专题一圆周运动绳杆模型

圆周运动绳杆模型1圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型:一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。

小球能到达最高点（刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力).类此模型:竖直平面内的内轨道(2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 。

（杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力。

） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0〈v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v ＝gr时,杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时,杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道。

1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2)在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑,到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1）最高点水不流出的最小速率。

（2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用 【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆,一端拴一质量m=0。

4 kg 的小球,使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动,求：（1)小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v 1=3。

0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何?【训练3】如图所示,长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力,则（ )2vR A 。

轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
由上述三式知 a0＝4g
设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为
FN，根据牛顿运动定律知
在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0 即 FN＝－mg
因为 F 为正值、FN 为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子
的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
【答案】 (1)2π
R g
(2)小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军．如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求：
答案：(1)8 m/s (2)560 N 2800 N
了圆轨道
离圆心
(2)当 0<v< gr时，－FN 支＋mg＝mvr2，FN 背向 圆心，随 v 的增大而减 小
(3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v> gr时， FN 拉＋mg＝mvr2，FN 指

一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体， 按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑 (如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动， 该类运动常有临界问题， 并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
解析：根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为 v，最 高点最小速度为零，由最低点到最高点 1 2 则 mgh＝ mv ，h＝2l， 2 所以 v＝ 2gh＝2 gl＝8 m/s.
(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重力 FN＝mg＝560 N，在最低点做圆周运动．设杠对张成龙的作用力 v2 v2 为 FN′，则 FN′－mg＝m l ，故 FN′＝mg＋m l ＝560 N＋ 82 56× N＝2800 N，由牛顿第三定律，张成龙对杆的作用力大 1.6 小为 2800 N.
由上述三式知 a0＝4g 设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为 FN，根据牛顿运动定律知 在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg 即 FN＝－mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0
因为 F 为正值、FN 为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子 的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
【小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军． 如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求： (1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果； (2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．

当环对小球的弹力向下时：
解得小球的速率
21
例6、如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距 球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面 内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用 力，则下列说法正确的是（ ）
A．数据a与小球的质量无关 B．数据b与小球的质量无关 C．比值 只与小球的质量有关，
与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量
和圆周轨道半径
.
练4、如图所示，质量为M＝1kg的薄壁细圆管竖直放置在固定的底座上，圆管内部光
滑，圆半径比细管的内径大得多．已知圆的半径R＝0.4m，一质量m＝0.5kg的小球，
二、杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周
运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度为v2时，
杆的受力与速度的关系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度为v1时，
杆的受力与速度的关系怎样？
A
杆球模型：
B
F3 v2
mg F2
o
F1
v1 A mg
最低点： 最高点：
F1
A．2m/s C．4m/s
B．3m/s D．5m/s
例2、如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝
0.4m，最低点处有一小球（半径比r小的多），现给小球一水平向右的初
速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足（g＝10m/s2）（ ） ①v0≥0 ②v0≥4m/s ③v0≥2 m/s ④v0≤2 m/s
圆周运动的绳杆模型

轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：

当v=v0，小球刚好能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度 必须满足：v gr
问题2：杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小 球在竖直平面内做圆周运动。 试分析： B （1）当小球在最低点A的速度 为v2时，杆的受力与速度的关 系怎样？ （2）当小球在最高点B的速度 为v1时，杆的受力与速度的关 系怎样？
A
问题2：杆球模型： B
F2
F3
v2
mg
o
v1
F1
A mg
v1 最低点：F1 mg m L 2 v2 最高点：F2 mg m 拉力 L 2 v2 mg - F3 m 支持力 L 思考:最高点的最小速度是多少?
2
最小速度v=0，此时mg=F3
问题2：杆球模型： 2 v2 F3 最高点：F2 mg m 拉力 B v2 L 2 v2 mg mg - F3 m 支持力 F2 L o 思考:在最高点时，何时杆表现为 F1 拉力？何时表现为支持力？试求 其临界速度。 v1 A mg 临界速度：F 0, v0 gL 当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放 置的管型轨道，其半径为R， 管内有一质量为m的小球有做 圆周运动，小球的直径刚好略 小于管的内径。问： （1）小球运动到最高点时，速度与受力的关系 如何？ （2）小球运动到最低点时，速度与受力的关系 又是如何？
F3
V2
G F2
;
2 v1 最低点：F 1 mg m R

B C
（二）轻杆模型 A）特点： 小球在竖直平面内做圆周运动时，物体能被支持 B）临界条件 （1）能否到达最高点的临界条件: V=0
(2)拉力还是支持力的临界条件： C）讨论： F
1）当 V＞ rg 时，杆对小 球施加拉力，且速度越大， 拉力越大（此时杆子相当于 绳子） 2）当 0＜V＜ rg 时，杆对球施加支 持力，速度越大，支持里越小
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不 得小于 gr v gr 即：
V rg
K

E G
例1．如图所示，质量为m的小球置于正方
体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。 某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的 匀速圆周运动，已知重力加速度为g，问： 图5－7－6
要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，
则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
[思路点拨] 解答本题时应注意： 1小球在最高点的合力等于向心力。 2通过最高点的临界
[解析 ] 设此时盒子的运动周期为 T 0，因为在最高点时
盒子与小球之间恰好无作用力，因此小球仅受重力作用。 根据牛顿第二定律得
4 2 mg m 2 r T0
，
得
T0 2
r g
1）质量为m的小球在竖直平面内的圆轨道的内则运动， 经过最高点而不脱离轨道的临界速度为V，当小球以2V 的速度经过最高点时，对轨道的压力是多大？ 解析: v m 由临界速度得：mg= r ， 当小球的速度为2v时，
（2）当V2=4m/s时，杆受到的力大小，是拉力还 是压力？
A
B
3)如图：在A与B点，杆对球 的力是（ AD ） A）A处可能为拉力，B处为拉力 B）A处可能为拉力，B处为压力 C）A处可能为支持力，B处为压力 D）A处可能为支持力，B处为拉力

悬索桥
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够 悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球 连接，通过地球引力与绳杆模型的拉 力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运 动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月 球连接，通过月球引力与绳杆模型的 拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆 周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马 的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索 也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够 承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个 固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动 中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系 统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与 速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时， 若没有向心力作用，物体将沿 切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心 力与向心力大小相等、方向相 反。
离心力的大小与物体的质量、 速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析

• 对应力的计算
结
• 对应能量的计算
- mg
=
mv 2 r
G
24
竖
物理情景
直
平
细绳拉着小球在竖直 平面内运动
面
内
圆
小球在竖直放置的光
周
滑圆环内侧运动
运
动
小球固定在轻杆上在
的
竖直面内运动
临
界
问
小球在竖直放置的光 滑管中运动
题
图示
在最高点的临界特点
T=0
mg
v2 m
r
v gr
N=0
mg
v2 m
r
v gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
【解答】解：A、B、在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg+T＝m
得：T＝
- mg…①
由图象知，T＝0时，v2＝b．图象的斜率k＝ ，则得： ＝
得绳长 L＝ 当v2＝0时，T＝﹣a，由①得：﹣a＝﹣mg，得 g＝ ；故A正确，B正确；
C、只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得：
A．①④ C．③④
B．②④ D．②③
.
【解答】解：对于第（1）种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高 点处需要满足的条件是mg≤m ，又根据机械能守恒定律有
mv2+2mgr＝
，可求得v0≥2 m/s；
对于第（2）种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球 上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr≥
则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
.

专题：绳、杆模型最高点受力分析 （竖直平面内圆周运动）
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖 直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时， 即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时， 即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展： 若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：

第3讲 匀速圆周运动及其应用
匀速圆周运动 角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ (考纲要求)
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 的时间内通过的圆弧长_相__等__，就是匀 速圆周运动．
(2)特点：加速度大小_不__变__ ，方向始终 指向_圆__心__ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_不__变__ 、方向始终 与_速__度__方向垂直且指向圆心．
B．人和车的速度为 grsin θ
C．桶面对车的弹力为cmosgθ
D．桶面对车的弹力为smingθ
思路导图
解析 对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的 边角关系和向心力公式可列方程：
Ncos θ＝mg， mgtan θ＝mvr2. 解得 v＝ grtan θ，N＝cmosgθ. 答案 AC
展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，
运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽
略空气阻力，g＝10 m/s2)
( )．
A.600 N
B．2 400 N
C．3 000 N
D．3 600 N
图4－3－9
教你审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动 属于竖直面内圆周运动的杆模型
牛顿第二定律和机械能守恒定律
坚直平面内圆周运动的绳杆模型考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型常见类型过最高界条件由mgmgr由小球能运动即可得v考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型讨论分析1过最高点时绳轨道对球产生弹力fgr在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道背向圆心随v的增大而减小的增大而增大考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验如图439所示质量为60kg的体操运动员做单臂大回环用一只手抓住单杠伸展身体以单杠为轴做圆周运动

一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。

2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球受力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上受力示意图过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，mg－F N＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心，并随v的增大而增大3.竖直面内圆周运动问题的解题思路二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练（一）例题例1：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v <gR ，则有：mg －F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．（二）杆—球模型对点演练：1.如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( ) A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gL C ．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L ，解得：F ＝1.5mg ，根据牛顿第三定律可知，C 正确，D 错误．2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。

绳球模型和杆球模型
竖直平面内的圆周运动与临界问题
基本思路和方法：
以匀速圆周运动规律为基础，建立模型，根据物体做 匀速圆周运动时合力提供向心力，通过受力分析得到提供 的向心力，利用向心力公式得到需要的向心力，联立求解。
基本思路和方法：
合外力
受力分析
F提供
向心力公式
F需要
F提供 = F需要
关于两个模型需要注意两点：
v
绳球模型(最低点）
延伸 若细绳所能承受的最大张力为Fmax，试求小球通过最低点时，允许的最大速度 vmax。
绳球模型(最高点）
例 如图，长为l的细绳拉质量为m的小球在竖直面内做圆周运动，当小球以速度v通 过圆周最高点时，试求绳中张力F的大小。试求小球通过圆周最高点时所允许的最小速度vmin。
绳球模型 —— 圆环轨道、水流星
杆球模型(最低点）
例 如图，长为l的轻杆拉质量为m的小球在竖直面内做圆周运动，当小球以速度v通 过圆周最低点时，试求轻杆中弹力F的大小。
v
杆球模型(最高点）
例 如图，长为l的轻杆拉质量为m的小球在竖直面内做圆周运动，当小球以速度v通 过圆周最高点时，试求轻杆中拉力F的大小。
练习
例2 （多选）如图所示，质量可以不计的细杆的一端固定着一个质量为 m的小球，另一端能绕光滑的水平轴O转动.让小球在竖直平面内绕轴O做 半径为l的圆周运动，小球通过最高点时的线速度大小为v.下列说法中正确 的是( ) A. v不能小于 gl B. v＝ gl 时，小球与细杆之间无弹力作用 C. v大于 gl 时，小球与细杆之间的弹力随v增大而增大 D. v小于 gl 时，小球与细杆之间的弹力随v减小而增大
➢ 因为重力影响，模型中小球无法做匀速圆周运动， 但在最低点和最高点，受力符合匀速圆周运动的特点， 所以，我们只研究最低点和最高点。 ➢ 绳只能产生沿绳方向的拉力，杆可以产生任意方向 的弹力。

（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即rmvmg2临界=⇒rg=临界υ（临界υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。

②能过最高点的条件：临界υυ≥。

此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mgrvmN-=2③不能过最高点的条件：临界υυ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。

（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0=临界υ。

②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<rg时，杆对小球有竖直向上的支持力rvmmgN2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。

当rg=υ时，N=0；当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力mgrvmN-=2，其大小随速度的增大而增大。

③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。

GF当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。

当v=gr 时，N=0。

当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大。

④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。

在最高点的v 临界=gr 。

当v=gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动。

第19讲竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题1．（2022·江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略．空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L．如图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物．在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动，运动到A点停下．然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。

（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F n。

（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。

（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上．货物与空间站同步做匀速圆周运动．已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1：F2。

【解答】解：（1）货物做匀速圆周运动，向心力F n=m⋅2Lω2=2mLω2（2）设货物到达B点的速度为v，根据匀变速规律L=v2t，得v=2L t货物的加速度a=vt=2Ltt=2Lt2根据牛顿第二定律，机械臂对货物的作用力F＝ma=2mL t2机械臂对货物做功的瞬时功率P＝Fv=2mLt2×2L t=4mL2t3（3）设地球质量为M，空间站的质量为m0，地球对空间站的万有引力为F，根据万有引力定律F=GMm 0r 2① 地球对货物的万有引力F 2=G Mm (r−d)2②联立①②得m 0m=Fr 2F 2(r−d)2③设空间站做匀速圆周运动的角速度为ω0，根据牛顿第二定律对空间站F =m 0rω02④ 对货物F 2−F 1=m(r −d)ω02⑤联立③④⑤解得F 1F 2=r 3−(r−d)3r 3答：（1）货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小为2m ω2L ； （2）货物运动到B 点时机械臂对其做功的瞬时功率为4mL 2t 3；（3）货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比为r 3−(r−d)3r 3。

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一、绳球模型
长为L的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动。
试分析：
（1）当小球在最低点A 的速度为v1时，绳
的拉力与速度的关系如何？
（2）当小球在最高点B 的速度为v2 时，绳
的拉力与速度的关系又如何？
v2 B
o
L
A
v1
.
v2 mg
T2
o
T1
v1 mg
最低点： T1
mg
m
v12 L
最高点：T2
2
教
• 绳球模型
学
• 杆球模型
目
• 模型推广及应用
标
知识回顾：
向心加速度公式： a
r 2
v2 r
向心力公式： F
ma
mr2
m v2 r
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在 不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变 速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置 ──最高点和最低点。两类模型——轻绳类和轻杆类。
最高点：T1+mg＝m
②
最低点：T2﹣mg＝m
③
从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：
＝2mgL…④
联立②③④解得：T2﹣T1＝6mg，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a，故C错误； D、若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中开始时杆对小球的作用力为支持 力；当转过90°后，小球的向心力必定由杆的拉力提供，所以可知，在小球从最高点由静止转 过90°的过程中，杆对小球的作用力开始时是支持力，然后是拉力。故D错误。 故选：AB。
A．2m/s C．4m/s

高三物理一轮复习资料【绳杆模型】1．绳杆模型的特点无论是轻绳还是轻杆，都要先进行整体或局部的受力分析，然后再通过共点力平衡求解．3．运动的合成与分解中的绳杆模型无论是轻绳还是轻杆，都先要进行整体或局部的受力分析，然后结合运动的合成与分解知识求解即可．4．竖直面内做圆周运动的绳杆模型(1)通常竖直面内的圆周运动只涉及最高点或最低点的分析，在这两个点有F合＝F向，由牛顿第二定律列出动力学方程即可求解．(2)研究临界问题时，要牢记“绳模型”中最高点速度v≥gR，“杆模型”中最高点速度v≥0这两个临界条件．视角1：平衡中的绳杆模型1．图甲中水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°；图乙中轻杆通过细绳MN和铰链固定在竖直的墙上，在N端同样挂上质量m＝10 kg的重物，细绳与水平轻杆ON的夹角θ＝30°，g取10 m/s2，则下列说法正确的是()甲乙A ．图甲中B 点受到滑轮的支持力的方向水平向右B ．图甲中滑轮受到绳子的作用力大小为100 NC ．图乙中轻杆受到的压力大小为200 ND ．图乙中细绳MN 的拉力为100 3 N 解析：B 对图甲中轻绳的B 点受力分析，滑轮受到绳子的作用力应为图中滑轮下端和滑轮上端两段绳中拉力F 1和F 2的合力F ，因同一根绳上张力大小处处相等，都等于物体的重力，即F 1＝F 2＝G ＝mg ＝100 N ，由于拉力F 1和F 2的夹角为120°，则由平行四边形定则得F ＝100 N ，所以滑轮受绳的作用力大小为100 N ，方向与水平方向成30°角，斜向左下方，A 错误，B 正确；对图乙中N 点进行受力分析，N 点受到重物的拉力F 1′和轻绳上端细绳的拉力T 以及轻杆的支持力F 3的共同作用，由于重物静止，则有F 1′＝G ＝100 N ，根据平衡条件得T sin θ＝F 1′，T cos θ＝F 3，解得T ＝200 N ，F 3＝100 3 N ，根据牛顿第三定律得，轻杆受到的压力F ′＝F 3＝100 3 N ，故C 、D 错误．2．如图所示，在竖直平面内，一光滑杆固定在地面上，杆与地面间夹角为θ，一光滑轻环套在杆上．一个轻质光滑的滑轮(可视为质点)用轻绳OP 悬挂在天花板上，另一轻绳通过滑轮系在轻环上，现用向右的拉力缓慢拉绳，当轻环静止不动时，与手相连一端绳子水平，则OP 绳与竖直方向之间的夹角为( )A.π2B ．θ C.π4＋θ2 D ．π4－θ2解析：D 只有绳子的拉力垂直于杆的方向时，绳子的拉力沿杆的方向没有分力，此时圆环能保持静止，由几何关系可知，QP 段绳子与竖直方向之间的夹角是θ；再对滑轮分析，受三个拉力，由于OP 段绳子的拉力与另外两个拉力的合力平衡，而另外两个拉力大小相等，故PO 在另外两个拉力的角平分线上，结合几何关系可知，OP 与竖直方向的夹角为π4－θ2，D 正确． 视角2：运动的合成与分解中的绳杆模型3．如图所示，两个相同的小球P 、Q 通过铰链用刚性轻杆连接，P套在光滑竖直杆上，Q 放在光滑水平地面上．开始时轻杆贴近竖直杆，由静止释放后，Q 沿水平地面向右运动．下列判断正确的是( )A．P触地前的速度一直增大B．P触地前的速度先增大后减小C．Q的速度一直增大D．P、Q的速度同时达到最大解析：A开始时P、Q的速度都为零，P在重力和轻杆弹力的作用下做加速运动，而Q由于轻杆弹力的作用，则开始时Q加速，后来Q减速，当P到达底端时，P只有竖直方向的速度，而水平方向的速度为零，故Q的速度为零，所以在整个过程中，P的速度一直增大，Q的速度先增大后减小，故A正确，B、C、D错误；故选A.4．如图所示，小车A通过一根绕过定滑轮的轻绳吊起一重物B，开始时用力按住A使A不动，现设法使A以速度v A＝4 m/s向左做匀速运动，某时刻连接A车右端的轻绳与水平方向成θ＝37°角，设此时B的速度大小为v B，(cos 37°＝0.8)，不计空气阻力，忽略绳与滑轮间摩擦，则()A．A不动时B对轻绳的拉力就是B的重力B．当A车右端的轻绳与水平方向成θ角时，重物B的速度v B＝5 m/sC．当A车右端的轻绳与水平方向成θ角时，重物B的速度v B＝3.2 m/sD．B上升到滑轮处前的过程中处于失重状态解析：C若A不动时B对轻绳的拉力大小等于B的重力大小，但两个力性质不同，不是同一个力，A错误；小车的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳的方向的两个运动，因A车右端的绳子与水平面的夹角为37°，由几何关系可得v B＝v A cos 37°＝3.2 m/s，B错误，C正确；因小车做匀速直线运动，而θ逐渐变小，故v B逐渐变大，物体有向上的加速度，则B处于超重状态，D错误．视角3：竖直面内做圆周运动的绳杆模型5．(多选)如图所示，一长为L的轻质细杆一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点转动，现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为g(g为当地的重力加速度)，下列说法正确的是()A．小球的线速度大小为gLB．小球运动到最高点时杆对小球的作用力竖直向上C．当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力方向不可能指向圆心OD ．轻杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为2mg解析：ACD 根据向心加速度a ＝v 2r ，代入得小球的线速度v ＝gL ，所以A 正确；需要的向心力F ＝ma ＝mg ，所以在最高点杆对小球的作用力为零，故B 错误；小球做匀速圆周运动，合外力提供向心力，故合外力指向圆心，当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力F ＝(mg )2＋(ma )2，方向不指向圆心O ，所以C 正确；轻杆在匀速转动过程中，当转至最低点时，杆对小球的作用力最大，根据牛顿第二定律：F －mg ＝m v 2r，得轻杆对小球作用力的最大值为F ＝2mg ，所以D 正确．6．如图所示，A 、B 两小球用不可伸长的轻绳悬挂在同一高度，其质量之比为2∶1，悬挂A 、B 两球的绳长之比也为2∶1.现将两球拉起，使两绳均被水平拉直，将两球由静止释放(不计空气阻力)，两球运动到最低点时，轻绳对A 、B 两球的拉力大小之比为( )A ．1∶1B ．2∶1C ．3∶1D ．4∶1解析：B 对任意一球，设绳子长度为L .小球从静止释放至最低点，以最低点所在平面为零势能面，由机械能守恒得：mgL ＝12m v 2，解得：v ＝2gL ；在最低点，拉力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：F －mg ＝m v 2L，解得，F ＝3mg ，与L 无关，与m 成正比，所以A 、B 球所受绳的拉力比为2∶1，故B 正确；A 、C 、D 错误．视角4：绳杆组成的连接体问题7．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B (可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B 球的速度大小为v 2，则( )A ．v 2＝12v 1 B ．v 2＝2v 1 C ．v 2＝v 1 D ．v 2＝3v 1解析：C 根据题意，将A 球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时B球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向．根据矢量关系则有，A球：v∥＝v1sin θ，而B球，v∥＝v2sin θ，由于同一杆，则有v1sin θ＝v2sin θ，所以v2＝v1，故C 正确，A、B、D错误．8．如图所示，物体A、B由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳连接，由静止开始释放，在物体A加速下降的过程中，下列判断正确的是()A．物体A和物体B均处于超重状态B．物体A和物体B均处于失重状态C．物体A处于超重状态，物体B处于失重状态D．物体A处于失重状态，物体B处于超重状态解析：D A加速下降，则加速度向下，轻绳的拉力小于重力，故A处于失重状态；同时B加速上升，则加速度向上，轻绳的拉力大于重力，故B处于超重状态，故A、B、C 错误，D正确，故选D.。