高中数学必修2第1章滚动测试卷

一、选择题1．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //2．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥3．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为43，D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（ ）A ．3B ．3C ．43D ．126．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π8．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ） A ．43πB ．6πC ．323πD ．86π9．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心10．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（ ）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α 11．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中A C B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.14．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.15．已知三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积为12π，PA ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，2PA =，则ABC 面积的最大值为__________．16．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.17．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．18．已知长方体1234ABCD A B C D -，底面是边长为4的正方形，高为2，点O 是底面ABCD 的中心，点P 在以O 为球心，半径为1的球面上，设二面角111P A B C --的平面角为θ，则tan θ的取值范围是________.19．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 20．棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______．三、解答题21．如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．22．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．23．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：BE CD ⊥.24．在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点．证明：四边形EFGH 是矩形．25．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '． （2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值． 26．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误； 对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误； 对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．2．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 3．D解析：D 【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1ACCC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥.4．B解析：B 【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小． 【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点， 又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ， 所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=， 故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.6．C解析：C 【分析】由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得． 【详解】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒. 故选：C ．7．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．8．B解析：B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果． 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43， 所以()12133442242AB CS S a==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=， 所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9．C解析：C 【分析】将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以2222221111111111,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+， 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心，【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.10．D解析：D 【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交； 对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D. 【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成．11．C解析：C 【分析】设AH a =，则3BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则3BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ， 又Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，()2''221C H AC AH a =-=-Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥，AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角， 在ABE △中，2AB =2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅. 因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可． 【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．14．【分析】作出图形计算出正四棱锥的高与底面边长设底面的中心为计算得出为正四棱锥的外接球球心可求得该正四棱锥的外接球半径即可得解【详解】如下图所示设正四棱锥的底面的中心为连接设正四棱锥的底面边长为则由于 解析：36π【分析】作出图形，计算出正四棱锥P ABCD -的高与底面边长，设底面ABCD 的中心为E ，计算得出E 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，可求得该正四棱锥的外接球半径，即可得解. 【详解】如下图所示，设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ，连接PE 、AC 、BD ，设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，则2AC BD a ==，由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心，则PE ⊥平面ABCD ， 由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45，则45PAC PCA ∠=∠=， 所以，PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形， 同理可知，PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形，E 为AC 的中点，1222PE AC a ==，2ABCD S a =正方形， 231122183326P ABCD ABCD V S PE a a a -=⋅=⨯⨯==正方形，解得32a =，232PE a ==，由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==，即PE AE BE CE DE ====，所以，E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心， 球E 的半径为3r PE ==，该球的表面积为2436r ππ=. 故答案为：36π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．2【分析】由球的表面积可求出半径取的中点可得设由基本不等式可得即可求出面积的最大值【详解】因为球的表面积为所以球的半径取的中点则为的外接圆圆心平面设由得因为所以当且仅当时取等因为的面积为所以面积的最解析：2 【分析】由球的表面积可求出半径3R =，取BC 的中点D ，可得1OD =，设AB x =，AC y =，由基本不等式可得4xy ≤，即可求出ABC 面积的最大值.【详解】因为球O 的表面积为12π，所以球O 的半径3R =． 取BC 的中点D ，则D 为ABC 的外接圆圆心，PA ⊥平面ABC ，112OD PA ∴==， 设AB x =，AC y =，由2222134+==+=+=x y R OC CD OD ，得228x y +=． 因为222x y xy +≥，所以4xy ≤，当且仅当2x y ==时取等．因为ABC 的面积为1122⋅=AB AC xy ，所以ABC 面积的最大值为2． 故答案为：2.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是是建立勾股关系，利用基本不等式求出4xy ≤.16．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的外接球的半径最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为2的三棱锥体如图所示:设底面外接圆的半径为t 圆心为H 则解得 解析：414π【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积. 【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:设底面外接圆的半径为t ,圆心为H ，则2221(2)t t =+-，解得54t =， 设外接球的半径r ，球心为O ，则OH ⊥底面，且1OH =， 则22541()144r =+=所以41414().164S ππ=⨯⨯= 故答案为：414π 【点睛】关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH 等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.17．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ， 设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAMFDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而21DM t =-，12DF x t=-=， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．18．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析：474733⎡-⎢⎣⎦【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果. 【详解】根据题意，如图所示：取11A B 的中点H ，过H 点作球O 的切线，切点分别为,M N ， 可以判断1O HN ∠为θ的最小值，1O HM ∠为θ的最大值， 且1112tan 12OO O HO HO ∠===， 22,1OH OM ON ===，所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=， 11171827477tan tan()7117O HN O HO NHO ----∠=∠-∠====++ 1117827477tan tan()1637117O HM O HO OHM ++∠=∠+∠====-， 所以tan θ的取值范围是4747,33⎡+⎢⎣⎦， 故答案为：4747-+⎣⎦.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下： （1）先根据题意画图；（2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值；（3）结合图形求得相应角的正切值； （4）利用和差角正切公式求得结果.19．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 20．【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为：底面三角形的高：棱锥的高为：设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为：；故答案为：【点睛】解析：232a π 【分析】由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R ，即可求出球的面积. 【详解】正四面体的棱长为：a ， 33a =，棱锥的高为：22236()32a a a -⨯⨯=， 设外接球半径为R ，22263()()R a R a =-+，解得6R a =， 所以外接球的表面积为：2263442a a ππ⎛⎫⨯=⎪ ⎪⎝⎭； 故答案为：232a π． 【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径．三、解答题21．（1）见详解；（2）见详解；（3）107 【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP ⊥平面PBC ，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC . (3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积. 【详解】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP .又MD 平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以MD 平面APC .（2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MDAP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC . 又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝， 所以BC ⊥平面APC .(3)因为AP ⊥平面PBC ，MD AP ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高. 因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以10,2PB MB MD MB ==== 由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得PC ＝于是1114222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝1133D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=△＝＝＝【点睛】关键点睛：三棱锥的体积直接求不便时，常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.22．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面PAC ；（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB ， 又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD由1133BCEE PBC P BCE PBC BCE PBCSPOV V S h S PO h S--=⇒=⇒=，由已知可求得1PO =，1BCES=，2PBCS=，所以22h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为22.【点睛】（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用中位线的性质可得出//EF AC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质定理可得出BE ⊥平面ACD ，进而可证得BE CD ⊥. 【详解】（1）在ADC 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，//EF AC ∴.EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥， 又平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，BE ⊂平面ABD ，BE ∴⊥平面ADC .CD ⊂平面ADC ，BE CD ∴⊥. 【点睛】方法点睛：在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据三角形垂心的特征，以及点在面上的射影的定义，再结合线面垂直的判定定理和性质，证得结果；（2）利用平行四边形的邻边垂直，证得结果. 【详解】证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ，因为,AE BC CF AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心所以BM AC ⊥又因为P 在平面ABC 的射影为O ，所以PO ⊥平面ABC 所以PO AC ⊥又因为PO BM O ⋂=，所以AC ⊥平面PBM 所以AC PB ⊥（2）分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形 所以,E F 分别为,BC BA 的中点 所以//EF AC又由（1）AC PB ⊥，所以EF PB ⊥因为,E H 分别为,BC PC 的中点，所以EH 平行等于1PB 2， 又因为,F G 分别为,AB PA 的中点，所以GF 平行等于1PB 2， 所以EH 平行等于GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形 又//,EH PB EF PB ⊥，所以EH EF ⊥， 所以四边形EFGH 为矩形. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）利用三角形的垂心的特征，结合点在面上射影的定义，得到相应的垂直关系，结合线面垂直的判定定理和性质证得结果；（2）根据正三角形的有关特征，结合题中所得到的平行关系，到的四边形EFGH 为平行四边形；（3）根据题中所给的垂直关系，得到EH EF ⊥，从而证得结果. 25．（1）证明见解析 ；（2）64． 【分析】（1）由面面垂直以及AB AC ⊥可得AB ⊥平面A AC '，进而可得AB AC '⊥，再由AC AA ''⊥利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取BC 的中点N ，连结,,A M A N MN ''，可得A MN '∠为二面角A AC B '--的平面角即60A MN '∠=，设1AB =，则2AC A A ''==，利用余弦定理求出32A N '=，由勾股定理可证A N MN '⊥，结合A N AC '⊥可证明A N '⊥平面ABC ，A BN '∠为直线A B '与平面ABM 所成角，在A BN '中求sin A BN ∠'即可. 【详解】（1）∵90CAB CA A '∠=∠=，∴AB AC ⊥，∵平面A AC '⊥平面ABC ，平面A AC '⋂平面ABC AC =，AB 平面ABC ，∴AB ⊥平面A AC '，A C '⊂平面A AC '，∴AB AC '⊥，AC AA ''⊥，又∵AB平面A AB '，AA '⊂平面A AB '，A A A B A '''⋂=，∴A C '⊥平面A AB '．（2）取BC 的中点N ，连结,,A M A N MN ''，设1AB =，则2AC A A ''==，∵点M 为中点，∴A M AC '⊥， ∵//MN AB ，∴MN AC ⊥，∴A MN '∠为二面角A AC B '--的平面角， ∴60A MN '∠=，∵1122MN AB ==，∴1A M '=， 在A MN '△中，由余弦定理可得：22222cos6011131214224A N A M MN A M MN +-='''=⨯+-⨯⨯⨯=，∴222A M A N MN ''=+，∴A N MN '⊥，A N AC '⊥，MN AC M ⋂=， ∴A N '⊥平面ABC ，∴A BN '∠为直线A B '与平面ABM 所成角，在A BN '中，A B '===，所以sin4A N A BN A B '''∠===【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）； （3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.26．（1）证明过程见解析；（2. 【分析】（1）根据矩形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合棱锥的等积性、线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）在矩形ABCD 中，连接BM ，所以90D C ︒∠=∠=，因为2AB AD =，M 为DC 的中点，所以三角形ADM 和三角形BCM 是等腰直角三角形，因此有45DMA CMB ︒∠=∠=,所以90AMB ︒∠=，即MB AM ⊥,在棱锥D ABCM -，取AM 中点N ，连接,DN CN ，因为三角形ADM 是等腰直角三角形，所以DN AM ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，所以DN ⊥平面ABCM ，而BM ⊂平面ABCM ，所以DN BM ⊥，又因为,,DNAM N DN AM =⊂平面ADM ，所以BM ⊥平面ADM ，而AD ⊂平面ADM ，所以BM AD ⊥；。

一、选择题1．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）A ．2：1B ．4：1C ．8：1D ．8：3 2．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A 3B 6C ．23D ．264．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,EF 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ）A 5B ．35C ．45D 25 5．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,//,//l m αβαβ，则//l mC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 6．三棱锥P ABC -中，6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，若52PA PB PC ===则点B 到平面PAC 的距离为（ ）A ．32B ．4141C ．153417D ．67．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE8．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．29．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π 10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ）A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d = 11．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥12．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'二、填空题13．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =+m n α，其中m ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．14．如图，在一个底面面积为4，侧棱长为10的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.15．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22C ABD -的外接球的表面积为____．16．在正三棱锥A BCD -中，5AB AC AD ===，6BC BD CD ===.点M 是线段BC 上的点，且2BM MC =.点P 是棱AC 上的动点，直线PM 与平面BCD 所成角为θ，则sin θ的最大值为______.17．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.18．已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC 3=AB ，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____． 19．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.20．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为________． 三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，CB ⊥平面,//PAB AD BC 且22PB BC AD F ===，为PC 中点．（1）求证：//DF 平面PAB ；（2）求直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值．22．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：//GE 平面ACD ；（2）求证：平面ABD ⊥平面BCD .23．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆2的等边三角形，2AB =，O ，D 分别是AB ， PB 的中点.（1）求证://OD 平面PAC（2）求证:OP ⊥平面ABC（3）求三棱锥D OBC -的体积.24．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，3AD =，4BC =，M 为线段AD 上点，且满足2AM MD =，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）设三棱锥N BCM -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V，求12V V . 25．如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4PD =，E 为PA 的中点.（1）求证：//PC 平面EBD .（2）求三棱锥E ABD -的体积.26．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由~AOE ACF 可得：22(1)11h r --=，即22r h h =-， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--． 当且仅当22h -=，即4h =时取等号．∴该圆锥体积的最小值为83π． 内切球体积为43π． 该圆锥体积与其内切球体积比2:1．故选：A ．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2．C解析：C【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果.【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===，所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =， 所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=.故选：C.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 3．A解析：A【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12A C ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值，因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M =因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥，则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.4．B解析：B【分析】证明//BE AF ，得AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，在三角形中求解即可．【详解】连接,AF EF ，∵,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，∴//EF AB ，EF AB =， ∴ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ，∴AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角， 设正方体的棱长为2，则111A F D F ==，22215AF DF ==+=，2223cos 25255AF DF AD AFD AF DF +-∠===⋅⨯⨯， 异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为35． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 5．D解析：D【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面；在B 中，l 与m 不一定平行，有可能相交；在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交； 在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】 由直线m 、n ，和平面α、β，知：对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,//,//l m αβαβ，l 与m 不一定平行，有可能相交，故B 错误；对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误； 对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．6．C解析：C【分析】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO ⊥平面ABC ；求出三棱锥P ABC -的体积；以及PAC △的面积，设点B 到平面PAC 的距离为d ，根据等体积法，由P ABC B PAC V V --=，即可求出结果.【详解】取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，因为6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，所以226810BC =+=，则152AO BC ==；又PA PB PC ===222100PB PC BC +==，则PB BC ⊥，152PO BC ==， 所以22250PO OA PA +==，所以PO AO ⊥；因为PB PC =，O 为BC 中点，所以PO BC ⊥，又BC AO O ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ； 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332P ABC ABC V S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为在PAC △中，PA PC ==，8AC =，所以PAC △的面积为182PAC S =⨯=， 设点B 到平面PAC 的距离为d ，由P ABC B PAC V V --=可得1403PAC S d =⋅，所以d ==. 故选：C.【点睛】方法点睛：求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA md m ⋅=.7．C解析：C【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN 与平面BCF 的关系，利用面面平行的性质可以判定MN 与平面ADE 的关系，进而对选择支B 作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN 与平面BDE 的平行关系，进而判定C ；利用M ,N 在平面CDEF 的两侧，可以判定MN 与平面CDE 的关系，进而对D 作出判定.【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.8．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =， 所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下： （1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.9．C解析：C【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积.【详解】如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=所以球O 的表面积24164S R ππ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.10．A解析：A【分析】 根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】 3169V d =，所以33941632d d V π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以278π=， 所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.11．D解析：D【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂，而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误．故选：D ．【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．12．C解析：C【分析】设AH a =，则BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项.【详解】设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=， 所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C H DH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ，故选：C.【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.二、填空题13．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径．【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ， 所以21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=． 设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ，则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6．6【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．14．【分析】设为正方形的中心的中点为连接求出如图分别可求得大球与小球半径分别为和进而可得小球的体积【详解】解：由题中条件知底面四边形是边长为2的正方形设O 为正方形的中心的中点为M 连接则如图在截面中设N 为 解析：224【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，求出OM ，PM ，PO ，如图，分别可求得大球1O 与小球2O 半径分别为22和24，进而可得小球的体积． 【详解】 解：由题中条件知底面四边形ABCD 是边长为2的正方形.设O 为正方形ABCD 的中心，AB 的中点为M ，连接PM ，OM ，PO ，则1OM =，221013PM PA AM =-=-=，9122PO =-=，如图，在截面PMO 中，设N 为球1O 与平面PAB 的切点，则N 在PM 上，且1O N PM ⊥，设球1O 的半径为R ，则1O N R =，∵1sin 3OM MPO PM ∠==，∴1113NO PO =，则13PO R =，11422PO PO OO R =+==，∴22R =，设球1O 与球2O 相切于点Q ，则22PQ PO R R =-=，设球2O 的半径为r ，同理可得4PQ r =，∴224R r ==，故小球2O 的体积3423V r ππ==. 故答案为：224π．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题 解析：12π【分析】根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积.【详解】等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA CB ==，D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===，,CD AD CD BD ∴⊥⊥， 22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，,,DC DA DB ∴两两垂直，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.故答案为：12π.【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出,,DC DA DB 两两垂直.16．【分析】证明直线与平面所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得【详解】先证一个命题：平面内所有直线与平面所成的角中当此角为二面角的平面角时最大如图平面于点于是上任一点则而则平面又平面∴是二面角的平面 解析：134 【分析】证明直线PM 与平面BCD 所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得．【详解】先证一个命题：平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．如图AO ⊥平面BCD 于点O ，OE BC ⊥于E ，Q 是BC 上任一点，则AO BC ⊥，而AO OE O =，则BC ⊥平面OAE ，又AE ⊂平面OAE ，∴AEO ∠是二面角A BC D --的平面角，而AQO 是直线AQ 与平面ABCD 所成的角，显然sin AO AEO AE∠=，sin AO AQO AQ ∠=，又AQ AE ≥，∴sin sin sin AQO AEO ∠≤∠，,AEO AQO ∠∠都是锐角，∴AQO AEO ∠≤∠，,Q E 重合时等号成立．由此可知平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大． 由已知363EO =⨯=，22534AE =-=，2213AO AE EO =-=， 13sin 4AEO ∠=， ∴直线PM 与平面BCD 所成角最大值等于AEO ∠， ∴sin θ的最大值为134． 故答案为：13． 【点睛】结论点睛：在二面角A BC D --（为锐二面角）中，AEO ∠是A BC D --二面角的平面角，Q 是棱BC 上任一点，则AQ 与平面BCD 所成角中最大值为二面角的平面角，AQ 与平面BCD 内过Q 点的直线（实际上是所有直线）所成角中最大值为直线AQ 与平面BCD 所成的角．17．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径， M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=.故答案为：1:1.【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．18．【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB ＝2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所 解析：3π【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC 3=3=2R ，∴AC 3=，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC 3=2，又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32， ∴V P ﹣ABC 13=⨯R 32⨯⨯R 232=，即3R 3＝9，R 3＝33， 所以：球的体积V 43=⨯πR 343=⨯π×33=43π． 故答案为：43π. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.19．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取 解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423h r -=，解得33h r =； 所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧； 当2r时，S 圆柱侧取得最大值为43π故答案为：3π. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.20．【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 结合轴截面图形计算得最后计算体积即可【详解】解：设圆锥底面半径为R 则所以设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 则如图是圆锥轴截面三 解析：23π 【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径1R =，设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，结合轴截面图形计算得22r ，最后计算体积即可. 【详解】解：设圆锥底面半径为R ，则2233R ππ=⨯，所以1R =． 设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，则9122h =-=， 如图，是圆锥轴截面三角形图， 所以3r Rh r =-，解得：22r ， 故3442223383r V πππ==⨯=． 故答案为：2π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的内切球的体积，考查空间想象能力，是中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）24【分析】（1）取PB 边的中点E ，即可证明四边形AEFD 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取BC 边的中点G ，由//DG AB ，即可得到直线AB 与平面PDC 所成角即为DG 与平面PDC 所成角，再由等体积法求得2G PCD d -=，即可求得直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值． 【详解】解：（1）如图所示：取PB 边的中点E ，连,AE FE ， 则三角形中位线可知：//EF BC 且12EF BC =， 由题可知：//AD BC 且12AD BC =， //AD EF ∴且AD EF =， 即四边形AEFD 为平行四边形， //DF AE ∴又DF ⊄平面,PAB AE ⊂平面PAB ，故//DF 平面PAB ； （2）取BC 边的中点G ， 则//DG AB ，且2DG AB ==，直线AB 与平面PDC 所成角即为DG 与平面PDC 所成角， 又1CDGS=，且易得DC PD =,所以11223622CDPSPC DF =⋅=⨯=由等体积法，1113633P CDG G PCD G PCD V V d ---==⨯=，得2G PCD d -=，DG ∴与平面PDC 所成角的正弦值为22224=， 故直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值为24． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等体积法求出G 点到平面PCD 的距离. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先依题意得到G 为ABD △的重心，即得到21BG BE GM EC ==，证得//GE MC ，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先在ABD △中，证得AO BD ⊥，求得1AO =，在BCD △中，求得3OC =，结合勾股定理证得AO OC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD ，即证平面ABD ⊥平面BCD . 【详解】证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =， ∴G 为ABD △的重心∴21BG GM =， 又21BE EC =∴BG BEGM EC=∴//GE MC ， ∵GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴//GE 平面ACD ；（2）在ABD △中，O 为BD 中点，2BD =，2AB AD ==∴AO BD ⊥∴221AO AB BO =-=，在BCD △中，2BC CD BD ===，O 为BD 中点，连接OC ，则3OC =又2CA =，∴222OA OC CA +=，∴AO OC ⊥ 由AO OC ⊥，AO BD ⊥，OC BD O =，,OC BD ⊂平面BCD ，得AO ⊥平面BCD ， 又AO ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】 思路点睛：证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，或者利用面面平行的性质证得；证明线面垂直时，运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得线线垂直，或者运用面面垂直的性质定理证得线面垂直．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）112. 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明//OD PA ，利用线面平行的判定定理证明； （2）根据条件，证明PO OC ⊥，PO AB ⊥，利用线面垂直的判定定理证明； （3）利用转化法求体积. 【详解】(1)证明:O ，D 分别为AB ，PB 的中点//OD PA ∴PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC ，//OD ∴平面PAC .(2)证明: 2AC BC ==2AB =，AC BC ∴⊥O 为AB 的中点，2AB =， OC AB ∴⊥，1OC =同理， PO AB ⊥，1PO =. 2PC =2222PC OC PO ∴=+=，则90POC ︒∠=，即PO OC ⊥ PO OC ⊥，PO AB ⊥，AB OC O ⋂= OP ∴⊥平面ABC .(3)解:由()2可知，OP ⊥平面ABC .OP ∴为三棱锥P ABC -的高，且1OP =11112111212212D OBC ABC V S OP -∆∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求体积，常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1227V V =. 【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，需证明线线平行，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，证明//MN AT ；（Ⅱ）利用锥体体积公式，分别求两个锥体底面积和高的比值，表示体积比值.【详解】（Ⅰ）如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN .因为N 为PC 的中点，所以TN //BC ，且122TN BC ==. 又因为223AM AD ==，且//AD BC ， 所以TN //AM ，TN AM =，即四边形AMNT 为平行四边形， 所以MN //AT ，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）设四棱锥P ABCD -的高为h ，AD 与BC 间的距离为d . 则()21117343326ABCD V h S h d hd =⨯⨯=⨯+=梯形， 11114323223BCM h h hd V S d =⨯⨯=⨯⨯⨯=△因此1227V V =. 【点睛】。

2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．123．下列命题中，正确的命题是（ ） A ．存在两条异面直线同时平行于同一个平面B ．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C ．底面是矩形的四棱柱是长方体D ．棱台的侧面都是等腰梯形4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）A ．0B ．9C ．快D ．乐5．如图，O A B '''△是水平放置的OAB △的直观图，则AOB △的面积是（ ）A ．6B ．32C ．62D ．126．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．平行四边形D ．四边形7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点．则图中阴影部分在平面11ADD A 上的正投影为（ ）8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．123B ．363C ．273D ．69．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（ ）A ．AB ∥CDB ．AB ∥平面CDC ．CD ∥GHD ．AB GH ∥10．若圆台两底面周长的比是1:4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（ ） A ．12B ．14 C ．1D ．3912911．如图所示，正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱SA ，SC 作截面SAC ，则截面的面积为（ ）A ．232aB ．2aC ．212aD ．213a12．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知A 、B 、C 、D 四点在同一个球面上，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ， 若AB ＝6，213AC =，AD ＝8，则B 、C 两点间的球面距离是________． 14．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 15．下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的面都是平的； ②棱柱的所有的棱长都相等；③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形； ④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等． 其中正确的有________．(填序号)16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)画出如图所示的四边形OABC 的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)18．(12分)已知四棱锥P ABCD-，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．19．(12分)如图，在正三棱柱111ABC A B C-中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC和NC的长．20．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：（1）该几何体的体积V；（2）该几何体的侧面积S．21．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的13，即113h h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小．22．(12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：（1）AD应取多长？（2）容器的容积．2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D 2．【答案】A【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S ABCD -，其中SA ⊥面ABCD ，SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形．∠DAB ＝90°，∴()()1111224243232V SA AB CD AD =⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯=，故选A ．3．【答案】A【解析】由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A 正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B 不正确；底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以C 不正确； 正棱台的侧面都是等腰梯形，所以D 不正确，故选A ． 4．【答案】B 5．【答案】D【解析】OAB △为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12．故选D ． 6．【答案】D【解析】四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．故选D ． 7．【答案】A 8．【答案】B【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为33，所以正三角形边长为6，所以33643634V =⨯⨯=，故选B ． 9．【答案】C 【解析】原正方体如图，由图可得CD ∥GH ，C 正确．故选C ． 10．【答案】D【解析】设上，下底半径分别为r 1，r 2，过高中点的圆面半径为r 0，由题意得r 2＝4r 1，0152r r =，∴22110022220039129V r r r r V r r r r ++==++上下，故选D ． 11．【答案】C【解析】根据正棱锥的性质，底面ABCD 是正方形，∴2AC a =．在等腰三角形SAC 中，SA ＝SC ＝a ，又2AC a =，∴∠ASC ＝90°，即212SAC S a =△．故选C ．12．【答案】A【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】43π【解析】如图所示，由条件可知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ．由此可知AD 为该球的直径，设AD的中点为O ，则O 为球心，连接OB 、OC ，由AB ＝6，AD ＝8，213AC =，得球的半径OB ＝OC ＝OA ＝OD ＝4，()222221364=-BC AC AB =-=，所以球心角∠BOC ＝60°，所以B 、C 两点间的球面距离为6041803R π=π． 14．【答案】27π【解析】若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d 等于正方体的体对角线的长．∵棱长为3，∴23333332d R =⋅=⇒=．∴S ＝4πR 2＝27π． 15．【答案】①④⑤16．【答案】①与④，②与⑥，③与⑤【解析】将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】见解析． 【解析】直观图如下图所示．（1）画轴：在直观图中画出x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．（2）确定A ′，B ′，C ′三点，在x ′轴上取B ′使O ′B ′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y ′轴的平行线，过(0,2)，()0,1-两点作x ′轴的平行线，得交点A ′，C ′．（3）顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，C ′O ′并擦去辅助线，就得到四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′．18．【答案】163． 【解析】由三视图知底面ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝4． 顶点P 在面ABCD 内的射影为BC 中点E ，即棱锥的高为2， 则体积1116242333P ABCDABCD V S PE -=⨯=⨯⨯⨯=． 19．【答案】（1）97；（2）PC ＝2，45NC =． 【解析】（1）正三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为229497+=． （2）如图所示，将平面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，则P 1C ＝x ．在Rt △MAP 1中， 在勾股定理得()223229x ++=，求得x ＝2．∴PC ＝P 1C ＝2． ∵1125PC NC MA P A==，∴45NC =． 20．【答案】（1）64V =；（2）40242S =+侧． 【解析】（1）由已知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，如图所示． 由已知，AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4，由俯视图知底面ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM 、PN ，则PM ⊥AB ，PN ⊥BC ．∴2222435PM PO OM =++，22224442PN PO ON =+=+()118646433V Sh ==⨯⨯⨯=．（2）22856240242PAB PBC S S S AB PM BC PN =+=⋅+⋅=⨯+⨯=+△△侧．21．【答案】3219 h h=．【解析】当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：222112219333381V r h r h r h⎛⎫=π-π⋅=π⎪⎝⎭．当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，则221'3V r h=π⋅⋅．又2'h rrh=，此时223222222133h r h rV hh hπ=π⋅⋅=，∴3222219813h rr hhπ=π，∴3219h h=，即所求2h的值为319h．22．【答案】（1）36cmAD=；（2）()350435cmV=π【解析】（1）设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则72OD x=-，由题意得60272180723Rx R⋅π⎧π=⨯⎪⎨⎪-=⎩，∴1236Rx=⎧⎨=⎩．即AD应取36cm．（2）∵23633r ODπππ=⋅=⋅，∴6cmr=，圆台的高()22h x R r=--()2236126635=--∴()()()22223 1163512126650435cm 33V h R Rr r=π++=π⋅+⨯+=π．。

单元形成性评价(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )A．点P一定在直线BD上B．点P一定在直线AC上C．点P一定在直线AC或BD上D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】选B.如图，因为P∈HG，HG⊂平面ACD，所以P∈平面ACD.同理，P∈平面BAC.因为平面BAC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.2．给定下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，说法正确的是( )A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④【解析】选D.当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】选B.根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )A ．15750B ．258C ．237D ．227【解析】选D.设圆锥的底面半径为r ， 则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13 πr 2h ＝L 2h12π.令L 2h 12π ＝7264L 2h ， 得π＝227.5．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14B．5－12C．5＋14D．5＋12【解析】选C.如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝PE2－OE2＝b2－a42，由题意PO2＝12ab，即b2－a24＝12ab，化简得4⎝⎛⎭⎪⎫ba2－2·ba－1＝0，解得ba＝1＋54(负值舍去).6．E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是( )A.0 B．1C．2 D．3【解析】选C.在△ACD中，因为G，F分别为AD与CD的中点，所以GF∥AC.而GF⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，所以AC∥平面EFG.同理，BD∥平面EFG.7．已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是( )A.垂直B．平行C．相交但不垂直D．要依P点的位置而定【解析】选B.连接B1N，MN，CN.因为在直三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B1，AB的中点，所以MN B1B，又B1B C1C，所以四边形MC1CN为平行四边形，所以C1M∥NC.因为C1M⊄平面NCB1内，NC⊂平面NCB1，所以C1M∥平面NCB1.同理可得AM∥平面NCB1.又因为C1M∩AM＝M，AM⊂平面C1AM，C1M⊂平面C1AM，所以平面C1AM∥平面NCB1.又因为P点在线段B1C上，所以NP∥平面C1AM.8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15【解析】选D.由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15.9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【解析】选D.因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m.故A一定成立；因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m.故B一定成立；因为A∈α，AB∥l，l⊂α，所以B∈α.所以AB⊄β，l⊂β，所以AB∥β.故C一定成立；因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．10．E，F，G分别为正方体ABCD­A1B1C1D1中平面A1B1C1D1，平面B1BCC1，平面CC1D1D的对角线交点，则AE与FG所成的角为( )A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】选A.如图，易得FG∥BD，B1D1∥BD，AE⊥B1D1.所以选A.11．(2021·全国甲卷)已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O­ABC的体积为( )A．212B．312C．24D．34【解析】选A.因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以AB ＝ 2 ，所以OO ′＝OA 2－AO ′2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝22 .所以V O －ABC ＝13 ·S △ABC ·OO ′＝13 ·12 ·1·1·22 ＝212.12．已知二面角α­l ­β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为 3 ，Q 到α的距离为2 3 ，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A ． 3B ．2C ．2 3D ．4【解析】选C.如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝2 3 ，BP ＝ 3 ，所以AC ＝PD ＝2.又因为PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥2 3 ，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．二、填空题(每小题5分，共20分)13．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.【解析】设圆台较小的底面半径为r ，那么较大的底面半径为3r ，由已知得π(r ＋3r)×3＋πr 2＋9πr 2＝574π，解得r ＝7. 答案：714．如图所示，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况).【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得12l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝12l＝2，AO＝32l＝2 3 .故该圆锥的体积V＝13π×AO2×SO＝13π×(2 3 )2×2＝8π.答案：8π16．已知四面体P­ABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2 5 ，PB⊥平面PAC，则四面体P­ABC 外接球的体积为________．【解析】因为PA＝4，PC＝2，AC＝2 5 ，所以在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC，又因为PB⊥平面PAC，PA，PC⊂平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC.以PA，PB，PC为长、宽、高，作长方体如图所示，则该长方体的外接球就是四面体P­ABC的外接球．因为长方体的体对角线长为42＋42＋22＝6，所以长方体外接球的直径2R＝6，则R＝3，因此，四面体P­ABC的外接球体积为V＝4π3R3＝36π.答案：36π三、解答题(共70分)17．(10分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥D­AEC的体积．【解析】(1)因为AD⊥平面ABE，且AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.因为AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ACE，所以BF⊥AE，又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，又因为BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.(2)在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H. 因为AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ABE，又因为平面ABCD∩平面ABE＝AB，EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD.由已知及(1)得EH＝12AB＝ 2 ，S△ADC＝2 2 .故VD­AEC ＝VE­ADC＝13×2 2 × 2 ＝43.18．(12分)如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12 AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：BC∥平面PAD；(2)若△PCD面积为27 ，求四棱锥P­ABCD的体积．【解析】(1)因为底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝12AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形，所以PM⊥AD，又因为侧面PAD垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝ 2 x，PM＝ 3 x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝142x.因为△PCD的面积为27 ，所以12× 2 x×142x＝27 ，解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3 .所以四棱锥P­ABCD的体积V＝13×2（2＋4）2×2 3 ＝4 3 .19．(12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝2 3 ，求EF与平面ABC所成的角．【解析】(1)如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.因为E是A1C1的中点，所以DE12B1C1.又因为BC B1C1，BF＝12BC，所以DE BF.所以四边形BDEF为平行四边形．所以BD∥EF.又因为BD⊂平面AA1B1 B，EF⊄平面AA1B1 B，所以EF∥平面AA1B1B.(2)如图，取AC的中点H，连接HF，EH. 因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．在Rt△EHF中，FH＝ 3 ，EH＝AA1＝3，所以tan ∠EFH＝EHFH＝ 3 ，所以∠EFH＝60°.故EF与平面ABC所成的角为60°.20．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC 于点M.求证：(1)EN ∥平面PDC ； (2)BC ⊥平面PEB ； (3)平面PBC ⊥平面ADMN.【证明】(1)因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC. 又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN.又因为AD ∥BC ，所以MN ∥BC. 又因为N 为PB 的中点， 所以M 为PC 的中点，所以MN ＝12 BC.因为E 为AD 的中点，所以DE ＝12 AD ＝12BC ＝MN ，所以DE MN ，所以四边形DENM 为平行四边形，所以EN ∥DM.又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，所以EN∥平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，所以BE⊥AD.又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PEB.因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥PB.又因为PA＝AB，且N为PB的中点，所以AN⊥PB.因为AD∩AN＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ADMN.21．(12分)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2 3 ，∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解析】(1)由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2) 如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，DM＝AD2＋AM2＝13 .因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC.在Rt△DAN中，DN＝AD2＋AN2＝13 .在等腰△DMN中，MN＝1，可得cos ∠DMN＝12MNDM＝1326.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM＝ 3 . 又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD.所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝4.在Rt△CMD中，sin ∠CDM＝CMCD＝34.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34 .22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．【解析】(1)设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB. 在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF，DE⊂平面DEF，PB，GB⊂平面PBG，EF∩DE＝E，PB∩BG＝B，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.。

人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。

解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。

北师大版高中数学必修第二册第一章测试题及答案(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A.3B.6C.18D.362.若-π2<α<0,则点P(tan α,cos α)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知sinα+π6=45,则cosα-π3的值为()A.35B.45C.-45D.-354.若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则θ2的终边在()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上5.函数y=√sinx√|x|-x √log12(x+4)的定义域为()A.(-4,-π]B.[-π,-3]C.[-3,0]D.[0,+∞)6.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π,π]的图象大致为()7.把函数f(x)=sin2x+π3图象向左平移π4个单位后所得图象与y轴距离最近的对称轴方程为()A.x=π3B.x=-π6C.x=-π24D.x=11π248.已知函数f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数()A.f(x-a)一定为奇函数B.f(x-a)一定为偶函数C.f(x+a)一定为奇函数D.f(x+a)一定为偶函数二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos π.其中符号为负的是()A.①B.②C.③D.④10.设函数f(x)=A sin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=2π3对称,它的周期是π,则()A.f(x)的图象过点0,12B.f(x)在区间5π12,2π3上是单调递减C.f(x)的一个对称中心是5π12,0 D.f(x)的最大值可能是-A11.将函数f(x)=√3cos2x+π3-1的图象向左平移π3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.最大值为√3,图象关于直线x=π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为π D.图象关于点π4,0对称12.已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象,则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的图象关于直线x=π2对称B.函数f (x )的图象关于点-π12,0对称C.函数f (x )在区间-π3,π6上单调递增 D.函数y=1与y=f (x )-π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.sin (-23π6)+cos 13π7·tan 4π-cos 13π3= .14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是 弧度,扇形面积是 . 15.函数y=sin (x +π6),x ∈[0,π2]的值域是 .16.已知函数f (x )=12sin 2x,给出下列五个说法:①f (1 921π12)=14;②若f (x 1)=-f (x 2),则x 1=-x 2; ③f (x )在区间[-π6,π3]上单调递增;④将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位可得到函数y=12cos 2x 的图象;⑤函数f(x)的图象关于点(-π4,0)成中心对称.其中说法正确的是(填序号).四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在“①y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8,②f(0)=-√22,③y=f(x)的图象关于点7π8,0成中心对称”这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作出详细解答.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),,求函数y=f(x)的单调递增区间.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)(1)化简:sin(2π-α)tan(α+π)tan(-α)cos(π-α)tan(3π-α);(2)计算:cos25π6+cos25π3+tan-25π4+sin5π6.19.(12分)已知函数f(x)=3tan(2x-π3).(1)求f(x)的定义域;(2)比较f(π2)与f(-π8)的大小.20.(12分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.(1)试确定f(x)的解析式;(2)若f(α2π)=12,求cos2π3+α2的值.21.(12分)已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+a+1(其中a为常数).(1)求f(x)的单调区间.(2)若x∈[0,π2]时,f(x)的最大值为4,求a的值.(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合.22.(12分)已知点A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))是函数f (x )=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<0图象上的任意两点,角φ的终边经过点P (1,-√3),且当|f (x 1)-f (x 2)|=4时,|x 1-x 2|的最小值为π3. (1)求函数f (x )的解析式; (2)求函数f (x )的单调递增区间;(3)当x ∈0,π6时,不等式mf (x )+2m ≥f (x )恒成立,求实数m 的取值范围.第一章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )A.3B.6C.18D.36α,圆心角所对的弧长为l ,半径为r.因为l=|α|r ,所以6=1×r. 所以r=6.所以S=12lr=12×6×6=18.2.若-π2<α<0,则点P (tan α,cos α)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限-π2<α<0,所以tan α<0,cos α>0,所以点P (tan α,cos α)位于第二象限.3.已知sin α+π6=45,则cos α-π3的值为( )A.35 B.45 C.-45 D.-35解析cos α-π3=cos α+π6−π2=sin α+π6=45.故选B .4.若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则θ2的终边在( ) A .第一、三象限 B .第二、四象限C .第一、三象限或在x 轴的非负半轴上D .第二、四象限或在x 轴的非负半轴上,cos θ≥0,tan θ≤0,所以θ的终边在x 轴的非负半轴上或在第四象限,故θ2的终边在第二、四象限或在x 轴的非负半轴上.5.函数y=√sinx√|x |-x√log 12(x +4)的定义域为( )A .(-4,-π]B .[-π,-3]C .[-3,0]D .[0,+∞),需满足{sinx ≥0,|x |-x >0,0<x +4≤1,即{2kπ≤x ≤2kπ+π,k ∈Z ,x <0,-4<x ≤-3,解得-4<x ≤-π.6.函数f (x )=sinx+xcosx+x 2在[-π,π]的图象大致为( )f (-x )=-f (x )及区间[-π,π]关于原点对称,得f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,排除A .又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除B,C .故选D .7.把函数f (x )=sin 2x+π3图象向左平移π4个单位后所得图象与y 轴距离最近的对称轴方程为( ) A.x=π3 B.x=-π6 C.x=-π24D.x=11π24解析把函数f (x )=sin 2x+π3图象向左平移π4个单位后所得图象对应的解析式为y=sin 2x+π4+π3=cos 2x+π3,由2x+π3=k π(k ∈Z ),得对称轴方程为x=-π6+kπ2(k ∈Z ).当k=0时,可得对称轴为x=-π6,此时对称轴离y 轴距最近.故选B . 答案B8.已知函数f (x )=sin(2x+φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立,则函数( ) A.f (x-a )一定为奇函数 B.f (x-a )一定为偶函数 C.f (x+a )一定为奇函数 D.f (x+a )一定为偶函数解析由题意得f (a )=sin(2a+φ)=1,则2a+φ=2k π+π2,k ∈Z ,所以f (x+a )=sin(2x+2a+φ)=sin 2x+2k π+π2=cos 2x ,此时函数为偶函数. 答案D二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos π.其中符号为负的是( ) A.①B.②C.③D.④解析因为-100°角是第三象限角,所以sin(-100°)<0;因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-72π,-3π,所以-10角是第二象限角,所以tan(-10)<0;cos π=-1<0.故选ABCD . 答案ABCD10.设函数f(x)=A sin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=2π3对称,它的周期是π,则()A.f(x)的图象过点0,12B.f(x)在区间5π12,2π3上是单调递减C.f(x)的一个对称中心是5π12,0D.f(x)的最大值可能是-AT=π,所以2πω=π,所以ω=2.又因为f(x)的图象关于直线x=2π3对称,所以2×2π3+φ=π2+kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π6.所以f(x)=A sin2x+π6.所以f(x)图象过点0,A2.又当x=5π12时,2x+π6=π,即f5π12=0,所以5π12,0是f(x)的一个对称中心.又因为A的值不能确定,所以A,B不一定正确.当A<0时,f(x)的最大值是-A.故D正确.11.将函数f(x)=√3cos2x+π3-1的图象向左平移π3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.最大值为√3,图象关于直线x=π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为πD.图象关于点π4,0对称解析将函数f (x )=√3cos 2x+π3-1的图象向左平移π3个单位长度,得到y=√3cos 2x+π3+π3-1=√3cos(2x+π)-1=-√3cos 2x-1的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数g (x )=-√3cos 2x 的图象.对于函数g (x ),它的最大值为√3,由于当x=π12时,g (x )=-32,不是最值,故g (x )的图象不关于直线x=π12对称,故A 错误;由于该函数为偶函数,故它的图象关于y 轴对称,故B 正确;它的最小正周期为2π2=π,故C 正确;当x=π4时,g (x )=0,故函数g (x )的图象关于点π4,0对称,故D 正确.答案BCD12.已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象,则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的图象关于直线x=π2对称B.函数f (x )的图象关于点-π12,0对称C.函数f (x )在区间-π3,π6上单调递增D.函数y=1与y=f (x )-π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3解析由函数f (x )=A sin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,T 4=2π3−5π12=π4,因此T=π,所以ω=2ππ=2,所以f (x )=2sin(2x+φ),又因为图象过点2π3,-2,所以f 2π3=2sin 4π3+φ=-2,即sin 4π3+φ=-1,因此4π3+φ=3π2+2k π,k ∈Z ,又0<|φ|<π,所以φ=π6,所以f (x )=2sin 2x+π6.当x=π2时,f π2=-1,故A错;当x=-π12时,f -π12=0,故B 正确;当x ∈-π3,π6,2x+π6∈-π2,π2,所以f (x )=2sin 2x+π6在x ∈-π3,π6上单调递增,故C 正确;当-π12≤x ≤23π12时,2x+π6∈[0,4π],所以y=1与函数y=f (x )有4个交点的横坐标为x 1,x 2,x 3,x 4,x 1+x 2+x 3+x 4=π6×2+7π6×2=8π3,故D 正确. 答案BCD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.sin (-23π6)+cos 13π7·tan 4π-cos 13π3= .解析原式=-sin (4π-π6)+cos 13π7·0-cos 4π+π3=-sin (-π6)-cos π3=sin π6-cos π3=12−12=0.答案014.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是 弧度,扇形面积是 .θ,则有θ=128=32弧度;扇形面积S=12×12×8=48.4815.函数y=sin (x +π6),x ∈[0,π2]的值域是 .x ∈[0,π2],所以π6≤x+π6≤2π3,所以12≤sin (x +π6)≤1,即原函数的值域为[12,1].[12,1]16.已知函数f (x )=12sin 2x,给出下列五个说法:①f(1921π12)=14;②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;③f(x)在区间[-π6,π3]上单调递增;④将函数f(x)的图象向右平移3π4个单位可得到函数y=12cos 2x的图象;⑤函数f(x)的图象关于点(-π4,0)成中心对称.其中说法正确的是(填序号).正确,由已知得函数f(x)周期为π,f(1921π12)=f(π12)=12sinπ6=14;②错误,由f(x1)=-f(x2)=f(-x2),知x1=-x2+kπ或x1=π2+x2+kπ(k∈Z);③错误,令-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z),函数f(x)在每一个闭区间-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z)上都单调递增,但[-π6,π3]不包含于[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z),故函数f(x)在区间[-π6,π3]上不是单调函数;④正确,将函数f(x)的图象向右平移3π4个单位可得到函数y=12sin 2(x-3π4)=12sin(2x-3π2)=12cos2x的图象;⑤错误,函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x0=kπ,解得x0=kπ2,即对称中心的坐标为(kπ2,0)(k∈Z),故点(-π4,0)不是其对称中心.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在“①y=f (x )图象的一条对称轴是直线x=π8,②f (0)=-√22,③y=f (x )的图象关于点7π8,0成中心对称”这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作出详细解答.设函数f (x )=sin(2x+φ)(-π<φ<0), ,求函数y=f (x )的单调递增区间. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解选择①:因为x=π8是函数y=f (x )的图象的对称轴,所以sin 2×π8+φ=±1.所以π4+φ=k π+π2,k ∈Z . 因为-π<φ<0,所以φ=-3π4.因此y=sin 2x-3π4.由题意得2k π-π2≤2x-3π4≤2k π+π2,k ∈Z .所以k π+π8≤x ≤k π+5π8,k ∈Z .所以函数y=sin 2x-3π4的单调递增区间为k π+π8,k π+5π8,k ∈Z . 选择②:因为f (0)=-√22,所以sin φ=-√22,又因为-π<φ<0,所以φ=-3π4.因此y=sin 2x-3π4.由题意得2k π-π2≤2x-3π4≤2k π+π2,k ∈Z .所以k π+π8≤x ≤k π+5π8,k ∈Z .所以函数y=sin 2x-3π4的单调递增区间为k π+π8,k π+5π8,k ∈Z .选择③:因为y=f(x)的图象关于点7π8,0成中心对称,所以2×7π8+φ=kπ,k∈Z,φ=kπ-74π,又因为-π<φ<0,所以φ=-3π4.因此y=sin2x-3π4.由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2,k∈Z.所以kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z.所以函数y=sin2x-3π4的单调递增区间为kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z.18.(12分)(1)化简:sin(2π-α)tan(α+π)tan(-α)cos(π-α)tan(3π-α);(2)计算:cos25π6+cos25π3+tan-25π4+sin5π6.原式=sin(-α)tanαtan(-α)-cosα(-tanα)=-sinαtanα(-tanα)cosαtanα=tan αtan α=tan2α.(2)cos25π6+cos25π3+tan-25π4+sin5π6=cos4π+π6+cos8π+π3+tan-6π-π4+sinπ-π6=cosπ6+cosπ3+tan-π4+sinπ6=√3 2+12-1+12=√32.19.(12分)已知函数f(x)=3tan(2x-π3).(2)比较f (π2)与f (-π8)的大小.解(1)由已知得2x-π3≠k π+π2(k ∈Z ),x ≠12k π+5π12(k ∈Z ),所以函数f (x )的定义域为x |x ≠12k π+5π12,k ∈Z . (2)因为f (π2)=3tan (π-π3)=-3tan π3<0,f (-π8)=3tan (-π4-π3)=3tan (-7π12)=3tan (π-7π12)=3tan 5π12>0.所以f (π2)<f (-π8).20.(12分)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)x ∈R ,A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示. (1)试确定f (x )的解析式;(2)若f (α2π)=12,求cos 2π3+α2的值.由题图可知A=2,T4=56−13=12,则T=2,ω=2πT =π.将点P (13,2)代入y=2sin(πx+φ),得sin (π3+φ)=1, 又|φ|<π2,所以φ=π6.故f (x )的解析式为f (x )=2sin (πx +π6)(x ∈R ).(2)由(1)和f (α2π)=12,得2sin (α2+π6)=12,即sin (α2+π6)=14.所以cos (2π3+α2)=cos (π2+π6+α2)=-sin (π6+α2)=-14.21.(12分)已知函数f (x )=2sin (2x +π6)+a+1(其中a 为常数).(2)若x ∈[0,π2]时,f (x )的最大值为4,求a 的值. (3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合.由-π2+2k π≤2x+π6≤π2+2k π(k ∈Z ),解得-π3+k π≤x ≤π6+k π(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递增区间为-π3+k π,π6+k π(k ∈Z ). 由π2+2k π≤2x+π6≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得π6+k π≤x ≤2π3+k π(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递减区间为π6+k π,2π3+k π(k ∈Z ).(2)因为0≤x ≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6, 所以-12≤sin (2x +π6)≤1,所以f (x )的最大值为2+a+1=4,所以a=1. (3)当f (x )取最大值时,2x+π6=π2+2k π,k ∈Z , 所以2x=π3+2k π,k ∈Z , 所以x=π6+k π,k ∈Z .所以当f (x )取最大值时,x 的取值集合是x x=π6+k π,k ∈Z .22.(12分)已知点A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))是函数f (x )=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<0图象上的任意两点,角φ的终边经过点P (1,-√3),且当|f (x 1)-f (x 2)|=4时,|x 1-x 2|的最小值为π3. (1)求函数f (x )的解析式; (2)求函数f (x )的单调递增区间;(3)当x ∈0,π6时,不等式mf (x )+2m ≥f (x )恒成立,求实数m 的取值范围.因为角φ的终边经过点P (1,-√3),所以tan φ=-√3, 因为-π2<φ<0,所以φ=-π3.由当|f (x 1)-f (x 2)|=4时,|x 1-x 2|的最小值为π3,得T=2π3,即2πω=2π3,所以ω=3.所以f (x )=2sin 3x-π3.(2)由-π2+2k π≤3x-π3≤π2+2k π,k ∈Z , 得-π18+2kπ3≤x ≤5π18+2kπ3,k ∈Z ,故函数f (x )的单调递增区间为-π18+2kπ3,5π18+2kπ3(k ∈Z ).(3)当x ∈0,π6时,-√3≤f (x )≤1,于是2+f (x )>0,则mf (x )+2m ≥f (x )等价于m ≥f (x )2+f (x )=1-22+f (x ).由-√3≤f (x )≤1,得f (x )2+f (x )的最大值为13. 故实数m 的取值范围是13,+∞.。

高中数学必修 2 第一章检测试卷2008.11.26一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1.下列命题中正确的是 ( )A 有两个面平行 , 其余各面都是平行四边行的多面体叫做棱柱B 用一个面去截棱锥 , 底面与截面之间的部分叫棱台C 有一个面是多边形 , 其余各面都是三角形的多面体叫棱锥D 以圆的直径为轴 , 将圆面旋转 180 度形成的旋转体叫球2.下列几何体各自的三视图中 , 有且仅有两个视图相同的是 ( )①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．①③C．①③D．②④3.对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）．倍B．2倍C．2倍D．1倍A 24224.已知棱台的体积是 76cm3，高是6cm，一个底面面积是18cm2，则这个棱台的另一个底面面积为（）A．8cm2B．6cm2C．7cm2D．5cm25.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3 ，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A． 25B． 50C．125D．以上都不对6.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是（）A． V C． V正方体正方体VV圆柱圆柱VV球球B．VD． V正方体V圆柱V圆柱V正方体V球球二、填空题（每小题 6 分，共 24 分）7.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 ________.8.一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ________.9.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高 9 厘米，则此球的半径为 _________厘米 .B 110.如图 , 在三棱柱中 , 若 E、F 分别是AB、AC的中点，平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1、 V2的两部C1 A 1分, 那么V1：V2为______ .V1V 2BEC AF三、解答题（每小题20 分，共 40 分）1．已知一个几何体的三视图如下,大至画出它的直观图,并求出它的表面积和体积。

第一章 单元检测卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各角中，与26°角终边相同的角为( )A ．206°B ．－334°C .116°D ．－154°2．设a ＝sin 5π7 ，b ＝cos 2π7 ，c ＝tan 2π7，则( )A .a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC .b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c3．定义运算a ⊗b ＝{a ，a≤b，b ，a ＞b ， 例如，1⊗2＝1，则函数f(x)＝sin x ⊗cos x 的值域为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－224．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π＜α＜7π2，则cos α＋sin α＝( ) A . 3 B ． 2 C .－ 2 D ．－ 35．电流强度I(A )随时间t(s )变化的函数I ＝ A sin (ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是( ) A .－5 A B ．5 AC .5 3 AD ．10 A6．如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB ＝( )A .3sin 1B ．3sin 2C .3sin 1°D ．3sin 2°7．已知ω∈R ，函数f (x )＝(x －6)2·sin ωx ，存在常数a ∈R ，使得f (x ＋a )为偶函数，则ω的值可能为( )A.π2 B ．π3 C ．π4 D ．π58．设函数f (x )＝3 sin πx m，若存在x 0满足|f (x 0)|＝3 且x 20 ＋[f (x 0)]2＜m 2，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－6)∪(6，＋∞)B.(－∞，－4)∪(4，＋∞)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列函数中，以π2 为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递减的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |C.f (x )＝|tan 2x | D ．f (x )＝sin |x |10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 ，下列说法正确的是( )A.函数f (x )图象可由函数g (x )＝2cos (π3 x ＋π6 )的图象向右平移π3 个单位得到B.函数f (x )图象可由函数g (x )＝cos (π3 x －π6 )的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到C.函数f (x )图象可由函数g (x )＝2cos (πx －π6 )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到D.函数f (x )图象的对称轴为x ＝－1＋3k ，k ∈Z 11．下列四个结论正确的有( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4 ＞cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4 C.tan 5π9 ＞tan 17π18D.tan π5 ＞sin π512．函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.f (x )的最小正周期为2B.f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12C.f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34 ，k ∈Z 上是减函数 D.f (x )的最大值为A三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________． 14．使得lg (cos α·sin α)有意义的角α是第________象限角． 15．声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．(1)若甲声波的数学模型为f 1(t )＝sin 100πt ，乙声波的数学模型为f 2(t )＝cos (100πt ＋φ)(φ>0)，甲、乙声波合成后的数学模型为f (t )＝f 1(t )＋f 2(t ).要使f (t )＝0恒成立，则φ的最小值为________．(2)技术人员获取某种声波，其数学模型记为H (t )，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f (t )和g (t )，满足H (t )＝f (t )＋g (t ).已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．①y ＝sin π2t; ②y ＝sin πt ；③y ＝cos 3πt; ④y ＝2cos 3πt .则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是________．(填写序号)16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧π2＋a |x |，x ≤－π2或x ≥π2，tan x ，－π2<x <π2， 若函数y ＝f [f (x )]－3π2有5个零点，则实数a 的取值范围是________． 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)化简：sin （π＋α）·cos （π－α）·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α ；(2)求值：tan 7π4－tan2π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 .18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin (12 x －π4)，x ∈R .(1)列表并画出函数f (x )在一个周期内的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到函数f (x )的图象？19．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 )的部分图象如图所示．(1)求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相；(2)求函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12 上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x 值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋π6 )(A ＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数f (x )的最大值为2；②函数f (x )的图象可由y ＝2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 的图象平移得到；③函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2 . (1)请写出这两个条件序号，并求出f (x )的解析式；(2)求方程f (x )＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．21．(本小题满分12分)如图是半径为1 m 的水车截面图，在它的边缘圆周上有一动点P ，按逆时针方向以角速度π3 rad/s(每秒绕圆心转动π3 rad)做圆周运动，已知点P 的初始位置为P 0，且∠xOP 0＝π6，设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位：s)的函数，记为y ＝f (t ).(1)写出函数y ＝f (t )的解析式，并求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 的值； (2)选用恰当的方法作出函数f (t )，0≤t ≤6的简图；(3)试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫314 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫315 的大小(直接给出大小关系，不用说明理由).22．(本小题满分12分)用“五点法”画函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象时，列表如下：(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋π6 (a ＞0)，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6 上是增函数，求实数a 的最大值．第一章 单元检测卷1．答案：B解析：与26°角终边相同的角为θ＝360°·k ＋26°，k ∈Z ， 对选项A ：取θ＝360°·k ＋26°＝206°，不是整数解，排除； 对选项B ：取θ＝360°·k ＋26°＝－334°，k ＝－1，正确； 对选项C ：取θ＝360°·k ＋26°＝116°，不是整数解，排除；对选项D ：取θ＝360°·k ＋26°＝－154°，不是整数解，排除．故选B. 2．答案：D解析：a ＝sin 5π7 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－5π7 ＝sin 2π7 .因为π4 <2π7 <π2 ，所以cos 2π7 <sin 2π7 <1<tan 2π7 ，所以b <a <c .故选D.3．答案：C 解析：根据题设中的新定义得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ， 作出函数f (x )在一个周期内的图象(实线部分)，观察图象，可知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 .故选C.4．答案：C解析：因为tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，所以tan α＋1tan α ＝k ，tan α·1tan α ＝k 2－3＝1.又3π<α<7π2 ，所以k >0，所以k ＝2，所以tan α＝1，所以α＝3π＋π4 ，所以cos α＝－22 ，sin α＝－22，所以cos α＋sinα＝－2 .故选C.5．答案：A解析：由题图知A ＝10，T 2 ＝4300 －1300 ＝1100 ，所以T ＝150 ，所以ω＝2πT＝100π，所以I ＝10sin (100πt ＋φ).又⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10 在图象上，所以100π×1300 ＋φ＝π2 ＋2k π，k ∈Z .又0<φ<π2 ，所以φ＝π6 ，所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6 .当t ＝1100 s 时，I ＝－5 A ．故选A.6．答案：A解析：设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝6，l ＝6－2r ，由⎩⎪⎨⎪⎧r >0，l ＝6－2r >0， 可得0<r <3， 所以，扇形的面积为S ＝12 lr ＝(3－r )r ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－r ＋r 2 2 ＝94 ，当且仅当3－r ＝r ，即r ＝32时，扇形的面积S 最大，此时l ＝6－2r ＝3.因为l ＝αr ，则扇形的圆心角α＝l r ＝332＝2，取线段AB 的中点E ，由垂径定理可知OE ⊥AB ，因为OA ＝OB ，则∠AOE ＝12 ∠AOB ＝12×2＝1，所以AB ＝2AE ＝2OA sin 1＝3sin 1.故选A. 7．答案：C解析：解法一：依次代入选项的值，检验f (x ＋a )的奇偶性．故选C.解法二：f (x ＋a )＝(x ＋a －6)2·sin [ω(x ＋a )]，若f (x ＋a )为偶函数，则a ＝6且sin[ω(x ＋6)]也为偶函数(偶函数×偶函数＝偶函数)，所以6ω＝π2＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝π4.故选C.8．答案：C解析：x 20 ＋[f (x 0)]2＜m 2的几何意义是点(x 0，f (x 0))到原点的距离小于|m |.记函数f (x )的最小正周期为T ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4 2 ＋3＜m 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2|m |4 2 ＋3＜m 2，所以m 2＞4，所以m ＜－2或m ＞2.故选C.9．答案：BC解析：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ，由于f (x )＝cos 2x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 时单调递减，且cos 2x ＜0，故f (x )＝|cos 2x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递增．故A 不符合题意．而f (x )＝|sin 2x |以π2 为周期，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递减；f (x )＝|tan 2x |的周期为π2 且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递减，故B ，C 符合题意；f (x )＝sin |x |不是周期函数．故选BC. 10．答案：BC解析：对于A ，函数g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6 的图象向右平移π3 个单位得到函数y ＝2cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π29＋π6 的图象，A 错误；对于B ，函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 的图象，B 正确；对于C ，函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π6 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 的图象，C 正确；对于D ，由π3 x －π6 ＝k π，k ∈Z ，得x ＝12＋3k ，k ∈Z ，即函数f (x )图象的对称轴为x ＝12＋3k ，k ∈Z ，D 错误．故选BC. 11．答案：AD解析：函数y ＝sin x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 上的增函数，0＞－π18 ＞－π10 >－π2 ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 ，A 正确；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π4 ＝cos π4 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π4 ＝cos π4 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4 ，B 不正确；函数y ＝tan x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 上的增函数，π2 ＜5π9 ＜17π18 ＜π，所以tan 5π9 ＜tan 17π18 ，C 不正确；易知在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 上，tan x ＞x ＞sin x ，所以tan π5 ＞sin π5 ，D 正确．故选AD.12．答案：AC解析：由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14 ＝2，故A 正确；因为函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0 ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54 ＋kT 2 ＝34 ＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12 不是函数f (x )图象的对称轴，故B 不正确；由题图可知，当14 －T 4 ＋kT ≤x ≤14 ＋T 4 ＋kT (k ∈Z )，即2k －14 ≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故C 正确；若A ＞0，则最大值是A ，若A ＜0，则最大值是－A ，故D 不正确．故选AC.13．答案：31313解析：如图，点P (2m ，－3m )(m <0)在第二象限，且r ＝－13 m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m －13m＝31313 .14．答案：一或三解析：要使原式有意义，必须满足cos α·sin α＞0，即需cos α与sin α同号，所以α是第一或第三象限角．15．答案：(1)π2(2)②④解析：要使f (t )＝f 1(t )＋f 2(t )＝sin 100πt ＋cos (100πt ＋φ)＝0恒成立， 即(1－sin φ)sin 100πt ＋cos φcos 100πt ＝0对t ∈R 恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧1－sin φ＝0cos φ＝0 ⇒φ＝π2 ＋2k π，又φ>0⇒φmin ＝π2 ；根据周期的计算公式，对于①②③④四个函数其周期分别为：4，2，23 ，23，由图象可知H (t )的最小正周期为2，故排除①，若③④组合，其周期为23不符合题意，故为②④组合．16．答案：(0，1]解析：设t ＝f (x )，则由y ＝f [f (x )]－3π2 ＝0得f (t )＝3π2，若a ≤0，作出函数f (x )的图象如图，当x ≥π2 或x ≤－π2 时，f (x )＝π2 ＋a |x |≤π2 ，此时f (t )＝3π2 ，无解；当－π2 <x <π2 时，由f (t )＝3π2 ，得t 只有一个解且0<t <π2，此时t ＝f (x )，最多有3个零点，不满足条件，故a ≤0，不成立；当a >0时，作出函数f (x )的图象如图，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π2－ax ，x ≤－π2，π2＋ax ，x ≥π2，tan x ，－π2<x <π2， 则f (x )＝π2 ＋a |x |>π2，由f (t )＝3π2 ，得方程有3个不同的根，t 1<t 2<t 3，其中t 1<－π2 ，0<t 2<π2 ，t 3>π2 ，当0<t 2<π2 时，f (x )＝tan x ＝t 2，只有一个根，当t 1<－π2时，f (x )＝tan x ＝t 1，只有一个根，要使函数y ＝f [f (x )]－3π2 有5个零点，则必有f (x )＝t 3>π2，有3个零点，由π2 ＋ax ＝3π2 ，得x ＝πa ，即t 3＝πa ，此时只要π2 ＋π2 a ≤πa 即可， 得a 2＋a －2≤0，即(a ＋2)(a －1)≤0，得0<a ≤1， 则实数a 的取值范围是(0，1].17．解析：(1)原式＝－sin α·（－cos α）·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－1tan α·sin α＝sin αcos α·1tan α－1tan α·sin α ＝－cos α. (2)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π31＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3tan π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋tan π31＋tan π3·tan π4＝－1＋31＋3 ＝2－3 .18．解析：(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 列表如下：12 x －π4 0 π2 π 3π22π x π2 3π2 5π2 7π2 9π23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4 0 3 0 －3 0 描出五个关键点并用光滑的曲线连接，得到一个周期内的简图如下．(2)先把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，然后把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到函数f (x )的图象．19．解析：(1)由题图知，函数的最大值为2，最小值为－2，∴A ＝2.又∵T 4 ＝π6 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12 ，∴T ＝π，即2πω ＝π，∴ω＝2. ∴函数的解析式为y ＝2sin (2x ＋φ).∵函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2 ，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ ＝1.又∵0＜φ＜π2 ，∴φ＝π6 . 故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ，其振幅是2，初相是π6 . (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12 ，∴2x ＋π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0 .于是，当2x ＋π6 ＝0，即x ＝－π12 时，函数取得最大值，y max ＝0； 当2x ＋π6 ＝－π2 ，即x ＝－π3时，函数取得最小值，y min ＝－2. 20．解析：(1)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 满足的条件为①③. 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 满足的条件之一， 由③可知，T ＝π，所以ω＝2，故②不合题意．所以函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 满足的条件为①③. 由①可知A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (2)因为f (x )＋1＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝－12 ， 所以2x ＋π6 ＝－π6 ＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6 ＝7π6＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝－π6 ＋k π，k ∈Z 或x ＝π2＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－π，π]，所以x 的取值为－π6 ，5π6 ，－π2 ，π2，所以方程f (x )＋1＝0 在区间[－π，π]上所有解的和为－π6 ＋5π6 －π2 ＋π2 ＝2π3. 21．解析：(1)由题意知函数y ＝f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6 ，t ≥0，所以f (0)＝sin π6 ＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×π3＋π6＝cos π6 ＝32. (2)根据题意列表：t0 1 52 4 112 6 π3 t ＋π6 π6 π2 π 3π2 2π 13π6y 121 0 －1 0 12 描点、连线，作出函数f (t )，0≤t ≤6的简图，如图所示．(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫314 ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫315 . 22．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋φ＝0，2π3ω＋φ＝π， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π3， 由2x 1－π3 ＝π2 ，2x 2－π3 ＝3π2 ，2x 3－π3＝2π， 可得x 1＝5π12 ，x 2＝11π12 ，x 3＝7π6， 由题表知A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 . (2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋π6 ＝2sin ax (a ＞0)， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6 时， ax ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a π3，a π6 ， ∵g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6 上是增函数， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a π3，a π6 ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a π3≥－π2＋2k π，a π6≤π2＋2k π (k ∈Z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤34－3k ，a ≤3＋12k(k ∈Z ). ∵a ＞0，∴－14 ＜k ＜14，又k ∈Z ，∴k ＝0， ∴0＜a ≤34 ，∴实数a 的最大值为34.。

1高一数学必修2第一章单元测试题1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.12倍 B．2倍 C.24倍 D.22倍 3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()4．已知某几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体是( )A．长方体 B．圆柱 C．四棱锥 D．四棱台5．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A．64 B．16 C．96 D．无法确定6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍C．不变 D．缩小到原来的167．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )2A．1倍 B．2倍 C.95倍 D.74倍 8．有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A．12πcm 2B．15πcm 2C．24πcm 2 D．36πcm 29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．310．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，1B.23，1C.32，32D.23，3211．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )3A．24 B．80C．64D．24012．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是()4姓名：座位号：一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________。

高中数学必修二第一章《空间几何体》单元测试卷及答案（2套）测试卷一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（ ）A ．圆台B ．四棱锥C ．四棱柱D ．四棱台2．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为（ ）A ．6B ．32C ．62D ．123．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．3034B ．6034C ．3034135+D ．1354．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A ．3324R π B ．338R π C ．3525R π D ．358R π 5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2＝（ ） A ．1：3B ．1：1C ．2：1D ．3：16．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．163π B ．193π C ．1912π D ．43π7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A ．8πB ．6πC ．4πD ．π8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．169．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛103cm 的内切球，则此棱柱的体积是（ ） A ．393B ．354cmC ．327cmD ．318311．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm )，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727 B ．59C ．1027 D ．1312．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）A ．3500cm 3πB ．3cm 3866πC ．3cm 31372πD ．3cm 32048π 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x 轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________．15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________．16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长为10cm．求圆锥的母线长．18．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．（1）试判断该几何体是什么几何体？（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积．19．(12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．20．(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．21．(12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？22．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A′－BC′D的体积．）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选D．【解析】△OAB 是直角三角形，OA ＝6，OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴164122OAB S =⨯⨯=△．故选D ．3．【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为22915334222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这个菱柱的侧面积为3434530342⨯⨯=．故选A ． 4．【答案】A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为2R，高为32R ，所以圆锥的体积2313332224R R R ⎛⎫⨯π⨯⨯=π ⎪⎝⎭．故选A ． 5．【答案】D【解析】()121::3:13V V Sh Sh ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选D ．6．【答案】B【解析】设球半径是R ，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O 1，O ，易知球心是线段O 1O 的中点，于是222123192312R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所求球的表面积是2191944123R ππ=π⨯=， 故选B ． 7．【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S 表＝4πr 2＝4π．故选C ． 8．【答案】C【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P －ABCD ，且P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，四边形ABCD 为正方形，则2111133V =⨯⨯=，故选C ．【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，∴163r =，所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故堆放的米约为320 1.62229÷≈，故选B ． 10．【答案】B【解析】由题意知棱柱的高为23cm ，底面正三角形的内切圆的半径为3cm ， ∴底面正三角形的边长为6cm ，正三棱柱的底面面积为293cm ，∴此三棱柱的体积()3932354cm V =⨯=．故选B ．11．【答案】C【解析】由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×32×6-π×22×4-π×32×2＝20π(cm 3)， 原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)．故所求比值为1220105427V V π==π．故选C ． 12．【答案】A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4， 球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5．∴球的体积为3345500cm 33π⨯π=．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件． 四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件． 三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件． 四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件． 圆锥的三视图中含有三角形，满足条件． 圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件． 故答案为①②③⑤．14．【答案】6415．【答案】11【解析】设棱台的高为x ，则有2165016512x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解之，得x ＝11． 16．【答案】36＋128π【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为1346168361282V =⨯⨯⨯+π⨯=+π．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】403cm ． 【解析】如图，设圆锥母线长为l ，则1014l l -=，所以cm 403l =．18．【答案】（1）正六棱锥；（2）见解析，232a ；（3）332a ．【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． （2）该几何体的侧视图如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即3BC a =，AD 是正六棱锥的高，即3AD a =，所以该平面图形的面积为2133322a a a =．（3）设这个正六棱锥的底面积是S ，体积为V ，则223336S =，所以2313333322V a a a =⨯⨯=．19．【答案】不会，见解析．【解析】因为()33314144134cm 2323V R =⨯π=⨯⨯π⨯≈半球，()22311412201cm 33V r h =π=π⨯⨯≈圆锥，134<201，所以V 半球<V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子． 20．【答案】74V π=． 【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为23741124V π⎛⎫=π⨯-π⨯= ⎪⎝⎭．21．【答案】282m ．【解析】如图所示，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ．作SP ⊥AB ，连接OP ．在Rt △SOP 中，)7m SO =，()11m 2OP BC ==，所以)22m SP =， 则△SAB 的面积是)2122222m 2⨯⨯=．所以四棱锥的侧面积是)242282m ⨯，即制造这个塔顶需要282m 铁板．22．【答案】（13；（2）33a ．【解析】（1）∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴2A B A C A D BC BD C D a ''''''======，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为213422232a a a ⨯=．而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为2233a ． （2）三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝3 32114323a a a a-⨯⨯⨯=测试卷二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（）2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4 B．6 C．8 D．123．下列命题中，正确的命题是（）A．存在两条异面直线同时平行于同一个平面B．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．底面是矩形的四棱柱是长方体D．棱台的侧面都是等腰梯形4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A．0 B．9 C．快D．乐5．如图，O A B'''△是水平放置的OAB△的直观图，则AOB△的面积是（）。