高二数学必修二综合测试题有答案

综合检测试卷一(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A ．32B ．－32C ．35D ．－35答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，∴d ＝a 8－a 48－4＝3，∴a 15＝a 4＋11d ＝2＋11×3＝35.2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是() A ．12，－8 B ．1，－8C ．12，－15D ．5，－16答案 A解析 y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8.所以y max ＝12，y min ＝－8.3．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．－163 B.163 C ．－83 D.83答案 B解析 ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43，a 4＝(－1)4×2×⎝⎛⎭⎫－43＝－83，a 5＝(－1)5×2×⎝⎛⎭⎫－83＝163.4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1. 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ， 则有a －1＝2，所以a ＝3.5．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.6．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项答案 B解析 设数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1，则前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.由题意得a 31q 3＝2，a 31q3n －6＝4， 两式相乘得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2. 又∵a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，()12164n n na q -∴＝，即(a 21q n －1)n ＝642，解得n ＝12.7．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )答案 C解析 由曲线方程y ＝sin x ，可知g (x )＝cos x ，所以y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数，排除A ，B ；当x ＝0时，y ＝0，排除D ，故选C.8．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是p ＝3x 4x ＋32(x ∈N *)，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为( )A ．14件B ．16件C ．24件D ．32件答案 B解析 因为该厂的日产量为x ，则其次品数为px ＝3x 24x ＋32，正品数为(1－p )x ＝x 2＋32x 4x ＋32， 根据题意得盈利T (x )＝200×x 2＋32x 4x ＋32－100×3x 24x ＋32， 化简整理得T (x )＝－25x 2＋1 600x x ＋8. 因为T (x )＝－25x 2＋1 600x x ＋8， 所以T ′(x )＝(－50x ＋1 600)(x ＋8)－(－25x 2＋1 600x )(x ＋8)2＝－25×x 2＋16x －64×8(x ＋8)2＝－25×(x ＋32)(x －16)(x －8)， 当0<x <16时，T ′(x )>0；当x >16时，T ′(x )<0.所以x ＝16时，T (x )有最大值，即T (x )max ＝T (16)＝800(元)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )<g (x )＋f (b )答案 CD解析 因为f ′(x )－g ′(x )>0，所以[f (x )－g (x )]′>0，所以f (x )－g (x )在[a ，b ]上单调递增，所以当a <x <b 时，f (b )－g (b )>f (x )－g (x )>f (a )－g (a )，所以f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )，f (x )＋g (b )<g (x )＋f (b )．10．设{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于() A.152 B.314 C.334 D.619答案 BD解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 4＝1得a 23＝1，∴a 3＝±1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 3q 2＋a 3q ＋a 3＝7，当a 3＝－1时，得8q 2＋q ＋1＝0无解，当a 3＝1时，得6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13，当q ＝－13时，a 1＝1q 2＝9.∴S 5＝9×⎝⎛⎭⎫1＋1351＋13＝274×⎝⎛⎭⎫1＋135＝619. 当q ＝12时，a 1＝1q 2＝4. ∴S 5＝4×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝8×⎝⎛⎭⎫1－125＝314. 11．函数f (x )＝x 2－ln 2x 在下列区间上单调的是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，22B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－22，0 D.⎝⎛⎭⎫0，22 答案 BD解析 因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x， 所以f ′(x ) ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，2x 2－1＜0，解得0＜x ＜22； f ′(x ) ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，2x 2－1＞0，解得x ＞22. 12．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，可以使不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的x 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案 BCD解析 令F (x )＝f (x )x， 则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2， 因为f (x )>xf ′(x )，所以F ′(x )<0，F (x )为定义域上的减函数，由不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0得f ⎝⎛⎭⎫1x 1x>f (x )x， 所以1x<x ，所以x >1. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．答案 673解析 由a n ＝2 020－3n >0，得n <2 0203＝67313， 又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673.14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．答案 6解析 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102. 由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.15．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为________． 函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为________．答案 －2 －2解析 f ′(x )＝3ax 2＋12ax， 所以f ′(1)＝3a ＋12a ≥－12，即a ＋4a≥－4. 又a <0，有a ＋4a≤－4， 所以a ＋4a＝－4，故a ＝－2. 所以f (x )＝－2x 3－6ln x ，f ′(x )＝－6x 2－6x＝－6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x <0，所以函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，函数f (x )在区间[1,2]上的最大值是 f (1)＝－2.16．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m ,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,0]解析 f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2. 由f ′(x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,1)．又因为f (x )在(m ,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，m <2m ＋1，2m ＋1≤1，解得－1<m ≤0，所以实数m 的取值范围是(－1,0]．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a .因为f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3.所以f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y ＝16.18．(12分)在①S n ＝n 2＋n ，②a 3＋a 5＝16，S 3＋S 5＝42，③a n ＋1a n ＝n ＋1n，S 7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，________，b 1＝a 1，b 2＝a 1a 22. 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋b n 的前n 项和T n . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解 选①：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2,当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ,又n ＝1满足a n ＝2n ，所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n (n ∈N *)； 选②：设数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 5＝16，S 3＋S 5＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋6d ＝16，8a 1＋13d ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n (n ∈N *)； 选③：由a n ＋1a n ＝n ＋1n， 得a n ＋1n ＋1＝a n n ， 所以a n n ＝a 11， 即a n ＝a 1·n , S 7＝7a 4＝28a 1＝56，所以a 1＝2，所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n (n ∈N *)． ①②③均可求得a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n (n ∈N *)， 设{b n }的公比为q ，又因为a 1＝2，a 2＝4，由b 1＝a 1＝2，b 2＝a 1a 22＝4, 得b 1＝2，q ＝2，所以b n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{b n }的前n 项和为2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2， 因为1S n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 故T n ＝2n ＋1－2＋1－1n ＋1＝2n ＋1－1n ＋1－1. 19．(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为12，无极大值． (2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝12， f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1. 20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解 (1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1， 知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭⎫－12n －1， 所以a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列， 故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n . 21．(12分)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G 技术领先世界．目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造由H 公司及G 公司提供技术支持．据市场调研预测，5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为a 0＝55%及b 0＝45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而采用H 公司技术，采用H 公司技术的产品中仅有5%转而采用G 公司技术．设第n 次技术更新后，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为a n 及b n ，不考虑其他因素的影响．(1)用a n 表示a n ＋1，并求实数λ使{a n －λ}是等比数列；(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)解 (1)由题意知，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品的占比分别为a 0＝55%＝1120，b 0＝45%＝920. 易知经过n 次技术更新后a n ＋b n ＝1，则a n ＋1＝(1－5%)a n ＋20%b n ＝1920a n ＋15(1－a n ) ＝34a n ＋15，即a n ＋1＝34a n ＋15(n ∈N )，① 由①式，可设a n ＋1－λ＝34(a n －λ)⇔a n ＋1＝34a n ＋λ4， 对比①式可知λ4＝15⇒λ＝45. 又a 1＝34a 0＋15＝34×1120＋15＝4980，a 1－45＝4980－45＝－316. 从而当λ＝45时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －45是以－316为首项，34为公比的等比数列． (2)由(1)可知a n －45＝－316·⎝⎛⎭⎫34n －1＝－14·⎝⎛⎭⎫34n ， 所以经过n 次技术更新后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比a n ＝45－14·⎝⎛⎭⎫34n . 由题意，令a n >75%，得45－14·⎝⎛⎭⎫34n >34⇔⎝⎛⎭⎫34n <15⇔n lg 34<lg 15⇔n >－lg 5lg 3－2lg 2＝lg 52lg 2－lg 3＝1－lg 22lg 2－lg 3≈1－0.3012×0.301－0.477＝0.6990.125＝0.699×8＝5.592>5.故n ≥6， 即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．22．(12分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点，若不存在，请说明理由．解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x )<0得0<x <1e ，由f ′(x )>0得x >1e， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 当0<t ≤1e 时，t ＋2>1e， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 当t >1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ， ∴f (x )min ＝⎩⎨⎧ －1e ，0<t ≤1e ，t ln t ，t >1e .(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)， 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， 当0<x <1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x >1时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，∴h (x )min ＝h (1)＝4.∴a 的取值范围为(－∞，4]．(3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x＝0， 即x ln x ＝x e x －2e(x >0)， 由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x >0)的最小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e， 设φ(x )＝x e x －2e (x >0)，则φ′(x )＝1－x e x ， 易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e， ∴对x ∈(0，＋∞)都有x ln x >x e x －2e，即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x>0恒成立． ∴函数F (x )无零点．。

第五章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是容量为100的样本数据质量的频率分布直方图，已知样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为（）A.10B.20C.30D.402.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对4.根据某跑步团体每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据绘制了如图所示的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5.在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一U发生的概率为（）次试验中，事件A BA .13B .12C .23D .566.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg ，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg ，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg ，估计这时鱼塘中鱼的总质量为（ ）A .192 280 kgB .202 280 kgC .182 280 kgD .172 280 kg7.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为（）A .①③B .①④C .②③D .②④8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A .100，10B .100，20C .200，10D .200，209.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）A .25B .715C .1130D .1610.如图所示，小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为A X 和B X ，方差分别为2A s 和2B s ，则（）A .AB X X ＜，22A B s s ＞B .A B X X ＜，22A Bs s ＜C .A B X X ＞，22A B s s ＞D .A B X X ＞，22A Bs s ＜11.袋子中有四个小球，分别写有“美”“丽”“中”“国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到时停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中”“国”“美”“丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231131133231031320122130233由此可以估计，恰好第三次停止的概率为（ ）A .19B .318C .29D .51812.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个人能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力中等的人的概率为q ，则(),p q =（）A .11,66æöç÷èøB .11,26æöç÷èøC .11,24æöç÷èøD .11,23æöç÷èø二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为11: 8: 6，从中抽取200名职员作为样本，则应抽取青年职员的人数为__________.14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.15.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值为__________.16.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为1白1黑的概率等于__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.[10分]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示.（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -的值.18.[12分]为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中4a b =.（1）求a，b的值；（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；（3）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，应如何抽取？19.[12分]某地区有小学21所，中学14所，大学7所。

第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（ ）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（ ）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（ ）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（ ） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（ ） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（ ）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证： （1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。

高中新课标数学必修②测试卷(4)班别 _____ 姓名 ____________ 座号 ____ 分数______一. 选择题 （每小题4分，共48分）1. 直线0x a ++=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ D ）.A.030 B. 060 C. 0120 D. 0150 2. 到直线3410x y --=的距离为2的直线方程是（ B ）.A. 34110x y --=B. 34110x y --=或3490x y -+=C. 3490x y -+=D. 34110x y -+= 或 3490x y --= 3. 下列说法正确的是（ C ）.A. 经过定点0P （0x ，0y ）的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示.B. 经过不同两点1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）的直线都可以用方程112121y y x x y y x x --=--表示.C. 经过定点0P （0，b ）且斜率存在的直线都可以用方程y kx b =+表示.D. 不过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示. 4. 无论m 为何值，直线1(2)y m x +=-总过一个定点，其中m R ∈，该定点坐标为（ D ）. A.（1，2-） B.（1-，2） C.（2-，1-） D.（2，1-） 5. 若直线1l ：()34350m x y m +++-=与2l ：()2580x m y ++-=平行，则m 的值为（ A ）.A. 7-B. 17--或C. 6-D. 133-6. 一条直线与一个平面内的（ D ）都垂直，则该直线与此平面垂直.A. 无数条直线B. 两条直线C. 两条平行直线D.两条相交直线 7. 下列四个命题中错误的个数是（ B ）. ① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直A. 1B. 2C. 3D. 48. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ C ）.A. 3B.343R π3D. 39R 9. 下列命题中错误的是（ B ）. A. 若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥B. 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ=，则l ⊥γD. 若α⊥β，aβ=AB ，a //α，a⊥AB ，则a ⊥β10. P 为ABC 所在平面外一点，PB PC =，P 在平面ABC 上的射影必在ABC 的（ A ）.A. BC 边的垂直平分线上B. BC 边的高线上C. BC 边的中线上D. BAC ∠的角平分线上11. 圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C 224420x y x y +-+-=的位置关系是（ A ）. A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 12. 直线()110a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ C ）.A. 1，1-B. 2-C. 1-D. 1 二. 填空题（每小题4分，共20分）1. 圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为， 2. 过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线的方程是 250x y +-= 3. 过点A （0，1），B （2，0）的直线的方程为 220x y +-= .4. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长 为2，则它的表面积是5. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，异面 直线1A D 与1D C 所成的角为 060 度；直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为 030 度.三. 解答题（第1、2题各9分，第3题14分，共1. 求经过两条直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点P ，且垂直于直线3l ：210x y --=直线l 的方程.1解：由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得22x y =-⎧⎨=⎩∴ 点P 的坐标是（2-，2） ∵ 所求直线l 与3l 垂直，∴ 设直线l 的方程为 20x y C ++= 把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，得2C =∴ 所求直线l 的方程为 220x y ++= 2. 已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-），且圆心在直线l ：10x y -+=上，求圆心为C的圆的标准方程. 解：因为A （0，6-），B （1，5-），所以线段AB 的中点D 的坐标为111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率 ()56110AB k ---==-，因此线段AB 的垂直平分线'l 的方程是11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即 50x y ++=圆心C 的坐标是方程组 5010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，的解.解此方程组，得 32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是（3-，2-）. 圆心为C 的圆的半径长所以，圆心为C 的圆的标准方程是3. 如图：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. ①求证：EF ∥平面ABC .②若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC . 解：①证明：∵EF 是SAC 的中位线，∴EF ∥AC ，B又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .②证明：∵SA SC =,AD DC = ∴SD ⊥AC ， ∵BA BC =,AD DC = ∴BD ⊥AC ,又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD DB D =，∴AC ⊥平面SBD ， 又∵AC ⊂平面ABC ， ∴平面SBD ⊥平面ABC .。

点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A．若a、b与α所成的角相等则a∥bB．若a∥αb∥βα∥β则a∥bC．若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD．若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．【答案】 D2．(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B＝BC1＝A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3．设l为直线αβ是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥αl∥β则α∥βB．若l⊥αl⊥β则α∥βC．若l⊥αl∥β则α∥βD．若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误；选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确；选项C由条件应得α⊥β故选项C错误；选项D l与β的位置不确定故选项D错误．故选B【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC＝60°下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB＝ACBD＝DC＝22AB又∠BAC＝60°所以△ABC为等边三角形故BC＝AB＝2BD所以∠BDC＝90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确．选D【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】 如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a又AD ＝aDM ＝a2∴AD 2＝DM 2＋AM 2∴∠AMD ＝90° 【答案】 D10．在矩形ABCD 中若AB ＝3BC ＝4P A ⊥平面AC 且P A ＝1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】 如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE ＝AB ·AD BD ＝125P A ＝1 ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知：PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC中AB＝BC＝AC＝ 3则S＝34×(3)2＝334VABC-A1B1C1＝S×PO＝94∴PO＝ 3又AO＝33×3＝1∴tan ∠P AO＝POAO＝3∴∠P AO＝60°【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1＝A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确．易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS＝8BS＝6CS＝12则SD＝________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS＝CSSD解得SD＝9【答案】914．如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件：________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点．又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15．如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN ＝90° 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝12CD ·PDS △P AB ＝12AB ·P A由AB ＝CDPD >P A 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点 可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错． 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB ＝90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证：AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB＝90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC＝A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC＝C∴AD⊥平面SBC18．(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC＝9BC＝12AB＝15AA1＝12点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9BC＝12AB＝15∴AC2＋BC2＝AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C＝C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点．(1)根据三视图画出该几何体的直观图；(2)在直观图中①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB ＝2CE ＝EF ＝1图8(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF ＝1AG ＝12AC ＝1所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF＝CG＝1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE＝EF＝1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD＝G∴CF⊥平面BDE21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB＝2DEGH分别为ACBC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证：平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一：连接DGCD设CD∩GF＝M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB＝2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF＝GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点．又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中由BC＝2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH＝EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF＝H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF＝HC因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH＝H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC＝O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF ＝30°在Rt △OEF 中OF ＝12OC ＝14AC ＝24a∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ∴OP ＝2EF ＝66a∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3。

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）2.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB u u r u u rg 取最小值时，P 点的坐标是（ ）A.(2,0)B.(4,0)C.10,03æöç÷èøD.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=u u r u u u r u u u r ，圆O 的半径为2，则OB CB =u u u r u u rg （ ）A.1-B.2-C.1D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +ÎR u u r u u u r的最小值为（ ）A.B.5C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ）A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+×-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角q 为（ ）A.34p B.4pC.3pD.23p 9.已知sin 1sin cos 2a a a =+，且向量(tan ,1)AB a =u u u r ，(tan ,2)BC a =u u u r ，则AC u u u r 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0u u r u u r u u u r，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sl ==，则23l l ×取到最大值时，2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c p=+=，则ac=（ ）A.2B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，则ABC △的形状不可能是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12×=12e e .若向量b 满足1×=×=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-≤a b ，则×a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ^，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB l m =+u u r u u u r u u u r，则l =________，m =________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==u u r u u u r a b 为邻边作OADB Y ，11,33BM BC CN CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，用,a b 表现,,OM ON MN u u u r u u u r u u u r.18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =.（1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC SD =，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4p +，试求AC BC u u u r u u u rg 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ^；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x p æöæö=-ç÷ç÷èøèøb ，函数()2f x =×a b ，()4g x f x pæö=ç÷èø.（1）求()f x 在,2p p éùêúëû上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++L 的值；（3）已知t ÎR ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a \=可化为sin sin A B =又sin 22sin cos 2,sin sin B B B A B B B =\==，cos B \=.2.【答案】A【解析】由已知可得111122×=´´=a b ，211()122-×=-×=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-××=a b a a a a .3.【答案】D【解析】Q 点P 在x 轴上，\设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x \=--=-u u r u u r，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x \×=---=-+=--u u r u u r ，\当3x =时，PA PB ×u u r u u r 取最小值.P \点的坐标是(3,0).4.【答案】D【解析】OA OC OB +=u u r u u u r u u u rQ ，OA OC =u u r u u u r ，\四边形OABC 是菱形，且120AOC Ð=°，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB \×=´´°=u u u r u u r.5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++u u r u u u r，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t \+=+++=++=++u u r u u u r ≥，\当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +u u r u u u r取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ÐÐÐ，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ì+-=ï´´ïï+-=í´´ïï+-=ï´´î＞即()()222100,280,680,a a a a a ì-ïï-íï+ïî＞＞＞解得a ，故选B .7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====Q，sin 8cC \=，1sin 216ABC abc S ab C D \====.8.【答案】C【解析】22(2)(54)5680+×-=+×=-Q a b a b a a b b ，又11,63,cos 2q ==\×=\=a b a b ，又[0,],3pq p q Î\=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2a a a =+Q ，cos sin a a \=，tan 1a \=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC a \=+==u u u r u u u r u u u r .故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P \到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S l l ++===.由此可得223231216l l l l +æö×=ç÷èø≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF \+=u u r u u u r .由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=u u r u u r u u r ，2PA PC PF +=u u r u u u r u u u r ，两式相加，得20PA PB PC ++=u u r u u r u u u r.0PA xPB yPC ++=u u r u u r u u u r Q ，\根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=.二、11.【答案】AC 【解析】3B p=Q，a c +=，2222()23a c a c ac b \+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb p+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c æöæö-+=ç÷ç÷èøèø，解得2a c =或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD【解析】P Q 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，|||()()|0CB PB PA PC PA \--+-=u u r u u r u u r u u u r u u r，即||||CB AC AB =+u u r u u u r u u u r ，||||AB AC AC AB \-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方并化简得0MC AB ×=u u u r u u u r ，AC AB \^u u u r u u u r，90A °\Ð=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为q .1cos cos 2q q \×=×==1212e e e e ，又0q °°≤≤180，60q \=°.()0×-=Q 12b e e ，\b 与,12e e 的夹角均为30°，从而1||cos30°=b .14.【答案】52【解析】|4|-==a b ，52×≥a b ，即×a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=u u r u u u r u u u r，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB l m l m =+\-=-+u u r u u u r u u u rQ ，22,22,l m l m -+=-ì\í+=î解得6,52.5l m ì=ïïíï=ïî16.km /h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE Ð=°，150EAC Ð=°.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=Ð，sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x°Ð\===g .在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=°，sin sin120BC C AB \===°g 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE °=+-=+-=g g，故BE =.\船速的大小为/h)BEt==.四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-u u r u u r u u u rQ a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA \=+=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r a b .又OD =+u u u r a b ，222333ON OC CN OD \=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，221511336626MN ON OM \=-=+--=-u u u r u u u r u u u r a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B =Q ，且0B p ＜＜，4sin 5B \==.由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a BA b´\===.（2）1sin 42ABC S ac B D ==Q ，142425c \´´´=，5c \=.由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-´´´=，b \=.19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C=-，sin 02C Q ＞，1cos sin 222C C \-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =.（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C p\＞，2C p\＞，cos C \==.易得2sin c R C =，22294sin (44c R C \==，由余弦定理得，2229(42214c a b ab ab ææ=+=+-+ççççèè≥g g ，902ab \＜≤，cos AC BC ab C éö\=Î÷ê÷ëøu u u r u u u r g g ，即AC BC u u u r u u u r g的取值范围是éö÷ê÷ëø.20.【答案】解：如图所示，设ACD a Ð=，CDB b Ð=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD b +-+-===-´´g，sin b \==()11sin sin 60sin cos60sin 60cos 27a b b b °°°æö\=-=-=--=ç÷èøg在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD a=°，21sin 15sin 60AD a \==°（千米）.\这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-u u r u u u r u u u r Q ，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--u u u r u u u r u u u r ，(1)(2)2(1)0BE CF \×=-´-+´-=u u r u u u r ，BE CF \^u u r u u u r ，即BE CF ^.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-u u r ，(2,)BP x y =-u u r ，由（1）知(2,1)CF =--u u u r ，(1,2)BE =-u u r ，FP CF u u r u u u r Q ∥，2(1)x y \-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE u u r u u r ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-ì\í=-+î解得6,58,5x y ì=ïïíï=ïî即68,55P æöç÷èø.222268455AP AB æöæö\=+==ç÷ç÷èøèøu u u r u u u r ，||||AP AB \=u u u r u u u r ，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x p ö=×=-+=+=÷øab 1sin 22sin 223x x x p æö-+=-+ç÷èø,2x p p éùÎêúëûQ，252333x p p p \-≤，1sin 23x p æö\--ç÷èø≤，\当3232x p p -=，即1112x p =时，()f x 取得最小值1，当2233x p p -=，即2x p =时，()f x .（2）由（1）得()sin 23f x x p æö=-+ç÷èø()sin 423g x f x x p p p æöæö\==-ç÷ç÷èøèø4T \=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g \+++=+++==+++L .又(1)(2)(3)(4)g g g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g \++++=´++=L=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ÎZ 时，由图象可知，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++ÎZ ＜≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++ÎZ ≤≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

高二数学必修二测试题及答案【导语】着眼于眼前，不要沉迷于玩乐，不要沉迷于学习进步没有别*的痛楚中，进步是一个由量变到质变的进程，只有足够的量变才会有质变，沉迷于痛楚不会改变什么。

作者高二频道为你整理了《高二数学必修二测试题及答案》，期望对你有所帮助！【一】卷Ⅰ一、挑选题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.对于常数、，“”是“方程的曲线是双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数3.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为A.B.C.D.4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范畴”,是“乙降落在指定范畴”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范畴”可表示为A.B.C.D.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为A.B.C.D.6.曲线在点处的切线的斜率为A.B.C.D.7.已知椭圆的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.8.设是复数,则下列命题中的假命题是A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则9.已知命题“若函数在上是增函数，则”，则下列结论正确的是A.否命题“若函数在上是减函数，则”是真命题B.逆否命题“若，则函数在上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若，则函数在上是减函数”是真命题D.逆否命题“若，则函数在上是增函数”是假命题10.马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.设，，曲线在点()处切线的倾斜角的取值范畴是，则到曲线对称轴距离的取值范畴为A.B.C.D.12.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A.2B.3C.4D.5卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设复数，那么等于________.14.函数在区间上的值是________.15.已知函数，则=________.16.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点(在轴左侧)，则.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明进程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知z是复数，和均为实数(为虚数单位).(Ⅰ)求复数;(Ⅱ)求的模.18.(本小题满分12分)已知集合，集合若是的充分不必要条件，求实数的取值范畴.19.(本小题满分12分)设椭圆的方程为点为坐标原点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在线段上且满足，直线的斜率为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点为椭圆的下顶点,为线段的中点，证明：.20.(本小题满分12分)设函数(其中常数).(Ⅰ)已知函数在处获得极值，求的值;(Ⅱ)已知不等式对任意都成立，求实数的取值范畴.21.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，且椭圆上点到椭圆左焦点距离的最小值为. (Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程.22.(本小题满分12分)已知函数(其中常数).(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)当时，，求实数的取值范畴.参考答案一.挑选题CDBACCDABBDB二.填空题三.解答题17.解：(Ⅰ)设，所以为实数，可得，又由于为实数，所以，即.┅┅┅┅┅┅┅5分(Ⅱ)，所以模为┅┅┅┅┅┅┅10分18.解：(1)时，，若是的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅4分(2)时，，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅8分(3)时，，若是的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅12分19.解(Ⅰ)已知，，由，可得，┅┅┅┅┅┅┅3分所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)由于，所以，斜率为，┅┅┅┅┅┅┅9分又斜率为，所以()，所以.┅┅┅┅┅┅┅12分20.解：(Ⅰ)，由于在处获得极值，所以，解得，┅┅┅┅┅┅┅3分此时，时，，为增函数;时，，为减函数;所以在处获得极大值，所以符合题意;┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)，所以对任意都成立，所以，所以.┅┅┅┅┅┅┅12分21.解：(Ⅰ)设左右焦点分别为，椭圆上点满足所以在左顶点时取到最小值，又，解得，所以的方程为.(或者利用设解出得出取到最小值，对于直接说明在左顶点时取到最小值的，酌情扣分);┅┅┅┅┅┅┅4分(Ⅱ)由题明显直线存在斜率，所以设其方程为，┅┅┅┅┅┅┅5分联立其与，得到，，化简得┅┅┅┅┅┅┅8分联立其与，得到，，化简得，┅┅┅┅┅┅┅10分解得或所以直线的方程为或┅┅┅┅┅┅┅12分22.(Ⅰ)，设，该函数恒过点.当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅2分当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅4分当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅6分当时，在增.┅┅┅┅┅┅┅8分(Ⅱ)原函数恒过点，由(Ⅰ)可得时符合题意.┅┅┅┅┅┅┅10分当时，在增，减，所以，不符合题意.┅┅┅┅┅┅┅12分【二】一、挑选题1．一个物体的位移s(米)和与时间t(秒)的关系为s?4?2t?t，则该物体在4秒末的瞬时速度是A．12米/秒B．8米/秒C．6米/秒D．8米/秒2．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为为A．21711B．C．D．41212323．给出下列四个命题：（1）若z?C，则z≥0；（2）2i-1虚部是2i；（3）若a?b,则a?i?b?i；(4）若z1,z2，且z1>z2，则z1,z2为实数；其中正确命题的个数为．．．．A.1个B.2个C.3个D.4个4．在复平面内复数(1+bi)(2+i)（i是虚数单位，b是实数）表示的点在第四象限，则b的取值范畴是A.bB.b??11C.?<b<2D.b<2225．下面几种推理中是演绎推理的为．．．．A．由金、银、铜、铁可导电，料想：金属都可导电；1111,,,的通项公式为an?B．料想数列(n?N?)；n(n?1)1?22?33?42C．半径为r圆的面积S??r，则单位圆的面积S??；D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，估计空间直角坐标系中球的方程为(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?r2．6．已知f?x2x?1??2a?3a,若f1??8,则f??1??xA．4B．5C．-2D．-337．若函数f?x??lnx?ax在点P?1,b?处的切线与x?3y?2?0垂直,则2a?b等于A．2B．0C．-1D．-28．sinx?cosx?dx的值为A．0B．2?2??C．2D．449．设f?x?是一个多项式函数,在?a,b?上下列说法正确的是A．f?x?的极值点一定是最值点B．f?x?的最值点一定是极值点C．f?x?在?a,b?上可能没有极值点D．f?x?在?a,b?上可能没有最值点10．函数f?x?的定义域为?a,b?，导函数f??x?在?a,b?内的图像如图所示，则函数f?x?在?a,b?内有极小值点A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知a1?1,an?1?an且?an?1?an??2?an?1?an??1?0,运算a2,a3,料想an等于A．nB．nC．nD．n?3?n12．已知可导函数f(x)(x?R)满足f￠(x)>f(x)，则当a?0时，f(a)和eaf(0)大小关系为A.f(a)eaf(0)C.f(a)=eaf(0)D.f(a)≤eaf(0)232二、填空题13.若复数z=(a-2)+3i(a?R)是纯虚数，则14．f(n)=1+a+i=.1+ai111++鬃?(n?N+)23n经运算的f(2)?357,f(4)?2,f(8)?,f(16)?3,f(32)?，估计当n≥2时，有______.2221(n?N+)，记f(n)?(1?a1)(1?a2)(1?an)，试通过运算(n+1)215．若数列?an?的通项公式an=f(1),f(2),f(3)的值，估计出f(n)?________________.16．半径为r的圆的面积s(r)??r2，周长C(r)?2?r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(?r2)'?2?r①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0,+?)上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．三、解答题：17.抛物线y?x2?1，直线x?2,y?0所围成的图形的面积18.已知a?b?c,求证：114??.a?bb?ca?c2an?2an?219.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?，且an?0,n?N?.2an（1）求a1,a2,a3;（2）料想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明21．设函数f?x??xekx?k?0?（1）求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程．（2）若函数f?x?在区间??1,1?内单调递增，求k的取值范畴．22．已知函数f(x)=alnx+x（a为实常数）．（1）若a=-2，求证：函数f(x)在(1,+?)上是增函数；（2）求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值；22??一、挑选题题号答案1C2A3A4A5C6A7D8C9C10Ａ11B12B12.提示：令g(x)=e-xf(x)，则gⅱ(x)=e-x[f(x)-f(x)]>0．所以g(x)在(-?,?)上为增函数，g(a)>g(0)．e-af(a)>e0f(0)，即f(a)>eaf(0)，故选B．二、填空题13．n?24-3in14．f(2)?25n?2111f(n)?(1?2)(1?2)[1?]2n?223(n?1)215．f(n)?111111?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)22 33n?1n?113243nn?2n?2...???22334n?1n?12n?216．(?R)'?4?R；球的体积函数的导数等于球的表面积函数4332三、解答题17.解由x?1?0，得抛物线与轴的交点坐标是(?1,0)和(1,0)，所求图形分成两块，分别用定积分表示面积2S1??|x2?1|dx，S2??(x2?1)dx.1112故面积S?S1?S2??1?1|x2?1|dx??(x2?1)dx=?(1?x2)dx??(x2?1)dx1?11212x3=(x?)318.证明：∵1?111818x32?(?x)1=1??12?(?1)?.333333a-ca-ca-b+b-ca-b+b-c+=+a-bb-ca-bb-cb-ca-bb-ca-b+≥2+2?a-bb-ca-bb-c4，（a>b>c）=2+∴a-ca-c114.+≥4得+≥a-bb-ca-bb-ca-ca11+-1，所以，a1=-1?2a119.（1）a1=S1=3，又∵an>0，所以a1=3-1.S2=a1?a2?a21??1，所以a2?5?3,2a23S3=a1?a2?a3?（2）料想an=a31??1所以a3?7?5.2a32n-1．3-1成立．2k-1成立2k+1．2n+1-证明：1o当n=1时，由（1）知a1=2o假定n=k(k?N+)时，ak=2k+1-ak+1=Sk?1?Sk?(ak?1aa111-??1)?(k??1)=k+1+2ak+12ak?12ak2所以ak+1+22k+1ak+1-2=0ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1所以当n=k+1时料想也成立．综上可知，料想对一切n?N+都成立．kxkx￠￠f(x)=e+kxe21．解：（1），f(0)=1，f(0)=0∴y=f(x)在（0,0）处的切线方程为y=x．(x)=ekx+kxekx=(1+kx)ekx=0，得x=-（2）法一f￠若k>0，则当x?(?,当x?(1（k10）k1(x)0，f(x)单调递增．,+?)时，f￠k1若k0，f(x)单调递增.)，f￠k1当x?((x)<0，f(x)单调递减.,+?)时，f￠k若f(x)在区间(-1,1)内单调递增，1≤-1，即k≤1.k1当k<0时，-≥1，即k≥-1.k故f(x)在区间(-1,1)内单调递增时当k>0时，-k的取值范畴是[-1,0)U(0,1]法二∵f(x)在区间(-1,1)内单调递增,(x)≥0在区间(-1,1)上恒成立.∴f￠ekx+kxekx≥0，∵ekx>0，∴1+kx≥0.即1+kx≥0在区间(-1,1)上恒成立.令g(x)=1+kx，4ìg(-1)≥0??∴í解得-1≤k≤1.?g(1)≥0??当k=0时，f(x)=1.故k的取值范畴是[-1,0)U(0,1].22．解：（1）当a??2时，f(x)?x2?2lnx，2(x2-1)(x)=>0.x?(1,?)，f￠x故函数f(x)在(1,+?)上是增函数．2x2+a(x)=>0.（2）f￠x当x?[1,e]，2x2+a?[a2,a+2e2].若a≥-2，f￠，(x)在[1,e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f￠(x)=0）故函数f(x)在[1,e]上是增函数.此时，[f(x)]min=f(1)=1．若-2e2故[f(x)]min=f(-若a≤-2e2，f￠(x)在[1,e]上非正（仅当时a=-2e2，x=e时，f￠(x)=0）故函数f(x)在[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min=f(e)=a+e2．综上可知，当a≥-2时，f(x)的最小值为1，相应的x的值为1；当-2e22e2时，f(x)的最小值为a+e2，相应的x值为e．。

2022年高中数学选择性必修第二册综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a3+a6+a9=18,若a n=6,则n为()A.12B.8C.6D.42.已知函数f(x)=aln x+2,f'(e)=2,则a的值为()A.-1B.1C.2eD.e23.在等比数列{a n}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7=()A.2B.2√2C.4D.4√24.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织出的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,该女子第3天所织布的尺数为()A.1031B.2031C.54D.525.在等差数列{a n}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为S n(n∈N*),且满足S3=S15,则S n 的最大项为()A.S7B.S8C.S9D.S106.已知函数f(x)=e-x(cos x+sin x),记f'(x)是f(x)的导函数,将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{x n},n∈N*,则f(x n)=()A.(-1)n e-(n+1)πB.(-1)n+1e-nπC.(-1)n e-nπD.(-1)n+1e-(n+1)π7.设奇函数f(x)在R 上存在导函数f'(x),且在(0,+∞)上f'(x)<x 2,若f(1-m)-f(m)≥13[(1-m)3-m 3],则实数m 的取值范围为( )A.[-12,12]B.(-∞,-12]∪[12,+∞)C.(-∞,-12]D.[12,+∞)8.已知定义在R 上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x ∈(-∞,0)时,有f(x)+xf'(x)<0(f'(x)是函数f(x)的导函数)成立.若a=(sin 12)·f (sin 12),b=(ln 2)·f(ln 2),c=(log 1214)·f (log 1214),则a,b,c 的大小关系是(深度解析)A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,其前n 项和为S n ,已知S 16>0,S 17<0,则下列结论正确的是( ) A.a 1>0,d<0 B.a 8+a 9>0C.S 8与S 9均为S n 的最大值D.a 9<010.已知函数f(x)=e x -ln x-2,则下列说法正确的是( ) A. f(x)有且仅有一个极值点 B. f(x)有零点C.若f(x)的极小值点为x 0,则0< f(x 0)<12D.若f(x)的极小值点为x 0,则12< f(x 0)<111.已知数列{a n}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记b n=a n q a n(q≠0,1),则{b n}的前n项和S n可以是()A.nB.nqC.q+nq n+1-nq n-q n(1-q)D.q+nq n+2-nq n+1-q n+1 (1-q)212.已知f(x)=e x·x3,则下列结论正确的是()A.f(x)在R上单调递增B.f(log52)<f(e-12)<f(lnπ)C.方程f(x)=-1有实数根D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知a3=4,a6=10,则a10-a7=.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n∈N*),则a6=.15.已知函数f(x)=xg(x),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x-y-1=0,则曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程是.16.已知函数f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,则a+b=,f(x)的最大值为.(第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在等差数列{a n}中,a2=3,a5=6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1,求数列{b n}的前n项和S n.a n a n+118.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(x-1)-1e a x2,a<0.2(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极小值;(3)求函数f(x)的零点个数.}的前n项19.(本小题满分12分)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列{1a n a n+1.和为n2n+1(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·2a n,求数列{b n}的前n项和T n.20.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d表示a1,a2,并写出a n+1与a n的关系式;(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).21.(本小题满分12分)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台,该展示台分为四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC 和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.(1)设∠COD=θ,试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式; (2)试探求θ为何值时,日效益总量达到最大值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在y 轴上的截距为ln 3-23.(1)求a 的值;(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-2x 2x+1(x>0)的单调性;(3)设a 1=25,a n+1=f(a n ),求证:5−2n+12<1a n-2<0(n ≥2).答案全解全析一、单项选择题1.C 由a 3+a 6+a 9=18,得3a 6=18,∴a 6=6,又a n =6,∴a n =a 6,又d ≠0,∴{a n }为单调数列,∴n=6.故选C. 2.C 由f(x)=aln x+2得, f'(x)=ax ,∴f'(e)=ae=2,解得a=2e.故选C.3.C 设等比数列{a n }的公比为q,则a 4+a 5a 2+a 3=a 2q 2+a 3q 2a 2+a 3=q 2=2, ∴a 6+a 7=a 4q 2+a 5q 2=(a 4+a 5)q 2=2×2=4. 故选C.4.B 设该女子每天分别织布的尺数构成数列{a n },则数列{a n }为等比数列,设其首项为a 1,公比为q,前n 项和为S n .则q=2,S 5=5, ∴5=a 1(1-25)1−2,解得a 1=531,∴a 3=531×22=2031.故选B.5.C 由S 3=S 15得,a 4+a 5+…+a 15=0, ∴6(a 9+a 10)=0,即a 9+a 10=0. 又a 1>0,∴a 9>0,a 10<0, ∴S n 的最大项为S 9.故选C.6.C f'(x)=-e -x (cos x+sin x)+e -x (-sin x+cos x)=-2e -x sin x.令f'(x)=0,得-2e -x sin x=0,解得x=kπ,k ∈Z,从而x n =nπ,n ∈N *, f(x n )=(-1)n e -nπ.因为f(x n+1)f(x n )=-e -π,所以数列{f(x n )}是公比为-e -π的等比数列,其首项f(x 1)=(-1)1e -π=-e -π.其通项公式为f(x n )=(-1)n e -nπ,故选C.7.D 由f(1-m)-f(m)≥13[(1-m)3-m 3]得, f(1-m)-13(1-m)3≥f(m)-13m 3,构造函数g(x)=f(x)-13x 3,则g'(x)=f'(x)-x 2<0.故g(x)在(0,+∞)上单调递减,由函数f(x)为奇函数可得g(x)为奇函数,故g(x)在R 上单调递减, 因此原不等式可化为1-m ≤m,解得m ≥12,故选D.8.A 由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称知,f(x)是偶函数,设g(x)=x ·f(x),则g(x)是奇函数,且当x<0时,g'(x)=f(x)+x ·f'(x)<0,即g(x)是减函数,∴当x>0时,g(x)也是减函数.又0<sin 12<12<ln 2<lo g 1214=2,∴g (sin 12)>g(ln 2)>g (log 1214).即(sin 12)f (sin 12)>(ln 2)f(ln 2)>(log 1214)f (log 1214). ∴a>b>c. 故选A.解题模板 构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中,掌握一些基本的大小关系可帮助解题,如本题中,当0<x<π2时,sin x<x,ln 2>ln √e =12等.二、多项选择题 9.ABD ∵S 16=16(a 1+a 16)2>0,∴a 8+a 9=a 1+a 16>0,∴B 正确. 又S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0,∴a 9<0,∴a 8>0,∴d=a 9-a 8<0,∴a 1>0,∴A 、D 正确.易知S 8是S n 的最大值,S 9不是S n 的最大值,∴C 错误.故选ABD.10.AC 由题意得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=e x -1x,设h(x)=f'(x),则h'(x)=e x +1x>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增, 又h (12)=e 12-2=√e -2<0,h(1)=e 1-1>0,∴h(x)存在唯一零点,设为x 0, 当0<x<x 0时, f'(x)<0, f(x)单调递减, 当x>x 0时, f'(x)>0, f(x)单调递增, ∴f(x)有唯一极小值点x 0,∴A 正确. 令f'(x 0)=e x 0-1x 0=0,得e x 0=1x 0,∴x 0=ln 1x 0=-ln x 0.∴f(x 0)=e x 0-ln x 0-2=1x 0+x 0-2≥2√1x 0·x 0-2=0(当且仅当x 0=1时等号成立),又12<x 0<1,∴f(x 0)>0,即[f(x)]min >0, ∴f(x)无零点,∴B 错误. 由f(x 0)=1x 0+x 0-2,12<x 0<1,可设g(x)=1x+x-2,则g'(x)=-1x+1.当12<x<1时,g'(x)<0,∴g(x)在(12,1)上单调递减.∴g(1)<g(x)<g (12),即0<f(x 0)<12, ∴C 正确,D 错误.故选AC.11.BD 设等差数列{a n }的公差为d,由题意得a 42=a 2a 8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),∴d 2-d=0,解得d=0或d=1. 当d=0时,a n =a 1=1, ∴b n =a n q a n =q,∴{b n }的前n 项和为nq,B 正确. 当d=1时,a n =n, ∴b n =n ·q n (q ≠0,1). ∴S n =1×q+2×q 2+…+nq n ,∴qS n =1×q 2+…+(n-1)q n +n ·q n+1, ∴(1-q)S n =q+q 2+…+q n-nq n+1=q(1-q n)1−q-nqn+1=q -qn+1+nq n+2-nq n+11−q.又q ≠1,∴S n =q+nq n+2-nq n+1-q n+1(1-q)2,D 正确.故选BD.12.BCD f(x)=e x ·x 3, ∴f'(x)=e x (x 3+3x 2). 令f'(x)=0,得x=0或x=-3. 当x<-3时, f'(x)<0, f(x)单调递减, 当x>-3时, f'(x)≥0, f(x)单调递增,A 错误. 又0<log 52<12<e -12<1<ln π,∴f(log 52)< f(e -12)< f(ln π),B 正确. ∵f(0)=0, f(-3)=e -3·(-3)3=-(3e)3<-1,∴f(x)=-1有实数根,C 正确. 设f(x)=kx,显然x=0是方程的根, 当x ≠0时,k=f(x)x=e x ·x 2,设g(x)=e x ·x 2,则g'(x)=x(x+2)e x ,令g'(x)=0,得x=0或x=-2.当x 发生变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x)↗4e 2↘↗画出y=g(x)的大致图象,如图,∴当0<k<4e2时,g(x)=k 有3个实数根,∴D 正确.故选BCD.三、填空题 13.答案 6解析 设等差数列{a n }的公差为d.则3d=a 6-a 3=6,解得d=2. 所以a 10-a 7=3d=6. 14.答案 768解析 由a n+1=3S n ,得S n+1-S n =3S n ,即S n+1=4S n ,又S 1=a 1=1,所以数列{S n }是首项为1,公比为4的等比数列,所以S n =4n -1,所以a 6=S 6-S 5=45-44=3×44=768. 15.答案 x-y-1=0解析 ∵f(x)=xg(x),∴f'(x)=g(x)+xg'(x).∵曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程是x-y-1=0, ∴{1−f(1)-1=0,f'(1)=1,∴{f(1)=0,f'(1)=1.∴{f(1)=1×g(1)=0,f'(1)=g(1)+1×g'(1)=1,解得{g(1)=0,g'(1)=1.则曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0, 即切线方程为x-y-1=0. 16.答案 -4;16解析 由4-x 2=0可得x=2或x=-2,即2,-2是函数f(x)的零点,∵f(x)=(4-x 2)(x 2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,且(2,0),(-2,0)关于x=1对称的点分别为(0,0),(4,0),∴0,4也是函数f(x)的零点, ∴0,4是x 2+ax+b=0的根,∴b=0,a=-4,∴a+b=-4, ∴f(x)=(4-x 2)(x 2-4x),∴f'(x)=-4(x-1)(x 2-2x-4), 令f'(x)=0,得x=1或x=1-√5或x=1+√5.当x>1+√5或1-√5<x<1, f'(x)<0, f(x)单调递减, 当1<x<1+√5或x<1-√5时, f'(x)>0, f(x)单调递增.又当x →∞时, f(x)<0, f(1+√5)=f(1-√5)=16,∴f(x)的最大值为16. 四、解答题17.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. ∵a 2=3,a 5=6,∴{a 1+d =3,a 1+4d =6,解得{a 1=2,d =1,(2分) ∴a n =a 1+(n-1)d=n+1.(4分) (2)由(1)知a n =n+1,∴b n =1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(6分)∴S n =b 1+b 2+…+b n =12-13+13-14+…+1n+1-1n+2(8分)=12-1n+2=n2(n+2).(10分)18.解析 (1)由已知得, f(x)的定义域为R, f'(x)=e x (x-1)+e x -e a x=x(e x -e a ), f'(0)=0. 又f(0)=-1,∴切点坐标为(0,-1).∴曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y=-1.(4分) (2)由(1)知f'(x)=x(e x -e a ). 令f'(x)=0,得x=0或x=a(a<0).当x 发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (-∞,a) a (a,0) 0 (0,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减.∴f(x)在x=0处取得极小值,且极小值为f(0)=-1.(8分)(3)由(2)知f(x)的极大值为f(a)=e a (a-1)-12e a a 2=(a -1-12a 2)e a <0(a<0),f(0)=-1<0, f(2)=e 2-2e a . ∵a<0,∴0<e a <1,∴f(2)>0. ∴函数f(x)的零点个数为1.(12分)19.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 令n=1,得1a 1a 2=13,所以a 1a 2=3.①(1分) 令n=2,得1a 1a 2+1a 2a 3=25,所以a 2a 3=15.②(3分)由①②得a 1=1,d=2,所以a n =2n-1.(5分) (2)由(1)知b n =2n ·22n-1=n ·4n , 所以T n =1·41+2·42+…+n ·4n ,所以4T n =1·42+…+(n-1)·4n +n ·4n+1,(7分) 两式相减,得-3T n =41+42+…+4n -n ·4n+1(9分) =4(1−4n )1−4-n ·4n+1=1−3n 3·4n+1-43,(11分)所以T n =3n -19·4n+1+49=4+(3n -1)·4n+19.(12分)20.解析 (1)由题意得a 1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a 2=a 1(1+50%)-d=32a 1-d=4 500-52d,(2分)a n+1=a n (1+50%)-d=32a n -d.(5分)(2)由(1)得a n =32a n-1-d=32·(32a n -2-d)-d=(32)2·a n-2-32d-d=…=(32)n -1a 1-d1+32+(32)2+…+(32)n -2,(7分)整理得a n =(32)n -1(3 000-d)-2d ·[(32)n -1-1]=(32)n -1(3 000-3d)+2d.(9分)由题意知a m =4 000,所以(32)m -1(3 000-3d)+2d=4 000,解得d=[(32)m -2]×1 000(32)m -1=1 000(3m -2m+1)3m -2m.(11分)故该企业每年上缴资金d 的值为1 000(3m -2m+1)3m -2m万元时,经过m(m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.(12分) 21.解析 (1)依题意得,∠AOC=2π3-θ2=π3-θ2,(2分)则y=12×(π3-θ2)×202×40×2+12×202×sin θ×50+12×θ×202-12×202×sin θ×30 =16 000×(π3-θ2)+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ =16 000π3+4 000sin θ-2 000θ,0<θ<2π3.(6分)(2)由(1)得,y'=4 000cos θ-2 000, 令y'=0,得cos θ=12,又0<θ<2π3,所以θ=π3,(8分)当0<θ<π3时,y'>0,当π3<θ<2π3时,y'<0,(10分)所以θ=π3是函数的极大值点,且唯一;所以当θ=π3时,日效益总量达到最大值.(12分)22.解析 (1)由f(x)=ln(2x+a), 得f'(x)=22x+a,因此f'(1)=22+a.(1分)又因为f(1)=ln(2+a),所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-ln(2+a)=22+a(x-1),即y=22+ax+ln(2+a)-22+a.(2分)由题意得,ln(2+a)-22+a=ln 3-23,易得a=1,符合上式.(3分) 令φ(a)=ln(2+a)-22+a(a>0),则φ'(a)=12+a +2(2+a)>0,所以φ(a)为单调递增函数,故a=1是唯一解.(4分) (2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)-2x 2x+1(x>0),则g'(x)=22x+1-2=-4x2x+1<0,所以g(x)=f(x)-2x(x>0)为单调递减函数.(6分) 因为h'(x)=22x+1-2(2x+1)=4x(2x+1)>0,所以h(x)=f(x)-2x 2x+1(x>0)为单调递增函数.(8分)(3)证明:由a 1=25,a n+1=f(a n )=ln(2a n +1),易得a n >0.所以5−2n+12<1a n-2等价于a n <2n5.(9分)由(2)可知,g(x)=f(x)-2x=ln(2x+1)-2x 在(0,+∞)上为单调递减函数. 因此,当x>0时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<2x. 令x=a n-1(n ≥2),得f(a n-1)<2a n-1, 即a n <2a n-1.因此,当n ≥2时,a n <2a n-1<22a n-2<…<2n-1·a 1=2n5.所以5−2n+12<1a n-2成立.(10分)下面证明:1a n-2<0.由(2)可知,h(x)=f(x)-2x2x+1=ln(2x+1)-2x2x+1在(0,+∞)上为单调递增函数,因此,当x>0时,h(x)>h(0)=0, 即f(x)>2x 2x+1>0.因此1f(x)<12x+1,即1f(x)-2<12(1x-2). 令x=a n-1(n ≥2), 得1f(a n -1)-2<12(1an -1-2),即1a n-2<12(1an -1-2).当n=2时,1a n-2=1a 2-2=1f(a 1)-2=1f(25)-2=1ln1.8-2.因为ln 1.8>ln √3>ln √e =12,所以1ln1.8-2<0,所以1a 2-2<0.(11分)所以,当n ≥3时,1a n-2<12(1an -1-2)<12(1an -2-2)<…<12(1a 2-2)<0.所以,当n ≥2时,1a n-2<0成立. 综上所述,当n ≥2时,5−2n+12n<1a n-2<0成立.(12分)。

新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。

Q PC'B'A'C BA高中数学必修一必修二综合测试题（时间90分钟，满分150分）姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)-1.5，则( )A ．y3>y1>y2B ．y2>y1>y3C ．y1>y2>y3D ．y1>y3>y26．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（ ）A ．15B ．13 C ．12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．9010．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（10题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．12．两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为13．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________.14.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）16．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．17．(本小题满分12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（1）证明：PQ∥平面ACD；（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值（17题）18．(本小题满分15分)已知圆C1：x2+y2－2x－4y+m=0，（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y－4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值。

第六章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的是（ ）A .各个面都是三角形的几何体是三棱锥B .以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C .棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D .圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2.在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是棱DD 1上的动点，则过A ，Q ，B 1三点的截面图形不可能的是（ ） A .等边三角形 B .矩形 C .等腰梯形 D .正方形3.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是（ ） A .4SB .4S πC .S πD .2S π 4.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为39 cm ，则其表面积为（ ）A .2B .218 cmC .2D .212 cm5.已知平面α⊥平面β，且l αβ=，要得到直线m ⊥平面β，还需要补充的条件是（ ）A .m α⊂B .m α∥C .m l ⊥D .m α⊂且m l ⊥6.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为13，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A .16πB .32πC .36πD .64π7.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A B 上一点，且11114PB A B =，则多面体11P BCC B -的体积为（ ）A .83B .163C .4D .58.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF △沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE △沿DE 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（ ）A .无论翻折到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D .存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒二、多项选择题（大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知α，β是两个不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A .若m n ∥，m α⊥，则n α⊥ B .若m α∥，n αβ=，则m n ∥C .若m α⊥，m β⊥，则αβ∥D .若m α⊥，m n ∥，n β⊥，则αβ∥10.已知m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A .若m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥ B .若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥ C .若m n ∥，n α⊂，αβ∥，m β⊄，则m β∥ D .若m n ∥，n α⊥，αβ⊥，则m β∥11.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ） A .在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B .异面直线AD 与PB 所成的角为90︒ C .二面角P —BC —A 的大小为45︒ D .BD ⊥平面PAC12.在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段A 1D 1上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ） A .CM 与PN 是异面直线 B .CM PN ＞C .平面PAN ⊥平面BDD 1B 1D .过P 、A 、C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.14.已知正四棱锥的侧棱长为60︒，则该四棱锥的高为________.15.设α，β，γ是三个不同平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：（1）a γ∥，b β∥；（2）a γ∥，b β⊂；（3）b β∥，a γ⊂，如果命题“a b αβγ=⊂，，且________，则a b ∥”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的序号填上）.16.如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论中： ①PB AE ⊥；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④45PDA ∠=︒，其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知正方体1111ABCD A B C D -. （1）证明：1D A ∥平面1C BD ； （2）求异面直线1D A 与BD 所成的角.18.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，连接AC A D A B BD BC C D ''''''，，，，，，得到一个三棱锥.求：（1）三棱锥—A BC D ''的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥—A BC D ''的体积.19.在如图的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥，点E ，G ，F 分别为棱MB ，PB ，PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证： （1）平面EFG ∥平面PMA ； （2）平面PDC ⊥平面EFG .20.如图平行四边形ABCD 中，BD =，2AB =，4AD =，将BCD △沿BD 折起到EBD △的位置，使平面EBD ⊥平面ABD . （1）求证：AB DE ⊥；（2）求三棱锥E —ABD 的侧面积.21.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求直线BE 与平面11ABB A 所成的角的正弦值；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ？证明你的结论.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1AC =，12AA BC ==，点D 在侧棱1AA 上.（1）若D 为1AA 的中点，求证：1C D ⊥平面BCD ；（2）若1A D =1B C D C --的大小.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】A 错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，B 错误，如图2，若ABC △不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥，C 错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，D 正确. 2.【答案】D【解析】当点Q 与点D1重合时，截面图形为等边三角形11AB D ，如图（1）；当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形11AB C D ，如图（2）；当点Q 不与点D 、1D 重合时，令Q 、R 分别为1DD 、11C D 的中点，则截面图形为等腰梯形1AQRB ，如图（3）D 是不可能的. 3.【答案】C【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则224R R S ⋅=，得2R S =，所以底面面积为2R S ππ=. 4.【答案】A【解析】设正四面体的棱长为 cm a ，则底面积为22 cm ，易求得高为 cm ，则体积为231934312a ⨯⨯==，解得a =，所以其表面积为)224cm 4⨯=. 5.【答案】D【解析】选项A ，B ，C 的条件都不能得到直线m ⊥平面β，而补充选项D 后，可以得到直线m ⊥平面β，理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 6.【答案】A【解析】将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为4=，即球的半径为2，故这个球的表面积为4216r ππ=.7.【答案】B【解析】】V 多面体1113P BCC B S -=正方形21111164133BCC B PB ⋅=⨯⨯=. 8.【答案】D【解析】在A 中，点A 与点C 一定不重合，故A 正确；在B 中，存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒，故B 正确；在C 中，当平面ABF ⊥平面BEDF ，平面DCE ⊥平面BEDF 时，直线AF 与直线CE 垂直，故C 正确； 在D 中，直线AB 与直线CD 不可能垂直，故D 错误. 二、9.【答案】ACD【解析】若m α⊥，则a ∃，b α⊂且a b P ⋂=使得m α⊥，m b ⊥，又m n ∥，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n a ⊥，故A 对；若m α∥，n αβ⋂=，如图，设m AB =，平面1111A B C D 为平面α，m α∥，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若m α⊥，m n ∥，则n a ⊥，又n β⊥，则αβ∥，故D 对. 10.【答案】BC【解析】若m α∥，n β∥且αβ∥，则可以m n ∥，m ，n 异面，或m ，n 相交，故A 错误；若m n ∥，m α⊥，则n a ⊥，又n β⊥，故α∥β，B 正确；若m n ∥，n α⊂，则m α∥或m α⊂，又αβ∥，m β⊄，故m β∥，C 正确；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，αβ⊥，则m β∥或m β⊂，D 错误. 11.【答案】ABC【解析】对于A ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，则侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ABD ∴△是等边三角形，AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 正确，对于C ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，BC AD ∥，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P —BC —A 的平面角，设1AB =，则BM PM =，在Rt PBM △中，tan 1PMPBM RM∠==，即45PBM ∠=︒，故二面角P —BC —A 的大小为45︒，故C 正确，对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 12.【答案】BCD 【解析】C 、N 、A 共线，即CN 、PM 交于点A ，共面，因此CM 、PN 共面，A 错误； 记PAC θ∠=，则2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+⋅︒-， 2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，又AP AC ＜， ()2222304CM PN AC AP -=-＞，22CM PN ＞，即 CM PN ＞，B 正确； 由于正方体中，AN BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，则1BB AN ⊥，1BB BD B =，可得AN ⊥平面11BB D D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面11BDD B ，C 正确；取11C D 中点K ，连接KP ，KC ，11A C ，易知11PK AC ∥，又正方体中，11AC AC ∥，PK AC ∴∥，PK 、AC 共面，PKCA 就是过P 、A 、C 三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D 正确. 三、13.【答案】3π【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据题意，得22r ππ=，解得1r =，根据勾股定理，得圆锥的高为=，所以圆锥的表面积2212132S πππ=⨯⨯+⨯=，体积21133V π=⨯⨯=. 14.【答案】3【解析】如图，过点S 作SO ⊥平面ABCD ，连接OC ，则60SCO ∠=︒，sin 603SO SC ∴=︒=⋅⋅=. 15.【答案】（2）（3）【解析】a γ∥，b β∥，不可以，举出反例如下：使βγ∥，b γ⊂，a β⊂，则此时能有a γ∥，b β∥，但不一定有a b ∥； a γ∥，b β⊂，可以，由a γ∥得a 与γ没有公共点，由b β⊂，a αβ⋂=，b γ⊂知，a ，b 在面β内，且没有公共点，故平行； b β∥，a γ⊂可以，由b β∥，a αβ=知，a ，b 无公共点，再由a γ⊂，b γ⊂，可得两直线平行. 综上可知满足的条件有（2）和（3）. 16.【答案】①④【解析】对于①，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AE ⊥，又EA AB ⊥，PA AB A ⋂=，所以EA ⊥平面PAB ，从而可得EA PB ⊥，故①正确；对于②，由于PA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 与平面PBC 不可能垂直，故②不正确；对于③，由于在正六边形中BC AD ∥，所以BC 与EA 必有公共点，从而BC 与平面PAE 有公共点，所以直线BC 与平面PAE 不平行，故③不正确；对于④，由条件得PAD △为直角三角形，且PA AD ⊥，又2PA AB AD ==，所以45PDA ∠=︒，故④正确， 综上①④正确. 四、17.【答案】（1）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB D C ∥，11AB D C =， ∴四边形11ABC D 是平行四边形，11AD BC ∴∥，1AD ⊄平面1C BD ，1BC ⊂平面1C BD ，1D A ∴∥平面1C BD ，（2）由（1）知，11AD BC ∥，∴异面直线1D A 与BD 所成的角即为1C BD ∠，易知1C BD △为等边三角形，160C BD ∴∠=︒，即异面直线1D A 与BD 所成的角为60︒， 18.【答案】（1）1111ABCD A B C D -是正方体，A B AC A D BC BD C D a ∴'=''='='=='=，∴三棱锥—A BC D ''的表面积为21422⨯⨯=，而正方体的表面积为26a ，故三棱锥A BC D '-' （2）三棱锥A ABD C BCD D A D C B A B C '-'--'''-'''，，，是完全一样的，故 4A BC A ABD V D V V '''-=-正方体三枚维三衫维，332114323a a a a =-⨯⨯⨯=.19.【答案】（1）点E 、G 、F 分别为棱MB 、PB 、PC 的中点，EG PM GF BC ∴∥，∥，又PM ⊂平面PMA ，EG ⊄平面PMA ，EG ∴∥平面PMA ， 四边形ABCD 是正方形，BC AD ∴∥，GF AD ∴∥，AD ⊂平面PMA ，GF ⊄平面PMA ，GF ∴∥平面PMA ，又EG GF G =，∴平面EFG ∥平面PMA ，（2）由已知MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥，PD ∴⊥平面ABCD ， 又BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥， 四边形ABCD 为正方形，BC DC ∴⊥， 又PDDC D =，BC ∴⊥平面PDC ，在PBC △中，G ，F 分别为PB ，PC 的中点，GF BC ∴∥，GF ∴⊥平面PDC ，又GF ⊂平面EFG ，∴平面PDC ⊥平面EFG .20.【答案】（1）证明：2AB =，BD =，4AD =，222AB BD AD ∴=＋，AB BD ∴⊥，平面EBD ⊥平面ABD ，且平面EBD ⋂平面ABD BD =，AB ∴⊥平面EBD ，DE ⊂平面EBD ，AB DE ∴⊥，（2）由（1）知AB BD ⊥，CD AB ∥，CD BD ∴⊥，从而折叠后DE BD ⊥， 在Rt DBE △中，2DB =2DE DC AB ===，12DBE S DB DE ∴=⋅=△ 又AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，AB BE ∴⊥， 4BE BC AD ===，412·ABE S AB BE ∴==△， DE BD ⊥，平面EBD ⊥平面ABD ，ED ∴⊥平面ABD ， 又AD ⊂平面ABD ，ED AD ∴⊥，142ADE S AD DE ∴=⋅=△，综上，三棱锥E —ABD 的侧面积8S =＋21.【答案】（1）如图（1），取1AA 的中点M ，连接EM ，BM ， E 是1DD 的中点，四边形11ADD A 为正方形，EM AD ∴∥，在正方体1111-ABCD A B C D 中，AD ⊥平面11ABB A ，EM ∴⊥平面11ABB A ，从而EBM ∠为直线BE 与平面11ABB A 所成的角，设正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，则2EM AD ==，3BE =， 在Rt BEM △中，2sin 3EM EBM BE ∠==， 即直线BE 与平面11ABB A 所成的角的正弦值为23.（2）在棱11C D 上存在点F ，使1B F ∥平面1A BE ， 证明如下：如图（2），分别取11C D 和CD 的中点F 和G ，连接EG ，BG ，1CD ，FG ，1B F1111A D B C BC ∥∥，且11 A D BC =， ∴四边形11A BCD 为平行四边形，11D C A B ∴∥， 又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，1EG D C ∴∥， 1EG A B ∴∥，1A ∴，B ，G ，E 四点共面，BG ∴⊂平面1A BE ， 在正方体1AC 中，F 和G 分别为11C D 和CD 的中点， GF ∴綊1C C 綊1B B ，∴四边形1B BGF 为平行四边形， 1B F BG ∴∥，又1B F ⊄平面1A BE ，BG ⊂平面1A BE ，1B F ∴∥平面1A BE ，22.【答案】（1）证明：由已知，得1AA BC ⊥，AC BC ⊥，则BC ⊥平面11AAC C ，又1C D ⊂平面11AAC C ，则1BC C D ⊥，①因为D 为1AA 的中点，所以1AD AC ==，又AD AC ⊥，则CAD △为等腰直角三角形，所以45ADC ∠=︒，同理1145A DC ∠=︒，所以190CDC ∠=︒，即1CD C D ⊥，② 结合①②得，1C D ⊥平面BCD ，（2）作1CE C D ⊥，垂足为E ，连接BE ，如图， 因为BC ⊥平面11AAC C ，所以1BC C D ⊥，所以1C D ⊥平面BCE ， 则1C D BE ⊥，所以BEC ∠为二面角1B C D C --的平面角，因为1111A D A C ==，所以1C D =在1CC D △中，12CC =，1CC 边上的高为1，则其面积为1，所以由112=得CE =，在Rt BCE △中，tan BC BEC CE ∠==，则 60BEC ∠=︒， 所以二面角1B C D C --的大小为60︒.。

高中数学必修二综合测试题第一章至第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关3.已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( )A. B.3 C. D.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( )A.外离B.相交C.外切D.内切5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④6.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0【补偿训练】过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为( )A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+1=07.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )A.(-2,1,-4)B.(2,1,-4)C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)【变式训练】已知点Q是点P(3,4,5)在平面xOy上的射影,则线段PQ的长等于( ) A.2 B.3 C.4 D.58.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是( )A.4B.3C.2D.19.已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线l的方程为( )A.4x+3y+5=0B.4x+3y-5=0C.3x+4y+5=0D.3x+4y-5=010.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=111.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm312.方程=lgx的根的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【延伸探究】曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知△ABC的三个顶点为A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则边BC上的中线长为.14.已知直线a和两个不同的平面α,β,且a⊥α,a⊥β,则α,β的位置关系是.15.已知一个球的表面积为36πcm2,则这个球的体积为cm3.16.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,①关于直线y=x对称;②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上,且过原点;④其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l1:ax+by+1=0(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0,(1)若b=0且l1⊥l2,求实数a的值.(2)当b=3且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.18.(12分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.19.(12分)已知圆M:x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标.20.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由.(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.21.(12分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA.(2)证明:BC⊥PD.(3)求点C到平面PDA的距离.22.(12分)已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.(1)求证:曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上.(2)证明曲线C过定点.(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.【补偿训练】已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切.(1)求圆C的方程.(2)点P在直线x=8上,过P点引圆C的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB恒过定点.高中数学必修二综合测试题(第一至第四章)参考答案(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d==2>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( )A. B.3 C. D.【解析】选A.==. 4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0【解析】选A.由题意可设所求的直线方程为y=-x+k,则由=1,得k=±.由切点在第一象限知,k=.故所求的直线方程y=-x+,即x+y-=0.【补偿训练】过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为( )A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+1=0【解析】选 A.依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得=,即3x-y-5=0.7.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )A.(-2,1,-4)B.(2,1,-4)C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)【解析】选C.点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).【变式训练】(2014·宁波高一检测)已知点Q是点P(3,4,5)在平面xOy上的射影,则线段PQ 的长等于( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.由题意,Q(3,4,0),故线段PQ的长为5.8.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选 B.两圆的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1,O2:(x-2)2+(y-5)2=16,圆心O 1(-2,2),O2(2,5),半径r1=1,r2=4,所以|O1O2|==5,r1+r2=5.所以|O1O2|=r1+r2,故两圆外切,故有3条公切线.9.已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线l的方程为( )A.4x+3y+5=0B.4x+3y-5=0C.3x+4y+5=0D.3x+4y-5=0【解析】选B.直线l的斜率与直线4x-3y+5=0的斜率互为相反数,且过点,所以直线l 的方程为4x+3y-5=0.【拓展延伸】直线关于直线对称问题的两种情形(1)两直线平行,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解.(2)两直线相交.一般解题步骤是:①在所求曲线上选一点M(x,y);②求出这点关于中心或轴的对称点M'(x0,y0)与M(x,y)之间的关系;③利用f(x0,y0)=0求出曲线g(x,y)=0.10.(2015·大连高一检测)当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1【解析】选C.设P(x1,y1),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则x=,y=,所以x 1=2x-3,y1=2y.又点P(x1,y1)在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.11.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm3【解析】选 C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×2=(cm3).12.(2015·潍坊高一检测)方程=lgx的根的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选B.设f(x)=,g(x)=lgx,则方程根的个数就是f(x)与g(x)两个函数图象交点的个数.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象.由图可得函数f(x)=与g(x)=l gx仅有1个交点,所以方程仅有1个根.【延伸探究】曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.如图所示,曲线y=1+变形为x2+(y-1)2=4(y≥1),直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),当直线l与半圆相切时,有=2,解得k=.当直线l过点(-2,1)时,k=.因此,k的取值范围是<k≤.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知△ABC的三个顶点为A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则边BC上的中线长为.【解析】BC的中点为D(1,-2,3),则|AD|==2.答案:214.已知直线a和两个不同的平面α,β,且a⊥α,a⊥β,则α,β的位置关系是. 【解析】垂直于同一直线的两个平面互相平行.答案:平行15.已知一个球的表面积为36πcm2,则这个球的体积为cm3.【解析】设球的半径为r,因为4πr2=36π,所以r=3,故体积为πr3=36π.答案:36π16.(2015·大庆高一检测)方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,①关于直线y=x对称;②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上,且过原点;④其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是.【解析】已知方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0),圆心坐标为(-a,a),它在直线x+y=0上,所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.答案:②三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l1:ax+by+1=0(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0,(1)若b=0且l1⊥l2,求实数a的值.(2)当b=3且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.【解题指南】(1)当b=0时,直线l1的斜率不存在,此时l1⊥l2,即l2的斜率为0,a-2=0.(2)l1∥l2,即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0,求出a的值,利用平行线间距离公式d=求解. 【解析】(1)当b=0时,l1:ax+1=0,由l1⊥l2知a-2=0,解得a=2.(2)当b=3时,l1:ax+3y+1=0,当l1∥l2时,有解得a=3,此时,l1的方程为:3x+3y+1=0,l2的方程为:x+y+3=0,即3x+3y+9=0,则它们之间的距离为d==.18.(12分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.【解析】连接OP,则OP⊥BC,设P(x,y),当x≠0时,k OP·k AP=-1,即·=-1.即x2+y2-4x=0.①当x=0时,P点坐标为(0,0)是方程①的解,所以BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内).【一题多解】由上述解法可知OP⊥AP,取OA中点M,则M(2,0),|PM|=|OA|=2,由圆的定义,知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心,2为半径的圆.故所求的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在已知圆内).19.(12分)(2015·滁州高一检测)已知圆M:x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标.【解析】由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m,-2),N(-1,-1).两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m+1)x-2y-m2-1=0.因为A,B两点平分圆N的圆周,所以AB为圆N的直径,所以AB过点N(-1,-1).所以2(m+1)×(-1)-2×(-1)-m2-1=0,解得m=-1.故圆M的圆心M(-1,-2).20.(12分)(2015·湖北高考)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由.(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(2)由已知,PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=S ABCD·PD=BC·CD·PD;由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BC⊥CE,所以V2=S△BCE·DE=BC·CE·DE.在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=CD,于是===4.21.(12分)(2015·广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA.(2)证明:BC⊥PD.(3)求点C到平面PDA的距离.【解析】(1)因为四边形ΑΒCD是长方形,所以ΒC∥ΑD,因为ΒC⊄平面ΡDΑ,ΑD⊂平面ΡDΑ,所以ΒC∥平面ΡDΑ.(2)因为四边形ΑΒCD是长方形,所以ΒC⊥CD,因为平面ΡDC⊥平面ΑΒCD,平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD,ΒC⊂平面ΑΒCD,所以ΒC⊥平面ΡDC,因为ΡD⊂平面ΡDC,所以ΒC⊥ΡD.(3)取CD的中点Ε,连接ΑΕ和ΡΕ,因为ΡD=ΡC,所以ΡΕ⊥CD,在Rt△ΡΕD中,ΡΕ===,因为平面ΡDC⊥平面ΑΒCD,平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD,ΡΕ⊂平面ΡDC,所以ΡΕ⊥平面ΑΒCD,由(2)知:ΒC⊥平面ΡDC,由(1)知:ΒC∥ΑD,所以ΑD⊥平面ΡDC,因为ΡD⊂平面ΡDC,所以ΑD⊥ΡD,设点C到平面ΡDΑ的距离为h,因为V三棱锥C-ΡDΑ=V三棱锥Ρ-ΑCD,所以S△ΡDΑ·h=S△ΑCD·ΡΕ,即h===,所以点C到平面ΡDΑ的距离是.22.(12分)(2015·杭州高一检测)已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.(1)求证:曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上.(2)证明曲线C过定点.(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.【解析】(1)原方程可化为(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2.因为k≠-1,所以5(k+1)2>0.故方程表示圆心为(-k,-2k-5),半径为|k+1|的圆.设圆心的坐标为(x,y),则消去k,得2x-y-5=0.所以这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.(2)将原方程变形为(2x+4y+10)k+(x2+y2+10y+20)=0,所以上式对于任意k≠-1恒成立,所以解得所以曲线C过定点(1,-3).(3)因为圆C与x轴相切,所以圆心(-k,-2k-5)到x轴的距离等于半径.即|-2k-5|=|k+1|.两边平方,得(2k+5)2=5(k+1)2.解得k=5±3.【补偿训练】已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切.(1)求圆C的方程.(2)点P在直线x=8上,过P点引圆C的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB恒过定点. 【解题指南】求出圆的半径即可写出圆的方程,而公共弦的方程只需将两圆的方程相减即可得到.【解析】(1)依题意得:圆C的半径r==4,所以圆C的方程为x2+y2=16.(2)因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为,b∈R,则线段OP的中点坐标为,所以以OP为直径的圆方程为+=42+,b∈R, 化简得:x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,所以直线AB恒过定点.。

本册综合测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。

每题5分，8题共40分)1．(2021·广西师大附属外国语学校高二月考)数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( ) A ．*1,n n a a n n N +=+∈B ． *1,2n n a a n n N n -=+∈≥，C ．()*11,,2n n a a n n N n +=++∈≥D ．*11,2()n n a a n n N n -=+-∈≥，【答案】B【解析】设数列1，3，6，10，15，…为{}n a ，所以2132432,3,4a a a a a a -=-=-=， *5415,2n n a a a a n n N n --=⋯-=∈≥，，，， 所以*1,2n n a a n n N n -=+∈≥，.故选：B.2．(2021·青海师大附中)设数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，58a =，36S =，则( ) A ．它的首项是2-，公差是3 B ．它的首项是2，公差是3- C ．它的首项是0，公差是2 D ．它的首项是3，公差是2-【答案】C【解析】因为5148a a d =+=，31336S a d =+= 所以可解得10,2a d == 故选：C3．(2021·河南郑州 )在等比数列{}n a 中，25827a a a ⋅⋅=-，则37a a ⋅=( ) A ．9- B ．9 C ．27- D ．27【答案】B【解析】由等比中项的性质可得：228375a a a a a ⋅=⋅=故325855273a a a a a ⋅⋅=-=∴=-则23759a a a ==⋅故选：B4．(2021·安顺市第三高级中学 )若函数()y f x =可导，则“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】()0f x '=，但()'f x 在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时()f x 在零点处无极值， 但()f x 有极值则()'f x 在极值处一定等于0.所以“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的必要不充分条件. 故选：A5．(2021·全国高二专题练习)已知函数()()21xf x x x e =++，则()f x 在(0())0f ，处的切线方程为( )A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=【答案】D 【解析】()()21x f x x x e =++，求导得：()()()()2221132x x xf x x e x x e x x e =++=+'+++，()02f ∴'= ，又()01f =，()f x ∴在(0())0f ，处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=.故选：D.6．(2021·全国高二课时练习)函数y ＝ln ||x x的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y ＝f (－x )＝ln ||x x--＝－f (x )， ∴y ＝f (x )＝ln ||x x为奇函数， ∴y ＝f (x )的图象关于原点成中心对称，可排除B. 又∵当x ＞0时，f (x )＝ln x x ， ()21ln xf x x -'=， ∴当x ＞e 时，()f x '＜0，∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减； 当0＜x ＜e 时，()f x '＞0， ∴函数f (x )在(0，e )上单调递增. 故可排除A ，D ，而C 满足题意. 故选：C.7．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(0，2π)上增【答案】A【解析】∵f ′(x )＝1－cos x >0在(0，2π)上恒成立， ∴f (x )在(0，2π)上为增函数. 故选：A8．(2021·河南郑州·高二期中(理))设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b +=+(a ，b 为常数)，则74a b =( )A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】 C【解析】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二课时练习)函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则( )A ．12x =为函数()f x 的零点 B ．2x =为函数()f x 的极小值点 C ．函数()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()2f -是函数()f x 的最小值【答案】BC【解析】解：由()f x '的图象可知，()f x 在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在(),2-∞-和1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2x =为()f x 的极小值点，所以B ，C 均正确； 12x =是()f x '的零点，但不一定是()f x 的零点，所以A 错误； ()2f -是函数()f x 的极小值，但不一定是最小值，所以D 错误.故选：BC.10．(2021·山东潍坊·高二期中)下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．其中，第2个图比第I 个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第n 个图的树枝数为n a ，数列{}n a 的前n 项和n S ，则下列说法正确的是( ) A ．12n n a -= B ．12nn n a a +=+C ．2n n S a n =-D ．13521221n n a a a a a n -+++⋅⋅⋅+=-+【答案】BC【解析】由题意，由图(3)可得37a =，对于A 中313247a -==≠，所以A 不正确；由图(2)比图(1)多出2个树枝，图(3)比图(2)多出4个树枝，图(4)比图(3)多出8个树枝，，由此可得12n n n a a +-=，即12n n n a a +=+，所以B 正确；由12nn n a a +-=，可得121121112()()12222112n n n n n n a a a a a a ---=+-++-=++++==--， 则12(12)2212n n n S n n +-=-=---，所以2n n S a n =-，所以C 正确； 由21nn a =-，可得135212(14)2241433n n n a a a a n n --+++⋅⋅⋅+=-=⋅---，又由2212212(21)121n n n a n n n +-+=⋅--+=--，所以D 不正确.故选：BC.11．(2021·全国高二专题练习)斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a 米的铁丝，需要截成n (n >2)段，每段的长度不小于1m ，且其中任意三段都不能构成三角形，若n 的最大值为10，则a 的值可能是( ) A ．100 B ．143 C ．200 D ．256【答案】BC【解析】不妨设10段铁丝长度为1210,,,a a a ，且12310a a a a ≤≤≤≤，依题意可知123a a a +≤，234a a a +≤，……，8910a a a +≤，11a ≥， 要使得n 最大，则12,,,n a a a 尽可能小，因此11a =，21a =，32a =，…，10115589a a ==，， 记斐波那契数列前n 项和为n S ，其中1011143,232S S ==，则有10111nk k S a a S =≤=<∑，故选：BC .12．(2021·广东汕尾·高二期末)已知函数()331f x x x =-+，则( )A ．函数()f x 的增区间为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()f x 的极小值为79C ．若方程()f x a =有三个互不相等的实数根，则71199a D ．函数()f x 的图像关于点()0,1对称 【答案】BD【解析】2()91f x x '=-，所以13x <-或13x >时，()0f x '>，1133x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在1(,)3-∞-和1(,)3+∞上递增，在11(,)33-上递减，A 错；函数()f x 的极小值为1739f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；函数()f x 的极大值为11139f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当71199a <<时，()f x a =有三个互不相等的实根，C 错；33()()313()12f x f x x x x x +-=-++⨯-++=，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称．D 正确．故选：BD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·河北石家庄·高二期末)写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x =_______________． 【答案】2x (答案不唯一)【解析】令2()f x x =(答案不唯一)， 则(0)0f =，()2f x x '=，令()0f x '=，则0x =，故函数在(),0-∞递减，在()0,∞+递增，故函数2()f x x =只有一个极值点. 故答案为：2x (答案不唯一)．14．(2021·全国高二课时练习)请写出一个符含下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 为无穷数列；②{}n a 为单调递增数列；③02n a <<.这个数列的通项公式可以是______. 【答案】12n a n=-.【解析】因为函数12n a n =-的定义域为*N ，且12n a n =-在*N 上单调递增，1022n <-<，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是12n a n =-，故答案为：12n a n=-.15．(2021·河南高二期末(理))设计一个蒙古包型的仓库，它由上､下两部分组成，上部分的形状是圆锥，下部分的形状是圆柱(如图所示)，圆柱的上底面与圆锥的底面相同，要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆锥的母线长是1，则该仓库的最大容积是___________.【解析】设圆锥的母线与轴的夹角为θ，则圆锥的底面半径为sin θ，高为cos θ，则仓库的容积为：()2223177sin cos 2sin cos sin cos cos cos 333V πππθθπθθθθθθ=+==-，02πθ<<， 令cos t θ=，3y t t =-，则01t <<，213y t '=-，0t <<0y '>1t <<时，0y '<，所以t =y V .. 16．(2021·辉县市第一高级中学高二月考(理))给出如下关于函数1ln ()xf x x+=的结论： ①对0x ∀>，都有()1f x ≤；②对1(0,1)x ∀∈，都2(1,)x ∃∈+∞，使得()()21f x f x =； ③1322f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④00x ∃>，使得()00f x x >.其中正确的有___________.(填上所有你认为正确结论的序号) 【答案】①③④ 【解析】2ln ()xf x x -'=，(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单增；(1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单减； 故()(1)1f x f ≤=，①正确；0,()x f x →→-∞，故(0,1)x ∈时，()(,1)f x ∈-∞；,()0x f x →+∞→，故(1,)x ∈+∞时，()(0,1)f x ∈，故当(0,1)x ∈，取1()0f x <时，如21()0f e e e<-<，找不到2(1,)x ∃∈+∞，使得()()21f x f x =，②错误；132323232(1ln 2)(1ln )(23ln 2ln )(2ln(8))22323232f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=--=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(2ln12)03=-<，故③正确； ()21ln 1ln x x x f x x x x x ++--=-=，令2()1ln h x x x =+-， 则2112()2x h x x x x -'=-=，0x >，故2x ∈，()0h x '>，()h x单增；()2x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单减；故211()1ln ln 222h x h ≤=+=-⎝⎭， ∵11ln 2022->∴11ln 20f -=>⎝⎭，即00x ∃>，使得()00f x x >，④正确； 故答案为：①③④四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·福建宁德·高二期中)①x y e =；②ln y x =．若直线y x a =+为__________(选择①、②中的一个)的切线． (1)求切点坐标； (2)求实数a 的值．注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分．【答案】若选①，(1)(0,1)P ；(2)1a =；若选②，(1)(1,0)P ；(2)1a =-. 【解析】选择①(1)设切点()00,x P x e ，()xf x e '=，()001x f x e '==，解得000,1xx e ==，所以切点为(0,1)P ．(2)由(1)知切点为(0,1)P ，所以切线为1y x -=，即1y x =+，所以1a =．选择②(1)设切点()00,ln P x x ，()1f x x'=，()0011f x x '==，解得001,ln 0x x ==，所以切点(1,0)P ．(2)由(1)知切点为(1,0)P ，所以切线为1y x =-，所以1a =-．18．(2021·江苏镇江·高二期末)有三个条件：①函数()f x 的图象过点 (0,1)，且1a =；②()f x 在1x =时取得极大值116；③函数()f x 在3x =处的切线方程为4270x y --=，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．题目：已知函数321()232a f x x x xb =+++存在极值，并且______．(1)求()f x 的解析式；(2)当[1,3]x ∈时，求函数()f x 的最值【答案】选①；(1)3211()2132f x x x x =+++；(2)max 41()2f x =，min 23()6f x =．选②：3213()2132f x x x x =-++；(2)min 5()3f x =，max 5()2f x =； 选③：3217()232f x x x x =-+-；(2)max 5()2f x =，min 13()6f x =-．【解析】选①：(1)(0)1==f b ，所以1a b ==，故3211()2132f x x x x =+++；(2)由2217()2024f x x x x ⎛⎫=++=++> ⎪⎝⎭'，所以()f x 单调递增，故max 41()(3)2f x f ==，min 23()(1)6f x f ==． 选②：因为321()232a f x x x xb =+++，所以2()2f x x ax '=++由题意知322111(1)1121326(1)120a fb f a ⎧=⨯+⨯+⨯+='⎪⎨⎪=++=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，故3213()2132f x x x x =-++，经检验()f x 在1x =时取得极大值，故符合题意，所以3213()2132f x x x x =-++， (2)22()23f x x x '=-+，令22()320f x x x '=-+=，所以1x =或2x =，所以(),1x ∈-∞或()2,+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；因此()f x 在()1,2单调递减，在()2,3单调递增，则111(1)213263f =-++=，3215(2)222213233f =⨯-⨯+⨯+=，3215(3)332313232f =⨯-⨯+⨯+=，所以min 5()3f x =，max 5()2f x =； 选③： 由题意知5(3)2(3)2f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，又因为2()2f x x ax '=++， 所以32215(3)3323322(3)2222a fb f a ⎧=⨯+⨯+⨯+='⎪⎨⎪=++=⎩，解得272a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 所以3217()232f x x x x =-+-， (2)()22()22110f x x x x '=-+=-+>，所以()f x 单调递增，故32max 17()(3)33233522f x f ==⨯-+⨯-=，min 1713()(1)12326f x f ==-+-=-． 19．(2021·甘肃甘州 )已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，若2d q ==，且1a ，1b ，2a ，2b 成等差数列.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)21n a n =-，2n n b =；(2)21n n T n =+. 【解析】(1)∵1a ，1b ，2a 成等差数列，∴12111121222a a a d d b a a ++===+=+①， 又∵1b ，2a ，2b 成等差数列，∴1221322b b a b +==，得11322a b +=②， 由①②得11a =，12b =，∴()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，111222n n n n b b q --==⨯=； (2)()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 20．(2021·贵州师大附中高二月考(理))已知数列{}n a 满足11()n n a a n N *+=+∈，且22a =.(1)若数列{}n b 满足111,21n n n b b b a +==+-，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}3n a n a ⋅的前n 项和n S .【答案】(1)222n b n n =-+；(2)()121334n nn S +-⋅+=. 【解析】 (1)由11n n a a +=+知数列{}n a 是公差为1的等差数列故212a a d =+=，所以11a =，所以n a n =所以121n n b b n +=+- 所以1(1)(123)13523,22n n n b b n n -+--=++++-=≥ 所以22(1)(123)11(1)22,22n n n b n n n n -+-=+=+-=-+≥ 又11b =满足上式，所以222n b n n =-+；(2)由(1)可得33n a n n a n ⋅=⋅所以1231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯①；234131323333n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯②；①-②得12311313131233n n n n S +=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-+， 所以()13132313n n n S n +--=-⨯- 所以()121334n n n S +-⋅+=21．(2021·天津市第一百中学高三月考)已知函数32()61f x ax x =-+，a R ∈.(1)若2a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若4a =-，求函数在区间[2,3]-的最值；(3)若()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，减区间是(0,2)；(2)最大值是9，最小值是161-；(3)((0,42)-．【解析】(1)2a =，32()261f x x x =-+，2()6126(2)f x x x x x '=-=-，0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，减区间是(0,2)；(2)4a =-，32()461f x x x =--+，2()121212(1)f x x x x x '=--=-+，21x -<<-或03x <<时，()0f x '<，10x -<<时，()0f x '>，()f x 在(2,1)--、(0,3)是递减，在(1,0)-上递增，()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值(1)1f =-=-，又(2)9f -=，(3)161f =-，所以函数在区间[2,3]-的最大值是9，最小值是161-；(3)2()3123(4)f x ax x x ax '=-=-，0a =时，2()61f x x =-+是二次函数，不可能是三个零点；0a >时，0x <或4x a >时，()0f x '>，40x a<<时，()0f x '<，即()f x 在(,0)-∞和4(,)a +∞上递增，在4(0,)a 上递减，所以()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值2432()1f a a ==-+，函数有三个零点，则23210a-+<，a -<<以0a <<0a <时，0x >或4x a <时，()0f x '<，40x a <<时，()0f x '>，即()f x 在4(,)a -∞和(0,)+∞上递减，在4(,0)a 上递增，所以()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值2432()1f a a ==-+，函数有三个零点，则23210a-+<，a -<<以0a -<；综上，a 的取值范围是((0,42)-．22．(2021·全国高二单元测试)森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s 万立方米(1030s <<)的森林.设n a 为自2021年开始，第n 年末的森林蓄积量(单位：万立方米).(1)请写出一个递推公式，表示1n a +，n a 两者间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成()1n n a k r a k +-=-的形式，其中r ，k 为常数；(3)为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s 最大为多少万立方米？(精确到1万立方米) 参考数据：85 5.964⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，957.454⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1059.314⎛⎫≈ ⎪⎝⎭. 【答案】(1)154n n a a s +=-；(2)()15444n n a s a s +-=-；(3)19. 【解析】(1)由题意，得()1120125%150a s s =⨯+-=-，()15125%4n n n a a s a s +=+-=-.① (2)将()1n n a k r a k +-=-化成1n n a ra k rk +=+-，② 比较①②的系数，得54r k rk s⎧=⎪⎨⎪-=-⎩， 解得544r k s⎧=⎪⎨⎪=⎩. 所以递推公式为()15444n n a s a s +-=-. (3)因为141505a s s -=-，且()10,30s ∈，所以140a s -≠，由(2)可知140a s -≠， 所以14544n n a s a s +-=-， 即数列{}4n a s -是以1505s -为首项，54为公比的等比数列， 其通项公式为()15415054n n a s s -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭， 所以()15415054n n a s s -⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭.2030年底的森林蓄积量为数列{}n a 的第10项，()9105415054a s s ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭. 由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以104120a ≥⨯，即()95415054804s s ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭， 即()415057.4541117.537.25480s s s s +-⨯=+-≥.解得19.17s ≤. 所以每年的砍伐量最大为19万立方米.。

第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（ ）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（ ）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A 2i-B .2C .2-D .2i6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i iz z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（ ）A .11,22æöç÷èøB .(1,1)C .11,22æö-ç÷èøD .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21iz +-是实数，则z =（ ）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S Î，必有xy S Δ，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（ ）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m Î=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ÎR ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ÎR g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++ÎR ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-ÎR 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ÎR ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ÎR ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ÎR ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ÎR ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z w q q Î+=+=-C （q 为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z w -的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z \+=-++-=-+，12z z \+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+ÎR ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z \在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +\==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A 【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22æöç÷èø.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，\设i z b =（b ÎR 且0b ¹），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b \+=，即2b =-，2i z \=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S Î，必有xy S Δ的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d \++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m Î=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ÎR ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，\“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ×ÎR ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ÎR ，则z z ×ÎR .\“z z ×ÎR ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t æö+-=+--ç÷èø＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ì+-=ïí++¹ïî即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、13.16【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-ÎR 是纯虚数，240,20,a a ì-=ï\í-¹ïî解得2a =-，4i z \=-，4i z =，114i z \+=-=，z z ×.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z \=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++\===---+，其共轭复数为i -，\其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM Ð为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM ==u u u r ，所以1210M M =u u u u u u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==u u u r u u u r u u u u u u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+ÎR ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b +-=\-=ïî解得4,3,a b =-ìí=î43iz \=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++\====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ì--=ïí--¹ïî即251,53,m k m m m ì==-ïí¹¹-ïî或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)z +=-+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m \--+=，10,20,n m m --=ì\í=î解得1,0,n m =ìí=î1m n \+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m \--+-=，40,240,n m m --=ì\í-=î解得6,2,n m =ìí=î8m n \+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，\12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-ìí-+--=-î解得6,2,n m =ìí=î8m n \+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ìï-íï-î＜解得1,5,2a a ìïíïî＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2æöç÷èø.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a \=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a éù\+=+-+--=++---ëû-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a \---=¹¹且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a \=+-=-+-，1z \=.21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos 2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22pp ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，\点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。

高中数学必修2测试题附答案数学必修2一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；解析：平行于同一平面的两条直线一定平行，为真命题，选A。

2、下列命题中错误的是：（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；解析：如果直线α垂直于平面β，则α内不存在直线平行于平面β，选A。

3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线AA’与BC所成的角是（）解析：异面直线AA’与BC所成的角为直角，选D。

4、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，AB二面角D’-AB-D的大小是（）解析：AB二面角D’-AB-D为60度，选C。

5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）解析：将y=0代入5x-2y-10=0，得到x=2，即直线在x轴上的截距为2；将x=0代入5x-2y-10=0，得到y=-5，即直线在y轴上的截距为-5，选B。

6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）解析：将2x-y=7和3x+2y-7=0联立，解得交点为(3,-1)，选A。

7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）解析：3x-4y+6=0的斜率为3/4，与其垂直的直线斜率为-4/3，过点P(4,-1)，代入点斜式方程y+1=-4/3(x-4)，化简得到4x+3y-13=0，选A。

8、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）解析：正方体的全面积为6a，每个面积为a，每个面的对角线长为正方体的对角线长，即球的直径。

因此球的直径为正方体的对角线长，即a的开根号乘以根号3.球的表面积为4πr^2，即4π(0.5a√3)^2=3πa^2，选C。

9、圆x^2+y^2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）解析：将x^2-4x和y^2-2y分别配方得到(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=0，即(x-2)^2+(y-1)^2=5，圆心坐标为(2,1)，选B。

第五章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲一定会胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指明天降水的可能性是90%2.小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）图1图2A.1%B.2%C.3%D.5%3.如图是容量为100的某样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为（）A.11B.11.5C.12D.12.54.从一批羽毛球中任取一个，如果取到质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.70D.0.685.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的标准，AQI指数与空气质量对应如表所示：下图是某城市2018年11月全月的AQI变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A.从整体上看，这个月的空气质量越来越差B.从整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C.从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D.从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值6.AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度.AQI 共分六级：一级优（0~50）；二级良（51~100）；三级轻度污染（101~150）；四级中度污染（151~200）；五级重度污染（201~300）；六级严重污染（大于300）.如图是某市2019年4月份随机抽取10天的AQI指数的茎叶图，利用该样本估计该市2020年4月份空气质量为优的天数为（）A.3B.4C.12D.217.黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，一天有强浓雾的概率为40%，现用随机模拟的方法计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0~9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，表示没有强浓雾，用6，7，8，9表示有强浓雾，再以每个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如20组随机数：779 537 113 730 588 506 027 394 357 231683 569 479 812 842 273 925 191 978 520则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（）A.14B.25C.310D.158.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A.310B.15C.110D.1209.洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率是（ ）A .12B .23C .14D .1310.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x L ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A .22,100x s + B .22100,100x s ++ C .2,x sD .2100,x s +二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.如图是某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），则下列结论中不正确的是（ ）A .甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等B .甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高C .甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低D .甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高12.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C .2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D .2019年3月全国居民消费价格环比变化最快三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工的年龄作为样本，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取________人.14.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________.15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为________.16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a = ________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）直接根据茎叶图判断哪个班学生的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.18.（12分）改革开放40年来，体育产业的蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.如图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）.（1）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（2）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（只写结论，不要求证明）19.（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的情况，通过抽样，获得了100位L分成9组，制成了如图所示的频率居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.20.（12分）一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每枝2元，云南空运来的百合花每枝进价1.6元，本地供应商处百合花每枝进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量（单位：枝）依次为251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（1）求今年四月前10天订单中百合花日需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（2）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（1）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250枝还是255枝百合花，才能使四月后20天百合花销售总利润更大？21.（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄（单位：岁）分成7段：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试求这40人年龄的平均数和中位数的估计值；（2）①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.,两道题目22.（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A B中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001—900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）采用分层抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计总体，求900名考生选做题得分的平均数与方差。

高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①② B．②④ C．①③ D．②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为（）A．2x y1 B．2x y5 C．x2y5D．x2y73.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝3x的距离是()A．2 B．2 C．1 D．34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且A．2 B． C． D．5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是()A．若m//α,n⊥α，则m//n B．若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC．若m//α,n//α，则m//n D．若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－687.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）A．1/5 B．113° C． D．232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧面BC1C 的中心为D，则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD 成60°的角；④AB与CD所成的角是60°。

第二章综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45 B. .35C .34D ．－3511．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )A.33B.13 C ．0 D ．－1212．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD ＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.[分析]本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.[分析](1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b ∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析]选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a ∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.9[答案] C[解析]如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．[解析]首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到5＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．11[答案] C[解析]取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.12[答案] B[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS 为正三角形，∴∠ACS＝60°.13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.15[答案]9[解析]如下图所示，连接AC，BD，则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD .∵α∥β，∴AC ∥BD ， 则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD ，解得SD ＝9.16[答案] ①②④ [解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确． 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18[解析](1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM .(2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°. ∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20[解析](1)因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1，又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 . (2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，所以A 1B ∥DE .又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解](1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又G是EC的中点，∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22AB，∴CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝22AB＝22，∴CH⊥AB，且CH＝12，又平面ABED⊥平面ABC。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第十章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球、l 个黑球，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A .没有白球B .有2个白球C .红、黑球各1个D .至少有1个红球2.甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ） A .16B .15C .23D .133.若事件A 和B 是互斥事件，且()0.1P A =，则()P B 的取值范围是（ ） A .[]0,0.9B .[]0.1,0.9C .[)0,0.9D .[]0,14.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是（ ）①“至少有1个白球”与“都是白球”； ②“至少有1个白球”与“至少有1个红球”； ③“至少有1个白球”与“恰有2个白球”； ④“至少有1个白球”与“都是红球”。