r r r B =，12((),(),,())n r r r σσσ=112((),(),,())n A σασασα-=112(,,,)n A βββ-112(,,,)n r r r BA -=，故σ关于基12,,,n r r r 的矩阵为1BA -．4.设,A B 是n 阶矩阵,且A 可逆,证明,AB 与BA 相似. 证：11111()()()()AB AB AA A BA A A BA A -----===，∴BA 与AB 相似．5.设A 是数域F 上一个n 阶矩阵.证明,存在F 上一个非零多项式()f x 使得()0f A =.证：F 上所有n 阶矩阵作成F 上的向量空间()n M F ，其维数是2n ．所以，0I A =，22,,,n A A A 一定线性相关，∴存在不全为零的数：2012,,,n a a a a F∈，使得222012n n a I a A a A a A ++++0=，设()f x 222012nn a a x a x a x =++++，因系数不全为零，∴()0f x ≠且有()0f A =．6.证明,数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ是一个位似(即单位变换的一个标量倍)必要且只要σ关于V 的任意基的矩阵都相等.证 设12{,,,}n ααα为V 的任意一个基，由()i i i k σαα=(1,2,,)i n =，σ关于基12{,,,}n ααα的矩阵为kA k ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，反之，若σ关于基12{,,,}n ααα的矩阵为A ，则有()i i ik σαα=(1,2,,)i n =，设V ξ∈，有1122n n k k k ξααα=+++,而11()()()n n k k σξσασα=++=11()n n k k k αα++k ξ=，即σ是一个位似．7.令()Mn F 是数域F 上全体n 阶矩阵所成的向量空间.取定一个矩阵()A Mn F ∈.对于任意()X Mn F ∈,定义()X AX XA σ=-由7.1习题3知σ是()Mn F 的一个线性变换.设1n a A a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭是一个对角形矩阵.证明,σ关于()Mn F 的标准基{}ij E (6.4,例5)的矩阵也是对角形矩阵,它的主对角线上的元素是一切i ja a -.证明：具体计算一下当3n =时的情形，然后推而广之．8.设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换.证明,总可以如此选取V 的两个基12{,,,}n ααα和12{,,,}n βββ,使得对于Ｖ的任意向量ξ来说,如果1ni ii x ξα==∑则1()ri ii x σξβ==∑，这里0r n ≤≤是一个定数.证：设12,,,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，σ是V 的线性变换，则12(),(),,()n σασασα是Im()σ的生成元，设dimIm()r σ=，显然，0r n ≤≤是一个定数，不妨设12(),(),,()n σασασα是Im()σ的一个基，则1,,r n αα+是ker()σ的基，即1()()0r n σασα+===．令11()βσα=，22()βσα=，,()r r βσα=，因为Im()V σ⊆,所以1β，2β，,r β是V 中线性无关向量组，将基扩充为V 的基，1{β，2β，,r β，1,,}r n ββ+，这样得到了两个基，并且Vξ∈来说，1122n n x x x ξααα=+++，1122()()()()r r x x x σξσασασα=++++11()()r r n n x x σασα++++1122()()()r r x x x σασασα=+++1122r r x x x βββ=++7.4不变子空间1.设σ是有限维向量空间V 的一个线性变换.而W 是σ的一个不变子空间,证明,如果σ有逆变换,那么W 也在1σ-之下不变.证一 （1）若{0}W =,则W 在1σ-之下不变，因为零空间在任何线性变换下不变．（2）若{0}W ≠，设12,,,r ααα为W 的一个基，由已知，有()W W σ⊆，于是，12(),(),,()r σασασαW ∈．可以证明12(),(),,()r σασασα也是W 的一个基，即有()W W σ=，因此，W α∈，存在W β∈，使得()σβα=⇒1()σαβ-=W ∈，故W 在1σ-之下不变．证二 因()W W σ⊆，dim ()dim W W σ≤,若V 是有限维向量空间，则dim ()dim W W σ=，∴()W W σ=，从而有1()W W σ-=，故W 在1σ-之下不变．2.设,στ是向量空间V 的线性变换,且σττσ=．证明Im()σ和ker()σ都在τ之下不变. 证：Im(){()|}x x V σσ=∈，(){|,()0}Ker x x V x σσ=∈=，Im()y σ∀∈，则x V ∃∈使得()x y σ=，则有()y τ=(())x τσ ()x τσ==()x στ=(())x στ∈Im()σ∈，∴(Im())τσ⊆Im()σ，x ∀∈()Ker σ，则有()0x σ=，(())x στ=(())0x τσ=，∴()x τ∈()Ker σ，即(())Ker τσ⊆()Ker σ，由不变子空间的定义得，Im()σ和()Ker σ都在τ之下不变．3.令σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换,并且满足条件2σσ=．证明:（i ）ker(){()|}V σξσξξ=-∈； （ii ）ker()Im()V σσ=+；（iii ）如果τ是V 的一个线性变换,那么ker()σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=．证：（i ）V ξ∈,由σ使V 的一个线性变换，且2σσ=，有(())σξσξ-=2()()0σξσξ-=，∴()ξσξ-∈()Ker σ，即：{()|}V ξσξξ-∈⊆()Ker σ反之，设()Ker ησ∈⇒()0ση=⇒()ηηση=-，又V η∈，∴()ηηση=-{()|}V ξσξξ∈-∈⇒()Ker σ{()|}V ξσξξ⊆-∈，故()Ker σ{()|}V ξσξξ=-∈（ii ）设V ξ∈，有()()ξξσξσξ=-+，但()ξσξ-∈()Ker σ，()Im()σξσ∈，∴ξ∈()Ker σIm()σ+，即()V Ker σ⊆Im()σ+，又由于()Ker σIm()V σ+⊆，故有()V Ker σ=Im()σ+，设α∈()Ker σIm()σ，则有α∈()Ker σ，因而()0σα=且α∈Im()σ，因而V β∃∈，使得()σβα=,而2()()ασβσβ==()0σα==，综上知，()V Ker σ=Im()σ⊕．（iii ）充分第2题已证，现证必要性．对于V ξ∈由（i ）知()ξσξ-∈()Ker σ，因()Ker σ在τ之下不变，所以(())τξσξ-∈()Ker σ，所以((()))()()0στξσξστξστσξ-=-=，∴()()στξστσξ=（*）,()σξ∈Im()σ，而Im()σ在τ之下不变，所以，()τσξ∈Im()σ，这样，存在V η∈，使得，()ση=()τσξ，代入（*）得()στξ2()ση=()ση=()τσξ=，∴σττσ=．4.设σ是向量空间V 的一个位似．证明,V 的每一个子空间都在σ之下不变． 证：设W 是V 的任一子空间，定义:k σξξ（k 为F 中的常数），对V ξ∀∈⇒()k W σξξ=∈（子空间对数乘运算封闭），又()()W σξσ∈，∴()W W σ⊆故V的任一子空间在τ之下不变．5.令S 是数域上F 向量空间V 的一些线性变换所成的集合．V 的一个子空间W 如果在S 中每一线性变换之下不变,那么就说W 是S 的一个不变子空间.S 说是不可约的,如果S 在V 中没有非平凡的不变子空间.设S 不可约,而φ是V 的一个线性变换,它与S 中每一线性变换可交换.证明φ或者是零变换,或者是可逆变换．证：φ使V 的一个线性变换，且与S 中任一个线性变换可交换，则由本节第3题（iii ）知Im()φ和()Ker φ在S 中任一个线性变换之下为不变子空间．但由题设S 没有非平凡的不变子空间，所以Im()φ和()Ker φ只能是V 的平凡子空间，有（1）若{0}V =，则Im()φ=()Ker φ{0}=，（2）{0}V ≠，()Ker V φ=，此时，φ为零变换；Im()V φ=，则()Ker φ{0}=，此时，φ为可逆变换，故φ或者是零变换，或者是可逆变换．7.5本征值和本征向量1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量: (i) 320131571-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (ii) 457149405-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭;(iii)3660203126⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 解 (i) ()A f x xI A =-2(1)(2)x x =--,A 的特征根是1与2 ,属于1 的特征向量是齐次线性方程组()123000x I A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的非零解,(),,,,0a a a a R a ∈≠．属于2 的特征向量是齐次线性方程组()1230200x I A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的非零解,()2,,,,0a a a a R a --∈≠． (ii) 实特征根为1，其相应的特征向量是(),2,,0a a a a ≠．(iii) 特征根为: 0,2,3．属于0 的特征向量是()2,0,0a a a -≠；属于 2 的特征向量是54,,,03a a a a ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭；属于3 的特征向量是(),0,0a a a -≠．2.证明:对角形矩阵1n a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与1n b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似必要且只要1,,n b b 是1,,n a a 的一个排列.证 ：若相似，则有相同的特征根，而特征根12,,,n a a a 或12,,,n b b b 相同，只有次序的不同，所以12,,,n b b b 是12,,,n a a a 的一个排列，设12,,,n b b b 是12,,,n a a a 的一个排列，令,1,2,,i i k b a i n==，令i a 与i b 所在的数域为F ，{}1,,n γγ是n F 的一个基，作线性变换σ，使得()i i i r a r σ=（1,2,,i n =），有1((),,())n r r σσ11(,,)n n a r r a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，于是有1((),,())n k k r r σσ11(,,)k n k k k k a r r a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭=11(,,)k k k n b r r b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，因此，上述两个矩阵是线性变换σ在两个基下的矩阵，因而是相似的．3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个实矩阵且1ad bc -=．证明：(i) 如果||2trA >，那么存在可逆实矩阵T ,使得11T AT λλ--⎛⎫=⎪⎝⎭．这里R λ∈且0,1,1λ≠-．(ii) 如果||2trA =且A I ≠±，那么存在可逆实矩阵T ，使得11101T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭或1101-⎛⎫⎪-⎝⎭．(iii) 如果||2trA <,则存在可逆矩阵T 及R θ∈,使得1cos sin sin cos T AT θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭证明 ：设σ是R 上 二维向量空间V 的线性变换，12,αα是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵为A ，()A f x xI A =-2()x a d x A =-++2()1r x T A x =-+，(i)如果|()|2r T A >，则()A f x 有两个不同的实根12,λλ，有根与系数的关系，知121λλ=，故两个根可表为1,λλ（0,1,1λ≠-）．设12,ξξ为1,λλ相应的特征向量，即11()σξλξ=,221()σξξλ=,现证12,ξξ也是V 的一个基，若11220k k ξξ+=（1）则有1122()()0k k σξσξ+=，21120kk λξξλ+=，211220k k λξξ+= （2），（2）减（1）得，211(1)0,k λξ-=因为0,1,1λ≠-10ξ≠，所以210,λ-≠从而10k =，因此20k =，则：12,ξξ为V 的一个基，σ关于基12,ξξ的矩阵为100λλ-⎛⎫⎪⎝⎭，故存在可逆阵T ，使得1T AT -=100λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭．(ii)如果|()|2r T A =,那么，()A f x 有二重根1或1-，设相应的本征向量为ξ，即()σξλξ=，将ξ扩充为V 的一个基，{},ξα，于是，有((),())σξσα(,)ξα=0Y K λ⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 与0Y K λ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似，它们有相同的特征根，有k λ=，即σ关于基{},ξα的矩阵为0Y λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故存在可逆阵Q ，使得1Q AQ -=0Y λλ⎛⎫⎪⎝⎭（11λ=-或），若0Y =，则有1Q AQ -=00λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因11λ=-或，所以A I =±，这与假设矛盾，故0Y ≠，令S =1100Y -⎛⎫⎪⎝⎭，则11S Q AQS --=10λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取T QS =，则有1T AT -=101λ⎛⎫⎪⎝⎭（11λ=-或）．(iii) 利用题中提示证之． 4. 设令,,b c a c a b a b c A c a b B a b c C b c a a b c b c a c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(i) 证明，,,A B C 彼此相似;(ii) 如果BC CB =，那么,,A B C 的特征根至少有两个等于零.证明（i ） 存在可逆矩阵11223T PP =，使得111T AT C -=，所以A 和C 相似，同理，存在可逆矩阵21323T P P =，使得122T AT C -=，所以B 和C 相似，由相似矩阵的对称性，传递性知A 、B 、C 彼此相似．(ii)A 、B 、C 彼此相似,∴它们有相同的特征多项式，即()A f x =()B f x ()C f x =，有因为BC CB=，∴可得222a b c ab bc ca++=++，即有2220a b c ab bc ca ++---=(1),()A f x xI A=-x b ca c x ab abx c---=------32()x a b c x =-++-22(a b +2)c ab bc ca x +---+333(3)a b c ab ++-,由（1）得()A f x =32()x a b c x -++2[()]x x a b c =-++，∴A 的特征根为：12λλ=0=，3a b c λ=++，故A 、B 、C 的特征根至少有两个等于零．5.设A 是复数域C 上一个n 阶矩阵. (i) 证明:存在C 上n 阶可逆矩阵T 使得11**0**0**T AT λ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(ii) 对n 作数学归纳法证明,复数域C 上任意一个n 阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵12**0*0n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似,这里主对角线以下的元素都是零.证：(i)设V 是复数域C 上的一个n 维向量空间，σ是V 的一个线性变换，A 是σ在基12{,,,}n ααα下的矩阵，则A 的特征多项式()A f x 在C 内总有特征根，设1λ是A 的一个特征根，令属于1λ的特征向量为1ξ，则111()σξλξ=，将1ξ扩充为V 的一个基12{,,,}n ξξξ，设由12{,,,}n ααα到12{,,,}n ξξξ的过渡矩阵为T ，故有1T AT -=1121222200n n n nn b b b b b b λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，这里12(,,,)i i ni b b b 是()i σξ在基12{,,,}n ξξξ下的坐标(1,2,,)i n =．(ii) 1,1n =时，命题显然成立．2,设1n >时，且命题对1n -来说成立．考虑n 阶矩阵的情形，设A 是C 上任一n 阶矩阵，则由(i)可知存在可逆矩阵1P，使得 2221112n n nn b b P P b b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=2n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，令1100P T P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P 可逆，且1P AP -=2*0n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，综上证明 ，对于一切n ，原命题成立．6.设A 是复数域C 上一个n 阶矩阵,1,,n λλ是A 的全部特征根(重根按重数计算).(i) 如果()f x 是C 上任意一个次数大于零的多项式,那么1(),,()n f f λλ是()f A 的全部特征根.(ii) 如果A 可逆,那么0,1,2,,,i i n λ≠=,并且111,,n λλ--是1A -的全部特征根.证：(i)任取一次数0>的多项式，1011()n n n n f x a x a x a x a --=++++，由第 5 题知，1T AT -=1*0n Bλλ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，1()()T f A T f B -==1()()n f f λλ*⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 即1()f λ,,()n f λ是()f A 的全部特征根．(ii)1T AT -1*0n B λλ⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭，∴12n A B λλλ==，由A 可逆，∴120n A λλλ=≠，所以，0i λ≠(1,2,,)i n =．设A 对应的线性变换为σ，则1σ-为A1-对应的线性变换．11(σσσσι--==单位变换），设σ的属于i λ的本征向量为i α(1,2,,)i n =．即()i i i σαλα=，1(())i σσα-=1()()i i σσαα-=，1(())i σσα-=1()i i σλα-=1i i ii λααλ=，∴i i λα是1σ-的属于1i λ特征向量，0i λ≠，∴i α是1σ-的属于1i λ本征向量，即11λ-，12,,λ-1n λ-是1σ-全部特征值．因此11λ-，12,,λ-1n λ-是A1-全部特征根．7.令010000100001100A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是一个n 阶矩阵.(i)计算 231,,,n A A A -;(ii)求A 的全部特征根.解：利用矩阵乘法，可设n i i in nO I A I O -⨯⎛⎫=⎪⎝⎭，1,2,,,i n =．因为10000100()1000110n A x x f x x x x--==---，所以A 的全部特征值为22cossin k k k i n n ππλ=+，1,2,,1k n =-．8.令12,,,n a a a 是任意复数,行列式1231211122341`n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ---=叫做一个循环行列式.证明:12()()()n D f f f ωωω=这里是全部次单位根. [提示:利用6,7两题的结果.]证明：设01000001000000110000A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，利用第7题(i) 可得112()n n f A a I a A a A -=+++=1231212341n n n a a a a a a a a a a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，第7题(ii) A 的特征根为全部n 次单位根1ω，2ω，,n ω，再由第6题(i)的结论可得1()f ω，2()f ω，,()n f ω，为()f A 的特征根．但()()f A f x 的常数项为(1)()(1)n n f A D-=-，于是由根与系数的关系知：1()f ω()n f ω=(1)(1)n n D --=D ，从而D =1()f ω()n f ω．9.设是复数域上阶矩阵.证明,与有相同的特征根,并且对应的特征根的重数也相同. （略）7.6 可以对角化的矩阵1.检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化.如果可以对角化,求出过渡矩阵T.解 利用推论7.6.6判断：(i) 不能对角化．(ii) 不能对角化．(iii) 可以对角化．4125003111T ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1230T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 2.设460350,361A ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭求10A求10.A解：可以判定A 可以对角化120110101T --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 1211T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1211A T T --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 10101211A T T --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=101211T T -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭结果略）3.设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换.令1,,t F λλ∈是σ的两两不同的本征值,i V λ是属于本征值i λ的本征子空间.证明,子空间的和是直和,1tW V V λλ=++是直和,并在σ之下不变. 略（参照定理7.6.5）4.数域 F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ叫做一个对合变换,如果2,σιι=是单位变换.设σ是V 的一个对合变换.证明:(i)σ的本征值只能是1±;(ii)11V V V -=⊕这里1V 是σ的属于本征值1的本征子空间,1V -是σ的属于本征1-值勤的本征子空间.[提示:设V α∈,则()()22ασαασαα+-=+]证：(i)设λ是σ的任一本征值，ξ是属于本征值λ的本征向量，即2()σξλξ=，2σι=，∴2λξξ=，2(1)0λξ-=，由0ξ≠，得21λ=，∴1λ=±，σ的本征值只能是1±，(ii)V ξ∀∈，而1(())2ξξσξ=+1(())2ξσξ+-，1((()))2σξσξ+=1(())2ξσξ+，∴11(())2V ξσξ+∈，同理11(())2V ξσξ--∈，∴11V V V -=+，若11V V η-∈⇒1,V η∈1V η-∈()σηη⇒=()σηη=-0η⇒=，故11V V V -=⊕5.数域F 上一个n 阶矩阵A 叫做一个幂等矩阵,如果2A A =.设A 是一个幂等矩阵.证明.(i) I A +可逆,并且求1()I A -+.(ii)秩A +秩()I A n -=[提示:利用7.4,习题3(ii).] 证：(i)2A A =∴()()()()222A A AI I I A I A I I A =+-=+-=-+，由此可知I A +可逆，且1()2AI A I -+=-．(ii)设σ为F 上n 维向量空间V 的一个线性变换，A 为σ在定基下的矩阵，2A A=⇒2σσ=⇒()0σισ-=又Im α∈()ισ-⇒α=()ισβ-⇒()σα=()()0σισβ-=⇒()Ker ασ∈⇒Im ()ισ-()Ker σ⊆．反之，设ξ∈()Ker σ⇒（由７.4第３题）ξ=()ισξ-⇒Im ξ∈()ισ-⇒()Ker σ⊆Im ()ισ-，故()Ker σ=Im ()ισ-，由因为dimIm()σ=秩A ，dimIm()ισ-=秩()I A -， 所以秩A ＋秩()I A -＝dimIm()σ+dimIm()ισ-=dimIm()σ+dim ()Ker ισ-n =６.数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ叫做幂零的,如果存在一个自然数m 使0m σ=.证明:(i)σ是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零; (ii)如是一个幂零变换σ可以对角化,那么σ一定是零变换.证：(i)必要性，设λ为σ的任一本征值，ξ是属于λ的本征向量，则()σξλξ=σ是幂零变换，即存在一个自然数m ，使0mσ=∴V ξ∀∈，0ξ≠，有22()(())()σξσσξσλξλξ===，,()m mσξλξ=,有()0m σξ=，0m λ=0λ⇒=(m 重根)．故幂零变换的本征值都是0充分性 不妨设σ在某个基下所对应的矩阵为A ，由题设A 的特征值为零，因而可推知A 的若当标准行为000*0⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，因此必存在某一正整数m ，使0m A =，故A 必为幂零矩阵，相应的，σ是幂零变换．∴σ是幂零变换⇔它的本征值都是0．(ii)由(i)知0λ=（m 重根），故0Ax =的解向量都是属于0λ=的特征向量，因σ可以对角化，所以有定理7.5.6可知dim n V m r m =-=，即解空间的维数是m ，由此可知0r A ==秩，即σ是零变换．7.设V 是复数域上一个n 维向量空间,S 是V 的某些线性变换所成的集合,而ϕ是V 的一个线性变换,并且ϕ与S 中每一线性变换可交换.证明,如果S 不可约(参看7.4,习题5),那么ϕ一定是一个位似.[提示:令λ是ϕ的一个本征值.考虑ϕ的属于λ的本征子空间,并且利用7.4,习题5的结果.]证：由代数基本定理知，ϕ的特征多项式在复数域C 中至少有一个根．设λ是ϕ的任一本征值，并记λ的本征子空间为V λ，以下证明V λ为S 的不变子空间．设σ为S 的任一线性变换，由于ϕσσϕ=，对V λξ∀∈，因为()V Ker λλισ=-，∴()()0λιϕξ-=．又()(())()()λισσξλσξϕσξ-=-=()(())λσξσϕξ-=()λσξ()0λσξ-=，∴()σξ∈V λ，∴V λ为σ的不变子空间，由于σ的任意性，可得：V λ为S 的不变子空间．S 不可约⇒{}0V λ=或V V λ=．∴对V ξ∀∈，都有()()0λιϕξ-=，()ϕξλξ=，即ϕ是一个位似．8.设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个可以对角化的线性变换.令1,,ιλλ是σ的全部本征值.证明,存在V 的线性变换12,,,ισσσ,使得(i)1122;t t σλσλσλσ=+++(ii)12,t σσσιι+++=是单位变换;(iii),i j σσθ=若,i j θ≠是零变换;(iv)2,1,2,,;i i i t σσ== (v)(),iii V V V λλσ=是σ的属于本征值i λ的本征子,空间, 1,2,,.i t =证：σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个可以对角化的线性变换，所以，由定理7.6.5可知iV λ的维数等于i λ的重数，设其重数为i S ，且12t S S S n +++=，1i ξ，2,,i ξsi ξ是iV λ的基，则11ξ，12,,ξ11s ξ，21ξ，22,,ξ22s ξ，,1t ξ，2,,t ξt ts ξ为V 的一组基，令1,σ2,,tσσ在这组基下的矩阵分别为：110s I σ⎛⎫→⎪⎝⎭，2200s I σ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭, … , 0t t s I σ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，而在此基下的矩阵为：1100tt λλσλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，∴11σλσ=+22λσ+t t λσ+．(ii)由(i)知1σ，2σ，,t σ所对应的矩阵之和为I ，所以∴1σ+2σ+(t σιι+=为单位变换）．(iii)故i j σσθ=()i j ≠(iv) 当i j =由(iii)知2(),()i i i i a a a a σσ==所以2i i σσ=(v) 因为()i V V λσ⊆，任给,(),()i i i i i i i a V V a a V V λλσσ∈⊆=⊆，所以()(1,,)i i V V i t λσ==.9.令V 是复数域C 上一个n 维向量空间,,στ是V 的线性变换,且.σττσ= (i)证明,σ的每一本征子空间都在τ之下不变; (ii)σ与τ在V 中有一公共本征向量. 证：(i)设V λ是σ的特征子空间,0λ是σ的一个特征值,任给V λξ∈,则0()σξλξ=.从而00()()()()στξτσξτλξλτξ===.所以0()V λτξ∈,即σ的每一个特征子空间都在τ之下不变.(ii) 由于0V λ是τ的不变子空间,记|V λττ=,在复数域C 上,0τ必有特征根η,并存在非零向量V λα∈使0()ταηα=,故0()()ταταηα==.又0()()σαλα=,所以α即为σ与τ的公共特征向量.。