2019届苏州市高三期初调研 数学试卷(含详解)

江苏省苏州市2019届高三期初调研1. {1} [解析]由交集定义知A ∩B ＝{1}．2. 4 [解析]因为z 1＝2＋i ，z 2＝a －2i ，所以z 1·z 2＝(2＋i )(a －2i )＝2a ＋2＋(a －4)i ，又z 1z 2是实数，所以a －4＝0，即a ＝4.3. 2 [解析]由题知15(1＋2＋3＋4＋a)＝2，得a ＝0，所以方差s 2＝15×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(4－2)2＋(0－2)2]＝2.4. 4 [解析]初始值n ＝7，S ＝0，满足条件S<18，S ＝7，n ＝6，满足条件S<18，S ＝13，n ＝5，满足条件S<18，S ＝18，n ＝4，不满足条件S<18，结束循环，输出n ＝4.5. 35 [解析]记3个黑球为黑1，黑2，黑3，2个白球为白1，白2，从中一次摸出2个，有如下基本事件：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，黑3)，(黑2，白1)，(黑2，白2)，(黑3，白1)，(黑3，白2)，(白1，白2)，共10个，其中满足条件的有6个，故所求概率P ＝610＝35. 6. －2 [解析]当x<0时，f(－x)＝x 2－2×(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x 2－2x ，故a ＝－2.7. π3 [解析]由题知f ⎝⎛⎭⎫－5π12＝±1，即2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ＝k π＋4π3，k ∈Z .又0≤φ≤π，所以k ＝－1，φ＝π3.8. 2 [解析]设数列{a n }的公比为q ，则由题知2S 6＝S 2＋S 4.当q ＝1时，不符合题意；当q ≠1时，由2×a 1（1－q 6）1－q ＝a 1（1－q 2）1－q ＋a 1（1－q 4）1－q ，得2q 6－q 4－q 2＝0，即q 2(2q 2＋1)(q 2－1)＝0，得q 2＝1，q ＝－1，所以a 2＋a 4a 6＝a 2（1＋q 2）a 2q 4＝2.9. －1124 [解析]设高为2，3，4对应的三边分别为a ，b ，c ，根据面积相等，得12×2×a＝12×3×b ＝12×4×c ，故a ∶b ∶c ＝6∶4∶3，不妨设a ＝6，b ＝4，c ＝3，则由余弦定理知最大内角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1124.10.423 [解析]设四棱锥的棱长为a cm ，则由题知a 2＋32a ＝3＋1，得a ＝2，故该四棱锥的体积V ＝13×2×2×⎝⎛⎭⎫2×322－12＝423(cm 3)．11. 12 [解析]由AB ∥CD ，知△ABE ∽△CDE ，则AB CD ＝AEEC ＝2.又AC ＝310，所以AE＝2EC ＝210.由tan A ＝3，A ∈(0，π)，得sin A ＝31010，cos A ＝1010.在△ABE 中，BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE·AB·cos A ＝52，所以BE ＝213，cos ∠ABE ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB·BE ＝21313，所以BE →·CD →＝|BE →|·|CD →|·cos ∠ABE ＝213×3×21313＝12.12. 16 [解析]作出函数f(x)＝|x 2－6|的图象如图所示，由a>b>0，f(a)＝f(b)，得a 2－6＝6－b 2，0<b<6，即a 2＝12－b 2，所以a 2b ＝12b －b 3.令g(b)＝12b －b 3，0<b<6，则g′(b)＝12－3b 2，令g′(b)＝0，得b ＝2(负值舍去)．当0<b<2时，g′(b)>0，g(b)单调递增；当2<b<6时，g′(b)<0，g(b)单调递减，所以当b ＝2时，g(b)取得最大值g(2)＝16，故a 2b 的最大值为16.(第12题)13. －22 [解析]由题知cos A sin A ＋cos B sin B ＋sin C cos C ＝0，即－sin C cos C ＝cos A sin B ＋cos B sin Asin A sin B ＝sin （A ＋B ）sin A sin B ＝sin Csin A sin B ，因为sin C ≠0，所以－cos C ＝cos (A ＋B)＝cos A cos B －sin A sin B＝sin A sin B ，所以tan A tan B ＝12.因为A ，B 为斜三角形ABC 的两个内角，所以tan A>0，tanB>0，所以－tan C ＝1tan A ＋1tan B≥21tan A ·1tan B＝22，所以tan C ≤－2 2. 14. ⎣⎡⎭⎫41015，＋∞ [解析]由题知圆心C(3，2)，如图，设点C 到直线3x ＋y ＝3的距离为d ，则d ＝|3×3＋2－3|32＋12＝4105.当MN 为圆C 的直径时，由图知MP ＝MN ＝2r ，即CP －r＝2r ，CP ＝3r ，又CP ≥d ＝4105，所以r ≥41015.(第14题)15. (1) 因为cos α＝437，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫4372＝17，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×437＋22×17＝46＋214. (2) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)>0. 因为cos (α＋β)＝1114，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1－⎝⎛⎭⎫11142＝5314，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝1114×437＋5314×17＝32.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π6. 16. (1) 如图，连接CE ，交DF 于点G ，连接MG ，(第16题)因为在矩形CDEF 中，DF ∩EC ＝G ， 所以G 为EC 的中点． 又因为M 为AE 的中点，所以MG 为△EAC 的中位线， 所以MG ∥AC ，因为AC ⊄平面DMF ，MG ⊂平面DMF ， 所以AC ∥平面DMF.(2) 在矩形CDEF 中，CD ⊥ED ， 因为∠ADC ＝90°，所以CD ⊥AD ，因为AB ∥CD ，所以AB ⊥ED ，AB ⊥AD.因为AD ∩ED ＝D ，AD ⊂平面ADE ，ED ⊂平面ADE ，所以AB ⊥平面ADE. 因为MD ⊂平面ADE ，所以MD ⊥AB. 因为DE ＝DA ，M 为AE 中点， 所以MD ⊥AE ，因为AB ∩AE ＝A ，AB ⊂平面ABE ， AE ⊂平面ABE ，所以MD ⊥平面ABE ， 因为BE ⊂平面ABE ，所以BE ⊥DM.17. (1) 如图，过点G 作GM ⊥AB 于点M ，连接OH ， 因为∠GOB ＝60°，所以GM ＝OG·sin 60°＝32r. 又∠BOC ＝θ，所以BC ＝r sin θ，OB ＝r cos θ， 所以GF ＝GM －BC ＝32r －r sin θ. 由对称性知AB ＝2OB ＝2r cos θ， ∠HOA ＝∠GOB ＝60°， 所以∠HOG ＝60°，则△OHG 为等边三角形， 所以GH ＝OG ＝r ， 所以S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝(2r cos θ)·r sin θ＝2r 2sin θcos θ，S 矩形EFGH ＝GH·GF ＝r·⎝⎛⎭⎫32r －r sin θ＝32r 2－r 2sin θ，所以f(θ)＝S 矩形ABCD ＋S 矩形EFGH ＝2r 2sin θcos θ＋32r 2－r 2sin θ(0<θ<π3)． (2) 由(1)得f(θ)＝r 2(2sin θcos θ－sin θ＋32)， 所以f′(θ)＝r 2(2cos 2θ－2sin 2θ－cos θ)＝r 2(4cos 2θ－cos θ－2)． 令f′(θ)＝0，则4cos 2θ－cos θ－2＝0， cos θ＝1±338.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，即cos θ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 所以cos θ＝1＋338.令θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π3，cos θ0＝1＋338， 则当θ变化时，f(θ)，f′(θ)的变化情况如下表：所以f(θ)max ＝f(θ0)．答：当cos θ＝1＋338时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．(第17题)18. (1) 因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝2c.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3c ， 所以椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上， 所以14c 2＋34c 2＝1，解得c ＝1，所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 直线l ：y ＝kx ＋1(k>1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，kx －y ＋1＝0，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kx －8＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，因为k 1＝y 1x 1＋2，k 2＝y 2x 2－2，且k 1＝2k 2，所以y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 21（x 1＋2）2＝4y 22（x 2－2）2. ① 又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在椭圆上， 所以⎩⎨⎧y 21＝34（4－x 21），y 22＝34（4－x 22）.②将②代入①可得2－x 12＋x 1＝4（x 2＋2）2－x 2，即3x 1x 2＋10(x 1＋x 2)＋12＝0， 所以－244k 2＋3－80k4k 2＋3＋12＝0，即12k 2－20k ＋3＝0， 解得k ＝16或k ＝32.又因为k>1，所以k ＝32.19. (1) 由题意得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝a 1＋d ＝1＋d ，a 4＝a 2q ＝2q ， a 5＝1＋2d ，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋2＋(1＋d)＝4＋d. 因为S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3，所以2q ＝4＋d ，1＋2d ＝3＋d ， 解得d ＝2，q ＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ， n 为奇数，2·3n 2－1， n 为偶数.(2) 1° 当m ＝2k －1(k ∈N *)时，因为a m a m ＋1＝a m ＋2，所以(2k －1)·2·3k －1＝2k ＋1， 所以2·3k －1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1，因为2·3k－1为整数，所以22k －1必为整数，所以2k －1＝1，所以k ＝1，此时2·3k －1≠3，不合题意． 2° 当m ＝2k (k ∈N *)时，因为a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2，所以2·3k －1·(2k ＋1)＝2·3k ， 即2k ＋1＝3，所以k ＝1，即m ＝2.(3) S 2m ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m＋m 2－1，S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝m 2＋3m －1－2·3m －1＝m 2＋3m －1－1，所以S 2mS 2m －1＝m 2＋3m －1m 2＋3m －1－1 ＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3.若S 2mS 2m －1为数列{a n }中的项，则只能为a 1，a 2，a 3. ①当S 2mS 2m －1＝1时，3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝1，所以3m －1＝0，m 无解．②当S 2mS 2m －1＝2时，3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝2，所以3m －1＋1－m 2＝0.当m ＝1时，等式不成立； 当m ＝2时，等式成立；当m ≥3时，令f (x )＝3x －1＋1－x 2＝13·3x ＋1－x 2，所以f ′(x )＝ln 33·3x －2x ，f ″(x )＝ln 233·3x－2.当x ≥3时，f ″(x )>0，f ′(x )在[3，＋∞)上单调递增．又f ′(3)＝9ln 3－6>0，所以f ′(x )＞0在[3，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在[3，＋∞)上单调递增．因为f (3)＝1>0，所以当m ≥3时，方程3m －1＋1－m 2＝0无解．③当S 2mS 2m －1＝3时，3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝3，所以m 2－1＝0，即m ＝1.综上所述，存在正整数m ＝1或2，使得S 2mS 2m －1恰好为数列中的一项．20. (1) 函数f(x)＝x 2是“恒切函数”，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＋kx 0＋b ＝kx 0＋b ，f′（x 0）＋k ＝k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝0，f′（x 0）＝0.对于函数f(x)＝x 2，f′(x)＝2x ，设切点为(x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝0，2x 0＝0，解得x 0＝0，所以f(x)＝x 2是“恒切函数”． (2) 设切点为(x 0，y 0)，因为f′(x)＝mx ＋n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ln x 0＋nx 0＝0，m x 0＋n ＝0，解得ln x 0＝1，即x 0＝e ，所以实数m ，n 满足的关系式为m ＋e n ＝0. (3) 设切点为(x 0，y 0)， 因为f′(x)＝(2e x －x －2)e x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（e x 0－x 0－1）e x 0＋m ＝0，（2e x 0－x 0－2）e x 0＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－（e x 0－x 0－1）e x 0，2e x 0＝x 0＋2.设g(x)＝2e x －x －2，令g′(x)＝2e x －1＝0，得x ＝－ln 2.当x ∈(－∞，－ln 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min ＝g(－ln 2)＝ln 2－1<0. ①当x ∈(－∞，－ln 2)时，因为g(－2)＝4e 2>0，g(－1)＝2e －1<0，所以g(x)在(－∞，－ln 2)上有唯一零点x 0∈(－2，－1)． 又m ＝－(e x 0－x 0－1)e x 0＝14x 0(x 0＋2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－14，0. ②当x ∈(－ln 2，＋∞)时，因为g(0)＝0，所以g(x)在(－ln 2，＋∞)上有唯一零点0，所以m ＝0.综上所述，m ∈⎝⎛⎦⎤－14，0.。

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点 （1） 求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2） 求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1） 求椭圆E 的标准方程； （2） 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1） 当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2） 当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3） 当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分） 设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1） 求侧棱PA 的长;（2） 设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点 （1） 求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2） 求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1） 求椭圆E 的标准方程； （2） 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1） 当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2） 当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3） 当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分） 设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1） 求侧棱PA 的长;（2） 设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。

2019.12019届高三模拟考试试卷（满分160分，考试时间120分钟）一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合 A = {1 , 3, 5}, B = {3 , 4}，则集合 A A B = ____________ W .1+ 2i2. 复数z = —（i 为虚数单位）的虚部是 _________ W .3. 某班级50名学生某次数学考试成绩 （单位：分）的频率分布直方图如图所示， 则成绩在60〜80分的学生人数是 4. 5. 6. W .连续抛掷一颗骰子 2次，已知 3sin （ a — n ）= COS a ，贝y tan （n — a 的值是如图所示的流程图中，若输入的 a , b 分别为4, 3，则输出n 的值为7•在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 （—3, 1），则该双曲线的离心率为W .8.曲线y = x + 2e x 在x = 0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 _____________ W .9•如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为W.10. 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1, 3), B(4, 6)，且圆心在直线x—2y—1 = 0上的圆的标准方程为 ____________ W.11. 设S n是等比数列｛a n｝的前n项和，若S5 =3，则S0S5S0=_____________W•9—x + 2x, x> 0,12. 设函数f(x)=弋若方程f(x) —kx= 3有三个相异的实根，则实数k的—2x, x<0,取值范围是W.BM + DN = MN，则AM • AN的最小值是______ W.214. 设函数f(x) = -― ax2，若对任意冯€ ( —a, 0)，总存在［2 ,+^ )，使得f^)xw f(X1),则实数a的取值范围是_________ W .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1BQ1中，已知AB丄BC, E, F分别是A1C1, BC的中点.求证:(1) 平面ABE丄平面B1BCC1；(2) C1F //平面ABE.13.如图，在边长为2的正方形BC, CD上的两个动点，且16. (本小题满分14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边为a, b, c,已知2bccos A= 2c—3a.⑴求角B的大小；(2)设函数f(x) = cos x • sin(x+~3 —"J3)，求f(A)的最大值.17. (本小题满分14分)1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为-的椭圆E的左顶点为A,点A到右准线的距离为 6.(1) 求椭圆E的标准方程；3(2) 过点A且斜率为纟的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.如图，长途车站P与地铁站0的距离为•亏千米，从地铁站0出发有两条道路丨1, 12,1 n经测量，11, 12的夹角为45°, 0P与11的夹角B满足tan 0 =寸(其中0＜肚三)，现要经过P修一条直路分别与道路11, 12交汇于A, B两点，并在A, B处设立公共自行车停放点•(1)已知修建道路PA, PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A, B之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对0A, 0B段道路进行翻修，OA, 0B段的翻修单价分别为元/千米和2 ,2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A, B点的位置•已知函数f(x) = ax3+ bx2—4a(a, b€ R).⑴当a= b = 1时，求f(x)的单调增区间；b(2) 当0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求；的值；a(3) 当a= 0时，若f(x)<ln x的解集为(m, n),且(m, n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围•定义：对于任意n € N * ,X n+ X n+2 - X n +1仍为数列｛x n｝中的项，则称数列｛X n｝为“回归数列” (1)已知a n= 2n(n€ N*)，判断数列｛a n｝是否为“回归数列”，并说明理由；⑵若数列｛b n｝为“回归数列”，b3= 3, b g= 9,且对于任意n€ N，均有b n<b n+1成立•①求数列｛b n｝的通项公式；b S+ 3s+1- 1②求所有的正整数s, t，使得等式b：2+ 3s_ [ = b t成立•2019届高三模拟考试试卷（四）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】在A , B, C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分•若多做, 则按作答的前两题计分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. （选修42 :矩阵与变换）7 m 7 1" n —7]已知矩阵M = 的逆矩阵M —1= ，求实数m, n的值..23」」一2 mB. （选修44:坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的方程是尸4cos B .在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直「返x=-^t + m,角坐标系中，直线I的参数方程是< 厂（t为参数）.若直线I与圆C相切，求实数l y曹的值.C. （选修45:不等式选讲）设a, b, c都是正数，求证:bT-+ 匸+ *》詁 + b + c).b +c c+ a a+ b 2' '【必做题】第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤•22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为E⑴求概率P(E= 2);(2)求E的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD丄平21面ABCD , PA = AD , PA与平面PBC所成角的正弦值为⑴求侧棱PA的长;设点E为AB中点，若PA> AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷（苏州）数学参考答案及评分标准12. (— 2, 2— 2 3) 13. 8 2— 814. [0 , 1]15. 证明：（1）在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1丄底面ABC. 因为AB?平面ABC ，所以BB 1丄AB.（2分）因为 AB 丄 BC , BB 1n BC = B , BB 1, BC?平面 B 1BCC 1, 所以AB 丄平面B 1BCC 1.（4分） 又AB?平面ABE ，所以平面⑵取AB 中点G ,连结EG , FG. 因为E , F 分别是A 1C 1, BC 的中点,1所以 FG // AC ,且 FG = 2AC.(8 分) 因为 AC / A 1C 1，且 AC = A 1C 1, 所以 FG // EC 1,且 FG = EC 1,所以四边形FGE6为平行四边形，(11分) 所以 C 1F // EG.因为EG?平面ABE , C 1F?平面ABE , 所以C 1F //平面ABE.(14分) 16. 解：(1)在厶 ABC 中，因为 2bcos A = 2c — 3a ,所以 2sin Bcos A = 2sinC — 3sin A.(2 分) 在厶 ABC 中，sin C = sin(A + B), 所以 2sin Bcos A = 2sin(A + B) — . 3sin A ,即 2sin Bcos A = 2sin Acos B + 2cos AsinB —冷3sin A , 所以 3sin A = 2cos Bsin A , (4 分)n又 B € (0, n )，所以 B = —.(6 分)1. {3}2. — 13. 254. 365. 36. 37. 108. |9. 2 3 10. (x — 5)2+ (y — 2)2=17由正弦定理asin A b _ c sin B sin C ‘在厶ABC 中, sin A M 0,所以 cos B =1 n所以 f(A) = 2sin(2A+~—).n5 n在厶 ABC 中，B = 6，且 A + B + C = n ，所以 A € (0, ~^), (12 分)n nn n n1所以2A + 3€ (3, 2 n )所以当2A +~3 =—，即A = 时，f(A)的最大值为？.(14分) 2 217. 解:(1)设椭圆方程为 字+ by 2= 1(a>b>0)，半焦距为c , 因为椭圆的离心率为 £所以c =1，即a = 2c.2 a 22因为A 到右准线的距离为6,所以a + 2 = 3a = 6, （2分） 解得 a = 2, c = 1, （4 分）2 2所以b 2= a 2— c 2= 3，所以椭圆E 的标准方程为 乡+卷=1.（6分） 3⑵ 直线AB 的方程为y = 2（x + 2）, 3(y = 2( x + 2), 由 22得 x 2 + 3x + 2 = 0,解得 x =— 2或 x =— 1,则点B 的坐标为（一1, 3）.（9 分）3由题意，得右焦点 F （1 , 0），所以直线BF 的方程为y = — 3（x — 1）.（11分） 13得 7x 2— 6x — 13= 0,解得 x =— 1 或 x = — , (13 分)所以点M 坐标为（号，-詈）.（14分）18. 解：（1）以O 为原点，直线 OA 为x 轴建立平面直角坐标系,n1 1因为 0<, tan 0 = ?，所以 OP : y =器.设 P （2t , t ），由 OP = .5,得 t = 1，所以 P （2 , 1）.（2 分）（解法1）由题意得2m PA = m PB ，所以BP = 2PA ，所以点B 的纵坐标为3. 因为点B 在直线y = x 上，所以B （3, 3）, （4分）(2) f(x) = cos x • (sin x • cos n n—+ cos x • sin —)—33(8分)1 =2sin xcos x +討—2x + 1)—1 n 八 2Sin(2x + 亍)，(10 分)I y = — 3 (x—1),由2 2J — + = 1 4十 3 ',所以 AB = 3PB = 325.T T2 — b = 2 (a — 2),由BP = 2FA , 得 所以丫"-b =-2，l b = 3,所以 A(3, 0), B(3, 3), AB = , (3 — 2) 2+ 32=劣. 答：点A , B 之间的距离为 乎千米.(6分)⑵(解法 1)设总造价为 S,贝U S = n OA + 2 ,2n • 0B = (0A + 2 20B) n , 设y = 0A + 2 20B ，要使S 最小，只要y 最小.当 AB 丄x 轴时，A(2, 0),这时 0A = 2, 0B = 2 2, 所以 y = 0A + 2 20B = 2+ 8= 10.(8 分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为y = k(x — 2) + 1(k 工0). 令y = 0，得点A 的横坐标为2 —1，所以0A = 2 —丄；k k 2k — 1令x = y ,得点B 的横坐标为2——"CO 分） 1 2k — 12-k>0,且 k — 1 >0，所以 k<0 或 k>1 , 一 厂一 1 4 (2k — 1) y = 0A +2 20B = 2—： +k k — 11— 4 —( k + 1)( 3k — 1)y'= k ^+(k —1)2 =k 2 (k — 1)2.(12 分)当k<0时，y 在( — a, — 1)上递减，在(—1, 0)上递增，3 3所以 y min = y|k =-1= 9<10，此时 A(3, 0), B(2 2)； (14 分)当 k>1 时，y = 2—十 + 8 (k — ： + 4 = 10+ k^ —十=10+ . 3k +1) >10.k k — 1 k — 1 k k ( k — 1)千米处.（16分）(解法2)如图，作为 P(2, 1)，所以 0Q = 1.(解法2)由题意得2m PA = m PB ，所以BP = 2PA.设 A(a , 0)(a>0)，又点 B 在射线 y = x(x>0)上，所以可设 B(b , b)(b>0),3a =Q ,(4 分)因为 此时 综上，要使0A , OB 段道路的翻修总价最少,A 位于距0点3千米处，B 位于距0点^2-Q ,作PN // 0B 交0A 于点N ,因因为/ BOQ = 45°，所以QM = 1 , 0M = _2, 所以PM = 1, PN = 0M = ,2.由 PM // OA , PN // oB ,得 O B =AA , O A = AB ，（8分）设总造价为 S ,贝U S = n OA + 2 2n • OB = （OA + 2 2OB ） n , 设y = OA + 2 2OB ，要使S 最小，只要y 最小.y = OA + 2迄OB = （OA + 2V20B ）（O|+ OA ） = 5 + <2（^+ 2OB ）> 9, （14 分） 当且仅当OA ={2OB 时取等号，此时 OA = 3, OB = 弩. 答：要使OA , OB 段道路的翻修总价最少， A 位于距O 点3千米处，B 位于距。

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标高三调研卷1 参考答案及评分标准2 一、填空题（共70分）31．{3} 2．1- 3．25 4．5365．136．3478．239．10．22(5)(2)17x y -+-=511．11812．(2,2-- 13．8 14．[0,1]6二、解答题（共90分）715．解：（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，8因为AB ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥． ············ 2分 9又因为AB BC ⊥，1BB BC B =，1, BB BC ⊂平面11B BCC ，10所以AB ⊥平面11B BCC ． ·················· 4分 11又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC ． ······· 6分 12（2）证明：取AB 中点G ，连结, EG FG ．13因为, E F 分别是11, A C BC 的中点，14A 1所以FG AC ∥，且12FG AC =． ····· 8分15因为11AC A C ∥，且11AC AC =， 16所以1FG EC ∥，且1FG EC =．17所以四边形FGEC 1为平行四边形， ··· 11分 18所以1C F EG ∥．19又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 20所以1C F ∥平面ABE ． ········ 14分 2116．解：（1）在ABC △中，因为2cos 2b A c =，22由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 23所以2sin cos 2sin B A C A =， ·············· 2分 24又因为ABC △中，sin sin()C A B =+， 25所以2sin cos 2sin()B A A B A =+，26即2sin cos 2sin cos 2cos sin B A A B A B A =+，272cos sin A B A =， ················· 4分28（直接得此式不给分）29又因为ABC △中，sin 0A ≠，所以cos B =， 30又因为(0,)B ∈π，所以6B π=． ················ 6分 31（不说明sin 0A ≠，扣1分）32（2）()cos (sin cos cos sin )33f x x x x ππ=⋅⋅+⋅- ·········· 8分3321sin cos 224x x x =⋅+-3411sin 21)sin(2)44423x x x π=++-=+， ······ 10分 35所以1()sin(2)23f A A π=+，36因为在ABC △中，6B π=，且A B C ++=π，所以5(0,)6A ∈π， ·· 12分 37所以2(,2)33A ππ+∈π，所以当232A ππ+=， 38即12A π=时，()f A 的最大值为12． ············· 14分 3917．解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，40因为椭圆的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，41又因为A 到右准线的距离为6，所以236a a a c+==， ······ 2分42解得2, 1a c ==， ······················ 4分43所以2223a b c -==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=． ···· 6分44（2）直线AB 的方程为3(2)2y x =+，45由223(2),21,43y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2320x x ++=，解得2x =-或1x =-， 46则B 点的坐标为3(1,)2-． ·················· 9分47由题意，右焦点F (2,0)，所以直线BF 方程为3(2)4y x =--， ·· 11分48由223(1),41,43y x x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得276130x x --=，解得1x =-或137x =， ··· 13分 49所以，点M 坐标为139(,)714-． ··············· 14分 5018．（1）以O 为原点，直线OA 51为x 轴建立平面直角坐标系，因为10 tan 22θθπ<<=，，所以1:2OP y x =，52设(2,)P t t，由OP =1t =，所以(2,1)P ． ········· 2分 53法一：由题意得2m PA m PB ⋅=⋅，所以2BP PA =，所以B 点纵坐标为3， 54又因为点B 在直线y x =上，所以(3,3)B ， ··········· 4分55所以32AB PB ==． 56法二：由题意得2m PA m PB ⋅=⋅，所以2BP PA =．57设(,0) (0)A a a >，又点B 在射线 (0)y x x =>上，所以可设(,) (0)B b b b >，58由2BP PA =，得22(2),12,b a b -=-⎧⎨-=-⎩ 所以3,23,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ·········4分 59所以3(,0), (3,3)2A B，AB ==． 60答：, A B千米． ·············· 6分 61（注：缺少答扣1分）62（2）法一：设总造价为S，则()S n OA OB OA n =⋅+⋅=+⋅， 63设y OA =+，要使S 最小，只要y 最小．64当AB x ⊥轴时，(2,0)A ，这时2, OA OB ==65所以2810y OA =+=+=． ··············· 8分 66当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(2) 1 (0)y k x k =-+≠，67令0y =，得点A 的横坐标为12k-，所以12OA k=-，68令x y =，得点B 的横坐标为211k k --， ············ 10分 69因为120k->且2101k k ->-，所以0k <或1k >， 70此时14(21)2+1k y OA k k -=+=--，71222214(1)(31)(1)(1)k k y k k k k --+-'=+=--， ·············· 12分 72 当0k <时，y 在(,1)-∞-上递减，在(1,0)-上递增，73所以min 1|910k y y =-==<，此时33(3,0), (,)22A B ； ········ 14分74当1k >时，18(1)441312+10101011(1)k k y k k k k k k -++=-=+-=+>---．75综上所述，要使, OA OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米76处，B 位于距O ·············· 16分 77（注：未写出定义域扣1分，缺少答扣1分）78法二：如图，作PM OA ∥交OB 于M ，交y 轴于79 点Q ，80作PN OB ∥交OA 于N ，因为(2,1)P ，所以1OQ =， 81又因为45BOQ ∠=︒，所以1, QM OM == 82所以1, PM PN OM ==83由, PM OA PN OB ∥∥，得1, PA PBOB AB OA AB==， ········· 8分 84所以11PA PBOB OA AB AB+=+=，················ 10分 85设总造价为S，则()S n OA OB OA n =⋅+⋅=+⋅， 86设y OA =+，要使S 最小，只要y 最小．8712()()52()9OA OBy OA OA OB OA OB OA=+=++=++≥，· 14分 88当且仅当OA =时取等号，此时3, 2OA OB ==． 89答：要使, OA OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 90 位于距O点2千米处． ················· 16分 9119．解：（1）当1a b ==时，32()4f x x x =+-，2()32f x x x '=+． ···· 2分92令()0f x '>，解得0x >或23x <-，93所以()f x 的单调增区间是2(,)3-∞-和(0,)+∞． ·········· 4分94（2）法一：2()32f x ax bx '=+，令()0f x '=，得0x =或23bx a=-， ·· 6分 95因为函数()f x 有两个不同的零点，所以(0)0f =或2()03bf a-=． 96当(0)0f =时，得0a =，不合题意，舍去； ··········· 8分97当2()03b f a -=时，代入得3222()()4033b ba b a a a-+--=， 98即3384()()40279b b a a -+-=，所以3ba=． ··········· 10分 99法二：由于0a ≠，所以(0)0f ≠，100由()0f x =得，32244(0)b x x x a x x-==-≠． ············ 6分101设24()h x x x =-，38'()1h x x =--，令'()0h x =，得2x =-， 102当(,2)x ∈-∞-时，'()0h x <，()h x 递减；当(2,0)x ∈-时，'()0h x >，()h x 递103 增，104当(0,+)x ∈∞时，'()0h x >，()h x 单调递增， 105当0x >时，()h x 的值域为R ，106故不论ba取何值，方程32244b x x a x x -==-有且仅有一个根； ···· 8分107当0x <时，min [()](2)3h x h =-=，108所以=3ba时，方程32244b x x a x x -==-恰有一个根2-，109此时函数2()(2)(1)f x a x x =+-恰有两个零点2-和1． ······ 10分 110（3）当0a =时，因为()ln f x x <，所以2ln bx x <，111设2()ln g x x bx =-，则2112()2 (0)bx g x bx x x x-'=-=>，112当0b ≤时，因为()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，且(1)0g b =-≥， 113所以在(1,+)∞上，2()ln g x x bx =-≥0，不合题意； ······· 11分114当0b >时，令212()0bx g x x-'==，得x =115所以()g x 在递增，在)+∞递减， 116所以max 1()2g x g ==， 117要使()0g x >有解，首先要满足102>，解得12eb <． ① · 13分 118又因为(1)0g b =-<，121(e )e 02g b =->，119要使()ln f x x <的解集(,)m n 中只有一个整数，则(2)0,(3)0,g g >⎧⎨⎩≤120即ln 240,ln 390,b b ->⎧⎨-⎩≤ 解得ln3ln 294b <≤． ② ··········· 15分 121设ln ()x h x x =，则21ln ()xh x x -'=， 122当(0,e)x ∈时，()0h x '>，()h x 递增；当(e,+)x ∈∞时，()0h x '<，()h x 递减．123所以max 1ln 2()(e)(2)e2h x h h ==>=，所以1ln 22e 4>， 124所以由①和②得，ln3ln 294b <≤． ·············· 16分 125（注：用数形结合方法做只给2分）12620．解：（1）假设{}n a 是“回归数列”，127则对任意n *∈N ，总存在k *∈N ，使21n n n k a a a a +++-=成立，128即242222n n n k +⋅-⋅=，即322n k ⋅=， ············· 2分129此时等式左边为奇数，右边130为偶数，不成立，所以假设不成立，所以{}n a 不是“回归数列”； ················ 4分 131（2）①因为1n n b b +<，所以12n n b b ++<，132所以21n n n n b b b b +++->且21212()n n n n n n n b b b b b b b ++++++-=--<． 133又因为{}n b 为“回归数列”，所以211n n n n b b b b ++++-=，134即212n n n b b b +++=，所以数列{}n b 为等差数列． ········· 6分 135又因为393, 9b b ==，所以 ()n b n n *=∈N ． ··········· 8分 136（注：猜出n b n =给1分）137②因为2123131s s t s s b b b ++-=+-，所以1223131s s s t s ++-=+-， （*） 138因为222(1)3031s s t s --=+-≤，所以3t ≤，139又因为t *∈N ，所以1, 2, 3t =． ··············· 10分 140当1t =时，（*）式整理为30s =，不成立． ·········· 11分141当2t =时，（*）式整理为2113s s -=．142设21 ()3n n n c n *-=∈N ，因为112(1)33n n n n n c c ++-+-=，143所以1n =时，1n n c c +<；2n ≥时，1n n c c +>，144所以max 21()13n c c ==<，所以s 无解． ············ 14分145当3t =时，（*）式整理为21s =，因为s *∈N ，所以1s =． 146综合所述，使得等式成立的所有的正整数, s t 的值是1, 3s t ==．16分147 148149 苏州市2019届高三调研测试数学附加题参考答案15021A 选修4－2 矩阵与变换151解：由177140102322614301m n mn m n m ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， ··· 4分 152所以141,260,1431,mn n m -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩····················· 8分153解得5,3.m n =⎧⎨=⎩······················· 10分 15421B 选修4－4 坐标系与参数方程155解：由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，156即圆C 的方程为22(2)4x y -+=， ··············· 3分157又由,,2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消t ，得0x y m --=， ············ 6分158因为直线l 与圆C2=，所以2m =± ·· 10分15921C 选修4－5 不等式选讲160证：因为222()()a b c a b c b c a c a b+++++++1612221[()()()]()2a b c a b b c c a b c a c a b =++++++++++ ·········4分162212≥21()2a b c ++=， ·· 8分 163所以2221()2a b c a b c b c a c a b +++++++≥．············ 10分 16422．解：（1）2ξ=时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任三个，165所以343542(2)105C P C ξ====． ················· 2分166（2）ξ的可能取值为．1672(2)5P ξ==；1683542(5P C ξ===；····················· 4分169 12351(5C P C ξ===． ···················· 6分170所以ξ的分布列为171………………………….……. 8分ξ的数学期望为221425555E ξ=⨯++=． ··· 10分17223．解：（1）取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP , OM ， 173因为PA PD =，所以OP AD ⊥，174又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面175 PAD ，平面PAD 平面ABCDAD =，所以OP ⊥平176 面ABCD ，177所以, OP OA OP OM ⊥⊥，178又因为ABCD 是正方形，所以OA OM ⊥．179（不证明, , OP OA OM 两两垂直的不给分）180以O 为原点，, , OA OM OP 为, , x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -（如图），181 ····························· 1分 182则1(,0,0)2A ，1(,0,0)2D -，1(,1,0)2B ，1(,1,0)2C -．183设() 0(,00),P c c >，则1(,1,)2PB c =-，(1,0,0)CB =．184设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ， ··········· 3分185则有11110,0,12y cz x x ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩ 取11z =，则1y c =，从而1(0,,1)c =n ．186设PA 与平面PBC 所成角为α，因为1(,0,)2PA c =-，187所以111sin cos ,PA PA PA α⋅⋅=<>===n n n ，188解得234c =或213c =，所以PA =1或PA =． ········· 5分189（2）由（1）知，1PA AB =≥，所以1, PA c ==．190由（1）知，平面PBC 的一个法向量为1(0,,1)()1c ==n ． ···· 6分1912(,,)x y z =n ，而1(1,,0)2CE =-，设平面PCE 的一个法向量为1921(,1,2PC -=，193所以10,210,2x y x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =，则2, y z ==2(1=n ． 8分194设二面角B PC E --的平面角为β， 195所以121212|cos ||cos |||,β⋅=<>====⋅n n n n n n ，196根据图形得β为锐角，所以二面角B −PC −E ． 10分197。

苏州市2019届高三第一学期期末调研数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}1>=x x A ，{}3<=x x B ，则集合=B A ． 2、已知复数iiz 21-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 3、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为 ． 4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ． 5、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为20.，目标未受损的概率为40.，则目标受损 但未完全击毁的概率为 ．6、阅读下面的流程图，如果输出的函数)(x f 的值在区间],[2141内，那么输入的实数x 的 取值范围是 ．7、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤431y x x x y ，则目标函数y x z -=28、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7772-==S a ,，则7a 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知过点),(11M 的直线l 与圆52122=-++)()(y x 相切，且与直线01=-+y ax 垂直，则实数10、一个长方体的三条棱长分别为983,,，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面 积没有变化，则圆孔的半径为 ． 11、已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 ． 12、若832παtantan =，则=-)tan(8πα ．13、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=05042x e x x x f x ,,)(，若关于x 的方程05=--ax x f )(恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 个．14、已知C B A ,,是半径为1的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则⋅+⋅+⋅的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、已知函数212232--=x x x f cos sin )(． （1）求函数)(x f 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合 （2）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3=c ，0=)(C f ，若A B sin sin 2=，求b a ,的值．16、如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，F 是1BB 的中点，M 是线 段1AC 的的中点．（1）求证：直线//MF 平面ABCD ；（2）求证：平面⊥1AFC 平面11A ACC ．17、已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下：其中，点E A ,为x 轴上关于原点对称的两点，曲线BCD 是桥的主体，C 为桥顶，且曲线 段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为],[,22482-∈+=x xy ，曲线段DE AB ,均 为开口向上的抛物线段，且E A ,分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔 接处),(D B 的切线的斜率相等．（1）求曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A 经B 到C 爬坡．定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：=P M （该点P 与桥顶间的水平距离）⨯（设计图纸上该点P 处的切线的斜率），其中P M 的单 位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力， 它们的爬坡能力分别为80.米，51.米，02.米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （*∈N n ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1211212121133221+-+--++-+=+n n n n b b b b a )( ，求数列{}n b 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n n b c λ+=2，问是否存在实数λ，使得数列{}n c （*∈N n ）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．20、已知函数x k x x f )(ln )(1--=（R ∈k ）． （1）当1>x 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）若对于任意],[2e e x ∈，都有x xf ln )(4<成立，求实数k 的取值范围； （3）若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：ke x x 221<．附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A . 选修4-1:几何证明选讲如图,E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点,过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ,G 为切点,已知EF=FG ,求证:EF ∥CB.(第21-A 题)B . 选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A=2113⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,求矩阵C ,使得AC=B.C . 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0,已知直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D . 选修4-5:不等式选讲已知a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by )(bx+ay )≥xy.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.(1) ξ为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;(2) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ).23.在平面直角坐标系xOy中,已知两点M(1,-3),N(5,1),若点C的坐标满足=t+(1-t)(t∈R),且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.(1) 求证:OA⊥OB;(2) 在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.苏州市2019届高三第一学期期末考试答案1.(1,3)2.-12思路分析先化z=a+b i(a ,b ∈R)的形式或设z=a+b i(a ,b ∈R),再去分母.解法1z=(1-i )i 2i ·i=1+i-2=-12-12i,所以z 的虚部是-12.解法2设z=a+b i(a ,b ∈R),则2i(a+b i)=1-i,即-2b+2a i =1-i,所以-2b=1,得b=-12易错警示复数z=a+b i(a ,b ∈R)的虚部是b ,不是b i .3.3思路分析先求出a 2∶b 2∶c 2.由已知,得a 2∶b 2∶c 2=3∶6∶9,得e 2=22=3,所以e=3.4.900思路分析根据分层抽样的特点,建立比例式.设该校学生总数为n ,则300 =45-20-1045,得n=900.5.0.4设“目标受损但未完全击毁”为事件A ,则其对立事件 是“目标未受损或击毁目标”.P (A )=1-P ( )=1-(0.4+0.2)=0.4.解后反思在数学中,“但”与“且”的意义本质上是相同的.6.[-2,-1]流程图表示输出分段函数f (x )=2 ,∈[-2,2],2,∉[-2,2]的值.令f (x )得≤ ≤2,≤2≤12,解得-2≤x ≤-1.7.5思路分析先画出可行域,并解出.可行域是以A (3,1),B (3,2),C (2.5,1.5)为顶点的△ABC 及它的内部.z=2x-y=(2,-1)·(x ,y )≤(2,-1)·(3,1)=5.解后反思利用向量数量积的几何意义——一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积,比平移直线更直观.8.-13思路分析可先求出基本量a 1,d ,再求a 7;也可利用S 7=7a 4先求出a 4.在等差数列{a n }中,S 7=7a 4=-7,所以a 4=-1.又a 2=7,所以公差d=-4,从而a 7=a 4+3d=-1-12=-13.9.12思路分析可用过圆上一点的切线方程求解;也可用垂直条件,设切线方程(x-1)-a (y-1)=0,再令圆心到切线的距离等于半径.因为点M 在圆上,所以切线方程为(1+1)(x+1)+(1-2)(y-2)=5,即2x-y-1=0.由两直线的法向量(2,-1)与(a ,1)垂直,得2a-1=0,即a=12.思想根源以圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点T (x 0,y 0)为切点的切线方程为(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2.10.3思路分析先不考虑在哪个面上钻孔,考察圆柱半径与高的关系,再检验.设圆柱的底面半径为r ,高为h ,该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面,多了一个圆柱侧面.由题意,得πr 2+πr 2=2πrh ,得r=h.经检验,只有r=3符合要求,此时在8×9的面上打孔.易错警示实际应用问题须检验.11.94解法1令x+2=a ,y +1=b ,则a+b=4(a>2,b>1),4 +1 =14(a+b 4≥14(5+4)=94,当且仅当a=83,b=43,即x=23,y=13时取等号.解法2(幂平均不等式)设a=x+2,b=y+1,则4 +2+1+1=4 +1 =22+12 ≥(1+2)2 +=94.解法3(常数代换)设a=x+2,b=y+1,则4+2+1+1=4 +1 = ++ + 4 =54+ + 4 ≥94,当且仅当a=2b 时取等号.思想根源(权方和不等式)若a ,b ,x ,y ∈(0,+∞),则 2 + 2 ≥( + )2+,当且仅当 =时取等号.12.思路分析可先记t=tan π8,最后再代入化简.解法1记t=tan π8=1-cos π4sin π4=2-1,则tan α=32t.所以tan=32 - 1+32 2= 2+3 2解法2tan =32tan π8-tan π81+32tan 2π8=tan π82+3tan 2π8=sin π8cos π82cos 2π8+3sin 2π8sin π4解后反思有时,“硬做”也是必须的.13.-e ,-5ln5,2思路分析化为定曲线与两条动直线共有三个公共点.关键是两条动直线关于x 轴对称,其交点在x 轴上.方程|f (x )|-ax-5=0⇔f (x )=ax+5或f (x )=-ax-5.所以曲线C :y=f (x )与两条直线l :y=ax+5和m :y=-ax-5共有三个公共点.由曲线的形状可判断直线l 与曲线C 总有两个交点,所以可有情况是:直线m 与曲线C 相切,直线m 与曲线C 相交两点但其中一点是l ,m 的交点-5,0.由m 与C 相切,得当a>0时,y=-ax-5与f (x )图像在x ≤0的一侧相切.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=2x 0=-a ,x 0=-2.又切线方程为y-y 0=-a (x-x 0),得y=-ax+ax 0+y 0=-ax+a ·-+ 24-4=-ax- 24-4=-ax-5,得a=2.同理当a<0时,可得a=-e .由题易知a ≠0,从而m 与C 相切时,a=2或a=-e;由点-5,0在C 上,得当a>0时,交点位于f (x )图像在x ≤0的一侧,此时有f =25 2-4=0,a=52;当a<0时,交点位于f (x )图像在x>0的一侧,此时有f e -5-5=0,a=-5ln5,故由交点在C 上得a=52或a=-5ln5.经判断,a 的这四个值均满足要求.解后反思先确定a 的可能值,再检验,较易操作.也可考虑定曲线y=|f (x )|与动直线y=ax+b 的公共点的问题.14.-43,4思路分析固定顶点A ,B 后,就是一个双动点问题,与单个动点问题类似.解法1在平面直角坐标系xOy 中,设A (-1,0),B (1,0),C (cos α,sin α),P (r cos β,r sin β),其中α∈(0,π),r ∈[0,1],β∈R .· + · + · =3r 2-1-2r cos(β-α)∈[3r 2-2r-1,3r 2+2r-1]⊆-43,4,当r=13,β=α时,取得最小值-43;当r=1,β=π+α时,取得最大值4.解法2 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2-24+2 ·= 2+2 ·-1.以O 为坐标原点,建立直角坐标系,设P (x 0,y 0),C (cos θ,sin θ),则 2+2 · -1=3 02+3 02-2x 0cos θ-2y 0sin θ-1,其中x 0cos θ+y 0sin θ= 02+ 02sin(θ+φ)∈[- 02+ 02, 02+ 02].令t= 02+ 02∈[0,1],则3t 2-2t-1≤ 2+2 · -1≤3t 2+2t-1,得到 2+2 · -1∈-43,4.解法3 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2- 24+2 · = 2+2 ·-1.若知道 · =( - )·( + )=PO 2-OB 2, · + · =( + )· =2 · ,可加快计算速度.实际上,PO 2-OB 2=r 2-1,由向量数量积的定义知2 · =2 ·( - )∈[2r 2-2r ,2r 2+2r ].更进一步, · + · + · =3 2-2 · -1=3 -13 2-43.思想根源设G 是△ABC 的重心,P 是平面ABC 上任意一点,则 · + · + ·=3 2- 2+ 2+ 26.15.思路分析(1)首先把函数化简为f (x )=A sin(ωx+φ)+B 的形式,其中A>0,ω>0.(2)利用正弦、余弦定理,列出关于边a ,b 的方程组.规范解答(1)因为f (x )x-12(1+cos2x )-12(2分)=sin 2 1,(4分)所以函数f (x )的最小值是-2,(5分)此时2x-π6=2k π-π2,k ∈Z,得x=k π-π6,k ∈Z,即x 的取值集合为 = π-π6, ∈Z .(7分)(2)由f (C )=0,得sin 2 1.又C ∈(0,π),所以2C-π6=π2,得C=π3.(9分)由sin B=2sin A 及正弦定理,得b=2a.(11分)由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得a 2+b 2-ab=3.(13分)由=2 , 2+ 2- =3,解得 =1,=2.(14分)16.思路分析(1)要证MF ∥平面ABCD ,只要证MF 与平面ABCD 内的某直线平行.当F 沿 移到B 时,M 恰好移到AC 的中点E.也可以找MF 所在的平面AC 1F 与底面ABCD 的交线.(2)只要先证MF ⊥平面ACC 1A 1,只要证EB ⊥平面ACC 1A 1.规范解答(1)证法1如图1,连结AC ,取AC 的中点E ,连结ME ,EB.因为M ,E 分别是AC 1,AC 的中点,所以ME 12C 1C.(2分)又F 是B 1B 的中点,且B 1B C 1C ,得FB12C 1C ,所以MEFB ,四边形MFBE 是平行四边形,(4分)所以MF ∥EB.因为MF ⊄平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图1证法2如图2,延长C 1F ,CB 相交于点G ,连结AG.因为FB12C 1C ,所以F 是GC 1的中点.(2分)又因为M 是AC 1的中点,所以MF ∥AG.(4分)因为MF ⊄平面ABCD ,AG ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图2(2)如图1,因为底面ABCD 是菱形,得BA=BC ,又E 是AC 的中点,所以EB ⊥AC.因为A 1A ⊥平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以A 1A ⊥EB.(9分)由(1)知,MF ∥EB ,所以MF ⊥AC ,MF ⊥A 1A.(11分)又因为A 1A ∩AC=A ,A 1A ,AC ⊂平面ACC 1A 1,所以MF ⊥平面ACC 1A 1.(13分)因为MF ⊂平面AFC 1,所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17.思路分析(1)由e 求得a ∶b ∶c.(2)最简单直接的解法是:利用PA ,PB 的斜率互为相反数,直接求出A ,B 的坐标.规范解答(1)由e==得a ∶b ∶c=2∶1∶3,椭圆C 的方程为 24 2+ 22=1.(2分)把P (2,-1)的坐标代入,得b 2=2,所以椭圆C 的方程是 28+ 22=1.(5分)(2)由已知得PA ,PB 的斜率存在,且互为相反数.(6分)设直线PA 的方程为y+1=k (x-2),其中k ≠0.由+1= ( -2),2+4 2=8,消去y ,得x 2+4[kx-(2k+1)]2=8,即(1+4k 2)x 2-8k (2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.(8分)因为该方程的两根为2,x A ,所以2x A =4(2 +1)2-81+4 2,即x A =8 2+8 -21+4 2.从而y A =4 2-4 -14 2+1.(10分)把k 换成-k ,得x B =8 2-8 -21+4 2,y B =4 2+4 -14 2+1.(12分)计算,得k AB = --=8-16 =-12,是定值.(14分)解后反思利用直线PA 与椭圆C 已经有一个交点P (2,-1),可使得解答更简单.由+1= ( -2), 2+4 2=8,得+1= ( -2),4( 2-1)=4- 2,当(x ,y )≠(2,-1)时,可得+1= ( -2),4 ( -1)=- -2.解得=8 2+8 -24 2+1,=4 2-4 -14 2+1.以下同解答.下面介绍一个更优雅的解法.由A ,B 在椭圆C :x 2+4y 2=8上,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,所以k AB = 1- 2 1- 2=-14· 1+21+2.同理k PA =1+1 1-2=-14· 1+21-1,k PB =2+1 2-2=-14· 2+22-1.由已知,得k PA =-k PB ,所以1+1 1-2=-2+1 2-2,且1+2 1-1=-2+2 2-1,即x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)-(x 1+x 2)+4,且x 1y 2+x 2y 1=(x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+4.从而可得x 1+x 2=2(y 1+y 2).所以k AB =-14· 1+ 21+2=-12,是定值.18.思路分析(1)首先B (-2,1).设曲线段AB 对应函数的解析式为f (x ),则f (-2)=1且f'(-2)=12.(2)先算出M P 的最大值.规范解答(1)首先B (-2,1),由y'=-16 (4+ 2)2,得曲线段BCD 在点B 处的切线的斜率为12.(2分)设曲线段AB 对应函数的解析式为y=f (x )=a (x-m )2(x ∈[m ,-2]),其中m<-2,a>0.由题意,得 (-2)= (-2- )2=1,'(-2)=2 (-2- )=12,解得=-6,=116.(4分)所以曲线段AB 对应函数的解析式为y=116(x+6)2(x ∈[-6,-2]).(5分)(2)设P (x ,y ),记g (x )=M P =(0-x )+6), ∈[-6,-2],∈[-2,0].(7分)①当x ∈[-6,-2]时,g (x )的最大值为g (-3)=98;(10分)②当x ∈[-2,0]时,g (x )-g (-2)=-( 2-4)2(4+ 2)2≤0,即g (x )≤g (-2)=1,得g (x )的最大值为g (x )max =98.(13分)综上所述,g (x )max =98.(14分)因为0.8<98<1.5<2,所以,游客踏乘的观光车不能过桥,蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥.(16分)19.思路分析(1)利用a n =1, =1,- -1,≥2,得到a n+1与a n 的关系.(2)与(1)类似,相当于(-1) n 项和为1.当n ≥2时,(-1)n+1 2 +1=1 -1-1.(3)即c n+1-c n >0对n ∈N *恒成立.考虑分离出λ.规范解答(1)a 1=S 1=2.由a n+1=S n+1-S n =(2a n+1-2)-(2a n -2),得a n+1=2a n .(2分)所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,a n =2n .(4分)(2)由1 1= 12+1,得b 1=32.(5分)当n ≥2时,1-1 -1=(-1)n+12 +1,得b n =(-1)n 2 +12.(8分)所以b n =1,1) 2 +12,≥2.(9分)(3)假设数列{c n }是单调增数列,则c n+1-c n =2n +λ(b n+1-b n )>0对n ∈N *恒成立.①当n=1时,由2+0,得λ<8;(11分)②当n ≥2时,b n+1-b n =(-1)n+12 +1+12 +1-(-1)n 2 +12=(-1)n+12 +2+32 +1.若n=2k ,k ∈N *,则λ<12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递增,当n=2时取最小值3219,得λ<3219;(13分)若n=2k+1,k ∈N *,则λ>-12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而-12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递减,当n=3时取最大值-12835,得λ>-12835.(15分)综上所述,存在实数λ,且λ的取值范围是-12835(16分)解后反思特别要注意对n=1时的单独处理.20.思路分析(1)只要注意对k 的讨论.(2)分离出k ,转化为k>K (x )恒成立问题.(3)先说明0<x 1<e k <x 2,从而只要证e k <x 2<e 2 1,只要证f (x 1)=f (x 2)转化为关于x 1的不等式对0<x 1<e k 恒成立问题.规范解答(1)f'(x )=ln x-k ,其中x>1.(1分)①若k ≤0,则x>1时,f'(x )>0恒成立,f (x )在(1,+∞)上单调递增,无极值;(2分)②若k>0,则f (x )在(1,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增,(4分)有极小值f (e k )=-e k ,无极大值.(5分)(2)问题可转化为k>1x-1对x ∈[e,e 2]恒成立.(7分)设K (x )=1x-1,则K'(x )=42ln x+11=4 2(ln x-1)+1.当x ∈[e,e 2]时,K'(x )≥1>0,所以K (x )在[e,e 2]上单调递增,K (x )max =K (e 2)=1-8e2.(9分)所以实数k 的取值范围是1-8e 2,+∞.(10分)(3)因为f'(x )=ln x-k ,所以f (x )在(0,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增.不妨设0<x 1<e k <x 2.要证x 1x 2<e 2k ,只要证x 2<e 21.因为f (x )在[e k ,+∞)上单调递增,所以只要证f (x 1)=f (x 2)即要证(ln x 1-k-1)x 1<(k-ln x 1-1)e 21.(12分)令t=2(k-ln x 1)>0,只要证(t-2)e t +t+2>0.设H (t )=(t-2)e t +t+2,则只要证H (t )>0对t>0恒成立.H'(t )=(t-1)e t +1,H ″(t )=t e t >0对t>0恒成立.所以H'(t )在(0,+∞)上单调递增,H'(t )>H'(0)=0.(14分)所以H (t )在(0,+∞)上单调递增,H (t )>H (0)=0.综上所述,x 1x 2<e 2k .(16分)21.A.规范解答由切割线定理,得FG 2=FD ·FA.(2分)因为EF=FG ,所以EF 2=FD ·FA ,即 =.(5分)又因为∠EFA=∠DFE ,所以△EFA ∽△DFE.所以∠EAF=∠DEF.(8分)因为∠EAF=∠BAD=∠BCD ,所以∠DEF=∠BCD.所以EF ∥CB.(10分)B.规范解答因为AC=B ,所以C=A -1B.(2分)由|A|=2113=6-1=5,得A -13-112.(6分)所以3-112110-1341-3=35-15-3(10分)C.思路分析化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程,可利用直线l 的标准参数方程的几何意义求线段AB 的长.规范解答因为曲线C 经过极点,所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ-4ρcos θ=0,(2分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的直角坐标方程为y 2-4x=0.(4分)把直线l 的标准参数方程代入,得t 2+82t=0,解得t 1=0,t 2=-82.(8分)所以AB=|t 2-t 1|=82.(10分)易错警示必须先说明“曲线C 经过极点”,才能在方程ρsin 2θ-4cos θ=0两边同乘ρ,否则新方程表示的曲线可能比曲线C 多一个极点.D.思路分析化x 2+y 2为xy ,显然可用基本不等式x 2+y 2≥2xy.规范解答因为a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,所以(ax+by )(bx+ay )=ab (x 2+y 2)+(a 2+b 2)xy ≥ab ·2xy+(a 2+b 2)xy=(a+b )2xy=xy.(9分)当且仅当x=y 时,取等号.(10分)22.思路分析本质上就是要求出ξ的分布,否则怎么说明理由?规范解答(1)设第一次与第二次取到卡片上数字分别为X ,Y.则P (X=1)=P (Y=1)=P (X=2)=P (Y=2)=38,P (X=3)=P (Y=3)=28.随机变量ξ的可能取值为2,3,4,5,6.(2分)P (ξ=2)=P (X=1)P (Y=1)=964,P (ξ=3)=P (X=1)P (Y=2)+P (X=2)P (Y=1)=932,P (ξ=4)=P (X=1)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=2)=2164,P (ξ=5)=P (X=2)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=2)=316,P (ξ=6)=P (X=3)P (Y=3)=116.(7分)所以当ξ=4时,其发生的概率最大.(8分)(2)由(1)可知E (ξ)=2×964+3×1864+4×2164+5×1264+6×464=24064=154.(10分)解后反思利用ξ=X+Y 来计算P (ξ=k ),条理清楚,不易出错.思想根源实际上,因为ξ=X+Y ,所以E (ξ)=E (X )+E (Y )=158+158=154.23.思路分析可直接判断点C 的轨迹是直线MN ,也可设C (x ,y ),得关于(x ,y )的参数方程.(1)只要证 · =x 1x 2+y 1y 2=0.可利用根与系数的关系.(2)设弦为EF ,则 ·=0,可设直线EF 的方程为x-m=λy.规范解答(1)由 =t +(1-t ) ,得 - =t ( - ),即 =t .所以点C 的轨迹就是直线MN ,其轨迹方程为x-y-4=0.(2分)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由- -4=0,2=4 ,消去x ,得y 2-4y-16=0,所以y 1y 2=-16.而x 1x 2= 124· 224=16,所以 · =x 1x 2+y 1y 2=0.所以OA ⊥OB.(4分)(2)设经过点P (m ,0)的弦EF 所在的直线方程为x-m=λy.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则以EF 为直径的圆经过原点等价于x 1x 2+y 1y 2=0.由- = ,2=4 ,得y 2-4λy-4m=0.当Δ=16λ2+16m>0时,y 1+y 2=4λ,y 1y 2=-4m.从而x 1x 2=12 2216=m 2.所以m 2-4m=0,解得m=0或m=4.(6分)①若m=0,则λ≠0,此时圆心D (x ,y )满足 =2 2,=2 (λ≠0).圆心的轨迹方程为y 2=2x (y ≠0).(8分)②若m=4,则λ∈R,此时圆心D (x ,y )满足=2 2+4, =2 .圆心的轨迹方程为y 2=2(x-4).(10分)易错警示不要轻易舍去m=0的情况.。

2019～2020学年第一学期高三期初调研试卷数学Ⅰ 2019. 9(参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的方差2211()==−∑ni i s x x n ，其中11==∑ni i x x n ．)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,3A =，{}3,9B =，则A B = ▲ ．2．如果复数2()3bib R i−∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ▲ ． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ▲ ．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时， 最后输出的b 的值为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线方程为2y x =±， 则该双曲线的离心率为 ▲．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题(第1题 − 第14题)、解答题(第15题 − 第20题)．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．7．如图，在直三棱柱ABC A B C −111中，若四边形11AAC C 是边长 为4的正方形，且3AB =，5BC =，M 是1AA 的中点，则三 棱锥A MBC −11的体积为 ▲ ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则S 10的值为 ▲ ．9．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[),x ∈+∞0时，()[)()[)sin ,,,,,,x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨−∈+∞⎪⎩0111则(5)6f π−−＝ ▲ ．10．已知在ABC ∆中，AC ＝1，BC ＝3．若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅−=，则CO AB ⋅＝ ▲ ．11．已知sin 222cos2αα−=，则2sin sin 2αα+＝ ▲ ．12．已知点A 、B 是圆O :224x y +=上任意两点，且满足23AB =P 是圆C :22(4)(3)4x y +++=上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ▲ ．13．设实数1a ≥，若不等式||2x x a a −+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是 ▲ ． 14．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A A B C+=，则sin A 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点．(1)求证：AB 1∥平面PBC 1； (2)求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．▲ ▲ ▲ACB PA 1B 1C 116．(本小题满分14分) 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；(2)当[0,]x π∈时，求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．▲ ▲ ▲17．(本小题满分14分) 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角 为60o 的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于A 、B 两点，在直线:30l x y +−=上存在点P ，使得PAB ∆为等边三角形，求实数k 的值．▲ ▲ ▲18．(本小题满分16分) 某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，30BAC ∠=．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．(水流速度忽略不计)(1)若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内(含1小时)能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；(2)若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进m (0)m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船．已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．▲ ▲ ▲ABC岸边30o19．(本小题满分16分) 已知函数()e x f x =，()ln g x x =，(1)设2()()h x g x x =−，求函数()h x 的单调增区间；(2)设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数y =()g x 的图象在点A (00,()x g x )处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；(3)求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1|1|f x a x−−<成立． ▲ ▲ ▲20．(本小题满分16分) 等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}n b 满足：b 1＝5a 1＝5，a 5＝b 2＝9，当3n ≥ 时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +−，2n S −成等比数列，n *∈N ． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；(3)将数列{}n a 、11{}+n n b b 的项按照：当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，11+n n b b 放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…记这个新数列的前n 和为T n ，试求T n 的表达式．▲ ▲ ▲。

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苏州市2018—2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=,则集合A B=▲ ．2。

复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3。

某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在6080分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6。

如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4,3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中,中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-,则该双曲线的离心率为▲ ．8。

曲线2e xy x=+在0x=处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为▲ ．9.如图,某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1。

2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷数学注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，若i 是虚数单位，复数z 与21i -关于虚轴对称，则z =（ ）A. 1i +B. 1i-- C. 1i-+ D. 1i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可.【详解】()221i 21i 1i 1i+==+--，复数z 与21i-关于虚轴对称，故1i z =-+.故选：C2. 若对于任意的实数R x ∈都有cos()sin cos cos sin x x x θθθ-=+成立，则θ的值可能是（ ）A.π4B. π2-C. π4-D. 0【答案】A 【解析】【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可.【详解】cos()sin cos cos sin sin()sin(2)x x x x x θθθθθθ-=+=+=-+，故π22π,Z 2k k θ=+∈，即ππ,Z 4k k θ=+∈，当0k =时，π.4θ=故选：A3. 下列说法中不正确的是（ ）A. “1a >”是“2a >”的必要不充分条件B. 命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++<”C. “若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题D. 设m ，R n ∈，则“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD ；利用命题的否定即可判断选项B ；利用赋值法即可判断选项C.【详解】对于A, “1a >”是“2a >”的必要不充分条件,故A 正确；对于B ，命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++≤”，故B 错误；对于C ，当5,1a b ==时，满足8a b +<，不满足4a <且4b <，故“若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题，故C 正确；对于D ，“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件，故D 正确.故选：B4. 在数列{}n a 中，12n n a a n ++=，则数列{}n a 前24项和24S 的值为（ ）A. 144 B. 312C. 288D. 156【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合12n n a a n ++=，将{}n a 前24项和24S 转化为等差数列求和问题.【详解】因为12n n a a n ++=，所以()2412324122462610462882S a a a a ⨯+=++++=++++== ，故选：C.5. 已知实数0x y >>，则223x x y xy y +-的最小值为（ ）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】B 【解析】【分析】将xy看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.【详解】22233,1x y x x x x y xy y y y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=+--设1xt y=-，0x y >>，故0t >，()()222131314559t x x t t y xy ytt ++=++=++≥=-，当且仅当14t t =，即12t =时，等号成立.故选：B6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14B.C.12D.【答案】D 【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R ，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R，设圆柱高为h ，则h R r R R-=，=-h R r ，由题，()2π2π2πR r r R r ⨯=+⨯-，得r R =.故选：D .7. 已知()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，若存在常数R a ∈，使得()y f x a =+为偶函数，则ω的值可以为（ ）A.3π8B.π3C.π4D.π2【答案】A 【解析】【分析】求出()y f x a =+的解析式，得()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解．详解】由()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，得()()()24sin x a x f a a x ω+-⋅=++⎡⎤⎣⎦是偶函数，因为()24y x a =+-不可能是奇函数，所以()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，()()()2224244y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则40a -=，即4a =，()()sin 4sin 4y x x ωωω⎡⎤=+=+⎣⎦为偶函数，则π4π2k ω=+，Z k ∈，ππ48k ω=+，Z k ∈，只有1k =时，3π8ω=，故选：A8. 已知函数()e e (0)x x f x x ax b ab a =--+>，若()0f x ≥，则1b a-最大值为（ ）A. 2e -B. 1e - C. eD. 2e 【答案】A 【解析】【分析】将()0f x ≥转化为函数y x b =-和e x y a =-的零点相同，然后利用ln b a =，构造函数()ln 1a g a a-=求最值即可.【详解】()()()e e e xxxf x x ax b ab x b a =--+=--，因为0a >，且函数y x b =-和e xy a =-都是增函数，故若()0f x ≥恒成立，则函数y x b =-和e xy a =-的零点相同，即ln b a =.故1ln 1b a aa--=，设()ln 1,a g a a -=则()22ln ,ag a a-'=【故在()20,e，()0g a '>，()g a 单调递增；在()2e ,∞+，()0g a '<，()g a 单调递减.故()()22max e e,g a g -==故1b a-最大值为2e -.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量(),2a x x =-，()1,b x =-- ，则下列说法中正确的是（ ）A. 若a b∥，则2x =-或1 B. 若a b ⊥，则0x =或-3C. 若a b =，则1x =或3D. 若1x =-，则向量a ，b【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行求参判断A 选项，根据向量垂直求参判断B 选项，应用模长相等计算判断C 选项，根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D 选项.【详解】A 选项，若//a b，有()22x x --=-，解得1x =或2x =-，A 选项正确；B 选项，若a b ⊥，有()20x x x ---=，解得0x =或3，B 选项错误，；C 选项，若a b =，有=，解得1x =或3x =，C 选项正确；D 选项，当=1x -时，()1,3a =-，()1,1b =-，a =，b = ，4a b ⋅= ，向量a ，b 夹角的余=D 选项错误．故选：AC10. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若ABC V 为锐角三角形，则sin cos B A >B. 若60B =︒，2b ac =，则ABC V 是直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形.D. 若ABC V 为钝角三角形，且3AB =，5AC =，13cos 14C =，则ABC V 【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A 选项；利用余弦定理即可判断B 选项；利用正弦定理边化角即可判断C 选项；利用余弦定理求出7a =或167a =，再进行分类讨论即可判断D 选项.【详解】对于A, 若ABC V 为锐角三角形，则π,2A B +> 即ππ22B A >>-，故πsin sin cos 2B A A ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，若60B =︒，2b ac =，则222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-=，即()22220,0a c ac a c +-=-=，故a c =，且60B =︒，故ABC V 是等边三角形，故B 错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，则sin cos sin cos sin ,B C C B B +=即()sin sin ,B C B +=即s s n n ,i i A B =故A B =，ABC V 是等腰三角形.故C 正确；对于D ，222225913cos 21014a b c a C ab a +-+-===，解得7a =或167a =，且sin C ==，当7a =时，cos 0A <，A 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==△，当167a =时，cos 0B <，B 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==V D 错误.故选：AC11. 已知α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++，(),a b ∈R 两个不同的零点，且1αβ⋅=，1x ，2x 是函数()f x 两个极值点，则（ ）A. a b =B. 3a >或2a <-C.22(2)a b +-值可能为11D. 使得()()1243f x f x +=的a 的值有且只有1个【答案】ACD【解析】【分析】由,αβ是()f x 的零点且1αβ=得()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后与已知比较可得1a b αβ==--，可判断A ，由2()()(1)10x x x a x αβ--=+-+=有两个不等实解，得a 的范围，可判断B ，直接解方程22(2)11a a +-=可判断C ，由韦达定理得出1212,x x x x +，代入124()()3f x f x +=，化为关于a 的方程，引入函数32()299g a a a =-+，由导数确定它的单调性，结合零点存在定理得零点范围，结合B 中范围可判断D ．【详解】由已知2()32f x x ax b '=++有两个零点，24120a b ∆=->，又α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++两个不同的零点且1αβ⋅=，所以()()()(1)f x x x x αβ=--+，即32()(1)()f x x x x αβαβαβαβ=+--+--+32(1)(1)1x x x αβαβ=+--+--+所以1a αβ=--，1b αβ=--，即a b =，A 正确；224124120a b a a ∆=-=->，解得3a >或0a <，(0)10=>f ，322()1(1)[(1)1]f x x ax ax x x a x =+++=++-+，由已知2(1)10x a x +-+=有两个不等实根,αβ，所以21(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-，所以3a >或1a <-，B 错；222222(2)(2)2442(1)211a b a a a a a +-=+-=-+=-+=，解得1a =-或1a =+，满足3a >或1a <-，C 正确；由2()320f x x ax a '=++=，得1223a x x +=-，123ax x =，322212121212()()()()2f x f x x x a x x a x x +=++++++32121212121222()3()[()2]()2x x x x x x a x x x x a x x =+-+++-+++322282422()2273933a a a a a a =-++--+23422273a a =-+，由2342422733a a -+=整理得322990a a -+=，设32()299g a a a =-+，则2()6186(3)g a a a a a '=-=-，0a <或3a >时，()0g a '>，0<<3a 时，()0g a '<，()g a 在在(,0)-∞和(3,)+∞上递增，在(0,3)上递减，又(0)90,(3)180g g =>=-<，(1)20g -=-<，33(9)29990g =⨯-+>，所以()g a 在(1,0)-，(0,3)，(3,)+∞上各有一个零点，又1a <-或3a >，因此()0g a =只在(3,)+∞上在一个解，D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的零点，极值，对计算要求较高，对多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，如果α是它的一个零点，则121210()()()n n n n f x x b x b x b x b α----=-++++ ，因此本题中在已知()f x 有两个乘积为1的零点时，结合常数项可设()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后得出,a b 与,αβ的关系，从而使得问题可解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的值域为[],m n ，且3n m -=，则ω的值为______.【答案】11π12【解析】【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】[]0,1x ∈，故πππ,444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为π()2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,1]上的值域为[],m n ，且3n m -=，故必有2,1,n m ==-，如图所示，则π7π,46ω+=故11π.12ω=故答案为：11π1213. 如图，边长为1的正ABC V ，P 是以A 为圆心，以AC 为半径的圆弧 BC上除点B 以外的任一点，记PAB 外接圆圆心为O ，则AO AB ⋅=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用三角形外心的性质将AO AB ⋅转化为()AD DO AB +⋅ 即可.【详解】取AB 的中点D ，因为ABC V 为正三角形，故CD 为AB 的中垂线，则PAB 外接圆圆心O 一定在CD 上，如图所示，，故()21122AO AB AD DO AB AD AB AB ⋅=+⋅=⋅== .故答案为：1214. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，则称直线y kx b =+为()f x 和()g x 的“媒介直线”.已知函数2()(R)f x x x =∈，1()(0)g x x x=<，若()f x 和()g x 之间存在“媒介直线”y kx b =+，则实数b 的范围是______.【答案】[]4,0-【解析】【分析】结合函数图像，利用临界情况，y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切求解即可.【详解】()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，即y kx b =+的图像一直在()f x 和()g x 之间，，当y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切时，方程2()f x x kx b ==+和方程1()g x kx b x==+均只有一个解，即20x kx b --=和210kx bx +-=均只有一个解，故224040k b b k ⎧+=⎨+=⎩或2400k b k ⎧+=⎨=⎩，解得0b =或4-，结合图像可知，“媒介直线”y kx b =+的截距[]4,0b ∈-.故答案为：[]4,0-【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列，若数列{}n b 前n 项和为n S ，并满足2n n S b n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）若()()11n n n c a b =--，求数列{}n c 前n 项的和n T .【答案】（1）21n a n =-；12nn b =-（2）()2228.n n T n +=--【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出n a ；利用n S 和n b 的关系，构造出()1121n n b b --=-即可求出n b ；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列知：()()()12111315321a d a a d a d +=⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩，整理得：251240d d -+=，即2=d 或者25d =，因为公差大于1，故2=d .且131a d =-=，故21n a n =-.数列{}n b 前n 项和n S ，并满足2n n S b n =+ ①，且11121b S b ==+，解得11b =-，故当2n ≥时，1121n n S b n --=+- ②，①式减②式得：11221n n n n n S S b b b ----==+，即()1121n n b b --=-，故{}1n b -是公比为2的等边数列，则()111122n n n b b --=-⨯=-，故12nn b =-【小问2详解】()()()()()11122212n n n n n c a b n n +=--=--=--，故()345102223212,n n T n +=--⨯-⨯---……则()4562202223212,n n T n +=--⨯-⨯---……故()()3234512222222221212,12n n n n n n T T n n ++++--=-----+-=-+--……故()2228,n n T n +-=-+则()2228.n n T n +=--的为16. 已知向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，()21f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 解析式，写出函数()f x 的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.（2）试用五点作图法作出函数()f x 在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）.（3）根据（2）中的图象写出函数()()y f x x =∈R 的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x 值的集合.【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用整体代入法求解即可；（2）利用五点作图法求解即可；（3）根据函数图像求解即可.【小问1详解】向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，则2ππ2T ==，)2π()212cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==，当 ππ2=π,62x k k ++∈Z 时，ππ,62k x k =+∈Z ，当 π2=π,6x k k +∈Z 时，ππ,122k x k =-+∈Z ，故()f x 的对称轴方程为ππ,62k x k =+∈Z ，对称中心为ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【小问2详解】列表：π26x +π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0202-0描点，连线，画图得：【小问3详解】由图可知，()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；最小值为2-；取最小值时相应x 值的集合为：2ππ,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .17. 如图①，在平面四边形ABCD 中，CB CD ==，tan CDB ∠=，O 为对角线BD 中点，F为BC 中点，E 为线段AD 上一点，且BE AO ⊥，CO AB =，AB BD ⊥.（1）求AE 的长.（2）从下面（i ）与（ii ）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.（i ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图②，当面CBD ⊥面ABD 时，求异面直线OF 与BE 所成角余弦值.（ii ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图③，当60COE ∠=︒时，求三棱锥C ABD -的体积.【答案】（1 （2）见解析【解析】的【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可；（2）若选（i ），利用空间向量求解即可；若选（ii ），利用等体积法求解即可.【小问1详解】因为CB CD == O 为对角线BD 中点，故CO BD ⊥,因为tan CDB ∠=故sin CDB CDB ∠=∠=，即sin CO DO CDB CDB CD CD ∠==∠==，解得2CO DO ==,故24,BD DO AB CO ====,则AD ==，AO ==,因为AB BD ⊥，BE AO ⊥，则π2ABE EBO ∠+∠=，π2AOB EBO ∠+∠=,所以ABE AOB ∠=∠,所以sin sin AB ABE AOB AO ∠=∠==cos ABE ∠=且sin sin BD BAD ABE AD ∠===∠,故ABEBAD ∠=∠,则在等腰ABE 中，由正弦定理得：sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，sin AEABE=∠，则AE ===.【小问2详解】若选（i ）：当面CBD ⊥面ABD 时，因为CO BD ⊥,面CBD ⋂面ABD BD =,CO ⊂面CBD ,故CO ⊥面ABD ，又AB BD ⊥，故以点B 为坐标原点，BD 为x 轴，BA 为y 轴，过点B 做CO 的平行线为z 轴，可以建如图所示空间直角坐标系，由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，则易得()(())0,2,0,,0,0,0,2,0,O F B E则()0,,2,0,OF BE =-=设异面直线OF 与BE 所成角为θ，则cos cos ,OF θ= .若选（ii ）：由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，故12OE BA ==,当60COE ∠=︒时，1sin 602COE S CO OE =⋅⋅= ，因为//OE BA ，BD BA ⊥,故BD OE ⊥，且BD CO ⊥，OE CO O ⋂=,故BD ⊥面COE ,因为E 为AD 中点，O 为BD 中点，故4ABD DOE S S = ,则三棱锥C ABD -的体积:14443C ABD C DOE D COE COE V V V S OD ---===⨯⨯= .18. 已知函数()ln(1)f x a x =-，2()2g x x x =-.（1）如果函数()f x 在(2,(2))f 处的切线，也是()g x 的切线，求实数a 的值.（2）若()()()F x g x f x =-在11,e 1e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在极小值()0F x ，试求()0F x 的范围.（3）是否存在实数a ，使得函数2(1)G()(1)2(1)g x x f x x +=+-+有3个零点，若存在，求出所有实数a 的取值集合，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2 （2）(2e 1,0⎤--⎦ （3）()0,1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用极值点的定义，得出()2021a x =-，然后构造函数求出()0F x 的范围即可；（3）根据G()x 的单调性对a 进行分类讨论，注意1G(G()0x x+=，然后转化为G()x 在()1,+∞上有唯一零点求解即可.【小问1详解】(2)0f =，(),(2)1af x f a x ''==-，故()f x 在(2,(2))f 处的切线为()2y a x =-，()2y a x =-也是()g x 的切线，故方程()222x x a x -=-只有一个解，即()2220x a x a -++=只有一个解，()2280a a +-=，解得2a =.【小问2详解】()2()()()2ln 1F x g x f x x x a x =-=---，()221()2211x a a F x x x x --'=--=--，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 无极值点，不符合题意；当0a >时，在1,1⎛+ ⎝上，()0F x '<，()F x 单调递减；在1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0F x '>，()F x 单调递增；故()F x的极小值点01x =+，则()2021a x =-，故()()()02020002112ln F x x x x x =----，设01t x =-，011,e 1e x ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2201ln 2F x t t t =--，设()221l 2n h t t t t =--，则()4ln h t t t '=-，1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 单调递增；()1,e t ∈时，()0h t '<，()h t 单调递减；()()22131,e e 1,10e eh h h ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，故()(2e 1,0h t ⎤∈--⎦,即()(20e 1,0F x ⎤∈--⎦【小问3详解】2(1)1G()(1)2ln 2(1)1g x x x f x a x x x +-=+-=-++，0x >，()()()222144()11a x x a G x x x x x +-'=-=++， 当0a ≤时，()0G x '<，G()x 在()0,∞+单调递减，不存在3个零点；当1a ≥时，()()()()22221414()011a x x x x G x x x x x +-+-'=≥≥++，G()x 在()0,∞+单调递增，不存在3个零点；当01a <<时，()()221414()112a x x G x a x x x x x ⎛⎫⎪+-'==- ⎪+ ⎪++⎝⎭，因为12y x x=++在()1,+∞上单调递增，设()412q x a x x=-++，则()q x 在()1,+∞上也是单调递增，且()110q a =-<，当x →+∞，(),0q x a a →>，故存在唯一一个()01,x ∈+∞，使()00q x =，即在()01,x ，()4012q x a x x=-<++，14()012G x a x x x ⎛⎫ ⎪'=-< ⎪ ⎪++⎝⎭，G()x 单调递减；在()0,x +∞，()0q x >，()0G x '>，G()x 单调递增；且G(1)0=，故0G()G(1)0x <=，且224G(e )0e 1aa=>+，故G()x 在()1,+∞有唯一零点，1G()ln 21x x a x x -=-+，故1G()G()0x x+=，当1x >时，101x<<，因为G()x 在()1,+∞有唯一零点，故G()x 在()0,1也有唯一零点，故当01a <<，G()x 有3个零点;综上所述，所有实数a 的取值集合为()0,1.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 对于任意*N n ∈，向量列{}n a 满足1n n a a d +-=.（1）若1(0,3)a =- ，(1,1)=d ，求n a 的最小值及此时的n a .（2）若(),n n n a x y = ，(,)d s t =，其中n x ，n y ，s ，t R ∈，若对任意*n ∈N ，120n x x x +++≠ ，设函数()||f x x x =，记()()()1212()n nf x f x f x F n x x x +++=+++ ，试判断()F n 的符号并证明你的结论.（3）记1(0,0)a = ，0d ≠，n n c a = ，对于任意*m ∈N ，记123()m S m c c c c =+++ ，若存在实数1c =和2，使得等式123123()m m S m c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 成立，且有()507S m =成立，试求m 的最小值.【答案】（1）min ||n a = ()22,1a =- 或()321,a =-（2）()0F n >，证明见解析 （3）30【解析】【分析】（1）利用累加法求出()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，进而得到答案；（2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可；（3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.【小问1详解】因为1n n a a d +-=对任意*N n ∈成立，所以有21a a d -= 23a a d-= L L L L 1n n a a d--= 将上述各式相加得()11n a a n d =+- ，又因为1(0,3)a =- ，(1,1)=d ,所以()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，所以有n a === ，又*N n ∈，当2n =或3n =时，min ||n a = ()21,2a =- 或()32,1a =-.【小问2详解】可判定()0F n >，（1）因为*N n ∈，120n x x x +++≠ 所以数列{}n x 不可能是各项均为0的常数列；（2）当数列{}n x 为非零常数列时，任意*N n ∈，10n x x =≠若1>0x ，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++===>+++ ，若10x <，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++-===->+++ ，故当数列{}n x 为非零常数列时，()0F n >.（3）当数列{}n x 为公差不为0的数列时，因*N n ∈，120n x x x +++≠ ，若()11202n n n x x x x x ++++=> ①，由等差数列性质有1213210n m n n n m x x x x x x x x --+-+=+=+==+> ，其中2,1,,m n= 又()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，则由10m n m x x +-+>可得1n m m x x +->-，所以有()()()11m n m n m f x f x f x +-+->-=-，即()()10m n m f x f x +-+->，2,1,,m n = ，所以有()()()()()()()()()12121120n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++++>⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，即()()()120n f x f x f x +++> ②，所以由①②知()0F n >.同理可证明若()11202n n n x x x x x ++++=< ，利用函数()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，可证()()()120n f x f x f x +++< ，所以有()0F n >.综上可知()0F n >恒成立.【小问3详解】()()111n a a n d n d =+-=-，所以()1n n c a n d ==- ，即{}n c 为等差数列，所以()()()12310212mm m S m c c c c d d m d d -=+++=++++-=，由题意知()1231231111m m S m c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 123|2||2||2||2|507m c c c c =-+-+-+-= ，构造函数()23507f x x d x d x d x m d =-+-+-++-=，则()1215070m m m m f c d c c c c --+=++++-=，()121111115070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--=，()121222225070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--= ，所以函数()f x 至少有三个零点: ||,||,1,||2m m m c d c d c d ++-+- 若使得()f x 有三个零点，则存在区间,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，使得()f x 为常数，且三个零点均在,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 内，所以m 必为偶数，且||2d ≥ ， 于是有21122(1)02m m m m m d c d c d c d d m d f ⎧⎛⎫≤+-≤+-≤+≤+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫+⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭⎩ ， 故有225074d m d ⎧≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，其中()()()2(1)132150722224m dm d m d m m d m f d ⎛⎫+---- ⎪=+++=- ⎪⎝⎭ ，实际上2(1)15072224m d m m m f f d f d d ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，化简得224507m ≤⨯，解得31m ≤，又m 为偶数，故m 的最大值为30.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列的通项公式以及求和公式，难度较大，解得本题的关键在于理解题意，然后结合数列的相关知识解答.。

2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A ∩B ＝ Ｗ.2. 复数z ＝1＋2ii(i 为虚数单位)的虚部是 Ｗ.3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是 Ｗ.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 Ｗ.5. 已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是 Ｗ.6. 如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出n 的值为 Ｗ.7. 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为 Ｗ.8. 曲线y ＝x ＋2e x在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 Ｗ.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 Ｗ.10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为 Ｗ.11. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝ Ｗ. 12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是 Ｗ.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM →·AN →的最小值是 Ｗ.14. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是 Ｗ.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.求证： (1) 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2) C 1F ∥平面ABE .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2bc cos A ＝2c －3a . (1) 求角B 的大小；(2) 设函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3－34)，求f (A )的最大值.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于点M ，求点M 的坐标.如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为 5千米，从地铁站O 出发有两条道路l 1，l 2，经测量，l 1，l 2的夹角为45°，OP 与l 1的夹角θ满足tan θ＝12(其中0<θ<π2)，现要经过P 修一条直路分别与道路l 1，l 2交汇于A ，B 两点，并在A ，B 处设立公共自行车停放点.(1) 已知修建道路PA ，PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A ，B 点的位置.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－4a (a ，b ∈R ). (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求b a的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”.(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立. ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立.2019届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ，求实数m ，n 的值.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程是ρ＝4cos θ.在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t (t 为参数).若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C. (选修45：不等式选讲)设a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.(1) 求概率P(ξ＝2)；(2) 求ξ的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝AD，PA与平面PBC所成角的正弦值为21 7.(1) 求侧棱PA的长；(2) 设点E为AB中点，若PA≥AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷(苏州)数学参考答案及评分标准1. {3}2. －13. 254.536 5. 13 6. 3 7. 10 8. 239. 2 3 10. (x －5)2＋(y －2)2＝17 11. 11812. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1]15. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC . 因为AB ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB .(2分)因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1.(4分)又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(6分)(2) 取AB 中点G ，连结EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .(8分)因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，(11分) 所以C 1F ∥EG .因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，因为2b cos A ＝2c －3a ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以2sin B cos A ＝2sin C －3sin A .(2分) 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )，所以2sin B cos A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ， 所以3sin A ＝2cos B sin A ，(4分) 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝32. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(6分)(2) f (x )＝cos x ·(sin x ·cos π3＋cos x ·sin π3)－34(8分)＝12sin x ·cos x ＋32cos 2x －34＝14sin 2x ＋34(cos 2x ＋1)－34＝12sin(2x ＋π3)，(10分) 所以f (A )＝12sin(2A ＋π3).在△ABC 中，B ＝π6，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ∈(0，5π6)，(12分)所以2A ＋π3∈(π3，2π)，所以当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，f (A )的最大值为12.(14分)17. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分)所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y 23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1，则点B 的坐标为(－1，32).(9分)由题意，得右焦点F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－34(x －1).(11分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34（x －1），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分)所以点M 坐标为(137，－914).(14分)18. 解：(1) 以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系， 因为0<θ<π2，tan θ＝12，所以OP ：y ＝12x .设P (2t ，t )，由OP ＝5，得t ＝1，所以P (2，1).(2分)(解法1)由题意得2m ·PA ＝m ·PB ，所以BP ＝2PA ，所以点B 的纵坐标为3. 因为点B 在直线y ＝x 上，所以B (3，3)，(4分)所以AB ＝32PB ＝352.(解法2)由题意得2m ·PA ＝m ·PB ，所以BP →＝2PA →.设A (a ，0)(a >0)，又点B 在射线y ＝x (x >0)上，所以可设B (b ，b )(b >0)，由BP →＝2PA →，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，(4分)所以A (32，0)，B (3，3)，AB ＝（3－32）2＋32＝352.答：点A ，B 之间的距离为352千米.(6分)(2) (解法1)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小. 当AB ⊥x 轴时，A (2，0)，这时OA ＝2，OB ＝22， 所以y ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10.(8分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0). 令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k；令x ＝y ，得点B 的横坐标为2k －1k －1.(10分) 因为2－1k >0，且2k －1k －1>0，所以k <0或k >1，此时y ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1，y ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2.(12分)当k <0时，y 在(－∞，－1)上递减，在(－1，0)上递增， 所以y min ＝y |k ＝－1＝9<10，此时A (3，0)，B (32，32)；(14分)当k >1时，y ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）>10.综上，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)(解法2)如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N ，因为P (2，1)，所以OQ ＝1.因为∠BOQ ＝45°，所以QM ＝1，OM ＝2， 所以PM ＝1，PN ＝OM ＝ 2.由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB＝PA AB ，1OA ＝PBAB，(8分)所以2OB＋1OA ＝PA AB ＋PBAB＝1.(10分)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小.y ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB )(2OB＋1OA)＝5＋2(OA OB ＋2OBOA)≥9，(14分) 当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322.答：要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)19. 解：(1) 当a ＝b ＝1时，f (x )＝x 3＋x 2－4，f ′(x )＝3x 2＋2x .(2分) 令f ′(x )>0，解得x >0或x <－23，所以f (x )的单调增区间是(－∞，－23)和(0，＋∞).(4分)(2) (解法1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2b 3a .(6分)因为函数f (x )有两个不同的零点，所以f (0)＝0或f (－2b3a )＝0.当f (0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分) 当f (－2b 3a )＝0时，代入得a (－2b 3a )3＋b (－2b 3a )2－4a ＝0，即－827(b a )3＋49(b a )3－4＝0，所以ba ＝3.(10分)(解法2)由于a ≠0，所以f (0)≠0，由f (x )＝0，得b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x (x ≠0).(6分)设h (x )＝4x 2－x ，h ′(x )＝－8x3－1，令h ′(x )＝0，得x ＝－2.当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增. 当x >0时，h (x )的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x 有且仅有一个根；(8分)当x <0时，h (x )min ＝h (－2)＝3，所以b a ＝3时，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3) 当a ＝0时，因为f (x )<ln x ，所以bx 2<ln x . 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx2x(x >0).当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0，所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；(11分) 当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx2x＝0，得x ＝12b， 所以g (x )在(0，12b )上递增，在(12b，＋∞)上递减， 所以g (x )max ＝g (12b)＝ln 12b －12. 要使g (x )>0有解，首先要满足ln12b －12>0，解得b <12e①.(13分) 因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝12－b e>0，要使f (x )<ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 2－4b >0，ln 3－9b ≤0，解得ln 39≤b <ln 24 ②.(15分)设h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2. 当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减. 所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln 22，所以12e >ln 24.由①②，得ln 39≤b <ln 24.(16分)20. 解：(1) 假设数列{a n }是“回归数列”， 则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立，即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以数列{a n }不是“回归数列”.(4分) (2) ① 因为b n <b n ＋1，所以b n ＋1<b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1>b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )<b n ＋2. 又数列{b n }为“回归数列”，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1， 即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列.(6分)因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *).(8分)②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝3s ＋1＋s 2－13s ＋s 2－1(*).因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3. 又t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)当t ＝1时，(*)式整理为3s＝0，不成立.(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1， 所以当n ＝1时，c n <c n ＋1；当n ≥2时，c n >c n ＋1， 所以(c n )max ＝c 2＝13<1，所以s 无解.(14分)当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.综上所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)2019届高三模拟考试试卷(四)(苏州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn －1402n －6－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧mn －14＝1，2n －6＝0，－14＋3m ＝1，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.(10分)B. 解：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3分)又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0.(6分)因为直线l 与圆C 相切，所以|2－m |2＝2，所以m ＝2±2 2.(10分)C. 证明：因为(a ＋b ＋c )(a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b)＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b )(4分) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c 2a ＋b＋b ＋ca 2b ＋c＋c ＋ab 2c ＋a 2＝12(a ＋b ＋c )2，(8分) 所以a 2b ＋c＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).(10分)22. 解：(1) 当ξ＝2时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任三个， 所以P (ξ＝2)＝C 34C 35＝410＝25.(2分)(2) ξ的可能取值为2，5，2 2.P (ξ＝2)＝25；P (ξ＝5)＝4C 35＝25；(4分)P (ξ＝22)＝C 12C 35＝15.(6分)所以ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望为E (ξ)＝2×25＋5×25＋22×15＝22＋25＋45.(10分)23. 解：(1) 取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ， 因为PA ＝AD ，所以OP ⊥AD . 因为平面PAD 上平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP ⊥OA ，OP ⊥OM .又四边形ABCD 是正方形，所以OA ⊥OM .以O 为原点，OA ，OM ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，(1分) 则A (12，0，0)，D (－12，0，0)，B (12，1，0)，C (－12，1，0).设P (0，0，c )(c >0)，则PB →＝(12，1，－c )，CB →＝(1，0，0).设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，(3分)则⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1－cz 1＝0，x 1＝0，取z 1＝1，则y 1＝c ，从而n 1＝(0，c ，1).设PA 与平面PBC 所成角为α，因为PA →＝(12，0，－c )，所以sin α＝|cos 〈PA →，n 1〉|＝|PA →·n 1||PA →|·|n 1|＝c14＋c 2·c 2＋1＝217， 解得c 2＝34或c 2＝13，所以PA ＝1或PA ＝216.(5分)(2) 由(1)知，PA ≥AB ＝1，所以PA ＝1，c ＝32. 由(1)知，平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)＝(0，32，1).(6分) 设平面PCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，而CE →＝(1，－12，0)，PC →＝(－12，1，－32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝3，即n 2＝(1，2，3).(8分)设二面角BPCE 的平面角为β，所以|cos β|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2372×22＝67＝427. 根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.(10分)。