2020.3人大附中高三质量检测数学试题

人大附中高三下学期数学统练（一） 3.24一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若复数a+i 2i的实部与虚部相等，则实数a =（）A.−1B.1C.−2D.22.若集合A ={y |y =sinx,x ∈R },B ={−2,−1,0,1,2},则集合(∁R A)∩B 等于() A.{−2,−1} B.{−2,−1,0,1,2}C.{−2,−1,2}D.{−2,2}3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n ，则图形Ω面积的估计值为（） A.ma nB.namC.ma 2nD.na 2m4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是() A.f (x )=x 2+x B.f (x )=|lnx | C.f (x )=xsinxD.f (x )=e x +e −x5.在四边形ABCD 中，“∃λ∈R,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7.双曲线的左右焦点分别为F 1,F 2且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若∆F 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为() A.√2B.1+√2C.1+√3D.2+√38.已知函数f (x )=log 2x −2log 2(x +c ),其中c >0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1，则c 的取值范围是（） A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)9.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)（ω,φ为常数）的图象如图所示（图象经过点(1,0)），那么ω的值为()A．1B．2C．3D.410.如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD=PD，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q 及P,D,C,R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（）A.n=3B.n=4C.n=5D.n=6二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11.二项式(2x+1x)5的展开式中x3的系数为.12.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为.13..在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=若B=60°，则sinC=14.设某商品的需求函数为Q=100−5P,，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP=−Q′QP,Q′是Q的导数），则商品价格的取值范围是.15.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0给出下列命题：（1）且f(2)=0是T=4是函数f(x)的一个周期（2）直线是函数的一条对称轴（3）函数y=f(x)在[−6,−4]上是增函数（4）函数y=f(x)在[−6,6]上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分),a4=4,n∈N∗在等比数列{a n}中，a1=12（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=a n+n−6,，数列{b n}的前n项和为S n，若S n>0，求n的最小值.17.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18.（本小题满分15分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数f (x )=12x 2−alnx (a >0).（Ⅰ）若a =2,求f (x )在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x )在区间[1,e]上的最小值；（III ）若f (x )在区间[1,e]上恰有两个零点，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),|F 1F 2|=4√2,离心率e =2√23.过直线l:x =a 2c上任意一点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)处的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2".由上述结论类比得到:“过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),上一点P(x 0,y 0)处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. ②利用①中的结论证明直线AB 恒过定点(2√2,0).21.（本小题满分14分）在数列中{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列.例如数列12,13,15,18为{a n }的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−18<d <0;（Ⅲ）如果{c n }为数列{a n }的一个m(m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+···+c m ≤2−12m−1人大附中高三下数学统练一参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C11.80 12.2√3 13.17;1314 14.(10,20)15.（1），（2），（4）；（注：14题少解给3分，有错解不给分）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （16）(本小题满分14分)解：（I ）由数列{a n }为等比数列，且a 1=12,a 4=4 得a 4=a 1q 3=4,解得q =2,···············2分则数列{a n }的通项公式a n =a 1q n−1=2n−2,n ∈N ∗····················5分 （II ）b n =a n +n −6=n −6+2n−2,S n =(−5−4+···+n −6)+(2−1+20+···+2n−2)=n(n−11)2+2n −12,·················10分当n ≥5时，n(n−11)2≥−15，2n −12≥312，所以S n >0;则n =4时，S 4=−4×7+24−12<0; 当n =3时，S 3=−3×8+23−12<0; 当n =2时，S 2=−2×9+22−12<0; 当n =1时，S 1=−1×10+21−12<0;所以，n 的最小值为5.………………..14分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.………………..4分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，X =35×4+(a −35)×7元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 X 的分布列为：X 136 147 154 189 203P110 310 210 310 110E (X )=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5（元）.………………..11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.………………..14分 18.（本小题满分15分）（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在∆ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD 所以AE ⊥平面BCD ,………………..4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF,ED,EA 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz , 不妨设AB =BD =DC =AD =2，则BE =ED =1. 由图1条件计算得，AE =√3,BC =2√3,BF =√33则E (0,0,0),D (0,1,0),B (0,−1,0),A(0,0,√3),F (√33,0,),C(√3,2,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ADC 的法向量为n =(x,y,z)，则 {n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√3x +y =0,y −√3z =0.令z =1，则y =√3,x =1，所以n =(1,√3,−1), 平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以cos <n,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=−√55, 所以二面角A −DC −B 的余弦值为√55··············10分 （III ）设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]由于AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,−√3) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(√33,0,−√3),其中λ∈[0,1], 所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33λ,0(1−λ)√3),由EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即√33λ−(1−λ)√3=0,解得λ=34∈(0,1).所以在线段AF 上存在点M 使EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥平面ADC ,且AM AF=34···············15分 19.（本小题满分14分）解：（I ）a =2,f (x )=12x 2−2lnx,f ′(x )=x −2x ,f ′(1)=−1,f (1)=12f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y −3=0.………………..3分 （II ）由f ′(x )=x −ax =x 2−a x由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x =√a .①若√a ≤1,即0<a ≤1,在(1,e)上，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f (1)=12②若1<√a <e ,即1<a <e 2,在（1,√a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(√a,e)上， f′(x)>0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(√a)=12a(1−lna).③若√a ≥e ,即a ≥e 2,在(1,e)上，f′(x)<0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f (e )=12e 2−a综上，当0<a ≤1时，f min (x )=12；当1<a <e 2时，f min (x )=12a (1−lna ); 当a ≥e 2时，f min (x )=12e 2−a;····················9分(III)由（II ）可知当0<a ≤1或a ≥e 2时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1<a <e 2时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则{ 12a(1−lna)<0f (1)=12>0,f (e )=12e 2−a >0即{a >e a <12e 2,此时，e <a <12e 2所以，a的取值范围为(e,12e2)·············14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由F1F2=4√2，离心率e=2√23得c=2√2,a=3∴b=1椭圆C的方程为：x 29+y2=1;···················5分（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x 29+y2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0x9+y0y=1···················8分②l的方程为：x=9√24············9分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M的纵坐标为t，即M(9√24,t),············10分由①的结论MA的方程为x1x9+y1y=1···············11分又其过M(9√24,t)点，∴√2x1+4ty1=4∗同理有√2x2+4ty2=4∗∗·················12分∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线√2x+4ty=4上············13分当x=2√2,y=0时，方程√2x+4ty=4恒成立，∴直线AB过定点(2√2,0)··········14分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：答案不唯一.如3项子列12,13,16;·················3分（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0.………………4分若b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5−b1=b5−1>−1,即d>−14这与d≤−12矛盾。

人大附中2019-2020年高三年级教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02.集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．33.已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y -> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +>4.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是5.o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )A. B. C.12- D.126.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）C.-D.-7.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.1308.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ） A.1b =r B.a b ⊥r r C.1a b ⋅=r r D.()4C a b +⊥B u u u r r r 9.圆2228130xy x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） A.43- B.34- D.210.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．1311.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．1012.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向 右平移_______个单位长度得到．14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

人大附中2019-2020学年度高三6月统一练习题数学本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q ⋂=，则P Q ⋃= A. {}0,3 B. {}0,2,3C. {}0,1,3D. {}0,1,2,32. 若复数13z i=+，则z =（ ）A.12B.3 C. 1 D. 23. 已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（ ） A. a b c << B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<4. 已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数2x y =的图象关于x 轴对称，若()01f x =-，则0x =（ ） A. -2B. 2C. 2log 3-D. 2log 35. 为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（ ）A. 150B. 250C. 200D. 506. “6πϕ=-”是“函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A. 6B. 12C. 24D. 368. 等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A.1625B.49C.12D. 19. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A .1B. 2C. 4D. 810. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91600nm lnm 10m -=，测得某时刻频移为98.010(1/h)⨯，则该时刻高铁的速度v 约等于（ ）A. 320km /hB. 330km /hC. 340km /hD. 350km /h第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线2yx 的焦点到准线的距离是___________.12. 251()x x+的展开式中，4x 的系数为 ．（用数字作答） 13. 已知关于x的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围为___________.14. 在平面直角坐标系中，以双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的右焦点为圆心，以实半轴a 为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 在ABC 中，3a =，26b =_________.求c 的值.从①2B A ∠=∠，②sin sin 2B A =，③3152ABC S =△，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值.18. 国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量等 优 良轻度污染中度污染中度污染严重污染 AQI 值范围[)0,50 [)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300300及以上下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值： 西部城市 AQI 数值 东部城市 AQI 数值 西安 108 北京 104 合肥 90 金门 42 克拉玛依 37 上海 82 鄂尔多斯 56 苏州 114 巴彦淖尔 61 天津 105 库尔勒 456石家庄 93合计：808合计：540（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.（3）设东部城市的AQI 数值的方差为21S ，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI 数值的方差为22S ，判断21S 和22S 的大小.（只需写出结论）附：方差计算公式()2211n i i S x x n ==-∑.19. 已知函数2()xx mf x e -=（其中m 为常数）. （1）若0m =且直线y kx =与曲线()y f x =相切，求实数k 的值； （2）若()y f x =在[]1,2上的最大值为22e，求m 的值. 20. 椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是3()0,1P 作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时，||AB =. （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(),0M m ，使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在，求出m 的取值范围，若不存在说明理由.21. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）123():,,,,n A n A A A A ⋅⋅⋅与123():,,,,n B n B B B B ⋅⋅⋅，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =⋅⋅⋅-，则称()A m 与()B m 互为正交点列.（1）试判断123(3):(0,2), (3,0), (5,2)A A A A 与123(3):(0,2),(2,5),(5,2)B B B B 是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：1234(4):(0,0), (3,1), (6,0), (9,1)A A A A A 不存在正交点列(4)B ； （3）是否存在无正交点列()5B 的有序整数点列()5A ？并证明你的结论.人大附中2019-2020学年度高三6月统一练习题数学本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q ⋂=，则P Q ⋃= A. {}0,3 B. {}0,2,3C. {}0,1,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【详解】{0}P Q ⋂=，2log 0a ∴=，且0b =，解得1,0a b ==，则{3,0}P =，{1,0}Q =，{0,1,3}P Q ∴⋃=.故选：C ．考点：1.集合的运算；2.对数的计算． 2.若复数z =z =（ ）A.12B.2C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再利用复数的模长公式可求得z .【详解】21112221z====-+， 因此，1z ==. 故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（ ） A. a b c << B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以25110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数52xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递增函数，所以11332551522b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=>⎭⎝， 函数3log y x =是单调递增函数，所以332log log 105c =<=， 即c a b <<. 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.4. 已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数2x y =的图象关于x 轴对称，若()01f x =-，则0x =（ ） A. -2 B. 2C. 2log 3-D. 2log 3【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得与函数2xy =的图象关于x 轴对称的函数，可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，再由()01f x =-即可得解.【详解】先求与函数2xy =的图象关于x 轴对称的函数，可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，所以()02021x f x -=-=-，可得：02x =， 故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题. 5. 为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（ ）A. 150B. 250C. 200D. 50【答案】B 【解析】 【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数⨯频率即可求解 【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为58P =，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为54002508⨯=， 故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题 6. “6πϕ=-”是“函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的（ ）A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可. 【详解】若6πϕ=-，则()cos 2sin 2sin 26623g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数，充分性成立；若函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数，ϕ的值可以为116π，即两个函数数为同一函数不能推出6πϕ=-，必要性不成立，所以，“6πϕ=-”是“函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的充分而不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题. 7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示， 可得1334=123V =⨯⨯⨯，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题. 8. 等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A.1625B.49C.12D. 1【答案】D 【解析】 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2iAB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i ABBP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A .【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91600nm lnm 10m -=，测得某时刻频移为98.010(1/h)⨯，则该时刻高铁的速度v 约等于（ ）A. 320km /hB. 330km /hC. 340km /hD. 350km /h【答案】A 【解析】 【分析】先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可． 【详解】332sin 1.00041(2010)ϕ--==+⨯故9 1.00048.010v⨯=，即81600 1.0004= 故81600 1.0004v ⨯=320/km h ≈．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线2y x 焦点到准线的距离是___________.【答案】12【解析】 【分析】由抛物线的解析式求出p ，即可求解 【详解】由2yx 变形得2x y =，故抛物线焦点在y 的正半轴，21p =，12p =，故抛物线2y x 的焦点到准线的距离是12p = 故答案为：12【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题 12. 251()x x+的展开式中，4x 的系数为 ．（用数字作答） 【答案】10. 【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知103425510342=10r r C x r r x C -∴-=∴=∴的系数为13. 已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围为___________.【答案】,3⎛-∞ ⎝⎭【解析】 【分析】由(]0,2x ∈，2230ax x a -+<，可得：223x a x <+，求出函数223xy x =+的最大值即可. 【详解】由(]0,2x ∈，2230ax x a -+<， 可得：223xa x <+， 223xy x =+， 当0x =时，0y =，当0x ≠时，222333x y x x x==≤++，当且仅当x =所以a <，故答案为：⎛-∞ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14. 在平面直角坐标系中，以双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的右焦点为圆心，以实半轴a 为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】 【解析】 【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆222()a c y x +=-与双曲线22221x y a b-=的渐近线相交，则有圆心(,0)c 到直线0bx ay -=的距离d b a ==<，所以c e a === 因为b a <，所以01ba<<，所以e =，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目.15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】所有编号之和为9(19)129452⨯++++==，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条件下进行分析判断，即可得解. 【详解】编号为1，2，3，，9的小球所有编号之和为9(19)129452⨯++++==， 由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等， 则每人抽到的3个小球编号之和为15，故①正确， 依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球， 则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球， 若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球， 设甲抽到的另外两个小球的编号分别为12,a a ， 乙抽到的另外两个小球的编号分别为12,b b ， 则12126,7a a b b +=+=，所以12,a a 的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球， 此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾， 所以甲抽到编号为2与4的小球， 则乙抽到编号为1和6的小球， 所以甲抽到编号为2，4，9的小球，乙抽到编号为1，6，8小球， 丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球， 乙抽到编号为2，4，9的小球， 而丙则抽到编号为3，5，7的小球， 故②正确，③错误，④正确，故答案为：①②④【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 在ABC 中，3a =，b =_________.求c 的值.从①2B A ∠=∠，②sin sin 2B A =，③2ABC S =△，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①：5；选②：5或3【解析】 【分析】如果选①：利用正弦定理求出cos A =，再求出sin C ，利用正弦定理得解；如果选②：先求出cos A =，再利用余弦定理求出c ；如果选③：先求出cos C =，再利用余弦定理求解.【详解】如果选①：因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC 中，由正弦定理得3sin A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(0,)A π∈，所以sin A ==.又因为2B A ∠=∠，所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin 3B ==.在ABC 中，sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+53=. 所以sin 5sin a Cc A==.如果选②：因为3a =，26b =，sin sin 2B A =，所以sin 2sin cos B A A =， 由正弦定理得：2cos b a A =.故6cos A =， 由余弦定理可得：26924226c c =+-⋅⋅， 28150c c -+=，解得5c =或3.如果选③：315ABC S =△，则3151sin 2ABC S ab C ==△， 则10sin 4C =，所以6cos 4C =±. 当6cos 4C =时，22262cos 9242326154c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，15c =； 当6cos C =22262cos 924232651c a b ab C =+-=++⨯⨯=， 所以51c =15【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2）105【解析】 【分析】（1）由AF AD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得AF ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =，证明//GE BF 且GE BF =，过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ，则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，求解三角形即可得出答案. 【详解】（1）证明：四边形ADEF 为正方形，∴AF AD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，∴AF ⊥平面ABCD ，则AF CD ⊥.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =， 则//BG AD 且BG AD =，∴//BG EF 且BG EF =，则四边形BGEF 为平行四边形， 则//GE BF 且GE BF =， 由1AB AF ==，90BAF ∠=︒， 可得2GE BF ==过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ， 则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，在Rt DGC △中，求得5GH =， 105sin 52GH GEH GE ∴∠===∴直线BF 与平面CDE 10 .【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.18. 国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量等 优 良轻度污染中度污染中度污染严重污染 AQI 值范围[)0,50 [)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300300及以上下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值： 西部城市 AQI 数值 东部城市 AQI 数值 西安 108 北京 104 合肥 90 金门 42 克拉玛依 37 上海 82 鄂尔多斯 56 苏州 114 巴彦淖尔 61 天津 105 库尔勒 456石家庄 93合计：808合计：540（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.（3）设东部城市的AQI 数值的方差为21S ，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI 数值的方差为22S ，判断21S 和22S 的大小.（只需写出结论）附：方差计算公式()2211n i i S x x n ==-∑.【答案】（1）13；（2）分布列见解析，()2E ξ=；（3）2212S S >. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市的个数，利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可列出分布列，由分布列即可求出期望.（3）利用方差的意义以及计算公式即可判断.【详解】（1）东部城市共6个，空气质量为良有2个，东部城市中任取一个，空气质量为良的概率121613C p C ==.（2）空气质量“优”的城市有2个，“轻度污染”的城市有4个， 根据题意ξ的所有可能取值为1,2,3，()124236115C C p C ξ===，()214236325C C p C ξ===， ()304236135C C p C ξ===， ξ∴的分布列为：所以()1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. （3）如果将合肥纳入东部城市，可得2212S S >【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.19. 已知函数2()xx m f x e -=（其中m 为常数）. （1）若0m =且直线y kx =与曲线()y f x =相切，求实数k 的值；（2）若()y f x =在[]1,2上的最大值为22e ，求m 的值. 【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】（1）代入0m =，得到()f x ，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据()f x 在()1,2的单调性求出最大值等于22e，从而求出m . 【详解】（1）0m =时，()222222()()x x x x x x e xe x f x f x e e e --'=⇒==， 设切点为0002,x x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线方程为()00000222x x x x y x x e e--=- ()0,0点代入，()00000222x x x x x e e--=-化简解得0(0)02k x f '⇒===. （2）22()x x m f x e -++'=， ①当24m +≥即2m ≥时，()0f x '>在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递增，()f x 在[]1,2的最大值为2242(2)m f e e-==，故2m =，满足2m ≥； ②当22m +≤即0m ≤时，()0f x '<在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递减，()f x 在[]1,2的最大值为222(1)m f e e-==，故22m e =-，不满足0m ≤，舍去； ③当224m <+<即02m <<时，由22()0x x m f x e -++'==得22m x +=， 22m x +<时()0f x '>，22m x +>时()0f x '<， 即()f x 在21,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,22m +⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 的最大值为 22222222m m m m m f e e++++-⎛⎫== ⎪⎝⎭，即22222m e e +=，所以2m =，不满足02m <<，舍去， 综上所述， 2m =.【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到m 的问题.20. 椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是3()0,1P 作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时，||AB =.（1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(),0M m ，使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在，求出m 的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（1）22194x y +=；（2）存在，55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率可得2249b a =，再代入点⎫⎪⎪⎝⎭即可得解； （2）联立方程组，结合韦达定理可得AB 的中点2294,4949k C k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由直线方程转化条件为2549k m k=-+，结合基本不等式即可得解. 【详解】（13c a ==，整理得2249b a =， 故椭圆的方程为2222149x y a a +=，由已知得椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭，所以22279144a a +=，解得29a =， 所以椭圆E 的方程为22194x y +=； （2）由题意得直线l 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，0∆>，则1221849k x x k +=-+，1222749x x k =-+， 所以12029249x x k x k +-==+，∴0024149y kx k =+=+， 所以点C 的坐标为2294,4949k C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形，则点(,0)M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点.①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程224194949k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则2554499k x m k k k==-=-++， 若0k <，则4912k k --≥=，当且仅当23k =-时，等号成立， 所以5504129k k <-≤+，所以5012m <≤； 若0k >，则4912k k +≥=，当且仅当23k =时，等号成立， 所以5504129k k <≤+，5401295k k +--≤<，所以5012m -≤<； ②当0k =时，则有0m =. 所以存在点M 满足条件，且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）123():,,,,n A n A A A A ⋅⋅⋅与123():,,,,n B n B B B B ⋅⋅⋅，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =⋅⋅⋅-，则称()A m 与()B m 互为正交点列.（1）试判断123(3):(0,2), (3,0), (5,2)A A A A 与123(3):(0,2),(2,5),(5,2)B B B B 是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：1234(4):(0,0), (3,1), (6,0), (9,1)A A A A A 不存在正交点列(4)B ；（3）是否存在无正交点列()5B 的有序整数点列()5A ？并证明你的结论.【答案】（1）互为正交点列，答案见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义判断即可；（2）点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明()4A ：1(0,0)A ，2(3,1)A ，3(6,0)A ，4(9,1)A 不存在正交点列()4B ；（3）有序整点列1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是点列1A ，2A ，3A ，4A ，5A 的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．【详解】解：（1）有序整点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 与1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B 互为正交点列. 理由如下：由题设可知12(3,2)A A =-，23(2,2)A A =，12(2,3)B B =，23(3,3)B B =-， 因为12120A AB B ⋅=，23230A A B B ⋅=， 所以1212A A B B ⊥，2323A A B B ⊥.所以整点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 与1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B 互为正交点列.（2）证明：由题意可得12(3,1)A A =，23(3,1)A A =-，34(3,1)A A =， 设点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，则可设121(1,3)B B λ=-，232(1,3)B B λ=，343(1,3)B B λ=-，123,,λλλ∈Z ，因为1A 与1B ，4A 与4B 相同，所以有12312393331λλλλλλ-+-=⎧⎨++=⎩①② 因为123,,λλλ∈Z 方程②不成立，所以有序整点列1(0,0)A ，2(3,1)A ，3(6,0)A ，4(9,1)A 不存在正交点列.（3）存在无正交点列的整点列()5A .当5n =时，设()1,i i i i A A a b +=，,i i a b Z ∈，其中a ，b 是一对互质整数，1,2,3,4i =，若有序整点列1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是点列1A ，2A ，3A ，4A ，5A 的正交点列，则()1,i i i i i B B b a λ+=-，1,2,3,4i =，由441i 111i i i i i A A B B ++===∑∑， 得11441144i i i i i i i i i i b a a b λλ====⎧∑-=∑⎪⎨⎪∑=∑⎩①②取1(0,0)A ，3i a =，1,2,3,4i =，12b =，21b =-，31b =，41b =-，由于1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是整点列，所以有Z i λ∈，1,2,3,4i =.等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列()5A .【点睛】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题．。

2020 年3 月北京市人大附中度高三质量检测试题数学2020年3月9日说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。

考试时间 120 分钟。

考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。

）（1）若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =I（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3x x ∈-<<R （D ）{|3}x x ∈>R（2）向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ=（A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）2（3）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2−y 24=1”是“C 的渐近线方程为y =±2x ”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（A ）4 （B ） 5 （C ）6 （D ）7（5）若抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（A ）1p <（B ）1p >（C ）2p <（D ）2p >（6）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（A ）2-（B ）0（C ）2（D ）1(Q)(P)HGFEDCBD1C1B1A1（7）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为（A）4（B）22（C）7（D）2（8）已知函数21,0,()(1),0.x xf xf x x-⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a=+有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（A）(),1-∞（B）(],1-∞（C）()0,1（D）[)0,+∞（9）定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个1212,()x x x x≠,均有1212()()f x f x k x x-≤-成立,则称函数()f x在定义域D上满足利普希茨条件.若函数()(1)f x x x=≥满足利普希茨条件,则常数k的最小值为（A）4（B）3（C）1（D）12（10）在边长为1的正方体中，,,,E F G H分别为1111,,,A B C D AB CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记,,,E F P Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图像应为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）（11）代数式5)1)(1(x x +-的展开式中3x 的系数为（12）在复平面内，复数12i z =-对应的点到原点的距离是． （13）已知函数42log ,04,()1025, 4.x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若a ,b ,c ,d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（14）已知双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线的倾斜角为60o ，且与椭圆2215x y +=有相等焦距,则C 的方程为（15）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（16）如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,y y ,使得12()()f y f y =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数。

人大附中高三下学期数学统练（一） 3.24一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若复数a+i 2i的实部与虚部相等，则实数a =（）A.−1B.1C.−2D.22.若集合A ={y |y =sinx,x ∈R },B ={−2,−1,0,1,2},则集合(∁R A)∩B 等于() A.{−2,−1} B.{−2,−1,0,1,2}C.{−2,−1,2}D.{−2,2}3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n ，则图形Ω面积的估计值为（） A.ma nB.namC.ma 2nD.na 2m4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是() A.f (x )=x 2+x B.f (x )=|lnx | C.f (x )=xsinxD.f (x )=e x +e −x5.在四边形ABCD 中，“∃λ∈R,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7.双曲线的左右焦点分别为F 1,F 2且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若∆F 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为() A.√2B.1+√2C.1+√3D.2+√38.已知函数f (x )=log 2x −2log 2(x +c ),其中c >0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1，则c 的取值范围是（） A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)9.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)（ω,φ为常数）的图象如图所示（图象经过点(1,0)），那么ω的值为()A．1B．2C．3D.410.如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD=PD，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q 及P,D,C,R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（）A.n=3B.n=4C.n=5D.n=6二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11.二项式(2x+1x)5的展开式中x3的系数为.12.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为.13..在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=若B=60°，则sinC=14.设某商品的需求函数为Q=100−5P,，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP=−Q′QP,Q′是Q的导数），则商品价格的取值范围是.15.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0给出下列命题：（1）且f(2)=0是T=4是函数f(x)的一个周期（2）直线是函数的一条对称轴（3）函数y=f(x)在[−6,−4]上是增函数（4）函数y=f(x)在[−6,6]上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分),a4=4,n∈N∗在等比数列{a n}中，a1=12（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=a n+n−6,，数列{b n}的前n项和为S n，若S n>0，求n的最小值.17.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18.（本小题满分15分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数f (x )=12x 2−alnx (a >0).（Ⅰ）若a =2,求f (x )在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x )在区间[1,e]上的最小值；（III ）若f (x )在区间[1,e]上恰有两个零点，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),|F 1F 2|=4√2,离心率e =2√23.过直线l:x =a 2c上任意一点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)处的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2".由上述结论类比得到:“过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),上一点P(x 0,y 0)处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. ②利用①中的结论证明直线AB 恒过定点(2√2,0).21.（本小题满分14分）在数列中{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列.例如数列12,13,15,18为{a n }的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−18<d <0;（Ⅲ）如果{c n }为数列{a n }的一个m(m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+···+c m ≤2−12m−1人大附中高三下数学统练一参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C11.80 12.2√3 13.17;1314 14.(10,20)15.（1），（2），（4）；（注：14题少解给3分，有错解不给分）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （16）(本小题满分14分)解：（I ）由数列{a n }为等比数列，且a 1=12,a 4=4 得a 4=a 1q 3=4,解得q =2,···············2分则数列{a n }的通项公式a n =a 1q n−1=2n−2,n ∈N ∗····················5分 （II ）b n =a n +n −6=n −6+2n−2,S n =(−5−4+···+n −6)+(2−1+20+···+2n−2)=n(n−11)2+2n −12,·················10分当n ≥5时，n(n−11)2≥−15，2n −12≥312，所以S n >0;则n =4时，S 4=−4×7+24−12<0; 当n =3时，S 3=−3×8+23−12<0; 当n =2时，S 2=−2×9+22−12<0; 当n =1时，S 1=−1×10+21−12<0;所以，n 的最小值为5.………………..14分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.………………..4分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，X =35×4+(a −35)×7元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 X 的分布列为：X 136 147 154 189 203P110 310 210 310 110E (X )=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5（元）.………………..11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.………………..14分 18.（本小题满分15分）（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在∆ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD 所以AE ⊥平面BCD ,………………..4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF,ED,EA 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz , 不妨设AB =BD =DC =AD =2，则BE =ED =1. 由图1条件计算得，AE =√3,BC =2√3,BF =√33则E (0,0,0),D (0,1,0),B (0,−1,0),A(0,0,√3),F (√33,0,),C(√3,2,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ADC 的法向量为n =(x,y,z)，则 {n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√3x +y =0,y −√3z =0.令z =1，则y =√3,x =1，所以n =(1,√3,−1), 平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以cos <n,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=−√55, 所以二面角A −DC −B 的余弦值为√55··············10分 （III ）设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]由于AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,−√3) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(√33,0,−√3),其中λ∈[0,1], 所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33λ,0(1−λ)√3),由EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即√33λ−(1−λ)√3=0,解得λ=34∈(0,1).所以在线段AF 上存在点M 使EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥平面ADC ,且AM AF=34···············15分 19.（本小题满分14分）解：（I ）a =2,f (x )=12x 2−2lnx,f ′(x )=x −2x ,f ′(1)=−1,f (1)=12f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y −3=0.………………..3分 （II ）由f ′(x )=x −ax =x 2−a x由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x =√a .①若√a ≤1,即0<a ≤1,在(1,e)上，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f (1)=12②若1<√a <e ,即1<a <e 2,在（1,√a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(√a,e)上， f′(x)>0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(√a)=12a(1−lna).③若√a ≥e ,即a ≥e 2,在(1,e)上，f′(x)<0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f (e )=12e 2−a综上，当0<a ≤1时，f min (x )=12；当1<a <e 2时，f min (x )=12a (1−lna ); 当a ≥e 2时，f min (x )=12e 2−a;····················9分(III)由（II ）可知当0<a ≤1或a ≥e 2时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1<a <e 2时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则{ 12a(1−lna)<0f (1)=12>0,f (e )=12e 2−a >0即{a >e a <12e 2,此时，e <a <12e 2所以，a的取值范围为(e,12e2)·············14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由F1F2=4√2，离心率e=2√23得c=2√2,a=3∴b=1椭圆C的方程为：x 29+y2=1;···················5分（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x 29+y2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0x9+y0y=1···················8分②l的方程为：x=9√24············9分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M的纵坐标为t，即M(9√24,t),············10分由①的结论MA的方程为x1x9+y1y=1···············11分又其过M(9√24,t)点，∴√2x1+4ty1=4∗同理有√2x2+4ty2=4∗∗·················12分∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线√2x+4ty=4上············13分当x=2√2,y=0时，方程√2x+4ty=4恒成立，∴直线AB过定点(2√2,0)··········14分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：答案不唯一.如3项子列12,13,16;·················3分（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0.………………4分若b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5−b1=b5−1>−1,即d>−14这与d≤−12矛盾。

北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学统练试题（五）（含解析）一、选择题1.设集合{}0,1A =，集合{}B x x a =，若A B ⋂=∅，则实数a 的范围是（ ） A. 1a ≤ B. 1a ≥C. 0a ≥D. 0a ≤【答案】B 【解析】试题分析：因为A B ⋂=∅，所以{}0x x a ∉，且{}1x x a ∉，即0a ≥且1a ≥，从而1a ≥，选B.考点：集合的运算.2.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =A. 52B. 7C. 6D. 42【答案】A 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，所以a 4a 5a 6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．【此处有视频，请去附件查看】3.已知(sin )cos3f x x =，则()cos10f ︒的值为（ ） A. 3B. 12±C.123【答案】B 【解析】 【分析】将()cos10f ︒化为()sin80f ︒和()sin100f ︒，代入计算得到答案.【详解】因为cos10sin80︒=︒，并且(sin )cos3f x x =，所以()()()1cos10sin80cos240cos 18060cos602f f ︒=︒=︒=︒+︒=-︒=-.因为cos10sin100=︒︒，所以()()cos10sin100cos300f f ︒=︒=︒=()1cos 36060cos602︒-︒=︒=， 故选B.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和函数值的计算，忽略掉一个答案是容易犯的错误. 4.设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为 A. －B. 0C.D. 5【答案】B 【解析】试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数()f x 是上以5为周期的可导偶函数，所以因为()f x 是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0考点：导数的定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R 上的偶函数的性质5.函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．6.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先由()f x 的图象经过点π14⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出ω；再由()f x 的图象经过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭求出ω，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】函数()f x 的图象经过点（4π，1）时，有sin 14πω=，所以，242k k Z ，ππωπ=+∈， 因为0ω>，所以28k ω=+，,k N ∈函数为：()()sin 28f x k x =+，k N ∈ 当2x π=时，()()sin 28sin 4022f k k ππππ⎛⎫=+⨯=+=⎪⎝⎭，所以，充分性成立； 当函数()f x 的图象经过点（,02π）时，sin02πω=，所以， ,2k k Z πωπ=∈，即2k ω=, k Z ∈，()sin2(0,)f x kx k k Z =>∈，当4x π=时，sin 2sin 442k f k πππ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不一定等于1，所以，必要性不成立． 故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 7.定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x =()ln f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④【答案】C 【解析】试题分析： 由等比数列性质可得：221.n n n a a a ++=，①2()f x x =，()()()222222211().n n n n n n f a f a a a a f a ++++===，所以正确；②()2x f x =，()()22221()2.22n n n n aa a a n n n f a f a f a +++++==≠，所以错误；③()f x =，()()221()n n n f a f a f a ++===，所以正确；④()ln f x x =．()()222211()ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=所以错误；故选择C 考点：等比数列性质【此处有视频，请去附件查看】8.已知a ，b 是不相等的两个正数，在a ，b 之间插入两组实数：x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，（n ∈N *，且n ≥2），使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，…，y n ，b 成等比数列，给出下列四个式子：①()122n n a b x x x ++++=；②()2121n x x x n+++>；ab =2a b+<.其中一定成立的是（ ） A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，求得12n x x x +++，结合差比较法，判断①②的真假性.根据等比数列的性质求得12n y y y ，结合基本不等式，判断③④的真假性.【详解】依题意12,,,,,n a x x x b 成等差数列，令12n n S a x x x b =+++++，则121n n n S b x x x x a -=++++++，两式相加，利用等差数列的性质化简得()()22n n a b S ++=，所以()()()()1222n n n a b x x x S a b a b +++++=-+=-+()2n a b =+.所以①正确.所以()1212n a b x x x n++++=2=,a b 是不相等的正数，所以2442a a bb +=->+，所以()2121(2n x x x n+++>成立，所以②正确. 依题意12,,,,,n a y y y b 成等比数列，设其公比为q，则==当q 为负数时，则n 必为奇数，此时0<，所以③不正确.由③的分析可知，当q为负数时，则n 0<，所以2a b+<；当q 为正数时，12n a q+=⋅===,a b 是不相等的正数，所以2a b+<.所以④正确.故选：B【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查基本不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 二、填空题 9.函数f （x ）()22143log x x =-+-的定义域为_____.【答案】（1，2）（2，3）【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，结合对数型函数的定义域，求得()f x 的定义域.【详解】依题意()()()22213013430243120x x x x x x x x x ⎧--<<<⎧-+->⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-+-≠-≠⎩⎩⎪⎩，所以函数()f x 的定义域为()()1,22,3⋃. 故答案为：()()1,22,3⋃【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 10.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，则MD NC ⋅的值是_____.【答案】26 【解析】 【分析】根据已知条件，得到60AOD DOC COB ∠=∠=∠=，利用平面向量的线性运算表示出,MD NC ，由此求得MD NC ⋅.【详解】连接,OD OC ，依题意可知60AOD DOC COB ∠=∠=∠=，由于6OA =，,M N 是线段AB的三等分点，所以224AM MO ON NB ====.13MO OD AO OD MD =+=+，13NO OC BO O N CC =+=+，所以MD NC⋅1133AO OD BO OC ⎛⎫⎛⎫=+⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111933AO AO OC OD BO OD OC=-+⋅+⋅+⋅11111136666666932322=-⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯4661826=-+++=故答案为：26【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的运算，属于基础题.11.等差数列{a n}中，a1>0，S m=S n（m≠n），若前n项和中最大值仅S7，则2m+n最大值为_____. 【答案】27【解析】【分析】根据题意求得,m n的关系式，进而可求得2m n+的最大值.【详解】由于在等差数列{}n a中，10a>，且前n项和中的最大值为7S，所以7181060070a a da a d>+>⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩.因为()m nS S m n=≠，所以12n m m m nS S a a a++-=+++()12m nn ma a+-=+=，所以1m na a++=，即()()1111210a md a n d a m n d+++-=++-=，112m na d+-+⋅=.所以1672m n+-<<，12114m n<+-<，由于,m n N∈，所以113m n+-=，14m n+=.即14n m=-.所以221414m n m m m+=+-=+，又13m≤，所以2131427m n+≤+=.故答案为：27【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.12.若直线y kx b=+是曲线ln3y x=+的切线，也是曲线()ln2y x=+的切线，则b=_______．【答案】22ln 3+ 【解析】 【分析】设出直线与两个曲线相切时的切点坐标，利用导数得到关于切点横坐标的方程，解出它们后可得切线方程，从而得到b 的值．【详解】设直线y kx b =+与曲线ln 3y x =+相切时的切点坐标为()00,3ln x x +， 与直线()ln 2y x =+相切时的切点坐标为()()11,ln 2x x +，所以()010*******3ln ln 21x x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+-+⎪=⎪-⎩，整理得到010122x x x x =+⎧⎨=-⎩，所以012343x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．故切线322ln 3233y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭即为322ln 23y x =++，故22ln 3b =+， 填22ln3b =+． 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.公切线问题也应转化为切点横坐标的方程组，解这个方程组就可以得到切点的横坐标，从而可求公切线的方程．13.已知二次函数f （x ）=x 2-mx +6（m ∈R ），若f （x ）在区间（1，3）内恰有一个零点，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】}[5，7）【解析】 【分析】由260x mx -+=分离常数m ，根据x 的取值范围，求得m 的取值范围. 【详解】令()260f x x mx =-+=，当13x <<时，有6m x x =+.令()6g x x x=+，()(2'222661x x x g x x x x+-=-==，所以()g x在(上递减，在)上递增，在x =g=.()17g =，()35g =.因为()f x 在区间()1,3内恰有一个零点，所以57m ≤<或m =故答案为：{[)5,7⋃【点睛】本小题主要考查根据零点的分布求参数的取值范围，属于基础题.14.若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为（a n ）+，则得到一个新数列{（a n ）+}.例如，若数列{a n }是1，2，3…，n ，…，则数列{（a n ）+}是0，1，2，…，n ﹣1…已知对任意的n ∈N +，a n =n 2，则（a 5）+=_____，（（a n ）+）+=_____.【答案】 (1). 2 (2). n 2【解析】 【分析】 根据5m a <，而2n a n =，知1,2m =，由此求得()5a +.由()()()()()()()()1234,,,a a a a ++++++++的值，归纳猜想()()na ++.【详解】因为5m a <，而2n a n =，所以1,2m =，所以()52a +=.由于()()()()()()()12345670,1,1,1,2,2,2a a a a a a a +++++++=======，()()()()()()()()891011121314152,2,3,3,3,3,3,3a a a a a a a a ++++++++========，()163a +=，()174a +=，…….即()22,((1),)n a k k n k k N +=<≤+∈ 所以()()()()()()()()12341,4,9,16a a a a ++++++++====，……故()()2n a n ++=.故答案为：(1). 2 (2). n 2【点睛】本小题主要考查新定义的数列的理解和运用，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题15.在ABC ∆中，点D 是边AB 上一点，且13AD DB =.记ACD α∠=，BCD β∠=. （1）求证：sin 3sin AC BC βα=；（2）若6πα=，2πβ=，AB =BC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）3BC =.【解析】 试题分析：(1)由题意结合正弦定理整理计算即可证得结论；(2)利用题意结合余弦定理，设2AC k =，3BC k =，列方程求解可得3BC =. 试题解析：（1）由正弦定理，在ACD ∆中sin sin AC ADADC α=∠，在BCD ∆中sin sin BC BD BDC β=∠，因为ADC BDC π∠+∠=，所以sin sin ADC BDC ∠=∠，因为13AD DB =，所以sin 3sin AC BC βα=. （2）因为6πα=，2πβ=，由（1）得sin3223sin 6AC BC ππ==，设2AC k =，3BC k =，0k >，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠得到2221949223cos3k k k k π=+-⋅⋅⋅，解得1k =，所以3BC =. 16.已知数列{a n }满足：a 1=1，1122nn n a n n a a n n +⎧+-⎪=⎨⎪-⎩，为奇数，为偶数，记()*2N n n b a n =∈.（1）求b 1，b 2的值；（2）证明：数列{b n }是等比数列； （3）求数列{a n }的通项公式.【答案】（1）11,24；（2）证明见解析；（3）a n 11()221()44212kk n k k n k -⎧=⎪⎪=⎨⎪+-=-⎪⎩，，.【解析】 【分析】（1）根据递推关系式，求得12,b b 的值. （2）根据递推关系式，推导出112n n b b -=，由此证得{}n b 是等比数列. （3）由（1）求得数列{}n b 通项公式，由此求得2n a 的表达式，进而21n a -的表达式，从而求得数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）a 1=1，1122n n n a n n a a n n +⎧+-⎪=⎨⎪-⎩，为奇数，为偶数，记()*2N n n b a n =∈.b 1=a 212=a 1+1﹣112=. a 3=a 2﹣412=-472=-. b 2=a 412=a 3+3﹣112=a 3+274=-+214=. （2）b n =a 2n 12=a 2n ﹣1+2n ﹣2， n ≥2时，a 2n ﹣1=a 2n ﹣2﹣2（2n ﹣2）=a 2n ﹣2﹣4n +4.∴b n 12=a 2n ﹣1+2n ﹣212=（a 2n ﹣2﹣4n +4）+2n ﹣212=a 2n ﹣212=b n ﹣1， n =1时，b 212=b 1. ∴数列{b n }是等比数列，首项与公比都为12. （3）解：由（2）可得：b n 1()2n =.∴a 2n 1()2n =.又a 2n 12=a 2n ﹣1+2n ﹣21()2n =. 解得：a 2n ﹣111()2n -=+4﹣4n .综上可得：数列{a n }的通项公式：a n 11()221()44212k k n k k n k -⎧=⎪⎪=⎨⎪+-=-⎪⎩，，，k ∈N *.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查等比数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17.已知函数f （x ）21x x x e++=. （1）求函数y =f （x ）的单调区间；（2）若曲线y =f （x ）与直线y ＝b （b ∈R ）有3个交点，求实数b 的取值范围；（3）过点P （﹣1，0）可作几条直线与曲线y =f （x ）相切？请说明理由.【答案】（1）增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）1<b 3e<；（3）1，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用()f x 的导函数，求得()f x 的单调区间. （2）由（1）判断出()f x 的极大值和极小值，结合()f x 与y b =有3个交点，求得b 的取值范围.（3）设出切点坐标，利用导数求得切线方程，代入点()1,0-，得到切点的横坐标满足的方程，利用导数证得这个方程只有一个解，由此判断出可以作1条切线.【详解】（1）f ′（x ）=（x ﹣x 2）e ﹣x ，由f ′（x ）>0，可得0<x<1，f ′（x ）<0，可得x <0或x >1，∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）由（1），f （0）=1，f （1）3e=， ∵曲线y =f （x ）与直线y =b （b ∈R ）有3个交点，∴1<b 3e<； （3）设切点为（m ，n ），则f ′（m ）=（m ﹣m 2）e ﹣m ，∴切线方程为y ﹣n =（m ﹣m 2）e ﹣m （x ﹣m ），代入（﹣1，0），整理可得m 3+m 2+1=0，设g （m ）=m 3+m 2+1，g ′（m ）=3m 2+2m ，由g ′（m ）>0，可得m 23<-或m >0，g ′（m ）<0，可得23-<m <0， ∴函数g （m ）的单调递减区间是（23-，0），单调递增区间是（﹣∞，23-），（0，+∞）； ∵g （23-）>0，g （0）>0， ∴g （m ）=0有唯一解，∴过点P （﹣1，0）可作1条直线与曲线y =f （x ）相切.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的切线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学开学复习质量检测试题（含解析）一、选择题1.设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ，若集合{}2|0=-<A x x x ，则UA（ ）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A ，再根据补集定义得结果. 详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥，故选A ．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3.命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A. ∃00x ≤，01x e ≤ B. ∃00x >，01x e ≤ C. ∀0x >，1x e ≤ D. ∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4.若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（ ）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=，得a b =，所以是充要条件，故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<，11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，121222c -==>=，1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故a b c <<，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图S ABCD -（如图所示）：由图可知，2SA AD ==，1AB BC ==，SA ⊥面ABCD ，AD ⊥面SAB ，AD BC ∥， 所以Rt SAB ，Rt SAD ，Rt SBC △中，5SB =6SC =，22SD =2CD =，所以222SC CD SD +=，所以SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是2，侧面都是直角三角形． 本题选择C 选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.8.已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=，则实数m 的取值范围是（ ）A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析：设200(,)4y Q y ，由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=，即222000()044y y m y -⋅+=，显然00y ≠，因此2044y m =-，所以40m ->，即4m >．选B ．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题． 二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ．512y x =± 【解析】试题分析：222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=5c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q ，则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=， 故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．11.在△ABC 中，3a =，13b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______． 【答案】，【解析】 由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得.考点：余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析： 设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),13a ∴=-，所以圆心为11(,)33-，半径13，所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-，()()120f x fx +=，且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】分析式子特点可知，当6x π=-时，函数应该取到最值，将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ，结合()()120f x f x +=分析可知，()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称，求出12x x +的通式，即可求解 【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-，由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭，化简可得2a =，则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称，故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +的最小值为23π，故答案：23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+（,a R b R ++∈∈），已知()f x 的最小值为4，则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab，再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈，则()4x xae bef x-=≥=+，当且仅当x xae be-=时取到，则4ab=，点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===，mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω）的图象上相邻最高（1）求函数()f x的周期及ω的值；（2）求函数()f x的单调递增区间. 【答案】（1）12,2Tπω==；（2）52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期；（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；【详解】（1）()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则2A=，22Tππωω==，图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==；（2）()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2【解析】【分析】（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：4824168--=人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：3:2:1，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：3636⨯=人；抽取理化历的人数为：2626⨯=人；抽取理化历的人数为：1616⨯=人；（2）由题可知X的取值有1，2，3，()124236115C CP XC===；()214236325CC P X C ===；()304236135C C P X C ===； 故随机变量X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，M 为PD 的中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N.23DC =，2DA PD ==，1AB =，120PDC ∠=.（1）求证：N 为PC 中点； （2）求证：AD ⊥平面PCD ；（3）T 为PB 中点，求二面角T AC B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45° 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可得AB MN ∥，又由M 为PD 的中点，即可求证N 为PC 中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小 【详解】（1）//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，由线面平行的性质可得，//AB MN ， 又//AB CD ，//MN CD ∴，M 为PD 的中点，N ∴为PC 的中点；（2）过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ，又平面ABCD ⊥平面PCD ，交线为CD ，故DH ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，DH AD ∴⊥， 又AD PC ⊥，PCDH H =，∴AD ⊥平面PCD ；（3）由（2）可知AD ⊥平面PCD ，AD CD ∴⊥，故以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -，T 为PB 的中点，故3T ⎛ ⎝⎭，3AT ⎛=- ⎝⎭，()223,0AC =-，， 可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =，平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =，故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =得1,2y z ==，则()23,1,2n =，故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅，故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-． （Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间； （Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果. 【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--， 令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时， 若0x <，则()3215132f x x x ax =---，所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x > 若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-， 所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切.切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为3 【解析】【分析】（1）由斜率之积可求得a ，b 的关系，将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得A ，B 的坐标，设(,)P m n ，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【详解】（1）设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得：2234b a =①， 又过22319(1,)124a b∴+=②，所以由①②得：24a =，23b =；所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++，令0x =，则22n y m =+，所以M 的坐标2(0,)2nm +， 直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，所以坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ，则有22PA PBb k k a⋅=-；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题20.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈ 【解析】 【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，对x ，y 分类讨论即可得出．（3）存在“减1集” A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集” 同理，*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”． （2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若集合{}320A x R x =∈+>，{}2230B x R x x =∈-->，则A B =（ ）A.{}1x R x ∈<-B.213x R x ⎧⎫∈-<<-⎨⎬⎩⎭C.233x R x ⎧⎫∈-<<⎨⎬⎩⎭D.{}3x R x ∈>答案：D 【分析】先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：2{|}3A x R x =∈-＞，B={x∈R|x＜﹣1，或x ＞3}； ∴A∩B={x∈R|x＞3}． 故选D ．点评：本题考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算． 2.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+与c 共线,则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2答案：D 【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b 表示出c ，进而可得出λ. 解：由题中所给图像可得：2a b c +=，又c =a b λ+，所以2λ=. 故选D点评：本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.3.设曲线C 是双曲线,则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A分析：由方程为2214y x -=的渐近线为2y x =±，且渐近线方程为2y x =±的双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，即可得结果.详解：若C 的方程为2214y x -=，则1,2a b ==，渐近线方程为by x a=±， 即为2y x =±，充分性成立，若渐近线方程为2y x =±，则双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，∴“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A.4 B.5C.6D.7答案：C分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析，看是否满足条件，然后可得结论．详解：对于A ，若参赛人数最少为4人，则当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A 不正确．对于B ，若参赛人数最少为5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，所以B 不正确．对于C ，若若参赛人数最少为6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C 正确．对于D ，由于7大于6，故人数不是最少．所以D 不正确． 故选C ．点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析，看是否得到不合题意的结果．5.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（） A.p ＜1 B.p ＞1C.p ＜2D.p ＞2答案：D 【分析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 解：∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ．点评：此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 6.已知函数()()cos 2f x x φ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（）A.0B.2-C.2D.1答案：A 分析】根据奇函数定义()00f =，代入即可求得cos ϕ的值． 解：因为函数()()cos 2f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数 所以()00f =，代入cos 0ϕ= 所以选A点评：本题考查了奇函数的应用及三角函数的求值，属于基础题． 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A.4B.22C.7D.2答案：B 【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．解：由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥11P DCC D -，底面11DCC D 是边长为2的正方形，侧面11PC D ∆是边长为2的正三角形，且侧面11PC D ⊥底面11DCC D ．根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得1122PC PD == 所以该四棱锥的最长棱为22故选B ．点评：在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力．8.函数()f x =()21,01,0x x f x x -⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，若方程()f x =x a +有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A.（－∞，1） B.（－∞，1] C.（0，1） D.[0，+∞）答案：A 【分析】根据分段函数的表达，画出函数的图像，结合函数()f x 和y x a =+的图像有且只有两个交点，来求得实数a 的取值范围.解：当(]0,1x ∈时，(]11,0x -∈-，故()()1221xf x f x -=-=⋅-.当(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，故()2221x f x -=⋅-.以此类推，当(]1,x n n ∈-,n Z +∈时，()221n x f x -=⋅-.由此画出函数()f x 和y x a =+的图像如下图所示，由图可知a 的取值范围是(),1-∞时，()f x 和y x a =+的图像有且仅有两个交点.即方程()f x =x a +有且只有两个不相等的实数根.故本小题选A.点评：本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的根和函数的零点问题，综合性较强，属于中档题.9.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212()()f x f x kx x -≤-成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数()(1)f x x x =≥满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为（）A.4B.3C.1D.12答案：12试题分析：由已知中中利普希茨条件的定义，若函数()(1)f x x x =≥满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212()()f x f x k x x -≤-成立，不妨设12x x ＞，则121212x x k x x x x -≥=-+．而0＜12 x x +＜12，所以k 的最小值为12．故选D. 考点：1.新定义问题；2.函数恒成立问题．10.在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为A 1B 1，C 1D 1，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在0≤x ≤2时，V 与x 的图象应为（）A. B.C. D.答案：C【分析】分情况表示出三棱锥的体积，根据分段函数解析式判定函数图象.解：（1）当012x≤≤时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，∵S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的距离为x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝21132⨯⨯x＝2•63x x=，23（2）当12＜x32≤时，P在AB上，Q在C1D1上，P到12，S△OEF111122=⨯⨯=，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝211113226⨯⨯⨯==定值．（3）当32＜x≤2时，S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的距离为2﹣x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝21132⨯⨯⨯（2﹣x）2133=-x，V 10321136222132332xx x x x ⎧≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，＜，＜，故选：C ．点评：此题考查求锥体体积，关键在于根据几何体特征准确分类讨论表示出锥体体积，结合分段函数解析式选择函数图象.二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11.代数式（1﹣x ）（1+x ）5的展开式中x 3的系数为_____． 答案：0 【分析】根据二项式定理写出（1+x ）5的展开式，即可得到x 3的系数.解：∵（1﹣x ）（1+x ）5＝（1﹣x ）（0155C C +•x 25C +•x 235C +•x 345C +•x 455C +•x 5），∴（1﹣x ）（1+x ）5展开式中x 3的系数为135C ⨯-125C ⨯=0．故答案为：0．点评：此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数. 12.在复平面内，复数12z i =-对应的点到原点的距离是_______．因为复数12z i =-，所以z ==12z i =-对应的13.已知函数若42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩，a b c d ，，，是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_____．答案：()24,25【分析】画出函数y f x ＝（）的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得1ab ＝，由二次函数的性质可得10c d +＝，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围． 解：先画出函数42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩的图象，如图所示：因为a b c d ,,,互不相同，不妨设a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===， 而44log log b -=，即有44log log 0a b +=，可得1ab =，则abcd cd =，由10c d +＝，且c d <，可得2252c d cd +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，且2(10)(5)25cd c c c =-=--+，当4c =时，6d =，此时24cd =，但此时b ，c 相等， 故abcd 的范围为(24,25)． 故答案为2425（，）．点评：本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．14.已知双曲线22221x y C a b -=：的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆2215x y +=有相等焦距，则C 的方程为_____答案：x 223y -=1【分析】根据渐近线倾斜角求出斜率得到ba=，结合焦距即可求得方程. 解：由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：b a=tan60°=a 2+b2＝4，解得：a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的方程为：x 223y -=1；故答案为：x 223y -=1．点评：此题考查求双曲线的方程，根据椭圆求得焦距，根据渐近线的倾斜角得出斜率，建立等量关系求解基本量a ，b ，c .15.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n +2﹣S n ＝36，则n ＝_____． 答案：8 【分析】根据等差数列的首项和公差表示出()2212n n n S n n -=+=，根据方程S n +2﹣S n ＝36即可得解.解：∵等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2， 则()2212n n n S n n -=+=，22(2)n S n +=+，由S n +2﹣S n ＝36，得（n +2）2﹣n 2＝2（2n +2）＝36，解得：n ＝8． 故答案为：8．点评：此题考查等差数列求和公式，根据求和公式建立等量关系求解未知数，关键在于熟记公式，准确计算.16.如果对于函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2），就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．则①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，四个函数中为不严格增函数的是_____，若已知函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的g （x ）有_____个．答案：(1).①③(2).9 【分析】①③两个函数满足题意，②是严格单调递增的函数，不合题意，④当x 112=，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），不合题意；分别列举出满足条件的函数关系即可得解. 解：由已知中：函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2）， 就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数； ②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，当x 12π=-，x 2∈（2π-，2π），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数；③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数； ④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，当x 112=，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数；故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；∵函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，则满足条件的函数g （x ）有：g （1）＝g （2）＝g （3）＝1，g （1）＝g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝2，g （3）＝3， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝3， g （1）＝2，g （2）＝g （3）＝3，故这样的函数共有9个， 故答案为：①③；9．点评：此题考查函数概念，涉及新定义，与单调递增对比，寻找满足条件的函数，关键在于读懂题意，根据不严格增函数的定义进行判定.三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17.已知{}n a 是各项为正数的等差数列,n S 为其前n 项和,且24(1)n n S a =+.（Ⅰ）求1a ,2a 的值及{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求数列72n n S a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最小值. 答案：（1）21n a n =-（2）172【试题分析】（１）借助题设条件运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组求解；（２）先确定目标函数解析式，再运用二次函数的图像与性质分析求解： （Ⅰ）因为()241n n S a =+，所以，当1n =时，()21141a a =+，解得11a =，所以，当2n =时，()()222411a a +=+，解得21a =-或23a =， 因为{}n a 是各项为正数的等差数列，所以23a =， 所以{}n a 的公差212d a a =-=，所以{}n a 的通项公式()1121n a a n d n =+-=-.（Ⅱ）因为()241n n S a =+，所以()222114n n S n -+==，所以()2772122n n S a n n -=-- 2772n n =-+273524n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以，当3n =或4n =时，72n n S a -取得最小值172- 18.如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，BE ＝BC ，F 为CE 的中点，（1）求证：AE ∥平面BDF ； （2）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（3）2AE ＝EB ，在线段AE 上找一点P ，使得二面角P ﹣DB ﹣F 10，求P 的位置． 答案：（1）见解析（2）见解析（3）P 在E 处． 【分析】（1）通过证明FG ∥AE 即可证明；（2）通过证明BF ⊥平面ACE ，即可证得面面垂直；（3）建立空间直角坐标系，利用两个半平面法向量关系求解. 解：证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵F 是EC 中点． ∴在△ACE 中，FG ∥AE ， ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD ．（2）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC ⊥AE ，又∵AE ⊥BE ，BC ∩BE ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE ，即AE ⊥BF ， 在△BCE 中，BE ＝CB ，F 为CE 的中点， ∴BF ⊥CE ，AE ∩CE ＝E ， ∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ．（3）如图建立坐标系，设AE ＝1，则B （2，0，0），D （0，1，2），C （2，0，2），F （1，0，1），设P （0，a ，0），()212BD =-，，，()101BF =-，，，()20PB a =-，， 设平面BDF 的法向量为1n ，且()1111n x y z =，，， 则由1n ⊥BD 得﹣2x 1+y 1+2z 1＝0， 由1n ⊥BF 得﹣x 1+z 1＝0，令z 1＝1得x 1＝1，y 1＝0，从而()1101n =，，设平面BDP 的法向量为2n ，且()2222n x y z =，，，则 由2n ⊥BD 得﹣2x 2+y 2+2z 2＝0， 由2n ⊥PB 得2x 2﹣ay 2＝0，令y 2＝2得x 2＝a ，z 2＝a ﹣1，从而()221n a a =-，，，1212102n n cos n n θ⋅===⋅， 解得a ＝0或a ＝1（舍） 即P 在E 处．点评：此题考查证明线面平行和面面垂直，关键在于熟练掌握判定定理，建立空间直角坐标系利用法向量求解二面角的大小，方法通俗易懂，注意计算不能出错.19.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果） 答案：（1）35（2）见解析，1．（3）12x x ＞． 【分析】（1）根据图象安全得分大于90分的景点有3个，即可求得概率； （2）ξ的可能取值为0，1，2，依次求得概率，即可得到分布列； （3）根据图象中的点所在位置即可判定平均分的大小关系.解：（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个， ∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35． （2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2．P （ξ＝0）343615C C ==，P （ξ＝1）21423635C C C ⋅==，P （ξ＝2）12423615C C C ⋅==， ∴ξ的分布列为：∴E （ξ）＝05⨯+15⨯+25⨯=1． （3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而12x x ＞．点评：此题考查根据散点图求古典概型，分布列和数学期望，关键在于准确求出概率，根据图象中散点图特征判定平均值的大小关系. 20.已知函数f （x ）1x=-x +alnx ． （1）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程（用含a 的式子表示） （2）讨论f （x ）的单调性；（3）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122f x f x a x x ---＜．答案：（1）y ＝（﹣2+a ）x +2﹣a ．（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程；（2）求出导函数，对g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，进行分类讨论即可得到原函数单调性；（3）结合（2）将问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1，根据韦达定理转化为考虑h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+的单调性比较大小即可得证.解：（1）∵f （x ）1x=-x +alnx （x ＞0） ∴f ′（x ）221x ax x-+-=（x ＞0） ∴当x ＝1时，f （1）＝0，f ′（1）＝﹣2+a ， 设切线方程y ＝（﹣2+a ）x +b ，代入（1，0），得b ＝2﹣a ，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +2﹣a ． （2）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）221x ax x -+-=，设g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g （0）＝﹣1，①当a ≤0时，g （x ）＜0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数； ②当a ＞0时，判别式△＝a 2﹣4，（i ）当0＜a ≤2时，△≤0，即g （x ）≤0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数；（ii ）当a ＞2时，令f ′（x ）＞0，得：2a -x 2a +＜； 令f ′（x ）＜0，得：0＜x 2a -＜或x 2a +＞；∴当a ＞2时，f （x ）在区间）单调递增，在（0，，+∞）单调递减；综上所述，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数，当a ＞2时，在（0，，+∞）上是减函数，在区间（2a -，2a +）上是增函数．（3）由（2）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1， 则f （x 1）﹣f （x 2）11x =-x 1+alnx 1﹣[21x -x 2+alnx 2]＝（x 2﹣x 1）（1121x x +）+a （lnx 1﹣lnx 2） ＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2）， 则()()1212f x f x x x -=--21212()a lnx lnx x x -+-，则问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1即可，即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2，则lnx 1﹣ln 11x ＞x 111x -，即lnx 1+lnx 1＞x 111x -， 即证2lnx 1＞x 111x -在（0，1）上恒成立， 设h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0， 求导得h ′（x ）2x =-1()222221121x x x x x x --+-=-=-＜0， 则h （x ）在（0，1）上单调递减， ∴h （x ）＞h （1），即2lnx ﹣x 1x+＞0， 故2lnx ＞x 1x-， 则()()1212f x f x x x ＜--a ﹣2成立．点评：此题考查导函数的应用，根据几何意义求切线斜率，讨论函数的单调性，证明不等式，解决双变量问题，综合性强.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点.求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.答案：（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【分析】（Ⅰ）求出,,a b c 后可得椭圆方程.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在，计算可得A B ，两点的纵坐标之积为9-.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则212121212()142()4A B x x x x y y kx x x x -++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简A B y y 后可得定值.解：解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d，b d ==，即b =由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =. 故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以331122P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,. 则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y --=.令4x =，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以,A B 两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 依题意0∆≥恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,， 则2212122284123434k k x x x x k k -+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--， 所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-.同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++ 22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k -=⨯9=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.点评：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题.22.给定一个n 项的实数列()*12n a a a n N∈，，，，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （2）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由． 答案：（1）见解析（2）见解析（3）不存在，见解析 【分析】（1）根据定义取恰当的值进行变换得解；（2）结合（1）进行归零变换的过程，可以考虑构造数列，经过k 次变换后，数列记为()()()12k k k na a a ，，，，k ＝1，2，…，进行变换T k （c k ）时，()()()11112k k k k k c a a --+=+，依次变换即可得证； （3）利用数学归纳法证明该数列不存在“n ﹣1次归零变换”.解：（1）方法1：T 1（4）：3，1，1，3；T 2（2）：1，1，1，1；T 3（1）：0，0，0，0．方法2：T 1（2）：1，1，3，5；T 2（2）：1，1，1，3；T 3（2）：1，1，1，1；T 4（1）：0，0，0，0．．…（2）经过k 次变换后，数列记为()()()12k k k na a a ，，，，k ＝1，2，…． 取()11212c a a =+，则()()11121212a a a a ==-，即经T 1（c 1）后，前两项相等； 取()()()1122312c a a =+，则()()()()()222111233212a a a a a ===-，即经T 2（c 2）后，前3项相等； …设进行变换T k （c k ）时，其中()()()11112k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为()()()()()()12312k k k k k k k k n a a a a a a ++，，，，，，，，则()()()()1231k k k k k a a a a +====； 那么，进行第k +1次变换时，取()()()11212k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为()()()()()()()1111111123123k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，，，，，，，，， 显然有()()()()()1111112312k k k k k k k a a a a a +++++++=====； …经过n ﹣1次变换后，显然有()()()()()111111231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取()1n n n c a -=，经过变换T n （c n ）后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n 次归零变换”．（3）不存在“n ﹣1次归零变换”．证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换T j （c j ）时，c j ＜min {a 1，a 2，…，a n }，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行T j （c j ）后，再进行T j +1（c j +1），由||a i ﹣c j |﹣c j +1|＝|a i ﹣（c j +c j +1）|，即等价于一次变换T j （c j +c j +1），同理，进行某一步T j （c j ）时，c j ＞max {a 1，a 2，…，a n }；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的c i 满足min {a 1，a 2，…，a n }≤c i ≤max {a 1，a 2，…，a n }．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n ﹣1次归零变换”．（1）当n ＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立．（由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：125322T T ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，） （2）假设n ＝k 时成立，即1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”．当n ＝k +1时，假设1，22，33，…，k k ，（k +1）k +1存在“k 次归零变换”．此时，对1，22，33，…，k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换c i 一定满足1k i c k ≤≤，i ＝1，2，…，k ． 因为()111212|(1)|(1)k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++≥（k +1）k +1﹣k •k k ＞0 所以，（k +1）k +1绝不可能变换0，与归纳假设矛盾． 所以，当n ＝k +1时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证．点评：此题考查数列新定义问题，关键在于读懂题目所给新定义，根据定义进行构造，分析证明，涉及与正整数有关的命题可以考虑利用数学归纳法进行证明.。