用数形结合法巧解最值问题

考点透视数形结合思想是高中数学中的重要思想之一，特别是在解答与圆有关的综合问题时，将题设中所给的数量关系和图形结合起来，能有效地避免大量的代数运算，提升解题的效率.与圆有关的最值问题通常运算量较大，这让很多同学感觉“头疼”.我们不妨从图形的特点出发，结合代数关系，运用数形结合思想来解答最值问题.例1.已知P 是直线l :3x -4y +11=0上的动点，PA ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.分析：本题中涉及了动点，直接求解较为困难.不妨依题意画出图形，根据圆与切线的位置关系及其性质来分析四边形PACB 面积最小时的情形.由图可知S 四边形PACB =2S △PAC ,那么只要求得S △PAC 的最小值，即可求得四边形PACB 面积的最小值.解：因为PA ,PB 是圆的切线，所以PA =PB ,S △PAC =12AC ⋅AP ,设|AC |=r ,|AP |2=|CP |2-r 2，当|CP |取最小值时，|AP |取最小.过圆心C 作直线l 的垂线，如图1所示，此时|CP |最小.由x 2+y 2-2x -2y +1=0可得(x -1)2+(y -1)2=1，则r =1.由点到直线的距离可知||CP =2，则||AP 2=||CP 2-r 2=3，所以S △PAC =12AC ⋅AP =12×1×3，可得S 四边形PACB =2S △PAC =3.在解答与圆有关的最值问题时，要善于利用题目中所给的数量关系，根据代数式的几何意义，将代数关系转化为几何关系，通过数形结合,快速求得问题的答案.例2.已知点A (0,m )，B (0,-m )(m >0),圆C :(x -3)2+(y -4)2=1上有一动点P ，且∠APB =90°，求m 的最值.分析：由∠APB =90°联想到圆的直径，于是构造以AB 为直径的圆E .点P 不仅在圆E 上，还在圆C 上，那么两圆有交点，借助图形分析两圆的位置关系，通过数形结合便可求得m 的最值.解：设以AB 为直径的圆的方程为：x 2+y 2=m 2，则圆E 的圆心为E (0,0)，半径r =m ，要使两圆有交点，需使两圆的圆心距离：||r 1-r 2≤||EC ≤||r 1+r 2，通过计算得||EC =5.||r 1-r 2=||m -1，||r 1+r 2=m +1，可得m ∈[4,6].例3.如图2，点C 为半圆：(x +1)2+y 2=1(x <0)的直径AB 延长线上的一点，||AB =||BC =2,过动点P 作半圆的切线PQ ，若||PC =2||PQ ,D 为(x +1)2+y 2=1的圆心，则△PAC 的面积的最大值是.AB CPQxyxy A PCO图2图3分析：由于点P 是动点，所以点Q 、切线PQ 都会随它改变而改变.要求得△PAC 面积的最值，需先求得△PAC 的面积.可根据题意画出图形，以点B 为原点建立平面直角坐标系，求出点P 的轨迹方程，从而求出△PAC 面积的最大值.解：由题意可知||PQ 2=||PD 2-r 2，||PC =2||PQ ,||PC 2=4||PQ 2=4(||PD 2-r 2)，可得(x -2)2+y 2=4[(x +1)2+y 2]，则点P 的轨迹是一个圆，其方程为(x +2)2+y 2=163，由图3可知，当点P 在最高点时，△PAC 的高d最大，此时S △PAC =12||AC ⋅d =2d .可见，运用数形结合思想解答与圆有关的最值问题的基本思路是：（1）挖掘题目中代数式的几何意义，如将()x +a 2+()y +b 2=r 2看作圆心为(a ,b )，半径为r 的圆，将ax +by =c 看作一条直线；（2）画出相应的几何图形；（3）借助图形，分析点、直线、圆之间的位置关系，根据圆的性质找出临界的情形；（4）求得最值.（作者单位：山东省聊城第一中学）将数与形结合，提升解答与圆相关的最值问题的效率李冰图139。

例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。

在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。

求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。

例1：求函数的值域。

分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。

解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。

作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。

评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。

例2：已知，求的最小值。

【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。

解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。

分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。

如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。

令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。

分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。

解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。

例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。

巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。

er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。

J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。

数形结合求最值作者：李维奇来源：《考试·高考理科版》2011年第05期关键词数形结合斜率截距距离求最值是数学中一个重要专题，而解析几何中的一些概念和公式也被广泛运用于此，方法简洁实用。

如：斜率、截距、点与点的距离公式、点到直线的距离公式，以及直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系等。

一、斜率模式当x1≠x2时，斜率k=y1－y2x1－x2，因此，对于分式的形式，视情况可以将其转化为斜率的形式。

例1 如果实数x,y满足(x－2)2+y2=3，求yx的最大值。

解：条件中的方程在解析几何中表示圆，而yx=y－0x－0，即表示圆上的点与原点的连线的斜率，如图1，易得此斜率的最值应是该直线与圆相切时取得，易得最大值为3。

如果利用选修教材中的圆的参数方程，即x=3cosθ+2y=3sinθ，就有如下变式：变式11 求函数y=3sin x3cos x+2的值域。

可变形为y=3sin x－03cos x+2－0，也可变形为y=3sin x3cos x－(－2)。

若将sin x与cos x的关系表示出来，即可得如下变式：变式12 求函数y=3•1－x23x+2的最大值。

可设x=cosθ，则有y=3sinθ3cosθ+2，即转化为变式11，但与之相区别的是θ∈［0,π］，这是后者所没有要求的。

其几何意义就不能完全用图1来表示，而是个半圆。

变式2 求函数y=2sin x－12sin x+1的值域。

函数变形为y=sin x－12sin x+12，即表示点(sin x,sin x)与点C－12,12的连线的斜率，如图2，由于sin x∈［－1,1］，可得点(sin x,sin x)是线段AB上的动点，易得经过点C的直线l1,l2的斜率分别为3和13，可知原函数的值域为(－SymboleB@ ,13］∪［3,+SymboleB@ )。

变式3 求函数y=x2+1x－1的值域。

y=x2－(－1)x－1，表示点(x,x2)与点(1,－1)的连线的斜率，而点(x,x2)是抛物线y=x2上的动点(x≠1)，如图3，直线l1与l2是抛物线的切线，设切点为(x0,x02)，则由导数知，斜率为2x0，则切线方程为y－x02=2x0(x－x0)，将点(1,－1)代入，得x0=1±2，直线l1与l2的斜率即为2±22，因此原函数的值域为(－SymboleB@ ,2－22］∪［2+22,+SymboleB@ )。

巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。

通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。

例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。

对于一个连续递减函数，则相反。

因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。

2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。

根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。

因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。

利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。

3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。

平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。

利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。

除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。

这些方法在不同的问题中都有所应用。

最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。

在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。

因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。

数形结合思想——构建几何模型解决最值问题（第一课时）教学内容分析数形结合思想是高中数学中的一个重要的思想，它作为一种思维策略，或者说作为一种模型化方法，一直是考试的热点，重点。

为了强化重点，突出热点，提高学生的解题速度和分析问题解决问题的能力，在高三第二轮复习最后的专题复习中安排了数形结合专题，我把它分成两大块，第一块讲解“构建几何模型解决有关数学问题”，它分两个课时，第一课时利用斜率公式模型和距离公式模型求最值问题，第二课时利用单位圆模型、复数向量模型、函数模型解数学问题。

第二块讲解“数形结合思想的分类解题技巧”它又分多个课时，分别解决数形结合思想在集合问题、函数问题、方程问题、不等式问题、三角问题、几何问题、解析几何问题、极值问题、复数和向量问题、导数的几何意义问题中的应用。

本教学设计是第一块的第一课时：利用斜率公式模型和距离公式模型求最值问题。

这是系统讲解数形结合思想的第一节课，它为第二节课讲解提供了一种类比，为第二块内容讲解作铺垫。

学生学习情况分析学生基础并不太好，但经过第一轮的系统复习，对基础知识有了一定的掌握，并且在知识教学的同时渗透了数学思想的教学，又通过第二轮的知识点的专题复习，我想对数学知识进行更高层次的抽象和概括应当是顺理成章，水到渠成的事情。

但学生对数形结合的理解还比较浅显，渗透数形结合的知识点不是很明确，数形转换特别是数转形的能力较差，更重要的是运用数形结合思想方法的意识还有待强化。

设计思想整堂课采取启发式教学，通过典型例题引路，逐步展开变式教学，并利用多媒体软件——几何画板进行动态演示，使抽象变得直观，思想变得可视，难点轻松化解。

教学流程如下：教学目标掌握两种几何模型用数形结合思想求最值。

培养思维品质，强化数形结合意识。

教学重点、难点重点是用数形结合求最值，学生见“数”想形，以“形”助“数”，用“数”解“形”难点是代数式与几何意义的转换教学支持条件几何画板课件教学过程一、引入——整体把握数形结合思想师：“数”与“形”是数学研究的两个侧面，同学们请看大屏幕（显示：下面这些数、代数式、方程、文字对应的“形”是什么？（1）2012 （2）|x-2| （3）y=3x+2 （4）y 2 =2x （5）ρ=1 （6）x+y+1>0 （7）()212121y y x xx x -≠-（8 （9 （10） AB（11） 三角形ABC （12）正四面体生：它们依次为：数轴上的点，数轴上两点的距离，直线，抛物线，圆，直线的一侧，两点连线的斜率，平面上两点间的距离，点到直线的距离，有向线段，平面几何图形，立体几何图形。

利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，与圆有关的长度最值问题有以下题型：
思路分析：
已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问
的不等式，即可解出
=45，
2
45
=
2
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会
与圆有关的长度最值问题有以下题型：
到圆上距离最近为
③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离
动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转
+，最小值的距离为d，圆半径为r，则圆上的点到直线的距离的最大值为d r
时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解
圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题
例5 实数x 、y 满足22326x y x +=，则22y x +的最大值为 . 用消元法化为关于.
法二：令
2
y+
=k，
d－r.
纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.。

数形结合在求解最值问题中的应用数形结合思想:在求解数学中，把数量关系的精确刻画与空间形式的形象直观密切结合，调用代数与几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的，这就是数形结合思想.纵观历年高考，以数形结合思想方法的巧妙运用解决的问题比比皆是.通过数形结合，可以将抽象的数学语言，符号，与其所反映的（可能是隐含的）图形有机的结合起来，从而促进抽象思维与形象思维的有机结合，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.利用数形结合解题主要包括两方面的内容：一方面，借助于图形的性质将图形信息转换成代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；另一方面，在解决与数量关系相关的数学问题时，根据数量关系的特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题.两者都是利用数形的辩证统一和各自的优势尽快的得到有效解题途径.高中最值问题:用数形结合方法求解最值问题的依据是笛卡尔创立的坐标系思想.坐标系包括斜坐标系（包含直角坐标系）和极坐标系.坐标系的创立沟通了代数和几何之间的联系，成为近代数学的开端.“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的.每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.实现数形结合解题，主要通过以下三种途径：其一是通过坐标系；其二是通过转化；其三是构造图形，构造函数.因此在解决数学问题时，要根据待解题目，选择适当的方法，把抽象的问题具体化，具体化的问题精确化.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野.以下就数形结合在最值方面的运用作些讨论.1.直接为数配形问题是数学的心脏，如果数学问题中的数量关系比较抽象，直接求解最值比较困难，我们就要考虑数学问题的条件或表达式是否有明显的几何意义,如果可以将其数学符号语言直接翻译为图形语言，那么就可以给出数量关系的直接的几何解释，为数配上形.再运用所给的代数式的结构中所含的几何意义来探求数量关系.根据问题中的数量关系以及其限制条件，结合图形（象）作出解答.例1、 已知a,b,c,d 22)()(,012,042,d b c a S d c b a R +++==-+=++∈求的最小值.分析：可把已知条件中的两个方程视为两条平行线，把求22)()(d b c a S +++=的最小值视为求点d)c,B(A(a,b)--与之间的距离的平方求最小值.视点A(a,b)在直线042:1=++y x l 上;点d)c,B(--在直线012:2=-+y x l 上,从而转化为求两条平行线间的距离.根据两条平行线0:,0:2211=++=++C By Ax L C By Ax L ()022≠+B A 的距离公式 2221||BA C C d +-=如图1-1，不难得出所求函数的最小值为52.借助变化，为数配形许多数学问题，直观上很难发现它具有某种几何意义，但可以通过变形，将其数量关系的问题转化成图形性质或利用图形性质的问题.把抽象的问题具体化.具体的问题精确化，从而使问题得到解决。

数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。

数形结合巧解复数模长最值问题“双刃剑〞，特别对解选择题或填空题是一条重要的捷径．由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，因此，对于复数问题，如能剖析其中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活泼解题思路，使解题过程简单化．例1 设复数z满足|z＋i|＋|z－i| = 2，求|z＋i＋1|的最小值．解：由题设知，复数z在复平面内对应的点集是线段AB，如下图，线段AB 上B点到C点距离最短．∵|BC |=1，∴|z＋i＋1|的最小值为1．评析：在分析问题和解决问题时，要注意解析语言的意义及运用，要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化，自觉地由“形〞到“数〞与由“形〞变“数〞地运用数形结合的思维方法．例2 复数z = 2＋ai(a R∈)，求|z＋1－i|＋|z－1＋i|的最小值．解：∵|z＋1－i|＋|z－1＋i|= |z－(－1＋i)|＋|z－(1－i)|，设z1=－1＋i，z2=1－i在复平面上对应的点分别为A(－1，1)，B(1，－1)．z = 2＋ai在直线l：x = 2上，B点关于直线l的对称点为C(3，－1)，连AC，交l于D，那么|z＋1－i|＋|z－1＋i|的最小值为：|BD|＋|AD| = |AC| =例3 复数z满足z＋3 = r(cos 34π＋3sin4iπ)，求|z＋3－3i|＋|z－3i|的最小值．解：∵|z＋3－3i|＋|z－3i| = |z－(－3＋3i)|＋|z－3i|，设z1=－3＋3i，z2= 3i在复平面上对应的点分别为A(－3，3)，B(0，3)．z＋3 = r(cos 34π＋3sin4iπ)说明z的对应点在图中的直线l上，于是问题变成：在直线l上确定一点D，使得|DA|＋|DB|是l上的点，且到点A、B距离之和的最小值，并求出最小值．易求出点A(－3，3)关于直线l的对称点为C(－6，0)，此时|DA| = |DC|．由图，当B、D、C三点共线时，|DA|＋|DB|最小，最小值是∴|z＋3－3i|＋|z－3i|的最小值为评析：有些表达式容易化为“形〞，比方例2和例3中的欲求的结论，实际上是一动点到两个定点距离和问题．就是说，由于复数的模长都有明显的几何背景，它们等都是很容易转化成“形〞的，因此题目中涉及到这些问题时，可以用数形结合法来解决．。

七年级数学中，绝对值数与数形结合的题目是关于寻找最大和最小值的问题。

通过对数形的理解和绝对值数的运用，我们可以通过具体的例题来深入探讨这一主题。

1. 理解绝对值数和数形的关系在数学中，绝对值是一个数离原点的距离，它不考虑数的正负。

而数形指的是可以用图形表示的数学概念，例如直角三角形、圆形等。

绝对值数与数形结合的题目通常是利用绝对值符号来求解数形的性质或特点，进而求得最大和最小值。

2. 通过例题深入探讨例题一：一个数的绝对值与这个数本身的乘积最大是多少？解析：假设这个数为x，根据绝对值的定义可知该题实质上就是求x和-x的乘积的最大值。

通过观察可以得出结论，当x取0时，这个乘积最小为0；而当x取正数或负数时，乘积始终为负数。

最大值为0。

例题二：求解一个绝对值数与一个给定数相加的最大值和最小值。

解析：设给定数为a，绝对值数为x。

根据题目要求，可以列出不等式|x + a|的最大值和最小值。

通过分情况讨论，当a为正数时，最小值为0，最大值为2a；当a为负数时，最小值为2a，最大值为0。

3. 总结与回顾通过以上例题的探讨，我们可以得出结论：绝对值数与数形结合的题目往往涉及到对绝对值性质和数形性质的综合运用，通过巧妙地利用绝对值数的非负性和数形的图像直观性，可以快速而准确地求解最大和最小值问题。

这种方法既能够提高学生对绝对值概念的理解，也能够培养他们的逻辑思维能力和数学应用能力。

4. 个人观点和理解在教学中，我认为教师应该引导学生通过练习和实践，不断加深对绝对值数和数形结合题目的理解和掌握。

通过引导学生分析解题思路，帮助他们建立数学模型，并鼓励他们勇于尝试不同的解题方法，从而提高他们的数学解决问题能力和创造性思维。

以上是我对七年级数学中绝对值数与数形结合题目求最大和最小值的文章撰写，请查看后如有需要，欢迎进一步讨论。

绝对值数与数形结合题目是数学中一个重要的内容，通过深入理解和掌握这一主题，能够帮助学生提高数学思维能力，培养解决问题的能力。

求解三角函数最值的常用方法 核心提示：三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。

求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

一.使用配方法求解三角函数的最值
例1
．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论
：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑
的取值及的条件，才能正确求出最值。

二.使用化一法求解三角函数的最值
例2
．求函数的值域。

分析
：降幂后发现式中出现了
和，这时再化成一个角的三角函数便可求
得。

解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。

三.使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
四.使用数形结合法求解三角函数的最值
例4．求函数的值域
解：
五.使用换元法求解三角函数的最值
例5．求函数的最值。

分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。

解：。

数形结合思想在解题中的应用--以最值问题为例
发布时间：2023-06-06T08:10:56.427Z 来源：《基础教育参考》2023年6月作者：邓力铖
[导读] 数形结合是高中数学解题中重要的思想之一，特别是在解决圆的综合问题时，经常将题设中所给的数量关系和图形结合起来，避免大量的代数运算.对于圆中所涉及到动点中求最值问题，大部分学生更是一筹莫展.本文从“图形”出发，结合代数关系，呈现出动点运动状态，求出最值，简化运算，让学生体会数形结合的优势.
（四川省达州市第一中学校）
中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）6-261-01。

高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。

最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。

例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。

解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。

又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。

由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。

评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。

二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。

特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。

例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。

解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。

当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。

数形结合解最值四川省广元市宝轮中学 唐明友“数”转化为“形”直观，“形”结合于“数”简便，两者之间相辅相成，相互转化，“数”和“形”的这种辩证关系就是数形结合思想。

本文例析运用数形结合思想解决最值问题。

一.结合数轴例1.若a<b<c ，试求函数y=ax -+b x -+cx -的最小值。

分析与解：本题若用“零点区间讨论法”解， 且a 、b 、c 不是具体的数，计算起来非常麻烦。

根据绝对值的几何意义，在数轴上ax -、b x -、cx -分别表示线段AX 、BX 、CX 的长。

现在要求ax -+b x -+cx -的最小值，从几何意义上理解，就是在数轴上找一点X ，使点X 到A 、B 、C 三点距离之和最小。

由图知，当X 与点B 重合时，即当x=b 时该距离之和最小，∴y 的最小值为c －a 。

说明：如果a 、b 、c 是具体的常数，还可通过分类讨论，画出分段函数的图像，再根据图像找出最小值。

二.结合直角三角形 例2.求代数式42+a +9)12(2+-a 的最小值分析与解：仅从代数角度思考显然难以奏效，观察到两个根号下都是平方和的形式，自然联想到勾股定理，进而可考虑构造R t △ACP 和R t △BDP 。

如图，A C ⊥l 于C,BD ⊥l 于D,AC=2,BD=3,CD=12,P 在直线l 上， 且PC=a(由题意a 为负数或0均不是最小的，可设a>0), 则PA+PB=42+a +9)12(2+-a ，因此，本题化为“在直线l 上求一点P ，使PA+PB 的 值最小”。

为此，取点A 关于直线l 的对称点A ，，过点A ，作A ，E ⊥BD 交其延长线于点E ，连接PA ，、A ，B ，则 原式=PA+PB=PA ，+PB ≥A ，B=22BE E A +，=223)(212++=13因此，原式的最小值是13。

说明：本题亦能构造平面直角坐标系，求代数式的最小值，相当于要在x 轴上求一点（a,0）,使它到（2,0）和（12，3）这两点的距离的和最短，请同学们去思考。

数形结合——定值与最值问题的“绿色通道”作者：王佩其来源：《广东教育·高中》2010年第11期众所周知,解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想.“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式,曲线是轨迹的几何形式,方程是轨迹的代数形式.它们在表现和研究轨迹的性质时,各有所长.几何形式具有直观形象的优点,代数形式具有便于运算的优势,因而具有操作程序化的长处.具体解题时最好将二者结合起来,这就是“数形结合”思想.定值与最值问题,是高考中的“常客”.“数形结合”,是引领我们走向成功的“绿色通道”.一、由“形”构“数”,妙解解析几何定值问题解析几何中的定值问题,在高考中具有一定难度. 求解这类问题的关键是利用解析几何中有关曲线的定义、性质以及图形特征,转化为代数问题.例1已知如图1,椭圆的方程+=1.在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明++为定值,并求此定值.点拨心里有什么,眼里就看到什么!对于本题,心里有函数的人首先看到了函数:|PF1|、|PF2|、|PF3|都是角=∠xFP1的函数.心里有方程的人,首先看到了方程:|PF1|•cos=x-c( x是点P1的横坐标).心里既有函数又有方程的人,不仅同时看到了本题中函数与方程,而且还看到了函数与方程的关系.设∠xFP1=,于是有∠xFP2=+,∠xFP3=+ .设|FP1|=r1,P1到x轴的垂线段为P1M,P1到准线l∶x=12的垂线段为P1Q,于是由图2可得|FM|=r1cos,由e=得|P1Q|=2r1,于是有方程:r1cos+2r1=12-3=9,从而有函数:r1=,即=,同理有=,=.于是有函数方程的统一体:++=[3+cos+cos(+)+cos(+)]=×3=.点评圆锥曲线定义是运用数形结合思想解题的依据,把一些代数问题通过转化,运用圆锥曲线的定义与几何性质解题是简化解题过程的最佳手段,而函数与方程思想是求解解析几何定值问题的基本策略.变式如图3,在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于两点.则直线y=被以AC或BC为直径的圆截得的弦长恒为定值p.点拨1 设AC的中点为O′,y=与AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则O′H⊥PQ,O′点的坐标为(,).∵ |O′P|=|AC|==,|O′H|=|-|=y1,∴ |PH|2=|O′P|2-|O′H|2=(y21+p2)-y21=p2,∴ |PQ|2=(2 |PH|)2=4×p2=p2,∴ |PQ|=p为定值.同理直线y=被以BC为直径的圆截得的弦长也恒为定值p.点拨2 以AC为直径的圆的方程为(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,将直线方程y=代入得x2-x1x-+y1=0,设直线y=与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x3,y3),则x2+x3=x1,x2x3=-+y1,∴ |PQ|=|x2-x3|===p,∴|PQ|=p为定值.同理直线y=被以BC为直径的圆截得的弦长也恒为定值p.类题练习已知抛物线y2=2px(p>0),A、B是抛物线上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当,变化且+为定值(0答案如图4,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1≠x2(否则+=)且x1,x2≠0,所以直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,显然x1=,x2=,将y=kx+b与y2=2px(p>0)联立消去x,得ky2-2py+2pb=0,由韦达定理知y1+y2=,y1•y2=…①(1)当=时,即+=时,tan•tan=1,所以•=1,x1x2-y1y2=0,-y1y2=0,所以y1y2=4p2,由①知:=4p2,所以b=2pk.因此直线AB的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,所以直线AB恒过定点(-2p,0).(2)当≠时,由+=,得tan=tan(+)==,将①式代入上式整理化简可得:tan=,所以b=+2pk.此时,直线AB的方程可表示为y=kx++2pk,即k(x+2p)-(y-)=0,所以直线AB恒过定点(-2p,).所以由(1)(2)知,当=时,直线AB恒过定点(-2p,0),当≠时直线AB恒过定点(-2p,).二、由“数”构“形”,巧借解析几何求最值有些最值问题,看似与解析几何无关,但若能挖掘所给解析式的几何意义,即由“数”构“形”,那么我们就可以从解析几何的角度出发,抓住问题的本质,从而使原问题快速获解!例2已知x2+y2-6x-8y=0,则+的最小值是.点拨已知条件是圆方程,+能否转化为两段距离之和呢?因为x2+y2-6x-8y=0,所以+=+=+=+上式表示点P(x,y)到两定点A(-3,0),B(3,0)距离之和,而P(x,y)点在以(3,4)为圆心,5为半径的圆周上,故原问题等价于在圆上求一点使之到两定点A、B距离的和最小(如图5).因为圆过原点,所以原点到A、B两点的距离之和最小,最小值为|AB|=6,此时x=0,y=0.)点评利用数形结合的思想求解某些代数式的最值,关键是将代数式“改造”,或改造成两点间的距离公式,或改造成点到直线的距离公式,并挖掘出动点的几何意义,最终转化为解析几何问题,如对称问题,直线与圆(圆弧)的位置关系问题.变式求函数y=|x+2-|的最值.点拨将原函数变形为y=•,理解为动点(x,)到直线x-y+2=0的距离即可,不难看出动点(x,)的轨迹为单位圆在x轴上方的部分.如图6所示,所求函数的最小值,即为原点到直线x-y+2=0的距离与单位圆的半径之差的倍,即ymin=×(-1)=2-;而最大值为点(1,0)到直线x-y+2=0的距离的倍,即ymax=×(-1)=3.类题练习已知a、b∈R+,且a+b=1,求u=的最小值.答案设(a+2)2+(b+2)2=r2(r>0),则点(a,b)是直线x+y=1与圆(x+2)2+(y+2)2=r2在第一象限内的公共点(如图7),从而圆心(-2,-2)到直线的距离满足:d=≤r.∴ r2≥,即(a+2)2+(b+2)2≥,故umin=.责任编校徐国坚。