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精心整理的运筹学重点6.非线性规划N L P

精心整理的运筹学重点6.非线性规划N L P

∂f 2 ( x) ∂f ( x ) ∂x 2 ∂x x 2,0 1 / 2 , 0 0 1 1 2 0 −1 H (X ) = = ,[ H ( X )] = 0,1/50 ∂f ( x) ∂f 2 (x ) 0,50 2 ∂ x x ∂ x 2 1 2
2 r1* (5 − x12 − x2 )=0
r2* (6 − 3 x1 − x2 ) = 0 r1* ≥ 0 r2* ≥ 0
情况 １：假设两约束完全不起作用，此时 r1* = r2* = 0 情况 ２：第一个约束起作用，第二个不起作用， r2* = 0 ，检验知是一个 Ｋ－Ｔ 点。 情况 ３：第二个约束起作用，第一个不起作用， r1* = 0 情况 ４：两个约束完全起作用， r1* > 0, r2* > 0 ２）带约束问题最优化方法－－－－－制约函数法（外点法、内点法） 外点法：将有约束问题转成无约束极值问题，分两种情况 １． 等式约束
∂f ( x) ∂x 2 x 4 ∇f ( x ) = 1 = 1 , ∇ f ( x0 ) = ∂f ( x) 50 x2 100 ∂x 2
0 0 0 0
则 X + λ d = X − λ∇f ( X ) = [ 2 − 4 λ , 2 − 100λ ]
４．带约束问题的最优化方法
min f ( x) s.t g i ( x) ≥ 0
１）最优性条件 Ｋ－Ｔ 条件（判断最优的条件）
∇f ( x* ) − ∑ rj*∇g j ( x * ) = 0
* r* j g j(x ) = 0
r* j ≥0
2 2 min f ( x) = 2 x1 + 2 x1x2 + x2 −10x1 − 10x 2 2 例求 5 − x12 − x2 ≥0

非线性规划

非线性规划

非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。

与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。

非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。

非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。

满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。

为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。

非线性规划的难点在于寻找全局最优解。

由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。

因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。

非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。

生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。

非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。

另一个应用是在工程学中的优化设计问题。

例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。

非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。

在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。

例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。

非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。

总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。

它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。

尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。

非线性规划知识点讲解总结

非线性规划知识点讲解总结

非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。

一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。

目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。

2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。

目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。

（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。

该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。

梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。

（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。

该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。

牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。

（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。

该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。

拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。

3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。

以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。

（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。

通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。

运筹学中的非线性规划问题-教案

运筹学中的非线性规划问题-教案

教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。

1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。

1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。

1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。

1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。

1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。

1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。

1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。

1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。

1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。

1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。

1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。

二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。

2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。

2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。

2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。

2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。

非线性规划在运筹学中的理论与实践

非线性规划在运筹学中的理论与实践

非线性规划在运筹学中的理论与实践非线性规划是数学规划中的一个重要分支，它在运筹学中具有广泛的应用。

本文将从理论与实践两个方面讨论非线性规划在运筹学中的作用。

一、非线性规划的理论基础非线性规划是研究目标函数和约束条件都为非线性函数的优化问题。

在运筹学中，非线性规划的理论基础主要包括两个方面：一是非线性函数的性质和优化方法；二是约束条件的处理和求解。

1. 非线性函数的性质和优化方法非线性函数具有丰富的性质，如凸性、可导性、二次性等。

这些性质为非线性规划问题的解决提供了理论基础。

在优化方法方面，常用的非线性规划算法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些算法可以根据问题的特点选择合适的方法来求解。

2. 约束条件的处理和求解与线性规划相比，非线性规划的约束条件更加复杂。

一般来说，约束条件可以分为等式约束和不等式约束。

等式约束可以通过拉格朗日乘子法进行处理，而不等式约束则可以通过KKT条件来求解。

此外，还可以采用罚函数法、投影法等方法来处理约束条件。

二、非线性规划在运筹学中的实践应用非线性规划在运筹学中有着广泛的实践应用，涉及到生产计划、物流优化、资源配置等方面。

1. 生产计划中的非线性规划在生产计划中，考虑到生产成本、销售需求以及资源限制等因素，常常需要对生产计划进行优化。

非线性规划方法可以帮助实现最小化生产成本、最大化利润等目标。

例如，在汽车制造领域，可以利用非线性规划方法优化生产线的布局，提高生产效率。

2. 物流优化中的非线性规划物流优化是运筹学的重要应用领域之一。

通过对供应链网络进行优化，可以实现库存降低、运输成本最小化等目标。

非线性规划可以在考虑各种限制条件的情况下，对供应链网络进行优化设计。

例如，在仓储和配送中心的选址问题中，可以利用非线性规划方法优化选址方案，提高物流效率。

3. 资源配置中的非线性规划在资源配置问题中，需要考虑到资源的有限性以及不同资源之间的相互关系。

非线性规划可以帮助实现资源的合理配置，以最大化整体效益。

运筹学非线性规划

运筹学非线性规划

二 、模型的解及相关概念
1.可行解与最优解
★可行解：约束集D中的X。
★最优解：如果有 X * D，对于任意的 X D ， 都有 f ( X *) f ( X ) ，则称 X *为（NLP）的最优
解，也称为全局最小值点。
★局部最优解：如果对于 X 0 D ，使得在 X 0的邻 域 B(X 0, ) {X |P X X 0 P } 中的任意 X D 都有f (X 0 ) f (X ) ，则称 X 0 为（NLP）的局部最
: 风险系数；ij : 第i种与第j种股票收益的协方差
n
nn
max f (x) j xj
xi x j
j 1i1 j1源自s.t.n j 1Pj x j
B
x
j
0
2.模型
min f ( X )
(
NLP
)s.t.
hi
g
( X ) 0,i j ( X ) 0,
1,L , j 1,L
f
(X
)＝f
(X0
)
f
(X0
)（T X－X0）
1 2
(X
X0
)T
H
( X0 )(
X
X0)
o(P X－X 0 P2)
其中：o(P X
X0
P2 )是当X
X
时
0
PX
X0
P2
的高阶无穷小。
例2：写出 f ( X ) 3x12 sin x2 在X 0 [0, 0]T 点的二阶泰勒展开式
解: f ( X ) [6x1 cos x2 ]T , f ( X 0 ) [0 1]T
0
解得：＝－f (Xk )T Pk
PkT H ( X k )Pk

第六讲 线性规划与非线性规划



注意： (1) fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算 法。当options参数的GradObj设置为’on‟时必须 给出fun函数的梯度，并且只有上下界约束或只有 等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有 等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。
(2) fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划 法(SQP方法)。在每一步迭代中求解二次规划子问 题，并用BFGS法更新拉格朗日Hesse矩阵。 (3)fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值 x0的选取有关。
第六讲
线性规划与 非线性规划
线性规划与非线性规划


最优化是人们在工程技术、科学研究和经济管理等领域常 见的问题。要表述一个最优化问题，一般需要确定三个要 素：一是决策变量，通常是要求解的未知量 x ；二是目标 函数，通常是要优化(最小或最大)的那个目标的数学表达 式，是决策变量的函数f ( x)；三是约束条件，对决策变量 的限制条件，即 x 允许取值的范围，称为可行域。 一般地，优化模型可表述为
m n 是约束
mn
3、线性规划模型的实用形式 (1) min z cT x (2) min z cT x
s.t. A1 x b1 A2 x b2 v1 x v2
s.t.
A1 x b1 b2 A2 x b3 v1 x v2
注；当前 MATLAB只 支持第一种 形式。
min z f ( x)
x
(1)
*
s.t. g i ( x) 0, i 1, 2, m (2)

只满足(2)的解 x 称为可行解，同满足(1)(2)的解 x x 称最
优解。

运筹学ch06

四*、非线性规划
第6章
无约束问题 第7章 约束极值问题
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
清华大学出版社
引 言



在科学管理和其他领域中，很多实际问题可归结为线性 规划问题。但也有很多问题，其目标函数和(或)约束条 件很难用线性函数表达。如果目标函数或约束条件中含 有非线性函数，就称这种问题为非线性规划问题。 解这类问题需要用非线性规划方法。目前，非线性规划 已成为运筹学一个重要分支，在最优设计、管理科学、 系统控制等许多领域得到越来越广泛的应用。 一般说来，由于非线性函数的复杂性，解非线性规划问 题要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线性规 划那样有单纯形法等通用方法。非线性规划目前还没有 适于各种问题的一般性算法，各个方法都有自己特定的 适用范围。
(6 14)
13
清华大学出版社
第1节 基本概念

1.3 凸函数和凹函数

1. 什么是凸函数和凹函数
设f(X) 为定义在n维欧式空间En中的某个凸集R上的函数，若对任 何实数α（0< α<1）以及R中的任意两点X(1)和X(2)，恒有
f ( X (1) (1 ) X (2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )
T
ai j wi / ，可得 wj
2 n n min ai j w j wi i 1 j 1 n wi 1 i 1
5
清华大学出版社
第1节 基本概念

2．非线性规划问题的数学模型
非线性规划的数学模型常表示成以下形式
min f ( X ) h i ( X ) 0, i =1, 2, m g j ( X ) 0, j 1, 2,…, l

非线性规划

非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。

与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。

非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。

以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。

它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。

常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。

常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。

3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。

它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。

4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。

它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。

以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。

在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。

非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。

《非线性规划》课件

非线性规划的优化目标是找到使目标函数达到最大值或最小值的最优解。这些目标可以是经济、社会或 科学领域中的实际问题。
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
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3.2 下降迭代算法
确定搜索方向P (k)是关键的一步，各种算法的区 别主要在于确定搜索方向P (k)的方法不同。
步长 k 的选定一般都是以使目标函数在搜索方 向上下降最多为依据的，称为最佳步长，即沿 射线 XX(k)P(k)求目标函数的极小值
则称 f (X)为定义在R上的凸函数；若上式 为严格不等式，则称 f (X)为定义在R上的
严格凸函数。改变不等号的方向，即可得 到凹函数和严格凹函数的定义。
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凸函数和凹函数示意图
f (X)
f(X (1 ))(1)f(X (2))
f (X)
f(X(1 )(1)X(2))
于 凸任集意。实数,集合S ={X|X∈R, f (X) ≤}是
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2.4 凸函数的性质
设f (X)为定义在凸集R上的凸函数，则它 的任一极小点就是它在R上的最小点（全 局极小点）；而且它的极小点形成一个凸 集。
设f (X)为定义在凸集R上的可微凸函数， 若它存在点X*∈R，使得对于所有的X∈R 有▽ f (X *)T (X- X*) ≥0，则X*是f (X)在R上 的最小点（全局极小点）。
x2 x1
2 f (X *) x22
...

2
f
(
X
*
)

x2xn

...
...
...


2 f (X*)

xn x1
2 f (X *) xnx2
...
2 f (X *)
xn2

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充分条件
（充分条件）等价于： 如果函数f (X)在X*点的梯度为零且海赛矩 阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小 点。
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3.2 下降迭代算法
若从 X (k)出发沿任何方向移动都不能使目标 函数值下降，则 X (k)是一个局部极小点；若 从 X (k)出发至少存在一个方向能使目标函数 下降，则可选定某一下降方向 P (k) ，沿这一 方向前进一步，得到下一个点 X (k+1) 。
沿P (k)方向前进一步相当于在射线 XX(k)P(k) 上选定新的点 ,其中P X(k1)X(k)kP(k) (k)为搜索方 向， k 为步长。
ZTH(X*)Z0
则X*为 f (X)的严格局部极小点。H (X *) 称为 f (X)在点X*处的海赛（Hesse）矩阵。
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充分条件
2 f (X *) 2 f (X *)
2 f (X *)

x12
...

x1x2
x1xn


2
f
(
X
*
)
H(X*)
6
1.1 非线性规划问题举例
现需要从判断矩阵求出各属性的权重，
为使求出的权重向量W在最小二乘意义上
能最好地反映判断矩阵的估计，由
aij=wi/wj可得：
nn
mifn (w ) (aijw j w i)2 i 1 j 1 n wi 1 i 1
wi 0
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f( X ( 2 )) f( X ( 1 )) f( X ( 1 )) T ( X ( 2 ) X ( 1 ))
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二阶条件
设R为En上的开凸集， f (X)在R上具有二 阶连续偏导数，则 f (X)为R上的凸函数的 充分必要条件是： f (X)的海赛矩阵H(X)在 R上处处半正定（ ZTH(X)Z≥0 ）。
非线性规划问题及其数学模型 极值问题 凸规划 一维搜索 无约束极值问题 约束极值问题
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1. 非线性规划问题及其数学模型
非线性规划问题举例： Example1：第82页例6-1 Example2：第82页例6-2
非线性规划问题的数学模型 非线性规划问题的图示
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f (X)
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必要条件
f (X)方向
X*
满足 f(X)0的点
称为平稳点或驻点。
极值点一定是驻点；
但驻点不一定是极值
点。
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充分条件
充分条件 设R是En上的一个开集，f (X)在R上具有二 阶连续偏导数，对于XR，若 f(X)0且 对任何非零向量有：
7
1.2 非线性规划问题的数学模型
mifn(X),XEn
h i(X )0 ,(i1 ,2 , ,m )
s.t.
gj(X)0,(j1 ,2, ,l)
其中 X(x1,x2, ,xn)T是n维欧氏空间En中 的向量点。
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1.2 非线性规划问题的数学模型
由于，mfa (X )x m if(n X )[,]“≤”不等式仅乘 “-1”即可转换为“≥”不等式；因此上述数学 模型具有一般意义。又因为等价于两个不 等式： hi(X);0 hi(X),因0此非线性规划 的数学模型也可以表示为：
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1.1 非线性规划问题举例
Example1:
某商店经销A、B两种产品，售价分别 为20和380元。据统计，售出一件A 产品 的平均时间为0.5小时，而售出一件B 产品 的平均时间与其销售的数量成正比，表达 式为1 + 0.2n。若该商店总的营业时间为 1000小时，试确定使其营业额最大的营业 计划。
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1.3 非线性规划问题的图示
[注] 线性规划存在最优解，最优解只能在 其可行域的边缘上（特别能在可行域的顶 点上）得到；而非线性规划的最优解（如 果存在）则可能在可行域的任意一点上得 到。
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2. 极值问题
局部极值与全局极值 极值点存在的条件 凸函数和凹函数 凸函数的性质 函数凸性的判定
mifn(X),XEn
gj(X)0,(j1 ,2, ,l)
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1.3 非线性规划问题的图示
m f(X i) n ( x 1 2 ) 2 ( x 2 2 ) 2
h (X )x1x2 60
若令其目标函数f (X)=c,目标函数成为一 条曲线或一张曲面；通常称为等值线或等 值面。此例，若设f (X)=2和f (X)=4可得两 个圆形等值线，见下图：
对于X,X* ∈R均有不等式f (X) > f (X*) ， 则称X*为f (X)在R上的严格全局极小点， f (X*)为严格全局极小值。
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2.2 极值点存在的条件
必要条件
设R是En上的一个开集，f (X)在R上有一阶 连续偏导数，且在点 X R取得局部极值，
则必有
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1.1 非线性规划问题举例
[解] 设x1和x2分别为商店经销A、B两种产品 的件数，于是有如下数学模型：
mfa(xx )2x0 138 x20 0.5x1x20.2x2 21000
x10,x2 0
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1.1 非线性规划问题举例
Example 2: 在层次分析（Analytic Hierarchy Process,
对于X-X*< 均有不等式 f (X) > f (X*) ，
则称 X*为 f (X)在 R上的严格局部极小点， f (X*)为严格局部极小值；
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全局极值
对于X,X* ∈R均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ， 则称 X*为 f (X)在 R上的全局极小点，f (X*) 为全局极小值；
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2.5 函数凸性的判定
根据凸函数的定义进行判定； 根据一阶条件进行判定； 根据二阶条件进行判定；
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一阶条件
设R为En上的开凸集， f (X)在R上具有 一阶连续偏导数，则f (X)为R上的凸函数 的充分必要条件是，对于属于R的任意两 个不同点X(1)和X(2)恒有：
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2.3 凸函数和凹函数
设 f (X)为定义在En中某一凸集R上的函 数，若对于任何实数（0<<1）以及R中 的任意两点X(1)和X(2) ，恒有：
f (X ( 1 ) ( 1 ) X ( 2 ) ) f ( X ( 1 ) ) ( 1 ) f ( X ( 2 ) )
在此例中，约束 h(X )x1x260对最优解发生 了影响，若以 h (X )x1x260代替原约束， 则非线性规划的最优解是X (2,2)，即图中的 C点，此时 f(X)0。由于最优点位于可行域 的内部，故事实上约束 h(X )x1x260并未 发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
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2.1 局部极值与全局极值
线性规划 最优解
全局最优解
非线性规划 局部最优解 未必全局最优
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局Hale Waihona Puke 极值 对于X-X* < 均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，
则称 X*为 f (X)在 R上的局部极小点，f (X*) 为局部极小值；
简记为 AHP）中，为进行多属性的综合评 价，需要确定每个属性的相对重要性，即 它们的权重。为此，将各属性进行两两比 较，从而得出如下判断矩阵：
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1.1 非线性规划问题举例
a11 … a1n
J= …