数学角的比较与运算-课件

折痕将∠PQR分成两个相等的角.
获取新知
探究点1 角平分线 一般地，从一个角的顶点出发，
C B
把这个角分成两个相等的角的射
线，叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言：
因为∠AOB=∠BOC= 1∠AOC， 2
或∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，
所以射线OB是∠AOC的平分线.
反之也成立：
因为射线OB是∠AOC的平分线.
2
2
O
A
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°. 因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？
解：分以下两种情况：
如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
B D
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
C
因为∠AOB=40°， 所以2x+3x=40°，得x=8°，
O
A
所以∠AOC=2x=2×8°=16°.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．
5.如图，点O在直线AB上．（1）若∠BOC：∠AOC=1：3，求∠BOC的度数； （2）若OD平分∠BOC，∠DOE=90°，OE平分∠AOC吗？为什么？
解：(1)因为∠BOC+∠AOC=180°， ∠BOC：∠AOC=1：3， 所以∠BOC+3∠BOC=180°， 所以∠BOC=45°．

已知角. 难点：角的平分线的应用.
线段 定义 类比
角
定义
表示 表示
大小 运算
大小 运算
叠合法 度量法 和、差、倍、分 叠合法 度量法 和、差、倍、分
合作探究
1 角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角 的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠
C
C
C
合
法 O'
D
O'
结B
论
D
D C
O'
第三章 图形的初步认识
3.6 角
2 角的比较和运算
华师版七年级(上)
教学目标
1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角 的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.
2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角 的等分线，会画角的平分线.
重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于
B C
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言
因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠AOC＝∠BOC = 1 ∠AOB
2 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
试一试
D
类比：仿照角平分线的结论，你能写出
C
B
角的三等分线的结论吗？
O
A
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别 是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化 问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON， 再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ 1 2∠AOB.

解：（1）∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∠BOD＝∠BOC+∠COD.
（2）∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝∠AOD－∠BOD.
知识讲解
探究：借助三角尺画出15°，75°的角.
知识讲解
探究：用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角?
知识讲解
角的加减运算：
（1）两个角的和、差仍然是一个角；角的和或差的度数，就是它们度数的
（1）解：64°26′38 + 30°45′50
= 94°71′88"
= 95°12′28"；
（2）解：100° − 36°18′52"
= 63°41′8"
随堂练习
练习3. 已知∠ + ∠ = 90°，且∠ = 35°18′，则∠
=________
54.7°
解：∵ ∠ + ∠ = 90°，且∠ = 35°18′ ，
类比线段比较长短的方法，比较两个角的大小：
叠合法：用图形和几何语言说明两个角的大小关系（两个角分别记作∠AOB和
∠A'O'B'）
B （B' ）
B'
B
B'
B
O （O' ）
A （A' ）
∠AOB< ∠A'O'B'
O （O' ）
A （A' ） O （O' ）
∠AOB=∠A'O'B'
A （A' ）
∠AOB> ∠A'O'B'
小明：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”，
小丽：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些”.

探究新知
探究： 如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角， 你还能画出哪些度数的角？
105°、120°、135°、150°、 165 °180°
பைடு நூலகம்
75°
15°
例2 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′， 求∠BOC 的度数.
解：∵∠AOB 是平角， ∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
大小？
A
B
C
D
1.度量法 3.尺规作图
2.叠合法
A B
F
E D C 怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?
探究新知
一 角的比较与计算
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1. 度量法
注意事项：“两重合”
（1）量角器的中心与角的顶点重合
（2）量角器的0刻度线与角的一条边重合
2. 叠合法
注意事项：“两重一同” （1）两个角的顶点重合；两个角的一条边重合 （2）两个角的另一条边在重合的边的同一侧
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC ＝180°－53°17′ ＝179°60′－53°17′ ＝126°43′.
C
A
O
B
可如何以计向算18？0º借 1º，化为60′.
课堂练习
(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则
∠AOB＝ 75 °．
A C
A C
O
B
图①
O
B
图②
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则 ∠AOC＝ 20 °．
想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角 分别记作∠AOB，∠A'O'B' )

∠DOE的度数(用含α 的代数式表示).
解：因为∠DOE=∠

COD－ ∠

BOC，


所以∠DOE=90 ° － (180 °－∠ AOC)=
90 ° －90°＋

∠

AOC=

∠

AOC=

α

．
综合应用创新
解决问题：(3)如图6.3－19 ②，O 是直线AB 上的一点，
∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC，探究∠ AOC 和∠
出合适未知数，列方程求解.
综合应用创新
解：设∠AOD=5x°，
则∠BOD=7x°，∠AOB= ∠AOD＋∠ BOD=12x°.
因为∠ AOC ∶ ∠ BOC=1∶3，
所以∠ AOC=3x °，∠ BOC=9x°.
又因为∠COD= ∠AOD－ ∠ AOC=15°，


所以15=5x－3x.解得x= ，所以∠ AOB=12x°=90°．
发生改变．理由如下：
1
1
1
易得∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ 2∠BOC－2∠AOC＝ 2
1
(∠BOC－∠AOC)＝2∠AOB.因为∠AOB 是直角，度数不
1
改变，所以∠MON＝2∠AOB＝45°，不发生改变．
∠ AOC 的度数.
错解：∠AOC= ∠AOB＋∠BOC=
70°＋40°=11 0°.
综合应用创新
正解：分两种情况进行讨论：
(1)当∠ BOC 在∠ AOB 的外部时， 如图6.3－20 ①，
∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC=70°＋ 40°=110°；
(2)当∠ BOC 在∠ AOB 的内部时， 如图6.3－20 ②，

∵ ON 平分∠ POB ，

∴∠ PON ＝ ∠ BOP ＝81°，

∴∠ CON ＝∠ PON －∠ COP ＝63°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.3.2
角的比较与运算(2)
分层检测
C培优
12. 如图， O 为直线 AB 上一点，∠ DOE ＝90°.若∠ AOC ＝130°， OD
∴∠ COB ＝2∠ BOD ＝84°，
∴∠ COD ＝∠ COB ＋∠ BOD ＝84°＋42°＝126°，
∵ OA 平分∠ COD ，

∴∠ AOD ＝ ∠ COD ＝63°，

∴∠ AOB ＝∠ AOD －∠ BOD ＝63°－42°＝21°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.3.2
角的比较与运算(2)
6.3.2 角的比较与运算(2)
1
课前预习
2
3
分层检测
课堂学练
6.3.2
角的比较与运算(2)
课前预习
1. 如图1，结合图形填空：
(1)∠ AOC ＝∠ AOB －
(2)∠ AOB ＝
∠ AOC
∠ BOC
＋
；
⁠
∠ BOC
图1
.
⁠
6.3.2
角的比较与运算(2)
课前预习
2. 如图2， OC 是∠ AOB 的平分线，则：


∴∠ MOC ＝ ∠ AOC ＝60°，∠ CON ＝ ∠ BOC ＝15°，

18
05
角的证明与推理
2024/1/28
19
等量代换法证明角相等
定义法
根据角的定义，通过证明 两个角所对的边或顶点关 系来证明它们相等。
2024/1/28
等量代换法
通过证明两个角分别与第 三个角相等，从而得出这 两个角相等。这种方法常 用于几何图形的证明中。
推理法
结合已知条件和图形性质 ，通过逻辑推理证明两个 角相等。
角的表示方法
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两 边的字母表示角的两条边；也可以用一个大写字母表示，这个字 母就是角的顶点；还可以用一个数字或希腊字母表示。
4
角的度量单位与换算
2024/1/28
角的度量单位
角的度量单位是度，用符号“°” 表示。把一个圆周分成360等份 ，每一份叫做1度，记作1°。
角的换算
1度等于60分，1分等于60秒。因 此，角度可以换算成分和秒。例 如，45°可以换算成45°00'00''。
5
角的基本性质
2024/1/28
• 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小 有关，与边的长短无关。
• 角的平分线性质：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
两个角相加，将它们的度 数相加即可。
2024/1/28
角的减法
两个角相减，将它们的度 数相减即可。
应用
利用角的加减运算进行角 度的计算和证明，解决与 角度相关的问题。
14
04
角在生活中的应用
2024/1/28
15
时钟上的角度问题
时钟面上的角度计算
时钟面平均分成了12份，每份对应的角度是30度。可以用这个知识点来解决时 钟上时针和分针之间的角度问题。

(1)加法运算：先同级相加，再对分、秒化简；
(2)减法运算：从低位算起，若同级不够减，则向上一级借1作60.
(3)乘法运算：当一个角度与正整数相乘时，先用正整数分别与度、
分、秒相乘，再把所得的积相加后化简.
(4)除法运算：当一个角度除以一个正整数时，从高位算起，余数
乘以60化为下一级再运算.
巩固练习
数.
分析：AB是直线，∠AOB是平角.∠BOC与∠AOC的和是
∠AOB.
解：由题意可知， ∠AOB是平角，
C
∠AOB = ∠AOC+∠BOC.
所以∠BOC =∠AOB - ∠AOC
=180°-53°17′
=126°43′.
A
O
B
典例解析
注意：
进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分
别相加、减.
即∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠DOB=∠COD+∠BOC
(2) ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，
O
B
或∠AOB是∠AOD与∠ DOB的差，
即∠AOB=∠AOC- ∠BOC= ∠AOD- ∠DOB.
A
巩固练习
1.按图填空：
(1)∠AOB+ ∠BOC= ∠AOC
(2) ∠BOD- ∠COD= ∠BOC
分、秒相加时逢60要进位；
相减时，如不够减要借1作60.
本题中应借1°，先将180°化为 179°60'再进行减法运算.
巩固练习
1.在∠A0B的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在(A )
A.∠AOB>∠AOC
B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC>∠AOC
D.∠AOC>∠BOC

计算
怎样比较下面线段的长短？
A
B
C
D
观察法、 度量法、叠合法
E
F
角的比较方法:观察法
F
C
B
A
∠ABC > ∠DEF
E
D
探求新知
小组活动：当无法通过观察判断时，
又如何比较角的大小？
两人为一组，每人各画或折一个角，
并比较两个角的大小，说说你的方法。
探求新知
角的比较方法:度量法
∠ABC=39°
C
B
A
E
∠ABC < ∠DEF
O
∠BOC 的内部，所以∠BOC
大于 ∠DOE. 你能理解这种方法
吗？
∠BOC > ∠DOE
C
( D´ )
E
D
A
B
（4）请在图中画出小亮
折叠的折痕 OF，∠DOF 与
∠COF 有什么大小关系？
∠DOF = ∠COF
C
O
F
E
D
角平分线的定义
从一个角的顶点引出的
一条射线，把这个角分成两
个相等的角， 这条射线叫做
O
这个 角的平分线 .
几
何
语
言
∵ OC 是 ∠AOB 的平分线.
1
∴∠AOC = ∠BOC = ∠AOB
2
或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC.
A
C
B
探究新知
类似的，如下图，还有角的三等分线，四等分线等.
射线OB、OC是∠AOD的三等分线.
D
B
C
∵射线OB、OC是∠AOD的三等分线
∴ ∠=3∠AOC=3∠BOC=3∠BOD

30′= 30′÷60= 0.5°
0.5 °
1′=60″
1°=60′
例题讲授
例3计算：
(3) 58.37°=
58°
22′ 12″
1°=60′
解：0.37°= (0.37×60）′= 22.2'
0.2'= (0.2×60）″= 12"
1′=60″
例题讲授
例3计算：
(4)15°32′24″=
15.54° =
′；1′＝
60 ″.
°.
3600
例题讲授
例3计算：
(1) 1.45°= 87′
’= 5220″ "
解：1.45°= (1.45X60)′=
87′
87′= (87X60)″= 5220″
1°=60′
1′=60″
例题讲授
例3计算：
(2) 1800″=
解：1800″=
30 ′ =
1800″÷60= 30′
会正确使用量角器测量角的大小.
认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.
角的有关概念
静态定义：
有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
动态定义：
角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
两条射线 —角的边
公共端点 —角的顶点
当两个或两个以上的角
共同一个顶点时，不能
用一个大写字母表示．
3.填空：
60 ′ ，1′＝_____″;
1°
60
(1)把周角平均分成360份，每份就是____的角，1°＝____
25 °____
43 ′ _____″;
12
(2)25.72°＝____

因为∠ AOD ＝30°，
所以∠ COD ＝∠ AOC －∠ AOD ＝40°－30°＝10°.
4. 如图，已知∠ AOB ＝90°，∠ BOC ＝39°30′， OD 平分
∠ AOC ，求∠ BOD 的度数．
解：依题意，得∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ BOC ＝90°＋39°30′＝129°30′.
所以∠ BOC ＝30°.
6． 如图所示的网格是正方形网格，则∠ AOB 与∠ MPN 的关系是
(
C
)
A． ∠ AOB >∠ MPN
B． ∠ AOB <∠ MPN
C． ∠ AOB ＝∠ MPN
D． ∠ AOB ＝2∠ MPN
7． 分类讨论已知∠ AOB ＝50°，以点 O 为顶点， OB 为一边作

∠1＝∠2＝ ∠ AOC

．
⁠
(2)类似地，还有角的三等分线(如图2)等．
例1 如图， OC 平分∠ AOB ．
(1)若∠ AOB ＝100°，求∠1，∠2的度数；
解：(1)因为 OC 平分∠ AOB ，∠ AOB ＝100°，


所以∠1＝∠2＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°.


(2)若∠1＝60°，求∠2，∠ AOB 的度数．
∠ BOC ＝20°，求∠ AOC 的度数．
解：
如图．
当 OC1在∠ AOB 内部时，∠ AOC1＝∠ AOB －∠ BOC1＝50°－20°＝30°.
当 OC2在∠ AOB 外部时，∠ AOC2＝∠ AOB ＋∠ BOC2＝50°＋20°＝70°.
所以∠ AOC 的度数为30°或70°.
课后作业
因为∠ AOE ＝90°－54°＝36°，

分层检测
13. 下列各式成立的是( B ) A. 62.5°＝62°50' B. 31°12'36″＝31.21° C. 106°18'18″＝106.33° D. 62°24'＝62.24°
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
6.3.2 角的比较与运算(1)
分层检测
14. 上午10：00时，钟表的时针与分针的夹角为( A )
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 30°
15. 钟表在8时30分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为( C )
A. 60°
B. 70°
C. 75°
D. 85°
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
⁠
(2)131°28'－32'15″＝ 130°55'45″ ； ⁠
(3)58°38'27″＋47°42'40″＝ 106°21'7″ ； ⁠
(4)25°38'45″×3＝ 76°56'15″ ； ⁠
(5)109°15'24″÷4＝ 27°18'51″ . ⁠
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
＝150°－(90°＋12.5°) ＝150°－102.5° ＝47.5°.
1
2
3
4
5

B
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
∠AOC=∠BOC= 1∠AOB
2
A C
O
B
随堂练习
1. 在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( A )
A．∠AOB＞∠AOC
B．∠AOC＞∠BOA
C．∠BOC＞∠AOC
D．∠AOC＞∠BOC
2. 比较15.30°，15°30′，15.03°的大小，正确的是（ B ） A.15.30°＞15°30′＞15.03° B.15°30′＞15.30°＞15.03° C.15.30°＞15.03°＞1
从而想到，如果两个角中，所作圆弧与角两边的交点之间的线段相
等，那么这两个角就应该相等.
知识点2 尺规作角
试一试
如图，∠AOB为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确 地画一个角等于∠AOB.
B
O
A
B D
B′ D′
O
CA
O′
C′
A′
第一步：画射线O′A′； 第二步：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于 点C，交OB于点D； 第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于点D′； 第五步：过点D′画射线O′B′； ∠A′O′B′就是所要画的角.
理由：因为∠AOC=40°,所以∠BOC=180°-∠AOC=140°.
因为∠DOE=90°，
所以∠COE=∠DOE-∠COD=90°-20°=70°，
所以∠COE=
1 2
∠BOC，即OE平分∠BOC.
课堂小结
角 的 比 较 和 运 算