对面积的曲面积分 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-第四节 对面积的曲面积分学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.内容提要1.定义 设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块i S ∆（i S ∆也表示第i 小块曲面的面积），在i S ∆上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘积i i i i S f ∆),,(ζηξ（1,2,,i n =），并作和()1,,ni i i i i f s ξηζ=⋅∆∑，记各小曲面直径的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =⎰⎰∑dS z y x f ),,(0lim →λ1(,,)ni i i i i f S ξηζ=∑∆．【注】定义中的“i S ∆”是面积元素，因此，0i S ∆≥． 2.性质①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则=⎰⎰∑dS z y x f ),,(⎰⎰⎰⎰∑∑+21),,(),,(dS z y x f dS z y x f ；②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即S dS z y x f =⎰⎰∑),,(．3.对面积的曲面积分的计算设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ， 函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰．同样地()():,(,,),,,yzx x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑⎡⎣=⎰⎰⎰⎰， ()():,(,,),,,xzy y z x D f x y z dS f x y z x z ∑=∑⎡⎣=⎰⎰⎰⎰． 4.对面积的曲面积分的应用设曲面∑上任意一点()z y x ,,处的面密度是()z y x ,,ρ，则 ①曲面的质量()dS z y x m ⎰⎰∑=,,ρ．②曲面的质心()z y x ,,()()11,,,,,x x x y z dS y y x y z dS m m ρρ∑∑==⎰⎰⎰⎰，()1,,z z x y z dS m ρ∑=⎰⎰．③曲面的转动惯量()()22,,x I y z x y z dS ρ∑=+⎰⎰，()()22,,y I x z x y z dS ρ∑=+⎰⎰，()()22,,z I x y x y z dS ρ∑=+⎰⎰，()()222,,o I x y z x y z dS ρ∑=++⎰⎰．典型例题与方法基本题型I ：计算对面积的曲面积分 例1 填空题设222:4x y z ∑++=，则22()______xy dS ∑+=⎰⎰．解 由积分区域的对称性知222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，于是222222()()3x y dS x y z dS ∑∑+=++⎰⎰⎰⎰． 而积分在∑上进行，2224x y z ++=，代入上式得，22288128()42.333x y dS dS ππ∑∑+==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰ 故应填128.3π 例2 选择题设2222:(0)x y z a z ∑++=≥，1∑为∑在第一卦限中的部分，则有（ ）（A ）14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰．解 因为曲面是上半球面，∑关于yoz 面对称且被积函数1(,,)f x y z x =，2(,,)f x y z xyz =都是变量x 的奇函数，于是0xdS xyzdS ∑∑==⎰⎰⎰⎰．类似地，∑关于xoz 面对称且3(,,)f x y z y =是变量y 的奇函数，于是0ydS ∑=⎰⎰ ．而110,0xdS xyzdS ∑∑>>⎰⎰⎰⎰，故应选（C ）．事实上，由对称性，14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰，11zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰，（C ）正确．【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：（1）利用对称性，但要注意，曲面∑关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可．（2）利用积分曲面∑的方程化简被积函数．例3 计算曲面积分(22)x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑是平面2220x y z ++-=被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.解法一 :222,2,2x y z x y z z ''∑=--=-=-.∑在xoy 平面上的投影是三角形，记为:01,01D x y x ≤≤≤≤-.2(22)2163x DDx y z ds z dxdy ∑'++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.解法二 212(22)222322x y z ds dS ∑∑⎛⎫++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ . 【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.例4 计算22()I x y dS ∑=+⎰⎰,∑为立体122≤≤+z y x 的边界.【分析】]根据积分曲面∑的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算．解 设21∑+∑=∑,1∑为锥面22y x z +=,10≤≤z ，在1∑上，dS ==dxdy 2，图 4-12∑为1=z 上122≤+y x 部分，在2∑上，dS dxdy =，21,∑∑在xOy 面的投影区域为22:1D x y +≤，所以=I 122()xy dS ∑+⎰⎰+222()x y dS ∑+⎰⎰22(Dx y =+⎰⎰22()Dx y dxdy ++⎰⎰2122311)()(1(12Dx y dxdy d d ππθρρ=+=+=+⎰⎰⎰⎰.例 5 计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为422=+y x 介于6,0==z z 之间的部分.【分析】 积分曲面∑如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面∑关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有⎰⎰∑dS z 2=⎰⎰∑124dS z ，故可利用对称性解之.解 设214:y x -=∑, 其在yoz 面的投影域为⎩⎨⎧≤≤≤≤6020:z y D yz ，dS ==⎰⎰∑dS z 2=⎰⎰∑124dS z =4π28842442226222=-=-⎰⎰⎰⎰dy ydz z dzdy yz yzD .图 4-2【注】该题不能将积分曲面∑向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域.基本题型II ：对面积的曲面积分的应用例6 求物质曲面221:()(01)2S z x y z =+≤≤的质量，其面密度((,,))z x y z S ρ=∈.解 S 在xoy平面上的投影区域222:D x y +≤.于是，所求质量为222211()dS (22D M x y x y ∑=+=+⎰⎰⎰⎰200012(1215d ππθπ===+⎰ 例7 试求半径为R 的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离．解 以球心为原点，铅锤直径为z 轴建立直角坐标系，则球面方程为2222x y z R ++=，且任意点(,,)M x y z处的密度为μ=设球壳的质心坐标为(,,)x y z ，由对称性知，0x y ==．z dSz dSμμ∑∑=⎰⎰⎰⎰，其中∑为上半球面z =dS ==，于是球壳的质量为Dm dS μ∑==⎰⎰y其中D 为∑在xoy 面上的投影域：222x y R +≤．利用极坐标计算上述二重积分，得22230.2RDm d R ππθρ===⎰⎰而2242 =.3xy DRDM z dS d R d R πμπθρρ∑∑=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故423243132RR z Rπππ==，于是半球壳的质心坐标为4(0,0,)3R π．教材习题解答1. 有一个分布着质量的曲面∑，在点),,(z y x 处它的面密度),,(z y x u ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于x 轴转动惯量。
解：假设),,(z y x u 在曲面∑上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块dS ，设),,(z y x 使曲面块dS 内的一点，则由曲面块dS 很小，),,(z y x u 的连续性可知，曲面块dS 的质量近似等于dS z y x u ),,(，这部分质量可近似看作集中在点),,(z y x 上，该点到x 轴的距离等于22y x +，于是曲面对于x 轴的转动惯量为：dS z y x u y z dI x ),,()(22+=，所以转动惯量为：⎰⎰∑+=dS z y x u z y I x ),,()(222．按对面积的曲面积分的定义证明公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f ，其中∑由1∑和2∑组成证明：因为),,(z y x f 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面∑怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面∑时，可以永远把1∑和2∑的边界曲线作为分割线，从而保证i S ∆整个位于1∑上，于是∑上的积分和等于1∑上的积分和加上2∑上的积分和，即∑∑∑∑∑∑∆+∆=∆)()()(12),,(),,(),,(i i i i i i i i i iiiS f S f S f ζηξζηξζηξ令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f3. 当∑时xoy 面内的一个闭区域D 时，曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(和二重积分有什么关系。
解：当∑时xoy 面内的一个闭区域D 时，∑在xoy 上的投影区域即为D ，∑上的),,(z y x f 恒为)0,,(y x f ，并且0==y x z z ，所以⎰⎰⎰⎰∑∑=dxdy y x f dS z y x f )0,,(),,(，即曲面积分与二重积分相等。
4. 计算曲面积分()dS z y x f ⎰⎰∑,,，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 面上方的部分，()z y x f ,,分别如下：（2）()22,,y x z y x f +=; （3）()z z y x f 3,,=．解 （2）()dS z y x f ⎰⎰∑,,=()dxdy z z y x y x D xy22221+++⎰⎰，其中xy D 为∑在xoy面上的投影区域，即()02:22=≤+z y x D xy . 于是()dS z y x f ⎰⎰∑,,=()πρρρρθπ3014941)(41222202222=+=+++⎰⎰⎰⎰d d dxdy y x y x xyD .（3）()dS z y x f ⎰⎰∑,,=()()πρρρρθπ101114123)(4123222202222=+-=++--⎰⎰⎰⎰d d dxdy y x y x xyD .5. 计算()d S y x ⎰⎰∑+22，其中∑是：（1）锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. （2）锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截部分。
