2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷及答案

江苏省苏州市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132 B ．3.137C ．3.142D ．3.147【答案】B 【解析】 【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可 【详解】如图，由几何概型公式可知：224513.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B 【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题 2． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-， ∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题． 3．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合12x π=为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.【详解】函数()sin 2cos 2f x x a x =+，由辅助角公式化简可得()()2,tan f x x a θθ=+=， 因为12x π=为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，代入可得sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12=(20a -=，即a =所以()sin 22f x x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.4．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 5．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃ð＝（ ） A ．{2，3，4，5} B ．{2，3，4，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．{1，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}， 所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7} B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}， 故A C ð＝{1，4，5，6}，所以()A B C ⋃ð＝{1，2，3，4，5，6}. 故选：C. 【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.6．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④ B ．①②C ．②④D ．①③④【答案】A 【解析】 【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,则x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 故选:A 【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数. 7．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2 B ．2C ．0D ．1或2【答案】C 【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数8．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A．1 B．3 C．2 D．3 【答案】B【解析】【分析】设直线l的方程为1x my=+代入抛物线方程，利用韦达定理可得124y y m+=,124y y=-,由3AF BF=可知3AF FB=u u u r u u u r所以可得123y y=-代入化简求得参数,即可求得结果.【详解】设()11,A x y，()22,B x y（1y>，2y<）.易知直线l的斜率存在且不为0，设为1m，则直线l的方程为1x my=+.与抛物线方程联立得()241y my=+，所以124y y=-，124y y m+=.因为3AF BF=，所以3AF FB=u u u r u u u r，得123y y=-，所以2243y=，即223y=-，123y=，所以12143m y y==+.故选:B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题. 9．函数()f x的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A．()212xxf x-=B．()()21xf x x=-C．()lnf x x=D．()1xf x xe=-【答案】B【解析】【分析】根据定义域排除C，求出()1f的值，可以排除D，考虑()100f-排除A.【详解】根据函数图象得定义域为R，所以C不合题意；D选项，计算()11f e=-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.11．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．98B ．78C ．12D ．6256【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数3ln ()3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U【答案】A 【解析】 【分析】 函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x-+-=的解，设()ln x g x x =，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围． 【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln xg x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ． 【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。

2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模模拟数学试卷-学生用卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第1题5分已知集合M={−2,−1,0,1}，N={x|x2+x⩽0}，则M∩N=．2、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第2题5分已知复数a+i2+i为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第3题5分某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是．4、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第4题5分根据如图所示的伪代码，当输入的x为−1时，最后输出的m的值是．5、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第5题5分在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，则该双曲线的渐近线的方程是．6、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第6题5分某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答．若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 ．7、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第7题5分2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测[ 校本作业5.6（1）] 第2题 将函数f(x)=sin⁡(2x +π3)的图象向右平移φ个单位得到函数g (x )的图象．若g (x )为奇函数，则φ的最小正值是 ．8、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第8题5分已知非零向量b →与a →的夹角为120°，且|a →|=2，|2a →+b →|=4，则|b →|= ．9、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第9题5分 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且8a 1，a 3，6a 2成等差数列，则a 7+2a 8a5+2a 6的值是 ．10、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第10题5分 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(−10,0)的圆M 与圆x 2+y 2−6x −6y =0相切于原点，则圆M 的半径是 ．11、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第11题5分2020~2021学年5月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三下学期月考理科（十三模）第15题5分唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2．设酒杯上部分（圆柱）的体积为V 1，下部分（半球）的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．12、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第12题5分已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象与直线y=k(x−1)(k∈R)相交．若其中一个交点的纵坐标为1，则k+a的最小值是．13、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第13题5分平面四边形ABCD中，AB=√3，AD=DC=CB=1，△ABD和△BCD的面积分别为S，T，则S2+T2的最大值是．14、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第14题5分已知函数f(x)={2x+4x+1,x⩾0(x+2)2,x<0，若关于x的不等式f(x)−mx−m−1<0(m∈R)的解集是(x1,x2)∪(x3,+∞)，x1<x2<x3，则m的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第15题14分2016年江苏南京高三三模第15题14分在△ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边．若向量m→=(a,cos⁡A)，向量n→=(cos⁡C,c)，且m→⋅n→=3bcos⁡B．(1) 求cos⁡B的值；(2) 若a,b,c成等比数列，求1tan A +1tan C的值．16、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第16题14分2016年江苏徐州高三三模第16题14分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AC，M,N,P分别为BC,CC1,BB1的中点．求证：(1) 平面AMP⊥平面BB1C1C；(2) A1N//平面AMP．17、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第17题14分2016年江苏徐州高三三模第17题14分在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,32)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．18、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第18题16分2017~2018学年江苏南通崇川区江苏省南通第一中学高一上学期期末第18题2016年江苏盐城高三三模第17题14分一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC,CD上分别取点E,F（不与正方形的顶点重合），连接AE,EF,FA，使得∠EAF=45°．现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？19、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第19题16分 2015~2016学年10月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三上学期月考理科第21题12分 已知函数f (x )=xln x −ax (x >0,x ≠1)．(1) 若函数f (x )在(1,+∞)上为减函数，求实数a 的最小值．(2) 若∃x 1，x 2∈[e,e 2]，使f (x 1)⩽f ′(x 2)+a 成立，求实数a 的取值范围．20、【来源】 2020年江苏苏州工业园区苏州大学附属中学高三二模（模拟）第20题16分 2016年江苏徐州高三三模第20题16分在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n+2={a n +2,n =2k −13a n ,n =2k（k ∈N ∗）． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求满足2a n+1=a n +a n+2的正整数n 的值；(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n =mS 2n−1？若存在，求出所有的正整数对(m,n )；若不存在，请说明理由．1 、【答案】 {−1,0};2 、【答案】 −12;3 、【答案】 85;4 、【答案】 32;5 、【答案】 y =±2x ;6 、【答案】12;7 、【答案】π6;8 、【答案】4;9 、【答案】16;10 、【答案】5√2;11 、【答案】2;12 、【答案】3;13 、【答案】78;14 、【答案】(0,2)∪(2,3);15 、【答案】 (1) 13;(2) 3√24;16 、【答案】 (1) 详见解析;(2) 详见解析;17 、【答案】 (1) x24+y23=1;(2) M(1,−32)，N(2,0)；或M(−2,0)，N(−1,32);18 、【答案】(√2−1)×105元;19 、【答案】 (1) 实数a的最小值为14．;(2) [12−14e2,+∞)．;20 、【答案】 (1) a n={n,n=2k−1 2⋅3n2−1,n=2k;(2) 1;(3) (2,2)，(3,1) ;。

江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.a的值为____．【答案】4【解析】【分析】a值即可a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.（____．【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求故实部为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2种，甲、乙两人中恰有1种，【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.___．【解析】【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.___．【解析】【分析】先由平移得f(x)【详解】=2sin(3x+【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.则b的值为___．【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为AB的长为____．【解析】【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△ABC∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣°＝28，解得即【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，则球O的表面积为____m2．【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，∴2R则球O的表面积S＝4πR2＝29π【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O 的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R满足上，___．【答案】5【解析】【分析】【详解】的周期为4，故f(x)关于（2,0）中心对称，又f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.，b，的解集为{ x | 3 < x < 4}___．【解析】【分析】由不等式解集知a<0,将b,c分别用a 表示代入利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,，当且仅当-24a=即故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B点P（3，1，M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【解析】【分析】设AB中点为M将向量坐标【详解】设AB中点为②，将【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.，从集合；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则____．【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为4344故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.，其中（1（2【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1（2展开即可代入求解【详解】（1∥，，所以．解得．（2）因为，所以，，解得【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH（1）求屋顶面积S关于（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当【答案】（1（2【解析】【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM 平面ABCD，得FH⊥HM．在R t△FHM中，HM 5因此△FBC所以S)．（2）在Rt△FHM，所以主体高度为记，所以，，得列表：为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1C2C2与C1（1）求椭圆C2的标准方程；（2C2上一点．C1，且直线C1均有且只有一个公共点，求证：【答案】（1（2）①见解析，②见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆b即可；（2）①当直线OP斜率不存在时，得OP斜率存在时，设直线OP，推求；②，直线的方程为，记，则C1的方程得，由，得，再将代入得由韦达定理及点P【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，C2（2）①1°当直线OP斜率不存在时，2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为代入椭圆C1的方程，消去y，由题意，同号，所以为定值．，所以直线的方程为代入椭圆C1的方程，消去yC1有且只有一个公共点，k．又点在C2上，所以【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题19.（1时，求函数的极值；（2）在的值；（3【答案】（1的极大值为；极小值为（2（3）见解析【解析】【分析】（1（2（3）假设存在一条直线的图象有两个不同的切点同一直线理，，令构造函数，求导求得盾，说明假设不成立，则不存在【详解】（1）时，函数的定义域为，令得，或；极小值为（2）依题意，切线方程为变形得在，（当且仅当，，从而（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点的方程为：整理得，消去得，．，由与，得，所以为上的单调减函数，所以【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.20.n项和为S n n项和为T n，且（1（2（3的所有值．【答案】（1（21为公比的等比数列；（3）0【解析】【分析】（1）令n=1,n=2列关方程求解即可；（2）因①，③n=1比数列（3）由（2）对任意的，当为奇数时恒成立，和，当为奇数时，单调减，（*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有【详解】（1（2①②④又由（1，1为首项，为公比的等比数列．（3）由（2．，对任意的，当为奇数时，，因为所以，所以（*），时，有，所以，当为奇数时，时，有不符．综上，实数的所有值为0．【点睛】本题考查数列综合问题，由递推关系求数列通项公式，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，准确计算是关键，是难题21.【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy为参数)，椭圆C的参数方程为C交于A，B两点，求线段AB的长．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x，y，z【答案】A B C：见解析【解析】【分析】A由矩阵的运算求解即可；B坐标，由弦长公式求得AB的长；C．由柯西不等式证明即可【详解】A.矩阵的特征多项式的另一个特征值为B，．C．由柯西不等式得，，所以当且仅当“”时取等号．【点睛】本题考查矩阵运算，直线的参数方程，弦长公式，柯西不等式证明不等式，熟练掌握矩阵运算，柯西不等式是关键，是基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．22.AB 1，AP AD 2.（1所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC M，N的位置．【答案】（1（2）M为AB的中点，N为PC的中点【解析】【分析】（1）由题意知，AB，AD，AP平面PCD的一个法向量为（2PCD M,N的位置【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．设平面PCD不妨取则．所以平面PCD设直线PB与平面PCD即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（21）知，平面PCDPCD所以M为AB的中点，N为PC的中点．【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题23.证明：（1（2，【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1（2）①当时，由（1）可知，命题成立；均为非负实数，且所以【点睛】本题考查数学归纳法证明不等式，基本不等式证明问题，准确计算，严密的推理是关键，是中档题。

苏州市2020届高三年级二模模拟试卷数学Ⅰ一、填空题1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}02B x x =<≤，则A B =______.【答案】{}1,2 【解析】 【分析】根据交集的概念，直接计算，即可得出结果. 【详解】∵{}0,1,2,3A =，{}02B x x =<≤；∴{}1,2A B =.故答案为：{}1,2.【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2. i 是虚数单位，则1ii+的值为_______. 2 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数1ii+化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出1i i +的值.【详解】()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-，因此，221121222i i ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 故答案为：22. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340±=x y ，则双曲线的离心率为____. 【答案】54【解析】【分析】焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为34yx ，可知34b a ，由此可求出双曲线的离心率． 【详解】由题可设焦点在x 轴上的双曲线方程为22221(,0)x ya b a b-=>，由于该双曲线的渐近线方程为34yx ，则34b a ， 在双曲线中222c a b =+，所以双曲线的离心率2223511()44c b e a a ==+=+=， 故双曲线的离心率为54． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线渐近方程的应用，属于基础题． 4. 阅读如图所示的程序框图，若输入的n 是 100，则输出的变量s 的值是 ▲【答案】5049 【解析】 【分析】按照程序图输入n 的值，然后根据判断语句，计算输出的结果【详解】第一次输入100n =，1002>，故100s ，100199=-=n ，继续循环下去，当2n =时，2=2，故100992=5049=+++s ，211n =-=，12<，跳出循环，输出结果5049=s . 故答案为：5049【点睛】本题考查了循环语句计算输出结果，只要根据程序图即可计算出结果，较为基础，注意等差数列的求和.5. 某高校数学学院,,A B C三个不同专业分别有800，600，400名学生，为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A专业抽取的学生人数为______.【答案】16【解析】【分析】根据分层抽样列式求解即可.【详解】某高校数学学院,,A B C三个不同专业分别有800，600，400名学生.用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A专业抽取的学生人数为：8003616800600400⨯=++.故答案为：16【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______．【答案】2 5【解析】【分析】本题首先可以写出任意选出2本书的所有可能情况数目，然后写出2本书编号相连的所有可能情况数目，两者相除，即可得出结果．【详解】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为12131415（，）、（，）、（，）、（，）、232425343545（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共十种，满足2本书编号相连的所有可能情况为12233445（，）、（，）、（，）、（，）共四种，故选出的2本书编号相连的概率为42 105=．【点睛】本题考查了古典概型的相关性质，主要考查了古典概型的概率计算，首先需要找出所有可能的情况事件，然后要找出满足题意的情况事件，是简单题．7. 已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的值为______. 【答案】6π- 【解析】 【分析】根据题意，得到()03f π=，即cos(2)03πϕ⨯+=，解得,6k k Z πϕπ=-∈，进而求得ϕ的值，得到答案.【详解】由函数()()cos 2f x x φ=+的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 则()03f π=，即cos(2)03πϕ⨯+=，可得2,32k k Z ππϕπ+=+∈⨯，解得,6k k Z πϕπ=-∈，因为2πϕ≤，所以当0k =时，可得6πϕ=-.故答案为：6π-. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的对称中心，准确运算是解答的关键，意在考查运算与求解能力.8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为______.【答案】13【分析】利用展开法可求得当1AD DC +最小时，1BD =，进而利用等体积转化和三棱锥的体积公式计算.【详解】将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图，连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小.∵1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点， ∴当1AD DC +最小时，1BD =， 此时三棱锥1D ABC -的体积：111113D ABC C ABD ABD V V S B C --==⨯⨯△111132AB BD B C =⨯⨯⨯⨯ 111112323=⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：13【点睛】本题考查空间展开法研究距离最值问题和棱锥的体积计算，关键是利用展开法解决距离和的最小问题和棱锥的等体积转化，得到属基础题.9. 设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足()12f >-，()32f m m=-，则m 的取值范围是______. 【答案】()(),10,3-∞-【解析】根据()f x 是奇函数，最小正周期为3，可得()()212f f =-< 得到32m m-<，当0m >，0m <分别解之，然后求并集即得. 【详解】由题意()12f >-，函数是奇函数， 故有()12f -<又周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3， 故()()212f f =-< ∵()32f m m=- ∴32m m-< 当0m >时，解得03m << 当0m <时，解得1m <- 所以m 的取值范围是()(),10,3-∞-.【分析】本题考查函数的奇偶性和周期性，考查不等式的基本性质和求解，涉及分类讨论思想，属中档题.关键是结合奇偶性和周期性得到()22f <，进而求解.10. 如图，在由5个边长为1，一个内角为60︒的菱形组成的图形中，AB CD ⋅=______.【答案】4- 【解析】 【分析】根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的运算可得结果.【详解】如图：AB CD ⋅=()()AE EB CF FD +⋅+AE CF =⋅AE FD +⋅EB CF EB FD +⋅+⋅11131133()1322=-⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯4=-.故答案：4-.【点睛】本题考查了了向量加法的三角形法则，考查了平面向量数量积，属于基础题. 11. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ． 【答案】11 【解析】试题分析：由题意得，所以，{}n a 是单调递减数列，故，令得，所以{}n a 前11项为正，从第12项起为负，所以前11项和最大考点：等差数列通项及其性质、n S 的最值12. 在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则tan A = _________________【答案】1- 【解析】由正弦定理得222232sin b c bc A a +=+ ，由余弦定理得2222232sin 2cos b c bc A b c bc A +=++-,即222sin cos 2b c A A bc+=-因为222cos 2+≥=-≤b c A A bc所以3π,tan 1.4=⇒=-b A A 点睛：三角形中问题，一般先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或三角函数有界性求取值范围. 最后根据等号取法确定函数值.13. 已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，曲线C 上两点(),A m n ，(),B s p ，（m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，则s p m n -=______.【答案】0 【解析】 【分析】设()00,P x y ，则22004x y +=，且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()0k k >，得出()222220000422422m n mx ny k sp sx py ++--=++--，根据对应系数相等，再消去m ，n 得22244s p k+=<，进而求出1s p ==，k =2m n ==，从而可求出结果. 【详解】设()00,P x y ，则22004x y +=，且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()0k k >，()1k k =>，()222220*********m n mx ny k s p sx py ⇒++--=++--()2222222222244m k s k p m n k s p ⎧=⋅⎪⎪⇔=⋅⎨⎪++=++⎪⎩消去m ，n 得22244s p k +=< 所以1s p ==，k =2m n ==，此时0s p m n -=. 故答案为：0.【点睛】本题主要考查直线与圆的综合，以及轨迹方程的问题，属于中档题型.14. 函数()()()()24x x t x t f x x x t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，其中0t >，若函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是______. 【答案】()3,4 【解析】 【分析】由函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦有6个不同的零点，转化为方程()10f x -=和()1f x t -=各有三个解，得到函数()f x 的图象与1y =和1y t =+各有三个零点，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()()()()24x x t x t f x x x t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，其中0t >，则()()()3,1,4x t x t x tf x x t ⎧--≤>'⎪=⎨⎪⎩，当3tx <，或x t <时，()0f x '>，函数()f x 为增函数， 当3tx t <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数， 故当3t x =时，函数()f x 取极大值3427t ， 又由()0f x =，解得0x =或x t =，即函数()f x 有两个零点0和t ，因为函数()()()1g x ff x =-恰有6个不同的零点，则方程()10f x -=和()1f x t -=各有三个解， 即函数()f x 的图象与1y =和1y t =+各有三个零点，由=14x t yt =，故334142741427t t t t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得34t <<，故实数t 的取值范围是()3,4.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及应用，其中解答中把由函数()g x 有6个不同的零点，转化为函数()f x 的图象与1y =和1y t =+各有三个零点，结合函数的单调性与极值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 二、解答题15. 如图，四棱锥S- ABCD 中，SD⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥ DC,，AB=AD ＝1DC=SD=2，M ．N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB ．(I)证明：MN//平面ABCD ； (II)证明：DE⊥平面SBC ．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析． 【解析】 【分析】试题分析：（I ）利用三角形的中位线证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（Ⅱ）先利用勾股定理证明线线垂直，再利用线面垂直的性质证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明．【详解】试题解析：（Ⅰ）连AC ，∵,M N 分别为,SA SC中点，∴//MN AC又∵MN ⊄平面ABCDAC ⊂平面ABCD∴//MN 平面ABCD(Ⅱ) 连BD ，∵222112BD =+=，2221(21)2BC =+-=222+22=4BD BC DC =+=∴DB BC ⊥又SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ∴SD BC ⊥∵SD DB D ⋂=，∴BC ⊥平面SDB ∵DE ⊂平面SDB ，∴BC DE ⊥ 又22426SB SD DB =+=+=，当2SE EB =时，63EB =， 在EBD ∆与DBS ∆中，63332EB BD ==2336DB BS == ∴EB BD =DBBS又EBD DBS ∠=∠，∴EBD DBS ∆~∆ ∴90DEB SDB ︒∠=∠=，即DE SB ⊥ ∵SB BC B ⋂=， ∴DE ⊥平面SBC考点：1.线面平行的判定；2.线面垂直的判定．16. 在ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++. （1）求角A 的值；（2）若3a =，b =，求()sin 2B A +的值. 【答案】（1）3A π=；（2【解析】 【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解； （2）由正弦定理求得sinB ,并根据边的大小关系判定B 为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算. 【详解】解：（1）∵sin 1sin sin b Ca c A B=-++， 由正弦定理得，1b c a c a b=-++. 化简得，222b c a bc +-=.由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==. 又0A π<<， ∴3A π=.（2）由（1）知，3A π=，又3a =，b =， ∴sin sin b A B a ⋅==. 又b a <，∴cos B ==. ∴sin 22sin cos 3B B B ==，21cos 212sin 3B B =-=-，∴()223sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B πππ-⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中等难度的题目.关键是熟练利用正弦定理，余弦定理和三角恒等变形计算.17. 某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置（,M N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，当OMN 面积最小时观赏效果最好.（1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值 【答案】（1）2455d =；（2）当点M 满足55d =时，观赏效果最好.. 【解析】 【分析】（1）以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设()2,M m m -，(),2N n n ，()0,0m n >>，根据P 为MN 的中点，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先由PM PN k k =得到4125m n mn +=，再由OC OD ⊥得到1522OMN S OM ON mn =⋅=△，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】（1）以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()8,16C ，()8,0B，()32,16D -，因为P 到BC 、CD 的距离均为12，所以()4,4P -.∴:2OC y x =；1:2OD y x =-， 设()2,M m m -，(),2N n n ，()0,0m n >>， ∵P 为MN 的中点，∴2828m n m n -+=-⎧⎨+=⎩，∴24585m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时4824,55M ⎛⎫-⎪⎝⎭，245d =； （2）∵PM PN k k =，∴424244m n m n --=-++，∴4125m n mn +=，∵由（1）知：OC OD ⊥，∴1522OMN S OM ON mn =⋅=△∵412583m n mn mn +=≥当且仅当2435m n ==时取等号，∴19225mn ≥.∴59625OMN S mn =≥△，此时2455d =. 答：（1）当2455d =时，P 为队列MN 的中点； （2）当点M 满足245d =时，观赏效果最好.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式，利用建系的方法求解即可，属于常考题型.18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>.（133⎛ ⎝⎭在椭圆上，①求椭圆的方程； ②设31,,,2P R S ⎛-- ⎝⎭分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点,M N ，求直线MN 的方程；（2）设 (),0D b 过D 点的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，且,E F 均在y 的右侧，2DF ED =，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（1）①2214x y +=;② 3233y x +=（2）6⎛ ⎝⎭【解析】【试题分析】（1331,2⎛ ⎝⎭在椭圆”建立方程组求出椭圆方程2214x y +=，进而借助题设“31,,,2P R S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点,M N ”求出3343M N y x =-=，然后求出直线MN 的方程为3233y x +=；（2）先设坐标()()1122,,,E x y F x y ，再借助2DF ED =建立方程组2121322x b x y y =-⎧⎨=-⎩，根据题意，()22112222112213241x y a b b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得22134a b x b +=，进而求得Q点的横坐标2222Qa bxa b=+，依据题意建立不等式22222324a b a bb a b+<<+求出离心率的取值范围．解：（1）①2214xy+=;② 由前知，,43M Ny x=-=，所以直线的方程为363y x+=--.（2）设()()1122,,,E x yF x y，因为2DF ED=，所以2121322x b xy y=-⎧⎨=-⎩，根据题意，()22112222112213241x ya bb x ya b⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得22134a bxb+=，连SD，延长交椭圆于点Q，直线SD的方程为0x y b+-=，代入椭圆方程解得Q点的横坐标2222Qa bxa b=+，所以22222324a b a bb a b+<<+，即4224430a ab b-+<，解得2223b a b<<，即()2223a a c<-，所以222,33c ca a<<，所以椭圆离心率e的取值范围是0,3⎛⎝⎭.点睛：解答本题的第一问时，先依据题设条件“离心率为2，且点⎛⎝⎭在椭圆”建立方程组求出椭圆方程2214xy+=，进而借助题设“1,,,P R S⎛-⎝⎭分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点,M N”求出4M Ny x==，然后求出直线MN的方程为y x=；求解第二问时，先设坐标()()1122,,,E x yF x y，再借助2DF ED=建立方程组2121322x b xy y=-⎧⎨=-⎩，根据题意，()22112222112213241x y a b b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得22134a b x b +=，进而求得Q 点的横坐标2222Q a bx a b =+，依据题意建立不等式222223204a b a bb a b +<<+，通过解不等式求出离心率的取值范围0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 19. 已知函数()ln xe f x ax a x x=-+，其中0a >.（1）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()1ln g x f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>.【答案】（1）0a e <≤；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意求得()f x ',函数()f x 在()1,+∞上单调递增，可转化为()0f x '≥恒成立,将参数a 与变量x 分离,构造新函数()x eg x x=,判断单调性求出最值,即可得实数a 的取值范围；（2）求出()g x ',由题意得()0g x '=有三个根，则()10xe a x --=有两个零点1x 、2x ，且1x 、()21,x ∈+∞，由10x -=有一个零点，则31x =，再利用分析法证明即可.【详解】解：（1）由函数()ln xe f x ax a x x=-+，其中0a >，得()()()()()22111xx x e ax x e a x f x x xx ----'=+=， 由函数()f x 在()1,+∞上单调递增， 故()()()210x x e ax f x x--'=≥，即0xe ax -≥恒成立，即()1xe a x x≤>恒成立.令()x e g x x =，则()()210x x e g x x-'=>， 因此()xe g x x=在区间()1,+∞上单调递增，所以0a e <≤.（2）由()2ln x e ag x ax a x x x=-++，则()()()()222111211x x x e a x x e g x a x xx x⎡⎤----⎛⎫⎣⎦'=--+=⎪⎝⎭.由题意则()0g x '=有三个根，则()10xe a x --=有两个零点1x 、2x ，且1x 、()21,x ∈+∞，由10x -=有一个零点，则31x =，令()()1xp x e a x =--，则()xp x e a '=-，∴当ln x a =时()p x 取极值，()ln ,x a ∈+∞时()p x 单调递增，∴()()ln ln 10p a a a a =--<，则2a e >时()10xe a x --=有两零点12,x x ，且121ln x a x <<<， 要证：1231112x x x ++>， 即证1213231232x x x x x x x x x ++>（其中31x =），即证：1212x x x x +>，即()()12111x x --<， 由()111xe a x =-，()221x ea x =-，则()()1221211x x e a x x +=--，即证：()()12221211x x e a x x a +=--<；等价于122ln x x a +<，等价于212ln x a x <-，由()p x 在()ln ,a +∞上单调递增，即证：()()212ln p x p a x <-， 又()()12p x p x =，则证()()112ln 0p x p a x --<， 令()()()2ln G x p x p a x =--，1ln x a <<， ∴()()()2ln 12ln 122ln xa xx G x e a x ea a x e ax a a -=---+--=-+.∴()20xG x e a '=+≥恒成立，则()G x 为增函数，∴当1ln x a <<时，()()ln 0G x G a <=， ∴1213231232x x x x x x x x x ++>，∴原结论成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题,考查分析法的证明,考查学生逻辑推理能力与转化思想的应用.20. 已知数列{}n a 的通项公式()21nn n a =--，*n N ∈.设1n a ，2n a ，，t n a （其中12t n n n <<，*t N ∈）成等差数列.（1）若3t =.①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值.【答案】（1）①12n =；②证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）①依题意，利用等差数列的性质并化简得到()11241nn =-，然后分1n 为奇数，偶数分别研究求解即可；②利用等差中项的性质并化简可得()()32322223121nnnn ⨯-=--+-，然后就2n ，3n 的奇偶性分四种情况讨论分析；（2）设p a ，q a ，r a ()p q r <<成等差数列，按等差数列性质化简后分1r q =+，2r q ≥+，分类讨论,借助于不等式的基本性质，分析得到只能1a ，q a ，1q a +成等差数列或2a ，q a ，1q a +成等差数列，其中q 为奇数，从而得到t 的最大值为3.【详解】解：（1）①依题意，1n a ，11n a +，12n a +成等差数列，即111122n n n a a a ++=+，从而()()()11111112122212121n n n n n n ++++⎡⎤--=--+--⎣⎦，化简得()11241n n =-当1n 为奇数时，解得124n =-，无解，当1n 为偶数时，解得124n =，所以12n =. ∴12n =；②依题意，1a ，2n a ，3n a 成等差数列，即2312n n a a a =+，从而()()2332221321n n n n⎡⎤--=+--⎣⎦，即()()32322223121n n n n ⨯-=--+-当2n ，3n 均为奇数时，322223122n n ⨯-=+-=，即321221n n --=，左边为偶数，右边为奇数，矛盾；当2n ，3n 均为偶数时，322223124n n ⨯-=-+=，即3221221n n ---=，左边为偶数，右边为奇数，矛盾；当2n 为偶数，3n 奇数时，322223126n n ⨯-=++=，即321223n n --=，左边为偶数，右边为奇数，矛盾；当2n 为奇数，3n 偶数时，322223120n n ⨯-=--=，即321220n n +-=，即321n n -=. ∴321n n -=成立；（2）设p a ，q a ，r a ()p q r <<成等差数列，则2q p r a a a =+，即()()()2212121q p r q p r⎡⎤--=--+--⎣⎦，整理得，()()()12221121p r qp r q ++-=-+---，若1r q =+，则()()2131pqp =---，因为22p ≥，所以()()131pq---只能为2或4， 即2p 只能为2或4，所以p 只能为1或2；若2r q ≥+，则1214322222222210p r q p q q ++++-≥+-≥+-=，()()()11214pr q-+---≤，故矛盾，综上，只能1a ，q a ，1q a +成等差数列或2a ，q a ，1q a +成等差数列，其中q 为奇数， 从而t 的最大值为3.【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是按奇偶数分类讨论思想的运用，属较难试题.。

2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题 ,共 20 题 ).本卷满分为160 分 , 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米色水的署名笔填写在答题卡的规定地点.A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4.作答试题一定用0.5 毫米色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，在其余地点作答律无效 .5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 :本大题共14 小题 ,每题 5 分 ,合计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上1.已知会合 U={ x｜ x＞ 1}, A ={ x ｜ x ＞ 2}, 则 ?U A =▲．2.已知复数 z知足 (1+ i ) z= i 2020 (i 为虚数单位 ),则 z在复平面内对应的点位于第▲象限.3.已知一组数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的方差为▲．i ← 14.已知向量 a=(1,2), b=(2, － 1) 则 a? (a－ b)的值为▲．S ← 25.履行如下图的伪代码 ,则输出的 S 的值为▲．While S＜ 20 S ← S＋ i6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都同样的红球和黄球共 5 个 , i ← i＋ 22 End While 从中随机拿出 1 个球 ,该球是红球的概率是5 . 现从中一次随机拿出 2 Print S个球 ,则这 2 个球的颜色同样的概率为▲．（第 3 题图）x＋ y≥2，7.已知 x, y 知足拘束条件y≥x -2，,则 z= y -3的最大值为▲．xy≤1，π8.将函数 f ( x) = sinωx(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ,获得函数 y=g(x)的图像，若 y=g( x)是偶函数 ,则ω的最小值为▲．9. 已知一个圆柱的高为3cm, 体积为12π cm3 , 则该圆柱的外接球的表面积为▲cm 2．10.已知函数f( x) = 2x 1 ｜x - 2 ｜．若对随意 x1∈[1, + ∞ )，都存在 x2∈ [1, + ∞ )，2 , g(x) = ( ) + ax + 4 2使得 f(x 1 ) = g( x2 ), 则实数 a 的取值范围是▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C:x2 y2a 2－b 2 =1 ( a>0，b>0)的左焦点F作倾斜角为30°的直线 ,与圆 C′ : x2 +y 2 =b 2交于点 A,B.若∠ AOB=60 °,则双曲线 C 的离心率为▲．12.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n ,若 1, a n , S n成等差数列 ,则 a 1 + a 2 + + a n的值为▲．13.如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =2, AC =BC = 5 .若 D是△ABC所→→→→→ C Dμ的最大值在平面内一点 ,且DB ? DC =0.设AD =λAB +μAC ,则λ+为▲．－x3＋ 3x2＋ t， x≤0，14.已知函数 f( x) = 若函数 y = f( f( x)) 恰3 x－ 1 ， x﹥ 0 ， A（第 13 B好有 4 个不一样的零点，则实数t 的取值范围是▲．题）二、解答题 :本大题共 6 小题 ,合计明、证明过程或演算步骤.90 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说15.(本小题满分14 分 )如图 ,在四棱锥P-ABCD 中,BA ⊥ AD ,CD ⊥ AD ,E 是棱 PD 上一点 ,AE ⊥ PD ,AE ⊥ AB .(1) 求证 : AB ∥平面 PCD ;P(2) 求证 : 平面 ADP⊥平面 PCD.EDCAB（第 15 题）在△ ABC 中 ,角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c 若 cos2 A +1=2 sin2A2.(1) 求角 A 的大小;π(2) 若 b =4, c=5, 求 sin(B+3 )的值.17.(本小题满分 14 分 )某企业准备设计一个精巧的心形巧克力盒子 ,它是由半圆 O 1、半圆 O 2 和正方形 ABCD 组成的 ,且 AB =8cm. 设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH , 标签的此中两个极点 E ,F 在 AM 上 ,此外两个极点 G ,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB ,CB 的中点 )设 EF 的中点 为 P , ∠ FO 1 P = θ,矩形 EFGH 的面积为 Scm 2.M BNF · ·(1) 写出 S 对于 θ的函数关系式 S(θ);GP··(2) 当 θ为什么值时 ,矩形 EFGH 的面积最大 ?O 1O 2E AHCD（第 17 题）18.(本小题满分 16 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,已知椭圆 E: x 2 y2 2,离心率为 2a 2 +b 2 =1 ( a> b>0) 的短轴长为2.(1) 求椭圆 E 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P (点 P 在第一象限内 ), 与圆 x 2 + y 2=12 订交于点 A ,B, → →y且 AP =2 PB ,求直线 l 的方程 .APOxB（第 17 题）已知各项均为正数的两个数列 { a nna n+ 1+1a nn2 n2 n +1+ 1},{ b } 知足 a n +2 =a n + 1 － 1 ,2a =logb + log b且 a 1 = b 1 =1 .(1) 求证 : 数列 { a n } 为等差数列 ;(2) 求数列 { b n } 的通项公式 ;(3) 设数列 { a },{ b } 的前 n 项和分别为S ,T , 求使得等式 2S m + a m -36=T i 建立的有序nnnn数对 ( m,i )( m,i ∈ N ※) .20.(本小题满分 16 分 )已知函数 f( x)=( x -1)e x,g ( x)= a +ln x ,此中 e 是自然对数的底数 .(1) 若曲线 y= f( x )在 x=1 处的切线与曲线 y= g (x )也相切 . ①务实数 a 的值 ;②求函数 φ( x)= f( x )+e | g( x) | 的单一区间 ;1(2) 设 h( x)= bf ( x) － g( x )+ a, 求证 : 当 0< b< e 时 ,h( x) 恰巧有2个零点.数学Ⅱ附带题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题 ~第 23 题 ).本卷满分为考试结束后 ,请将本试卷和答题卡一并交回40 分,考试时间为30 分钟,2.答题前 ,请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合4.作答试题一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答,在其余地点作答一律无效5.如需作图 ,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21【选做題】此题包含 A 、 B 、C 三小题 ,请选定此中两小题,并在相应的答题地区内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做 ,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A. [ 选修 4-2:矩阵与变换 ] (本小题满分10 分)x x′ a x, 试写出变换 T 对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵A-1. 已知变换 T:→=2x +2yy y′B.[ 选修 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程x=1+ t(t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程y=3t为x=2 m2(m 为参数 ). 若直线 l 与曲线 C 订交于点 A ,B , 求△ OAB 的面积 . y=2 mC.[ 选修 45:不等式选讲 ] (本小题满分10 分 )已知 a、 b、 c∈ R，且 a+ b+ c =3, a 2 + b2 +2 c 2 =6, 务实数 a 的取值范围 .【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分 ,合计 20 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图 ,在直三校柱ABC－ A1B1C1中 , △ABC 是等直角三角形 ,∠ ACB=90 °,AB=4 2 ,M是 AB 的中点 ,且 A1M⊥ B1C．(1)求 A1A的长;(2)已知点 N 在棱 CC1上,若平面 B1AN 与平面 BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为10 ，试确立点 N 的地点．1C110 AB1NA CM（第 22 B 题）23.(本小题满分 10 分 )已知正整数 n ≥ 2, 会合 P ={ x|1 ≤ x≤ n, x∈ N }, A ,B , C 是会合 P 的 3 个非空子集，记a n , 为全部知足 A B, AU BU C=P 的有序会合对 (A ,B,C) 的个数 .(1) 2求 a ；(2) 求 a n。

2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{|02}B x x =<„，则A B =I ． 2．（5分）i 是虚数单位，则||1ii+的值为 ． 3．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 4．（5分）阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．5．（5分）某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为 ．6．（5分）在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为 ． 7．（5分）已知函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+„的一个对称中心是(3π，0)，则ϕ的值为 ． 8．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为 ．9．（5分）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足f （1）2>-，f （2）3mm=-，则m 的取值范围是 ． 10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60︒的菱形组成的图形中，AB CD =u u u r u u u rg ．11．（5分）等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式21()022d dx a x c +-+…的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．12．（5分）在ABC ∆中，已知边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = ．13．（5分）已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(B s ，)(p m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值(1)k k >，则s p m n -= ．14．（5分）函数2()()()()4x x t x t f x x x t ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„其中0t >，若函数()[()1]g x f f x =-有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）证明：DE ⊥平面SBC ．16．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若3a =，22b =，求sin(2)B A +的值．17．（14分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置(M ，N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（13，且点3在椭圆上， ①求椭圆的方程； ②设3(1,)P -，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．（2）设(,0)D b ，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，2DF ED =u u u r u u u r，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知函数()xe f x ax alnx x =-+，其中0a >．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数1()()()g x f x a lnx x=++有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>．20．（16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n N ∈．设1n a ，2n a ，⋯，t n a （其中12t n n n <<⋯<，*)t N ∈成等差数列． （1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．。

2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合1，2，，，则______．2. i 是虚数单位，则的值为______．3. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______4. 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是______ ．5. 某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为______．6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______． 7. 已知函数的一个对称中心是，则的值为______． 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D 为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______ ．9 设周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足，，则m 的取值范围是________．10. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为的菱形组成的图形中，______．11. 等差数列的公差为d，关于x的不等式 的解集为，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是______ ．12. 在中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，则______． 13. 已知圆O：与曲线C：，曲线C上两点，、n 、s、p均为正整数，使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，则______．14. 函数其中，若函数有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，四棱锥中，底面ABCD ，，，，，M，N分别为SA ，SC的中点，E为棱SB上的一点，且．证明：平面ABCD；证明：平面SBC．16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．的值；Ⅰ求角A的值；的值．Ⅱ若，，求的值．17. 某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中，，O 为AB上一点，且，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置N分别在线段OD、OC上，点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好．面积最小时观赏效果最好．当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？的中点？怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．的值．18. 已知椭圆C ：．若椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，求椭圆的方程；求椭圆的方程； 设，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．的方程．设，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，，求椭圆离心率的取值范围．，求椭圆离心率的取值范围．19. 已知函数，其中．若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围；的取值范围；若函数有三个极值点，，，求证：．20. 已知数列的通项公式，设，，，其中成等差数列．，成等差数列．若．当，，为连续正整数时，求的值；的值；为定值；当时，求证：为定值；的最大值．求t的最大值．答案和解析1.【答案】{解析}解：1，2，，；．故答案为：． 进行交集的运算即可．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】{解析}解：，故答案为：．直接利用商的模等于模的商求解．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】{解析}解：由渐近线方程为，即渐近线方程为，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即有，又，即， 可得．故答案为：． 设双曲线的方程为，则渐近线方程为，由题意可得，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．基础题．4.【答案】5049{解析}解：根据流程图所示的顺序，解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是累加并输出，，故答案为：5049．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出的值的值根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．解模．5.【答案】16{解析}解：某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．名学生． 用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，名学生进行调查， 则应从A 专业抽取的学生人数为：专业抽取的学生人数为：．故答案为：16．利用分层抽样的性质直接求解．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查应从A 专业抽取的学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．算求解能力，是基础题．6.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．题．先求出基本事件总数，再利用列举法求出选出的2本书编号相连包含的基本事件有4种，由此能求出选出的2本书编号相连的概率．本书编号相连的概率． 【解答】【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，的五本书， 某同学从中任意选出2本书，本书， 基本事件总数，选出的2本书编号相连包含的基本事件有：本书编号相连包含的基本事件有：，，，，共4种，种， 选出的2本书编号相连的概率为．故答案为．7.【答案】{解析}解：的一个对称中心是，，，得，，，当时，，故答案为：根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．比较基比较基础．础．8.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．想、化归与转化思想，是中档题． 将侧面和侧面展开成矩形，如图，连结，交于D ，此时最小，当最小时，，此时三棱锥的体积：，由此能求出结果．，由此能求出结果．【解答】【解答】 解：将侧面和侧面展开成矩形，如图，，如图，连结，交于D ，此时最小，最小，，，，，点D 为侧棱上的动点，上的动点，当最小时，，此时三棱锥的体积：的体积：．故答案为：．9.【答案】{解析}解：由题意，函数是奇函数，，函数是奇函数，故有，又周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，故， ， ，当时，解得，当时，解得，所以m 的取值范围是故答案为由题意，故求了的取值范围即可得出关于m 的不等式，由题设条件，先有奇函数的性质得出的范围，再由周期性得出的范围即可的范围即可本题考查函数的周期性，解题的关键是根据函数的奇函数的性质与周期性的性质求出从而得到m 的不等式，解出m 的取值范围，本题考查了转化的思想的取值范围，本题考查了转化的思想10.【答案】{解析}解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则，，，，，，．故答案为：．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可是计算简便，属于中档题．11.【答案】11{解析}解：关于x 的不等式的解集为，，且，即，则，，故使数列的前n 项和最大的正整数n 的值是11． 故答案为：11． 根据已知中等差数列的公差为d ，关于x 的不等式的解集为，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案．案．本题考查的知识是数列的函数特性，本题考查的知识是数列的函数特性，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．12.【答案】{解析}解：由正弦定理，得：，，，，当且仅当时，等号成立，时，等号成立，，，，．故答案为：．由正弦定理，得：，由余弦定理得，从而，当且仅当时，时，成立，成立，进而求出，由此能求出tan A ．本题考查三角形内角的正切值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.【答案】0{解析}解：设，则，且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，，消去m ，n 得所以，，此时，此时， 故答案为：0 设，则，结合且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，m 、n 、s 、p 均为正整数，求出m 、n 、s 、p 的值，可得答案．的值，可得答案．本题考查的知识点两点之间的距离公式，恒成立问题，方程思想，难度较大．14.【答案】{解析}解：函数其中，函数，当，或时，，函数为增函数，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，，函数为减函数， 故当时，函数取极大值，函数有两个零点0和t ，若函数恰有6个不同的零点，个不同的零点， 则方程和各有三个解，各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，各有三个零点，由，故，得：，故不等式的解集为：，故答案为：若函数恰有6个不同的零点，则方程和各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，进而得到答案．各有三个零点，进而得到答案． 本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．15.【答案】本小题满分12分证明：Ⅰ连AC ，，N 分别为SA ，SC 的中点，的中点，，又平面ABCD ，平面ABCD ，平面分 Ⅱ连结BD ，，，，，又底面ABCD ，底面ABCD ，，，平面SDB ，平面SDB ，，又，当时，，在与中，，，，又，∽，，即．，平面分{解析}Ⅰ连AC ，则，由此能证明平面ABCD ．Ⅱ连结BD ，推导出，，从而平面SDB ，，由题意得∽，由此能证明平面SBC ．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．空间思维能力的培养．16.【答案】解：Ⅰ，由正弦定理得，．化简得，．由余弦定理得，． 又， ．Ⅱ由Ⅰ知，， 又，，．又，，． ， ，．档题．档题．Ⅰ由正弦定理化简已知可得，由余弦定理cos A 的值，结合范围，可求A 的值．的值．Ⅱ由正弦定理可求sin B ，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解． 17.【答案】解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则，，．：；，可得，设，，，为MN 的中点，的中点，，此时，；分建系2分 ，，，，当且仅当时取等号，时取等号， ，此时．答：当时，P 为队列MN 的中点；的中点；当点M 满足时，观赏效果最好．分答1分{解析}以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．求出OC ：，，设，，，然后求解即可．，然后求解即可．通过，推出，利用三角形的面积，以及基本不等式求解即可．解即可．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：椭圆C ：，椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，，解得，，椭圆的方程为．，R 、S 分别为椭圆C ：的右顶点和上顶点，直线PR 和PS与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，，， 直线PR ：，即，，直线PS ：，即，，直线MN 的方程为：，即．设，，，．根据题意，解得，连SD ，延长交椭圆于点Q ． 直线SD 的方程为，代入椭圆方程解得Q 点的横坐标，所以，，即，解得，即，，．椭圆离心率e 的取值范围为{解析}由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程．，由此能求出椭圆的方程． 求出，，从而求出直线PR ，直线PS ，从而求出M ，N 坐标，由此能求出直线MN 的方程．的方程．设，，由，得，连SD ，延长交椭圆于由此能求出椭圆离心率e 的取值范围．的取值范围．本题考查椭圆方程、直线方程、椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．是中档题．19.【答案】解：由函数，其中，得，由函数在上单调递增，上单调递增，故，即恒成立，即恒成立．恒成立． 令，则，因此在区间上单调递增，上单调递增，所以．由，则．由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点，则，令，则，当时取极值，时单调递增，单调递增，，则时有两零点，，且，要证：，即证其中，即证：，即，由，，则，即证：；等价于，等价于，由在上单调递增，即证：，又，则证， 令，，--． 恒成立，恒成立，则为增函数，为增函数，当时，，，原结论成立．原结论成立．{解析}由题意求得，依题意，转化为恒成立，可得到a 的取值范围；的取值范围；由题意得，利用有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点是，再利用分析法去证明即可． 本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力识的理解掌握水平和分析推理能力20.【答案】解：依题意，，，成等差数列，即，从而，当为奇数时，解得，不存在这样的正整数；当为偶数时，解得，所以分依题意，，，成等差数列，即，从而， 当，均为奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当，均为偶数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为偶数，奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为奇数，偶数时，，即分 设，，成等差数列，则，即，整理得，，若，则，因为，所以只能为2或4，所以s 只能为1或2；分若，则，，故矛盾，故矛盾，综上，只能，，成等差数列或，，成等差数列，其中r 为奇数，为奇数， 从而t 的最大值为分{解析}，依题意，，，成等差数列，根据等差数列等差中项及通项公式，分类讨论当为奇数或偶数时，分别求得的值；的值；，，成等差数列，根据等差中项可知：，分别当，为奇数或偶数时，即可求得，因此为定值；为定值；设，，成等差数列，根据数列等差中项定义，，分类讨论，求得s 的值，当，求得s 的值，最后求得，，成等差数列或，，成等差数列，其中r为奇数，即可求得t 的最大值．的最大值．本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，考查分类讨论思想，考查分类讨论思想，考查推理能力与计算能力，属于中档题．与计算能力，属于中档题．。