【解析】北京市中国人民大学附属中学2019届高三考前热身练习数学(理)试题

北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期周测卷（三）理 科 数 学 试 题本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。

)1.若集合{}31A x x =-,{}12B x xx=-或，则A B =(A){}32x x- (B) {}31x x--(C){}11x x -(D){}11x x-2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 3.已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A)220a b - (B)cos cos 0a b- (C)110a b-(D) 0a be e ---4. 已知a,b 为非零向量,则“0⋅>a b ”是“a 与b 夹角为锐角”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（A ）18 （B ）24 （C ）48 （D ）966. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（A ）34（B ）23（C ）12（D ）137.圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ∶12F F ∶2PF =4∶3∶2，则曲线C 的离心率为（A ）2332或（B ）223或（C ）122或（D ）1322或8.第15届全国运动会举行，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有 （A ）20种（B ）24种（C ）30种（D ）36种二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019届北京市中人大附中高三5月考前热身练习（三模）数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，由，可得，由此列不等式求得实数的取值范围.详解：集合，，，故选B.点睛：本题主要考查集合中参数的取值范围问题，两个集合的交集的定义，判断是解题的关键，属于简单题.2．若，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，数量积为零，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围.详解：，，，，，，两个向量的夹角是，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）. 3．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为8，则图中判断框内①处可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到输出的的值为,即可得到输出条件.详解：执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，此时输出，退出循环，故退出条件为，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．如图，一个空间几何体的三视图均是直角边为1的等腰直角三角形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，为正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可.详解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，为正方体的一个角，几何体的表面积为个等腰三角形与一个等边三角形的面积的和，即，故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．“”的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据充分条件与必要条件逐一验证选项中的命题是否符合题意即可.详解：是的充要条件，错；是的必要不充分条件，错；，不能推出，（如），是充分不必要条件，对；是的充要条件，错，故选C.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）A. 6秒钟B. 7秒钟C. 8秒钟D. 9秒钟【答案】C【解析】分析：由题意可得，解不等式可得结果.详解：根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要秒可将细菌将病毒全部杀死，则，，，结合解得，即至少需秒细菌将病毒全部杀死，故选C.点睛：本题主要考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和的项数一定要准确.7．若双曲线：与：的离心率分别为和，则下列说法正确的是（）A. B.C. 与的渐近线相同D. 与有8个公共点【答案】A【解析】分析：求出两双曲线的离心率与渐近线，逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：的离心率为；的离心率为，，所以对错；因为的渐近线方程为，的渐近线方程为，错；与有8个公共点有四个公共点，错，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查双曲线的标准方程、离心率。

北京市中国人民大学附属中学 2019届高三下学期理科数学练习卷（一）本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。

)1.设集合{}2|230A x Z x x =∈--<，{}1,0,1,2B =-，则A B =A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1-D.{}1,0-2.已知i 为虚数单位，复数212iz i+=-，则3z = A.iB.i -C.1D.1-3.命题“[]20,2,20x x x ∀∈-≤”的否定是A.[]20,2,20x x x ∀∈-> B.[]20000,2,20x x x ∃∈-≤ C.[]20,2,20x x x ∀∉->D.[]20000,2,20x x x ∃∈->4.()f x 是R 上的奇函数，且2(1),1()log ,01f x x f x x x ->⎧=⎨<≤⎩则3()2f -=A.12 B.12-C.1D.1- 5.已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6p，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为A.22132x y -=B.2213x y -= c.22164x y -= D.221124x y -= 6.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为A.12 B.14 C.13 D.167.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

北京市人大附中2019年3月高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x∈Z|x2−2x−3<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {−1,0}【答案】B【解析】解：A={x∈Z|−1<x<3}={0,1，2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．先求出集合A={0,1，2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．2.已知i为虚数单位，复数z=2+i1−2i，则z3=()A. iB. −iC. 1D. −1【答案】B【解析】解：∵z=2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i5=i，∴z3=i3=−i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.命题“∀x∈[0,2]，x2−2x≤0”的否定是()A. ∀x∈[0,2]，x2−2x>0B. ∃x0∈[0,2]，x02−2x0≤0C. ∀x∉[0,2]，x2−2x>0D. ∃x0∈[0,2]，x02−2x0>0【答案】D【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈[0,2]，x2−2x≤0”的否定是“∃x0∈[1,2]，x02−2x0>0”．故选：D．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4. f(x)是R 上的奇函数，且f(x)={log 2x,0<x ≤1f(x−1),x>1，则f(−32)=( )A. 12B. −12C. 1D. −1【答案】C【解析】解：f(x)是R 上的奇函数， 且f(x)={log 2x,0<x ≤1f(x−1),x>1，则f(−32)=−f(32)=−f(12)=−log 212=1． 故选：C ．利用分段函数以及函数的奇偶性转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．5. 已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为( )A. x 23−y 22=1B.x 23−y 2=1C.x 26−y 24=1D. x 212−y 24=1【答案】D【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0).双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，取焦点F(c,0)，∵焦点到渐近线的距离为3， ∴{ ba =√33c 2=a 2+b 2√a 2+b 2=2，解得b =2，a =2√3， 因此该双曲线的方程为：x 212−y 24=1．故选：D ．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．6. 两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()A. 12B. 14 C. 13 D. 16【答案】B【解析】解：两名同学分3本不同的书，基本事件包含：(0,3)，(1a ,2)，(1b ,2)，(1c ,2)，(2,1a )，(2,1b )，(2,1c )，(3,0)，共8种情况， 其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：p=28=14．故选：B．两名同学分3本不同的书，利用列举法求出基本事件包含8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分得3本书的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的中应填()A. y<xB. y≤xC. x≤yD. x=y【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=152，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=454，y=8，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=1358，y=16，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=40516，y=32，此时，x<y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为()A. 169π B. 254π C. 16π D. 25π【答案】D【解析】解：如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为4，高为4，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为O，设球的半径为r，则：r2=4+(4−r)2，解得r=52，则该几何体的外接球表面积为：4π(2r)2=25π．故选：D．由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，由三视图还原出几何体是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线x22−y2=1的焦距是______，渐近线方程是______．【答案】2√3y=±√22x【解析】解：双曲线x 22−y 2=1中，a =√2，b =1，c =√3，∴焦距是2c =2√3，渐近线方程是y =±√22x.故答案为：2√3；y =±√22x.确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10. 若变量x ，y 满足{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0，则x 2+y 2的最大值是______．【答案】10【解析】解：由约束条件{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0作出可行域如图，联立{2x −3y =9x+y=2，解得B(3,−1)，x 2+y 2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+(−1)2=10，故答案为：10．由约束条件作出可行域，再由x 2+y 2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11. 已知圆C 的参数方程为{y =sinθ+2x=cosθ(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l 截圆C 所得的弦长是______． 【答案】√2【解析】解：直线l 的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y +x =1；由圆C 的参数方程为{y =sinθ+2x=cosθ(θ为参数)，消去参数θ化为普通方程x 2+(y −2)2=1，其圆心C(0,2)，半径r =1． 直线l 截圆C 所得的弦长=2√1−(|−1|√2)2=√2．故答案为√2．利用弦长=2√r 2−d 2，(其中d 为弦心距)公式即可计算出． 熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．12. 已知函数f(x)={1x ,x ≥1x 3,x <1，若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点，则k 的取值范围是______． 【答案】(0,1)【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：∵f(x)=k 有两个不同解， ∴0<k <1． 故答案为：(0,1)．作出f(x)的函数图象，根据图象得出k 的范围． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．13. 如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为√22，则其最小正方形的边长为______．【答案】132【解析】解：由题意，正方形的边长构成以√22为首项，以√22为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+⋯+2n−1=1023，∴n =10， ∴最小正方形的边长为√22×(√22)9=132．故答案为：132．正方形的边长构成以√22为首项，以√22为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．14. 设W 是由一平面内的n(n ≥3)个向量组成的集合.若a ⃗ ∈W ，且a⃗ 的模不小于W 中除a ⃗ 外的所有向量和的模.则称a ⃗ 是W 的极大向量.有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a⃗,b⃗ ，在该平面内总存在唯一的平面向量c=−a⃗−b⃗ ，使得W={a⃗,b⃗ ,c}中的每个元素都是极大向量；③若W1={a⃗1,a⃗2,a⃗3},W2={b⃗ 1,b⃗ 2,b⃗ 3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是______．【答案】②③【解析】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使a⃗,b⃗ ,c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1={a⃗1,a⃗2,a⃗3},W2={b⃗ 1,b⃗ 2,b⃗ 3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．在①中，假如所有向量都相等显然是没有极大向量的；在②和③中，关键是：3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0．本题考查命题真假的判断，考查新定义的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1．(I)求f(π6)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．【答案】解：(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)．【解析】(I)直接将x=π6带入计算即可．(Ⅱ)利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f(x)的单调递增区间．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16. 某车险的基本保费为a(单位：元)，继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(Ⅰ)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (Ⅱ)某公司有三辆汽车，基本保费均为a ，根据随机调查表的出险情况，记X 为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X 的分布列； (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值．【答案】解：(Ⅰ)事件A 的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保， 所以P(A)的估计值为：6701000=0.67.………(3分) (Ⅱ)X 的可能取值为0，1，2，3，………(4分)由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为4001000=25， 出险的概率为1−25=35，………(5分) P(X =0)=(25)3=8125，P(X =1)=C 31(35)(25)2=36125， P(X =2)=C 32(35)2(25)=54125，P(X =3)=(35)3=27125，………(9分)所以的X 分布列为：………(10分)(Ⅲ)续保人本年度的平均保费估值为：11000(0.85a ×400+a ×270+1.25a ×200+1.5a ×80+1.75a ×40+2a ×10)=1.07a.………(13分)【解析】(Ⅰ)事件A 的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保，由此能求出P(A)的估计值．(Ⅱ)X 的可能取值为0，1，2，3，由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为25，出险的概率为35，分别求出X 的值为0，1，2，3对应的概率，由此能求出X 的分布列．(Ⅲ)由续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联表能求出续保人本年度的平均保费估值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△ABC 和△PAC 都是正三角形，AC =2，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D ，平面PAC ⊥平面ABC ． (Ⅰ)证明：EF ⊥ED ；(Ⅱ)求点F 到平面PAB 的距离．【答案】证明：(Ⅰ)∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴EF//AB ，--------------------------------------------------------------------------------------(1分) 在正三角形PAC 中，PE ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，∴PE ⊥平面ABC ，-------------------------------------------------------------------------------(3分)∴PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ，∴AB ⊥平面PED ，-----------------------------------------------------------------------------(5分) ∴AB ⊥ED ，又EF//AB ，∴EF ⊥ED ；-----------------------------------------------------------------------(6分) 解：(Ⅱ)设点F 到平面PAB 的距离为d ， ∵V F−PAB =V P−ABF ，∴13S △PAB ⋅d =13S △ABP ⋅PE ，---------------------------------------------------------------------(7分)解得PE=BE=√3，由AB⊥ED，可知AB⋅ED=AE⋅BE，得ED=√32，------------------------------------(8分)∴PD=√PE2+ED2=√152，--------------------(9分)∴S△PAB=12AB⋅PD=√152，----------------------(10分)由EF//AB，可知S△ABF=12×AB×ED=√32，∴点F到平面PAB的距离d=S△ABF⋅PES△PAE =√3√5=√155.---------------------------------------------------------(12分)【解析】(Ⅰ)推导出EF//AB，PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB，PD⊥AB，进而AB⊥平面PED，AB⊥ED，再由EF//AB，能证明EF⊥ED．(Ⅱ)设点F到平面PAB的距离为d，由V F−PAB=V P−ABF，能求出点F到平面PAB的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.已知函数f(x)=e x−a(x+1)．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为0，求a的值；(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(Ⅲ)求证：当a=0时，曲线y=f(x)(x>0)总在曲线y=2+lnx的上方．【答案】解：(I)f′(x)=e x−a，∴f′(0)=1−a=0，解得a=1．(II)∵f(x)≥0恒成立，即e x≥a(x+1)恒成立，∴y=e x的图象在直线y=a(x+1)上方，由图象可知：a≥0．设直线y=k(x+1)与y=e x相切，切点为(x0,y0)，则{y 0=e x 0y 0=k(x 0+1)e x 0=k，解得{x 0=0y 0=1k =1，∴0≤a ≤1．(III)当a =0时，f(x)=e x ，设曲线y =2+lnx 在(x 1,y 1)处的切斜斜率为1，则{1x 1=1y 1=2+lnx 1，解得{y 1=2x 1=1， ∴曲线y =2+lnx 在(1,2)处的切斜为y =x +1，∴y =2+lnx 的图象在直线y =x +1下方，由(II)可知y =e x 的图象在直线y =x +1上方，∴当a =0时，曲线y =f(x)(x >0)总在曲线y =2+lnx 的上方．【解析】(I)根据f′(0)=0解出a 的值；(II)结合函数图象，求出y =e x 的过点(−1,0)的切线方程，从而可得a 的范围； (III)求出y =2+lnx 的斜率为1的切线，可得直线y =x +1为两函数图象的公切线，从而得出结论．本题考查了导数的几何意义，函数切线的求解，属于中档题．19. 已知⊙O ：x 2+y 2=4和椭圆C ：x 2+2y 2=4，F 是椭圆C 的左焦点．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交⊙O 于点Q(P,Q 不重合)，l 是过点Q 的⊙O 的切线.圆F 的圆心为点F ，半径长为|PF|.试判断直线l 与⊙F 的位置关系，并证明你的结论．【答案】(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.[(1分)]所以a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2−b 2=2．因此a =2，c =√2．故椭圆C 的离心率e =c a =√22.[(3分)] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(−√2,0).[(4分)](Ⅱ)直线l 与圆F 相切.证明如下：[(5分)]设P(x 0,y 0)，其中−2<x 0<2，则x 02+2y 02=4，[(6分)]依题意可设Q(x 0,y 1)，则x 02+y 12=4.[(7分)]直线l 的方程为y −y 1=−x0y 1(x −x 0)， 整理为 x 0x +y 1y −4=0.[(9分)]所以圆F 的圆心F 到直线l 的距离d =√2x 0√x 0+y 1= |√22x 0+2|.[(11分)]因为|PF|2=(x 0+√2)2+y 02=(x 0+√2)2+12(4−x 02)=12x 02+2√2x 0+4.[(13分)] 所以|PF|2=d 2，即|PF|=d，所以直线l与圆F相切.[(14分)]【解析】(Ⅰ)利用椭圆C的方程，求出长半轴，短半轴的长，求出半焦距的长，然后求解离心率和点F的坐标；(Ⅱ)直线l与圆F相切.设P(x0,y0)，其中−2<x0<2，则x02+2y02=4，设Q(x0,y1)，则x02+y12=4，直线l的方程x0x+y1y−4=0.通过圆F的圆心F到直线l的距离d=√2x0√x0+y1= |√22x0+2|，推出|PF|=d，得到结果．本题考查椭圆与圆的位置关系的综合应用，圆的切线方程与点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．20.数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足：a k<1(k=1,2，…，n).记A n的前k项和为S k，并规定S0=0.定义集合E n={k∈N∗,k≤n|S k>S j,j=0,1，…，k−1}．(Ⅰ)对数列A5：−0.3，0.7，−0.1，0.9，0.1，求集合E5；(Ⅱ)若集合E n={k1,k2,…,k m}(m>1，k1<k2<⋯<k m)，证明：S ki+1−S ki<1(i=1,2，…，m−1)；(Ⅲ)给定正整数C.对所有满足S n>C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．【答案】解：(Ⅰ)因为S0=0，S1=0.3，S2=0.4，S3=0.3，S4=1.2，S5=1.3，所以E5={2,4，5}．(Ⅱ)由集合E n的定义知S ki+1>S ki，且k i+1是使得S k>S ki成立的最小的k，由于S ki+1=S ki+1−1+a ki+1，所以：S ki+1<S ki+1．(Ⅲ)因为S n>S0，所以E n非空．设集合E n={k1,k2,…,k m}，不妨设k1<k2<⋯<k m，则由(Ⅱ)可知S ki+1−S ki<1 (i=1,2,…,m−1)，同理S k1−S0<1，且S n≤S km．所以S n=(S n−S km )+(S km−S km−1)+⋯+(S k2−S k1)+(S k1−S0)<0+1+1+⋯+1+1m个1=m．因为S n>C，所以E n的元素个数m≥C+1．取常数数列A n：a i=C+1C+2 (i=1,2,…,C+1)，并令n=C+1，则S n=(C+1)2C+2=C2+2C+1C+2>C，适合题意，且E n={1,2，…，C+1}，其元素个数恰为C+1．综上，E n的元素个数的最小值为C+1．【解析】(Ⅰ)直接利用信息求出结果．(Ⅱ)根据所给的条件和关系式求出结果．(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论，进一步求出关系，即集合的最小值．本题考查的知识要点：数列的应用，集合相关问题的应用．。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期理科月考（二）数学试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B.RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式或表示的区域，可知要想满足,须满足x<0时，,所以6.设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意将，，分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【详解】由题意得，，，分别是函数与图象的交点横坐标．在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，由图可得．故选A．【点睛】本题考查函数图象的应用，即结合函数的图象比较大小，解题的关键是根据题意得到，，的几何意义，然后利用数形结合求解，体现了函数图象在解题中的应用．7.若是的最小值，则的取值范围为（）.A. [-1,2]B. [-1，0]C. [1，2]D.【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．8.据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立【答案】C【解析】特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.二、填空题（本大题共6小题）9.定积分______．【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．【详解】解：由定积分公式可得，故答案为：．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题．10.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．【答案】【解析】【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．11.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．【答案】【解析】分析：利用该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，可得，解得，进而可得结果.详解：∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，∴，解得，∴，∴该食品在℃的保鲜时间．故答案为．点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得，从而使问题得以解决.13.若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，，在的最小值为，实数a的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．14.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x，x2，都有m＞0；1②对于任意的a及任意不相等的实数x，x2，都有n＞0；1③对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝n；1④对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝－n.1其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；讨论函数的单调性；当时，求函数在区间的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．【详解】解：当时，，．，又，曲线在处的切线方程为；．当时，，在上为增函数；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；由知，当时，的减区间为，增区间为，若，即时，在单调递增，；若，即，在上单调递减，在上单调递增，；若，即时，在单调递减，．综上，．【点睛】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【答案】（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．【详解】解：由于，，则，由于，则，当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；根据局部奇函数的定义，时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解，令，则，设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以时，所以，即．根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，，即有解即可．设，则，方程等价为在时有解，设，对称轴，若，则，即，，此时，若，要使在时有解，则，即，解得，综上得，【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

人大附中理科数学模拟试题精编(一)(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A．3B．4C．7D．82．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z＝()A．i B．－i C．2i D．－2i3．已知等差数列{a n}的公差为5，前n项和为S n，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝()A．80B．85C．90D．954．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A.3 4B.23C.12D.135．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是()6．已知p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln(x＋a2＋x2)为奇函数，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4x2＋展开式的常数项为()A．120B．160C．200D．2408．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f π6|对x∈R 恒成立，且f π2f (π)，则f (x )的单调递增区间是()A.k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)B.k π，k π＋π2(k ∈Z)C.k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.k π－π2，k π(k ∈Z)10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PF→＝3MF →，则|MN |＝()A.212B.323C ．10D ．1111．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为()A ．－23B ．－712 C.14 D.5612．已知函数f (x )＝|2x －m |的图象与函数g (x )的图象关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是()A.12，2B ．[2,4]－∞，12∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知|a |＝2，|b |＝1，(a －2b )·(2a ＋b )＝9，则|a ＋b |＝________.14．已知实数x ，y－3y ＋5≥0x ＋y －4≤0＋2≥0，则z ＝x ＋y的最小值为________．15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF→·NF →＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．16．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数f (x )＝x ∈[－1，0 ∈0，π2的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 相等，则此圆柱的体积为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．18．(本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ­ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AC 与BD 相交于点E ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角A ­PC ­D 的余弦值．19．(本小题满分12分)某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13.(1)若出现故障的机器台数为X ，求X 的分布列；(2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝43，A (1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值；(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点，M ，N 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM 与y 轴交于点P ，直线TN 与x 轴交于点Q ，求证：|PN |·|QM |为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a 和b 的值；(2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为＝3＋t cos α＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ＝1cos θ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|(x∈R)．(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(一)答案1．解析：选D.∵Q ＝{x |0≤x ≤52，x ∈N}＝{0,1,2}，∴满足条件的集合P 有23＝8个．2．解析：选A.由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i＝i ，故选A.3．解析：选C.由题意，得(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90，故选C.4．解析：选D.解法一：设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )＝45＋5－2040＋5＋45＝13，选D.解法二：设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”，则P (A )＝1－40＋2040＋5＋45＝13，选D.5．解析：选D.由三视图知识可知，选项A ，B ，C 表示同一个三棱锥，选项D 不是该三棱锥的三视图．6．解析：选C.f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔ln(x ＋x 2＋a 2)＋ln(－x ＋x 2＋a 2)＝0⇔ln a 2＝0⇔a ＝±1.7．解析：选4x 2＋2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6－r ·(2x )r ＝C r 62r x 2r －6，令2r －6＝0，可得r ＝3，故展开式的常数项为C 3623＝160.8．解析：选B.在空间直角坐标系O­xyz中，＜x＜1＜y＜1＜z＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域，相应区域的体积为13＝1；不＜x＜1＜y＜1＜z＜12＋y2＋z2＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为18×43π×13＝π6，因此π6≈5211000，即π≈3.126，选B.9．解析：选C.因为f(x)≤|对x∈R恒成立，即|＝＝1，所以φ＝kπ＋π6(k∈Z)．因为f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)∴－sinφ＞sinφ，即sinφ＜0，所以φ＝－56π＋2kπ(k ∈Z)，所以f(x)＝x－56π2x－5π6∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得x∈kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)，故选C.10．解析：选B.设M(x M，y M)，∵PF→＝3MF→，∴2－(－2)＝3(2－x M)，则2－x M4＝13，∴x M＝23，代入抛物线C：y2＝8x，可得y M＝±433，不妨设MF的方程为y＝－3(x－2)，代入抛物线C ：y 2＝8x ，可得3x 2－20x ＋12＝0，∴N 的横坐标为6，∴|MN |＝23＋2＋6＋2＝323.11．解析：选C.依题意得，S n ＝321n1＝1.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而减小，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.12．解析：选A.由题易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝－m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝－m |的图象如图1或图2所示，2m ≤1，log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝－m |的图象如图3所示，由图象知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为12，2.13．解析：由|a|＝2，|b|＝1可得a2＝4，b2＝1，由(a－2b)·(2a＋b)＝9可得2a2－3a·b－2b2＝9，即2×4－3a·b－2×1＝9，得a·b＝－1，故|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝4－2＋1＝ 3.答案：314.解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)及直线x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(－11，－2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋y取得最小值，最小值为z min＝－11－2＝－13.答案：－1315．解析：因为MF→·NF→＝0，所以MF→⊥NF→.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a.因为S△MNF＝12|MF|·|NF|＝ab，所以|MF||NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a ＝1，所以e ＝ca＝＝2.答案：216．解析：区域A 的面积为S ＝π4＋∫π20cosx d x ＝π4＋1，所得图一中的几何体的体积为V ＝π＋4，即圆柱的体积为V 柱＝π＋4.答案：π＋417．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，(4分)2＋b 2－ab ＝4＝4，解得a ＝2，b ＝2.(6分)(2)∵sin C ＋sin (B －A)＝2sin 2A ，∴sin (B ＋A)＋sin (B －A)＝4sin A cos A ，∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，(8分)①当cos A ＝0时，A ＝π2；(9分)②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理b ＝2a ，2＋b 2－ab ＝4＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.(12分)18．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA.又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB ＝ 3.(2分)∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，(4分)∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC.又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC.(6分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz ，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，BD →＝(－23，2,0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，∴23x －4y ＝0y －4＝0，解得＝－433＝2，∴n ＝－433，2，分)由(1)知平面PAC 的一个法向量为m ＝BD →＝(－23，2,0)，(10分)∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝8＋4933×4＝39331，由题意可知二面角A ­PC ­D 为锐二面角，∴二面角A ­PC ­D 的余弦值为39331.(12分)19．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A ，则事件A 的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X ，故X ～P (X ＝0)＝C＝1681，P (X ＝1)＝C 14·13·＝3281，P (X ＝2)＝C 24＝2481，P (X ＝3)＝C 34·23＝881，P (X ＝4)＝C＝181.即X 的分布列为：(4分)X 01234P168132812481881181(5分)(2)设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为x ≤n ，即x ＝0，x ＝1，…，x ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则n 01234P (x ≤n )16814881728180811(6分)∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.(8分)(3)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18,13,8P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，(10分)即Y 的分布列为：Y 18138P7281881181(11分)则E (Y )＝18×7281＋13×881＋8×181＝140881，故该厂获利的均值为140881.(12分)20．解：(1)解法一：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，F 1(－23，0)，F 2(23，0)．(1分)由椭圆的定义可得2a ＝＋＝1214＋254＝112＋52＝8，解得a ＝4，∴e ＝234＝32，b 2＝16－12＝4，(3分)∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y24＝1.(5分)解法二：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，椭圆C 的左焦点为F 1(－23，0)，故a 2－b 2＝12，(2分)又点A (3，－132)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则3b 2＋12＋134b 2＝1，化简得4b 4＋23b 2－156＝0，得b 2＝4，故a 2＝16，∴e ＝234＝32，椭圆C 的标准方程为x 216＋y24＝1.(5分)(2)由(1)知M (4,0)，N (0,2)，设椭圆上任一点T (x 0，y 0)(x 0≠±4且x 0≠0)，则x 2016＋y 204＝1.直线TM ：y ＝y 0x 0－4(x －4)，令x ＝0，得y P ＝－4y 0x 0－4，(7分)∴|PN |＝|2＋4y 0x 0－4|.(8分)直线TN ：y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0，得x Q ＝－2x 0y 0－2，∴|QM |＝|4＋2x 0y 0－2|.(10分)|PN |·|QM |＝|2＋4y 0x 0－4|·|4＋2x 0y 0－2|＝|2x 0＋4y 0－8x 0－4|·|2x 0＋4y 0－8y 0－2|＝4|x 20＋4y 20＋4x 0y 0－8x 0－16y 0＋16x 0y 0－2x 0－4y 0＋8|，由x 2016＋y204＝1可得x 20＋4y 20＝16，代入上式得|PN |·|QM |＝16，故|PN |·|QM |为定值．(12分)21．解：(1)因为f ′(x )＝x －ax (x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以f (2)＝2－a ln 2＝2＋b ，f ′(2)＝2－a2＝1，解得a＝2，b ＝－2ln 2.(2分)(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)内恒大于0，此时方程无解．(4分)当a ＜0时，f ′(x )＝x －ax ＞0在区间(0，＋∞)内恒成立，所以f (x )在定义域内为增函数．因为f (1)＝12＞0，＝12e 2a－1＜0，所以方程有唯一解．(6分)当a ＞0时，f ′(x )＝x 2－ax.当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，a )内为减函数，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(a ，＋∞)内为增函数，所以当x ＝a 时，取得最小值f (a )＝12a (1－ln a )．(8分)当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )＞0，方程无解；(9分)当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0，方程有唯一解；(10分)当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )＜0，因为f (1)＝12＞0，且a ＞1，所以方程f (x )＝0在区间(0，a )内有唯一解，当x ＞1时，设g (x )＝x －ln x ，g ′(x )＝1－1x ＞0，所以g (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，又g (1)＝1，所以x －ln x ＞0，即ln x ＜x ，故f (x )＝12x 2－a ln x ＞12x 2－ax .因为2a ＞a ＞1，所以f (2a )＞12(2a )2－2a 2＝0.所以方程f (x )＝0在区间(a ，＋∞)内有唯一解，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)内有两解，综上所述，当a ∈[0，e)时，方程无解，当a ＜0或a ＝e 时，方程有唯一解，当a ＞e 时，方程有两解．(12分)22．解：(1)由曲线C ＝1cos θ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.(2分)当α＝π3时，直线l＝3＋12t＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，(3分)得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB分)(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，(7分)则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|8cos 2α－sin 2α|＝|8(1＋tan 2α)1－tan 2α|，(9分)由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.(10分)23．解：(1)当m ＝1时，f(x )≥6≤－1(x ＋1)－(x －3)≥6，1＜x ＜3x ＋1)－(x －3)≥6≥3x ＋1)＋(x －3)≥6，(3分)解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}．(5分)(2)解法一：化简f (x )得，当－m ≤3时，f (x )2x ＋3－m ，x ≤－m ＋3，－m ＜x ＜3x ＋m －3，x ≥3，(6分)当－m ＞3时，f (x )2x ＋3－m ，x ≤33－m ，3＜x ＜－m ，x ＋m －3，x ≥－m(7分)m≤3＋3≤5，即－3≤m≤2，(8分)m＞3m－3≤5，即－8≤m＜－3，(9分)∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．(10分)解法二：∵|x－3|＋|x＋m|≥|(x－3)－(x＋m)|＝|m＋3|，∴f(x)min ＝|3＋m|，(7分)∴|m＋3|≤5，(8分)∴－8≤m≤2，∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．(10分)。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期理科月考（二）数学试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B.RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式或表示的区域，可知要想满足,须满足x<0时，,所以6.设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意将，，分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【详解】由题意得，，，分别是函数与图象的交点横坐标．在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，由图可得．故选A．【点睛】本题考查函数图象的应用，即结合函数的图象比较大小，解题的关键是根据题意得到，，的几何意义，然后利用数形结合求解，体现了函数图象在解题中的应用．7.若是的最小值，则的取值范围为（）.A. [-1,2]B. [-1，0]C. [1，2]D.【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．8.据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立【答案】C【解析】特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.二、填空题（本大题共6小题）9.定积分______．【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．【详解】解：由定积分公式可得，故答案为：．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题．10.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．【答案】【解析】【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．11.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．【答案】【解析】分析：利用该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，可得，解得，进而可得结果.详解：∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，∴，解得，∴，∴该食品在℃的保鲜时间．故答案为．点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得，从而使问题得以解决.13.若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，，在的最小值为，实数a的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．14.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x，x2，都有m＞0；1②对于任意的a及任意不相等的实数x，x2，都有n＞0；1③对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝n；1④对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝－n.1其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；讨论函数的单调性；当时，求函数在区间的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．【详解】解：当时，，．，又，曲线在处的切线方程为；．当时，，在上为增函数；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；由知，当时，的减区间为，增区间为，若，即时，在单调递增，；若，即，在上单调递减，在上单调递增，；若，即时，在单调递减，．综上，．【点睛】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【答案】（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．【详解】解：由于，，则，由于，则，当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；根据局部奇函数的定义，时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解，令，则，设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以时，所以，即．根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，，即有解即可．设，则，方程等价为在时有解，设，对称轴，若，则，即，，此时，若，要使在时有解，则，即，解得，综上得，【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

中国人民大学附属中学2019届高三10月统一练习数学(理)试题制卷人：杨良庆 于金华 审卷人：梁丽平说明：本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟；考生务必按要求将答案答在答题纸上．在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上．）1.若集合A ={x ∈Z ∣ |x|<3}，B ={x ∈Z ∣ x 2−3x −4<0}，则A ∩B =( )A. {0,1,2}B. {−2,−1,0,1,2,3}C. {−1,0,1,2,3}D. {−3，−2,−1,0,1,2,3,4}2.设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2nn N n ∃∈≤C.2,2n n N n ∀∈≤ D.2,=2n n N n ∃∈3.已知函数()sin x f x x=，则()()f f ππ''+−=（ ） A.2− B.2 C.2π−D.04.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.设a >0，b >0，( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b6.已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7.函数y ＝x 2－2sin x 的图象大致是( ) 2018.10.78.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出如下命题： ①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为( )A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分．请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上．）9.函数23log (1)y x =−的定义域是 . 10.=+⎰e x xx 1d )12( . 11.如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PMN ∆为等腰直角三角形，则ω等于 .12.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若221sin 2sin ,2C A b a ac =−=， 则sin B 等于 .13.已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+−≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4−，则c 的取值范围是_____． 14. 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A .(Ⅰ) f (4)= ；(Ⅱ) f (n )= (用n 表示)．三、解答题（本大题共6道小题，共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上．）15.(本题满分13分)在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ， （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求πcos(6A)的值. 16.(本题满分13分) 有时可用函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>−−≤−+=6,44.46,ln 151.0x x x x x a a x f 描述学习某学科知识的掌握程度. 其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关. （Ⅰ）求()8f 的值；（Ⅱ）证明：当7时，掌握程度的增长量()()x f x f −+1总是下降； （Ⅲ）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.（≈04.0e 1.04，≈05.0e 1.05，≈06.0e 1.06）17. （本题满分13分）已知函数()2cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （Ⅰ）求f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）求函数)(x f y =的对称轴方程，并求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18.（本题满分13分）设函数()23ln f x x x x =−+． x *x N ∈()f x x ≥（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =在直线22y x =−的下方（含部分点在直线上）.19. (本题满分14分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(Ⅰ)求a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求函数F (x )= kg (x )－f (x )（k ∈R ）的单调区间；(Ⅲ)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求实数k 的取值范围．20. (本题满分14分)对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M −∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=−. 已知{2,4,6,8,10}A ，{1,2,4,8,16}B .（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）试求出满足,P Q AB ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆的集合对（P ，Q ）有多少个.。