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例3
计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
平面 z x 2 及z 0 所围成的空间立体的表面.
解
1
2 3
其中1：z 0 ,
2： z x 2 ,
投影域D1 ： x 2 y 2 1
3 ： x 2 y 2 1.
D yz
3 、设 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 在xoy 平面的上方部 分,则 ( x 2 y 2 z 2 )ds ____________； 4 、 3 zds _____, 其中 为抛物面 z 2 ( x 2 y 2 ) 在 xoy 面上方的部分； 2 2 为锥面 z ( x y )ds ______,其中 5 、
1 0 ( 1) dxdy 2dxdy,
故
2
( x y z )ds
D xy
2 ( x y 5 y )dxdy 2 (5 x )dxdy
D xy
2 d (5 r cos )rdr 125 2.
0 0
2
5
例2
x 2 y 2 z 2 a 2 的八面体| x | | y | | z | a 表面.
解
被积函数 f ( x , y , z ) x y z ,
2 2 2
关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面 也具有对称性 ,
故原积分 8 ,
1
(其中1表示第一卦限部分曲面)
D
xz
2 2 f [ x , y( x , z ), z ] 1 y x yz dxdz;
3. 若曲面 ： x x( y , z )
则 f ( x , y , z )dS
D
yz
2 2 f [ x ( y , z ), y , z ] 1 x y x z dydz.
并作和 f ( i , i , i ) S i , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.
i 1
n
记为
f ( x , y, z )dS .
即
f ( i , i , i )Si f ( x, y, z )dS lim 0 i 1
n
其中 f ( x , y, z )叫被积函数，叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面1及 2 , 则
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS . f ( x, y, z )dS
1 2
三、计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
思考题解答
1 dS 是曲面元的面积, cos( n, z ) 2 1 zx z2 y
故 1 z z 是曲面法线与 z 轴夹角的余弦 的倒数.
2 x 2 y
练 习 题
一、填空题: 1 、已知曲面 的面积为 a , 则 10ds _______； 2 、 f ( x , y , z )ds = f ( x( y , z ), y , z ) ________dydz ；
练习题答案
一、1、10a ；
4 2 a 3、 ；
x 2 x 2 2、 1 ( ) ( ) ； y z
1 2 . 5、 2
111 ； 4、 10
64 2a 4 . 2、 15
27 二、1、 ； 4 三、 . 6 2 四、 ( 6 3 1) . 15
2 2 2 x 1 y x yz dxdz Dxz
xoz
2 x 1
D xz
1
x2 1 x
2
dxdz
21
x2 x dx 0 dz 2 1 x
,
xdS 0 0 .
2 2 2 为内接于球面 例4 计算 ( x y z )dS , 其中
1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
原式 | xyz | dS
2
2
2
4 xyz dS
1
2 2 2
4 xy( x y ) 1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
D xy
2 2 其中 D xy {( x , y ) | x y 1, x 0, y 0}
1： x y z a , 即 z a x y
dS 1 z x z y dxdy 3dxdy
2 2
2 2 2 2 2 2 ( x y z ) dS 8 ( x y z )dS
1
8 [ x 2 y 2 (a x y )2 ] 3dxdy
2 2 柱面 x y 2ax 所截得的有限部分 . 1 2 2 三、求抛物面壳 z ( x y )( 0 z 1) 的质量, 此壳 2 的面密度的大小为 z . 1 2 2 z ( x y ) ( 0 z 1) 的质量，此 四、求抛物面壳 2 壳的面密度的大小为 z .
利用极坐标
2 1 2
x r cos t , y r sin t ,
2
40 dt 0 r cos t sin t r
2 0 sin 2tdt 0 r
2
1 4r rdr
2
1
5
1 4r dr
2
令 u 1 4r
2
1 5 u1 2 125 5 1 1 u( ) du . 4 4 420
一、概念的引入
实例
若曲面 是光滑的 , 它的面密度为连 续函数( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
1.定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x , y , z ) 在 n 小块S i （ S i 同时也表示 上有界, 把 分成 S i 上 第 i 小块曲面的面积）, 设点( i , i , i ) 为 任意取定的点,作乘积 f ( i , i , i ) S i ,
显然
1 D1
Hale Waihona Puke xdS xdxdy 0 ,
1 1dxdy 0,
xdS x D
2 1
讨论3 时, 将投影域选在xoz 上.
（注意： y 1 x 2 分为左、右两片）
（左右两片投影相同）
xdS xdS xdS
3 31 32
例1
计算 ( x y z )ds , 其中 为平面
2 2 x y 25 所截得的部分. y z 5 被柱面
解 积分曲面 ：z 5 y ,
投影域 ： D xy {( x , y ) | x 2 y 2 25}
2 2 dS 1 z x z y dxdy
计算 | xyz | dS ,
2 2 其中 为抛物面 z x y （0 z 1 ）.
解 依对称性知：
z
2
抛物面z x y
2
关于z轴对称，
被积函数| xyz | 关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
x
y
有 4 成立，(1为第一卦限部分曲面)
1
2 2 dS 1 z x z y dxdy
x2 y2
及平面z 1 所围成的区域的整个边界曲面.
二、计算下列对面积的曲面积分: 为平面 1、 ( 2 xy 2 x 2 x z )ds ,其中
2 x 2 y z 6 在第一卦限中的部分； 2 2 z x y ( xy yz zx ) ds 2、 ,其中 为锥面 被
1. 若曲面 :
则
z z( x , y )
f ( x , y, z )dS
D
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy;
xy
2. 若曲面 : y y( x , z )
则 f ( x , y , z )dS
D xy
2 3a 4 .
四、小结
1、 对面积的曲面积分的概念;
f ( i , i , i ) Si f ( x, y, z )dS lim 0 i 1
n
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影 域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况分为三种）
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分 2 2 的公式中, 有因子 1 z x z y , 试说明 这个因子的几何意义.
