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第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
MATLAB软件应用第七章线性变换
例1：求矩阵
122
212
221
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的特征值与特征向量，并将其对角化.
解1：建立m文件v1.m如下：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
E=eye(3);
syms x
f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式
solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值
%所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1.
%（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系syms y
y=5;
B=y*E-A;
b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系
%（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系y=-1;
B=y*E-A;
b2=sym(null(B)) %b2为（x2*E—A）X=0基础解系
T=[b1,b2] %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵
D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D
运行结果如下：
f =
x^3-3*x^2-9*x-5
ans =
5
-1
-1
b1 =
sqrt(1/3)
sqrt(1/3)
sqrt(1/3)
b2 =
[ sqrt(2/3), 0]
[ -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]
[ -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]
T =
[ sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0]
[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]
[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]
D =
[ 5, 0, 0]
[ 0, -1, 0]
[ 0, 0, -1]
解2：建立m文件v2.m如下：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量
[V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D
运行结果如下：
d =
-1
-1
5
V =
247/398 1145/2158 780/1351 279/1870 -1343/1673 780/1351 -1040/1351 1013/3722 780/1351 D =
-1 0 0 0 -1 0 0 0 5 ans =
-1 * * * -1 * * * 5
例2：求矩阵
110
430
102
A
-⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的特征值与特征向量，并判别A
是否可以对角化.
解：建立m文件v3.m如下：clc
a=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2]; [V,D]=eig(a)
det(V)
运行结果如下：
V =
0 881/2158 881/2158
0 881/1079 881/1079
1 -881/2158 -881/2158
D =
2 0 0
0 1 0
0 0 1
ans =
所以矩阵A 不能对角化。
例3：求例1中矩阵A 的迹，并验证11,()n n
i i i i A tr A λλ====∑∏.
解：建立m 文件v4.m 如下：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
fprintf('矩阵A 的迹=%d\n',trace(A)) %求矩阵A 的迹
d=eig(A) %求矩阵A 的特征值
b=sum(d,1); %矩阵d 元素求和
fprintf('矩阵A 特征根的和=%d',b)
fprintf('\n 矩阵A 的行列式=%d',det(A))
f=prod(d,1); %矩阵d 元素求积，即特征值求积 fprintf('\n 矩阵A 特征根的积=%d',f)
运行结果如下：
矩阵A 的迹=3
d =
-1
-1
5
矩阵A 特征根的和=3
矩阵A 的行列式=5
矩阵A 特征根的积=5>>
例4：对矩阵2121A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭
，求矩阵B ，使得2B A = 解：建立m 文件v5.m 如下：
clc
A=[2 1;-2 -1];
[V,D]=eig(A)
B=V*sqrt(D)*inv(V)
B^2
运行结果如下：
V =
985/1393 -1292/2889 -985/1393 2584/2889
D =
1 0
0 0
B =
2 1 -2 -1 ans =
2 1 -2 -1
例5：对实对称矩阵
222
254
245
A
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
--
⎝⎭
，求正交矩阵U，使得T
U AU为
对角矩阵
解：建立m文件v6.m如下：
clc
A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; %实对称矩阵A
[P,D]=eig(A) %矩阵A的对角化
P'*A*P
运行结果如下：
P =
-963/3230 2584/2889 1/3 -963/1615 -1292/2889 2/3 -963/1292 0 -2/3
D =
1 0 0
0 1 0
0 0 10
ans =
1 0 *
* 1 * * 0 10
【练习与思考】
1、求下列矩阵的特征值与特征向量，判别能否对角化，若能，将其
对角化
（1）
01
10
A
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
（2）
100
213
111
A
⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
2、对矩阵
953
043
001
A
-
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，求矩阵B，使得2B A
=。
