控制系统状态空间设计

第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。

1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。

•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。

状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。

例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。

试确定其状态变量和状态方程。

解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。

第8章控制系统的状态空间分析与综合第1~7章涉及的内容属于经典控制理论的范畴，系统的数学模型是线性定常微分方程和传递函数，主要的分析与综合方法是时域法、根轨迹法和频域法。

经典控制理论通常用于单输入－单输出线性定常系统，其缺点是只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态，不能有效处理多输入－多输出系统、非线性系统、时变系统等复杂系统的控制问题。

随着科学技术的发展，对控制系统速度、精度、适应能力的要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。

1960年前后，在航天技术和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是美国学者卡尔曼引入了状态空间的概念。

它是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，两个重要的内容如下。

（1）最优控制：在给定的限制条件和评价函数下，寻求使系统性能指标最优的控制规律。

（2）最优估计与滤波：在有随机干扰的情况下，根据测量数据对系统的状态进行最优估计。

本章讨论控制系统的状态空间分析与综合，它是现代控制理论的基础。

8.1 控制系统的状态空间描述8.1.1 系统数学描述的两种基本方法统的内部结构和内部变量，如传递函数；另一种是状态空间描述（内部描述），它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成。

一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。

外部描述虽能反映系统的外部特性，却不能反映系统内部的结构与运行过程，内部结构不同的两个系统也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；内部描述则能全面完整地反映出系统的动力学特征。

8.1.2 状态空间描述常用的基本概念 1.输入和输出由外部施加到系统上的激励称为输入，若输入是按需要人为施加的，又称为控制；系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出，若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。

状态空间分析与设计状态空间分析与设计是系统工程与控制工程中常用的分析和设计方法。

它通过建立系统的状态空间模型，对系统的动态行为进行定性和定量分析，并在此基础上进行系统设计和优化。

本文将深入介绍状态空间分析与设计的相关概念、原理和应用。

一、状态空间分析与设计概述状态空间是系统在任意时刻的状态所组成的集合。

在状态空间中，系统的每个状态都可以由一组状态变量完全描述。

因此，状态空间分析与设计的核心是建立系统的状态方程和输出方程，并利用这些方程进行性能分析和控制器设计。

二、状态方程与输出方程状态方程描述了系统状态的演变规律。

它是一个一阶微分方程，用矩阵形式表示为：x' = Ax + Bu其中，x是状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入矩阵，u 是外部输入。

状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。

输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。

它是一个线性方程，用矩阵形式表示为：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。

输出方程可以用来分析系统的可控性和可观性，以及设计满足特定输出要求的控制器。

三、状态空间分析方法1. 稳定性分析利用状态方程，可以通过特征值分析判断系统的稳定性。

对于线性时不变系统，当所有特征值的实部小于零时，系统是稳定的。

通过分析系统的特征值，可以设计出稳定性更好的控制器。

2. 响应分析利用状态方程和输出方程，可以分析系统的响应特性。

包括阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。

通过分析系统的响应，可以评估系统的性能，并设计出满足要求的控制器。

3. 控制器设计状态空间方法可以直接用于控制器设计。

常见的控制器设计方法包括状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等。

这些方法都是基于状态空间模型进行的，可以根据系统的要求选择合适的控制器设计方法。

四、状态空间分析与设计应用状态空间分析与设计在工程实践中得到广泛应用。

例如，它可以用于电力系统的稳定性分析和控制、飞行器的自动控制系统设计、机械振动控制等。

控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一，它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。

状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具，其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。

一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态，包括系统的状态变量和输入输出关系。

在控制系统中，状态变量是指影响系统行为的内部变量，如电压、速度、位置等。

通过状态空间模型，可以将系统行为转化为线性代数方程组，从而进行分析和设计。

1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。

一般形式的状态方程可以表示为：x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统在时刻t的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u(t)是系统的控制输入，y(t)是系统的输出，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。

2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。

通过这些矩阵，可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。

3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中，可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。

可控性是指通过调节控制输入u(t)，系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。

可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。

可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。

可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。

二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。

1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。

主要分析包括零输入响应和零状态响应。

零输入响应是指当控制输入u(t)为零时，系统的输出y(t)变化情况。

Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n 阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。

传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。

现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。

系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。

1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1（6P 例1.1.1） 如下面RLC （电路）系统。

试以电压u 为输入，以电容上的电压C u 为输出变量，列写其状态空间表达式。

例1-1图 RLC 电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论：消去变量)(t i ，得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程：)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换：)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数：202202)(ωζω++=s s s G ，LC10=ω，L R 2=ζ 现代控制理论：选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量，2=n （2个储能元件）；1个输入为)(t u ，1=m ；1个输出C u y =，1=r 。