第七章 线性变换

线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使

(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应

(1) a111 a212 ar1r
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:

第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。

x1 , x2 ,, xn P , 使 x1 1 x2 2 xn n
从而， ( ) x1 ( 1 ) x2 ( 2 ) xn ( n ).
由此知， ( ) 由 ( 1 ), ( 2 ),, ( n ) 完全确定.
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1 , 2 , , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
( 1 ) a11 1 a21 2 an1 n ( 2 ) a12 1 a22 2 an 2 n ( ) a a a n 1n 1 2n 2 nn n
＝x1 1 x2 2 xn n
＝x1 1 x2 2 xn n
由已知，即得 ＝ .
.
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定.
( 2 ) (0,1,0) (0,1,1) 0 1 1 2 1 3
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0) 0 1 0 2 0 3
1 0 0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
和 ：
数量乘积
k ： k k k P
记作 1 .
的逆变换: E
n
n 的n次幂： , n为自然数
的多项式： f ( ) am m a1 a0 E
5/36
二、 线性变换的简单性质

所以 是V的一个线性变换
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
2020-12-11
谢谢你的观赏
15
线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
2020-12-11
谢谢你的观赏
11
如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
2020-12-11
谢谢你的观赏
12
7.2 线性变换的运算
（4） ( )
2020-12-11
谢谢你的观赏
16
线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
2020-12-11
谢谢你的观赏
9
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式

这是一个线性变换，
称为由数k决定的数乘变换，可用 K 表示。 显然，当k=1时，我们便得恒等变换，
当k=0时，便得零变换。
例5 在线性空间P [ x ]或者 P [ x ]中，求微商是一 n 个线性变换。这个变换通常用D代表，即
D ( f ( x )) f '( x ).
例6 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成 实数域上一线性空间，以C(a,b)代表。在这个空 间中，变换 x
A ( B ( ) ) A ( B ( ) ) ( A B ) ( ) ( A B ) ( ) , ( A B ) ( k ) A ( B ( k ) ) A ( k B ( ) ) k A ( B ( ) ) k ( A B ) ( ) .
y ' sin cos y
来计算的。同样地，空间中绕轴的旋转也是一个 线性变换。
例2 设 是几何空间中一固定的非零向量，把 每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是一 个线性变换，以 表示它。用公式表示就是
( ) ( , ) ( , )
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
( A B )( ) A ( B ( )) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，( A B )( ) A ( B ( )) A ( B ( ) B ( ))
2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变。 换句话说，如果 是 1 , 2 , , r 的线性组合：
k 1 1 k 2
2
k r r ,

1
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下 定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系， 那么， 这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。 定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是 上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中， 对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。

(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N

第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。

第七章 线性变换§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算教学目的：变换简单地讲就是映射，对线性变换的学习是本章的基础。

教学重点：线性变换的性质，逆变换。

课时：4。

教学方法：讲练结合。

教学内容：一、定义：对P k V ∈∀∈∀,,βα，有)()()()()(ααβαβαkA k A A A A =⋅+=+则称V V A →:为V 上的线性变换。

二、几个特殊的线性变换：1、恒等（单位）变换E ：V E ∈∀=ααα,)(。

2、零变换0：V ∈∀=αα,0)(0。

3、数乘变换k ：V k k ∈∀=ααα,)(。

三、性质：1、)()(,0)0(ααA A A -=-=。

2、若rr k k k αααβ+++= 2211，则)()()()(2211r r A k A k A k A αααβ+++= 。

3 若r ααα,,,21 线性相关，则)(,),(),(21r A A A ααα 也线性相关。

练习：323P 1。

四、记{}的线性变换是V A A V M =)(1 定义乘法：对()()()()()ααB A AB V M B A =∈∀，，可证()V M AB ∈，设()VM C ∈有)()(BC A C AB =。

2、定义加法：()()()()αααB A B A +=+，可证)(V M B A ∈+。

则()V M 也是P 上的线性空间。

（若又有()()CABA A C B AC AB C B A +=++=+,，则()V M 作成一个环）。

五、逆变换：()V M A ∈若()V M B ∈∃，使EBA AB ==，则称A 是可逆的线性变换，而B 称为A 的逆变换，记为1-=AB ，则1-A 也是可逆的线性变换。

特别地：()EA A n A AA A n ==0,,个 ；()()0,,,≥==+n m AAA A A mnnmn mnm ；()()+--∈=Z n AAnn,1。

第7章 线性变换§1 线性变换的定义线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα，β称为α的象，α称为β的原象。

象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。

由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件（1） 对任意V ∈βα,有（2）)()()(βαβαT T T +=+；（3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有)()(ααkT k T =，则称变换T 为V 中的线性变换。

例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即E )()(V ∈=ααα 以及零变换ℴ，即ℴ)(0)(V ∈=αα都是线性变换.例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,.这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k时，便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '.例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换ℐ（)(x f ）=⎰xadt t f )( 是一线性变换.例7.5 在3R 中，定义下列变换：对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 3R ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 1321321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 3321101x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 2332213212x x x x x x x x试确定它们是否为线性变换？解 对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321,y y y x x x 3R 和数∈k R ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 1321132111332211332211321321)(y y y y x x x x y x y x y x y x y x yx y x y y y x x x=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 321321y y y x x x ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 32113211321321321x x x k x x x x k kx kx kx kx kx kx kx x x x k 。

因为
(A + B ) ( + ) = A ( + ) + B ( + ) = (A ( ) + A ( ) ) + (B () + B ( )) = (A ( ) + B ( ) ) + (A () + B ( )) = (A + B ) ( ) + ( A + B ) ( ) , (A + B ) ( k ) = A ( k ) + B ( k ) = k A ( ) + k B ( )
可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量
组. 例如零变换就是这样.
17
§2 线性变换的运算
线性变换的乘积
线性变换的加法
线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换
线性变换的多项式
举例
18
一、线性变换的乘积
1. 定义 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
定义2
设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
15
= -A ( ).
性质 2
线性变换保持线性组合与线性关系式不变.
换句话说，如果 是 1 , 2 , … , r 的线性组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后， A ( ) 是 A ( 1 ), A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合： A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) . 又如果 1 , 2 , … , r 之间有关系式
T( + ) = - ( + )+ 2( + , ) = [- + 2 ( , ) ] + [- + 2 ( , ) ] = T( ) + T ( )

第七章线性变换§7.1 线性映射=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射哪些是R3到自身的1．令（1）(ξ) =ξ+ α，α是R3的一个固定向量．（2）(ξ) = (2x1–x2 + x3，x2 + x3，–x3)（3）(ξ) =（x12，x22，x32）．（4）σ() =（cos x1，sin x2，0）．2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射是线性V，都有() = a，这里a是F中一个映射的充要条件是：对于任意3．令M n (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A M n (F).对任意(F)，定义(X) = A X–X A．X Mn(i)证明：是M n (F)是自身的线性映射。

(ii)证明：对于任意X，Y M n (F)，(XY) = (X)Y+X (Y) ．4．令F4表示数域F上四元列空间，取A=对于F4，令() = A．求线性映射的核和像的维数．5．设V和W都是数域F上向量空间，且dim V = n．令是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：1，…，s，s+1，…，n，使得1，…，s，是Ker()的一个基．证明：（i）(s+1)，…，(n)组成Im()的一个基；（ii）dim Ker() + dim Im() = n.。

6．设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2．证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) ．§7.2 线性变换的运算1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律．2．在F[x]中，定义：f (x) f’(x) ，：f (x) xf (x) ，这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ,都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有n–n = n n-13．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：（i）是满射； (ii)Ker() = {0}; (iii) 非奇异．当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？L(V)，V，并且，()，…，k-1()都不等于零，4．设但k() = 0．证明：，()，…，k-1() 线性无关．Ker()当且仅当2 = ；(1) Im()(2)(3)(i) 证明：是F n的一个线性变换，且n = ；(ii) 求Ker()和Im() 的维数．§7.3 线性变换和矩阵1．令Fn[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x) f’(x) ，求 关于以下两个基的矩阵：(1) 1，x ，x2，…，x n，(2) 1，x –c ，，…，，c F ．2．设F 上三维向量空间的线性变换关于基 {1，2，3}的矩阵是求关于基1 = 21 +32 +3，2= 31+42+3，3=1+22+23，的矩阵．设= 2 1 +2–3．求( )关于基1，2，3的坐标．3．设{1，2，…，n}是n 维向量空间V 的一个基．j= ，= ， j = 1，2，…，n ，并且1，2，…，n线性无关．又设是V 的一个线性变换，使得 (j) =，j = 1，2，…，n ，求关于基，，…，的矩阵．4．设A ，B 是n 阶矩阵，且A 可逆，证明，AB 与BA 相似．5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等．7．令M n (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A M n (F) ．对任意X M n (F)，定义(X) = A X–X A．由7.1习题3知是M n (F)的一个线性变换，设A =是一个对角形矩阵．证明，关于Mn (F)的标准基{Eij|1}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切a i–a j(1).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]8．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{1，2，…，n}和{1，2，…，n}，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数。

第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++3）设向量组n ααα,,,21 线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T ααα 也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21 是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++= n n a a a εεεεα22221122)(+++=n nn n n n a a a εεεεσ ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσ =A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσ ==则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21 下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。

高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。

二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。

只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。

某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。

三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。

特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。