《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法(1)
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第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
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《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
5.1单纯形法的基本思路和原理
24
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
b1 300 300, a12 1 b3 250 b2 400 400, 250 a22 1 a32 1
23
§1
b3 此时a32
单纯形法的基本思路和原理
最小，从而对应原基变量中 s3 为出基变
量，变换为 x2，s1，s2 为基变量，x1，s3 为非基变量。 令非基变量为零，得 x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 求解得到新的基本可行解 x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
25
一、找出一个初始基本可行解 下面通过第二章例1的求解来介绍单纯形法。 在加上松弛变量之后得到此线性规划的标准形式。 目标函数：max 50x1+100x2
约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， xi ≥0（i=1,2），sj≥0（j=1,2,3）。
5
§1
20
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
21
§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
b1 300 300, a12 1 b3 250 b2 400 400, 250 a22 1 a32 1
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§1
b3 此时a32
单纯形法的基本思路和原理
最小，从而对应原基变量中 s3 为出基变
量，变换为 x2，s1，s2 为基变量，x1，s3 为非基变量。 令非基变量为零，得 x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 求解得到新的基本可行解 x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
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一、找出一个初始基本可行解 下面通过第二章例1的求解来介绍单纯形法。 在加上松弛变量之后得到此线性规划的标准形式。 目标函数：max 50x1+100x2
约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， xi ≥0（i=1,2），sj≥0（j=1,2,3）。
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§1
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§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
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§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
管理运筹学课后答案
2.2 将下列线性规划模型化为标准形式并列出初始单纯形表。
（1）123123123123123min 243221943414..524260,0,z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++-++≤⎧⎪-++≥⎪⎨--=-⎪⎪≤≥⎩无约束 解：（1）令11333','",'x x x x x z z =-=-=-，则得到标准型为（其中M 为一个任意大的正数）12334567123341233561233712334567max '2'24'4''003'22'2''194'34'4''14..5'24'4''26',,','',,,,0z x x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-++-++--++-+=⎧⎪++--+=⎪⎨++-+=⎪⎪≥⎩初始单纯形表如表2-1所示：表2-1c j-22 4-4 0 0 -M -M θC B X B b 1'xx 2 3'x3''xx 4 x 5 x 6 x 7 0 x 4 19 3 2 2 -2 1 0 0 0 19/3 -M x 6 14 [ 4 ] 3 4 -4 0 -1 1 0 14/4 -Mx 7 265 2 4-40 0 0 1 26/5 -z-2+9M2+5M4+8M -4-8M-M2.3 用单纯形法求解下列线性规划问题。
（1）123123123123123max 2360210..220,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ （2） 1234123412341234min 52322347..2223,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+++++≤⎧⎪+++≤⎨⎪≥⎩解：（1）最优解为**(15,5,0),25T x z ==。
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案汇总
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
.解：标准化.列出单纯形表412b02[8]2 /80868 /641241/41/81/8]/8(1/4/(1/813/265/4/43/4(13/2/(1/4 0－1/23/21/222806－221－12－502故最优解为，即，此时最优值为．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念
03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
管理运筹学教学内容
管理运筹学Ⅰ一．教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程，是管理专业一门重要的方法论课程。
通过本课程的学习，使学生获得线性规划、动态规划、网络规划、系统决策等方面的基本技能和方法，为解决实际问题和进行更高层次的学习奠定必要的方法论基础。
二．教学内容第一章线性规划基础第一节运筹学发展简史及其现代社会中的应用第二节线性规划问题的一般模型第三节线性规划问题的标准型第四节线性规划问题的图解法第二章单纯形法第一节线性规划问题的几何意义第二节单纯形法第三节对单纯形法的进一步讨论第四节对线性问题解的讨论第五节改进单纯形法及计算机程序设计第三章线性规划模型的建立第一节线性规划问题建模技巧第二节用线性规划方法求解的实际问题的类型第四章对偶问题及应用第一节对偶问题第二节对偶问题的建立第三节对偶问题的基本性质第四节对偶性质的应用第五节对偶单纯形法第六节对偶单纯形法的应用第五章线性规划问题的灵敏度分析第一节边际值及其应用第二节对C值的灵敏度分析j值的灵敏度分析第三节对aij第四节对 b 值的的灵敏度分析第五节灵敏度分析的应用示例第六章运输问题第一节运输问题的线性规划模型第二节初始基本可行解的求法第三节求检验数的方法第四节方案的调整第五节表上作业法应用举例第六节指派问题第七章整数规划第一节基本概念第二节整数规划问题的图解法第三节整数规划建模第四节割平面算法第五节分枝定界算法第六节 0—1 规划算法第八章动态规划第一节引例第二节动态规划的基本概念和基本原理第三节背包问题第四节生产计划问题第五节购销量计划问题第六节复合系统可靠性问题第七节设备更新问题第八节投资问题第九节计算机算法设计第九章线性多目标规划规划第一节例子第二节建模方法第三节求解方法第四节在决策中的应用三．教学课时安排章名称主要内容课时安排备注1线性规划基础介绍一般线性规划问题的特征、标准形及简单规划问题的图解法6课时包括习题课时间2单纯形法单纯形法的思想与求解过程、线性规划解的讨论63线性规划建模从三个方面讲述建立线性规划模型的方法34对偶问题及应用对偶问题的一般理论及应用65灵敏度分析灵敏度分析方法与应用56运输问题运输问题表上作业法的建模、求解方法、应用，指派问题的求解67整数规划求解整数规划的方法——割平面、分支定界、隐枚举法58动态规划动态规划的概念、基本原理与应用59线性多目标规划多目标规划及其在决策中的应用3总复习3总课时4855运筹学Ⅱ一．教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程，是管理专业一门重要的方法论课程。
《管理运筹学》课后习题参考标准答案
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案第1章 线性规划(复习思考题)1.什么就是线性规划？线性规划的三要素就是什么？答:线性规划(Linear Programming,LP)就是运筹学中最成熟的一个分支,并且就是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划,就是一种重要的优化工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素:决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量就是决策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件就是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,保障决策方案的可行性;目标函数就是决策者希望实现的目标,为决策变量的线性函数表达式,有的目标要实现极大值,有的则要求极小值。
2.求解线性规划问题时可能出现几种结果,哪种结果说明建模时有错误？ 答:(1)唯一最优解:只有一个最优点; (2)多重最优解:无穷多个最优解; (3)无界解:可行域无界,目标值无限增大;(4)没有可行解:线性规划问题的可行域就是空集。
当无界解与没有可行解时,可能就是建模时有错。
3.什么就是线性规划的标准型？松弛变量与剩余变量的管理含义就是什么？ 答:线性规划的标准型就是:目标函数极大化,约束条件为等式,右端常数项0≥i b ,决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力,对企业来说不就是紧缺资源,所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话,则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答:可行解:满足约束条件0≥=X b AX ，的解,称为可行解。
基可行解:满足非负性约束的基解,称为基可行解。
可行基:对应于基可行解的基,称为可行基。
最优解:使目标函数最优的可行解,称为最优解。
最优基:最优解对应的基矩阵,称为最优基。
它们的相互关系如右图所示:5.用表格单纯形法求解如下线性规划。
管理运筹学,用单纯形法求解以下线性规划问题
管理运筹学,用单纯形法求解以下线性规划问题管理运筹学是处理决策问题的重要科学，不仅根据不同目标和条件制定策略，而且可以更有效地识别和解决问题。
有些决策问题往往是非线性复杂性，涉及多个因素和变量之间的复杂关系，因此，以线性规划模型的形式来处理这些问题被认为是最有效的方法之一。
但是，线性规划模型的求解可能会非常困难，尤其是规模较大的问题。
而单纯形法作为其中一种有效的求解方法，其有效性和灵活性，使其在管理运筹学的研究中具有重要的意义。
单纯形法是指将原始线性规划问题转换为单纯形问题，然后利用相应的单纯形算法求解该问题，以求解线性规划问题。
单纯形法最早由威廉伯恩斯特（William B.Von Neumann）提出，它是利用单纯形理论把原始线性规划问题转化为单纯形问题，然后求解单纯形问题，得到原始线性规划问题的最优解。
单纯形算法的基本步骤包括：首先，根据原始线性规划问题的约束条件，构造单纯形方程组；其次，可以以此单纯形方程组为基础，进行单纯形法的迭代；最后，根据迭代的结果来求解原始的线性规划问题。
单纯形法在管理运筹学中的应用非常广泛，它不仅可以用来求解比较复杂的线性规划问题，而且可以用来解决某些约束条件下的非线性规划问题，从而解决管理运筹学中的相关问题。
另外，单纯形法还可以在企业资源规划（ERP）等管理运筹学领域的应用中发挥重要作用。
在实际应用中，单纯形法有其优缺点。
优点主要有以下几点：首先，它是一种有效的求解线性规划问题的方法，可以用来解决比较复杂的问题；其次，求解步骤简单，可以在较短的时间里求得最优解；最后，它适用性强，也可以用来解决某些约束条件下的非线性规划问题。
然而，单纯形法也有一些缺点，比如具有结构性特征，可能不能求解一些复杂的问题；另外，在求解比较大的问题时，运算负荷较大，效率较低。
总之，单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法，在管理运筹学中，它具有重要的意义和应用价值，它可以有效地解决复杂的线性规划问题，也能够解决某些特定条件下的非线性规划问题。
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
管理运筹学讲义：线性规划
1
相关数据如表所示： • •
10
11
12
问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为甲 产品产量，x2为乙产品产量。 (2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。 生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力1工时， 生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力， A车间的能力总量为8工时，则A车间能力约束条件表述为 x1 ≤8 同理，B和C车间能力约束条件为 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 第一节 线性规划一般模型 (3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则 maxZ= 3x1 +5 x2 (4)非负约束。甲乙产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为 x1 ≥0， x2 ≥0 第一节 线性规划一般模型 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在 城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为 Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。设从Ai到Bj的运输量为xij， (2)目标函数。运费最小的目标函数为 minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 (3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足： 供应平衡条件 第一节 线性规划一般模型 • 用一组非负决策变量表示一个决策问题， • 存在一定的等式或不等式的线性约束条件， • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的线性函数。可能是最大化，也可能是最小 化。 • 线性规划一般模型的代数式 为： 第二节 线性规划的图解法 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解， 这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。 第二节 线性规划的图解法
用单纯形法求解线性规划问题
目录一．摘要 (2)二．实验目的 (2)三．实验内容 (2)四．建立数学模型 (3)五．实验原理 (5)六．MALTAB程序代码及注释 (7)七．结果运行测试 (13)八．心得与感悟 (15)一．摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。
自1946年G.B.Dantizig提出单纯形法以来，它一直是求解线性规划问题的最有效的数学方法之一。
单纯形法的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
通过引入普通单纯形法，依次迭代并判断，逐步逼近，最后得到最优解。
若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
关键字：线性规划，单纯形法，最优值，最优解二．实验目的：1.加强学生分析问题能力，锻炼数学建模能力。
2.了解并掌握MATLAB软件中的线性规划问题的编程、求解和分析。
3.利用所学的MALTAB语言，完成对单纯形法问题的编程设计。
三．实验内容：某商场决定，营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息，据统计，商场每天需要营业员如下：星期一：300，二：300；三：350，四：400，五：480，六：600；日：500；（1）商场人力资源部应如何安排每天上班的人数才能使商场总的营业员最少（2）若商场可以雇佣临时工，上班时间同正式工，若正式工每天工资80，临时工每天100，问商场是否应雇佣临时工及雇佣多少名？四．建立数学模型：从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b，决策变量满足非负性。
≥i如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件0AX，的解，称为可行解。
b≥=X基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表j c412i θB CB Xb 1x2x3x4x5x0 4x 2 [8] 3 1 1 0 2/8 05x86 1 1 0 1 8/6 j σ41 2 0 0 4 1x 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 (1/4)/(1/8) 05x13/26 －5/4 1/4 －3/4 1 (13/2)/(1/4)j σ－1/2 3/2 -1/2 0 2 3x 2 8 3 1 1 0 05x6－2－2－11故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法
– 基变量在目标函数中的系数为0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B
0
1
(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。
《管理运筹学》第四版 第5章 单纯形法 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第5章单纯形法1．解：表中a 、c 、e 、f 是可行解，f 是基本解，f 是基本可行解。
2．解：（1）该线性规划的标准型如下。
max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝100.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0（2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。
（3）（4，6，0，0，-2）T （4）（0，10，-2，0，-1）T （5）不是。
因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
（6）略 3.解：令333x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第一个方程左右两边同时乘以-1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型：j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面j x '、j x ''相应的列向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。
4．解： （1） 表5-10,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 654332163321543321433214321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：（2）线性规划模型如下。
max 6x 1＋30x 2＋25x 3 s.t. 3x 1＋x 2＋s 1=40 2x 2＋x 3＋s 2=50 2x 1＋x 2-x 3＋s 3＝20 x 1，x 2，x 3，s 1，s 2，s 3 ≥0（3）初始解的基为（s 1，s 2，s 3）T ，初始解为（0，0，0，40，50，20）T ，对应的目标函数值为0。
《管理运筹学》演示(图论)
v3 (v2 ,1)
检查 vs 相邻点 v1 和 v2 。 v2点，fs2 = cs2 =3，不满足标号条件；v1点，fs1 < cs1 , v1点标号为（ vs , l(v1) ）, l(v1) =min[ l(vs) ,( cs1 - fs1 )]= min[+ , 5-1] = 4； 检查 v1 相邻点 v3 和 v2 。 v3点，f13 = c13 =2，不满足标号条件； v2点，f21=1> 0 , v2点标号为（ -v1 , l(v2) ）, l(v2) =min[ l(v1) , f21]= min[4 , 1] = 1； 检查 v2 相邻点 v3 和 v4 。v3点，f32=1> 0 , v3点标号为（ -v2 , l(v3) ）, l(v3) =min[ l(v2) , f32]= min[1 , 1]=1 ； v4点，f24 < c24 =1，v4点标号为（ v2 , 1 ） ；
,
最大流量 v(f ) = 5
最小费用最大流问题
例：求下列网络最小费用最大流。弧旁数字为( bij , cij ) 步骤：
v1
(1,7)
vt
取 f ( 0 ) ＝0为初始可行流； 构造赋权有向图w( f ( 0 ))，
vs
解：
v1
0 0
v2
0
0
v3
vt
0
bij wij bij wij
v8
步 骤：
给 vs点以 P 标号，P(vs) = 0，其余各点给 T 标号，
T(vs) = ＋ ；
若 vs点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 vj：
( vi , vj )属于A(或[vi , vj ] 属于E )，且vj 为 T 标号。对 vj 的T 标号进行如下的更改：
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x1/2 + x2
+ x4/2 =2
非基变量 x4=0
x3 1 x1 / 2 x4 / 2 0 x2 2 x1 / 2 x4 / 2 0
x1 2
x1 2
x1 4
x3 0
－ 初等行变换
确定x3为离基变量
Z*=7,X*=(2,1,0,0)
非基变量系 数>0，最优！
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
确定离基变量
x1 + x2 x3
3 x3 3 x2
x1 + 2x2
+ x4 =4 x4 4 2x2
◦ 确定移动的方向 ◦ 确定在何处停下 ◦ 确定新的基本可行解
求解线性规划的单纯形法
例：用单纯形法求解以下线性规划问题
求解线性规划的单纯形法 首先将模型转化成标准形式
求解线性规划的单纯形法
Q1：确定初始的基本可行解
• 选择原点：
– 令决策变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
x3为离基变量
X1 = ( 0, 1, 0, 1)T
求解线性规划的单纯形法
按最小比值规则确定主方程和主元素，以及离基变量。
进基
z - x1 - 2 x2
= 0 比值
(Ⅰ)
- x1 + 1 x2 +x3 离基 = 1 1 min
主方程
1 x2 +x4
主列 主元
=2 2
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
非最优解！
• 寻找新的基本可行解：
– 初等数学变换
非基变量 x1的系数 X*=（0, 2, 1, 0） 是正数！
Z*=6+ x1/2- 3x4/2＝6
求解线性规划的单纯形法
• 第2次迭代 － 确定进基变量x1 － 确定离基变量
x1/2
x3 - x4/2 1
Simplex Method 第二节 单纯形法
单纯形法思路
求解线性规划的单纯形法
开始
找到初始的基本可行解
最优性检验
当前的CPF是最优解吗？
YES 停止
NO
找到相邻的基本可行解
关键问题
求解线性规划的单纯形法
Q1：初始基本可行解如何找？
◦ 标准型 ◦ 基本解
Q2：怎样判断最优？
◦ 最优性条件
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解？
x2 ≤2
x1,
x2 ≥0
求解线性规划的单纯形法
首先标准化，令z’=-z，引入松弛变量x3, x4
max z’= x1 +2x2
s.t.
-x1 +x2 +x3
x2
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1
(a1,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B
0
1
(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
– 基变量在目标函数中的系数为0
min{σ j︱σj<0 } = σk → xk 进基 min{ -1，-2} = -2= σ2 → x2 进基
x1仍为非基变量，其值为0。 由① ② 有
xx33 = 1 -x2 ≥=0 → x2 ≤ 1/1
x4 = 2 -x2 ≥ 0 → x2 ≤ 2/1
离基（最小比值规则） ：
x2 ≤ min {1/1，2/1 } = 1 x2 = min {1/1，2/1 } = 1
x1/2 +
x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
初等 行变换
Z x1
+ x3 + x4 =7 2x3 - x4 2 x2 - x3 + x4 =1
求解线性规划的单纯形法 目标函数无界的情况
用单纯形法求解以下线性规划模型。
min z= -x1 -2x2
s.t. -x1 +x2 ≤1
z-3x1 0 +2x3
=2 0
-x1 +1x2 +x3
=1 ①
x1 0
-x3 + x4 = 1 ②
得 X1 = ( 0, 1, 0, 1 )T 称为单纯形法的一次迭代。
求解线性规划的单纯形法
(Ⅰ)
用换基运算
将X0 转化为
另一个基本
可行解 X1。
(Ⅱ)
z- x1 -2x2 - x1+ 1 x2 +x3
=0 =1
0 ①
换基运算—— 方2
+x4 = 2 ② 单位向量：主元变
为1，其余变为0。
X0 = ( 0, 0, 1, 2)T
z0 = 0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
原方程
初始BF解 x1 =0，x2 =0 x3 =3，x4 =4
Z 2x1 -3x2
=0
x1 + x2 x3
3
x1 + 2x2
+ x4 =4
初等数学 变换
新的BF解 x1 =0，x4 =0 x3 =？1 ，x2 =2
新方程
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 +
x3 - x4 / 2 1
– 所有变量非负
x3 3 x2 0 x4 4 2x2 0
x2
3 3 1
x2
4 =2 2
最小比值法
• 令x2 =2，从而 x4 =0
• 离基变量的选择：
– 最小比值法
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤3：确定新的基本可行解
非基变量（Non-basics） 基变量（Basics）
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。
求解线性规划的单纯形法
(Ⅰ)
z - x1 -2x2
=0 0
- x1 + x2 +x3
=1 ①
x2
+x4 = 2 ②
进基（最小检验数规则）： 在负检验数中选择最小的进基。