北京市人大附中2021届高三上学期10月月考数学试题含答案

人大附中2021届高三数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ ）A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A. (2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为 ． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为 ．13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是 ．15.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有 ．三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）已知2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．人大附中2021届高三数学试卷答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ D ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ C ） A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为 ．-112．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为 ． （答案：21-5）13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-；14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(,2-1)315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．②④三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分） 设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分 由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分（II ）11()sin 0,sin 222A fA A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 cos 2A =, …………………………………………6分 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)分2sin 4bc A +∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以(h 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分（Ⅰ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 7分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以g 在(2,1)--，上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 10分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P ，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………4分 （Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为4r =， 故圆心到直线l的距离为d ==所以EF ===分所以AB EF ⋅=== 因为211≥t +，所以221(1)21≥t t +++，即221114(1)21≤t t ++++．所以1≤AB FE ⋅=．…………………………………11分当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=， 所以AB FE ⋅的最大值为1．………………………………12分四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………….2分因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．…….……………………….4分（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)分由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭． 又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭， ………………………………….8分 故()()()()()022********s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分。

2021年高三10月月考试卷（数学）一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1、原命题：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个.2、已知命题，命题，则命题p是命题q的条件3、若向量满足且，则实数k的值为4、若不等式的解集为，求的值5、已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于6、若复数满足，且在复平面内所对应的点位于轴的上方，则实数的取值范围是。

７．已知、、是三角形的三个顶点，，则的形状为。

８．在条件的最大值为 .9．把实数a，b，c，d排成形如的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算·，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点，若点A在矩阵的作用下变换成点（2，4），则点A的坐标为 .10、把一条长是6m的绳子截成三段，各围成一个正三角形，则这三个正三角形的面积和最小值是m2.11、对，记，按如下方式定义函数：对于每个实数，.则函数最大值为．12、已知函数，直线：9x＋2y＋c＝0．若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线的下方，则c的取值范围是________________________二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只．有．一项．．是符合题目要求的．13 定义集合与的运算，则等于（A）（B）（C）（D）（）14．根据表格中的数据，可以断定函数的一个零点所在的区间是15、函数（）是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D.（ ） 16．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f (x )，另一种平均价格曲线y=g(x )，如f (2)=3表示股票开始卖卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元。

下面给出了四个图象，实线表示y=f (x )，虚线表示y=g(x )，其中可能．．正确的是 （ ）三、解答题：本大题共６小题，共８0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数． （I ）解不等式；（II ）若关于的不等在恒成立，试求的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列的前4项和为10，且、 、成等比数列． （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和． 19．（本小题满分12分）设函数，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为，求的值.ABCD20．（本小题满分1４分）为迎接xx年的奥运会，某厂家拟在xx年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。

2021年高三上学期10月月考试题 数学（理） 含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．5. 充要6. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)7. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________． 8. 由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－139. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ． 10. [－4,4]11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．412. 解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．13. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]14. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 315. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)16. 解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x，令t ＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 17. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)18. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．19. 解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6．20. 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．21. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ． 22. ⎣⎡ln33,⎭⎫1e二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. （本小题满分14分） 24. 已知直线和．25. 问：m 为何值时，有：（1）；（2）．解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分 26. （本小题满分14分）27. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． 28. （1）求f (x )的解析式；29. （2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分30. （本小题满分15分）31. 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， 32. （1）k a －b 与a －k b 垂直；33. （2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分34. （本小题满分15分）35. 如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．36. （1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．37. （2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD . 过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分38. （本小题满分16分）39. 已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．40. （1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； 41. （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； 42. （3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋ax，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分43. （本小题满分16分）44. 已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2x x ＋2．45. （1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；46. （2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增． 当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去） 当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1. 又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a， 由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x－2，设t ＝－x ∈(0,1)， (t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴ (t )＜ (1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h '(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)xx.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分) 已知矩阵（1）求；（2）满足AX ＝二阶矩阵X解：(1) ………5分(2) ………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分)所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －, 则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为, 则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB 1C 1的法向量为, 所以.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为. ………5分（2）设D 是直线BC 1上一点,且. 所以.解得,,. 所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B .此时,. ………10分1C 1A 1B 1C ABC24.（本小题满分10分)（1）证明：①；②（其中）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设局，每局比赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）. ①若，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由① ……3分（2）①若，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为，则． 记在甲最终获胜的概率为，则()nn nn n nn n nn n n n n n n n n n n qC q Cq Cpqp pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分 26545 67B1 枱Ay21102 526E 剮40664 9ED8 默33073 8131 脱 35752 8BA8 讨25121 6221 戡24143 5E4F 幏34944 8880 袀34497 86C1 蛁。

卜人入州八九几市潮王学校海淀区中国人民大学附属2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8道小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定求填涂在“答题纸〞第1－6题的相应位置上．〕1.全集=R U ，集合20x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭，那么集合UA 等于〔〕A.{2x x <-或者}0x >B.{2x x <-或者}0x ≥C.{2x x ≤-或者}0x >D.{2x x ≤-或者}0x ≥【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U =R 求出A 的补集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：200x x +≥⎧⎨<⎩或者200x x +≤⎧⎨>⎩，解得：20x -≤<，即{}|20A x x =-≤<，∵全集U =R ，∴UA ={2x x <-或者}0x ≥.应选：B.【点睛】此题考察分式不等式的解法，考察补集及其运算，属于根底题.2.角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么sin α的值是〔〕A. B.12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求出． 【详解】根据三角函数的定义可知，1sin 2y α==-． 应选：B ．【点睛】此题主要考察三角函数的定义的应用，属于根底题． 3.以下函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是〔〕A.1y x=B.2x y = C.1y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】 【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性．【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数，B 不是奇函数也不是偶函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，1y x x=+是勾形函数，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递增， 只有1y x x=-在(0,)+∞上递增． 应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题根底． 4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把1cos 2y x =的图象上所有的点〔〕A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度C.向左平移23π个单位长度 D.向右平移23π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得．【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因此把1cos 2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是()f x ω向左平移m 个单位，得[()]f x m ω+不是()f x m ω+．5.“ln ln a b >>A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件.【答案】A 【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==，那么ln ln a b >不成立，所以ln ln a b >>∴选A .考点：充分条件、必要条件. 6.假设实数集R 的子集X满足：任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素，那么称X 在R中的稠密，假设“R 的子集X 在R 中的不稠密〞，那么〔〕A.任意开区间都不含有X中的元素B.存在开区间不含有X中的元素C.任意开区间都含有X的补集中的元素 D.存在开区间含有X的补集的元素【答案】B 【解析】 【分析】X 在R 中的稠密的否认即可，【详解】(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素〞的否认是：“存在开区间(),a b 〔其中a b <〕不含有X中的元素〞，应选：B ． 【点睛】R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数，对选项进展排除，由此得出【详解】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2x π∈时，cos 0x =有两个解π3π,22，令12sin 10,sin 2x x x x+==-，而sin y x =与12y x=-在()0,2π有两个不同的交点〔如以下列图所示〕，故函数在()0,2π上有4个零点，应选A. 【点睛】本小题主要考察函数图像的识别，考察二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题. 8.()2log f x x=，关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ，()212x x x <，关于x 的方程()41f x m =+，41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ，()434x x x <．当m 变化时，4231x x x x --的最小值为〔〕A. B.8C. D.16【答案】B 【解析】 【分析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ，计算4231x x x x --并化简，然后由根本不等式求得最小值．【详解】在同一坐标系中作出2log y x=的图象和直线y m =，41y m =+，交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ，由方程2log x m =解得122,2m m x x -==，同理4132m x -+=，4142m x +=，4231x x x x --44411144112222222222mmm m mm m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=41111228m m ++-+=≥=，当且仅当411m m +=+，即1m =时等号成立． ∴4231x x x x --的最小值是8．应选：B ．【点睛】此题考察对数函数的图象与性质的综合应用，求出方程的根代入并化简后应用根本不等式解决问题二、填空题〔本大题一一共6道小题，每一小题5分，一共30分．请将每道题的最简答案填写上在“答题纸〞第9－14题的相应位置上．〕 9.向量()2,3a =，(),2b t =，假设a 与b 一共线，那么实数t =__________．【答案】43【解析】 【分析】由向量一共线的坐标表示计算．【详解】由题意430t -=，43t =． 故答案为：43． 【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，属于根底题同．10.函数()f x =的定义域为______________. 【答案】(0,1)(1,2]⋃ 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零，列不等式组求解即可.【详解】要使函数()ln f x x=有意义，那么24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数()ln f x x=的定义域为()(]0,11,2⋃，故答案为()(]0,11,2⋃.【点睛】此题主要考察函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)假设函数()f x 的定义域为[],a b ，那么函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的局部图象如下列图，那么()f x =__________． 【答案】2sin(2)6x π-【解析】 【分析】结合“五点法作图〞可求解．【详解】由题意2A =，2()36T πππ=⨯+=，22πωπ==，2232k ππϕπ⨯+=+，2,6k k Z πϕπ=-∈，∵2πϕ<，∴6πϕ=-．∴()2sin(2)6f x x π=-．故答案为：2sin(2)6x π-．【点睛】此题考察由三角函数图象求解析式，掌握“五点法作图〞是解题关键．12.如下列图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后，点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭〔单位：m 〕，那么P 的高度在距地面70m 以上的时间是为__________min ．【答案】4 【解析】直接解不等式70h ≥即可．【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，1sin()622t ππ-≥，5226626k t k ππππππ+≤-≤+，124128k tk +≤≤+，k Z ∈，取0k =，那么48t ≤≤，844-=．故答案为：4．【点睛】此题考察三角函数模型的应用．考察解三角不等式，属于根底题． 13.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BGGO =，设CD ∥AG ，假设15AD AB AC λ=+()R λ∈，那么λ的值是． 【答案】65【解析】 试题分析：因为所以.又CD ∥AG，可设从而.因为15AD AB AC λ=+，所以.考点：向量一共线表示14.集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立．〔1〕给出以下两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．〔2〕假设函数()sin f x kx M =∈，那么实数k 的取值集合为__________． 【答案】(1).2()f x (2).{|,}k k m m Z π=∈【解析】〔1〕根据集合M 的性质判断．〔2〕根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±，【详解】〔1〕假设1()f x M∈，那么存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，那么x T Tx +=，(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立，这是不可能的，1()f x M∉；假设2()f x M∈，那么存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，那么22a Ta =，对x ∈R 恒成立，1T=，2()f x M∈；〔2〕函数()sin f x kx M =∈，那么存在非零点常数T ，使得()()f x T Tf x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x ∈R 知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈-，sin ()[1,1]k x T +∈-，因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立，只有1T =±，假设1T =，那么sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，假设1T=-，那么sin()sin kx k kx -=-，即sin()sin kx k kx π-+=，2k m ππ-+=，(21),k m m Z π=--∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈．故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】此题考察新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规那么为根据，由新定义规那么把问题转化，转化为熟悉的问题进展解决．三、解答题〔本大题一一共6道小题，一共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．请将解答题之答案填写上在“答题纸〞第15－20题的相应位置上．〕15.函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5．〔1〕求a 的值和()f x 的最小正周期；〔2〕求()f x 的单调递增区间．【答案】〔1〕3a =，Tπ=．〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈【解析】 【分析】〔1〕先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解； 〔2〕由正弦函数的单调区间可得．【详解】〔1〕()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++，由题意25a +=，3a =，22T ππ==． 〔2〕222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． 【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，考察正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如下列图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.〔1〕求sin α的值； 〔2〕求BE 的长.【答案】〔1〕7；〔2〕【解析】 【分析】〔1〕在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，可求出sin α；〔2〕先求出cos α，结合2π3AEBα∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=-⎪⎝⎭，再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】〔1〕在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯，在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠. 于是，2πsin23sin 7CD EC α⋅===. 〔2〕由题设知，π03α<<，于是由〔1〕知，cos α===. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2πcos cos sin sin 33αα=+=在直角EAB中，BE == 【点睛】此题考察正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考察学生的推理才能与计算才能，属于根底题. 17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ． 〔1〕当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；〔2〕试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 【答案】〔1〕当x ＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米; 〔2〕当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米． 【解析】试题分析：〔1〕矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，列出关于纸盒侧面积S 函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；〔2〕列出盒子体积V 的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论． 试题解析：〔1〕因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积 S ＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x) ＝－8x 2＋260x ，x∈(0，20)． 因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －)2＋， 故当x ＝时，侧面积最大，最大值为平方厘米．答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．〔2〕包装盒子的体积V ＝(a －2x)(b －2x)x ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]，x ∈(0，)，b≤60． V ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]≤x(ab－4x ＋4x 2) ＝x(3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ．当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f(x)＝4x 3－240x 2＋3600x ，x∈(0，30)． 那么f′(x)＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，10)上单调递增； 当10＜x ＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10，30)上单调递减． 因此当x ＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16000，此时a ＝b ＝60，x ＝10． 答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．18.函数()()32413f x x a x a =--∈R ． 〔1〕曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行，求l 的方程；〔2〕假设函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕11203x y --=；〔2〕(． 【解析】 【分析】 〔1〕求出导函数()f x '，由(1)2f '=，求得a ，可得切线方程；〔2〕由导数确定函数的单调性，解不等式2()f x >的极大值即可．【详解】〔1〕由题意22()4f x x a '=-，2(1)42f a '=-=，a =a =45(1)2133f =--=-，切线l 方程是52(1)3y x +=-，即11203x y --=． 〔2〕由〔1〕22()4f x x a '=-，假设0a =，()f x 在实数集上递增，函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，符合题意，假设0a ≠， 2ax <-或者2a x>时，()0f x '>，22a a x -<<时，()0f x '<，∴()()2a f x f =-极大值，3()()23a a f x f ==-极小值，∵函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，∴()22af -<，即324()()12322a a a ⨯--⨯--<，39a <，a <，a <<0a ≠，综上可得，a 的范围是(．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察有导数研究函数的极值．函数图象与直线的交点个数问题转化为函数极值的不等关系是此题解题关键． 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R ．〔1〕求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点；〔2〕假设()()()21212g x f x ax a x =+-+，求证：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【答案】〔1〕0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕见解析． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数，研究函数的单调性，确定函数在1[,]e e上单调性得最值． 〔2〕求出数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增时的a 的取值范围后可得结论．【详解】〔1〕()ln 1f x x a '=++，由()0f x '=得1a x e --=，当10a x e --<<时，()0f x '<，()f x 递减，1a x e -->时，()0f x '>，()f x 递增， 当11aee--≤，即0a ≥时，()f x 在1[,]e e 递增，()f x 的最小值点为1e ，11ae e e--<<，即20a -<<时，()f x 的极小值点也是最小值点为1a e --， 1a e e --≥，即2a ≤-时，()f x 在1[,]e e递减，()f x 的最小值点为e ．综上，0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ． 〔2〕由21()ln (1)2g x x x ax a x =+-+，()ln 1(1)ln (1)g x x ax a x a x '=++-+=+-，由题意()ln (1)0g x x a x '=+-≥在(1,2)x ∈上恒成立，即1ln x ax-≥-在(1,2)x ∈上恒成立，设1()ln x h x x -=-，21ln 1()(ln )x x h x x +-'=-， 设1()ln m x x x=+，22111()x m x x x x -'=-=，当(1,2)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，∴1()ln (1)1m x x m x=+>=，∴()0h x '<，()h x 在(1,2)上递减， 11111lim()lim lim 11ln x x x x x xx→→→--=-=-=-，∴(1,2)x ∈时，()1h x <-，∴1a ≥-． ∴：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值，考察函数的单调性．求函数在某个区间上的最值问题，关键是确定函数的单调性，函数在某个区间上的单调问题转化为不等式恒成立，不等式恒成立经可转化为研究函数的最值． 20.如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积.假设对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，那么称数表A 为完美数表.〔Ⅰ〕当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； 〔Ⅱ〕证明：不存在10行10列的完美数表； 〔Ⅲ〕设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕〔1〕见解析，〔2〕不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据定义确定112112220a a a a +=一个解即可，〔Ⅱ〕先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，〔Ⅲ〕把12n n ln n a a a X +++=作为研究对象，根据条件可得12k X X X l ====，根据定义可得22212n X X X ln +++=.最后根据不等关系：2222221212n k X X X X X X +++≥+++证得结果.【详解】〔Ⅰ〕答案不唯一.如〔Ⅱ〕假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：〔1〕把完美数表的任何一列的数变为其相反数〔即1+均变为1-，而1-均变为1+〕，得到的新数表是完美数表；〔2〕交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w 列〔如上表所示〕， 那么10x y z w +++=由120p =，得x y z w +=+； 由130p =，得x z y w +=+； 由230p =，得x w y z +=+.解方程组，，，，得52xy z w ====.这与,,,x y z w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. 〔Ⅲ〕记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++=，……， 第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=.又因为22222221212n k X X X X X X l k +++≥+++=，所以2ln l k ≥，即kln ≤.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法那么、新运算的外表，利用所学的知识将生疏的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的打破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。

2021年高三上学期10月月考理数试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．设，，，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则+=B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列中，，，计算，由此推测通项6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数的定义域和值域都是，则( )A ．B ．C ．D ．8．函数满足，那么函数的图象大致为（ ）9．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，，则有（ ）A ．且B ．或C ．D ．10．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上11．．12．设实数满足则的最大值为．13．观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为．14．在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为、．15．下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则”；②若命题，则；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④命题“若，则”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（本题满分12分）已知集合，，．(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)若，求实数的取值范围．17．（本题满分12分）设命题：函数在上是增函数，命题：，如果是假命题，是真命题，求的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数．(Ⅰ)若函数的图象在处的切线方程为求的值；(Ⅱ)若函数在上是增函数，求实数的最大值．19．（本题满分12分）已知二次函数．(Ⅰ)若且函数的值域为求函数的解析式；(Ⅱ)若且函数在上有两个零点，求的取值范围．20．（本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值(精确到，参考数据：取)．21．（本题满分14分）设，函数．(Ⅰ)求的单调递增区间；(Ⅱ)设问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为直线的斜率为．证明：．高三数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：ABADA BCCBD二、填空题：11．8 12．4 13．14．4，12 15．②③三、解答题16.解：(Ⅰ)由，得．…………………………2分由不等式得所以．…………………………4分所以．…………………………6分(Ⅱ)因为，所以，…………………………8分所以…………………………9分解得．…………………………11分所以，实数的取值范围是．…………………………12分17．解：∵函数在上是增函数，∴，…………………………2分由得方程有解，………………4分∴，解得或…………………………5分∵是假命题，是真命题，∴命题一真一假，…………………………6分①若真假，则∴；…………………………8分②若假真，则解得，…………………………10分综上可得的取值范围为…………………………12分18．解：(Ⅰ)∵∴．于是由题知解得．…………………………2分∴．∴，于是，解得．…………………………4分(Ⅱ)由题意即恒成立，∴恒成立；……………6分减函数极小值增函数∴…………………………11分∴．∴的最大值为…………………………12分19．解：(Ⅰ)因为所以…………………………2分因为函数的值域为所以方程有两个相等的实数根，…………………………3分即有等根，故．…………………………5分所以；…………………6分(Ⅱ)解法一：因为在上有两个零点，且，所以有……8分(图正确，答案错误，扣2分)通过线性规划可得．……12分(若答案为，则扣1分)解法二：设的两个零点分别为，所以；…………8分不妨设，因为，且，所以,…………………………10分因为，所以．…………………………12分20．解：(Ⅰ)因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为…………………………2分当时，令，解得，所以．当时，令，解得，所以．于是得，…………………………5分即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达8天．…………………………6分(Ⅱ)设从第一次喷洒起，经天，浓度．…………………………8分因为，而，所以，…………………………10分故当且仅当时，有最小值为．令，解得，…………………………12分所以的最小值为．…………………………13分21．解：在区间上，．…………………………1分(Ⅰ) ．(1)当时，∵，∴恒成立，的单调增区间为；………2分(2)当时，令，即，得∴的单调增区间为…………………………3分综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为…………………………4分(Ⅱ)得…………………………5分当时，恒有∴在上为单调增函数，故在上无极值；…………………………6分当时，令，得单调递增，单调递减．∴无极小值…………………………8分综上所述：时，无极值时，有极大值无极小值．…………………………9分29922 74E2 瓢25903 652F 支{28051 6D93 涓>31261 7A1D 稝11[~29029 7165 煥p31708 7BDC 篜21076 5254 剔20099 4E83 亃。

2021年高三10月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a 的值．解答：解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简所给的复数，求出它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解答：解：复数==+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故答案为一．点本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面评：内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出510°的正弦值，即可求出m．解答：解：因为510°终边经过点P（m，2），所以sin510°=，所以sin150°=，即sin30°==，解得m=±2．因为510°是第二象限的角，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查诱导公式的作用，任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．4．（5分）（xx•普陀区二模）已知向量，若，则实数n=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先求出|+|的解析式，再求出•的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．解答：解：|+|=|（3，n+1）|=，•=（1，1）•（2，n）=2+n，由题意知9+（n+1）2=n2+4n+4，∴n=3，故答案为3．点评：本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=72．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据a4=18﹣a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．解答：解：∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，∴a1+a8=18，∴S8==72故答案为72点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项简化了解题的步骤．6．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．考点：直线与平面垂直的性质．分析：由已知中直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断①的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断②的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断③的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断④的正误，进而得到答案．解答：解：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；故答案为：①④点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈则x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．8．（5分）（xx•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．考点：正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．解答：解：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=．故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y 轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．解答：解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S xx为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求解答：解：∵f（x）=x2+bx∴f′（x）=2x+b∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b ∵切线与直线3x﹣y+2=0平行∴b+2=3∴b=1，f（x）=x2+x∴f（n）=n2+n=n（n+1）∴==∴S xx=++…+=1﹣++…+=1﹣=故答案为点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．考根的存在性及根的个数判断．点：专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：先作出函数f（x）的图象，利用图象分别确定x1，x2，x3，的取值范围．解答：解：不妨设x1＜x2＜x3，当x≥0时f（x）=（x﹣2）2+2，此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，作出函数f（x）的图象如图：由2x+4=2得x=﹣1，由f（x）=（x﹣2）2+2=4时，解得x=2或x=2，所以若f（x1）=f（x2）=f（x3），则﹣1＜x1＜0，，且，即x2+x3=4，所以x1+x2+x3=4+x1，因为﹣1＜x1＜0，所以3＜4+x1＜4，即x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键．13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ=．考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ的值．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （3，0），C（﹣1，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x= 上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（，），由条件，得（，）=λ（3，0）+μ（﹣1，）=（3λ﹣μ，），∴，解得λ=，μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a 的值为或1．考点：数列递推式．专题：综合题；分类讨论．分析：由a1=a∈（0，1]，知a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，=a，解得．当时，，==a．解得a=1．解答：解：∵a1=a∈（0，1]，∴a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，则a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，则，∴，解得．当时，，∴=．∴=a，解得a=1．综上所述，，或a=1．故答案为：或1．点评：本题考查数列的递推式的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（xx•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．考点：解三角形；二倍角的余弦；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得，故有，．（2）在△ABM中，由余弦定理得①，在△ABC中，由正弦定理可得②，由①②解得a，b，c 的值，即可求得△ABC的面积．解答：解：（1）由sinA=sinB知A=B，所以C=π﹣2A，又sinA=﹣cosC得，sinA=cos2A，即2sin2A+sinA﹣1=0，解得，sinA=﹣1（舍）．故，．（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得，即．①在△ABC中，由正弦定理得，即．②由①②解得．故．点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出，是解题的难点．16．（15分）（xx•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）先证BD⊥面ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B1DE；（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE（7分）∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE（7分）∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．（9分）又∵AC⊂平面ACF∴AC∥平面B1DE；解：（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题．17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出a n．（II）由2b n=（n+1）a n，结合配方法，即可求实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，∴a=﹣8，∴a n=﹣8+（n﹣1）×2=2n﹣10，（II）由2b n=（n+1）a n，b n=n2+n+=（n+）2﹣（）2，由题意得：≤﹣≤，∴﹣22≤a≤﹣18．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）某企业拟在xx年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知xx年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将xx年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业xx年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．解答：解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2∴当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150% 由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费即（2），此时t=7，y max=42．点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；（Ⅱ）由已知，，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，得，故函数f（x）的单调减区间为．…（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，，令h′（x）≤0，得a═对x∈[1，2]恒成立设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴．当0＜x＜1时，，，令h'（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，．…（16分）点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母a进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数a即可；（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键．注意对字母a的讨论，利用S n∈A 得出关于a的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数a的取值范围．解答：解：（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；当a≥1时，A={x|﹣2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则1+2++n==28，所以n=7，即a∈[7，8）（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S2=a+a2∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而是关于n的增函数，所以S n随n的增大而增大，当且无限接近时，对任意的n∈N+，S n∈A，只须a满足解得．当a＜﹣1时，A={x|a≤x≤1}．而S3﹣a=a2+a3=a2（1+a）＜0，S3∉A故不存在实数a满足条件．当a=﹣1时，A={x|﹣1≤x≤1}．S2n﹣1=﹣1，S2n=0，适合．⑤当﹣1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n（1+a）＞S2n﹣1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）＜S2n，∴S2n﹣1＜S2n+1，S2n+2＜S2n，且S2=S1+a2＞S1．故S1＜S3＜S5＜…＜S2n+1＜S2n＜S2n﹣2＜…＜S4＜S2．故只需即解得﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围是．点评：本题属于含字母二次不等式解法的综合问题，关键要对字母进行合理的讨论．注意存在性问题问题的解决方法，注意分类讨论思想的运用，注意等比数列中有关公式的运用．三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．考点：直线的参数方程；圆的参数方程．专题：探究型．分析：分别将圆和直线的参数方程转化为普通方程，利用直线与圆的位置关系求距离．解答：解：将圆转化为普通方程为x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径r=2．将直线转化为普通方程为x+y﹣2=0，则圆心到直线的距离d=，所以⊙O上的点到直线的距离的最大值为d+r=3．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的判断．将参数方程转化为普通方程是解决本题的关键．22．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题可以建立空间直角坐标系，直接利用坐标求解．解答：解题探究：本题考查在空间直角坐标系下，空间向量平行及垂直条件的应用解：O为原点，、、方向为X轴、Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），c（0，2，0），D（1，2，0），，则，∵，，要使，则，即（2﹣2λ）﹣4λ=0，∴，∴存在∴，使点评：本题考查学生对于空间直角坐标系的利用，以及对于坐标的利用，是中档题．23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（Ⅱ）由已知可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则．所以，该产品不能销售的概率为．…（4分）（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160．…（5分），，，，．…（10分）所以X的分布列为X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160P…（11分）E（X）==40 所以，均值E（X）为40．…（13分）点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤xx，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；数列与函数的综合．专题：计算题．分析：（1）利用二项式的展开式求出第4项，通过x的指数为0，求出a的值．（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，化简求解，利用n 为自然数求出所有的n的个数．解答：解：（1）∵为常数项，∴=0，即n=18；…..（3分）（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，依组合数的定义展开并整理得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2=0，故，…..（6分）则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）2⇒2k=m2+m﹣2，代入整理得，，∵442=1936，452=2025，故n的取值为442﹣2，432﹣2，…，32﹣2，共42个．…..（10分）点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力．35787 8BCB 诋R34362 863A 蘺FL25155 6243 扃40252 9D3C 鴼T32214 7DD6 緖<O30428 76DC 盜n。

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁B）（）UA．∅B．{5} C．{3} D．{3，5}2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足=1， =2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．10．复数+的虚部是．11．已知，，则在方向上的射影长为．12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为．13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=（用a表示），若，则a=．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是（填序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？17．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．xx学年北京首都师大附中育新学校高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A．∅B．{5}C．{3}D．{3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选D．2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据象限角的定义，结合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：“α为第二象限角”时，“为锐角”不一定成立，“为锐角”时，“α为第二象限角”一定成立，故“α为第二象限角”是“为锐角”的必要不充分条件，故选：B3．已知平面向量，满足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积公式，结合=1，=2，且（+）⊥，即可求得结论．【解答】解：∵=1，=2，且（+）⊥，∴（+）•=1+1×2×cos＜，＞=0∴cos＜，＞=﹣∵＜，＞∈[0，π]∴＜，＞=故选B．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0） B．（0，）C．（，） D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）故选：C．5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可，由题设条件知，本题的变换涉及到了平移变换，周期变换，振幅变换．【解答】解：由题意函数y=sin（2x﹣）的图象上各点向右平移个单位长度，得到y=sin（2x﹣﹣）=sin（2x﹣），再把横坐标缩短为原来的一半，所得图象的表达式是：y=sin（4x﹣）．故选：D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A7．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【考点】其他不等式的解法．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项【解答】解：由题设知，|OA|=2（单位：m），OB=1，两者行一秒后，甲行到B停止，乙此时行到A，故在第一秒内，甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）的值增加得越来越快，一秒钟后，随着甲的运动，所围成的面积增加值是扇形中AB所扫过的面积，由于点B是匀速运动，故一秒钟后，面积的增加是匀速的，且当甲行走到C后，即B与C重合后，面积不再随着时间的增加而改变，故函数y=S（t）随着时间t 的增加先是增加得越来越快，然后转化成匀速增加，然后面积不再变化，考察四个选项，只有A符合题意故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是m≤﹣5．【考点】一元二次不等式的应用；函数恒成立问题．【分析】①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=﹣＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围【解答】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，①当图象对称轴x=﹣≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．②同理当﹣＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．由f（1）≤0解得m≤﹣5．综合①②得m范围m≤﹣5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立即解得即m≤﹣5故答案为m≤﹣510．复数+的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．11．已知，，则在方向上的射影长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】在方向上的射影长为：，代入计算可得答案．【解答】解：∵，，∴在方向上的射影长为：==，故答案为：12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和公式展开后求得cosα+sinα的值，进而利用诱导公式可知sin（α+）=﹣sin（α+），把cosα+sinα的值代入求得答案．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=2a（用a表示），若，则a=1．【考点】函数的值．【分析】由函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，知f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；由=，知f（2）=2a=2，由此能求出a．【解答】解：∵函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，∴f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；∵=，∴f（2）=2a=2，∴a=1．故答案为：2a，1．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是②③（填序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．【解答】解：①∵函数f（x）=（）x为R上的递减函数，故①不正确，②∵sin2（x+π）≥sin2x∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，则，解得m ≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．【考点】解三角形；余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后求△ABC的面积；（Ⅱ）通过余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函数的基本关系式求出cosA，利用两角和的正弦函数求sin（C﹣A）的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．…所以，．…（Ⅱ）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2ab•cosC==9所以，c=3．…又由正弦定理得，，所以，．…因为a＜b，所以A为锐角，所以，．…所以，sin（C﹣A）=sinC•cosA﹣cosC•sinA=．…16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）首先根据列表求出a的值，然后列出P（x）的关系式，整理即可．（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*，把函数转化为关于t的等式，利用基本不等式求解【解答】解：（1）根据列表数据可得：a=108由题意，当日产量为x时，次品数为：正品数：∴y=整理得：（80≤x≤100，x∈N*）（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*==当且仅当t=即t=12时取得最大盈利，此时x=9617．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，然后求出ω，利用f（）=2，求出φ，即可求出函数的解析式．（2）通过g（x）=f（x）﹣2cos2x，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过[0，]求出相位的范围，然后求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图可得A=2，，所以T=π．因为所以ω=2．…当时，f（x）=2，可得，因为，所以．…所以f（x）的解析式为．…（2）==…=．…因为，所以．当，即x=时，函数g（x）有最大值，最大值为：2 …当，即x=0时，函数g（x）有最小值，最小值为﹣1．…18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知函数f（x）=x﹣ae x，对其进行求导，利用导数研究其单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x）≤0成立，只要f（x）的最大值小于等于0即可，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=1﹣ae x．…当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数．…当a＞0时，令f′（x）=0，得x=﹣lna．…若x＜﹣lna则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数；若x＞﹣lna则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立．又因为当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数，所以f（x）在点x=﹣lna处取最大值，且f（﹣lna）=﹣lna﹣ae﹣lna=﹣lna﹣1．…令﹣lna﹣1≤0，得，故f（x）≤0对x∈R恒成立时，a的取值范围是．…19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x，利用导数求函数的最值，利用最值证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）利用导数确定函数的取值情况，确定函数y=f（x）零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为，…f（1）=﹣a+1，所以切线斜率k=f'（1）=1﹣a，所以切线l的方程为y﹣（1﹣a）=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x．…（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x=lnx﹣x+1，x＞0，则F'（x）==0，解得x=1．x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x）+0 ﹣F（x）↗最大值↘…F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1﹣a）x，即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．…（Ⅲ）令f（x）=lnx﹣ax+1=0，则a=．令g（x）=，则g'（x）=，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1．所以若a＞1，则f（x）无零点；若f（x）有零点，则a≤1．…若a=1，f（x）=lnx﹣ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且仅有一个零点x=1．若a≤0，f（x）=lnx﹣ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f（x）有且仅有一个零点（或：直线y=ax﹣1与曲线y=lnx有一个交点）．若0＜a＜1，解f'（x）=，得x=，由函数的单调性得知f（x）在x=处取最大值，f（）=ln，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f（x）＜0，即f（x）在单调递减区间（，+∞）有且仅有一个零点；又因为f（=﹣，所以f（x）在单调递增区间（0，）有且仅有一个零点．综上所述，当a＞1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．…20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f（0）的值；（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．【解答】解：（1）令m=n=0∴f2（0）=0∴f（0）=0（2）令m=n∴∴对于任意的t∴即证（3）令m=2n=2x∴=f2（x）+xf（x）当f（x）=0时恒成立，当f（x）≠0时有，∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）∴f（x）=x．xx年11月19日22990 59CE 姎C25669 6445 摅35938 8C62 豢34961 8891 袑30411 76CB 盋29965 750D 甍d26031 65AF 斯:3s38002 9472 鑲527455 6B3F 欿。

人大附中2020-2021学年度高三10月统一练习一、选择题共10小题：每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．已知集合{}1,0,1A =-，{}1B x x =∈<N ，则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}0D ．∅02．已知命题:(0,)P x ∃∈+∞，ln 0x x +<，则p ⌝为（ ）A ．(0,)x ∀∈+∞，ln 0x x +<B ．(0,)x ∃∉+∞，ln 0x x +<C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 0x x +≥D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 0x x +≥ 03．已知点5π2cos ,16P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A ．12BC ．12-D ． 04．已知向量(1,1)=a ，(2,1)=-b ，若(2)()λ+-a b a b ∥，则实数λ=（ ）A ．8B ．8-C ．2D ．2-05．以下选项中，满足log 2log 2a b >的是（ ）A ．2a =，4b =B ．8a =，4b =C ．14a =，8b = D ．12a =，14b =06．下列函数中，既是奇函数又在区间(1,1)-内是增函数的是（ ）A ．3()3f x x x =-B ．()sin f x x =C ．1()ln1xf x x-=+ D ．()e e x x f x -=+07．已知方程210x ax +-=在区间[0,1]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,2]-∞D ．[2,0]-08．已知a 是非零向量，m 为实数，则“m =a ”是22a m =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件09．已知0a >，若函数21,1()1,1x ax x x f x a x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：当0πx ≤<时，()sin f x x =；当πx ≥时，()2(π)f x f x =-.若方程()0f x x m -+=在区间[0,5π]上恰有3个不同的实根,则m 的所有可能取值集合是（ ）A ．4π0,3⎡⎢⎣B ．4π0,3⎛ ⎝C ．[)4π0,3π,4π3⎡⎢⎣D ．4π0,(3π,4π)3⎡⎢⎣ 二、填空题共5小题：每小题5分，共25分．11．已知π1cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=____．12．在ABC ∆中，已知2a =，cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的面积为____．13．已知点(1,1)P ，O 为坐标原点，点,A B 分别在x 轴和y 轴，且满足PA PB ⊥，则()PA PB PO +•=____，PA PB +的最小值为____．14．已知函数()e (1)x f x a x =+-，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是____． 15．将函数sin y x =图象上各点横坐标变为原来的1(0)ωω>倍,再向左平移π5个单位,得到函数()f x 的图象.已知()f x 在[0,2π]上有且只有5个零点.在下列命题中: ①()f x 的图象关于点π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②()f x 在(0,2π)内恰有5个极值点； ③()f x 在区间π0,5⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减；④ω的取值范围是2530,1111⎡⎫⎪⎢⎣⎭．所有真命题的序号是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．在ABC ∆中，已知22cos a b c A +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若5a =，7c =，求b ．17．已知函数2()2cos sin (0)f x x x ωω=+>，若____，写出()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在区间π5π,66⎛⎤⎥⎝⎦内的最小值． 请从①1ω=，②2ω=这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．若选择多个条件分别作答，按第一个判分． 18．已知函数1()1f x x =+，()1g x x =-．求正实数a 的取值范围： （Ⅰ）任意1(0,)x a ∈，存在2(0,)x a ∈，使得12()()f x g x =成立； （Ⅱ）存在12,[,1]x x a a ∈+，使得12()()f x g x <成立．19．研究表明，在一节课40分钟的数学课中，学生的注意力指数()f x 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当(0,16]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(10,40]x ∈时，曲线是函数0.8log ()y x a =+图象的一部分．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟，参考数据：541025=，553125=）20．已知函数()()ln (1)(1)f x x a x a x =+-+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()f x 在(0,)+∞具有单调性？若存在，求所有a 的取值构成的集合；若不存在，请说明理由．21．对非空数集,A B ，定义{},A B x y x A y B -=-∈∈，记有限集T 的元素个数为T ．（Ⅰ）若{}135A =，，，{}1,2,4B =，求A A -，B B -，A B -； （Ⅱ）若4A =，*A ⊆N ，{}1,2,3,4B =，当A B -最大时，求A 中最大元素的最小值； （Ⅲ）若5A B ==，21A A B B -=-=，求A B -的最小值．。

北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题一、单选题1．已知集合{}[]2,0,3A x x B =≤=，则A B = （）A ．{3}B ．{0}C ．[]0,2D ．{0，3}2．下列函数既是偶函数且又在()0,∞+上是单调递减函数的是（）A ．()cos 2f x x=B ．()exf x =C ．()lg f x x=D ．()23f x x-=3．已知角θ的终边过点()12,5P -，则tan θ=（）A ．512-B ．125-C ．125D ．5124．若0.32131,0.3,log 32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>5．设,a b ∈R ，且0a b <<，则（）A ．11a b<B ．2b ab>C ．2a bab +>D ．2b a a b+>6．某物体做直线运动，若它所经过的位移s 与时间t 的函数关系为()212s t t t =+，则这个物体在时间段1,2内的平均速度为（）A ．2B ．32C ．3D ．527．已知{}12|2,0,log 1xA y y xB x x ⎧⎫==<=>⎨⎬⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列结论正确的是（）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减9．已知0a >且1a ≠，函数(),1,1x a x f x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 在区间[]0,2上的最大值比最小值大52，则a 的值为（）A ．12或2B ．23或2C ．2或72D ．12或7210．已知函数()11sin cos f x x x=+，在下列结论中：①2π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线π4x =对称；③()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上无最大值正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．函数()()22ln 1xf x x x =++-的定义域为．12．已知函数()πsin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭，且此函数的一段图象如图所示，则ω=；ϕ=．13．在ABC V 中，60,2,3A AC BC ︒===则ABC V 的面积等于．14．扶贫小组帮助某农户建造一个面积为100㎡的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价需要准备元．15．对函数(),f x 若存在区间[,](),M a b a b =<使得{|(),},y y f x x M M =∈=则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”,给出下列四个函数:（1）(),x f x e =（2）3(),f x x =（3）π()cos ,2f x x =（4）()ln 1,f x x =+其中存在“稳定区间”的函数有.（把所有可能的函数的序号都填上）三、解答题16．已知函数()321233f x x x =+-(1)求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值．17．已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期；(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值．18．某同学用“五点法”画函数()()||πsin 0,2f x A x k ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxm π3n 5π6p ()sin A x kωϕ++1614-1(1)求出实数m ，n ，p 的值；(2)求出函数()f x 的解析式；(3)将()y f x =图象向左平移()0t t >个单位，得到()y g x =的图象．若()y g x =为偶函数，求t 的最小值．19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin 0A CB AC +-+=(1)求角B 的大小；(2)给出以下三个条件：条件①：22230a b c c -+-=：条件②：3a =；条件③：4ABC S =△从这三个条件中选择两个条件，使得ABC V 存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题：（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）点M 为线段AB 中点，点N 为线段BC 中点，点P 为线段MN 上一个动点，记PA PC λ=⋅ ，直接写出λ的最大值．20．已知函数()()32111,e ln 32x f x x x ax g x x x x -=++=+(1)判断函数()y g x =零点的个数，并说明理由；(2)对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x '≤'-求实数a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，证明：0x ∀>，有()()g x f x ≥'．21．如图，T 是3行3列的数表，用(),1,2,3ij a i j =表示位于第i 行第j 列的数，且满足{}0,1ij a ∈．11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33a 数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中11a 的相邻项仅有12a 和21a ．对于数表T ，定义操作ij ϕ为将该数表中的ij a 以及ij a 的相邻项从x 变为1x -，其他项不变，并将操作的结果记为()ij T ϕ．已知数表0T 满足{}0,,1,2,3ij a i j =∈．记变换ψ为n 个连续的上述操作，即1122:,,,n n i j i j i j ϕϕϕψ ，使得()()()112210211,,,n n i j i j n i j n T T T T T T ϕϕϕ-=== ，并记()0n T T =ψ(1)给定变换112233:,,ϕϕϕψ，直接写出()30T T =ψ．(2)若T '满足122122231a a a a ====，其他项均为0．ψ是含n 次操作的变换且有()0T T '=ψ，求n 的最小值．(3)若变换ψ中每个操作ij ϕ至多只出现一次，则称变换ψ是一个“优变换”，证明：任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ．参考答案：题号12345678910答案CDABDBBCDB1．C【分析】按照交集的运算法则直接计算即可.【详解】因为集合{}[]{}2,0,303A x x B x x =≤==≤≤，所以{}[]020,2A B x x ⋂=≤≤=.故选：C.2．D【分析】根据余弦函数，指数函数，对数函数及幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ，因为π3π044f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()cos 2f x x =在()0,∞+上不是单调递减函数，A 不符题意；对于B ，函数()e xf x =在()0,∞+上是单调递增函数，故B 不符题意；对于C ，当()0,x ∈+∞时，()lg lg f x x x ==在()0,∞+上单调递增，故C 不符题意；对于D ，()()()()21233,0,,0f x xxx ∞∞--==∈+⋃-，因为203-<，所以函数()23f x x -=在()0,∞+上单调递减，因为()()()123f x x f x --==，所以()23f x x -=是偶函数，故D 符合题意.故选：D.3．A【分析】根据正切函数的定义计算．【详解】由题意，55tan 1212α==--．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于简单题．4．B【分析】由指数函数和对数函数的性质即可得出答案.【详解】因为0.3110122a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，200.30.31b -=>=，1133log 3log 31c -===-，所以b a c >>.故选：B.5．D【分析】ABC 选项，可举出反例；D 选项，利用基本不等式进行求解.【详解】A 选项，当2,1a b =-=-时，111,12a b=-=-，故11a b >，A 错误；B 选项，当2,1a b =-=-时，21,2b ab ==，2b ab <，B 错误；C 选项，当2,1a b =-=-时，322a b +=-=，2a b+<，C 错误；D 选项，当0a b <<时，0,0b a a b >>，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立，但a b ≠，故等号取不到，故2b aa b+>，D 正确.故选：D 6．B【分析】根据平均速度的公式计算.【详解】211211322212s v t ⎛⎫⨯+-+ ⎪∆⎝⎭===∆-.故选：B.7．B【分析】根据题意，化简集合,A B ，再由充分条件以及必要条件的定义判断即可.【详解】因为{}()2,00,1x A y y x ==<=，121log 10,2B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则B 是A 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件.故选：B 8．C【分析】根据导函数的正负即可求解()y f x =的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当2x <-时，()()0,f x f x '<单调递减，当2x ≥-时，()()0,f x f x '≥单调递增，故2x =-是函数()y f x =的极小值点，()y f x =无极大值.故选：C 9．D【分析】按照a 与1的大小进行分类讨论，求出函数()f x 在[]0,2上的最值，从而可得a 的值.【详解】①当01a <<时，函数()f x 在[]0,1上是减函数，在(]1,2上也是减函数.∵()0011f a a ==>-+，∴函数的最大值为()01f =，而()()221f a a f =-+<=，∴函数()f x 的最小值为()22f a =-+，∴5212a -++=，解得()10,12a =∈，符合题意.②当1a >时，函数()f x 在[]0,1上是增函数，在(]1,2上是减函数.∵()11f a a =>-+，∴函数()f x 的最大值为()1f a =，而()22f a =-+，()001f a ==，当()1,3a ∈时，21a -+<，此时函数()f x 的最小值为()22f a =-+，因此有522a a -++=，无解；当[)3,a ∈+∞时，21a -+≥，此时函数()f x 的最小值为()01f =，因此有512a +=，解得()73,2a =∈+∞，符合题意.综上所述，实数a 的值为12或72.故选：D 10．B【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的最值情况.【详解】因为π11π112π07πππ7π44sin cos sin4444f f ⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以2π不是()f x 的一个周期，故①错误；()11π,π11cos sin 2ππ11π2sin cos ,22cos sin 2x x x f x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎛⎫-=+=≠⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪---+< ⎪⎪⎩⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故②错；()()()()222sin cos 11sin cos sin cos 1sin cos 1sin cos 2x x x x f x x x x x x x --=-+==----，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则3,444x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭πππ，)1t ⎡∈-⎣，22211t y t t t ==--，在)1t ⎡∈-⎣上单调递增，所以无最大值，即函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上无最大值，故③正确.故选：B.11．[2,1)-【分析】根据函数特征直接求定义域即可.【详解】由函数()()2ln 1x f x x =+-可知，202,,21101x x x x x +≥≥-⎧⎧∴-≤<⎨⎨-><⎩⎩，所以定义域为[2,1)-.故答案为：[2,1)-12．2π4【分析】由图知7π3ππ2882T =-=，2πT ω=可得ω的值，再由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈以及π02ϕ<≤求得ϕ的值.【详解】由7π3ππ2882T =-=，可得πT =，所以2π2π=2πT ω==，此时解析式为()sin 2y x ϕ=+，由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈，可得()3ππZ 4k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<≤，所以1k =，π4ϕ=，故答案为：2；π4.13【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，C ，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积．【详解】因为60,2,A AC BC ︒===2,,sin sin sin 60sin BC AC A B B︒=∴=sin 1,90,30,B BC ︒︒∴=∴==12sin 302ABC S ︒=⨯⨯=!14．3200【分析】假设正面铁栅和两侧墙长，可构造等式100xy =；列出造价409020z x y xy =++，利用基本不等式求得最小值.【详解】设正面铁栅长为x ，两侧墙长为y ，则100xy =于是造价为409020z x y xy=++则：4090202020120020003200z x y xy xy xy =++≥==+=，当且仅当4090 100x y xy ==，即20153x y ，==时取等号本题正确结果：3200【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采用基本不等式求解和的最小值的方法.15．②③【详解】因为()x f x e =单调递增，所以若存在“稳定区间”则x e x =至少有两个解，而x e x >恒成立，所以()x f x e =不存在“稳定区间”；因为()3f x x =单调递增，所以若存在“稳定区间”则3x x =至少有两个解，显然成立，所以()3f x x =存在“稳定区间”；（3）因为[0,1],cos [0,1]2x x π∈∈,所以f(x)=π cos 2x 存在“稳定区间”；（4）因为()ln 1f x x =+单调递增，所以若存在“稳定区间”则ln 1x x +=至少有两个解，而ln 1x x +=只有一解x=1，所以()ln 1f x x =+不存在“稳定区间”；点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．16．(1)8100x y --=(2)递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，由导数的几何意义即可得到结果.（2）根据题意，求导得()f x '，令()0f x '=即可得到极值点，从而得到结果.【详解】（1）因为()3212222633f =⨯+-=，且()22f x x x '=+，则()222228f '=+⨯=，所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()682y x -=-，即8100x y --=.（2）因为()22f x x x '=+，令()0f x '=，解得2x =-或0x =，当(),2x ∞∈--时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；当()2,0x ∈-时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，单调递减区间为()2,0-，当2x =-时，()f x 有极大值为()()3122224333f -=⨯-+-=，当0x =时，()f x 有极小值为()203f =-.综上所述，递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.17．(1)()f x 的最小正周期为π.(2)最大值为2，最小值为1.【分析】（1）先化简()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭求出π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后由最小正周期公式求解即可.（2）求()f x 在闭区间上的最大值和最小值即可.【详解】（1）()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭)22sin cos cos 2sin 2x x x x x =+--+-，πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为：2ππ2T ==.（2）由（1）可知，π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,363⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x .所以当ππ232x -=时，max ()2f x =，当ππ236x -=时，min ()1f x =.所以当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的最大值为2，最小值为1.18．(1)π12m =，712n =π，1312p =π(2)()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π(3)π3【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到m ，n ，p ；（2）根据表格得到sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程得到51A k =⎧⎨=⎩，然后结合（1）中结论即可得到()f x 的解析式；（3）根据图象的平移变换得到()g x ，根据()g x 为偶函数得到()0g 为最值，然后解方程求t 即可.【详解】（1）由题意得0ππ32π5π3π622πm n p ωϕωϕωϕωϕωϕ+=⎧⎪⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎪+=⎩，解得2π6π127π1213π12m n p ωϕ=⎧⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩，所以π12m =，712n =π，1312p =π.（2）由题意得sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得51A k =⎧⎨=⎩，所以()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.（3）由题意得()5sin 2216g x x t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π，因为()g x 为偶函数，所以()05sin 2166g t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭π或()04g =-，即sin 216t ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭π，即2,62t k k -=+∈πππZ ，解得,32k t k =+∈ππZ ，因为0t >，所以当0k =时，t 最小，最小为π3.19．(1)2π3B =(2)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6-【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 2B =-，得到2π3B =；（2）（Ⅰ）选择①②和①③求出边长均不合要求，选择②③，得到ABC V 存在且唯一，并求出5c =，7b =，得到sin A （Ⅱ）取AC 的中点H ，推出22PA PC PH CH ⋅=- ，并得到点P 与N 重合时，PH 最大值为52，并求出λ的最大值.【详解】（1）222sin sin sin sin sin 0A C B A C +-+=，由正弦定理得2220a c b ac +-+=，故2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =，（2）（Ⅰ）选择①②，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又3a =，所以60c =，解得0c =，此时ABC V 不存在，选择①③，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又0c >，故3a =-，不合要求，此时ABC V 不存在，选择②③，1sin 2ABC S ac B == 21π3n 23si c ⨯=5c =，又3a =，2220a c b ac +-+=，故2925150b +-+=，解得7b =，由于357+>，故满足ABC V 存在且唯一，由正弦定理得sin sin a b A B =，即372πsin sin 3A =，解得sin A ，（Ⅱ）取AC 的中点H ，连接PH ，则2PA PC PH += ，2PA PC CH -= ，两式平方后相减得22PA PC PH CH ⋅=- ，其中72CH = ，当点P 与M 重合或与N 重合时，PH 最大，当点P 与M 重合时，1322PH a == ，当点P 与N 重合时，1522PH c == ，故PH 最大值为52PH = ，故22PA PC PH CH λ=⋅=- 最大值为2549644-=-.20．(1)1个(2)(],1-∞-(3)证明见解析【分析】（1）先求定义域，转变为求1()e ln x k x x -=+的零点个数，求导，根据单调性与零点的存在性定理即可求；（2）任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，可转化为()()12max max 2f x g x ''≤-，则求出()1max f x '，()2max g x '即可求出实数a 的取值范围；（3）指对缩放不等式可知()1e 11x x x -≥-+=，1ln 1x x≥-(需证明)，则可得12e ln 1x x x x x x -+≥+-，则不等式可证.【详解】（1）由()1e ln x g x x x x -=+，定义域为0+∞(,)，()y g x =的零点等价于1()e ln x k x x -=+的零点，11()e 0x k x x -'=+>，所以()y k x =在(0,)+∞上单调递增，又11e 1(1)10,()e 10ek k -=>=-<，所以()y k x =在1(,1)e上只有一个零点，所以()y k x =的零点个数为1个，则()y g x =的零点个数也为1个.（2）因为()321132f x x x ax =++，所以()221124f x x x a x a ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，所以()f x '在区间(]0,1上单调递增，故()()max 12f x f a ''==+．因为()1eln x g x x x x -=+，所以()()111e e ln 11e ln 1x x x g x x x x x ---'=+++=+++．令()()11e ln 1x h x x x -=+++，则()()112e x h x x x-'=++，又(]0,1x ∈，所以()0h x '>，故()g x '在区间(]0,1上单调递增，所以()()max 13g x g ''==．又对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，所以()()max max 2f x g x ''≤-，即232a +≤-，解得1a ≤-，故实数a 的取值范围为(],1-∞-．（3）令()1e -=-x s x x ，0x >，则()1e 1-'=-x s x ．令()0s x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0s x '<，()s x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()()10s x s ≥=，即1e x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）．令()1ln 1F x x x =+-，则()22111x F x x x x-'=-=．令()0F x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥=，即1ln 1x x≥-+（当且仅当1x =时，等号成立），故11e ln 1x x x x-+≥-+（当且仅当1x =时，等号成立）．又0x >，所以12e ln 1x x x x x x -+≥+-．因为1a ≤-，所以221x x x x a +-≥++，故12e ln x x x x x x a -+≥++，即()()'≥g x f x ．21．(1)100010001(2)n 的最小值为3(3)证明过程见解析【分析】（1）按照题意进行求解即可；（2）先得到T '，分析得到T '的对称性和奇偶性质，当1n =，2n =时，不满足要求，3n =时，取变换111213:,,ϕϕϕψ，得到答案；（3）设A 是所有优变换的集合，B 是所有数表的集合，构造:f A B →，证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，证明出数表中的数据都可通过变换单独被改变，从而证明出结论.【详解】（1）0T 为000000000()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2221T T ϕ=，故2T 为100011010()3332T T ϕ=，故()30T T =ψ为100010001（2）T '为010111000由题意得，1113223133,,,,ϕϕϕϕϕ均改变了表格中的奇数个数据，定义为奇操作，12212332,,,ϕϕϕϕ均改变了表格中的偶数个数据，定义为偶操作，两次同样的操作，表格中数据不变，例如1111:,ϕϕψ不改变表格中数据，故n 的最大值为9，且变换满足交换律，例如1112:,ϕϕψ和1211:,ϕϕψ，结果相同，观察到T '是关于122232,,ϕϕϕ变换所在直线对称的，故变换也要关于这条直线轴对称，T '中有4个1，故相对于0T 改变了4个数，若1n =，通过验证，发现不能得到T '，若2n =，结合对称性和奇偶性，有1113:,ϕϕψ，2123:,ϕϕψ，3133:,ϕϕψ，1232:,ϕϕψ四种变换，经过验证，均不满足，若3n =，结合对称性和奇偶性，不妨取变换111213:,,ϕϕϕψ，()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2121T T ϕ=，故2T 为001110000()3132T T ϕ=，故()30T T =ψ为10111故n 的最小值为3；（3）设A 是所有优变换的集合，则A 中的优变换的个数为92，B 是所有数表的集合，则B 中的数表的个数为92，构造:f A B →，下面证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，由于,A B 中元素个数相同，要证每种变换都能等价变换为唯一的优变换，只需证每个数表都能通过变换得到，由（2）可知，11121322:,,,ϕϕϕϕψ可以得到以下数表，000000010由对称性可知，12212332,,,a a a a 可以单独被改变，又经过11:ϕψ变换得到110100000又1221,a a 可单独被改变，故可得到100000000即11a 可单独被改变，同理经过变换133133,,a a a 可单独被改变，经过22:ϕψ变换得到：111010又经过变换，12212332,,,a a a a 可单独被改变，可得到000010000故任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ.【点睛】新定义问题，要充分发掘题目中信息，将复杂问题抽丝剥茧，化难为简.（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

2021-2021中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）数学高三第一学期期末20XX-2021中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：，且：，据此有：.本题选择D选项.2．若集合,集合,则图中阴影部分表示A.B.C.D.【答案】A 【解析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是：；又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.3．设，是非零向量，“”是“”的（）A.充分而不必要条B.必要而不充分条C.充分必要条D.既不充分也不必要条【答案】A 【解析】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条，故选A.【考点】充分必要条、向量共线.4．设,,则A.B.C.D.【答案】A 【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为，，，所以，故选：A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.5．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A．9B．4C．D．【答案】A 【解析】圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得 =（）（a+b）=5+≥5+2 当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．故选：A．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6．函数在的图像大致是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.7．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A.B.C.D.【答案】D 【解析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则可得，，设异面直线与所成的角为, 则，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B 【解析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2，转化为cosA，整理即可判断△ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵cos2，∴ ∴1+cosA1，即cosA，∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C为直角．故选：B．【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．10．如图，在中，已知，，，，则A.-45B.13C.-13D.-37 【答案】D 【解析】先用和表示出再根据，用用和表示出，再根据求出的值，最后将的值代入，从而得出答案．【详解】∵，∴ 整理可得：，∴，∴ 故选：D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．11．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．【考点】1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．12．设函数的定义域为，若满足条：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是A.（﹣∞，ln2﹣1）B.（﹣∞，ln2﹣1]C.（1﹣ln2，+∞）D.[1﹣ln2，+∞）【答案】C 【解析】∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]，∴f （x）在[a，b]上是增函数；∴ ，即在（0，+∞）上有两根，即y=t和g（x）=﹣lnx 在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g （x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．点睛：由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决二、填空题13．已知向量,的夹角为,且,则=______．【答案】【解析】将待求向量的模长平方后再开方，中间根据数量积计算公式计算.【详解】.【点睛】本题考查向量模长的计算，难度较易.计算两个向量相加或者相减所得到的向量的模长，可通过先将模长平方再开方，中间利用数量积公式和已知条去计算结果.14．若x，y满足约束条，则z=3x﹣4y的最小值为________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．【详解】由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点A（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将A的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2＝b2+c2bc，sinC＝2cosB，则B的大小为________________ 【答案】【解析】先根据余弦定理求解的值，然后利用三角恒等变换求解的大小.【详解】因为，所以，所以，所以；又，所以，所以，所以，因为，所以.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，难度一般.三角形中已知一个角，给出另外两个角的三角函数关系时，可通过将角度统一然后利用辅助角公式等完成角度的求解.16．已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．【答案】①③④ 【解析】先利用辅助角公式将函数化简，然后再从单调区间、对称中心、图象平移、函数与方程四个方面逐项分析.【详解】，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；因为，所以不是对称中心，故错误；的图像向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；因为，作出在上的图象如下图所示：与有且仅有三个交点：所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；故填写：①③④.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合应用，难度一般.（1）的对称中心处所对应的函数值为，对称轴处所对应的函数值为最值；（2）分析方程的解的个数时，可以借助两个函数图象的交点个数来分析.三、解答题17．已知,,且函数．求的对称轴方程；在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,求b的值．【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出表达式，然后再根据对称轴公式求解对称轴；（2）先根据条计算的值，再根据正弦定理计算的值.【详解】解：,令, 可得,即的对称轴方程为,；,,得, 当时,,,, 由正弦定理可得,．【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助角公式的运用要熟练：；（2）利用正、余弦定理去解三角形时注意边角关系的对应.18．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁10 合计 70100（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.附：，0.100 0.050 0.025 0.0102.7063.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关（3）【解析】试题分析：（1）根据条中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．（2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事，即可求出概率．试题解析：（1）（2）所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.（3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事是：，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事：，，，，，，所以所求概率是.19．在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L：,曲线C 的参数方程为（为参数）求直线L和曲线C的普通方程；在曲线C上求一点Q,使得Q到直线L的距离最小,并求出这个最小值【答案】（1）直线L的普通方程为：；曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1；（2）点Q坐标为，距离最小值为2.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化得到的普通方程，根据圆的参数方程相关知识得到的普通方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性计算点到直线距离的最小值.【详解】解：（1）∵直线L：ρcosθ-ρsinθ+1=0，∴直线L的普通方程为：，∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1．（2）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：，当时，即，dmin=2，此时点Q坐标为．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式；（2）求解曲线上一点到直线的距离最值，常用的方法是：设出点的参数形式（三角函数形式更方便），利用点到直线的距离公式结合三角函数中的辅助角公式即可计算出对应的距离最值，同时注意取等号的条.20．已知函数，．（）解不等式．（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【详解】（）由，得，∴，得不等式的解为．故解集为：（）因为任意，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴ ．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,．【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

海淀区清华大学附属中学2021届高三数学上学期10月月考试题〔含解析〕一、选择题，B ＝{|(1)(3)0}x x x --<，那么A∩B=〔 〕A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {|2x x >或者1}x <【答案】B 【解析】试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}2A x x =所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B考点：集合间的运算．2.假设角θ的终边过点()3,4P -，那么()tan θπ+=( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】分析：利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值 详解：角θ的终边过点()34P -，， 那么()4tan 3y tan x θπθ+===- 应选D点睛：此题主要考察了任意角的三角函数的定义，属于根底题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。

3.函数,log ab y x y x ==的图像如下图,那么A. 1b a >>B. 1b a >>C. 1a b >>D.1a b >>【答案】A 【解析】由图象，得log b y x =在(0,)+∞上单调递增，即1b >，ay x =在[0,)+∞上单调递增，且增加得越来越慢，即01a <<，那么1b a >>.应选A.【点睛】此题考察对数函数、幂函数的图象和性质.解决此题的难点是利用幂函数的图象断定幂指数a 与1的大小，假设0a >时，幂函数a y x =在[0,)+∞上单调递增，要与常见函数2yx 、y x =、12y x =的图象对照确定.()f x 的定义域为R ，那么“()00f =〞是“()f x 是奇函数〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：()2f x x =满足()00f =，但不是奇函数，因此充分性不成立；假设()f x 是奇函数，又定义域为R ，因此()()()0000f f f =-⇒=，必要性成立，因此选B. 考点：充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 〔1〕命题判断法：设“假设p ，那么q 〞为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． 〔2〕集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x|p(x)成立}，q ：B ＝{x|q(x)成立}，那么：①假设A ⊆B ，那么p 是q 的充分条件；假设A ≠⊂B 时，那么p 是q 的充分不必要条件； ②假设B ⊆A ，那么p 是q 的必要条件；假设B ≠⊂A 时，那么p 是q 的必要不充分条件； ③假设A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，那么p 是q 的充要条件． 〔3〕等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件． 5.3cos ,(,0)42παα=∈-，那么sin 2α的值是〔 〕A. 38B. 38-D. 【答案】D 【解析】试题分析：由题意sin 4α===-，所以sin 22sin cos ααα=32(448=⨯-⨯=-，应选D ． 考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．6.我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔一共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层一共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3． 应选：B ．7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.假设冠HY 获得者得分比其别人都多,且获胜场次比其别人都少,那么本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】分析：对于四个选项里面给出的参赛人数分别进展分析，看是否满足条件，然后可得结论． 详解：对于A ，假设参赛人数最少为4人，那么当冠HY3次平局时，得3分，其别人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A 不正确．对于B ，假设参赛人数最少为5人，当冠HY1负3平局时，得3分，其别人至少1胜1平局，最低得3分，所以B 不正确．对于C ，假设假设参赛人数最少为6人，当冠HY2负3平局时，得3分，其别人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠HY1胜4平局时，得6分，其别人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C 正确．对于D ，由于7大于6，故人数不是最少．所以D 不正确． 应选C ．点睛：此题考察推理问题，考察学生的分析问题和应用所学知识解决问题的才能．解题时要根据所给出的条件进展判断、分析，看是否得到不合题意的结果．8.定义在R 上的的数()()20xa x f x ln x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，假设方程()1=2f x 有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是〔 〕 A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤<C. 01a ≤<D.102a -<≤【答案】A 【解析】【详解】当12a =-时，011222x x ≤⎧⎪⎨-=⎪⎩或者011ln()22x x >⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1210,2x e =+，即有两个不相等的实数根，所以去掉B,C,D,选A. 二、填空题9.函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点,其图像如下图,那么函数()y f x =在x =_____处获得极值.【答案】-1 【解析】 【分析】利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．【详解】由图象，得当1x <-时， ()0f x '<，当1x >-且2x ≠时， ()0f x '>，()20f '=，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，即函数()f x 在1x =-处获得极小值.【点睛】此题考察函数的导数以及导函数的图象的应用，函数的极值的判断，是根底题． 10.32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ．【答案】2log 5 【解析】【详解】31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>>2log 5最大.11.在ABC △中,13cos ,7314A a b ==,那么B =______________.【答案】π3或者2π3【解析】 因为13cos 14A =，所以π06A <<且33sin 14A =，又因为73a b =，所以7sin 3sin A B =，即3373sin 14B ⨯=，解得3sin 2B =，因为0πB <<，所以π3B =或者2π3B =. 12.去年某地的月平均气温()y C ︒与月份x 〔月〕近似地满足函数πsin()6y a b x ϕ=++.〔,a b 为常数,π02ϕ<<〕.其中三个月份的月平均气温如表所示,那么该地2月份的月平均气温约为______________,C ϕ︒=______________.【答案】 (1). 5- (2). π6【解析】由题意，得当51182x +==时，πsin(8)16ϕ⨯+=±，又因为π02ϕ<<，所以π4π11π236ϕ<+<，即4π3π32ϕ+=，π6ϕ=，即ππsin()66y a b x =++，那么5ππsin()13668ππsin()3166a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，即1331a a b =⎧⎨-=⎩，即1315a b =⎧⎨=-⎩，当2x =时，2ππ1318sin()566y =-+=-. 13.在等腰梯形ABCD 中,AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==那么AE AF ⋅的值是 ． 【答案】2918【解析】 在等腰梯形ABCD中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积. 【此处有视频，请去附件查看】14.如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ，CPD 的面积为()f x ．那么()f x 的定义域为 ；()f x '的零点是 ．【答案】〔2，4〕〔2分〕，3〔3分〕 【解析】 试题分析： 由题意知，,,的三边关系如图，三角形的周长是一个定值，故其面积可用公式表示出来 即令故答案为；考点：函数的实际应用． 三、解答题()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点〔0，12〕，最小正周期为23π，且最小值为－1.〔1〕求函数()f x 的解析式.〔2〕假设[,]6x m π∈，()f x 的值域是[1,-，求m 的取值范围. 【答案】〔1〕()cos(3)3f x x π=+；〔2〕25[,]918m ππ∈ 【解析】试题分析：〔1〕根据余弦函数的性质求出最大值A ，再利用周期公式求出参数ω，最后根据三角函数值求出ϕ的值即可.〔2〕由题意求出33x π+的取值范围，然后再根据余弦函数的性质求解即可.试题解析：〔1〕由函数的最小值为－1，可得A=1，因为最小正周期为23π，所以ω()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点〔0，12〕，所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=，故()cos(3)3f x x π=+.〔2〕由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+，因为5()cos 66f ππ==，且cos π=－1，7cos6π=，由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918m ππ∈. 考点：〔1〕余弦函数的性质和图象；〔2〕余弦函数性质的应用.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，假设数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)假设n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值. 【答案】(1)211n a n =-+；(2)149. 【解析】 【分析】〔1〕运用等差数列的通项公式可得n S ，再由数列的递推式，可得所求通项公式； 〔2〕求得|||112|n n b a n ==-，讨论当15n 时，6n 时结合等差数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：〔1〕数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+， 又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；〔2〕由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+==-+；6n 时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．【点睛】此题考察等差数列的通项公式和求和公式的运用，考察分类讨论思想和转化思想，考察运算才能，属于根底题．17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)假设6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b . 【答案】(1)1517；(2)2.【解析】 【分析】〔1〕由三角函数的诱导公式进展转化，结合同角三角函数的根本关系式进展转化求解即可． 〔2〕结合三角形的面积公式求出ac 的值，利用余弦定理进展转化求解即可． 【详解】解：〔1〕8sin()17A C +=， ()()8sin sin sin 17B AC A C π∴=-+=+=⎡⎤⎣⎦， 角B 为锐角，cos 0B ∴>，即15cos 17B ==．〔2〕ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=，那么172ac =， 6a c +=，2222cos b a c ac B ∴=+-215171715()2236223617154172217a c ac ac=+--=-⨯-⨯⨯=--=， 那么2b =．【点睛】此题主要考察解三角形的应用，结合同角关系式，三角形的面积公式以及余弦定理是解决此题的关键． 18.函数1()x ax f x e-=. 〔Ⅰ〕当1a =时,求函数()f x 的单调区间;〔Ⅱ〕当0a <时,求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】〔Ⅰ〕(,2)-∞递增,在(2,)+∞递减；〔Ⅱ〕10a -≤<时,min ()1,1f x a =-<-时,min 11()aa f x e+=.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕代值，求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；〔Ⅱ〕求导，通过讨论a 的范围研究导函数的符号和函数的单调性，进而确定函数的最值. 试题解析：〔Ⅰ〕当1a =时,()()12,,,x xx x f x x R f x e e'--+=∈∴= 令()0,f x '>解得:2,x < 令()0,f x '<解得:2,x >()f x ∴在(),2-∞递增,在()2,+∞递减;〔Ⅱ〕由()1xax f x e -=得: ()[]1,0,1xax a f x x e -+-∈'=,令()0,0,f x a ='<解得111,x a=+< ①110a+≤时,即10a -≤<时,()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立, ()f x ∴在[]0,1递增,()()min 01f x f ==-;②当1011<+<时,即1a <-时,()(),,x f x f x '在[]0,1上的情况如下:()1min 111;aa f x f a e+⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭综上,10a -≤<时,()min1,1f x a =-<-时,()1min 1aa f x e+=.【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性与最值.解决此题的难点是第二步，利用分类讨论求函数的最值，分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一，学生对“分类讨论的HY 、为什么讨论〞搞不清，如此题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.19.函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)假设曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处有公一共切线，求a 的值； (2)假设存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，务实数a 的取值范围. 【答案】(1) 5或者﹣27；(2)(](),275,-∞-+∞.【解析】 【分析】〔1〕设出切点坐标，利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点，列出方程组，解出切点坐标和a 的值．〔2〕构造函数()h x ，把不等式()()f x g x <转化为()y h x =的图象在直线y a =的下方的局部对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，利用导数分析出函数()h x 的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合得到符合题意的a 的取值范围． 【详解】解：〔1〕2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，那么3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎨-=⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或者0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值是5或者27-；〔2〕令32()39h x x x x =--，那么()y h x =的图象在直线y a =的下方的局部对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或者3， 列表： x(,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞()h x +-+()h x ' 增 极大值 减极小值 增()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h 〔3〕27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，如下图：∴当5a >或者27a -时，满足题意， ∴实数a 的取值范围为： (](),275,-∞-+∞．【点睛】此题考察了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察了利用导数画出函数的大致图象，做题时注意数形结合，是中档题．20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列〞：①1230n a a a a ++++=…；②1231n a a a a ++++=…. (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列〞；(2)假设某2021阶“期待数列〞是等差数列，求该数列的通项公式； (3)记n 阶“期待数列〞的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤. 【答案】〔1〕数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列；(2)()1007,201310061007n n a n N n *-+=∈≤⨯；(3)证明见解析.【解析】 【分析】 〔1〕数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．〔2〕设该2021阶“期待数列〞的公差为d ，由于1220130a a a ++⋯+=，可得10070a =，1008a d =，对d 分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．〔3〕当k n =时，显然1||02n S =成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，再利用绝对值不等式的性质即可得出． 【详解】解：〔1〕数列12-，0，12为三阶期待数列， 数列38-，18-，18，38为四阶期待数列． 〔2〕设该2021阶“期待数列〞的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n ，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n ．〔3〕当k n =时，显然1||02n S =成立； 当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+， 12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=，1||(12k S k ∴=，2，⋯，)n ． 【点睛】此题考察了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列〞，推理才能与计算才能，属于中档题．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。