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第7章线性变换§ 1线性变换的定义线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。
一、线性变换的定义定义7・1设V为线性空间，若对于V中的任一向量按照一定的对应规则T,总有V中的一个确定的向量0与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为T©) = 0或Ta =股©外，0称为Q的象，&称为0的原象。
象的全体所构成的集合称为象集，记作T (V),即T (V) ={/? = T(«) I « G v}o由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。
定义7.2线性空间V中的变换T,若满足条件(1)对任意w V有(2) 2 + 0) = %) + 丁(0)；(3)对任意a eV及数域P中任意数£有T(ka) = kT (a),则称变换T为V中的线性变换。
例7.1线性空间V中的恒等变换或称单位变换£即£(«) = a (a E V)以及零变换o,即o(a) = 0 (tz G V)都是线性变换.例7.2设V是数域P上的线性空间，£是P中的某个数，定义V的变换如下：a Tka,« G V.这是一个线性变换，称为由数£决定的数乘变换，可用K表示•显然当比=1时，便得恒等变换，当比=0时, 便得零变换.例7.3在线性空间P［x］或者冲，求微商是一个线性变换•这个变换通常用©代表，即①(/(x)) =f V)-例7.4定义在闭区间［%闰上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表•在这个空间中变换9(/(兀))二是一线性变换.例7.5在疋中，定义下列变换：对任意的x2G7?3,((、& +勺) (5 丫(1 ] T A：?—兀3x2—0任丿丿<旺J k宀丿丿宀丿试确定它们是否为线性变换?5、Ji''X] + XT(兀2+)；2)=T x2 + y2宀丿"+旳丿厂坷+比+£ +力、丫X] + £ '、1+力、勺+『3= +『3< K + >1 )＜州丿< >1 >解对任意的x29G R和数£ GR,= T / 卜、兀2任丿5'、+ T‘刃、宀丿g、•(kx x + 总2、' k x2=T kx2= kx§卫3八l鋼丿+ 无2'5、=k兀3=^T兀2<兀I )故T是线性变换;/ 01、( ( \r 1 )T i x2+ 『2=T.兀2 +丁2=0 ，（儿丿/（勺+儿丿" + )5（、兀1/ 、〔］、< 2、兀2+ T.y2——0+0——0U3 J<^3>宀丿」丿上两式不等，故T］不是线性变换。
第七章线性变换计划课时：24学时.( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授.一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。
2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
作业：习题七P330 1，2，3.§7.2 线性变换的运算（4学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义1 （P310）注意：＋是V的线性变换.二. 数乘运算定义2（P311）显然k也是V的一个线性变换.定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.三. 乘法运算(1). 乘法运算定义3 （P311-312）注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.(2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义4 （P 313）线性变换可逆的充要条件例2 （P 314）线性变换的多项式的概念 (阅读内容).作业：P 330 习题七 4，5.§7.3 线性变换的矩阵（6学时）教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理论。
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第七章线性变换总结篇（高等代数）第 7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈ 。
性质1. ()()00,σσαα==-;性质2. 若12s ,,,ααα 线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα 也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα 线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ ，12,,,s γγγ 是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ??= ?于是，若()d i m V n =，12,,,n ααα 是V 的一组基，σ是V 的线性变换，12,,,m βββ 是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n nm m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n nn mn b b c b b c b b c σβββααα??= ?设112111222212m m nn mn b b c b b c B b b c ??= ?，12,,,m ηηη 是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη 是12,,,m ηηη 的一个极大线性无关组，那么()()()2,ri i i σβσβσβ 就是()()()12,m σβσβσβ 的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ 的秩等于秩()B 。
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。
第七章线性变换§7.1 线性映射=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射哪些是R3到自身的1．令（1）(ξ) =ξ+ α，α是R3的一个固定向量．（2）(ξ) = (2x1–x2 + x3，x2 + x3，–x3)（3）(ξ) =（x12，x22，x32）．（4）σ() =（cos x1，sin x2，0）．2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射是线性V，都有() = a，这里a是F中一个映射的充要条件是：对于任意3．令M n (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A M n (F).对任意(F)，定义(X) = A X–X A．X Mn(i)证明：是M n (F)是自身的线性映射。
(ii)证明：对于任意X，Y M n (F)，(XY) = (X)Y+X (Y) ．4．令F4表示数域F上四元列空间，取A=对于F4，令() = A．求线性映射的核和像的维数．5．设V和W都是数域F上向量空间，且dim V = n．令是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：1，…，s，s+1，…，n，使得1，…，s，是Ker()的一个基．证明：（i）(s+1)，…，(n)组成Im()的一个基；（ii）dim Ker() + dim Im() = n.。
6．设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2．证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) ．§7.2 线性变换的运算1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律．2．在F[x]中，定义：f (x) f’(x) ，：f (x) xf (x) ，这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ,都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有n–n = n n-13．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：（i）是满射； (ii)Ker() = {0}; (iii) 非奇异．当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？L(V)，V，并且，()，…，k-1()都不等于零，4．设但k() = 0．证明：，()，…，k-1() 线性无关．Ker()当且仅当2 = ；(1) Im()(2)(3)(i) 证明：是F n的一个线性变换，且n = ；(ii) 求Ker()和Im() 的维数．§7.3 线性变换和矩阵1．令Fn[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x) f’(x) ，求 关于以下两个基的矩阵：(1) 1，x ，x2，…，x n，(2) 1，x –c ，，…，，c F ．2．设F 上三维向量空间的线性变换关于基 {1，2，3}的矩阵是求关于基1 = 21 +32 +3，2= 31+42+3，3=1+22+23，的矩阵．设= 2 1 +2–3．求( )关于基1，2，3的坐标．3．设{1，2，…，n}是n 维向量空间V 的一个基．j= ，= ， j = 1，2，…，n ，并且1，2，…，n线性无关．又设是V 的一个线性变换，使得 (j) =，j = 1，2，…，n ，求关于基，，…，的矩阵．4．设A ，B 是n 阶矩阵，且A 可逆，证明，AB 与BA 相似．5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等．7．令M n (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A M n (F) ．对任意X M n (F)，定义(X) = A X–X A．由7.1习题3知是M n (F)的一个线性变换，设A =是一个对角形矩阵．证明，关于Mn (F)的标准基{Eij|1}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切a i–a j(1).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]8．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{1，2，…，n}和{1，2，…，n}，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数。
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++3）设向量组n ααα,,,21 线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T ααα 也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21 是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++= n n a a a εεεεα22221122)(+++=n nn n n n a a a εεεεσ ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσ =A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσ ==则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21 下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。
第7章 线性变换§1 线性变换的定义线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。
一、线性变换的定义定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα，β称为α的象，α称为β的原象。
象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。
由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。
定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件（1） 对任意V ∈βα,有（2） )()()(βαβαT T T +=+；（3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有)()(ααkT k T =，则称变换T 为V 中的线性变换。
例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即E )()(V ∈=ααα 以及零变换ℴ，即ℴ)(0)(V ∈=αα都是线性变换.例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,.这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k时，便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '.例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换ℐ（)(x f ）=⎰xadt t f )( 是一线性变换.例7.5 在3R 中，定义下列变换：对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 3R ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 1321321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 3321101x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 2332213212x x x x x x x x试确定它们是否为线性变换？解 对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321,y y y x x x 3R 和数∈k R ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 1321132111332211332211321321)(y y y y x x x x y x y x y x y x y x yx y x y y y x x x=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 321321y y y x x x ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 32113211321321321x x x k x x x x k kx kx kx kx kx kx kx x x x k 。
故T 是线性变换；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333322111321321101y x y x y x y x y y y x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333332113211020101y x y x y y y x x x 。
上两式不等，故1T 不是线性变换。
同理可验证2T 也不是线性变换。
（也可取特殊的向量来验证不是线性变换）二、线性变换的性质命题7.1 设V 是n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，则有：（1）)()(,0)0(ααT -=-T =T ；（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变.即 )()()()(22112211m m m m k k k k k k ααααααT ++T +T =+++T ；（3）若m a a a ,,,21 线性相关，则)(,),(),(21m αααT T T 也线性相关。
证明 此命题的证明请读者自己证之。
注意命题7.1（3）的逆命题是不成立的。
即若m a a a ,,,21 线性无关，则)(,),(),(21m αααT T T 不一定线性无关。
(如前面的微分变换)§2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积为.(AB )(α)= A,(B (α)) (V ∈α).则线性变换的乘积也是线性变换.（自己验证）线性变换的乘法适合结合律，即(AB)C=A(BC).但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换D （)(x f ）=)(x f '. ℐ（)(x f ）=⎰xadt t f )( 的乘积D ℐ=ℰ，但一般ℐD ≠ℰ.对于任意线性变换A ，都有A ℰ=ℰA = A .二、线性变换的加法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的和A+B 为(A+B )(α)= A (α)+B (α) (V ∈α).则线性变换的和还是线性变换（自己验证）.线性变换的加法适合结合律与交换律，即A+(B+C)=(A+B)+C .A+B=B+A .对于加法，零变换ℴ与所有线性变换A 的和仍等于A ：A +ℴ=A .对于每个线性变换A ，可以定义它的负变换（-A ）： (-A )(α)=- A (α) (V ∈α).则负变换（-A ）也是线性变换，且A +（-A ）=ℴ.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC ，(B+C)A=BA+CA.三、线性变换的数量乘法数域P 中的数与线性变换A 的数量乘法定义为 k A =KA即k A (α)=K (A (α))=KA (α),当然A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：)(kl A =k (l A ),)(l k +A =k A +l A , k (A+B )=k A +k B , 1A =A .线性空间V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P 上一个线性空间.V 的变换A 称为可逆的，如果有V 的变换B 存在，使AB=BA=E .这时，变换B 称为A 的逆变换，记为A 1-.如果线性变换A 是可逆的，那么它的逆变换A 1-也是线性变换.既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n 个（n 是正整数）线性变换A 相乘时，就可以用个n A AA来表示，称为A 的n 次幂，简记为A n .作为定义，令A 0= E .根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：A n m +=A m A n ,(A m )n =Am n )0,(≥n m 当线性变换A 可逆时，定义A 的负整数幂为 A n -=(A 1-)n (n 是正整数).值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(AB )n ≠A n B n .设 011)(a x a x a x f m m m m +++=--是][x P 中一多项式，A 是V 的一个线性变换，定义f (A )=m a A m +1-m a A 1-m +…+0a E显然f (A )是一线性变换，它称为线性变换A 的多项式.不难验证，f (A )g ( A )=g ( A )f ( A ).即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.例 在线性空间n P ][λ中，求微商是一个线性变换，用D 表示.显然有D=n ℴ.其次，变换的平移 P a a f f ∈+→)()(λλ也是一个线性变换，用ℐa 表示.根据泰勒展开式)()!1()(!2)()()()1(12λλλλλ---++''+'+=+n n f n a f a f a f a f ,因之ℐa 实质上是D 的多项式：ℐa =ℰ+a D +!22a D 2+…+)!1(1--n a n D 1-n . §3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式n n x x x εεεξ+++= 2211 (1)其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211）=1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与ℬ在这组基上的作用相同，即A i ε=B i ε，,,,2,1n i =那么A = B .结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i =定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i =定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A (2ε)，…， A (n ε)）=A n ),,,(21εεε (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nnn n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例1 在4][x R 中，取基1,,,432231====ααααx x x 求微分运算D 的矩阵。
