高等数学：第五章 第5节广义积分

广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。

在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。

首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。

对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。

具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。

否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。

在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。

其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。

具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。

另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。

在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。

最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。

有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。

同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。

总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。

通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。

高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。

掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。

接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。

一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。

对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。

（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。

广义积分的求解广义积分是高等数学中的一个重要分支，它经常被用于求解一些非解析函数的积分问题。

广义积分也可以被视为普通积分在定义域上的一种扩展，但是它与普通积分最大的不同之处在于其定义域是一个无穷区间。

因此，求解广义积分需要特别谨慎和精确定义积分区间和函数的性质。

本篇文章将探讨广义积分的定义、性质以及求解方法，旨在为广大数学学习者提供一些有益的参考。

一、广义积分的定义广义积分的定义非常简单，它可以被定义为当积分区间为无限区间时，积分的下限和上限中至少有一个为无穷时所得到的积分。

具体地说，设函数f(x)在区间[a,b)上有定义，其中b可以为无穷大，则该函数的广义积分为：∫a^b f(x)dx = lim(t→b)∫a^t f(x)dx其中，当a为负无穷时，广义积分的定义也可以写成：∫-∞^b f(x)dx = lim(t→-∞)∫t^b f(x)dx二、广义积分的性质广义积分和普通积分一样也具有一些非常重要的性质。

下面是一些常见的性质：1. 线性性质：即广义积分满足线性代数的规律，即对于任意常数a和b，有：∫a^b (af(x) + bg(x))dx = a ∫a^b f(x)dx + b ∫a^b g(x)dx2. 保序性质：即对于函数值的大小关系，广义积分也具有类似开区间的保序性质。

也就是说对于a<b<c，若在[a,b)上f(x)≤g(x)，在[b,c)上f(x)≥g(x)，则有：∫a^b f(x)dx ≤ ∫a^b g(x)dx∫b^c f(x)dx ≥ ∫b^c g(x)dx3. 比较定理：广义积分的比较定理是求解广义积分的一个非常重要的工具，它可以将复杂的广义积分问题简化为更为容易求解的问题。

具体而言，比较定理包括下列两个定理：若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ g(x)，则当广义积分∫a^b g(x)dx 收敛时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也收敛；当广义积分∫a^b f(x)dx 发散时，广义积分∫a^b g(x)dx 一定也发散；若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ Kg(x)（0<K<1），则当广义积分∫a^b g(x)dx 发散时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也发散。

第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.分布图示★无穷限的广义积分★无穷限的广义积分几何解释★例1 ★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★无界函数的广义积分★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★内容小结★课堂练习★习题5-5★返回内容要点一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分.解对任意的有于是因此或例2 (E02) 判断广义积分的敛散性.解对任意因为不存在,故由定义知无穷积分发散.例3(E03) 计算广义积分.解例4 计算广义积分解原式例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛).解注: 其中不定式例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.无界函数的广义积分例7(E06) 计算广义积分解原式例8(E07) 计算广义积分.解故题设广义积分发散.例9(E08) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散.例10 计算广义积分瑕点.解,例11 计算广义积分解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是再令取时时于是注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.例12 (E09) 计算广义积分.解被积函数有两个可疑的瑕点:和因为所以, 是被积函数的唯一瑕点.从而例13计算解分母的阶数较高,可利用到代换,令则再令则课堂练习1. 计算广义积分;2. 判断广义积分的瑕点.科教兴国。