北京人大附中2017届高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)

一、选择题1．(0分)[ID ：67657]按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）A ．x=－4，y=－2B ．x=3， y=3C ．x=2，y=4D ．x=4，y=0 2．(0分)[ID ：67654]下列说法中，①a - 一定是负数；② a -一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④一个数的平方等于它本身的数是1；⑤两个数的差一定小于被减数；⑥如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．(0分)[ID ：67652]13-的倒数的绝对值（ ）A ．－3B ．13- C ．3 D ．134．(0分)[ID ：67644]计算：11322⎛⎫⎛⎫-÷-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．﹣12 D ．125．(0分)[ID ：67638]已知︱x ︱=4，︱y ︱=5且x ＞y ，则2x-y 的值为（ ）A ．-13B ．+13C ．-3或+13D ．+3或-1 6．(0分)[ID ：67621]下列有理数大小关系判断正确的是（ ）A ．11910⎛⎫-->-⎪⎝⎭ B ．010>- C ．33-<+D ．10.01->- 7．(0分)[ID ：67616]如果|a |＝－a ，下列成立的是( ) A ．－a 一定是非负数B ．－a 一定是负数C ．|a |一定是正数D ．|a |不能是0 8．(0分)[ID ：67612]一件商品原售价为2000元，销售时先提价10%；再降价10%，现在的售价与原售价相比（ ）A ．提高20元B ．减少20元C ．提高10元D ．售价一样 9．(0分)[ID ：67606]在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）A ．1，2B ．1，3C ．4，2D ．4，310．(0分)[ID ：67588]若|x|=7|y|=5x+y>0，，且，那么x-y 的值是 （ ） A ．2或12 B ．2或-12 C ．-2或12D ．-2或-12 11．(0分)[ID ：67584]下列四个式子，正确的是（ ） ①33.834⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭；②3345⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③ 2.5 2.5->-；④125523⎛⎫-->+ ⎪⎝⎭． A ．③④B ．①C ．①②D ．②③ 12．(0分)[ID ：67564]已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．m ＞0B ．n ＜0C ．mn ＜0D ．m －n ＞0 13．(0分)[ID ：67563]甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ）A ．1℃~3℃B ．3℃~5℃C ．5℃~8℃D ．1℃~8℃ 14．(0分)[ID ：67569]已知 1b a 0-<<< ，那么 a b,a b,a 1,a 1+-+- 的大小关系是（ ） A ．a b a b a 1a 1+<-<-<+B ．a 1a b a b a 1+>+>->-C ．a 1a b a b a 1-<+<-<+D ．a b a b a 1a 1+>->+>- 15．(0分)[ID ：67568]下列各式计算正确的是（ ）A ．826(82)6--⨯=--⨯B ．434322()3434÷⨯=÷⨯C ．20012002(1)(1)11-+-=-+D ．-（-22）=-4二、填空题16．(0分)[ID ：67743]3-的平方的相反数的倒数是___________.17．(0分)[ID ：67730]数轴上，如果点 A 所表示的数是3-,已知到点 A 的距离等于 4 个单位长度的点所表示的数为负数，则这个数是_______．18．(0分)[ID ：67699]绝对值不大于2.1的所有整数是____，其和是____．19．(0分)[ID ：67691]33278.5 4.5 1.67--=____(精确到千分位) 20．(0分)[ID ：67686]把35.89543精确到百分位所得到的近似数为________．21．(0分)[ID ：67668]分别输入1-，2-，按如图所示的程序运算，则输出的结果依次是_________，________．输入→+4 →（-（-3））→-5→输出22．(0分)[ID ：67662]若m ﹣1的相反数是3，那么﹣m ＝__．23．(0分)[ID ：67750]一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第100落下时，落点在数轴上表示的数是_________ .24．(0分)[ID ：67735]已知0a >，0b <，b a >，比较a ，a -，b ，b -四个数的大小关系，用“<”把它们连接起来：_______．25．(0分)[ID ：67734]在数轴上，距离原点有2个单位的点所对应的数是________． 26．(0分)[ID ：67733]在数轴上与表示 - 2的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是 _________ ．27．(0分)[ID ：67719]比较大小：364--_____________()6.25--． 三、解答题28．(0分)[ID ：67957]计算：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭； 29．(0分)[ID ：67940]计算：（1）()()34287⨯-+-÷；（2）()223232-+---．30．(0分)[ID ：67877]表格记录的是龙岗区图书馆上周借书情况：(规定：超过200册记为正，少于200册记为负)．（1）上星期五借出多少册书？（2）上星期四比上星期三多借出几册？（3）上周平均每天借出几册？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．C4．C5．C6．A7．A8．B9．A10．A11．D12．C13．B14．C15．C二、填空题16．【分析】根据倒数相反数平方的概念可知【详解】−3的平方是99的相反数是-9-9的倒数是故答案为【点睛】此题考查倒数相反数平方的概念及性质解题关键在于掌握各性质定义17．-7【分析】根据在数轴上点A所表示的数为3可以得到到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是什么再根据负数的定义即可求解【详解】解：∵点A所表示的数是-3到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数18．﹣2﹣10120【分析】找出绝对值不大于21的所有整数求出之和即可【详解】绝对值不大于21的所有整数有﹣2﹣1012之和为﹣2﹣1+0+1+2=0故答案为：﹣2﹣1012；0【点评】此题考查了绝对值19．【分析】根据有理数的运算法则进行运算再精确到精确到千分位【详解】故答案为【点睛】此题主要考查近似数解题的关键是熟知有理数的运算法则20．90【分析】要精确到百分位看看那个数字在百分位上然后看看能不能四舍五入【详解】解：3589543可看到9在百分位上后面的5等于5往前面进一位所以有理数3589543精确到百分位的近似数为3590故答21．0【分析】根据图表运算程序把输入的值-1-2分别代入进行计算即可得解【详解】当输入时输出的结果为；当输入时输出的结果为故答案为：①1；②0【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算是基础题读懂图表理解运22．2【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可得关于m的方程根据解方程可得m的值再根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数可得答案【详解】解：由m-1的相反数是3得m-1=-3解得m=-2-m=23．-50【分析】根据题意列出式子然后计算即可【详解】根据题意落点在数轴上表示的数是0＋1－2＋3－4＋……＋99－100=（1－2）＋（3－4）＋……＋（99－100）===-50故答案为：-50【点24．b＜-a＜a＜-b【分析】先在数轴上标出ab-a-b的位置再比较即可【详解】解：∵a＞0b ＜0|b|＞|a|∴b＜-a＜a＜-b故答案为：b＜-a＜a＜-b【点睛】本题考查了数轴相反数和有理数的大小25．【分析】由绝对值的定义可知：|x|=2所以x=±2【详解】设距离原点有2个单位的点所对应的数为x由绝对值的定义可知：|x|=2∴x=±2故答案为±2【点睛】本题考查了绝对值的性质属于基础题型26．-5或1【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示-2的点的左边时当点在表示-2的点的右边时列出算式求出即可【详解】分为两种情况：①当点在表示-2的点的左边时数为-2-3=-5；②当点在表示-2的点的27．【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号再根据正数大于负数两个负数比较大小大的数反而小可得答案【详解】∵由于∴故答案为：【点睛】本题考查了绝对值的化简以及有理数大小比较两个负数比较大小绝对值大的数反而小三、解答题28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【分析】根据y的正负然后代入两个式子内分别求解，看清条件逐一排除即可．【详解】当x=－4，y=－2时，－2＜0，故代入x2－2y，结果得20，故不选A；当x=3，y=3时，3＞0，故代入x2+2y，结果得15，故不选B；当x=2，y=4时，4＞0，故代入x2+2y，结果得12，C正确；，故代入x2+2y，结果得16，故不选D；当x=4，y=0时，00故选C．【点睛】此题考查了整式的运算，重点是看清楚程序图中的条件，分别代入两个条件式中进行求解．2．A解析：A【分析】根据正数和负数、绝对值、倒数等相关的性质，逐一判断即可．【详解】①-a不一定是负数，若a为负数，则-a就是正数，故说法不正确；②|-a|一定是非负数，故说法不正确；③倒数等于它本身的数为±1，说法正确；④0的平方为0，故说法不正确；⑤一个数减去一个负数，差大于被减数，故说法不正确；⑥如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数，故说法正确．说法正确的有③、⑥，故选A．【点睛】本题主要考查有理数的加法、正数和负数、绝对值、倒数，能熟记相关的定义及其性质是解决此类题目的关键．3．C解析：C【分析】 首先求13-的倒数，然后根据绝对值的含义直接求解即可．【详解】 13-的倒数为-3，-3绝对值是3， 故答案为：C ．【点睛】本题考查了倒数和绝对值的概念，熟练掌握概念是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据有理数的除法法则，可得除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘法运算，可得答案．【详解】原式﹣3×（﹣2）×（﹣2）=﹣3×2×2=﹣12，故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的乘除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，计算过程中，最后结果的正负根据原式中负号的个数确定，原则是奇负偶正．5．C解析：C【分析】 由4x =，5y =可得x=±4，y=±5，由x ＞y 可知y=-5，分别代入2x-y 即可得答案．【详解】 ∵4x =，5y =，∴x=±4，y=±5，∵x ＞y ，∴y=-5，当x=4，y=-5时，2x-y=2×4-（-5）=13，当x=-4，y=-5时，2x-y=2×（-4）-（-5）=-3，∴2x-y 的值为-3或13，故选：C ．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出x ，y 的值是解答此题的关键．6．A解析：A【分析】先化简各式，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．【详解】 ∵1199⎛⎫--= ⎪⎝⎭，111010--=-，11910>-， ∴11910⎛⎫-->-- ⎪⎝⎭，故选项A 正确； ∵1010-=，010<， ∴010<-，故选项B 不正确； ∵33-=，33+=， ∴33-=+，故选项C 不正确； ∵11-=，0.010.01-=，10.01>，∴10.01-<-，故选项D 不正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．7．A解析：A【分析】根据绝对值的性质确定出a 的取值范围，再对四个选项进行逐一分析即可．【详解】∵|a|=-a ，∴a≤0，A 、正确，∵|a|=-a ，∴-a≥0；B 、错误，-a 是非负数；C 、错误，a=0时不成立；D 、错误，a=0时|a|是0．故选A ．【点睛】本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．8．B解析：B【分析】根据题意可列式现在的售价为()()2000110110⨯+%⨯-%，即可求解．【详解】解：根据题意可得现在的售价为()()20001101101980⨯+%⨯-%=（元），所以现在的售价与原售价相比减少20元，故选：B ．【点睛】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意列出算式是解题的关键．9．A解析：A【解析】试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30， 30+4×3=42，故选A ．点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．10．A解析：A【分析】由绝对值性质可知x 和y 均有两种可能取值，再根据x+y>0排除不可能取值，代入求值即可.【详解】 由x 7=可得x=±7，由y 5=可得y=±5，由x+y>0可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5，则x y 75122-=±=或，故选A【点睛】绝对值具有非负性，因此去绝对值时要根据题干条件全面考虑.11．D解析：D【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据正数大于负数，两个负数比较大小，大的数反而小，可得答案．【详解】①∵33 3.754⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，33.83 3.754>=，∴33.834⎛⎫-<-+⎪⎝⎭，故①错误；②∵33154420⎛⎫--==⎪⎝⎭，21335502⎛⎫--==⎪⎝⎭，1512 2020>，∴3345⎛⎫⎛⎫-->--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；③∵ 2.5 2.5-=，2.5 2.5>-，∴ 2.5 2.5->-，故③正确；④∵111523623⎛⎫--==⎪⎝⎭，217533346+==，3334 66<，∴125523⎛⎫-->+⎪⎝⎭，故④错误．综上，正确的有：②③．故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的化简以及有理数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．12．C解析：C【解析】从数轴可知m小于0，n大于0，从而很容易判断四个选项的正误．解：由已知可得n大于m，并从数轴知m小于0，n大于0，所以mn小于0，则A，B，D 均错误．故选C．13．B解析：B【解析】【分析】根据“1℃～5℃”，“3℃～8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：设温度为x ℃，根据题意可知1538x x x x ≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≤⎩ 解得35x ≤≤．故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．14．C解析：C【分析】根据有理数大小比较的法则分别进行解答，即可得出答案．【详解】解：∵-1＜b ＜a ＜0，∴a+b ＜a+(-b)=a-b ．∵b ＞-1，∴a-1=a+(-1)＜a+b ．又∵-b ＜1，∴a-b=a+(-b)＜a+1．综上得：a-1＜a+b ＜a-b ＜a+1，故选：C ．【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的法则和有理数的加法法则是解题的关键．15．C解析：C【分析】原式各项根据有理数的运算法则计算得到结果，即可作出判断．【详解】A 、82681220--⨯=--=-，错误，不符合题意；B 、433392234448÷⨯=⨯⨯=，错误，不符合题意； C 、20012002(1)(1)110-+-=-+=，正确，符合题意；D 、-（-22）=4，错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．二、填空题16．【分析】根据倒数相反数平方的概念可知【详解】−3的平方是99的相反数是-9-9的倒数是故答案为【点睛】此题考查倒数相反数平方的概念及性质解题关键在于掌握各性质定义解析：1 9 -【分析】根据倒数，相反数，平方的概念可知．【详解】−3的平方是9,9的相反数是-9，-9的倒数是1 9 -故答案为1 9 -.【点睛】此题考查倒数，相反数，平方的概念及性质．解题关键在于掌握各性质定义.17．-7【分析】根据在数轴上点A所表示的数为3可以得到到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是什么再根据负数的定义即可求解【详解】解：∵点A所表示的数是-3到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数解析：-7【分析】根据在数轴上，点A所表示的数为3，可以得到到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是什么，再根据负数的定义即可求解．【详解】解：∵点A所表示的数是-3，到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数为负数，∴这个数是-3-4=-7．故答案为：-7．【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是明确数轴的特点，知道到一个点的距离等3个单位长度的点表示的数有两个．18．﹣2﹣10120【分析】找出绝对值不大于21的所有整数求出之和即可【详解】绝对值不大于21的所有整数有﹣2﹣1012之和为﹣2﹣1+0+1+2=0故答案为：﹣2﹣1012；0【点评】此题考查了绝对值解析：﹣2，﹣1，0，1，2 0【分析】找出绝对值不大于2.1的所有整数，求出之和即可．【详解】绝对值不大于2.1的所有整数有﹣2、﹣1、0、1、2，之和为﹣2﹣1+0+1+2=0， 故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2；0【点评】此题考查了绝对值的意义和有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．【分析】根据有理数的运算法则进行运算再精确到精确到千分位【详解】故答案为【点睛】此题主要考查近似数解题的关键是熟知有理数的运算法则 解析： 2.559-【分析】根据有理数的运算法则进行运算，再精确到精确到千分位．【详解】33278.5 4.55231.6 2.56 2.5597823543--=-≈- 故答案为 2.559-．【点睛】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知有理数的运算法则．20．90【分析】要精确到百分位看看那个数字在百分位上然后看看能不能四舍五入【详解】解：3589543可看到9在百分位上后面的5等于5往前面进一位所以有理数3589543精确到百分位的近似数为3590故答解析：90【分析】要精确到百分位，看看那个数字在百分位上，然后看看能不能四舍五入．【详解】解：35.89543可看到9在百分位上，后面的5等于5，往前面进一位，所以有理数35.89543精确到百分位的近似数为35.90，故答案为：35.90．【点睛】本题考查了精确度，精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．21．0【分析】根据图表运算程序把输入的值-1-2分别代入进行计算即可得解【详解】当输入时输出的结果为；当输入时输出的结果为故答案为：①1；②0【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算是基础题读懂图表理解运 解析：0【分析】根据图表运算程序，把输入的值-1，-2分别代入进行计算即可得解．【详解】当输入1-时，输出的结果为14(3)514351-+---=-++-=；当输入2-时，输出的结果为24(3)524350-+---=-++-=．故答案为：①1；②0【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，是基础题，读懂图表理解运算程序是解题的关键．22．2【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可得关于m的方程根据解方程可得m的值再根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数可得答案【详解】解：由m-1的相反数是3得m-1=-3解得m=-2-m=解析：2【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，再根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，可得答案．【详解】解：由m-1的相反数是3，得m-1=-3，解得m=-2．-m=+2．故选：A．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．23．-50【分析】根据题意列出式子然后计算即可【详解】根据题意落点在数轴上表示的数是0＋1－2＋3－4＋……＋99－100=（1－2）＋（3－4）＋……＋（99－100）===-50故答案为：-50【点解析：-50【分析】根据题意,列出式子,然后计算即可．【详解】根据题意,落点在数轴上表示的数是0＋1－2＋3－4＋……＋99－100=（1－2）＋（3－4）＋……＋（99－100）=()()()10021111÷--+-+-个=150-⨯=-50故答案为：-50．【点睛】此题考查的是有理数的加减法的应用，掌握有理数的加、减法法则和加法结合律是解决此题的关键．24．b＜-a＜a＜-b【分析】先在数轴上标出ab-a-b的位置再比较即可【详解】解：∵a＞0b＜0|b|＞|a|∴b＜-a＜a＜-b故答案为：b＜-a＜a＜-b【点睛】本题考查了数轴相反数和有理数的大小解析：b＜-a＜a＜-b【分析】先在数轴上标出a、b、-a、-b的位置，再比较即可．【详解】解：∵a＞0，b＜0，|b|＞|a|，∴b＜-a＜a＜-b，故答案为：b＜-a＜a＜-b．【点睛】本题考查了数轴，相反数和有理数的大小比较，能知道a、b、-a、-b在数轴上的位置是解此题的关键．25．【分析】由绝对值的定义可知：|x|=2所以x=±2【详解】设距离原点有2个单位的点所对应的数为x由绝对值的定义可知：|x|=2∴x=±2故答案为±2【点睛】本题考查了绝对值的性质属于基础题型解析：2【分析】由绝对值的定义可知：|x|=2，所以x=±2．【详解】设距离原点有2个单位的点所对应的数为x，由绝对值的定义可知：|x|=2，∴x=±2．故答案为±2．【点睛】本题考查了绝对值的性质，属于基础题型．26．-5或1【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示-2的点的左边时当点在表示-2的点的右边时列出算式求出即可【详解】分为两种情况：①当点在表示-2的点的左边时数为-2-3=-5；②当点在表示-2的点的解析：-5或1【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示-2的点的左边时，当点在表示-2的点的右边时，列出算式求出即可．【详解】分为两种情况：①当点在表示-2的点的左边时，数为-2-3=-5；②当点在表示-2的点的右边时，数为-2+3=1；故答案为-5或1．【点睛】本题考查了数轴的应用，注意符合条件的有两种情况．在数轴上到一个点的距离相等的点有两个，一个在这个点的左边，一个在这个点的右边．27．【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号再根据正数大于负数两个负数比较大小大的数反而小可得答案【详解】∵由于∴故答案为：【点睛】本题考查了绝对值的化简以及有理数大小比较两个负数比较大小绝对值大的数反而小 解析：<【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据正数大于负数，两个负数比较大小，大的数反而小，可得答案．【详解】 ∵3276 6.7544--=-=-，()6.25 6.25--=， 由于 6.75 6.25-<， ∴36( 6.25)4--<--， 故答案为：<．【点睛】本题考查了绝对值的化简以及有理数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．三、解答题28．（1）6；（2）11．【分析】（1）先变成省略括号和形式，同时把小数化分数，把分数相加，同号相加，最后异号相加即可；（2）先算乘方，去绝对值和带分数化假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可．【详解】解：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭， =1312744+-+， =1217+-，=13-7，=6；（2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭， =()351124444⎛⎫++⨯--⨯- ⎪⎝⎭++-=11235=11．【点睛】本题考查含有乘方的有理数混合，掌握有理数混合运算的法则，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．29．-；（2）6．（1）16【分析】（1）先算乘除，后算加法即可；（2）原式先计算乘方运算，再化简绝对值，最后算加减运算即可求出值．【详解】=--=-（1）原式12416=-+-=（2）原式34926【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．（1）188册；（2）25册；（3）202册【分析】（1）由题意可知，周五借出的册数少于200册，即可解答．（2）根据正负数的定义分别求出周三、周四的册数，再解答即可．（3）将5天的册数分别求出，再求平均数即可．【详解】解：（1）200-12=188册．（2）（200+8）-（200-17）=208-183=25册．（3）[（200+21）+（200+10）+（200-17）+（200+8）+（200-12）]÷5=202册．答：上星期五借出188册书，上星期四比上星期三多借出25册，上周平均每天借出202册．【点睛】主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数加减乘除混合运算的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．。

2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣15．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（只需写出一个即可）11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A?B且B?A，则不同的选法共有种．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2?a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．20．对于序列A0：a0，a1，a2，…，a n（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，a n﹣1+a n，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A0）），记作A2=T2（A0）；…；A n﹣1=T n﹣1（A0）．最后得到的序列A n﹣1只有一个数，记作S（A0）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A0）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A0）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A0）的什么条件？请说明理由．2016-2017学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B?A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D．5．函数y=log2的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log2的定义域为（1，+∞），故排除C，D；函数y=log2为增函数，故排除B，故选：A．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC?CD=BC?CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA?OC?cos∠AOC=4+1﹣2?2?1?cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC?CD=BC?CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC?DC?cos∠BCD=1+﹣2?1??=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB的最小面积为4．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB=2S ACP．，要求四边形PACB的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P在直线x﹣y+4=0上，设P（t，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d2=（t﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d2=2（t2+2t+5）=2（t+1）2+8，∴，那么：，则|PA|min=2，三角形PAC的最小面积为：=2，可得：S PACB=2S ACP=4，所以：四边形PACB的最小面积S PABC=4，故答案为：4．12．已知双曲线C的渐进线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有8个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A?B且B?A，则不同的选法共有9种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A?B且B?A．先去掉{1，2，3}和?，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A?B且B?A，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A和B，A?B且B?A．先去掉{1，2，3}和?，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A?B且B?A，有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范围，可得2x﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则有函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，则有sin（2x+）∈[﹣1，1]，则当x=时，f（x）取得最小值，且为1，当x=时，f（x）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2?a3=40．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n；（II）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，则a2=2+d，a3=2+2d，∴（2+d）（2+2d）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n}为递减数列，∴d=﹣6．∴a n=2﹣6（n﹣1）=8﹣6n，S n=?n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{b n}的公比为q，则，解得或．∵{b n}为递减数列，∴．∴b n=﹣2?2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N *）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x 2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m，ame m），则对应的切线斜率k=f′（m）=a（1+m）e m，则切线方程为y﹣ame m=a（1+m）e m（x﹣m），即y=a（1+m）e m（x﹣m）+ame m=a（1+m）e m x﹣ma（1+m）e m+ame m=a（1+m）e m x﹣m2ae m，∵y=e（x﹣）=y=ex﹣e，∴∴，即若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，则实数a的值是．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），离心率e=，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解出即可得出．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），直线AB的方程与题意方程联立化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M的坐标，可得线段AB的中垂线方程，令y=0，可得x0，通过对k分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：e==，=，又a2+b2=c2．联立解得：c2=12，a=4，b=2．∴椭圆C的标准方程为：=1．（II）设直线AB的方程为：y=kx+，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），线段AB的中垂线方程为：y﹣y3=﹣（x﹣x3）．联立，化为：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，△＞0，∴x1+x2=﹣，∴x3==﹣．y3=kx3+=．∴线段AB的中垂线方程为：y﹣=﹣（x+）．令y=0，可得x0==，k＞0时，0＞x0≥．k＜0时，0＜x0≤．k=0时，x0=0也满足条件．综上可得：点Q的横坐标x0的取值范围是．20．对于序列A0：a0，a1，a2，…，a n（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，a n﹣1+a n，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A0）），记作A2=T2（A0）；…；A n﹣1=T n﹣1（A0）．最后得到的序列A n﹣1只有一个数，记作S（A0）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A0）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A0）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I）序列A0为1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即可得出S（A0）．（II）n=1时，S（A0）=1+2=3；n=2时，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n时，S（A0）=?1+?2+?3+…+?n+?（n+1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III）序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，B=A0?S（B）=S（A0）．而反之不成立．例如取序列B为：n，n﹣1，…，2，1．满足S（B）=S（A0）．即可得出．【解答】解：（I）序列A0为1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即8，∴S（A0）=8．（II）n=1时，S（A0）=1+2=3．n=2时，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…，取n﹣1时，S（A0）=?1+?2+?3+…+（n﹣1）+?n，取n时，S（A0）=?1+?2+?3+…+?n+?（n+1），利用倒序相加可得：S（A0）=×2n=（n+2）?2n﹣1．由序列A0为1，2，…，n，可得S（A0）=（n+2）?2n﹣1．（III）序列B为序列A0：1，2，…，n的一个排列，B=A0?S（B）=S（A0）．而反之不成立．例如取序列B为：n，n﹣1，…，2，1．满足S（B）=S（A0）．因此B=A0是S（B）=S（A0）的充分不必要条件．2016年11月6日。

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）统练数学试卷（八）试题数：17，总分：1001.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x|x2-1＞0}，集合B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）2.（单选题，5分）直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=03.（单选题，5分）将函数y=sin（x+ π4）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是（）A.y=sin2xB.y=sin 12xC.y=sin（2x+ π4）D.y=sin（2x- π4）4.（单选题，5分）已知方程x217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，下列结论正确的是（）A.k的取值范围为8＜k＜17B.k的取值范围为k＜8C.双曲线的焦距为10D.双曲线的实轴长为105.（单选题，5分）在△ABC中，a=8，b=10，△ABC的面积为20√3，则△ABC中最大角的正切值是（）A. 5√33B. −√3C. −√33D. 5√33或−√36.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为（）A. √32B. 12C. √22D. 137.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，有不共线的三点A，B，C，已知AB，AC所在直线的斜率分别为k1，k2，则“k1k2＞-1”是“∠BAC为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，5分）对于曲线C：y=f（x）上任意一点A（x1，y1），在曲线C上都存在唯一的B（x2，y2），满足线段AB的中点在直线l：y-2=0上，则称直线l为曲线C的“腰线”，则下列曲线中：① y=e x；② y=x3-x；③ y=2sinx；④ y=lnx．则l为“腰线”的曲线的条数为（）A.1B.2C.3D.49.（填空题，4分）直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，那么m的值是___ ．10.（填空题，4分）在等比数列{a n}中，a2=2，且1a1+1a3=54，则a1+a3的值为___ ．11.（填空题，4分）直线l：y=kx-1被圆C：（x-2）2+y2=4截得的弦长为4，则k的值为___ ．12.（填空题，4分）已知m，4，n是等差数列，那么(√2)m•(√2)n =___ ；mn的最大值为___ ．13.（填空题，4分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；② 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；③ 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．14.（填空题，4分）曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：① 曲线C过点（-1，1）；② 曲线C关于点（-1，1）对称；③ 若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④ 设p0为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=-1、点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是___ ．15.（问答题，12分）已知函数f（x）= √2 sin（2x- π）+2 √2 cos2x．6（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最值．16.（问答题，12分）设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．17.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，且过点（1，√32）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）统练数学试卷（八）参考答案与试题解析试题数：17，总分：1001.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x|x2-1＞0}，集合B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）【正确答案】：C【解析】：运用二次不等式的解法和指数函数的值域，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】：解：全集为R，集合A={x|x2-1＞0}={x|x＞1或x＜-1}，集合B={y|y=3x，x∈R}={y|y＞0}，A∩B=[（-∞，-1）∪（1，+∞）]∩（0，+∞）=（1，+∞），故选：C．【点评】：本题考查集合的化简和运算，考查二次不等式和指数函数的值域，考查运算能力，属于中档题．2.（单选题，5分）直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【正确答案】：C【解析】：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线l的直线的斜率，再求出直线l的斜率，利用点斜式可得直线方程．【解答】：解：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，圆心坐标为C （-1，2）．∵弦AB的中点D（-2，3），∴k CD= 3−2−2+1=-1，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0．故选：C．【点评】：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键．3.（单选题，5分）将函数y=sin（x+ π4）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是（）A.y=sin2xB.y=sin 12xC.y=sin（2x+ π4）D.y=sin（2x- π4）【正确答案】：D【解析】：利用三角函数的伸缩变换将y=sin（x+ π4）图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+ π4）图象，再利用平移变换可得答案．【解答】：解：函数y=sin（x+ π4）图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+ π4）图象，再将函数y=sin（2x+ π4）图象向右平移π4个单位，所得图象的函数解析式为y=sin[2（x- π4）+ π4）]=sin（2x- π4），故选：D．【点评】：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握其平移变换与伸缩变换的规律是关键，属于中档题．4.（单选题，5分）已知方程x217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，下列结论正确的是（）A.k的取值范围为8＜k＜17B.k的取值范围为k＜8C.双曲线的焦距为10D.双曲线的实轴长为10【正确答案】：B【解析】：由题意可得17-k＞0，k-8＜0，解得k的范围，将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c，即可判断正确结论．【解答】：解：方程x 217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得17-k＞0，k-8＜0，解得k＜8，则双曲线的方程为x 217−k - y28−k=1，可得a= √17−k，b= √8−k，c= √25−2k，则A，C，D均错，B正确．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴长和焦距，考查运算能力，属于基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，a=8，b=10，△ABC的面积为20√3，则△ABC中最大角的正切值是（）A. 5√33B. −√3C. −√33D. 5√33或−√3【正确答案】：D【解析】：根据三角形的面积公式求出C的值，再讨论确定是否为最大角，从而求出最大角的正切值．【解答】：解：由△ABC的面积为S△ABC= 12×8×10×sinC=20 √3，解得sinC= √32；又0＜C＜π，所以C= π3或2π3．① 当C= 2π3时，C是最大角，其tan 2π3=- √3；② 当C= π3时，由余弦定理得c= √82+102−2×8×10×cosπ3=2 √21＜10．所以边b是最大边．由余弦定理得cosB= 2√21)222×8×2√21= √2114，所以B为锐角，sinB= √1−cos2B = √1−(√2114)2= 5√714，所以tanB= sinBcosB =5√714√2114= 5√33．综上知，△ABC中最大角的正切值是- √3或5√33．故选：D．【点评】：本题考查了三角形的面积计算问题，也考查了余弦定理和正切函数的应用问题，是中档题．6.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为（）A. √32B. 12C. √22D. 13【正确答案】：A【解析】：利用双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，得到ba= 12，由此可求出椭圆x2 a2+y2b2=1的离心率．【解答】：解：∵双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，∴ b a = 12，即b= 12a．∴在椭圆x2a2+y2b2=1中，c= √a2−(12a)2= √32a，∴e= ca = √32．故选：A．【点评】：本题考查椭圆的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，有不共线的三点A，B，C，已知AB，AC所在直线的斜率分别为k1，k2，则“k1k2＞-1”是“∠BAC为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：D【解析】：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．＞0，【解答】：解：由题意“∠BAC为锐角”，可得：tan∠BAC= k1−k21+k1k2即（k1-k2）（1+k1k2）＞0，∵k1k2＞-1，不一定大于0，∴tan∠BAC= k1−k21+k1k2＞0，同理tan∠BAC= k1−k21+k1k2k1k2不一定大于-1∴是既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.（单选题，5分）对于曲线C：y=f（x）上任意一点A（x1，y1），在曲线C上都存在唯一的B（x2，y2），满足线段AB的中点在直线l：y-2=0上，则称直线l为曲线C的“腰线”，则下列曲线中：① y=e x；② y=x3-x；③ y=2sinx；④ y=lnx．则l为“腰线”的曲线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：A【解析】：由题意可得直线l为曲线C的“腰线”的前提是y1+y2=4成立，且满足任意的点A，存在唯一的点B，分别对① ② ③ ④ ，结合函数的值域和单调性，即可得到所求结论．【解答】：解：由题意可得直线l为曲线C的“腰线”，等价为y1+y2=4，对于① ，y=e x，由e x1+e x2=4，且e x＞0，不满足任意的x1，存在唯一的x2，故① 错误；对于② ，y=x3-x，由y1+y2=4，即（x13-x1）+（x23-x2）=4，当x13-x1=4，x23-x2=0，可得x2=0或x2=±1，不满足任意的点A，存在唯一的点B，故② 错误；对于③ ，y=2sinx的值域为[-2，2]，由2sinx1+2sinx2=4，可得sinx1=sinx2=1，不满足任意的x1，存在唯一的x2，故③ 错误；对于④ ，y=lnx的值域为R，且y=lnx在（0，+∞）递增，由lnx1+lnx2=4，满足任意的x1，存在唯一的x2，故④ 正确．故选：A．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，以及函数的单调性和值域，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.（填空题，4分）直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，那么m的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用两直线平行的位置关系即可求出m的值．【解答】：解：∵直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，∴ 2 m =m+13≠4−6，∴m=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查了两直线平行的位置关系，是基础题．10.（填空题，4分）在等比数列{a n}中，a2=2，且1a1+1a3=54，则a1+a3的值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，且1a1+1a3=54，∴ q 2 + 12q= 54，解得q=2或12．当q=2时，则a 1+a 3= 22+2×2 =5； 当q= 12时，则a 1+a 3= 212+2× 12=5．故答案为：5．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.（填空题，4分）直线l ：y=kx-1被圆C ：（x-2）2+y 2=4截得的弦长为4，则k 的值为___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：直接利用直线与圆的位置关系的应用求出结果．【解答】：解：直线l ：y=kx-1被圆C ：（x-2）2+y 2=4截得的弦长为4， 所以：直线y=kx-1经过圆心（2，0）， 则0=2k-1，解得k= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.（填空题，4分）已知m ，4，n 是等差数列，那么 (√2)m•(√2)n=___ ；mn 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]16; [2]16【解析】：由m ，4，n 是等差数列，可得m+n=8．再利用指数幂的运算性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：∵m ，4，n 是等差数列， ∴m+n=8．则 (√2)m•(√2)n= (√2)m+n= (√2)8=24=16； mn ≤(m+n 2)2=16，当且仅当m=n 时取等号．因此mn 的最大值为16． 故答案分别为：16；16．【点评】：本题考查了等差数列的性质、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．13.（填空题，4分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；② 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；③ 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：图（1）中，点A的几何意义代表付出的成本，射线AB的倾斜程度表示票价，再对比观察图（2）和图（3）中的改变量与未变量即可得解．【解答】：解：图（1）中，点A的几何意义代表付出的成本，射线AB的倾斜程度表示票价，图（2）中射线AB的倾斜程度未变，只将点A上移，所以说法① 正确，图（3）中点A的位置未变，将射线AB的倾斜程度变大，所以说法③ 正确，故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查函数图象的变换，理解函数图象中截距和倾斜度的几何意义是解题的关键，考查学生将理论与实际生活相联系的能力和逻辑推理能力，属于基础题．14.（填空题，4分）曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：① 曲线C过点（-1，1）；② 曲线C关于点（-1，1）对称；③ 若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④ 设p0为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=-1、点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：由题意曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】：解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y-1|=k2，对于① ，将（-1，1）代入验证，此方程不过此点，所以① 错；对于② ，把方程中的x被-2-x代换，y被2-y 代换，方程不变，故此曲线关于（-1，1）对称．② 正确；对于③ ，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|∴|PA|+|PB|≥2 √|PA||PB| =2k，③ 正确；对于④ ，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k2．所以④ 正确．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．）+2 √2 cos2x．15.（问答题，12分）已知函数f（x）= √2 sin（2x- π6（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及两角和差的正弦公式，进行化简，结合三角函数的单调性进行求解．（Ⅱ）根据三角函数的有界性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）f （x ）= √2 sin （2x- π6 ）+2 √2 cos 2x= √2 （sin2x• √32 - 12 cos2x+cos2x+1）= √2 （sin2x• √32 + 12 cos2x+1）= √2 sin （2x+ π6 ）+ √2 ， 由2kπ- π2 ≤2x+ π6 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z 得kπ- π3 ≤x≤kπ+ π6 ，k∈Z ，即函数的单调递增区间为[kπ- π3 ，kπ+ π6 ]，k∈Z ， 由2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2，k∈Z 得kπ+ π6 ≤x≤kπ+ 2π3 ，k∈Z ，即函数的单调递减区间为[kπ+ π6，kπ+ 2π3]，k∈Z ； （Ⅱ）当sin （2x+ π6）=1时，函数f （x ）取得最大值， 此时最大值为f （x ）= √2+√2 =2 √2 ．当sin （2x+ π6 ）=-1时，函数f （x ）取得最小值， 此时最大值为f （x ）=- √2+√2 =0．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将三角函数进行化简是解决本题的关键．16.（问答题，12分）设函数f （x ）=x 2+ax-lnx （a∈R ）． （Ⅰ）若a=1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O 作曲线y=f （x ）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）a=1时，f （x ）=x 2+ax-lnx （x ＞0）， f′(x )=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，根据函数的定义域，确定f′（x ）＞0和f′（x ）＞0的范围，进而得到函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而a≤1x−2x对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt-1=0的唯一的解，可得结论．【解答】：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax-lnx（x＞0），∴ f′(x)=2x+1−1x =(2x−1)(x+1)x，又∵ x∈(0 ， 12) ， f′(x)＜0 ， x∈(12 ， +∞) ， f′(x)＞0，f（x）的单调递减区间为(0 ， 12)，单调递增区间为(12 ， +∞)．（Ⅱ）∵ f′(x)=2x+a−1x又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即2x+a−1x≤0对任意x∈（0，1]恒成立，∴ a≤1x−2x对任意x∈（0，1]恒成立，令g(x)=1x−2x，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=-1．∴a≤-1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），f′(x)=2x+a−1x，∴过M点的切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），即y−(t2+at−lnt)=(2t+a−1t)(x−t)又切线过原点，所以，0−(t2+at−lnt)=(2t+a−1t)(0−t)，即t2+lnt-1=0，显然t=1是方程t2+lnt-1=0的解，设φ（t）=t2+lnt-1，则φ′（t）=2t+ 1t＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt-1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，是导数的综合应用，难度中档．17.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，且过点（1，√32）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为√32，所以a2=4b2．又因为椭圆C过点（1，√32），所以1a2+34b2=1，解得椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，k PB•k MB=-1，设P（x0，y0），则P关于B的对称点N（2-x0，-y0），进而得到实数m的值．【解答】：（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为√32，所以a2=4b2．又因为椭圆C 过点（1， √32），所以 1a 2+34b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆C 的方程为 x 24+y 2=1 ． （Ⅱ）设P （x 0，y 0），-2＜x 0＜2，x 0≠1，则 x 024+y 02=1 ．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N （2-x 0，-y 0），所以2-x 0=m ． 由A （-2，0），P （x 0，y 0），可得直线AP 的方程为y= y 0x 0+2（x+2）， 令x=m ，得y= y 0x0+2（m+2），即M （m ， y 0x0+2（m+2））． 因为PB⊥MB ，所以k PB •k MB =-1，所以k PB •k MB = y 0x 0−1 • y0x 0+2(m+2)m−1=-1，即 y 02•(m+2)(x 0−1)(x 0+2)(m−1) =-1．因为 x 024+y 02=1 ．所以 (x 0−2)(m+2)4(x 0−1)(m−1)=1． 因为x 0=2-m ，化简得3m 2-10m+4=0，解得m= 5±√133． 因为m ＞2，所以m= 5+√133【点评】：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线垂直的充要条件，难度较大．。

北京人大附中2017届高三（上）期末试卷卷一一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．（4分）给定原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A．逆命题：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否命题：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．（4分）双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=06．（4分）已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．（4分）已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣8．（4分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．11．（5分）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|=，|PF2|=．12．（5分）已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．（5分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．（5分）已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M 的轨迹为C（I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞.16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4 （1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|卷二一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|P A|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．（10分）在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则=．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．（16分）如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD 将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案卷一一、选择题1．A【解析】当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．C【解析】由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，可知：=+，=，==，=﹣+．故选：C．4．A【解析】原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆命题是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否命题是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否命题是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定命题是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．C【解析】由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即：x±y=0．故选：C6．C【解析】由题意得a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．D【解析】由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．A【解析】曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题9．【解析】∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．-4【解析】∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．2.5 1.5【解析】椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，|PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．【解析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得：=+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．（1，2]∪[3，+∞）【解析】命题p为真时，实数m满足△=m2﹣4＞0且﹣m＜0，解得m＞2，命题q为真时，实数m满足△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，p∨q为真命题、p∧q为假命题，∴p，q一真一假；①若q真且p假，则实数m满足1＜m＜3且m≤2，解得1＜m≤2；②若q假且p真，则实数m满足m≤1或m≥3且m＞2，解得m≥3；综上可知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．【解析】（I）设M（x，y），又A（0，2），点B（0，﹣2），∴，即，∴曲线C的方程为；（Ⅱ）设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆4x2+y2=4，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0．△=4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）=16（k2﹣m2+4）．．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴==0．化简得：5m2=4（1+k2），即．点O到直线PQ的距离d==．则===，由≥，得：|OP|•|OQ|≥．∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥2=．∴S△OPQ=|OP|•|OQ|≥．故答案为：，．三、解答题15．解：（1）2﹣3=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）=（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）=（1，﹣5，8）．|2﹣3|==3．（2）∵cos＜，＞===，＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．16．（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．卷二一、填空题18．（2，2）或（2，﹣2）【解析】（I）设P（x，y），则|P A|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|P A|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|P A|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19． 3【解析】（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=，=，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题20．解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．。

北京市人大附中2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．12B ．16．若arctan(3)-=（）A ．2π3B ．-7．已知tan 2θ=，则2sin θ+A ．45B ．-8．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数A ．向左平移π6个单位长度A ．()f α的定义域是{|αB ．()f α的图象的对称中心是C ．()f α的单调递增区间是D ．()f α对定义域内的α10．已知单位向量a ､b ､c ，满足123a b c λλλ++的最大值为（A ．3B ．二、双空题11．已知(1,2),(3,4)a b == ，则三、填空题12．已知向量(1,2)a = ,与向量四、双空题13．已知扇形的半径为6cm 扇形的面积为cm 五、填空题六、双空题七、解答题17．已知函数()sin(ω=f x x π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得析式；条件①：函数()f x 的图象经过点（Ⅰ）用,OA OB 表示CB；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且八、单选题19．函数4()cos 3f x x =--A ．．C ．．．已知集合()2{|,,M a a x y ==N 且}1y ≥，O 为坐标原点，当)()11222,,,y M OB x y M ∈∈=()1212,A B x x y y =-+-)332,y M ∈，则“存在0λ>是“()()(,,+=d A B d B C d A ．充分不必要条件．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件九、双空题①1秒钟后，点P 的横坐标为②t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用十、填空题24．若关于x 的方程cos x ⎛+ ⎝则321x x x ++=．25．定义一种向量运算“⊗”：十一、解答题26．给定正整数2n ≥，设集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k M t t t t k n ==∈=L L αα．对于集合M 中的任意元素12(,,,)n x x x =L β和12(,,,)n y y y =L γ，记1122n n x y x y x y ⋅=+++L βγ．设A M ⊆，且集合12{|(,,,),1,2,,}i i i i in A t t t i n ===L L αα，对于A 中任意元素,i j αα，若,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩则称A 具有性质(,)T n p ．(1)判断集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =是否具有性质(3,2)T ？说明理由；(2)判断是否存在具有性质(4,)T p 的集合A ，并加以证明；(3)若集合A 具有性质(,)T n p ，证明：12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L ．参考答案：17．(1)π()sin 26f x x ⎛=+ ⎝(2)ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意得到三个方程，分析方程组即可求解；（2）先求出π26x +所在的范围，正弦函数的性质得到【详解】（1）因为()f x 在区间因为2T ωπ=，且0ω>，解得又因为π6x =是函数()f x 的对称轴，所以若选条件①：因为函数f 因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=当0k =时，2ω=，满足题意，故若选条件②：因为π,03⎛⎫⎪⎝⎭因为1BO AD == ，2CD BO = 所以()()()2,0,0,1,3,2A B C .所以()1,2AC = ，()2,1AB =-.因为点P 在线段AB 上，且AB 所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭因为()3,1CB =--，所以cos 53CP CB PCB CP CB ⋅∠==⋅ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．19．A【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解【详解】由已知条件得函数(f x【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则3π=可知，ABC 三点在一个定圆上，g x的图象如图所示，所以函数()由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数，故选项①不正确；所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项②正确；由ππ244g f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以函数()g x 的图象不关于x =对于方程()π2g x x ⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根；当()1g x =时，π2x =，此时π2g ⎛ ⎝当()2g x =时，πx =，此时(π)g 故方程()π2g x x ⋅=只有一个实数根，故选项④正确故选：B.23．3-32sin π⎛- ⎝【分析】设1秒钟后点P 运动到此确定1P 的坐标，设t 秒钟后点不妨设t 秒钟后，点P 的横坐标为由已知函数()f t 为周期函数，周期为最小值为2-，最大值为2，故可设()(sin x A t A ωϕ=+>所以2A =，2π2ω=，所以ω由已知点0P 逆时针旋转5π6后，点所以56t =秒时，点P 的横坐标为所以5π2sin 26ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以所以2π2π3k ϕ=+，所以2π2sin π2π+3x t k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以t 秒钟后，点P 到直线l 故答案为：3-；32sin π⎛- ⎝24．4π【分析】设()πcos 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合条件证明1322x x x +=，（2）假设集合A 具有性质(4,)T p ，分别考虑1,2,3,4p =时，集合A 中的元素，即可根据(,)T n p 的定义求解.（3）根据假设存在j 使得1j c p +≥，考虑当1c n =时以及11p c n +<≤时，分量为1的个数即可讨论求解.【详解】（1）因为(1,1,0)(1,1,0)1111002⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=．又(1,1,0)(1,0,1)1110011⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=．所以集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =具有性质(3,2)T ．（2）当4n =时，集合A 中的元素个数为4．由题设{0,1,2,3,4}p ∈．假设集合A 具有性质(4,)T p ，则①当0p =时，{(0,0,0,0)}A =，矛盾．②当1p =时，{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}A =，不具有性质(4,1)T ，矛盾．③当2p =时，{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆．因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A 中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A 中；(1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾．④当3p =时，{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}A =，不具有性质()4,3T ，矛盾．⑤当4p =时，{(1,1,1,1)}A =，矛盾．综上，不存在具有性质(4,)T p 的集合A ．（3）记12(1,2,,)j j j nj c t t t j n =+++=L L ，则12n c c c np +++=L ．若0p =，则{(0,0,,0)}A =L ，矛盾．若1p =，则{(1,0,0,,0)}A =L ，矛盾．故2p ≥．假设存在j 使得1j c p +≥，不妨设1j =，即11c p +≥．当1c n =时，有j c =0或1j c =(2,3,,)j n =L 成立．所以12,,,n αααL 中分量为1的个数至多有(1)212≤n n n n np +-=-<．当11p c n +<≤时，不妨设11211,111,0p n t t t t +=====L ．因为n n p αα⋅=，所以n α的各分量有p 个1，不妨设23,11n n n p t t t +====L ．由i j ≠时，1i j αα⋅=可知，{2,3,,1}q p ∀∈+L ，121,,,,q q p q t t t +L 中至多有1个1，即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，至多含有121p p p ++=+个1．又1i n αα⋅=(1,2,,1)i p =+L ，则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，含有(1)(1)22p p p +++=+个1，矛盾．所以(1,2,,)j c p j n =L ≤．因为12n c c c np +++=L ，所以j c p =(1,2,,)j n =L ．所以12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L ．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

2023北京人大附中高一10月月考数 学一､选择题（每题4分，共10道题）1. 下列六个关系式：①{}{},,a b b a =；②{}{},,a b b a ⊆；③{}∅=∅；④{}0=∅；⑤{}0∅⊆；⑥{}00∈．其中正确的个数是（ ）A. 1B. 3C. 4D. 62. 若0a b >>，则下列不等式错误的是（ ） A.11a b<B.11b b a a +<+ C. 11a b b a+>+ D. 11a b a b+>+ 3. 已知集合{}2R 340A x x x =∈−−≤，{}R B x x a =∈≤，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围为 A. ()4,+∞B. [)4,+∞C. (),4−∞D. (],4−∞4. 设计如图所示的四个电路图，条件p ：“灯泡L 亮”；条件q ：“开关S 闭合”，则p 是q 的必要不充分条件的电路图是（ ）A. B.C. D.5. 下列命题不正确的是（ ） A. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是“R,0x x ∀∈≤” C. 设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“228x y +≥”的必要不充分条件 D. 设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 6. 若1x >，则141x x +−的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 127. 已知集合{}1,A a =，{}02B x x =<<，且A B ⋂有2个子集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (],0−∞ B. ()(]0,11,2C. [)2,+∞D. (][),02,−∞+∞8.如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 9. “1m <”是“210x mx −+>在()1,x ∈+∞上恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知集合{}N 19M x x =∈≤≤，集合123,,A A A 满足：①每个集合都恰有3个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（ ）A. 60B. 63C. 56D. 57二､填空题（每题4分，共5道题）11. 若a ，b 同时满足下列两个条件： ①a b ab +>；②11>+a b ab． 请写出一组a ，b 的值____________．12. 已知集合{1,2,3}A =，则集合{,}B x yx A y A =−∈∈∣的所有子集的个数是________. 13. 设命题p ：实数x 满足()()30x a x a −−<，其中0a >：命题q ：实数x 满足23x <<.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________. 14. 下列说法正确的是__________. ①Q a ∈是R a ∈的充分不必要条件； ②x y =是x y =的必要不充分条件 ③21x >是1x >的充分不必要条件； ④0a b +<是0,0a b <<的必要不充分条件 15. 对非空有限数集12{,,,}n A a a a =定义运算“min”：min A 表示集合A 中的最小元素．现给定两个非空有限数集A ，B ，定义集合{|,,}M x x a b a A b B ==−∈∈，我们称min M 为集合A ，B 之间的“距离”，记为AB d ．现有如下四个命题：①若min min A B =，则0AB d =；②若min min A B >，则0AB d >； ③若0AB d =，则A B ⋂≠∅；④对任意有限集合A ，B ，C ，均有AB BC AC d d d +．其中所有真命题的序号为__________．三､解答题（每题8分，共5道大题）16. 已知集合{22}A xx =−<<∣，{}221B x m x m =−≤≤+∣． （1）当1m =时，求集合A B ⋃；（2）若A ，B 满足：①A B ⋂=∅，②A B A ⋃=，从①②中任选一个作为条件，求实数m 的取值范围．17. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过C 点.已知4AB =米，3AD =米，设AN 的长为()3x x >米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？（2）求当AM ，AN 的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小，并求出此最小值； 18. 已知命题2:,210p x x x a ∃∈−++<R ，集合A 为命题p 为真命题时实数a 的取值集合. 集合(){}222150B x x m x m =+++−=∣.（1）求集合A ；（2）若{}2A B =−，求实数m 的值；（3）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的取值范围. 19. 已知集合(){}121212,1,0,0D x x x xx x =+=>>．（1）设12u x x =，求u 的取值范围； （2）对任意()12,x x D ∈，证明：12121194x x x x ⎛⎫⎛⎫−−≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 20. 已知关于x 的不等式2320ax x −+>的解集为{|1x x <或}x b >. （1）求a ，b 的值； （2）当0x >，0y >且满足1a bx y+=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.参考答案一､选择题（每题4分，共10道题）1. 【答案】C【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集合的关系可判定⑥.【详解】①正确，集合中元素具有无序性； ②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{}∅表示的是含∅这个元素的集合，所以{}∅=∅不成立. ④错误，∅表示空集，而{}0表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以{}0=∅不成立； ⑤正确，空集是任何非空集合的真子集； ⑥正确，由元素与集合的关系知，{}00∈． 故选：C. 2. 【答案】D【分析】由不等式性质可判断A ，C ；利用作差法判断B ；举反例可判断D ，即得答案. 【详解】对于A ，0a b >>，则11a b<，正确； 对于B ，因为0a b >>，则0b a −<， 故101(1)b b b a a a a a +−−=<++，即11b b a a +<+，B 正确； 对于C ，因为0a b >>，则110b a >>，故11a b b a+>+，C 正确； 对于D ，取11,2a b ==满足0a b >>，但11522a b a b +=<+=，D 错误， 故选：D 3. 【答案】B【分析】化简集合A ，再利用并集运算求解【详解】对于集合A ，()()234410x x x x −−=−+≤，解得14x −≤≤.由于A B B ⋃=故4a ≥.故选：B 4. 【答案】A【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案. 【详解】对于A ，灯泡L 亮，可能是1S 闭合，不一定是S 闭合， 当S 闭合时，必有灯泡L 亮，故p 是q 的必要不充分条件，A 正确； 对于B ，由于S 和L 是串联关系，故灯泡L 亮，必有S 闭合， S 闭合，灯泡L 亮，即p 是q 的充要条件，B 错误；对于C ，灯泡L 亮，则开关1S 和S 必都闭合，当开关S 闭合1S 打开时，灯泡L 不亮，故p 是q 的充分不必要条件，C 错误； 对于D ，灯泡L 亮，与开关S 闭合无关，故p 是q 的既不充分也不必要条件，D 错误， 故选：A 5. 【答案】C【分析】根据充分不必要条件以及必要不充分条件的概念可判断A ，C ，D ；根据含有一个量词的命题的否定判断B ，即可得答案. 【详解】对于A ，当1a >时，11a<成立； 当11a<时，a<0适合该式，但推不出1a >， 故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，A 正确； 对于B ，命题“有些实数的绝对值是正数”为存在量词命题 它的否定是“R,0x x ∀∈≤”，正确；对于C ，当2x ≥且2y ≥时，可得到228x y +≥；取3,1x y ==，满足228x y +≥，但推不出2x ≥且2y ≥， 故“2x ≥且2y ≥”是“228x y +≥”的充分不必要条件，C 错误； 对于D ，当0a ≠，0b =时，0ab =，推不出0ab ≠； 当0ab ≠时，推出0a ≠且0b ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，D 正确， 故选：C 6. 【答案】B 【分析】由()1114444414111x x x x x x +=−++=−++−−−，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为1x >，所以10x −>，101x >−，因此()111444441448111x x x x x x +=−++=−++≥=−−−， 当且仅当1441x x −=−，即32x =时，等号成立.故选：B . 7. 【答案】D【分析】由A B ⋂有2个子集可得A B ⋂中元素仅有1个，从而得a B ∉，即可求得a 的范围. 【详解】解：A B 有2个子集，AB ∴中的元素个数为1个，()1A B ∈，()a A B ∴∉，即a B ∉，0a ∴≤或2a ≥，即实数a 的取值范围为(][),02,−∞+∞，故选：D. 8. 【答案】A【详解】正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A ．9. 【答案】A【分析】先由不等式恒成立求出m 的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由210x mx −+>在()1,x ∈+∞上恒成立，得1m x x<+在()1,x ∈+∞上恒成立，令1()f x x x=+，由对勾函数的性质可知()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增， 所以()(1)2f x f >=， 所以2m ≤，所以“210x mx −+>在(1,x ∈+∞上恒成立”的充要条件为2m ≤， 所以“1m <”是“210x mx −+>在()1,x ∈+∞上恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 10. 【答案】A【分析】由集合M 中最小值1与最大值9构成集合1A 中两个元素，若使123X X X ++取得最大值，则将12A ∈，从而依次确定1X 、2X 、3X ，同理求最小值，从而解得．【详解】集合{N |19}M x x =∈≤≤中最小值为1，最大值为9， ①若使123X X X ++取得最大值，不妨设11A ∈，19A ∈，则110X =，则1{1A =，2，9}， 则剩余的数中最小值为3，最大值为8， 令2{3A =，4，8}，则211X =， 则3{5A =，6，7}，312X =，则123X X X ++的最大值为10111233++=，②若使123X X X ++取得最小值， 则1{1A =，8，9}，则110X =， 则剩余的数中最小值为2，最大值为7， 令2{2A =，6，7}，则29X =，则3{3A =，4，5}，38X =，则此时123X X X ++的最小值为109827++=， 故123X X X ++的最大值与最小值的和为60， 故选：A ．二､填空题（每题4分，共5道题）11. 【答案】1,2a b =−=或其他任意合理答案【分析】根据不等式的性质，判断a 和b 的正负及绝对值的大小即可. 【详解】容易发现，若将①式转化为②式，需使()0a b ab +< 即a b +与ab 异号，显然应使0a b +>，0ab <当0,0a b <>时，需使0a b +>，则a b <，可取1,2a b =−=； 当0,0a b ><时，需使0a b +>，则a b >，可取2,1a b ==−. 综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 故答案为：1,2a b =−=或其他任意合理答案. 12. 【答案】32 【分析】根据条件求出集合B【详解】因为集合{1,2,3}A =，则集合{}{,}21012B x yx A y A =−∈∈=−−∣，，，，， 所以集合B 的所有子集的个数是5232=个， 故答案为：32. 13. 【答案】[1,2]【分析】设命题,p q 相应的集合为,A B ，根据p 是q 的必要不充分条件可得B A ，由此列不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题p ：实数x 满足()()30x a x a −−<，其中0a >， 则3a x a <<，设其对应集合为(,3)A a a =；命题q ：实数x 满足23x <<，设其相应集合为(2,3)B =， 因为p 是q 的必要不充分条件，故B A ， 则2a ≤且33a ≥，即12a ≤≤，当1a =时，(1,3)A =，满足B A ，当2a =时，(2,6)A =，满足B A ，故实数a 的取值范围是[1,2]， 故答案为：[1,2] 14. 【答案】①②④【分析】根据充分不必要条件以及必要不充分条件的概念一一判断各小题，即可得答案. 【详解】对于①，由Q 是R 的真子集，故Q a ∈是R a ∈的充分不必要条件，正确； 对于②，取1,1x y ==−，满足x y =，但推不出x y =；当x y =时，必有x y =，故x y =是x y =的必要不充分条件，正确； 对于③，取2x =−满足21x >，但推不出1x >，当1x >时，必有21x >，故21x >是1x >的必要不充分条件，错误； 对于④，取1,2a b ==−满足0a b +<，但推不出0,0a b <<，当0,0a b <<时，必有0a b +<，故0a b +<是0,0a b <<的必要不充分条件，正确， 故答案为：①②④ 15. 【答案】①③ 【分析】根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误.【详解】对于结论①，若min min A B =，则A ，B 中最小的元素相同，故①正确； 对于结论②，取集合{}1,2A =，{}0,2B =，满足min min A B >，但0AB d =，故②错误； 对于结论③，若0AB d =，则,A B 中存在相同的元素，则交集非空，故③正确；对于结论④，取集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}3,4C =，可知0AB d =，0BC d =，1AC d =， 则AB BC AC d d d +≥不成立，故④错误. 故答案为：①③．三､解答题（每题8分，共5道大题）16. 【答案】（1）{}23A B x x ⋃=−<≤（2）选①，[)3,4,2∞∞⎛⎤−−⋃+ ⎥⎝⎦；选②，()1,30,2∞⎛⎫−−⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.（2）选择条件后，根据集合B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围. 【小问1详解】当1m =时，求集合{}13B x x =−≤≤，{}23A B x x ⋃=−<≤.【小问2详解】若选择条件①，A B ⋂=∅，当B =∅时，221m m −>+，解得3m <−， 当B ≠∅时， 由A B ⋂=∅可得221212m m m −≤+⎧⎨+≤−⎩或22122m m m −≤+⎧⎨−≥⎩，解得332m −≤≤−或4m ≥， 综上m 的取值范围是[)3,4,2∞∞⎛⎤−−⋃+ ⎥⎝⎦.若选择条件②A B A ⋃=，则集合B 是集合A 的子集， 当B =∅时，221m m −>+，解得3m <−，当B ≠∅时，有22122212m m m m −≤+⎧⎪−<−⎨⎪+<⎩，解得102m <<， 综上m 的取值范围是()1,30,2∞⎛⎫−−⋃ ⎪⎝⎭. 17. 【答案】（1）9(3,)(9,)2+∞（2）6AN =，8AM =最小面积为48平方米【分析】（1）先表达出AMPN 的面积表达式，54AMPN S >时解出不等式，即可知AN 的取值范围. （2）令3t x =−，将式子化成对勾函数后求最值. 【小问1详解】解：设AN 的长为x 米（3x >）ABCD 是矩形 DN DC ANAM∴=43xAM x ∴=− 24(3)3AMPNx S AN AM x x ∴==>−由54AMPNS >，得24543x x >− 3x >(29)(9)0x x ∴−−>，解得932x <<或9x > 即AN 的取值范围为9(3,)(9,)2+∞【小问2详解】令243x y x =−，3t x =−（0t >），则3x t =+24(3)94(6)48t y t t t+∴==++≥当且仅当9(0)t t t=>，即3t =时，等号成立，此时6AN =，8AM =最小面积为48平方米 18. 【答案】（1）(),0∞−； （2）1m =−； （3）()(),35,−∞−+∞【分析】（1）命题p 为真命题时等价于0∆>，求解即可；（2）结合（1）的结论，由{}2A B =−得{2}B −⊆，即2−为()222150x m x m +++−=的根，代入解出m ，再由m 求得方程另一个根，检验{}2A B =−是否依然成立；（3）x B ∈是x A ∈的充分条件等价于B A ⊆，分别讨论B =∅、B ≠∅，其中B ≠∅由韦达定理列不等式组求解 【小问1详解】命题p 为真命题时等价于()()224140a a ∆=−−+=−>，即0a <，故集合A 为(),0∞−；【小问2详解】由{}2A B =−得{2}B −⊆，即()()()22222125045m m m m −++⋅−+−−−==，解得5m =或1m =−，设()222150x m x m +++−=的另一根根为n ，则()221n m −=−+，即2n m =−，当5m =时，10n =−，则{}2,10AB =−−，不符合题意；当1m =−时，2n =，则{}2A B =−，符合题意； 故实数m 的值为1−； 【小问3详解】由x B ∈是x A ∈的充分条件得B A ⊆，i. 当B =∅时，即()()2241458240m m m ∆=+−−=+<，解得3m <−；ii. 当B ≠∅时，设()222150x m x m +++−=的根为12,x x ，则()1221221050Δ8240x x m x x m m ⎧+=−+<⎪=−>⎨⎪=+≥⎩，解得>m故实数m 的取值范围为()(),35,−∞−+∞ 19. 【答案】（1）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【分析】（1）依题意可得211u x x =−+，101x <<，再根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意121212112x x x x x x ⎛⎫⎛⎫−−=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再结合（1）即可证明. 【小问1详解】解：若12u x x =，又121x x =，则()21211111u x x x x x x ==−=−+，101x <<，所以211y x x =−+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以当112x =时，211y x x =−+取得最大值14， 故u 的取值范围为10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【小问2详解】证明：121212*********x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫−−=+−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22212121212121212112x x x x x x x x x x x x x x −+−++=+=+1292+24x x u =+=≤，当且仅当1212x x ==时取等号． 20. 【答案】（1）1a =，2b =（2）[3,2]−【分析】（1）由不等式2320ax x −+>的解集为{|1x x <或}x b >，得到1和b 是方程2320ax x −+=的两个实数根求解.（2）根据121x y +=，由()124224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值即可. 【小问1详解】解：因为不等式2320ax x −+>的解集为{|1x x <或}x b >， 所以1和b 是方程2320ax x −+=的两个实数根，且0a >， 所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩， 即1a =，2b =.【小问2详解】由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=， 故()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥， 当且仅当4y x x y =，结合121x y +=，即24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 依题意有()2min 22x y k k +≥++，即282k k ≥++，得260k k +−≤，即32k −≤≤，所以k 的取值范围为3,2.。

一、解答题1．李阿姨要买16瓶某种品牌的酸奶，经了解，甲、乙两个商店这种品牌酸奶的单价都是8.5元/瓶，甲店：每瓶打八折出售，乙店：每2瓶一组，第1瓶全价，第2瓶半价。

李阿姨到哪个商店购买比较划算？最少需要多少元钱？2．明明看一本故事书，第一天看了27，第二天与第一天看的页数同样多，还剩下这本书的几分之几？3．李大爷将20000元存入银行，存期为一年。

一年后，李大爷得到利息多少元？4．列式并计算．（1）2减23与34的积，所得的差除以58得多少？（2）甲数的18是24，乙数是24的18，甲乙两数相比谁多，多多少？5．有一个半径是8米的圆形花坛，在它的周围铺设一条2米宽的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？（π取3.14）6．外婆养了24只鸡，比鸭的只数多15，外婆养鸡鸭一共有多少只？7．张叔叔驾车行驶在高速公路上，当前车速是125千米/时．当前方出现限速标志时，如果张叔叔保持原速度继续行驶，他将受到什么处罚？(写出理由)8．明明和妈妈步行到2000米远的超市购物，返回时从文具店买钢笔回家．请根据折线图回答问题．（1）明明和妈妈在超市购物停留了________分钟．（2）明明家离文具店有________米．（3）明明和妈妈去超市时步行的平均速度是每小时多少米？9．一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了156千米。

照这样的速度，从甲地到乙地共需8小时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解）10．只列式不计算。

（1）一本故事书原价20元，现在每本按原价打九折出售，现价多少元？（2）某校五（1）班今天到校48人，请病假的有2人，这个班今天的出勤率是多少？11．一个圆锥形的沙堆，底面积是28. 26平方米，高是2.5米，用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？12．李萍将压岁钱500元存人银行，存期三年，年利率是2.75%，到期后，李萍总共能取出多少钱？13．仓库里有水泥6000千克，现取出其中的40%，按5：3分配给甲、乙两个建筑队，两队各分得水泥多少千克？14．暑假期间，学校准备用方砖铺走廊，用边长0.3米的方砖，正好需要480块，如果改用边长是0.4米的方砖铺，则需要多少块？（用比例知识解答）15．如图，学校操场的跑道由长方形的两条对边和两个半圆组成．沿着操场跑一圈，一共是多少米？16．求下图阴影部分的面积。

2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中练习数学试题一、单选题1．已知全集{1U =，2，3，4，5}，{2A =，4，5}，{3B =，5}，则()U A B =⋃（ ） A ．{3} B ．{2，4} C ．{1，2，3，4} D ．{1，2，4，5}【答案】D【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】全集{1U =，2，3，4，5}，{3B =，5}，{1U B ∴=，2，4}，{2A =，4，5}，(){1U A B ∴=⋃，2，4，5}，故选：D2．下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案． 【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x =，值域是{|01}N y y =，C 正确； 对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误； 故选：C ．3．命题“0x ∃∈R ，2010x x ++<”的否定是（ ） A ．不存在0x ∈R ，20010x x ++≥B ．0x ∃∈R ，20010x x ++≥C ．x ∀∈R ，210x x ++<D ．x ∀∈R ，210x x ++≥ 【答案】D【分析】根据特称命题的否定直接判断.【详解】根据特称命题的否定，可得命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++≥”. 故选：D4．设1x ，2x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．5- C ．1 D ．1-【答案】B【分析】由题意利用韦达定理可得12+x x 和12x x ⋅的值，再根据22112121212()2x x x x x x x x x x +-⋅+=⋅，计算求得结果．【详解】由1x ，2x 是方程2330x x +-=的两个实数根， 可得123x x +=-，213x x ⋅=-，∴22112121212()29653x x x x x x x x x x +-⋅++===-⋅-. 故选：B 5．不等式2301xx ->-的解集为（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将不等式化为()()1320x x --<，从而可得答案. 【详解】解：不等式2301xx ->-可转化成()()1320x x --<， 解得213x <<. 故选：D .6．在下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，()2g x =B ．()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．()1f x =，()x g x x= D ．()2f x x =，()()21g x x =+【答案】B【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.【详解】若()f x 与()g x 表示同一个函数，则()f x 与()g x 的定义域和解析式相同.A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0)+∞，，故排除A ； B ：0()0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，与()g x 的定义域、解析式相同，故B 正确；C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{0}x x ≠，故排除C ；D ：()f x 与()g x 的解析式不相同，故排除D. 故选：B 7．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式性质和分式不等式的求解分别验证充分性和必要性即可得到结论. 【详解】当1x >时，11x <成立，故充分性成立；当11x<时，0x <或1x >，故必要性不成立 ∴“1x >”是“11x<”的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到不等式的性质和分式不等式的求解的知识，属于基础题.8．在用“二分法”求函数()f x 零点近似值时，第一次所取的区间是[]3,5-，则第三次所取的区间可能是（ ） A ．[]1,5 B ．[]2,1- C ．[]1,3 D ．[]2,5【答案】C【分析】由第一次所取的区间是[]3,5-，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间. 【详解】因为第一次所取的区间是[]3,5-， 所以第二次所取的区间可能是[][]3,1,1,5-，则第三次所取的区间可能是[][][][]3,1,1,1,1,3,3,5---， 故选：C9．张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW h /⋅公里）剩余续航里程（单位：公里） 2021年10月2日 20000.1253802021年10月3日 22000.124 166（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电数指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程)=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量（单位：kW h /⋅公里）估计正确的是（ ）A ．0.104B ．0.114C ．0.118D ．0.124【答案】B【分析】根据题目中平均耗电量的定义，计算出行驶200公里的平均耗电量，即可求解． 【详解】由题意可得，累计200公里内的平均耗电量为kW h /⋅公里，故对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量为0.114kW h /⋅公里． 故选：B10．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >a D ．a >c >b【答案】A【分析】把给出的已知条件c ﹣b ＝4﹣4a +a 2右侧配方后可得c ≥b ，再把给出的两个等式联立消去c 后，得到b ＝1+a 2，利用作差可得b 与a 的大小关系． 【详解】由c ﹣b ＝4﹣4a +a 2＝（2﹣a ）2≥0，∴c ≥b ． 再由b +c ＝6﹣4a +3a 2① c ﹣b ＝4﹣4a +a 2②①﹣②得：2b ＝2+2a 2，即b ＝1+a 2． ∵22131()024a a a +-=-+＞，∴b ＝1+a 2＞a ．∴c ≥b ＞a ． 故选A ．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题．11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交圆周于D ，连接OD .作CE OD ⊥交OD 于E .则下列不等式可以表示CD DE≥的是（ ）A ()20,0abab a b a b>>+ B ．)0,02a bab a b +>> C ()220,022a b a ba b ++>> D ．()2220,0a b ab a b +≥>>【答案】A【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD 和D E 的长度，利用CD >D E 即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.【详解】连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，所以在Rt ADB ∆中，中线22AB a bOD +==，由射影定理可得2CD AC CB ab =⋅=，所以CD ab =在Rt DCO ∆中，由射影定理可得2CD DE OD =⋅，即222CD ab abDE a b OD a b ===++，由CD DE ≥2abab a b+， 故选：A12．已知函数()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，[]12,0,x x m ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()12f x f x -≤的解集是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m ，再根据偶函数的对称性和题设给的[]0,x m ∈的增减性解题即可【详解】 ()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，120m m ∴-+=，解得1m =，()f x 的定义域为[]1,1- 又[]12,0,1x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在[]0,1x ∈单调递减，再由偶函数的对称性可知()()[][]11,11221,112x f x f x x x x⎧-∈-⎪-≤⇔∈-⎨⎪-≥⎩，解得10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略()f x 所有括号中的取值都必须在定义域内二、多选题13．设函数()1,2,x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[]0,1B ．()()π 3.14D D >C ．()D x 是偶函数 D ．()D x 是单调函数【答案】BC【分析】由()D x 的值域为{}1,2判断A ，由()()π2 3.141D D =>=判断B ，根据奇偶性的定义判断C ；由()()()1231D D D ===判断D. 【详解】()D x 的值域为{}1,2，故A 错误；()()π2 3.141D D =>=，故B 正确；定义域关于原点对称，当x Q ∈时，x Q -∈，则()()1D x D x -==；当x Q ∉时，x Q -∉，则()()2D x D x -==，即()D x 是偶函数，故C 正确；因为()()()1231D D D ===，所以()D x 不是单调函数，故D 错误； 故选：BC三、填空题14．函数1()1f x x =+的定义域为_____________. 【答案】(,1)(1,2]-∞-⋃-【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则2010x x -≥⎧⎨+≠⎩，故2x ≤且1x ≠-，从而()f x 的定义域为(,1)(1,2]-∞-⋃-， 故答案为：(,1)(1,2]-∞-⋃-.15．满足{}{}11,2,3A ⊆⊆的集合A 的个数为____________个.【答案】4【解析】根据子集的定义即可得到集合A 的个数； 【详解】{}{}11,2,3A ⊆⊆，∴{}1A =或{}1,2或{}1,3或{}1,2,3，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.16．已知函数(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a --≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(3,5]【分析】由分段函数在其定义域内单调得在各段单调，且在连接点处须注意函数值大小，得2301041a a a ->⎧⎪-<⎨⎪-⎩，从而求出实数a 的取值范围． 【详解】解：∵(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a --≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩2(3)1,11,1a x x a a x x a --≤⎧⎪=⎨-+>⎪+⎩，且函数在(,)-∞+∞上单调递增， ∴2301041a a a ->⎧⎪-<⎨⎪-⎩， 解得：35a <≤， 故答案为：(3,5].【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，分段函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．17．已知定义在非零实数上的奇函数()f x ，满足()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则()1f 等于______. 【答案】3-【分析】由()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得()()1123f f +-=，再根据奇函数的定义，即可求解.【详解】∵()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴()()1123f f +-=，∵()f x 为定义在非零实数上的奇函数， ∴()()11f f -=-，即()()1123f f -=， ∴()13f =-. 故答案为：3-.18．已知函数()221x f x x =+，则()()()111122021232021f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】40412【分析】根据函数解析式求出1()f x ，进而可得1()()1f x f x+=，由此可得结果.【详解】因为22()1x f x x =+，所以2221()11()111()x f x x x==++， 所以22211()()111x f x f x x x +=+=++，所以11(1)(2)(2021)()()22021f f f f f ++++++ 11114041(1)[(2)()][(3)()][(2021)()]202023202122f f f f f f f =++++++=+=. 故答案为：4041219．函数2()20202021f x ax x =-+(a >0)，在区间[1t -，t +1](t ∈R )上函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ．当t 取任意实数时，M -N 的最小值为2，则a =________. 【答案】2【解析】求得对称轴，要使M N -最小，1t -与t +1必关于对称轴对称，从而最大值为(1)f t +，最小值为()f t ，由(1)()2f t f t +-=及对称轴可求得a ．【详解】2()20202021f x ax x =-+ (a >0) 对称轴1010x a=要使M N -最小，1t -与t +1必关于对称轴对称 所以1010t a=① (1)()2f t f t +-=22(1)2020(1)202120202021a t t at t +-++-+-220202at a =+-= ②联立①②得2×1010+-a 2020=2 ∴a =2. 故答案为：2．20．若不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是______.【答案】()(),63,-∞-⋃+∞【分析】利用变换主元法将m 看成自变量，将x 看成参数即可求解. 【详解】解：不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立 将m 看成自变量，将x 看成参数，将不等式化为：()23260x m x -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立令()()2326g m x m x =-+-即()0g m >对一切[]2,1m ∈-恒成立等价于()()2010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即224120230x x x x ⎧+->⎨-->⎩ 解得：3x >或6x <-所以实数x 的取值范围是：()(),63,x ∈-∞-⋃+∞【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.四、双空题21．设2:20p x x -，:()(3)0q x m x m ---，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 __；若p ⌝是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 __． 【答案】 (-∞，3)(2-⋃，)+∞ (-∞，3)(2-⋃，)+∞【分析】根据不等式的解法分别求出p ，q 的等价条件，结合充分、必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【详解】由220x x -，解得02x ，即:02p x ，由()(3)0x m x m ---，得+3m x m ，即:+3q m x m ，:<q x m ∴⌝或>+3x m ， 若p 是q ⌝的充分不必要条件， 则>2m 或+3<0m ，即>2m 或<3m -．:>2p x ⌝或<0x ，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则>2m 或+3<0m ，即>2m 或<3m -，故答案为：(-∞，3)(2-⋃，+)∞；(-∞，3)(2-⋃，+)∞．五、解答题22．已知全集U =R ，非空集合A ，B 满足{}2230A x x x =--≤，{}131B x a x a =-≤≤+. (1)当1a =，求() U A B ⋂；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】(1){0x x <或}3x > (2)203a ≤≤【分析】（1）根据交集和补集的定义即可求出；（2）由题可得B A ⊆，根据包含关系列出不等式组可求.【详解】(1)（1）当1a =时，{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}04B x x =≤≤， {}03A B x x ∴⋂=≤≤，(){ 0U A B x x ∴⋂=<或}3x >；(2)若A B B =，则B A ⊆，又A ，B 为非空集合，13111313a a a a -≤+⎧⎪∴-≥-⎨⎪+≤⎩，解得203a ≤≤. 23．已知函数()2x a f x x+=且()12f =. (1)判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性；(2)证明函数()f x 在()1,+∞上是增函数.【答案】(1)()f x 是奇函数，证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；（2）根据单调性的定义进行证明即可.【详解】(1)函数()f x 在其定义域上是奇函数，证明过程如下. 证明：函数()2x a f x x+=且()12f = ∴12a +=，即1a =∴()211x f x x x x+==+ ∴()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称又()()1f x x f x x-=--=- ∴函数()f x 在其定义域上是奇函数(2)证明：设1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，则()()()121212211212121212111f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+--=-+⋅⋅-=-⋅12x x < 120x x ∴-<又1x ∀，()21,x ∈+∞121x x ∴⋅>，即1210x x ⋅->()()120f x f x -<∴函数()f x 在()1,+∞上是增函数.24．已知函数()22,0,0x tx x f x x tx x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中0t ≥）. (1)当2t =时，画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递减区间；(2)若()f x 在区间[]2,4-上的最大值为()h t ，求()h t 的表达式.【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为(,0],[1,)-∞+∞(2)()24,010416,10t t h t t t +≤≤⎧=⎨->⎩【分析】（1）当2t =时，可得()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意，分别求得()24t f x ≤，且(2)42,(4)416f t f t -=+=-，结合图象分类讨论，即可求解.【详解】(1)解：当2t =时，可得()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 结合二次函数的图象与性质，可得函数()f x 的图象，如图所示：可得函数()f x 的单调递减区间为(,0],[1,)-∞+∞.(2)由题意，函数()22,0,0x tx x f x x tx x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中0t ≥）， 若0x ≥时，()2222()244t t t f x x tx x =-+=--+≤，且(2)42,(4)416f t f t -=+=-， 若0x <时，令224t x tx -=，即22440x tx t --=，解得12x -=， （1122-≥-时，即)0421t ≤≤时，可得()()242h t f t =-=+， （2122-<-时，即4(21)t >，此时42t >， 由(2)(4)42(416)202f f t t t --=+--=-，若2020t -≥时，即10t ≤时，可得(2)(4)f f -≥，所以()()242h t f t =-=+； 若2020t -<时，即10t >时，可得(2)(4)f f -<，所以()()4416h t f t ==-，综上可得()f x 在区间[]2,4-上的最大值为()24,010416,10t t h t t t +≤≤⎧=⎨->⎩. 25．已知集合(){1,2,3,,2}A n n N *=∈，对于A 的子集S 若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素1a 、2a ，都有12a a m -≠，则称S 具有性质P .（1）当10n =时，判断集合{|9}B x A x =∈>和{}|31,C x A x k k N *=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）若1000n =时，①如果集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②如果集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值.【答案】（1）集合B 不具有性质P ，集合C 不具有性质P ，理由见解析；（2）①集合D 具有性质P ，理由见解析；②1333，证明见解析.【分析】（1）当10n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20A =，由题中所给新定义直接判断即可；（2）若1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =，①根据{(2001)|}D x x S =-∈，任取02001d x D =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可证明；②设集合S 有k 个元素，由①知： 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 和2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 和集合D 中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析可得20002k k k t +≤+≤，即20002k k +≤解不等式即可求解. 【详解】（1）当10n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,19,20A =，{}{}|910,11,12,13,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ，因为对于集合B 中任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =，210b m =+使得12b b m -=成立，{}|31,C x A x k k N *=∈=-∈S 具有性质P .因为110m =<，对于该集合中任意一对元素1131c k =-，2231c k =-，11,k k N *∈ 都有121231c c k k -=-≠，（2）若1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =，①如果集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ， 因为{(2001)|}D x x S =-∈，任取02001d x D =-∈，其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,1999,2000x =，从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以D A ⊆，由集合S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对于S 中的一切元素12,s s 都有12s s m -≠，从集合{(2001)|}D x x S =-∈中任取一对元素112001d x =-，222001d x =-，其中12,x x S ∈，则由1212d d x x m -=-≠，所以集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ，②设集合S 有k 个元素，由①知：若集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ， 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 和2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 和集合D 中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1000，不妨设S 中有2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,t b b b 不超过1000，由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤，使得对于S 中的一切元素12,s s 都有12s s m -≠，所以一定有12,,t b m b m b m S +++∉，又因为100010002000i b m +≤+=， 故12,,t b m b m b m A +++∈，即集合A 中至少有t 个元素不在集合S 中， 因此20002k k k t +≤+≤，所以20002k k +≤，解得：1333k ≤， 当{}1,2,3,,665,666,1334,1999,2000S =时，取667m =，易知对于集合S 中任意两个元素12,y y 都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P ， 而此时集合S 中有1333个元素，因此集合S 中元素个数的最大值是1333.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质P 的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析.。

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。