对面积的曲面积分：第一类曲面积分计算法

1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.

M = ∫∫ f ( x, y , z )dS
S
当积分曲面是封闭曲面时,常记 当积分曲面是封闭曲面时 常记
f ( x, y, z)dS ∫∫
S
9.4.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种： 按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面Σ :
则
Σ
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
2 2 其中 Σ 为抛物面 z = x + y （0 ≤ z ≤ 1）.
依对称性知： 解 依对称性知：
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称， 关于z轴对称，
被积函数| xyz |关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
y
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，( Σ 1为第一卦限部分曲面
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
1 2
Remark: (1)当曲面 Σ 为光滑或分片光滑曲面片 当曲面 为光滑或分片光滑曲面片,f(x,y,z)在Σ 在 续时,f(x,y,z)在 Σ 上必可积 以下恒设此 条 上必可积,以下恒设此 以下恒设此2条 上连 续时 在 件满足. 件满足 (2)第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略. (3)第一类曲面积分的物理意义 曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义
Σ Σ1
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy

4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,

|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2

Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS

2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D

x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则

曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数

如 : z z( x, y) ，则
dS
1

z
2 x

z
2 y
dxdy
“三投影”认清 在 二重积分是在区域上
xoy 平面上的投影区域 Dxy 进行的。
Dxy ，
10
2)如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y( x, z), ( x, z) Dxz
21
例5 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f ( x, y, z)dS
解 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y)

1


x x2
y2
2


y x2
y2
2
O

dxdy

a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy

2a cos

2
两片, 则计算较繁。 解 取曲面面积元素
则
I

0H
2
R2
R dz z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
28
例11 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S 。

所以
0
1
2
3
在 4 上 z 1 x y， dS 1 zx2 zy2 d 3d， 又 4 在xoy面上的投影区域D为 x 0, y 0, x y 1 围成的三角形
所以
xyzdS
xyzdS xy(1 x y) 3d
4
D
1
1 x
30 xdx0 y(1 x y)dy
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2
y2
1 arctan R
Z R
|0H
dy
arctan H R 1 dy
R 0 R2 y2
而
R 1 dy lim R1
0 R2 y2
R1 R 0
lim arcsin R1
R1 R
R2
1 dy R2 y2
所以
dS x2 y2 z2
a
d
Hale Waihona Puke a2 x2 y2所以
1
z
dS
1
D a2 x2 y2
a
d
a2 x2 y2
a d
a rdrd
D a2 x2 y2
D a2 r2
（极坐标）
＝a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r r2 dr
2 a[
1 ln(a2 2
r 2 )]0 a2 h2
2 a ln a
h
❖例2 计算 xyzdS ，其中 是三个坐标面和
3
1
x[(1 x)
0
y2 2
y3 3
]10
x
dx
3 1 x (1 x)3 dx
0

dx 0
dz
例6.
计算 x dS , 其中 是球 x y z 4 的表面.
2
2 2 2

解：方法1 关于三个坐标面均对称
z
1
而被积函数关于x , y , z均是偶函数
所以
x dS 8 x dS
1 2 2
1 Dx y 2 2
{( x , y ) | x y 1}
1
3
1
xdS xd xd y 0,
1
Dx y
对称性
2 zx
（2） 2 : z x 2, dS 1
2 2 2

2
2 z y d xd
y
2
2d xd y ,
Dx y {( x , y ) | x y 1}, xdS x 2d xd y 0,
代入 f ( x, y, z ) d S 中即可。 一投、二代、三换

说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z ), ( y, z ) D y z


f ( x, y, z ) d S
或

Dyz
f [ x( y, z ), y, z ] 1 x x d y d z y z

曲面面积为
• 积分的存在性.
则对面积的曲面积分存在.
在光滑曲面 上连续,
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
f ( x, y , z ) d S
1
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 不等式性质. 若在 上，f ( x, y, z)

投影域为 Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
16
I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2 d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 a4 (8 5 2)
6
思考: 若例4 中被积函数改为
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, z) dS
f (k ,k , z(k ,k ))
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (k ,k , z(k ,k ))
(光滑)
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
y x h
14
例3. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 =
1
2
3
4
x yz dS
1 x
1y
4 x yz d S
4 : z 1 x y,
0 y 1 x
(x, y) Dxy :
10
例1 计算 ( x y z)ds, 其中为平面 y z 5
被柱面 x2 y2 25所截得的部分. 解 积分曲面 ：z 5 y ,
投影域 ： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
dS 1 zx2 zy2dxdy

i =1
∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si ,
n
∫∫Σ f ( x , y , z )dS = lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si . λ →0
i =1
n
其中f(x, y, z)叫作被积函数 Σ 叫作积分曲面 叫作被积函数 积分曲面. 其中 叫作被积函数, 叫作积分曲面 其物理意义是面密度为f(x, y, z)的曲面Σ 的质量 其物理意义是面密度为 的曲面 的质量.
λ → 0 i =1
= ∫∫D f [ x, y, z( x, y)] 1 + z′2 + z′2dxdy. x y
xy
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式. 这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式: 按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式 (1) 若曲面Σ 为: z=z(x, y), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xy
= ∫∫D f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z′x2 + z′y2 dxdy .
(2) 若曲面Σ 为: y=y(z, x), 则 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS
xz
= ∫∫D f [ x , y( x , z ), z ] 1 + y′x2 + y′ 2 dxdz . z
= 4 ∫0 dθ ∫0 r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr (用极坐标计算 用极坐标计算) 用极坐标计算
2
π
1
位于对称坐标面一侧的部分. 其中Σ1是Σ 位于对称坐标面一侧的部分
1 + 4r 2 dr = 4 ∫0 cos t sin tdt ∫ 1 1 5 令 u=1+4r2. = 4 ⋅ ∫0 r 1 + 4r 2 dr 2 125 5 − 1 1 5 u−1 2 . ) du = = ∫1 u( 420 4 4 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的 注: 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的 对称性. 对称性 对称于xoy(或yoz, 或zox)坐标面 坐标面, 设Σ 对称于 或 坐标面 是奇函数, 关于z 若f(x, y, z)关于 (或x,或 y)是奇函数 则 关于 或 或 是奇函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 0. 关于z 是偶函数, 若f(x, y, z)关于 (或x, 或 y)是偶函数 则 关于 或 是偶函数 ∫∫Σ f ( x , y , z )dS = 2∫∫Σ f ( x , y , z )dS .