新人教版八年级数学下册29.1 第2课时 正投影(导学案)
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初中数学人教版九年级下册同步说课稿29-1 第2课时《正投影》一. 教材分析《正投影》是初中数学人教版九年级下册第29-1课时的内容。
本节课的主要目的是让学生了解和掌握正投影的概念和性质,以及正投影在几何图形中的应用。
通过学习正投影,学生能够更好地理解和解决几何问题,提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。
教材中首先介绍了正投影的定义和性质,通过具体的例子让学生理解正投影的概念。
然后,教材引导学生通过观察和操作,探索正投影的性质,并能够运用正投影解决一些实际问题。
教材还通过一些练习题,帮助学生巩固所学的知识,提高他们的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,他们对几何图形有一定的了解。
但是,对于正投影这一概念,学生可能比较陌生,需要通过具体的例子和操作来理解和掌握。
此外,学生的空间想象能力和解决问题的能力参差不齐,需要教师在教学中进行针对性的引导和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:学生能够理解正投影的概念,掌握正投影的性质,并能够运用正投影解决一些实际问题。
2.过程与方法目标:通过观察、操作和思考,学生能够培养自己的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:学生能够积极参与课堂活动,对数学产生兴趣,培养自己的探索精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点:正投影的概念和性质。
2.教学难点:正投影在几何图形中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、操作实践法和小组合作法进行教学。
2.教学手段:利用多媒体课件、几何模型和练习题进行教学。
六. 说教学过程1.导入:通过一些具体的例子,引导学生观察和思考,引入正投影的概念。
2.新课导入:介绍正投影的性质,引导学生通过观察和操作,探索正投影的性质。
3.应用拓展:通过一些实际问题,引导学生运用正投影解决几何问题。
4.练习巩固:学生独立完成一些练习题,巩固所学的知识。
5.小结总结:教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
人教版九年级数学下册第二十九章投影与视图29.1.2《正投影》教学设计一、教材分析本节课的内容是正投影.在学习《正投影》这一节以前,我们已学习了投影知识,正投影是一种特殊的投影.学习正投影是对前面知识的延续和发展,同时也是学习后面视图知识的必要知识储备.本节课从日常生活常见的具体实例入手,通过多媒体演示让学生分析不同的几何体由于位置摆放的不同,它们的正投影产生的效果不同,从而理解正投影的规律.然后介绍了视图这一概念 .二、设计理念《义务教育数学课程标准》提出数学教学是数学活动的教学,是师生之间,生生之间交往互动与共同发展的过程.本节课的设计正是以此为理念,通过提出问题,让学生迅速进入学习状态,学生经历了观察、思考、探究、发现的过程,感受中心对称图形的特征,培养学生的观察能力和动手操作能力.本节课采用的是“探究式—启发式—讲练结合”的模式展开教学,在整个授课过程中努力体现学生的主体地位,亲身体验知识的发生和发展与应用过程,从而激发学生学习数学的兴趣,培养学生运用数学的意识和能力.三、学生分析本节课针对九年级学生的实际情况,采用自主探索,启发引导,合作交流展开教学,引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流.同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学,让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分发展.但是部分学生不能正确分析中心投影、平行投影之间的关系和区别,导致在判断物体的正投影时引起错误.九年级学生已经具有一定的分析、概括和归纳能力;有了一定的自主学习和合作学习能力.他们对新鲜事物有强烈的好奇心,具有较强的求知欲.四、评价方式教师在教学中关注的是学生对待学习的态度是否积极,关注的是学生想了没有,参与了没有,关注的是学生能否从数学的角度思考问题,也就是关注过程,而不是结果.另外,在课堂教学中,给了学生更多的展示自己的机会,并且教师的鼓励与欣赏有助于学生认识自我,建立自信,发挥评价的教育功能.五、教学目标1.知识与技能:(1)了解正投影的概念.(2) 能根据正投影的性质画出简单几何图形的正投影.2.过程与方法:学生经历观察探究正投影性质,以及动手画几何图形正投影的过程,感受正投影的性质,培养学生的探究能力和动手作图能力.3.情感、态度与价值观:经历数学活动过程,发展空间想象能力,加强学生的审美意识,体会数学来源于生活.六、教学重点和难点1. 教学重点:了解正投影性质.2. 教学难点:能根据正投影的性质画出简单几何图形的正投影.七、教学方法观察—交流—探究八、教学具准备相关多媒体课件九、教学过程设计(一)复习引入1. 说一说什么是投影、投影线、投影面?2. 什么是平行投影和中心投影?它们有什么区别和联系?3. 做一做:(1) 物体的影子在正北方,则太阳在物体的 ( )A. 正北B. 正南C. 正西D. 正东(2) 太阳发出的光照在物体上是平行投影,车灯发出的光照在物体上是中心投影.4.新课引入:观察下列投影说出它们的相同点和不同点:学生小议,举手回答出平行投影中的特殊情况.教师根据学生的回答导入新课正投影,板书课题——正投影教师根据特殊的平行投影介绍什么叫正投影,板书正投影定义.(二)探索新知探究1:如图29.1-6(见课本89页),把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置:(1)铁丝平行于投影面;(2)铁丝倾斜于投影面;(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?平行长不变;倾斜长缩短;垂直成一点.教师演示,学生观察动画,分组讨论共同探究出规律.探究2:如图29.1-7(见课本90页),把一块正方形硬纸板P(例如矩形ABCD)放在三个不同的位置:(1)纸板平行于投影面;(2)纸板倾斜于投影面;(3)纸板垂直于投影面三种情形下纸板的正投影各是什么形状?平行形不变;倾斜形改变;垂直成线段.教师演示,学生观察动画,分组讨论共同探究出规律.探究3:画出如图29.1-8(见课本90页)摆放的正方体在投影面P上的正投影.(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P;(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P,上底面ADEF垂直于投影面P.几何体在一个平面上的正投影叫几何体的视图.几何体在一个平面上的正投影叫几何体的视图.从正面看, 一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形.教师演示,学生观察动画,分组讨论共同探究出规律.教师根据学生的探究,说明几何体的正投影就相当于我们从正面看到的平面图形,从而介绍什么叫视图,板书视图定义.(三)应用新知如果圆柱,圆锥的底面与投影面平行,那么他们的正投影是什么图形?球的正投影呢?学生自主完成,上台展示所画图形,其他同学作出评价.(四)归纳小结你能谈谈本节课的收获吗?(五)布置作业习题29.1:第1题、第2题.(六)教学反思本节课充分运用多媒体课件辅助数学教学,帮助学生了解正投影的性质,并且能根据正投影的性质画出简单几何图形的正投影. 也让学生从生活中感受数学的存在,从而激发学生学习数学的积极性.板书设计29.1.2正投影正投影定义: 在平行投影中,如果投影线与投影面垂直,那么这种投影叫正投影.平行长不变,倾斜长缩短,垂直成一点.平行形不变,倾斜形改变,垂直成线段.一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形, 几何体在一个平面上的正投影叫几何体的视图.。
29.1投影(2)
1.阳光下,同学们整齐地站在操场上做课间操,小勇和小宁站在同一列,小勇的影子正好落到后面一个同学身上,而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上,据此判断他们的队列方向是____________ (填“背向太阳”或“面向太阳”),小宁比小勇(填“高”、“矮”、或“一样高”).
2.一根竿子高1.5m,影长1m,同一时刻,某塔影长是20m,则塔的高度是______m.3.晚上,人在马路上走过一盏路灯的过程中,其影子长度的变化情况是( ) A.先变短后变长B.先变长后变短C.逐渐变短D.逐渐变长
4.下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子:将它们按时间先后顺序进行排列,正确的是( )
A.③④②①B.②④③①C.③④①②D.③①②④
5.如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径是1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡距离地面3m,则地面上阴影部分的面积是( )
A.0.36pm2B.0.81pm2
C.2pm2D.3.24pm2
6.平面直角坐标系中,一点光源位于A(0,5)处,线段CD⊥x轴于D,C(3,1),求:(1)CD在x轴上的影长;(2)点C的影子的坐标.
7.如图所示,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上,某一时刻.小明竖起1m高的直杆,量得其影长为0.5m,此时,他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m,落在墙上的影子CD的高为2m,小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高.你知道小明是如何计算出来的吗?
答案
1.面向太阳;矮.2.30. 3.A.4.C.5.B.
6.如图,(1)CD在x轴上的影长DE=0.75;(2)C的影子为E(3.75,0).
7.过C作CD⊥AB于E,则AE的影子为CE.。
29.1投影第 2课时教课目的【知识与技术】认识正投影的观点,能依据正投影的性质画出简单平面图形的正投影.【过程与方法】在经历察看、研究、思虑、归纳的过程中,掌握正投影的特点.【感情态度】培育学生的抽象、归纳能力,发展学生的空间观点教课重难点【教课要点】正投影的含义及其性质.【教课难点】归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.课前准备无教课过程一、情境导入,初步认识问题:如图表示一块三角尺在光芒照耀下形成投影. 此中哪些是平行投影,哪些是中心投影?图( 2)、( 3)的投影线与投影面的地点关系有什么差别?【教课说明】联合上述三幅图来复习平行投影和中心投影,稳固所学知识,并联合图(2)、(3)的投影线和投影面的地点关系,可很自然地引入新课 . 教课时,学生互相沟通能正确获得结论 .二、思虑研究,获得新知正投影定义:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. 如上述三幅图中图(3) 中的投影就是正投影 .研究 1 如图,把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不一样地点:(1)铁丝平行于投影面;(2)铁丝倾斜于投影面;(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不必定要与投影面有公共点).三种情况下铁丝的正投影各是什么形状?在什么状态下正投影与线段AB完整同样?研究2如图,把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)”在三个不一样地点:(1)纸板平行于投影面;(2)纸板倾斜于投影面;(3)纸板垂直于投影面 .三种情况下纸板的正投影各是什么形状?哪一种状态下的正投影和这个面的形状、大小完整同样?由题意可知:( 1)当铁丝平行于投影面时,它的正投影A1B1与线段 AB是相等的;(2) 当纸板P平行于投影面时,它的正投影A′B′C′D′与 P 的形状、大小同样.【教课说明】教师用实物演示或展现图片,提出问题,经过学生主动察看、踊跃思虑、相互沟通,归纳出物体正投影的规律. 教师要注意聆听,指引学生正确归纳出正投影的性质.【归纳结论】当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全同样 .三、典例精析,掌握新知例 1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P(如图( 1)) ;(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P,上底面ADEF垂直于投影面P,而且上底面的对角线 AE垂直于投影面 P (如图(2)).【教课说明】出示问题后,教师应指引学生来剖析问题:1.猜想( 1) 、( 2) 中的正投影各应当是什么形状?2.如何画出各自平行光芒下的正投影?而后让学生互相沟通,获得感性认识后,再让学生联合教材的剖析和解答过程进行自查,感遇到物体的正投影与从正面察看物体所看到的图形是同样的,既掌握本节知识,又为下节课的学习埋下伏笔 .例 2若线段 AB 在投影面上的正投影为A1B1,则线段 AB 与线段 A1B1的大小关系是()A. AB=ABB.AB>AB1111C.< A BD.AB≥A B1111【剖析】线段与投影面的地点关系决定线段AB与投影 A1B1的大小关系,当线段AB平行于投影面时, AB=A1B1;当线段AB 倾斜于投影面时, AB>A1B1;当线段 AB 垂直于投影面时, A1与 B1重合,即 A1B1=0,也就是 AB>A1B1.综上所述, AB≥ A1B1【答案】D【教课说明】本题的主要目的是观察正投影的性质之一:当线段平行于投影面时,它的正投影长短不变;当线段倾斜于投影面时,它的正投影变短;当线段垂直于投影面时,它的正投影为一个点 .教师在解说本题时,应指引学生领会到正投影的其余性质:当平面图形的面平行于投影面时,它的正投影与这个平面图形的形状、大小完整同样,当平面图形的面倾斜于投影面时,它的正投影相对这个平面图形的形状、大小发生变化;当平面图形的面垂直于投影面时,它的正投影为一条线.一个物体(立体图形)的正投影的形状、大小与它相关于投影面的地点相关. 立体图形的正投影能够归纳为点、线段及平面图形的正投影. 在达成上述例题后,教师指引学生达成创优作业中本课时的“名师导学”部分.四、师生互动,讲堂小结1.回首正投影的含义及其性质;2.反省作简单几何图形的正投影的过程及自己作图过程中失误的原因,领会正投影的作图方法与技巧;3.物体的正投影的形状、大小与它相关于投影面的地点能否相关系?【教课说明】让学生在回首反省过程中梳理本节学过的知识,找出问题,查漏补缺. 教师巡视时,听取学生的见解,帮助学生查找和剖析问题,达到领悟本节知识的目的.课后作业1.部署作业:从教材 P92 ? 93习题 29.1 中选用 .2.达成创优作业中本课时的“课时作业”部分.教课反省本课时是在上一课时基础长进一步学习投影的相关知识,教课时要注意让学生自己着手操作,教师巡视并同学生一同归纳结论. 教师在教课过程中应注意让学生在实质操作中发现问题,教师关于学生的疑问要进行采集,此外还要充足提高学生的空间想像力.。
29.1.2 正投影学案一、新课导入1.课题导入下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影,其中哪个是平行投影?哪个是中心投影? 图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?像图(3)这样,投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.这节课我们研究正投影.(板书课题)2.学习目标(1)知道什么是正投影.(2)能画出简单物体的正投影.3.学习重、难点重点:正投影的概念及性质.难点:正确画出简单物体的正投影.二、分层学习第一层次学习1.自学指导(1)自学内容:教材P88~P90归纳.(2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:观察、归纳.(4)探究提纲:①投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.②如图所示:当AB平行于投影面P时,AB=A1B1;当AB倾斜于投影面P时,AB>A2B2;当AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点.③如图所示:当纸板P平行于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小一样;当纸板P倾斜于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小不完全一样;当纸板P垂直于投影面Q时, P的正投影成为一条线段.④物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.2.自学:学生结合自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:观察学生探究提纲的完成情况和是否理解正投影的性质.②差异指导:根据学情进行相应指导,条件许可时,还可通过实验验证.(2)生助生:小组相互交流、研讨.4.强化:正投影的性质.第二层次学习1.自学指导(1)自学内容:教材P90~P92.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:仔细阅读例题的分析和解题过程,体会画正投影的操作要点.(4)自学参考提纲:①教材P90例题第(1)问中,面ABCD和与它平行的面的正投影重合,是正方形A′B′C′D′,其余四个面都与投影面垂直,所以它们的正投影分别是线段A′B′,B′C′,C′D′,A′D′.②例题第(2)问中,面ABCD和面CDEH的正投影重合,是矩形A′B′C′D′,面ABGF和面GHEF的正投影重合,是矩形A′B′G′F′,面ADEF的正投影是线段D′F′,面BCHG的正投影是线段C′G′;棱AB和棱HE的正投影重合,是线段A′B′,棱GF的正投影是线段G′F′,棱CD 的正投影是线段C′D′③如图,投影线的方向如箭头所示,画出圆柱体的正投影.2.自学:学生参考自学参考提纲进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:观察学生能否画出简单物体的正投影.②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生:小组内相互交流、研讨.4.强化:物体正投影的画法.三、评价1.学生学习的自我评价:这节课你学到了哪些知识?掌握了哪些解题技能?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果和存在的问题等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本课时是在上一课时的基础上进一步学习投影的有关知识.教学时要注意让学生自己动手操作,学生在经历观察、探究、思考、归纳的过程中,掌握正投影的特征.教师在教学过程中应注意让学生在实际操作中发现问题,教师对于学生的疑问要进行收集并及时解答,另外还要充分提升学生的空间想象力.作业评价一、基础巩固(70分)1.(10分) 如图,投影线的方向如箭头所示,则图中圆柱体的投影是(B)A.圆B.矩形C.梯形D.圆柱2.(10分)一条线段在阳光下的投影可能是(D)①线段②射线③直线④点A.①③B.②③C.①②D.①④ 3.(10分)三角形的正投影是(D ) A.三角形 B.线段 C.直线或三角形 D.线段或三角形 4.(10分)当棱长为20 cm 正方体的某个面平行于投影面时,这个正方体的正投影的面积为(C )A.20 cm 2B.300 cm 2C.400 cm 2D.600 cm 25.(10分)有一个窗户是田字形,阳光倾斜的照进窗户,地面便现出它的影子,你认为可能为窗户的影子的是(D )① ② ③ ④A.④B.②④C.①②D.①③ 6.(20分)水平面上放置的球、正三棱锥、竖直放置的圆锥和水平放置的圆柱在水平面上的正投影分别是圆、正三角形 、圆 、矩形 .二、综合应用(20分)7.(10分)如图是由上到下的光线照射一个正五棱柱的正投影,请你指出这时正五棱柱的各个面的正投影分别是什么.解:上下表面的正投影相同,是正五边形;五个侧面的正投影相同,是一条线段.8.(10分)一个圆锥的轴截面平行于投影面,它的正投影是边长为3的等边三角形.求圆锥的体积和表面积.解:圆锥的体积:ππ⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭21339333228; 圆锥的表面积:πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭2312733224. 三、拓展延伸(10分)9.(10分)画出如图摆放的正六棱柱的正投影:(1)投影线由物体前方照射到后方;(2)投影线由物体左方照射到右方;(3)投影线由物体下方照射到上方.解:。
正投影各位专家、评委、老师们:你们好!今天,我将要为大家说课的内容是《投影》的第二课时:正投影。
下面我就从教材结构、教学目标、教法和学法、教学流程以及设计理念五个方面向大家汇报:一、教材结构与内容简析在学习本节之前,学生已经具有一定的关于平面图形与立体图形的知识,并且在七年级上册接触过“从不同方向观察物体”和“点、线、面、体”之间的联系及基本几何体的平面展开图等反映平面图形与立体图形之间的联系问题。
上一节课,学生又学习了投影的一些基础知识包括投影、中心投影、平行投影的概念,在此基础上,这节课主要学习正投影概念及探究正投影的成像规律,以正投影为平台,进一步深入研究投影的性质,更深一层理解立体图形与平面图形的相互转化关系,培养学生的空间观念,这为过渡到三视图的学习起着辅垫的作用,更为高中学习立体几何打下基础。
所以这是一节承上启下的“桥梁”课。
二、教学目标及教学重难点根据新《课标》要求,结合上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构及心理特征,我制定了如下教学目标:1、基础知识目标:了解正投影的概念,理解正投影的性质会画出简单的立体图形的正投影。
2、能力训练目标:在探索物体正投影的活动中,培养学生归纳,综合分析能力,在体会立体图形与平面图形的相互转化关系中,发展学生的空间想象能力。
3、创新素质目标:通过对不同物体正投影的实验演示以及画不同物体正投影,使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识。
4、德育目标:通过学习,培养学生积极主动参与及合作意识,增强学好数学的信心。
结合以上教学目标,我认为要达到教学目标,本节的重难点在于:5、教学重点:理解正投影的含义,掌握正投影的性质,能画出物体不同角度的正投影。
6、教学难点:正确画出立体图形的正投影。
为此,我做了以下教学准备:7、教学准备:直铁丝、正方形硬纸板、正方体纸盒、多光头手提灯、多媒体平台。
三、教法和学法基于本节课与学生日常生活联系紧密,可自主操作性强的特点,决定采用自主探究体验式的教学方法。
新人教版九年级数学下册《二十九章投影与视图29.1投影正投影》教案_329.1 投影(第二课时)——正投影的性质一、教学目标知识与技能:1、进一步理解正投影的概念;2、能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
过程与方法:1、在探究物体与其正投影关系的活动中,体会立体图形与平面图形的相互转化关系,培养学生的动手实践能力,发展学生的空间观念。
2、通过探究生活中有关正投影的数学问题,提高数学的应用意识。
情感态度与价值观:通过学习,鼓励学生敢于发表自己的想法,通过积极参与数学活动,增强学习数学的兴趣和信心。
二、学习重点、难点:重点——归纳正投影的性质难点——面的正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影。
三、学具准备:铅笔、正方形纸板、泡沫塑料、竹签、作图工具。
教学辅助:多媒体四、教学过程:(一)提出问题上一节课,我们探索了投影线的变化对投影的影响。
今天我们接着该研究什么?目的:让学生有提出研究问题的机会,加强知识之间的联系,逐步学会研究问题。
为解决问题,学生会自动回忆上节课的内容。
教师亦可顺势让学生回顾投影线的变化对投影的影响。
这样,自然而然的复习了投影的分类,教师还可以追问分类的依据以及彼此的区别和联系。
出示课件展示结果。
投影线的变化中心投影平行投影正投影斜投影回到原来的问题“今天研究什么问题?”回忆至此,学生的思维可能还是跟不上,毕竟他们对于,多种要素构成对象的研究方法不熟悉。
若是如此,教师可以引导学生进一步回顾投影的要素。
投影的三要素呈现在课件中:投影线的变化投影物体投影面中心投影平行投影正投影斜投影提出“除了投影线的变化会对投影的影响以外,还有什么?”现在,再让学生提出问题,学生应该有两种想法“研究投影物体的变化对投影的影响”或是“研究投影面的变化对投影的影响”。
从中,选出今天的研究方向,即第一个。
设计意图:这样来提出一节课的问题,比较自然恰当。
学生从中感受到的是,问题的来源;感受到的是,所研究的问题是前面所研究问题的延续;感受到的是,怎样研究“投影”——分别研究它的组成要素。
初中数学人教版九年级下册优质教学设计29-1 第2课时《正投影》一. 教材分析《正投影》是初中数学人教版九年级下册第29-1课时的内容,这部分教材主要是让学生了解和掌握正投影的定义、性质及其在几何图形中的应用。
通过学习正投影,学生能够更好地理解三维空间中的图形变换,提高空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和图形变换的基础知识,对于新的知识有一定的接受能力。
但同时,由于正投影概念比较抽象,学生可能难以理解,因此需要教师在教学过程中进行耐心讲解和引导。
三. 教学目标1.让学生了解正投影的定义和性质。
2.培养学生空间想象能力和图形变换能力。
3.使学生能够运用正投影的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.正投影的定义和性质。
2.正投影在几何图形中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等,引导学生主动探索、讨论和交流,提高学生对正投影的理解和应用能力。
六. 教学准备1.正投影的图片和案例。
2.多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体展示一些生活中的正投影现象,如建筑物的影子、手影等,引导学生关注正投影,激发学生学习兴趣。
2.呈现(10分钟)教师通过讲解和展示正投影的定义和性质,让学生初步了解和认识正投影。
同时,通过几何图形的正投影案例,使学生更好地理解和掌握正投影的概念。
3.操练(10分钟)学生分组进行合作学习,每组选择一个几何图形,讨论其在不同角度下的正投影,并绘制出来。
通过实际操作,加深学生对正投影的理解。
4.巩固(10分钟)教师提问学生关于正投影的问题,学生回答,教师进行点评和讲解。
通过提问和回答,巩固学生对正投影的知识。
5.拓展(10分钟)教师提出一些与正投影相关的实际问题,如建筑设计中的正投影应用,让学生进行思考和讨论。
通过实际问题的解决,提高学生对正投影的应用能力。
6.小结(5分钟)教师对本节课的主要内容进行总结,强调正投影的定义、性质和应用。
投影课题: 29.1投影(2)序号:学习目标:1、知识和技能:进一步了解投影的有关概念。
能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
2、过程和方法:在探究物体与其投影关系的活动中,体会立体图形与平面图形的相互转化关系,发展学生的空间观念。
3、情感、态度、价值观:通过学习,培养学生积极主动参与数学活动的意识,增强学好数学的信心。
学习重点:能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
学习难点:归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影。
导学方法:课时:导学过程一、课前预习:预习课本第P102——103内容,尝试完成《导学案》的教材导读和自主测评。
二、课堂导学:1、导入通过上节课的学习,我们了解了投影的一些知识。
想一想,什么叫投影?投影有哪些类型?这节课我们来学习一种特殊的投影——正投影。
2、出示任务自主学习阅读课本第P100——101的内容,尝试回答下列问题:解答课本思考中的问题;2) 什么叫正投影?3)解读探究1(线段的正投影),并归纳你的发现;4)解读探究2(正方形的正投影),并归纳你的发现;5)归纳总结:通过探究1、探究2;你发现了什么?正投影具有什么性质?5) 认真阅读课本例题,规范解题过程,并反思物体正投影的形状、大小与什么有关?3、合作探究见《导学》P111难点探究三、反馈与反馈:检查自学情况,解释学生疑惑。
四、学习小结:1、正投影的概念:投影线垂直于投影面产生的投影叫正投影。
2、线段的正投影1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB>A1B13)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点A。
3、正方形的正投影1)当纸板P平行于投影面时,P的正投影与纸板P的形状、大小一样;2)当纸板P倾斜于投影面时,P的正投影与纸板P的形状、大小发生变化;;3)当纸板P垂直于投影面时,P的正投影成为一条线段。
29.1投影(第二课时)教学设计一、教学环境交互式电子白板环境二、教学目标知识与技能:了解正投影的概念;能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影;过程与方法:借助多媒体,展示丰富的实物图片,指导学生自己动手实践,帮助建立概念,了解性质,应用于生活.情感态度与价值观:通过创设情境培养学生动手实践能力,发展空间想象能力,激发学习数学应用数学的热情.三、教学重、难点教学重点:正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.教学难点:归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.四、教学准备教师准备:1、选择利用人教数字平台进行备课,补充正投影相关应用资料.2、选择配备电子白板的教室.学生准备:准备细铁丝、正方形纸板、魔方等学具.五、教学过程(一)复习引入新课下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影,其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?师生活动:教师白板展示教科书88页图29.1-5中的三幅图片,提出问题,学生观察思考,相互讨论,发表见解.(设计意图:通过观察活动,使学生体会到将实际问题抽象成几何图形,有助于分析问题的本质.经过对比,不仅能更清楚地认识平行投影和中心投影的区别,还为引出正投影的概念作必要的铺垫.)追问(2)(3)图的投影线与投影面的位置关系有什么区别?师生活动:教师引导学生回答投影线与投影面的角度不同,给出正投影的概念.并指出这种由特殊位置关系产生的投影既是我们研究的重点,也是实际制图中经常应用的.(设计意图:通过经历观察、分析、比较的过程,抽象出正投影的概念,并从中再次体会研究几何问题的基本思路——从一般定义出发,主要研究特殊情形下图形的性质.)(二)合作学习,探究新知1、如图,把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:(1)铁丝平行于投影面;(2)铁丝倾斜于投影面,(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?大小有何关系?师生活动:教师白板展示图片,提出问题,学生观察、猜想,要求小组实践,得到结果,教师几何画板课件演示对比,引导学生归纳总结:通过观察,我们可以发现;(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点A3【信息技术应用点】:在学生动手实践基础上教师几何画板演示,更形象直观。
29.1 投影第2课时正投影1.理解正投影的概念;(重点)2.归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.(难点)一、情境导入观察下图,这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影,其中图①与图②③的投影线有什么区别?图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别?二、合作探究探究点:正投影【类型一】确定正投影的形状如图所示,左面水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是()解析:依题意,光线是垂直照下的,故只有D符合.故选D.方法总结:当投影面垂直于入射光线时,球体的投影是圆形,否则为椭圆形.若投影面不是平面,则投影形状要复杂得多.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】物体与其正投影的关系木棒长为1.2m,则它的正投影的长一定()A.大于1.2m B.小于1.2mC.等于1.2m D.小于或等于1.2m解析:正投影的长度与木棒的摆放角度有关,但无论怎样摆都不会超过1.2 m.故选D.方法总结:当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等,当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】画投影面上的正投影画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影.解析:第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形,第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形,第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心.解:如图所示:方法总结:在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二:正投影的综合应用【类型一】正投影与勾股定理的综合一个长8cm的木棒AB,已知AB平行于投影面α,投影线垂直于α.(1)求影子A1B1的长度(如图①);(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°,求旋转后木棒的影长A2B2(如图②).解析:根据平行投影和正投影的定义解答即可.解:如图①,A1B1=AB=8cm;如图③,作AE⊥BB2于E,则四边形AA2B2E是矩形,∴A2B2=AE,△ABE是直角三角形.∵AB =8cm,∠BAE=30°,∴BE=4cm,AE=82-42=43cm,∴A2B2=43cm.方法总结:当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等,当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段,可以用解直角三角形求得投影的长度.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】正投影与相似三角形的综合在长、宽都为4m,高为3m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡,为了集中光线,加上了灯罩(如图所示).已知灯罩深AN=8cm,灯泡离地面2m,为了使光线恰好照在相对的墙角D 、E 处,灯罩的直径BC 应为多少?(结果保留两位小数,2≈1.414)解析:根据题意画出图形,则AN =0.08m ,AM =2m ,由房间的地面为边长为4m 的正方形可计算出DE 的长,再根据△ABC ∽△ADE 利用相似三角形对应边成比例解答.解:如图,光线恰好照在墙角D 、E 处,AN =0.08m ,AM =2m ,由于房间的地面为边长为4m的正方形,则DE =42m.∵BC ∥DE ,∴△ABC ∽△ADE ,∴BC DE =AN AM ,即BC 42=0.082,∴BC ≈0.23(m). 答:灯罩的直径BC 约为0.23m.方法总结:解决问题的关键是画出图形,根据图形相似的性质和判定解题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计 1.正投影的概念及性质;2.正投影的综合应用.本节课的学案设计,力求具体、生动、直观.因此,学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主.比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征,归纳出物体正投影的一般规律,并能根据此规律画出简单平面图形的正投影.在介绍投影概念时,借助太阳光线进行投影实例的观察,这样不仅直观而且富有真实感,能激发学生学习兴趣.。
29.1 投影第2课时正投影1.理解正投影的概念;(重点)2.归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.(难点)一、情境导入观察下图,这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影,其中图①与图②③的投影线有什么区别?图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别?二、合作探究探究点:正投影【类型一】确定正投影的形状如图所示,左面水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是()解析:依题意,光线是垂直照下的,故只有D符合.故选D.方法总结:当投影面垂直于入射光线时,球体的投影是圆形,否则为椭圆形.若投影面不是平面,则投影形状要复杂得多.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】物体与其正投影的关系木棒长为1.2m,则它的正投影的长一定()A.大于1.2m B.小于1.2mC.等于1.2m D.小于或等于1.2m解析:正投影的长度与木棒的摆放角度有关,但无论怎样摆都不会超过1.2 m.故选D.方法总结:当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等,当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】画投影面上的正投影画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影.解析:第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形,第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形,第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心.解:如图所示:方法总结:在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二:正投影的综合应用【类型一】正投影与勾股定理的综合一个长8cm的木棒AB,已知AB平行于投影面α,投影线垂直于α.(1)求影子A1B1的长度(如图①);(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°,求旋转后木棒的影长A2B2(如图②).解析:根据平行投影和正投影的定义解答即可.解:如图①,A1B1=AB=8cm;如图③,作AE⊥BB2于E,则四边形AA2B2E是矩形,∴A2B2=AE,△ABE是直角三角形.∵AB=8cm,∠BAE=30°,∴BE=4cm,AE=82-42=43cm,∴A2B2=43cm.方法总结:当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等,当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段,可以用解直角三角形求得投影的长度.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】正投影与相似三角形的综合在长、宽都为4m,高为3m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡,为了集中光线,加上了灯罩(如图所示).已知灯罩深AN=8cm,灯泡离地面2m,为了使光线恰好照在相对的墙角D、E处,灯罩的直径BC应为多少?(结果保留两位小数,2≈1.414)解析:根据题意画出图形,则AN=0.08m,AM=2m,由房间的地面为边长为4m的正方形可计算出DE的长,再根据△ABC∽△ADE利用相似三角形对应边成比例解答.解:如图,光线恰好照在墙角D 、E 处,AN =0.08m ,AM =2m ,由于房间的地面为边长为4m 的正方形,则DE =42m.∵BC ∥DE ,∴△ABC ∽△ADE ,∴BC DE =AN AM ,即BC 42=0.082,∴BC ≈0.23(m). 答:灯罩的直径BC 约为0.23m.方法总结:解决问题的关键是画出图形,根据图形相似的性质和判定解题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计 1.正投影的概念及性质;2.正投影的综合应用.本节课的学案设计,力求具体、生动、直观.因此,学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主.比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征,归纳出物体正投影的一般规律,并能根据此规律画出简单平面图形的正投影.在介绍投影概念时,借助太阳光线进行投影实例的观察,这样不仅直观而且富有真实感,能激发学生学习兴趣.。
人教版九年级下册第29章《投影与视图》导学案[29.1.1 平行投影与中心投影]1.了解投影、投影线、投影面、平行投影和中心投影的概念. (重点)2.了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联系. (难点)3.能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题. (难点)情境引入观察下列图片你发现了什么共同点?知识精讲投影的概念你知道物体与影子有什么关系吗?【归纳】一般地,用光线照射物体,在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.【针对练习】把下列物体与它们的投影用线连接起来:平行投影观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征?________________________________________________________________________.【归纳】由平行光线形成的投影叫做平行投影.典例解析【例1】某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示,你能画出此时乙木杆的影子吗?(2) 当乙木杆移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上?(3) 在(2)的情况下,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24m和1m,那么你能求出甲木杆的高度吗?中心投影由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如:物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.【针对练习】请你分别指出下面的例子属于什么投影?____________ ____________ ____________ ____________ 典例解析确定下图路灯灯泡所在的位置.【归纳】平行投影和中心投影有什么区别和联系呢?1.下列物体的影子中,不正确的是 ( )2. 下面属于中心投影的是 ( )A. 太阳光下的树影B. 皮影戏C. 月光下房屋的影子D. 海上日出3. 晚上,人在马路上走过一盏路灯的过程中,其影子长度的变化情况是( )A. 先变短后变长B. 先变长后变短C. 逐渐变短D. 逐渐变长4. 小玲和小芳两人身高相同,两人站在灯光下的不同位置,已知小玲的影子比小芳的影子长,则可以判定小芳离灯光较______.(填“远”或“近”) .5.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察广场的旗杆随太阳转动的情况,无意之中,他发现这四个时刻广场的旗杆在地面上的影子的长度各不相同,那么影子最长的时刻为 .6. 将一个三角形放在太阳光下,它所形成的投影的形状是_____________.7. 小华在不同时间于天安门前拍了几幅照片,下面哪幅照片是小华在下午拍摄的?(天安门是坐北向南的建筑.)8. 确定图中路灯灯泡的位置,并画出小赵在灯光下的影子.。
29.1 投影(第二课时)教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册(以下统称“教材”)第二十九章“投影与视图”29.1 投影(第二课时),内容包括:理解正投影的概念.2.内容解析在学习本课时之前,学生已经具有一定的关于平面图形与立体图形的知识,并且在七年级上册接触过“从不同方向观察物体”和“点、线、面、体”之间的联系及基本几何体的平面展开图等反映平面图形与立体图形之间的联系问题,上一节课,学生又学习了投影的一些基础知识包括投影、中心投影、平行投影的概念,在此基础上,这节课主要学习正投影概念及探究正投影的成像规律,以正投影为平台,进一步深入研究投影的性质更深一层理解立体图形与平面图形的相互转化关系,培养学生的空间观念,这为过渡到三视图的学习起着铺垫的作用,更为高中学习立体几何打下基础.基于以上分析,确定本节课的教学重点:理解正投影的概念及根据正投影的性质画简单图形的正投影.二、目标和目标解析1.目标1. 理解正投影的概念;2. 能根据正投影的性质画出简单图形的正投影.3. 学生学会关注生活中有关投影的数学问题,增强数学的应用意识.2.目标解析达成目标1)的标志是:理解正投影的概念.达成目标2)3)的标志是:会根据正投影的性质画简单图形的正投影.三、教学问题诊断分析本节课先研究线、平面图形的正投影,进而继续探究立体图形正投影。
而学生对这个知识无从下手,从研究平面图形到研究立体图形,本节内容对学生来说有一定难度,要加强与实际的联系,因此运用多媒体,制作演示动画课件等,通过学生观察,动手实践,结合已有的生活经验,将原有认知迁移到本课中来,从而画出简单立体图形的正投影.基于以上分析,本节课的教学难点是:正确画简单图形的正投影.四、教学过程设计(一)复习巩固【提问一】简述投影的概念?【提问二】投影是如何进行分类的?试举例说明?师生活动:教师提出问题,学生通过之前所学知识尝试回答问题.【设计意图】通过回顾之前所学内容,为接下来学习正投影打好基础.(二)探究新知【问题一】观察下图,并填空1)图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别?2)图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?师生活动:学生认真观察图片中的影子,回答问题,最后由教师给出正投影的概念:如果投射线垂直于投影面,那么这种投影称为正投影.【设计意图】通过观察图片,结合上节课所学知识,引出正投影的概念,激发学习投影的欲望,培养学生观察能力和抽象能力.【问题二】由平行投影与正投影的概念,你发现了什么?师生活动:学生认真观察图片中的影子,回答问题,教师引导与补充,得出:1)正投影是特殊的平行投影.2)平行投影分为斜投影与正投影.【设计意图】让学生理解正投影是特殊的平行投影.【探究一】如图,把一根直的细铁丝(记为线段AB) 放在三个不同位置.1) 铁丝平行于投影面;2) 铁丝倾斜于投影面;3) 铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点). 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?它们的大小关系呢?师生活动:教师通过多媒体展示三种情形下铁丝的正投影,学生观察结果,探讨它们大小的关系.【设计意图】通过观察图片,让学生理解三种情形下线段正投影的形状.【探究二】如图,把一块正方形卡片P(记为正方形ABCD) 放在三个不同位置.1) 卡片平行于投影面;2) 卡片倾斜于投影面;3) 卡片垂直于投影面三种情形下卡片的正投影各是什么形状?它们的大小关系呢?师生活动:教师通过多媒体展示三种情形下卡片的正投影,学生观察结果,探讨它们大小的关系.【设计意图】通过观察图片,让学生理解三种情形下平面图形正投影的形状.【问题三】简述线段正投影的投影规律?师生活动:学生尝试回答问题.【问题四】简述平面图形正投影的投影规律?师生活动:学生尝试回答问题.【设计意图】通过归纳总结,让学生理解线段正投影、平面图形正投影的投影规律.【探究三】如图,把一个正方体纸盒P(记为正方体ABCDEFGH) 放在两个不同位置.1)纸盒的一个平面ABCD平行于投影面;2)纸盒一个面ABCD倾斜于投影面P,底面ADEF垂直于投影面,并且其对角线AE垂直于投影面;观察两种情形下正方体纸盒的正投影,你发现了什么?【设计意图】通过观察图片,让学生理解两种情形下立体图形正投影的形状.【问题五】观察线段、平面图形、立体图形的正投影,由此你发现了什么?师生活动:先由学生回答问题,再由教师引导与归纳,最后得出:当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同,并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.【设计意图】让学生理解立体图形正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.(三)典例分析与针对训练例1 下列说法正确的是()A.三角形的正投影一定是三角形B.长方体的正投影一定是长方形C.球的正投影一定是圆D.圆锥的正投影一定是三角形【针对训练】1. 直立在投影面上的圆锥的正投影是()A.圆B.三角形C.矩形D.正方形2. 木棒长为2.5m,则它的正投影的长一定()A.大于2.5m B.小于2.5mC.等于2.5m D.小于或等于2.5m3.如图,长方体的一个底面ABCD在投影面P上,M,N分别是侧棱BF,CG的中点,矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD,设它们的面积分别是S1,S2,S,则S1,S2,S的关系是_____(用“=、>或<”连起来)4.(2022下·广东河源·九年级校考期末)把下列物体与它们的投影连接起来.5.(2023·湖北恩施·校考模拟预测)物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.一个三角板的正投影不可能是()A.一条线段B.一个与原三角板全等的三角形C.一个等腰三角形D.一个小圆点6.(2022上·山西大同·九年级统考期末)如图,A1B1是线段AB在投影面P上的正投影,AB=10cm,∠A1AB=110°,则投影A1B1的长为()A.10sin70°cm B.10sin20°cmC.10tan70°cm D.10cos70°cm7. 如图所示,一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′,AB=4m,A′B′=2√3,则AB与A′B′的夹角为( )A.45°B.30°C.60°D.以上都不对8. 已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示.其边长为10厘米,AD、BC与投影面β平行,AB、CD与投影面不平行,正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1=45°,求投影面A1B1C1D1的面积.(四)归纳小结1. 通过本节课的学习,你学会了哪些知识?2. 简述正投影的概念?3. 简述物体正投影的形状、大小与什么有关?(五)布置作业P92:习题29.1 第3题、第4题、第5题五、教学反思。
29.1 投影(第 2 课时)一、内容和内容分析1.内容人教版教科书九年级《数学》下册90 页例题,三维图形在投影面上的正投影。
2.内容分析投影是生活中常有的现象,而三视图是从不一样的三个方向获得的投影。
所以,本节内容对培育学生空间观点,起着承前启后的作用。
因为空间图形是三维的,地点确实定一定从三个方素来描绘。
所以,学好本节内容是成立学平生面图形与立体图形互相转变的要点,也使学生对投影的认识从感性上涨为理性,更是为学生学习三视图做铺垫。
鉴于以上剖析,本课的教课要点是:画出简单几何体的正投影。
二、目标和目标分析1.目标能画出简单几何体的正投影。
2.目标分析达到目标的标记:依据性质正确画出简单立体图形的正投影。
经过学生猜想、察看、亲身着手实践,感觉投影现象在生活中无处不在,体验数学与生活的密切联系,激发学生主动学习数学的兴趣,增强对数学价值的认识。
三、教课识题诊疗剖析本节教课是在上节课研究线、面的正投影的相关知识基础上,持续研究立体图形的相关正投影问题。
而学生对这个知识无从下手,从研究平面图形到研究立体图形,本节内容对学生来说有必定难度,要增强与实质的联系,所以运用多媒体,制作演示动画课件等,经过学生察看,着手实践,联合已有的生活经验,将原有认知迁徙到本课中来,进而画出简单立体图形的正投影。
本节课的教课难点是:剖析并能画出立体图形每个面的正投影。
四、教课条件支持剖析本节教课要借助多媒体,利用幻灯片及学新手中的正方形、魔方,演示一维、二维、三维图形的正投影,帮助学生稳固旧知并理解新知,增强学生的空间想象能力,提升学生学习兴趣,使学生更好地认识几何体,培育学生几何直观能力,促使对知识的理解。
本课还要准备正方体模型协助教课,让学生多察看,进而正确地画出简单几何体的正投影。
五、教课过程设计1.察看图片,复习投影及相关观点问题1你能指出下边哪幅图表示的是平行投影,那幅图表示的是中心投影吗?为什么?师生活动:教师出示幻灯片,展现平行投影及中心投影的图片。
29.1 投影第2课时正投影【学习目标】(一)知识技能:1.进一步了解投影的有关概念。
2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
(二)数学思考:在探究物体与其投影关系的活动中,体会立体图形与平面图形的相互转化关系,发展学生的空间观念。
(三)解决问题:通过对物体投影的学习,使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识。
(四)情感态度:通过学习,培养学生积极主动参与数学活动的意识,增强学好数学的信心。
【学习重点】能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
【学习难点】归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影。
【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。
【学习过程】【知识回顾】正投影的概念:投影线于投影面产生的投影叫正投影。
【自主探究】活动1出示探究1如图29.1—7中,把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:(1)铁丝平行于投影面;(2)铁丝倾斜于投影面:(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)。
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?通过观察、讨论可知:(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1;(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2;(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是。
设计意图:用细铁丝表示一条线段,通过实验观察,分析它的正投影简单直观,易于发现结论。
活动2如图,把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)放在三个不同位置:(1)纸板平行于投影面;(2)纸板倾斜于投影面;(3)纸板垂直于投影面。
三种情形下纸板的正投影各是什么形状?通过观察、讨论可知:(1)当纸板P平行于投影面时,P的正投影与纸板P的一样;(2)当纸板P倾斜于投影面时,P的正投影与纸板P的;(3)当纸板P垂直于投影面时,P的正投影成为。
归纳总结:通过活动1、活动2你发现了什么?正投影的性质:。
29.1 投影第2课时正投影学前温故1.一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的________,照射光线叫做________,投影所在的平面叫做________.2.物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是________.举例:________,________等.3.由平行光线形成的投影是________;由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做________.新课早知1.投影线垂直于投影面产生的投影叫做________.2.球的正投影是______.3.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的________、________完全相同;物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的________有关.4.正方体的一面平行于投影面的正投影是__________.答案:学前温故1.投影投影线投影面2.投影现象幻灯机皮影戏3.平行投影中心投影新课早知1.正投影2.圆面3.形状大小位置4.正方形作物体的正投影【例题】画出图中圆柱的正投影.分析:圆柱的正投影与圆柱的轴截面为全等关系.解:图形中的四边形ABCD是圆柱的正投影.点拨:物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.1.下列说法正确的是( ).A.物体的正投影不改变物体的形状和大小B.一个人的影子都是平行投影形成的C.当物体的某个面平行于投影面时,该面的正投影不改变它的形状和大小D .有光就有影子2.小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩,等边三角形木框在某平面上形成的正投影不可能是( ).3.投影按照光线特征可分为__________、__________,正投影是指__________.4.画出下图中长方体的正投影.5.画出下图投影线方向的(如箭头所示)立体图形的正投影.6.如图,高20 m 的教学楼在一天的某一时刻在地上的影子长15 m ,在教学楼前10 m 处有一高为5 m 的国旗杆.试问在这一时刻你能看到国旗的影子吗?通过计算说明.答案:1.C 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关,所以A 错;人的影子在电灯下形成的是中心投影,所以B 错;根据正投影的相关性质可知C 正确;有光但没有挡光物体也没有影子,所以D 错.故选C.2.B3.中心投影 平行投影 投影线与投影面垂直时的投影4.解:图形中的四边形ABCD 就是长方体的正投影.5.解:如图.6.解:连接AB ,过点D 作DE ∥光线AB ,交GF 的延长线于点E ,则△DEF ∽△ABC ,∴EF BC =DF AC . ∵BC =15 m ,AC =20 m ,DF =5 m ,∴EF =BC ·DF AC =15×520=3.75(m). ∴GE =GF +EF =10+3.75=13.75(m)<BC .因此看不到国旗的影子.。
29.1 投影第2课时正投影1.理解正投影的概念;(重点)2.归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.(难点)一、情境导入观察下图,这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影,其中图①与图②③的投影线有什么区别?图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别?二、合作探究探究点:正投影【类型一】确定正投影的形状如图所示,左面水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是( )解析:依题意,光线是垂直照下的,故只有D符合.故选D.方法总结:当投影面垂直于入射光线时,球体的投影是圆形,否则为椭圆形.若投影面不是平面,则投影形状要复杂得多.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】物体与其正投影的关系木棒长为1.2m,则它的正投影的长一定( )A.大于1.2m B.小于1.2mC.等于1.2m D.小于或等于1.2m解析:正投影的长度与木棒的摆放角度有关,但无论怎样摆都不会超过1.2 m.故选D.方法总结:当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等,当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】画投影面上的正投影画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影.解析:第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形,第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形,第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心.解:如图所示:方法总结:在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二:正投影的综合应用【类型一】正投影与勾股定理的综合一个长8cm的木棒AB,已知AB平行于投影面α,投影线垂直于α.(1)求影子A1B1的长度(如图①);(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°,求旋转后木棒的影长A2B2(如图②).解析:根据平行投影和正投影的定义解答即可.解:如图①,A1B1=AB=8cm;如图③,作AE⊥BB2于E,则四边形AA2B2E是矩形,∴A2B2=AE,△ABE是直角三角形.∵AB=8cm,∠BAE=30°,∴BE=4cm,AE=82-42=43cm,∴A2B2=43cm.方法总结:当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等,当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段,可以用解直角三角形求得投影的长度.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】正投影与相似三角形的综合在长、宽都为4m,高为3m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡,为了集中光线,加上了灯罩(如图所示).已知灯罩深AN=8cm,灯泡离地面2m,为了使光线恰好照在相对的墙角D、E处,灯罩的直径BC应为多少?(结果保留两位小数,2≈1.414)解析:根据题意画出图形,则AN=0.08m,AM=2m,由房间的地面为边长为4m的正方形可计算出DE 的长,再根据△ABC∽△ADE利用相似三角形对应边成比例解答.解:如图,光线恰好照在墙角D、E处,AN=0.08m,AM=2m,由于房间的地面为边长为4m的正方形,则DE=42m.∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴BCDE=ANAM,即BC42=0.082,∴BC≈0.23(m).答:灯罩的直径BC约为0.23m.方法总结:解决问题的关键是画出图形,根据图形相似的性质和判定解题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1.正投影的概念及性质;2.正投影的综合应用.本节课的学案设计,力求具体、生动、直观.因此,学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主.比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征,归纳出物体正投影的一般规律,并能根据此规律画出简单平面图形的正投影.在介绍投影概念时,借助太阳光线进行投影实例的观察,这样不仅直观而且富有真实感,能激发学生学习兴趣.中考数学模拟试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.△ABC在正方形网格中的位置如图所示,则cosB的值为( )A.55B.255C.12D.2【答案】A【解析】解:在直角△ABD中,BD=2,AD=4,则AB=22222425BD AD+=+=,则cosB=25525BDAB==.故选A.2.如图钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长32m,钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'长度是()A.3m B.33m C.23m D.4m【答案】B【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形,且BC、B′C′都是我们所要求角的对边,所以根据正弦来解题,求出∠CAB,进而得出∠C′AB′的度数,然后可以求出鱼线B'C'长度.【详解】解:∵sin∠CAB=32262 BCAC==∴∠CAB=45°.∵∠C′AC=15°,∴∠C′AB′=60°.∴sin60°=''3 62B C=,解得:B′C′=33.故选:B.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,解本题的关键是把实际问题转化为数学问题.3.如图所示的几何体,它的左视图是()A.B.C.D.【答案】D【解析】分析:根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.详解:从左边看是等长的上下两个矩形,上边的矩形小,下边的矩形大,两矩形的公共边是虚线,故选D.点睛:本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图.4.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B【解析】解:∵二次函数y=ax3+bx+c(a≠3)过点(3,3)和(﹣3,3),∴c=3,a﹣b+c=3.①∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴bx2a=-,x>3.∴a与b异号.∴ab<3,正确.②∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b3﹣4ac>3.∵c=3,∴b3﹣4a>3,即b3>4a.正确.④∵抛物线开口向下,∴a<3.∵ab<3,∴b>3.∵a﹣b+c=3,c=3,∴a=b﹣3.∴b﹣3<3,即b<3.∴3<b<3,正确.③∵a﹣b+c=3,∴a+c=b.∴a+b+c=3b>3.∵b<3,c=3,a<3,∴a+b+c=a+b+3<a+3+3=a+3<3+3=3.∴3<a+b+c<3,正确.⑤抛物线y=ax3+bx+c与x轴的一个交点为(﹣3,3),设另一个交点为(x3,3),则x3>3,由图可知,当﹣3<x<x3时,y>3;当x>x3时,y<3.∴当x>﹣3时,y>3的结论错误.综上所述,正确的结论有①②③④.故选B.5.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=()A.70°B.110°C.130°D.140°【答案】D【解析】∵四边形ADA'E的内角和为(4-2)•180°=360°,而由折叠可知∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A=∠A',∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°-∠A-∠A'=360°-2×70°=220°,∴∠1+∠2=180°×2-(∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE)=140°.6.已知二次函数y=(x+m)2–n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是()A .B .C .D .【答案】C【解析】试题解析:观察二次函数图象可知: 00m n ,,∴一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限,反比例函数mn y x=的图象在第二、四象限. 故选D.7.如图,将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90,得到A B C '',连接'A A ,若120︒∠=,则B 的度数是( )A .70︒B .65︒C .60︒D .55︒【答案】B 【解析】根据旋转的性质可得AC =A′C ,然后判断出△ACA′是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C ,最后根据旋转的性质可得∠B =∠A′B′C .【详解】解:∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ,∴AC =A′C ,∴△ACA′是等腰直角三角形,∴∠CAA′=45°,∴∠A′B′C =∠1+∠CAA′=20°+45°=65°,∴∠B =∠A′B′C =65°.故选B .【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定与性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.8.如图,点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点,则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为( )A .1:2B .1:3C .1:4D .1:1【答案】B 【解析】根据中位线定理得到DE ∥BC ,DE=12BC ,从而判定△ADE ∽△ABC ,然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】解:∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC ,DE=12BC , ∴△ADE ∽△ABC , ∴△ADE 的面积:△ABC 的面积=21()2=1:4,∴△ADE 的面积:四边形BCED 的面积=1:3;故选B .【点睛】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质.9.下列几何体中,俯视图为三角形的是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】俯视图是从上面所看到的图形,可根据各几何体的特点进行判断.【详解】A.圆锥的俯视图是圆,中间有一点,故本选项不符合题意,B.几何体的俯视图是长方形,故本选项不符合题意,C.三棱柱的俯视图是三角形,故本选项符合题意,D.圆台的俯视图是圆环,故本选项不符合题意,故选C.【点睛】此题主要考查了由几何体判断三视图,正确把握观察角度是解题关键.10.估计)A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间【答案】C【解析】先化简二次根式,合并后,再根据无理数的估计解答即可.【详解】=,∵49<54<64,∴,∴7和8之间,故选C.【点睛】本题考查了估算无理数的大小,解决本题的关键是估算出无理数的大小.二、填空题(本题包括8个小题)11.数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和谐.例如,三根弦长度之比是15:12:10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so,研究15、12、10这三个数的倒数发现:111112151012-=-.我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数:x,5,3(x>5),则x的值是.【答案】1.【解析】依据调和数的意义,有15-1x=13-15,解得x=1.12.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2016的值为_____.【答案】2.【解析】把x=m代入方程,求出2m2﹣3m=2,再变形后代入,即可求出答案.【详解】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根,∴代入得:2m2﹣3m﹣2=0,∴2m2﹣3m=2,∴6m2﹣9m+2026=3(2m2﹣3m)+2026=3×2+2026=2,故答案为:2.【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解,解此题的关键是能求出2m2﹣3m=2.13.在我国著名的数学书《九章算术》中曾记载这样一个数学问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设羊价为x钱,则可列关于x的方程为______.【答案】x45x3 57 --=【解析】设羊价为x钱,根据题意可得合伙的人数为455x-或37x-,由合伙人数不变可得方程.【详解】设羊价为x钱,根据题意可得方程:453 57x x--=,故答案为:453 57x x--=.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.14.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……,依次下去.则点B6的坐标____________.【答案】(-1,0)【解析】根据已知条件由图中可以得到B1所在的正方形的对角线长为2,B2所在的正方形的对角线长为(2)2,B3所在的正方形的对角线长为(2)3;B4所在的正方形的对角线长为(2)4;B5所在的正方形的对角线长为(2)5;可推出B6所在的正方形的对角线长为(2)6=1.又因为B6在x轴负半轴,所以B6(-1,0).解:如图所示∵正方形OBB1C,∴OB12B1所在的象限为第一象限;∴OB 2=(2)2,B 2在x 轴正半轴; ∴OB 3=(2)3,B 3所在的象限为第四象限;∴OB 4=(2)4,B 4在y 轴负半轴;∴OB 5=(2)5,B 5所在的象限为第三象限;∴OB 6=(2)6=1,B 6在x 轴负半轴.∴B 6(-1,0).故答案为(-1,0).15.如果点P 1(2,y 1)、P 2(3,y 2) 在抛物线22y x x =-+上,那么 y 1 ______ y 2.(填“>”,“<”或“=”).【答案】>【解析】分析:首先求得抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=1,利用二次函数的性质,点M 、N 在对称轴的右侧,y 随着x 的增大而减小,得出答案即可.详解:抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=﹣22-=1.∵a=﹣1<0,抛物线开口向下,1<2<3,∴y 1>y 2.故答案为>.点睛:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,求得对称轴,掌握二次函数图象的性质解决问题.16.如图,若点 A 的坐标为 ()1,3 ,则 sin 1∠ =________.【答案】32【解析】根据勾股定理,可得OA 的长,根据正弦是对边比斜边,可得答案.【详解】如图,由勾股定理,得:OA=22OB AB +=1.sin ∠1=32AB OA =,故答案为32.17.若-2a m b 4与5a 2b n+7是同类项,则m+n= .【答案】-1.【解析】试题分析:根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同,可得方程组,根据解方程组,可得m、n的值,根据有理数的加法,可得答案.试题解析:由-2a m b4与5a2b n+7是同类项,得,解得.∴m+n=-1.考点:同类项.18.已知反比例函数21kyx+=的图像经过点(2,1)-,那么k的值是__.【答案】32 k=-【解析】将点的坐标代入,可以得到-1=212k+,然后解方程,便可以得到k的值.【详解】∵反比例函数y=21kx+的图象经过点(2,-1),∴-1=21 2 k+∴k=−32;故答案为k=−32.【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式,可以结合代入法进行解答三、解答题(本题包括8个小题)19.为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行了改造,现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍,甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米?若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长1200米,改造总费用不超过145万元,至少安排甲队工作多少天?【答案】(1)乙工程队每天能改造道路的长度为40米,甲工程队每天能改造道路的长度为60米.(2)10天.【解析】(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米,则甲工程队每天能改造道路的长度为32x米,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设安排甲队工作m天,则安排乙队工作12006040m-天,根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元,即可得出关于m 的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.【详解】(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米,则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米, 根据题意得:360360332x x -=, 解得:x=40,经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意,∴32x=32×40=60, 答:乙工程队每天能改造道路的长度为40米,甲工程队每天能改造道路的长度为60米;(2)设安排甲队工作m 天,则安排乙队工作12006040m -天, 根据题意得:7m+5×12006040m -≤145, 解得:m≥10,答:至少安排甲队工作10天.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量间的关系,正确列出一元一次不等式.20.如图,在东西方向的海岸线MN 上有A ,B 两港口,海上有一座小岛P ,渔民每天都乘轮船从A ,B 两港口沿AP ,BP 的路线去小岛捕鱼作业.已知小岛P 在A 港的北偏东60°方向,在B 港的北偏西45°方向,小岛P 距海岸线MN 的距离为30海里. 求AP ,BP 的长(参考数据:2,3,5);甲、乙两船分别从A ,B 两港口同时出发去小岛P 捕鱼作业,甲船比乙船晚到小岛24分钟.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,利用(1)中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时?【答案】(1)AP =60海里,BP =42(海里);(2)甲船的速度是24海里/时,乙船的速度是20海里/时【解析】(1)过点P 作PE ⊥AB 于点E ,则有PE=30海里,由题意,可知∠PAB=30°,∠PBA=45°,从而可得 AP =60海里,在Rt △PEB 中,利用勾股定理即可求得BP 的长;(2)设乙船的速度是x 海里/时,则甲船的速度是1.2x 海里/时,根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程,求解后进行检验即可得.【详解】(1)如图,过点P 作PE ⊥MN ,垂足为E ,由题意,得∠PAB=90°-60°=30°,∠PBA=90°-45°=45°,∵PE=30海里,∴AP=60海里,∵PE⊥MN,∠PBA=45°,∴∠PBE=∠BPE=45°,∴PE=EB=30海里,在Rt△PEB中,BP=22PE EB+=302≈42海里,故AP=60海里,BP=42(海里);(2)设乙船的速度是x海里/时,则甲船的速度是1.2x海里/时,根据题意,得604224 1.260x x-=,解得x=20,经检验,x=20是原方程的解,甲船的速度为1.2x=1.2×20=24(海里/时).,答:甲船的速度是24海里/时,乙船的速度是20海里/时.【点睛】本题考查了勾股定理的应用,分式方程的应用,含30度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,熟练掌握各相关知识是解题的关键.21.A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨,现决定支援给C市10吨和D市8吨.已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元;从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元.设B粮仓运往C市粮食x吨,求总运费W(元)关于x的函数关系式.(写出自变量的取值范围)若要求总运费不超过9000元,问共有几种调运方案?求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?【答案】(1)w=200x+8600(0≤x≤6);(2)有3种调运方案,方案一:从B市调运到C市0台,D市6台;从A市调运到C市10台,D市2台;方案二:从B市调运到C市1台,D市5台;从A市调运到C市9台,D市3台;方案三:从B市调运到C市2台,D市4台;从A市调运到C市8台,D市4台;(3)从A市调运到C市10台,D市2台;最低运费是8600元.【解析】(1)设出B粮仓运往C的数量为x吨,然后根据A,B两市的库存量,和C,D两市的需求量,分别表示出B运往C,D的数量,再根据总费用=A运往C的运费+A运往D的运费+B运往C的运费+B 运往D的运费,列出函数关系式;(2)由(1)中总费用不超过9000元,然后根据取值范围来得出符合条件的方案;(3)根据(1)中的函数式以及自变量的取值范围即可得出费用最小的方案.【详解】解:(1)设B 粮仓运往C 市粮食x 吨,则B 粮仓运往D 市粮食6﹣x 吨,A 粮仓运往C 市粮食10﹣x 吨,A 粮仓运往D 市粮食12﹣(10﹣x )=x+2吨,总运费w =300x+500(6﹣x )+400(10﹣x )+800(x+2)=200x+8600(0≤x≤6).(2)200x+8600≤9000解得x≤2共有3种调运方案方案一:从B 市调运到C 市0台,D 市6台;从A 市调运到C 市10台,D 市2台;方案二:从B 市调运到C 市1台,D 市5台;从A 市调运到C 市9台,D 市3台;方案三:从B 市调运到C 市2台,D 市4台;从A 市调运到C 市8台,D 市4台;(3)w =200x+8600k >0,所以当x =0时,总运费最低.也就是从B 市调运到C 市0台,D 市6台;从A 市调运到C 市10台,D 市2台;最低运费是8600元.【点睛】本题重点考查函数模型的构建,考查利用一次函数的有关知识解答实际应用题,解答一次函数的应用问题中,要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义.22.如图,已知反比例函数1k y x=和一次函数21y ax =+的图象相交于第一象限内的点A ,且点A 的横坐标为1.过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,△AOB 的面积为1.求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数21y ax =+的图象与x 轴相交于点C ,求∠ACO 的度数.结合图象直接写出:当1y >2y >0时,x 的取值范围.【答案】(1)y 1=2x;y 2=x+1;(2)∠ACO=45°;(3)0<x<1. 【解析】(1)根据△AOB 的面积可求AB ,得A 点坐标.从而易求两个函数的解析式;(2)求出C 点坐标,在△ABC 中运用三角函数可求∠ACO 的度数;(3)观察第一象限内的图形,反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x 的值即为取值范围.【详解】(1)∵△AOB 的面积为1,并且点A 在第一象限,∴k=2,∴y 1=2x; ∵点A 的横坐标为1,∴A(1,2).把A(1,2)代入y 2=ax+1得,a=1.∴y 2=x+1.(2)令y 2=0,0=x+1,∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1,BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y 1>y 2>0时,0<x<1.在第三象限,当y 1>y 2>0时,−1<x<0(舍去).【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键在于结合函数图象进行解答.23.阅读材料:已知点00(,)P x y 和直线y kx b =+,则点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =计算.例如:求点(2,1)P -到直线1y x =+的距离.解:因为直线1y x =+可变形为10x y -+=,其中1,1k b ==,所以点(2,1)P -到直线1y x =+的距离为:d ====根据以上材料,求:点(1,1)P 到直线32y x =-的距离,并说明点P 与直线的位置关系;已知直线1y x =-+与3y x =-+平行,求这两条直线的距离.【答案】(1)点P 在直线32y x =-上,说明见解析;(2【解析】解:(1) 求:(1)直线32y x =-可变为320x y --=,0d == 说明点P 在直线32y x =-上;(2)在直线1y x =-+上取一点(0,1),直线3y x =-+可变为30x y +-=则d ==∴这两条平行线的距离为2.24.高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A 是某市一高考考点,在位于A 考点南偏西15°方向距离125米的C 点处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C 点北偏东75°方向的F 点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶.试问:消防车是否需要改道行驶?说明理由.(3取1.732)【答案】不需要改道行驶【解析】解:过点A 作AH ⊥CF 交CF 于点H ,由图可知,∵∠ACH=75°-15°=60°,∴()3 1.732AH AC sin60125125108.252=⋅︒==⨯=米. ∵AH >100米,∴消防车不需要改道行驶.过点A 作AH ⊥CF 交CF 于点H ,应用三角函数求出AH 的长,大于100米,不需要改道行驶,不大于100米,需要改道行驶.25.如图,AC=DC ,BC=EC ,∠ACD=∠BCE .求证:∠A=∠D .【答案】证明见试题解析.【解析】试题分析:首先根据∠ACD=∠BCE得出∠ACB=∠DCE,结合已知条件利用SAS判定△ABC 和△DEC全等,从而得出答案.试题解析:∵∠ACD=∠BCE ∴∠ACB=∠DCE 又∵AC=DC BC=EC ∴△ABC≌△DEC∴∠A=∠D考点:三角形全等的证明26.今年3月12日植树节期间,学校预购进A,B两种树苗.若购进A种树苗3棵,B种树苗5棵,需2100元;若购进A种树苗4棵,B种树苗10棵,需3800元.求购进A,B两种树苗的单价;若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵,求A种树苗至少需购进多少棵.【答案】(1)A种树苗的单价为200元,B种树苗的单价为300元;(2)10棵【解析】试题分析:(1)设B种树苗的单价为x元,则A种树苗的单价为y元.则由等量关系列出方程组解答即可;(2)设购买A种树苗a棵,则B种树苗为(30﹣a)棵,然后根据总费用和两种树苗的棵数关系列出不等式解答即可.试题解析:(1)设B种树苗的单价为x元,则A种树苗的单价为y元,可得:352100{4103800 y xy x+=+=,解得:300200 xy=⎧⎨=⎩,答:A种树苗的单价为200元,B种树苗的单价为300元. (2)设购买A种树苗a棵,则B种树苗为(30﹣a)棵,可得:200a+300(30﹣a)≤8000,解得:a≥10,答:A种树苗至少需购进10棵.考点:1.一元一次不等式的应用;2.二元一次方程组的应用中考数学模拟试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.如图,已知函数3y x =-与k y x =的图象在第二象限交于点()1,A m y ,点()21,B m y -在k y x =的图象上,且点B 在以O 点为圆心,OA 为半径的O 上,则k 的值为( )A .34-B .1-C .32-D .2-【答案】A【解析】由题意(),3A m m -,因为O 与反比例函数k y x=都是关于直线y x =-对称,推出A 与B 关于直线y x =-对称,推出()3,B m m -,可得31m m =-,求出m 即可解决问题;【详解】函数3y x =-与k y x=的图象在第二象限交于点()1,A m y , ∴点(),3A m m -O 与反比例函数k y x=都是关于直线y x =-对称, A ∴与B 关于直线y x =-对称, ()3,B m m ∴-,31m m ∴=-,12m ∴=- ∴点13,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭133224k ∴=-⨯=- 故选:A .【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数的图像与性质,圆的对称性及轴对称的性质.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,本题的突破点是发现A ,B 关于直线y x =-对称. 2.如图,数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点,其中点P 所表示的数为a ,则数-3a 所对应的点可能是( )A .MB .NC .PD .Q【答案】A【解析】解:∵点P所表示的数为a,点P在数轴的右边,∴-3a一定在原点的左边,且到原点的距离是点P到原点距离的3倍,∴数-3a所对应的点可能是M,故选A.点睛:本题考查了数轴,解决本题的关键是判断-3a一定在原点的左边,且到原点的距离是点P到原点距离的3倍.3.如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为1.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为()A.4233π-B.8433π-C.8233π-D.843π-【答案】C【解析】连接OD,根据勾股定理求出CD,根据直角三角形的性质求出∠AOD,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算,得到答案.【详解】解:连接OD,在Rt△OCD中,OC=12OD=2,∴∠ODC=30°,CD=2223OD OC+=∴∠COD=60°,∴阴影部分的面积=260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-,故选:C.【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理,掌握扇形面积公式是解题的关键.4.如图,AB是⊙O的直径,点E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为()A .1B .32C .3D .23【答案】C【解析】连接AE ,OD ,OE .∵AB 是直径, ∴∠AEB=90°.又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°.∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD .∴△AOD 是等边三角形.∴∠A=60°.又∵点E 为BC 的中点,∠AED=90°,∴AB=AC .∴△ABC 是等边三角形,∴△EDC 是等边三角形,且边长是△ABC 边长的一半2,高是3.∴∠BOE=∠EOD=60°,∴BE 和弦BE 围成的部分的面积=DE 和弦DE 围成的部分的面积.∴阴影部分的面积=EDC 1S =23=32∆⋅⋅.故选C .5.根据如图所示的程序计算函数y 的值,若输入的x 值是4或7时,输出的y 值相等,则b 等于()A .9B .7C .﹣9D .﹣7【答案】C【解析】先求出x=7时y的值,再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案.【详解】∵当x=7时,y=6-7=-1,∴当x=4时,y=2×4+b=-1,解得:b=-9,故选C.【点睛】本题主要考查函数值,解题的关键是掌握函数值的计算方法.6.如图,直线a∥b,一块含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°)按如图所示放置.若∠1=55°,则∠2的度数为()A.105°B.110°C.115°D.120°【答案】C【解析】如图,首先证明∠AMO=∠2,然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°;借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题.【详解】如图,对图形进行点标注.∵直线a∥b,∴∠AMO=∠2;∵∠ANM=∠1,而∠1=55°,∴∠ANM=55°,∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°,故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形外角的性质,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.7.某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口,周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩,则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是()A.12B.14C.16D.116【答案】B【解析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果,可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】画树状图如下:由树状图可知,共有16种等可能结果,其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果,所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为41= 164,故选B.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.8.“山西八分钟,惊艳全世界”.2019年2月25日下午,在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动.山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变,三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨,煤层气产量突破56亿立方米.数据56亿用科学记数法可表示为()A.56×108B.5.6×108C.5.6×109D.0.56×1010【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于56亿有10位,所以可以确定n=10﹣1=1.【详解】56亿=56×108=5.6×101,故选C.【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.9.如图,△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()。
29.1 投影
第2课时正投影
【学习目标】
(一)知识技能:
1.进一步了解投影的有关概念。
2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
(二)数学思考:在探究物体与其投影关系的活动中,体会立体图形与平面图形的相互转化关系,发展学生的空间观念。
(三)解决问题:通过对物体投影的学习,使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识。
(四)情感态度:通过学习,培养学生积极主动参与数学活动的意识,增强学好数学的信心。
【学习重点】
能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。
【学习难点】
归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影。
【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。
【学习过程】
【知识回顾】
正投影的概念:投影线于投影面产生的投影叫正投影。
【自主探究】
活动1
出示探究1
如图29.1—7中,把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:
(1)铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面:
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)。
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?
通过观察、讨论可知:
(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1;
(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2;
(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是。
设计意图:用细铁丝表示一条线段,通过实验观察,分析它的正投影简单直观,易于发现结论。
活动2
如图,把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)放在三个不同位置:
(1)纸板平行于投影面;
(2)纸板倾斜于投影面;
(3)纸板垂直于投影面。
三种情形下纸板的正投影各是什么形状?
A
Q
A B
C
D
*B*
C*
D*
A
B
C
D
A*B*
C*
D*
A
B
C
D
A*(B*)
D*(C*)
(1)(2)(3)
通过观察、讨论可知:
(1)当纸板P平行于投影面时,P的正投影与纸板P的一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面时,P的正投影与纸板P的;
(3)当纸板P垂直于投影面时,P的正投影成为。
归纳总结:通过活动1、活动2你发现了什么?
正投影的性质:。
活动3
按照图中所示的投影方向,画出矩形和三角形的正投影。
活动4
出示例题:例画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影。
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P;
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P,上底面ADEF垂直于投影面P,并且上底面的对角线AE垂直于投影面P.
【巩固练习】
1、小明在操场上练习双杠时,在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子()
A. 相交
B. 平行
C. 垂直
D. 无法确定
2、球的正投影是( )
(A)圆面.(B)椭圆面.(C)点. (D)圆环.
3、正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是( )
(A)正方形.(B)平行四边形或一条线段.(C)矩形.(D)菱形.
4、如图所示,右面水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是( )
5、将一个三角形放在太阳光下,它所形成的投影是;
6、在同一时刻,身高1.6m的小强的影长是1.2m,旗杆的影长是15m,则旗杆高为()
A、16m
B、18m
C、20m
D、22m
7、地面上直立一根标杆AB如图,杆长为2cm。
①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?
②当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?并画出投影示意图;
【总结提高】
(一)师生小结
你的收获()你的不足()【布置作业】
作业:教科书93页第3题、第5题.
(赠品,不喜欢可以删除)
数学这个家伙即是科学界的“段子手”,又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来,那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西,就是你在无限趋近于它的时候,便无限远离了原点,却永远无法和它产生交点。
2.人和人就像数轴上的有理数点,彼此可以靠得很近很近,但你们之间始终存在无理的隔阂。
3.人是不孤独的,正如数轴上有无限多个有理点,在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的,正如把整个数轴的无理点标记上以后,就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们,哪怕你和他站在对立面,只要你们的心还是连续的,你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们,一件事情如果是可以实现的,那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情,就随他去吧。
6.幸福是可积的,有限的间断点并不影响它的积累。
所以,乐观地面对人生吧!。