04 数据的概括性度量

【统计学】4.数据的概括性度量【统计学】4.数据的概括性度量4.1 集中趋势的度量4.2 离散程度的度量4.3 偏态与峰态的度量学习⽬标1.集中趋势各测度值的计算⽅法2.集中趋势各测度值的特点及应⽤场合3.离散程度各测度值的计算⽅法4.离散程度各测度值的特点及应⽤场合5.偏态与峰态的测度⽅法6.⽤excel 计算描述统计量并进⾏统计4.1 集中趋势的度量集中趋势（central tendency ）1.⼀组数据向其中⼼值靠拢的倾向和程度，反映了⼀组数据中⼼点位置所在2.测度集中趋势就是寻找数据⽔平的代表值或中⼼值3.不同类型的数据不同的集中趋势测度值4.低层次数据的测度值适⽤于⾼层次的测量数据，但⾼层次的数据的测度值并不适⽤于低层次的测量数据4.1.1 分类数据：众数众数（mode ）1.⼀组数据中出现次数最多的变量值2.⼀般仅适合数据量较多时使⽤3.不受极端值得影响4.⼀组数据可能没有众数或有⼏个众数（众数可能不唯⼀也可能不存在）5.主要⽤于分类数据（分类数据只对应分类的频数），也可⽤于顺序数据和数值型数据4.1.2 顺序数据：中位数和分位数中位数（median ）1.⼀组数据排序后处于中间位置上的值2.中位数不受极端值的影响3.中位数主要⽤于顺序数据，也可⽤于数值型数据，但不适⽤于分类数据中位数（位置和数值的确定）排序位置确定n +12数值确定M e =x (n +12),n 为奇数12[x (n2)+x (n2+1)],n 为偶数因此中位数不⼀定是原数据中的某个变量值四分位数（quartile）1.排序后处于25%和75%位置上的值2.不受极端值的影响3.计算公式Q L 位置=n4,Q U 位置=3n4,4.如果是在0.25或0.75的位置上，则四分位数等于该位置的下侧值加上按⽐例分摊位置两侧数值的差值（加权平均数概念）{{4.1.3 数值型数据：平均数平均数（mean ）1.也称为均值2.集中趋势的最常⽤测度值3.⼀组数据的均衡点所在4.体现了数据的必然性5.易受极端值的影响6.有简单平均数和加权平均数之分7.根据总体数据计算，称为平均数，即为µ，根据样本数据计算的，称为样本平均数，即为x 简单平均数（算数平均数）设⼀组数据为：x 1,x 2,...x n (总体数据x N )样本平均数¯x =x 1+x 2+...+x n n =∑n i =1x i n 总体平均数µ=x 1+x 2+...+x N N =∑Ni =1x iN加权平均数（Weighted mean ）设各组的组中值为:M 1,M 2,...,M k 相应的频数为：f 1,f 2,...f k 样本加权平均¯x =M 1f 1+M 2f 2+...M k f kf 1+f 2+...+f k=∑k i =1M i f in总体加权平均µ=M 1f 1+M 2f 2+...M k f kf 1+f 2+...+f k=∑⼏何平均数（geometric mean ）1. n 个变量值乘积的n 次⽅根2. 适⽤于对⽐率数据的平均3. 主要⽤于计算平均增长率4. 计算公式为G =nx 1×x 2×...×x n =nn∏i =1xi4.1.4众数、中位数和平均数的⽐较1. 众数不受极端值影响具有不唯⼀性数据量较⼤时众数才有意义数据分布偏斜程度较⼤且有明显峰值时应⽤2. 中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较⼤时应⽤3. 平均数利⽤了全部数据信息，数学性质优良易受极端值影响数据对称分布或接近对称分布时应⽤4.2 离散程度的度量离中趋势1.数据分布的⼀个重要特征2.反映各变量值远离其中⼼值的程度（离散程度）3.从另⼀个侧⾯说明了集中趋势测度值的代表程度4.不同类型的数据有不同的离散程度测度值4.2.1 分类数据：异众⽐率异众⽐率（variation ratio ）1. 对分类数据离散程度的测度2. ⾮众数组的频数占总频数的⽐例3. 计算公式v r =∑f i −f m ∑f i=1−f m∑f i4.⽤于衡量众数是否具有代表性4.2.2 顺序数据：四分位差四分位差（quartile deviation ）1. 对顺序数据离散程度的测度2. 也称为内距或四分间距3. 上四分位数与下四分位数之差Q d =Q U −Q L4. 反映了中间50%数据的离散程度5. 不受极端值影响√√6. ⽤于衡量中位数是否具有代表性4.2.3 数值型数据：⽅差和标准差极差（range）1. ⼀组数值型数据的最⼤值和最⼩值之差2. 离散程度的最简单测度值3. 易受极端值影响4. 未考虑数据的分布，数据利⽤率低5. 计算公式为R=max(x i)−min(x i)标准差（mean deviation）1. 各变量值与其平均数离差绝对值的平均数2. 能全⾯反映⼀组数据的离散程度3. 数学性质差，实际应⽤较少4. 计算公式未分组数据M d=∑n i=1|x i−¯x|n组距分组数据Md=∑k i=1|M i−¯x|fin⽅差和标准差(variance and standard deviation)1. 各变量与其平均数离差平⽅的平均数2. 数据离散程度的最常⽤测度值3. 反映了各变量与均值的平均差异4. 根据总体数据计算的，称为总体⽅差（标准差）σ2(σ)根据样本数据计算的，称为样本⽅差(标准差)s2(s)⽅差的计算公式未分组数据s2=∑n i=1(x i−¯x)2n−1组距分组数据s2=∑k i=1(M i−¯x)2fin−1标准差的计算公式未分组数据s=∑n i=1(x i−¯x)2n−1组距分组数据s=∑k i=1(M i−¯x)2fin−1为什么是除以n-1⽽不是n？⾃由度（degree of freedom）1. ⾃由度是指数据个数与附加给独⽴观测值的约束或限制的个数之差2. 从字⾯涵义看，⾃由度是指⼀组数据中可以⾃由取值的个数3. 当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以⾃由取值，其中必有⼀个数据不能⾃由取值。

第4章（数据的概括性度量）学习指导数据分布的特征可以从三个方面进行描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的形状，反映数据分布偏斜程度和峰度。

掌握计算、特点及其应用场合。

主要内容学习要点2．1 集中趋势的度量众数▶概念：众数。

▶众数的特点。

中位数和分位数▶概念：中位数，四分位数。

▶中位数和四分位数的特点。

▶中位数和四分位数的计算。

平均数▶概念：平均数，简单平均数，加权平均数，调和平均数，几何平均数。

▶简单平均数和加权平均数的计算。

▶用Excel中的统计函数计算平均数。

▶几何平均数的计算和应用场合。

众数、中位数和平均数的比较▶众数、中位数和平均数在分布上的关系。

▶众数、中位数和平均数的特点及应用场合。

异众比率▶概念：异众比率异众比率的计算和应用场合。

2．2离散程度的度量四分位差（内距）概念：四分位差。

四分位差的计算。

用Excel中的统计函数计算四分位差。

方差和标准差概念：极差，平均差，方差，标准差。

样本方差和标准差的计算。

用Excel计算标准差。

离散系数概念：离散系数。

离散系数的计算。

离散系数的用途。

2．3偏态与峰态的度量偏态及其测度概念：偏态，偏态系数。

用Excel计算偏态系数。

偏态系数数值的意义。

峰态及其测度概念：峰态，峰态系数。

用Excel计算峰态系数。

峰态系数数值的意义。

Excel统计函数的应用。

一）判断题1，各变量值与其平均数的离差之和为最小值。

( )2．当各组的变量值所出现的频率相等时，加权算术平均数中的权数就失去作用，因而，加权算术平均数也就等于简单算术平均数( )3．比较两总体的平均数的代表性，离散系数较小的总体，平均数代表性亦小。

( )4，平均数与次数和的乘积等于各变量值与次数乘积的和。

( )5．若两总体的平均数不同，而标准差相同，则离散系数也相同。

( )6．并非任意一个变量数列都可以计算其算术平均数、中位数和众数。

统计学各章计算题公式及解题方法第四章数据的概括性度量1.组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算:下限公式：；上限公式：,其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，为众数所在组次数与前一组次数之差，为众数所在组次数与后一组次数之差，d为众数所在组组距2.中位数位置的确定：未分组数据为；组距分组数据为3.未分组数据中位数计算公式：4.单变量数列的中位数:先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组-对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布)5.组距式数列的中位数计算公式:下限公式：；上限公式：，其中，为中位数所在组的频数，为中位数所在组前一组的累积频数,为中位数所在组后一组的累积频数6.四分位数位置的确定：未分组数据：；组距分组数据：7.简单均值：8.加权均值：，其中，为各组组中值统计学各章计算题公式及解题方法9.几何均值(用于计算平均发展速度）：10.四分位差（用于衡量中位数的代表性)：11.异众比率（用于衡量众数的代表性）:12.极差：未分组数据:；组距分组数据：13.平均差（离散程度)：未分组数据：；组距分组数据:14.总体方差：未分组数据：；分组数据:15.总体标准差：未分组数据：;分组数据:16.样本方差:未分组数据:；分组数据：17.样本标准差：未分组数据：;分组数据：18.标准分数:19.离散系数：第七章参数估计1.的估计值:置信水平α90％0.1 0。

05 1.65495% 0。

05 0.025 1.9699% 0.01 0。

005 2。

58统计学各章计算题公式及解题方法2.不同情况下总体均值的区间估计：总体分布样本量σ已知σ未知大样本（n≥30）正态分布小样本（n<30）非正态分布大样本(n≥30）其中，查p448 ，查找时需查n—1的数值3.大样本总体比例的区间估计：4.总体方差在置信水平下的置信区间为：5.估计总体均值的样本量：，其中，E为估计误差6.重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：，其中π为总体比例第八章假设检验1.总体均值的检验（已知或未知的大样本）[总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似］假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝2.总体均值检验（未知，小样本，总体正态分布）假设双侧检验左侧检验右侧检验统计学各章计算题公式及解题方法假设形式已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝注：已知的拒绝域同大样本3.一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）（其中为假设的总体比例）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策,拒绝4.总体方差的检验(检验）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策，拒绝5.统计量的参考数值0.1 0。

第四章数据的概括性度量一、填空题1.一组数据向某一中心值靠拢的倾向反映了数据的———————。

2. ————是一组数据中出现次数最多的变量值。

3.一组数据排序后处于中间位置上的变量值称——————。

4.不受极端值影响的集中趋势度量指标有————、————和————。

5.一组数据的最大值与最小值之差称————。

6. —————是一组数据的标准差与其相应的平均数之比。

7.数据分布的不对称性是——————。

8.数据分布的平峰或尖峰程度称——————9.计算比率的平均数一般用—————，它实际上是各变量值对数的—————。

二、单项选择题1.对于对称分布的数据，众数、中位数和平均数的关系是：A.众数＞中位数＞平均数B.众数＝中位数＝平均数C.平均数＞中位数＞众数D.中位数＞众数＞平均数2.可以计算平均数的数据类型有：A.分类型数据B.顺序型数据C.数据型数据D.所有数据类型3.顺序数据的集中趋势测度指标有：A.众数B.中位数C.四分位差D.标准分数4.数据型数据的离散程度测度方法中，受极端变量值影响最大的是：A.极差B.方差C.均方差D.平均差5.当偏态系数为正数时，说明数据的分布是：A.正态分布B.左偏分布C.右偏分布D.双峰分布三、多项选择题1.数据的分布特征可以从哪几个方面测度和描述：A.集中趋势B.分布的偏态C.分布的峰态D.离散程度E.长期趋势2.受极端变量值影响的集中趋势度量指标是A.众数B.中位数C.算术平均数D.调和平均数E.几何平均数3.加权算术平均数大小的影响因素有：A.变量值B.样本容量C.权数D.分组的组数E.数据的类型4.数据型数据离散程度的测度指标有：A.异众比率B.极差C.标准差D.四分位数E.离散系数5.离散系数的主要作用是：A.说明数据的集中趋势B.比较不同计量单位数据的离散程度C.说明数据的偏态程度D.比较不同变量值水平数据的离散程度E.说明数据的峰态程度四、简答题1.什么是数据的集中趋势？反映数据集中趋势的指标有哪些？2.什么是数据的离散程度？常用的测度离散程度的指标有哪些？3.怎样理解平均数在统计学中的地位4.简述众数、中位数和均值的特点和应用场合。

第一章 绪论1. 统计数据的分析是统计学的核心内容，它是通过统计描述和统计推断的方法探索数据内在规律的过程。

T 参考答案：√2.描述统计学是研究如何根据样本数据去推断通体数量特征的方法。

F 参考答案：×3. 描述统计学是整个统计学的基础，推断统计学是现代统计学的主要内容。

4. 推断统计学在现代统计学中的地位和作用越来越重要，已成为统计学的核心内容。

11. 考试成绩分为优、良、中、及格、不及格，这是按定类尺度划分的。

参考答案：× 12. 考试成绩用“百分制”度量，这是按定比尺度划分的。

参考答案：× 13. 将全部人口分为男女两部分，男性所占比重就是比率相对数。

参考答案：× 14. 动态数列就是将某同时期的各指标数值按照组别进行排序得到的数列。

参考答案：× 15. “企业数”、“年龄”都是离散变量。

参考答案：× 16. “性别”、“产品等级”属于数量变量。

参考答案：×17. 数据的加工处理方法、数据分布特征的概括与分析方法等属于描述统计学的内容。

参考答案：√ 18. 人的身高、体重、机器设备台数等都是连续变量。

参考答案：× 19. 离散变量的变量值只能按整数计算，不可能有小数。

参考答案：×20. 价值单位是以货币形式对现象进行度量，如国民生产总值、商品销售额等。

参考答案：√第二章 统计数据的搜集与整理1. 统计数据的直接来源主要有专门组织的调查和科学试验两个渠道。

2. 由《中国统计年鉴》获得的数据属于直接的统计数据。

4. 普查一般要规定统一的标准调查时间，以避免调查数据的重复或遗漏。

统计学原理 - 随堂练习参考答案：√T参考答案：√5. 统计数据的计量尺度分为定类尺度、定序尺度、定距尺度和定比尺度。

参考答案：√6. 定量数据说明的是现象的数量特征，是能够用数值来表现。

7. 定性数据说明的是现象的品质特征，是不能用数值来表参考答案：×3. 普查具有调查费用低、时效性高、适应面广、准确性高等特点。

统计学（第五版）贾俊平课后习题答案（完整版）第一章思考题1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。

1.2解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。

推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。

1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述；（定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。

它也是有类别的，但这些类别是有序的。

（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。

统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。

实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。

统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。

时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。

1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。

1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。

变量也可以分为随机变量和非随机变量。

经验变量和理论变量。

1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。