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高考数学22题题型归纳一、题型介绍高考数学中的22题通常是作为压轴题目出现，主要考查学生的思维能力、解题能力以及对于知识的综合运用能力。
该题型通常分为几个小题，需要逐步解决，因此对于学生来说，该题型的得分难度较大。
二、解题方法1. 熟练掌握基础知识：对于该题型来说，基础知识的重要性不言而喻。
只有熟练掌握了相关的数学概念、公式、定理，才能应对复杂的问题。
2. 建立知识框架：在解题前，应该先建立一个清晰的知识框架，了解哪些知识点可能会在题目中出现，哪些方法可以用来解题。
3. 找准解题切入点：解题时，要找准切入点，一般是从题目中的条件出发，逐步推导出结论。
4. 善于总结经验：解题后，要善于总结经验，对于经常出现的题型，要总结出自己的解题方法，对于不同的题目要采用不同的方法。
三、例题解析在这里，我们将通过几个例题来具体解析高考数学22题的解题方法。
请注意，这些例题只是为了说明问题，实际解题时应该根据实际情况灵活应对。
【例题】：已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)在区间[2, 4]上的最大值和最小值。
解题思路：首先需要求出函数的导数，然后通过导数判断函数的单调性，最后求出极值和最值。
在这个题目中，我们需要用到导数的知识，这是解决这类问题的关键。
解：由题可知，函数f(x)在区间[2, 4]上连续且可导。
f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 3，当x=2或x=3时，f'(x)=0。
又因为f(x)在区间[2, 4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)=1，最大值为f(4)=6。
四、备考建议1. 注重基础知识的掌握和应用：基础知识是解决所有数学问题的关键，对于高考数学22题来说更是如此。
因此，在备考过程中，一定要注重基础知识的掌握和应用。
2. 加强解题能力的训练：解题能力是解决数学问题的核心能力，需要通过大量的练习来提高。
建议在备考过程中，多做一些相关题目，加强自己的解题能力。
2023年高考数学22题讲解
2023年高考数学第22题是一道关于轨迹和几何证明的题目，难度较大。
题目描述如下：在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，1/2）的距离，记动点P的轨迹为W。
(1) 求W的方程；
(2) 已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于
3√3。
关于第一问，我们可以根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题目中点P到x轴的距离等于点P到点（0，
1/2）的距离，即可求出W的方程。
关于第二问，我们需要证明矩形的周长大于3√3。
可以通过构造法，在抛物线W上取特殊的矩形ABCD，利用特殊值代入法计算出周长，再利用不等
式的性质进行证明。
由于题目难度较大，这里只给出题目的解题思路和部分答案。
如果需要更详细的解答过程和完整答案，建议查阅2023年高考数学试题解析或向数学老师请教。
2023新高考二卷数学22题解析一、题目分析在新高考二卷中，数学22题通常被视为一个具有一定难度的解答题。
它主要考察学生对函数、导数以及圆锥曲线等知识点的综合运用能力。
题目通常涉及多个知识点的组合，如函数的单调性、极值与最值，导数的应用，以及圆锥曲线的几何性质等。
因此，对于大部分考生来说，这道题是一道具有挑战性的题目。
二、解题步骤1. 审题：首先，我们需要仔细阅读题目，理解题目的要求和给出的信息。
特别要注意题目中的关键词和关键数据。
2. 建立模型：根据题目所给的条件，建立相应的数学模型。
这可能涉及到函数、导数、圆锥曲线等知识点。
3. 求解：在建立了相应的数学模型后，我们需要运用所学的数学知识进行求解。
这可能包括求函数的单调性、极值和最值，导数的应用，以及圆锥曲线的几何性质等。
4. 验证：求解后，我们需要对结果进行验证，以确保结果的正确性。
5. 书写答案：将求解和验证的结果按照题目要求书写成完整的答案。
三、题目解析假设题目中的函数为f(x)，已知曲线C：y = f(x)上的点P(x0,f(x0))处切线过原点，求证：当x0≠0时，$f^{\prime}(x_{0}) \cdot x_{0} \neq 0$。
【分析】根据题意，我们可以将问题转化为证明当$x_{0} \neq 0$时，曲线C上点$P(x_{0},f(x_{0}))$处的切线与$x$轴不垂直。
由此，我们可以运用导数的几何意义和斜率公式进行证明。
【解答】首先，根据导数的几何意义，可得曲线C上点$P(x_{0},f(x_{0}))$处的切线斜率为$k = f^{\prime}(x_{0})$。
假设当$x_{0} \neq 0$时，曲线C上点$P(x_{0},f(x_{0}))$处的切线与$x$轴垂直，即$k = f^{\prime}(x_{0}) = 0$。
此时，由导数的定义可得$f^{\prime}(x_{0}) = 0$，这与已知条件矛盾。
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题02 复数【主题考法】本主题考查形式为选择或者填空题，主要考查复数的概念、四则运算、几何意义等等复数知识，考查运算求解能力，为基础题.2020年的高考仍将以选择或填空形式考查复数的概念、四则运算、几何意义等等复数知识，考查运算求解能力，为基础题，分值为5分.【主题考前回扣】1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的分类①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.(2)共轭复数复数z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i.(3)复数的模复数z＝a＋b i的模|z|＝a2＋b2.(4)复数相等的充要条件a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋b i＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)复数的运算法则加减法：(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.()其中a，b，c，d∈R.2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )． (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 【易错点提醒】1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项． 【主题考向】 考向一 复数的概念 【解决法宝】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若b ≠0且a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0. (3)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数，复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i.2.复数的概念问题，关键在理解概念的基础上，利用复数的有关概念解题. 例1已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（ ）A. 1i -B. 1i +C.43i - D. 43i + 【分析】先设出复数z ，再利用复数相等的充要条件求出复数z.【解析】设(),z a bi a b R =+∈，则22z a b =+，由已知有223a bi a b i +++=+，所以223{ 1a a b b ++== ，解得4{ 31a b == ，即43z i =+，选D.考向二 复数的运算 【解决法宝】复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．例2设复数z 满足()13z i i +=-，则复数zi的实部为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数的概念求出z 的共轭复数，利用方式的除法求出复数zi，即可求出其实部..考向三 复数的几何意义 【解决法宝】1.复数z ＝a ＋b i←――→一一对应有序实数对(a ，b )←――→一一对应点Z (a ，b )． 2.一般情况下复数不能比较大小。
湖北2023年高考数学22题讲解题目描述：
已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点P（1，2），且函数f(x)的图像在点P 处的切线方程为y=3x-1。
求函数f(x)的解析式。
解题思路：
要求函数f(x)的解析式，即需要确定函数f(x)的系数a、b、c的值。
已知函数的图像经过点P（1，2），根据点的坐标可得到一个方程。
另外，题目还给出了函数f(x)的图像在点P处的切线方程，根据切线的性质，可以得到另一个方程。
通过解这两个方程，可以求解出函数f(x)的解析式。
解题步骤：
1. 利用点P的坐标，代入函数f(x)的解析式中，得到方程：a(1)^2+b(1)+c=2，化简为a+b+c=2。
2. 根据切线方程y=3x-1，可知切线的斜率为3。
由函数f(x)的图像在点P处的切线的斜率等于函数f(x)的导数在点P处的值，可以得到导数的表达式为f'(x)=3。
3. 由函数f(x)的解析式f(x)=ax^2+bx+c，求导得到f'(x)=2ax+b。
4. 代入x=1，得到2a+b=3。
5. 解方程组a+b+c=2和2a+b=3，可以求解出a、b、c的值。
解得a=1，b=1，c=0。
6. 将求得的a、b、c代入函数f(x)的解析式中，即得到函数f(x)的解析式为
f(x)=x^2+x。
最终，函数f(x)的解析式为f(x)=x^2+x。
高考数学22题知识点高考数学是每个求学者所面临的重要考试之一。
其中，第22题无疑是让许多考生头疼的题目。
这题所涉及的知识点十分关键，对于考生来说至关重要。
本文将从几个重要的角度详细探讨高考数学第22题涉及的知识点。
首先，我们来看一下这道题目的内容。
假设已知函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，且对于任意$x_1,x_2\in(a,b)$，都有$f(x_1)f(x_2)<0$成立。
我们需要思考的是，这个条件对于函数$f(x)$在区间$(a,b)$上是否至少存在一个零点？在解决这个问题之前，我们首先要明确的概念是连续函数和零点。
连续函数是一种函数，在其定义域上所有点都是连续的，即函数图像是一条连续的曲线。
而零点指的是函数的图像与$x$轴交点的位置，也就是函数在某个输入值下的输出为0。
根据这道题目的描述，函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续。
这意味着函数图像在这个区间上没有断裂或者跳跃的点。
对于任意给定的$a$和$b$，由于$f(x_1)f(x_2)<0$，我们可以推断函数在区间$(a,b)$上必然经过$x$轴，也就是至少存在一个零点。
这个结论可以通过中值定理来证明。
中值定理是微分学中的一个重要定理，它描述了如果一个函数在一个闭区间上连续，并且可微，那么在这个区间上至少存在一点，使得函数的导数等于函数在该区间端点上的斜率。
回到我们的问题上，我们可以假设$a$和$b$分别是函数在区间$(a,b)$上的两个零点。
根据中值定理，我们可以找到一个点$c$，它处于$a$和$b$之间，并且函数在这个点处的导数等于函数在$a$和$b$处的斜率。
根据题目条件$f(c)f(a)<0$和$f(c)f(b)<0$，我们可以得出结论，函数$f(x)$在$(a,b)$区间内至少有一个零点。
可以说，这道高考数学第22题主要涉及的知识点是函数的零点与区间，以及中值定理。
理解了这个题目的背后所涉及的基本概念和定理，我们就能够更好地应对这种类型的题目。
第22讲双变量问题知识梳理破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.必考题型全归纳题型一：双变量单调问题例1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(2)设2a ≤-，证明：对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-．例2．（2024·安徽·校联考三模）设a R ∈，函数()()()2ln 11f x a x a x =-+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点()()1,1f --处的切线与直线820x y +-=平行，且对任意()12,,0x x ∈-∞，12x x ≠，不等式()()1212f x f x m x x ->-恒成立，求实数m 的取值范围.例3．（2024·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数2()(1)ln 1.f x a x ax =-++（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a ≥时，任意的120x x >>，总有1212|()()|2||f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围.变式1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()1log 2a m f x x x =+-，m ∈R ，0a >且1a ≠．（1）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，若对任意的120x x >>，不等式()()21121212x f x x f x x x -<-恒成立，求实数m 的取值范围．变式2．（2024·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当a<0时，证明()324f x a≤--；(3)若对任意的不等正数12,x x ，总有()()12122f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围．题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）已知52a <，若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，求2112()()+f x f x x x 的取值范围.例5．（2024·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数()()2ln R f x x x ax a =+-∈(1)若1a =，求函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；(2)当0a >时，讨论f （x ）的单调性；(3)设f （x ）存在两个极值点12,x x 且12x x <，若110x 2<<求证：()()123ln 24f x f x ->-.例6．（2024·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数2()2ln f x x ax x =++（a 为常数）(1)讨论()f x 的单调性(2)若函数()f x 存在两个极值点12x x ，()12x x <，且2183x x -≤，求()()12f x f x -的范围.变式3．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数()21ln ()2f x x a x =+-，其中a ∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若()f x 存在两个极值点()()()121221,,x x x x f x f x <-的取值范围为315ln2,2ln248⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围．变式4．（2024·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数()()2230e xx a x a f x x -+-+-=>（）(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，记()()1212(,)h x x f x f x =,求()12,h x x 的取值范围.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()211ln 412f x x a x x =++-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()()12124f x f x f x x a '+≥-，求a 的取值范围．变式6．（2024·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数2()e (1)e (R)x x f x a x a a =+-+∈．(1)当2e 2a -=时，求2()()e x g x f x -'=的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②证明：1223x x +>．题型三：双变量不等式:极值和差商积问题例7．（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知a ∈R ，函数()ln 222af x x x x x=-++.(1)当0a =时，求()f x 的单调区间和极值；(2)若()f x 有两个不同的极值点1x ，()212x x x <.（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：12eln 2ln 3ln 22x x +<--（e 2.71828=……为自然对数的底数）.例8．（2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数()e e ()x x f x ax a -=--∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()121220f x f x a x x --<<-．例9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x ax a =+-．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若()f x 存在两个极值点1x 、2x ，求实数a 的取值范围，并证明：1202x xf +⎛⎫> ⎪⎝⎭．变式7．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ≥时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2e ln 2tx g x f x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2ee 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）设1x ，()2120x x x <<是函数()()g x f x x =+的两个极值点，证明：()()12ln 2ag x g x a -<-恒成立．变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R .（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若21()()2g x f x x =+有两个极值点12,x x ，求证：()()1230g x g x ++<.题型四：双变量不等式:中点型例10．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数()()2ln 2f x x ax a x a R =-+-∈，．（1）已知1x =为()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()()g x f x ax =+的单调性；（3）当12a <-时，若对于任意()()1212,1,x x x x ∈+∞<，都存在()012,x x x ∈，使得()()()21021f x f x f x x x -'=-，证明：2102x x x +<．例11．（2024·湖北武汉·统考一模）已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设0a >，证明：当0x a <<时，()()f a x f a x +<-；（Ⅲ）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明1202x xf +⎛⎫> ⎪⎝⎭'.例12．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数2()(12)ln f x x a x a x =+--(R a ∈且0)a ≠.（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当2a >时，若函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明:0()0f x '>.变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.变式11．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =+++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 图象上不重合的两点()112212,,(,)()A x y B x y x x >.证明：12'()2AB x x k f +>.（AB k 是直线AB 的斜率）变式12．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数()222ln f x x ax x =-+（0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x xy x x g '+⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围是[)ln 31,-+∞，求实数a 的取值范围．题型五：双变量不等式:剪刀模型例13．（2024·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数()()()e (0)xf x x b a b =+->在点(1-，()1f -)处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=．(1)求a 、b ；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴负半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝h (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≥h (x )；(3)若关于x 的方程()()0f x m m =>有两个实数根1x 、2x ，且12x x <，证明：()2112e 11em x x --+-．例14．（2024·辽宁沈阳·统考三模）已知函数()()()()20x f x x b e a b =+->在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()1102e e x ey --++=．（1）求a ，b ；（2）函数()f x 图像与x 轴负半轴的交点为P ，且在点P 处的切线方程为()y h x =，函数()()()F x f x h x =-，x ∈R ，求()F x 的最小值；（3）关于x 的方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：211221m mex x e+-≤--．例15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()e 1x f x ax =-+，ln 3是()f x 的极值点．(1)求a 的值；(2)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线为直线l ．求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；(3)若关于x 的方程()(0)f x m m =>有两个不等实根1x ，212()x x x <，求证：217210mx x -<-．变式13．（2024·安徽·校联考二模）已知函数()3e 1xf x x =-+，其中e 2.71828= 是自然对数的底数.(1)设曲线()y f x =与x 轴正半轴相交于点()0,0P x ，曲线在点P 处的切线为l ，求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；(2)若关于x 的方程()f x m =（m 为正实数）有两个不等实根()1212,x x x x <，求证：21324x x m -<-.变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数4()g x x =，x R ∈，在点()1,(1)g 处的切线方程记为()y m x =，令()()()3f x m x g x =-+．(1)设函数()f x 的图象与x 轴正半轴相交于P ，()f x 在点P 处的切线为l ，证明：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；(2)关于x 的方程()(f x a a =为正实数）有两个实根1x ，2x ，求证：21||23ax x -<-．题型六：双变量不等式:主元法例16．（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数()ln f x x x =．(1)求函数()f x 的单调区间和最小值；(2)当0b >时，求证：11e e b b ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数）；(3)若0a >，0b >求证：()()()()ln 2f a a b f a b f b ++≥+-．例17．（2024·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数()ln f x x x =．(1)求曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的最小值，并证明：当0b >时，1e1e b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥．（其中e 为自然对数的底数）例18．（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．变式15．（2024·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知函数e ()(ln )=+-xf x a x x x（其中a R ∈且a 为常数，e 为自然对数的底数，e 2.71828)=⋯．(1)若函数()f x 的极值点只有一个，求实数a 的取值范围；(2)当0a =时，若()f x kx m +（其中0)m >恒成立，求(1)k m +的最小值()h m 的最大值．变式16．（2024·全国·高三专题练习）设函数()ln f x x x =.(1)求()f x 的极值；(2)设()(1)g x f x =+，若对任意的0x ，都有()g x mx 成立，求实数m 的取值范围；(3)若0a b <<，证明：0()()2()()ln 22a b f a f b f b a +<+-<-.变式17．（2024·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）已知()()2365R f x x x x =--∈函数.(1)求不等式()4f x >的解集；(2)设函数()()24g x f x x mx =-+，若存在x ∈R ，使得()0g x >，求实数m 的取值范围；(3)若对任意的[]1,2a ∈，关于x 的不等式()()226f x x a x a b ≤-+++在区间[1,3]上恒成立，求实数b 的取值范围。
必考问题5 函数、导数、不等式的综合问题(2012·山东)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2.解 (1)由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－k x －xln xxe x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )，所以g(x )＝1e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)．所以当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )＞0，函数h(x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )＜0，函数h(x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2)＝1＋e －2.又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1ex ＜1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2.综上所述结论成立．导数与函数、方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．题型以解答题的形式为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力．解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.利用导数解决方程根的问题常考查：①确定零点，图象交点及方程解的个数问题；②应用零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或范围．该类试题一般以含参数的高次式、分式、指数式或对数式结构的函数、方程呈现．主要考查学生转化与化归、数形结合思想，以及运用所学知识解决问题的能力．【例1】► 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)由f ′(3)＝0求a ；(2)由f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，求函数f (x )的单调区间；(3)求f (x )的极值，结合图象可确定b 的取值范围．解 f (x )的定义域：(－1，＋∞)． (1)f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10，又f ′(3)＝a4＋6－10＝0，∴a ＝16.经检验此时x ＝3为f (x )极值点，故a ＝16. (2)f ′(x )＝161＋x ＋2x －10＝2x 2－8x ＋6x ＋1＝2(x －1)(x －3)x ＋1.当－1<x <1或x >3时，f ′(x )>0； 当1<x <3时，f ′(x )<0.∴f (x )单调增区间为：(－1,1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21.因为f (16)>162－10×16>16ln 2－9＝f (1)， f (e －2－1)<－32＋11＝－21<f (3)，所以在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (3)<b<f (1)．因此b 的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．【突破训练1】 (2012·聊城二模)设函数f (x )＝(1＋x )2－2ln (1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝x 2＋x ＋a 在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围． 解 (1)函数的定义域为(－1，＋∞)， 因为f (x )＝(1＋x )2－2ln (1＋x )，所以f ′(x )＝2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)－1x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1，由f ′(x )＞0，得x ＞0；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜0， 所以，f (x )的递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)． (2)方程f (x )＝x 2＋x ＋a ，即x －a ＋1－2ln (1＋x )＝0， 记g(x )＝x －a ＋1－2ln (1＋x )(x ＞－1)， 则g ′(x )＝1－21＋x ＝x －1x ＋1，由g ′(x )＞0，得x ＞1； 由g ′(x )＜0，得－1＜x ＜1.所以g(x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增． 为使f (x )＝x 2＋x ＋a 在[0,2]上恰有两个相异的实根， 只须g(x )＝0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≥0，g (1)＜0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，2－a －2ln 2＜0，3－a －2ln 3≥0，解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3，故实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3]．利用导数解决不等式恒成立问题通常考查高次式、分式或指数式、对数式、绝对值不等式在某个区间上恒成立，求参数的取值范围，试题涉及到的不等式常含有一个或两个参数．【例2】► (2011·湖北)设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数．已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a ，b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1＜x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )＜m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)基础；(2)根据已知条件f (x )＋g(x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2可列一方程，由判断式Δ可得m 的范围，再将已知条件：对任意x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g(x )＜m (x －1)恒成立，转化为f (x )＋g(x )－mx ＜－m 恒成立，从而求f (x )＋g(x )－mx 的最大值．解 (1)a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得，f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f (x )＋g(x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m )＞0，即m ＞－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]， f (x )＋g(x )＜m (x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g(x 1)－mx 1＜－m 成立， 得m ＜0.由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3＞0，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x ＞0， 则f (x )＋g(x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0， 又f (x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g(x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0. 于是当m ＜0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]， f (x )＋g(x )＜m (x －1)恒成立． 综上，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0.(1)利用导数方法证明不等式f (x )＞g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )＞0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．(2)利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型，体现了导数的工具性作用，将函数、不等式紧密结合起来，考查了学生综合解决问题的能力．【突破训练2】 已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝ln xx .(1)求函数g (x )＝ln xx的单调递增区间；(2)若不等式f (x )≥g (x )在区间(0，＋∞)上恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)∵g(x )＝ln xx (x ＞0)，∴g ′(x )＝1－ln xx 2，令g ′(x )＞0，得0＜x ＜e ，故函数g(x )＝ln xx 的单调递增区间为(0，e )．(2)∵x ∈(0，＋∞)，由k x ≥ln x x ，得k ≥ln x x 2，令h(x )＝ln xx2，则问题转化为k 大于等于h(x )的最大值，又h ′(x )＝1－2 ln xx 3，令h ′(x )＝0时，x ＝e ，当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )、h (x )变化情况如下表：由表知当x ＝e 时，函数h(x )有最大值，且最大值为12e ，因此k ≥12e .导数的综合应用通常是证明与已知函数有关的关于x (或关于其他变量n 等)的不等式在某个范围内成立，求解需构造新函数，用到函数的单调性、极值(最值)，以及不等式的性质等知识完成证明．【例3】► 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)是否存在x 0＞0，使得|g (x )－g (x 0)|＜1x 对任意x ＞0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．[审题视点] [听课记录][审题视点] 第(2)问重新构造函数h(x )＝g(x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，利用导数研究这个函数的单调性． 第(3)问采用反证法，可先把|g(x )－g(x 0)|＜1x 等价变形为ln x ＜g(x 0)＜ln x ＋2x ，x ＞0，再在x ∈(0，＋∞)上任取一个值验证矛盾．解 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g(x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g(x )的单调减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g(x )的单调增区间． 因此，x ＝1是g(x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以最小值为g(1)＝1. (2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h(x )＝g(x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h(1)＝0，即g(x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0， 因此，h(x )在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x ＜1时，h(x )＞h(1)＝0，即g(x )＞g ⎝⎛⎭⎫1x ； 当x ＞1时，h(x )＜h(1)＝0，即g(x )＜g ⎝⎛⎭⎫1x . (3)满足条件的x 0不存在． 证明如下：假设存在x 0＞0，使|g(x )－g(x 0)|＜1x 对任意x ＞0成立，即对任意x ＞0，有ln x ＜g(x 0)＜ln x ＋2x，(*)但对上述x 0，取x 1＝e g(x 0)时，有ln x 1＝g(x 0)，这与(*)左边不等式矛盾， 因此，不存在x 0＞0，使|g(x )－g(x 0)|＜1x对任意x ＞0成立．另一种证法如下：假设存在x 0＞0，使|g(x )－g(x 0)|＜1x 对任意的x ＞0成立．由(1)知，g(x )的最小值为g(1)＝1， 又g(x )＝ln x ＋1x＞ln x ，而x ＞1时，ln x 的值域为(0，＋∞)， x ≥1时g(x )的值域为[1，＋∞)， 从而可取一个x 1＞1，使g(x 1)≥g(x 0)＋1. 即g(x 1)－g(x 0)≥1，故|g(x 1)－g(x 0)|≥1＞1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 1＞0，使|g(x )－g(x 0)|＜1x对任意x ＞0成立．本题有机地将函数、导数和不等式结合到一块，试题难度较大．本题分三小问，第(1)问较容易；第(2)问可以用平时练习常用的方法解决：首先使用构造函数法构造函数，再用导数求出函数的最大值或最小值，且这个最大值小于零，最小值大于零；第(3)问采用反证法，难度较大，难点在于不容易找到与题设矛盾的特例．【突破训练3】 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知，f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝l n 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )单调递增区间是(l n 2，＋∞)， f (x )在x ＝l n 2处取得极小值，极小值为f (l n 2)＝e l n 2－2l n 2＋2a ＝2(1－l n 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >l n 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(l n 2)＝2(1－l n 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0. 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >l n 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.分析法在函数与导数题中的应用近年来，高考对函数与导数大部分是以压轴题的形式考查的，试题难度较大，命题角度新颖，需要考生把生疏的问题通过分析转化为熟悉的问题，考查考生分析、解决问题的能力．下面以2012年新课标全国卷为例对分析法在导数中的具体应用作一介绍． 【示例】► (2012·新课标全国)设函数f (x )＝e x －ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0，求k 的最大值． [满分解答] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a ＞0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(5分)(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0等价于k ＜x ＋1e x －1＋x (x ＞0)．①(8分) 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2.由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)＜0，h (2)＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )＜0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k ＜g (α)，故整数k 的最大值为2.…(12分)老师叮咛：本题主要考查导数在解决函数单调性、函数的最值、函数的零点、不等式问题等方面的应用.其中，第(1)问求函数的导数，对字母a 进行讨论，根据导函数值的正负得到函数的单调区间.第(2)问将原不等式转化为k ＜g (x )的形式，利用导数法求出函数g (x )的值域，进而得到整数k 的最大值.【试一试】 设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时， f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0；若a ＞1，则当x ∈(0，l n a )时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，l n a )时g (x )＜0，即f (x )＜0.综上得a 的取值范围为(－∞，1]．。
