第七章线性变换总结篇(高等代数)

线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。

1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。

则称T为从V到W的线性变换。

1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。

若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。

1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。

（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。

二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。

（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。

2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。

（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。

2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。

第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。

第 7章 线性变换7、1知识点归纳与要点解析一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。

注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2、线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么:σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3、线性变换的性质设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈L 。

性质1、 ()()00,σσαα==-;性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。

性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL也线性无关。

注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果:11111221221122221122s s s sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L LL LL记:()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换,12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L LLLL记:()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L那么:()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L M M M L设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LM M M L,12,,,m ηηηL 就是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηηL 就是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组,那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就就是()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的秩等于秩()B 。

线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。

2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。

根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。

二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。

设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。

线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。

由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。

另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。

线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。

因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。

设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。

这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。

⾼等代数7线性变换⾼等代数7 线性变换⽬录线性变换的定义线性空间V到⾃⾝的映射通常称为V的⼀个变换。

定义线性空间V的⼀个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域P中的任意数k都有A(α+β)=A(α)+A(β)A(kα)+k A(α)线性变换A保持向量的加法和数量乘法。

恒等变换、单位变换 E(α)=α (α∈V)零变换0 0(α)=0 (α∈V)数乘变换设V是数域P上的线性空间，k是数域P上的某个数，定义V的变换：α→kα,α∈V这是⼀个线性变换，称为由数k决定的数乘变换。

简单性质1. 线性空间V的⼀个线性变换A，则A(0)=0,A(−a)=−A(a)2. 线性变换保持线性组合不变β=k1α1+k2α2+⋯+k rαr A(β)=k1A(α1)+k2A(α2)+⋯+k r A(αr)3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

线性变换的运算线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法运算乘法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的乘积AB为(AB)(α)=A(B(α)) (α∈V)线性变换的乘积也是线性变换。

适合结合律 (AB)C=A(BC)⼀般是不可交换的单位变换E EA=AE=A加法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的和A+B为(A+B)(α)=A(α)+B(α) (α∈V)线性变换的和还是线性变换交换律 A+B=B+A结合律 (A+B)+C=A+(B+C)零变换0 A+0=A负变换 A+(−A)=0 .负变换也是线性的。

线性变换乘法对加法具有左右分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA数量乘法数域P中的数与线性变换的数量乘法为k A=KA(kl)A=k(l A)(k+l)A=k A+l Ak(A+B)=k A+k B1A=A线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上的⼀个线性空间逆变换V上的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使 AB=BA=E这时，变换A称为A的逆变换，称为A−1如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A−1也是线性变换。

线性代数高等代数知识点总结线性代数和高等代数是数学中重要的两个分支，它们是数学中的基础课程，也是其他学科例如物理学、计算机科学等的基础。

本文将对线性代数和高等代数的主要知识点进行总结。

一、线性代数（Linear Algebra）：线性代数研究向量空间以及向量空间中的线性变换。

它包含以下重要的知识点：1. 向量空间（Vector Space）：向量空间是由向量组成的集合，满足一定的运算规则和性质。

向量空间的定义、性质和例子是线性代数的基础。

2. 线性变换（Linear Transformation）：线性变换是一种保持向量空间线性运算性质的映射。

线性变换的定义、矩阵表示和性质是线性代数的重要内容。

3. 矩阵（Matrix）：矩阵是线性代数中的基本工具，用于表示线性变换和解线性方程组。

矩阵的定义、运算和性质十分重要。

4. 线性方程组（Linear Equation System）：线性方程组是由一组线性方程构成的方程系统。

线性方程组的求解方法、解空间和矩阵表示是线性代数的关键概念。

5. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：特征值和特征向量是线性变换中十分重要的概念，用于描述变换的性质。

特征值和特征向量的定义、计算和应用是线性代数的重点。

6. 内积空间（Inner Product Space）：内积空间是定义了内积操作的向量空间。

内积空间的性质、正交性和投影定理是线性代数的重要内容。

7. 正交性和正交矩阵（Orthogonality and Orthogonal Matrix）：正交性是内积空间中的重要概念，用于描述向量之间的垂直关系。

正交矩阵的性质和应用是线性代数的核心内容。

8. 行列式（Determinant）：行列式是矩阵的一种特殊标量，用于衡量矩阵对线性变换的影响。

行列式的计算、性质和应用是线性代数的重点内容。

9. 线性相关性和线性无关性（Linear Dependence and Linear Independence）：线性相关性和线性无关性用于描述向量或向量组之间的关系。

第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。

二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。

只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。

某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。

三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。

第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。

⾼等代数第七章线性变换复习讲义第七章线性变换⼀.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的⼀个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的⼀个线性变换。

（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。

（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性⽆关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性⽆关。

3.线性变换的运算4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，如果线性变换A和B在这组基上的作⽤相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，对于V 中任意⼀组向量α1，α2，…,αn,存在唯⼀⼀个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n.⼆．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的⼀组基，A是V中的⼀个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn⽤矩阵表⽰就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a 11 a 12 …… a 1na 21 a 22 …… a 2nA= ……a n1 a n2 …… a nn称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。