2020高考数学专题突破《解析几何》

专题六解析几何题型一直线方程及位置关系1．(1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1,1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4,2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝( B ) A.32 B.94 C.12D.14突破点拨(1)利用直线平行的判断方法．(2)先求AC 的值，再利用点到直线的距离公式求出点B 到AC 的距离，最后表示出面积． 解析 (1)直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1.故选C.(2)由两点间的距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0. 所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫m －322－14. 又1<m <4.所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．故选B.2．(1)(2017·湖南长沙模拟)在平面内，点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且l 1∥l 2∥l 3(l 2在l 1与l 3之间)，l 1与l 2之间的距离为a ，l 2与l 3之间的距离为b ，若AB →2＝AB →·AC →，则△ABC 的面积的最小值为( B )A.a ＋b 2B ．abC ．2abD.a 2＋b 22(2)(2017·湖北荆州调考)若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__2x －y －1＝0__.突破点拨(1)由AB →2＝AB →·AC →⇒AB →⊥BC →.(2)由圆心C (3,0)知k PC ＝－12，且MN ⊥PC .解析 (1)以直线l 2为x 轴，点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则l 1：y ＝a ，l 3：y ＝－b .由AB →2＝AB →·AC →，得AB →·CB →＝0，即AB ⊥BC .设直线AB 的斜率为k ，则AB ：y ＝kx ，得A ⎝⎛⎭⎫a k ，a ，直线BC ：y ＝－1k x ，得C (kb ，－b )，所以S △ABC ＝12⎝⎛⎭⎫a k 2＋a 2·(kb )2＋(－b )2 ＝122a 2b 2＋a 2b 2k 2＋k 2a 2b 2≥122a 2b 2＋2a 2b 2＝ab ， 当且仅当k ＝±1时等号成立．(2)圆心C 的坐标为(3,0)，直线PC 的斜率为－12，故直线MN 的斜率为2，所以直线MN的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(1)确定直线的几何要素是直线上的一点和直线的方向，刻画直线方向的要素是其倾斜角，当倾斜角不等于90°时可以使用斜率表示直线的方向．解题时要善于分析确定直线的几何要素，写出正确的直线方程．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意两直线斜率是否存在．题型二 圆的方程及性质1．(1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10(2)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( A )A ．5B ．10C ．15D ．20突破点拨(1)由已知三点，求出圆的方程，然后求出M ，N 的坐标，进而求出|MN |. (2)借助平面几何的相关知识辅助求解． 解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26， 所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26) 或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， 所以|MN |＝4 6.故选C.(2)由题意知圆心为O (0,0)，半径为2.设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连OM ，则有d 21＋d 22＝OM2＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5， 即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.2．(1)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为( A )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 B.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝2 D.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝2 (2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.突破点拨(1)利用已知条件和圆的性质求出圆心和半径即可． (2)先确定直线过的定点，再求圆的标准方程．解析 (1)由题设知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝⎛⎭⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝⎛⎭⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝(－3－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4，故选A. (2)直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.故所求方程为(x －1)2＋y 2＝2.圆的性质在求圆的方程中的应用(1)圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上．(2)圆上异于某直径端点的点与该直径的两端点连线垂直．(3)已知某圆与某直线相切，则过切点且垂直于该切线的直线必过该圆的圆心．题型三 直线与圆的位置关系1．(1)(2017·哈尔滨一模)过直线kx ＋y ＋3＝0上一点P 作圆x 2＋y 2－2y ＝0的切线，切点为Q .若|PQ |＝3，则实数k(2)(2017·江西重点学校模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0 . 突破点拨(1)考虑圆心到直线的距离的最大值．(2)利用数形结合，把问题转化为圆心C 到直线l 的距离小于或等于两个圆的半径之和问题．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径是r ＝1.根据题意，PQ 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，Q 是切点，|PQ |＝3，则|PC |＝2.当PC 与直线kx ＋y ＋3＝0垂直时，圆心到直线的距离最大．由点到直线的距离公式得|4|k 2＋1≤2，解得k ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)将圆C 的方程化为标准形式为(x ＋4)2＋y 2＝1，其圆心为(－4,0)，半径r ＝1.因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以圆心(－4,0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤r ＋1，即d ＝|－4k －2|k 2＋1≤2，整理可得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0.2．(1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( C )A ．2B ．42C ．6D ．210(2)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( A )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°突破点拨(1)先利用圆心在直线l 上，求得a 的值，再利用线段AB ，BC ，AC 构成的直角三角形求解．(2)方法一：设出直线l 的方程，表示出S △AOB ，再利用均值不等式求解．方法二：先利用sin ∠AOB 表示出S △AOB ，然后求出当S △AOB 取得最大值时|OC |的值，进而求出直线l 的倾斜角．解析 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.(2)由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，如图所示．方法一 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A. 方法二 S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取最大值．此时，|OC |＝1，则∠OPC ＝30°，得直线l 的倾斜角为150°.圆的综合应用(1)求点C 的轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在点P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．思维导航(1)由圆的几何性质知BA ⊥BC ，通过设点列式可求E 的方程．(2)只需证明PQ ⊥QC .可用判别式方法或导数方法求出E 在点P 处的切线的斜率，再求解．规范解答(1)设C 点的坐标为(x ，y )，则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0.因为AC 是直径，所以BA ⊥BC ，或C ，B 均在坐标原点． 因此BA →·BC →＝0，而BA →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y ， 故有－x 24＋2y ＝0，即x 2＝8y .另一方面，设C ⎝⎛⎭⎫x 0，x 28是曲线x 2＝8y 上一点， 则有|AC |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 208－22＝x 20＋168，AC 中点的纵坐标为2＋x 2082＝x 20＋1616，故以AC 为直径的圆与x 轴相切． 综上可知，C 点轨迹E 的方程为x 2＝8y . (2)设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝8y得x 2－8kx －16＝0. 设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－16. 由y ＝x 28对x 求导得y ′＝x 4，从而曲线E 在点P 处的切线斜率k 2＝x 24，直线BC 的斜率k 1＝x 218x 1－x 12＝x 14，于是k 1k 2＝x 1x 216＝－1616＝－1，因此QC ⊥PQ .所以△PQC 恒为直角三角形．【变式考法】 已知圆O ：x 2＋y 2＝25，圆O 1的圆心为O 1(m,0)(m ≠0)，且与圆O 交于点P (3,4)，过点P 且斜率为k (k ≠0)的直线l 分别交圆O ，O 1于点A ，B .(1)若k ＝1，且|BP |＝72，求圆O 1的方程；(2)过点P 作垂直于直线l 的直线l 1分别交圆O ，O 1于点C ，D .当m 为常数时，试判断|AB |2＋|CD |2是否为定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．解析 (1)当k ＝1时，直线l ：y －4＝x －3，即x －y ＋1＝0， 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋1|22＋⎝⎛⎭⎫7222＝(m －3)2＋42， 整理得m 2－14m ＝0，解得m ＝14或m ＝0(舍去)， 所以圆O 1的方程为(x －14)2＋y 2＝137. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l ：y －4＝k (x －3)，即y ＝kx －(3k －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，x 2＋y 2＝25，消去y 得 (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2)x ＋9k 2－24k －9＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得 3·x 1＝9k 2－24k －9k 2＋1，所以x 1＝3k 2－8k －3k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，(x －m )2＋y 2＝(m －3)2＋42，消去y 得， (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2－2m )x ＋9k 2－24k －9＋6m ＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得3·x 2＝9k 2－24k －9＋6m k 2＋1，所以x 2＝3k 2－8k －3＋2m k 2＋1，所以x 1－x 2＝3k 2－8k －3k 2＋1－3k 2－8k －3＋2m k 2＋1＝－2mk 2＋1.|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m k 2＋12＝4m 2k 2＋1. 同理可得，|CD |2＝4m 2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝4m 2k 2k 2＋1，所以|AB |2＋|CD |2＝4m 2k 2＋1＋4m 2k 2k 2＋1＝4m 2为定值．1．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则以下命题中正确的是( D )A ．若d 1－d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析 当d 1＝d 2＝0时，可排除A 项，B 项，C 项，若d 1·d 2<0，则点P 1，P 2在直线l 的两侧，所以直线P 1P 2与直线l 相交．故选D.2．(高考改编)已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， 即k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.3．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，结合题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2⇒a <－2，故选A.4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B )A ．7B ．6C ．5D ．4解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.5．(2017·河南洛阳一模)已知{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，则直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由于{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m －4与直线7x ＋(5－m )y －8＝0平行，则有7×1＝(5－m )·(m ＋3)且7×(3m －4)≠8×(m ＋3)．由7×1＝(5－m )·(m ＋3)整理得m 2－2m －8＝0，解得m ＝－2或m ＝4.由7×(3m －4)≠8×(m ＋3)，得m ≠4，所以m ＝－2，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4的方程为x ＋y ＝－2，交x 轴于点(－2,0)，交y 轴于点(0，－2)，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是12×2×2＝2，故选B.6．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__.解析 根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555. 解析 易知圆心为(2，－1)，r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，∴弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 8．(教材回归)如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为13 .解析 由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，且最大距离为|OC |.|OC |＝22＋(－3)2＝13.9．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 .(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点．下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是__①②③__(写出所有正确结论的序号)． 解析 (1)设圆心C (a ，b )，半径为r ，∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，∴a ＝1，r ＝|b |，又∵圆C 与y 轴正半轴交于两点，∴b >0，则b ＝r . ∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1，∴r ＝2， 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)设N (x ，y )，而A (0，2－1)，B (0，2＋1)， 则|NB |2|NA |2＝x 2＋(y －2－1)2x 2＋(y －2＋1)2＝x 2＋y 2－2(2＋1)y ＋3＋22x 2＋y 2－2(2－1)y ＋3－22， 又x 2＋y 2＝1，∴|NB |2|NA |2＝4＋22－2(2＋1)y4－22－2(2－1)y ＝2＋12－1·22－2y 22－2y ＝(2＋1)2， ∴|NB ||NA |＝2＋1，同理|MB ||MA |＝2＋1. ∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |，且|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2＋1－12＋1＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2＋1＋12＋1＝2＋1＋2－1＝22， 故正确结论的序号是①②③.10．(2017·河南郑州一模)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解析 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为2×52－32＝8. 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1.由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.1．(2017·四川绵阳质检)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为( A )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1]解析 设圆心为B (0,3)，圆心B 到直线l 的距离d 的最大值为|AB |＝4，最小值为0(此时直线l 过圆心)，故选A.3．(2017·山东青岛模拟)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3)∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析 ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ， 即d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn .又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.4．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A )A.3 B ．2 C.2D ．4解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP ，|AB |＝2|AC |. ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AC |＝2|AO |·sin ∠AOP ＝3，故选A.5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10解析 设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝－2.再由|P A |＝|PB |，得a ＝1，则P (1，－2)，|P A |＝(1－1)2＋(3＋2)2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6.6．(2017·陕西西安调研)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A. 7．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( D )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 当直线AB 的斜率不存在，且0<r <5时，有两条满足题意的直线l .当直线AB 的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l .设圆的圆心为C (5,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2y 0. ∵k CM ＝y 0x 0－5，且k AB k CM ＝－1，∴x 0＝3.∴r 2＝(3－5)2＋y 20>4(∵y 0≠0)，即r >2.另一方面，由AB 的中点为M 知B (6－x 1,2y 0－y 1)， ∵点B ，A 在抛物线上， ∴(2y 0－y 1)2＝4(6－x 1)，① y 21＝4x 1，②由①和②，得y 21－2y 0y 1＋2y 20－12＝0. ∵Δ＝4y 20－4(2y 20－12)>0，∴y 20<12.∴r 2＝(3－5)2＋y 20＝4＋y 20＝4＋y 20<16，∴r <4.综上，r ∈(2,4)，故选D.8．(2017·湖南七校一模)已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( C )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．[22－3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤22－3，569 D.⎣⎡⎦⎤32，569解析 如图，设P A 与PB 的夹角为2α，则0<α<π2，|P A |＝|PB |＝1tan α，所以P A →·PB →＝|P A |·|PB |cos 2α＝1tan 2α·cos 2α＝cos 2αsin 2α·cos 2α＝cos 2α(1＋cos 2α)1－cos 2α＝(cos 2α－1)＋(cos 22α－1)＋21－cos 2α＝－1－(cos 2α＋1)＋21－cos 2α＝－3＋(1－cos 2α)＋21－cos 2α，令t ＝1－cos 2α，则设f (t )＝P A →·PB →＝t ＋2t －3.由图易知，点P 在椭圆左顶点时，α取得最小值，此时sin α＝13，而点P 接近椭圆右顶点时，α→π2，所以sin α∈⎣⎡⎭⎫13，1，所以t ＝1－cos 2α＝2sin 2α ∈⎣⎡⎭⎫29，2.易知f (t )在⎣⎡⎭⎫29，2上单调递减，在(2，2)上单调递增，则f (t )min ＝f (2)＝22－3，而f ⎝⎛⎭⎫29＝569，f (2)＝0，所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫29＝569，所以P A →·PB →的取值范围为⎣⎡⎦⎤22－3，569，故选C.9．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为__2__. 解析 依题意得a ×1＋(3－a )×(－2)＝0，解得a ＝2.10．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0,2)，C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 11．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝__5__. 解析 由x 2＋y 2－4y －1＝0，得x 2＋(y －2)2＝5，可知圆心为C (0,2)，半径r ＝5，∴|AC |＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，∴|AB |＝10－5＝5，∴∠ACB ＝45°，∴CA →·CB →＝10×5×cos 45°＝5.12．(2017·四川成都一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点为P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为__2__.解析 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0(P 为垂足)，过P 作圆O 的切线P A (A 为切点)，连接OA，易知此时|P A|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA|＝1，所以|P A|＝|OP|2－|OA|2＝2，即所求最小值为2.第2讲椭圆、双曲线、抛物线题型一 椭圆及其性质1．(1)(2017·云南四市联考)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( D )A.24B.23C.63D.64(2)若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是__4__.突破点拨(1)利用椭圆的定义和几何性质转化求解． (2)运用椭圆的定义求解． 解析 (1)设P (x ，y )，|OP |2＝x2＋y 2＝a 28.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，c 2a 2＝38，e ＝c a ＝64，故选D.(2)由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4.2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．突破点拨(1)利用原点到直线的距离，列关于a ，c 的方程求解．(2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b )，再利用弦AB 的长等于圆M 的直径求解． 解析 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.圆锥曲线的离心率的算法技巧(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解关键．(2)在求解有关离心率的问题时，并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．题型二 双曲线及其性质1．(1)(2017·山东部分重点中学模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，且△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率是( B )A.2B.3C.2＋1D.3＋1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( D )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 突破点拨(1)根据等边三角形列出等式，将等式用双曲线方程中的量表示，并转化为求离心率．(2)利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．解析 (1)由题意知，△F 1AB 为等边三角形，故|AF 1|＝|AB |.由双曲线的定义，得|AF 1|－12|AB |＝2a .因为|AB |＝2b 2a，可得b 2＝2a 2，所以e ＝ 3.故选B.(2)由双曲线的渐近线y ＝±bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 2．(1)(2017·河南信阳二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( C )A ．4B ．6C ．8D ．10(2)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( D )A.433B ．23C ．6D ．43突破点拨(1)用渐近线方程确定a 的值，再利用定义求|PF 2|. (2)可用特殊位置法求解，如F 的横坐标x ＝2.解析 (1)双曲线x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2a x ，即2x ±ay ＝0.已知双曲线的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，∴a ＝3.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即|2－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝8或－4，舍去－4.故选C.(2)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F (2,0)， 其渐近线方程为3x ±y ＝0.不妨设A (2,23) ，B (2，－23)，所以|AB |＝43，故选D. 题型三 抛物线及其性质1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( C )A.72B.52 C ．3 D ．2突破点拨利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． 解析 因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF|＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.【变式考法】 把本例条件“FP →＝4FQ →”改为“PF →＝12PQ →”，其他条件不变，则|QF |＝__8__.解析 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，A 为l 与x 轴的交点．因为PF →＝12PQ →，所以|PF →|＝12|PQ →|.因为△P AF ∽△PQ ′Q ，所以|AF ||QQ ′|＝|PF ||PQ |，所以|QQ ′|＝8，则|QF |＝|QQ ′|＝8.2．(2017·福建福州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．突破点拨(1)利用抛物线的定义可求解．(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .联立抛物线方程，可推出b ＝1－2k 2，再写出S △OPQ ＝f (k )，利用基本不等式或求导的方法求f (k )max .解析 (1)抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2. 因为|AO |＝|AF |＝32，所以可求得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫±1436－p 2，p 4. 将点A 的坐标代入x 2＝2py ，得116(36－p 2)＝2p ×p4，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y ＝kx ＋b ， 并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点M (x 0,1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝4k 2＋2b ＝2，即b ＝1－2k 2.因为直线l 与C 交于P ，Q 两点， 所以Δ＝16k 2＋16b >0，得k 2＋b >0， 故k 2＋b ＝k 2＋1－2k 2>0，k 2∈[0,1)． 由y ＝kx ＋b ，令x ＝0得y ＝b ＝1－2k 2， 故S △OPQ ＝12|b ||x 1－x 2|＝12|1－2k 2|×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1－2k 2)2(1－k 2). 设t ＝1－2k 2，则t ∈(－1,1]．设y ＝(1－2k 2)2(1－k 2)＝t 2·t ＋12＝12(t 3＋t 2)，令y ′＝12(3t 2＋2t )＝32t ⎝⎛⎭⎫t ＋23＝0，得t ＝0或t ＝－23， 由y ′>0得t ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23∪(0,1]； 由y ′<0得t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以y ＝12(t 3＋t 2)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－1，－23，(0,1]，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，0， 当t ＝－23时，y ＝227；当t ＝1时，y ＝1>227，故y max ＝1，所以S △OPQ 的最大值是2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的策略解答直线与圆锥曲线的位置关系的题，常常用到“设而不求”的方法，根据条件设出直线方程，与曲线联立，消去y ，整理出一个关于x 的二次方程，设出两个交点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2为二次方程的两个根，根据根与系数的关系，结合题中条件带入求解．注意：设直线方程时，考虑是否有斜率不存在的情况，若有，要讨论．圆锥曲线与其它知识的交汇和新定义问题(一)知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.思维导航把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题．最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元．如本题，读懂新定义的含义，再依据题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此类交汇性试题．规范解答C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2，圆心(0，－4)，圆心到直线l ：y ＝x 的距离为d ＝|0－(－4)|2＝22，故曲线C 2到直线l ：y ＝x 的距离为 d ′＝d －r ＝22－2＝ 2.对于曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令y ′＝2x ＝1， 得x ＝12，该切点为⎝⎛⎭⎫12，14＋a ， 则曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离为d ′＝2＝⎪⎪⎪⎪12－⎝⎛⎭⎫14＋a 2⇒a ＝94或a ＝－74(舍去)．答案 94【变式考法】 已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为 57. 解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55±45×255＝11525或－55(舍去)．如图，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理得 r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.1．(教材回归)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( B )A ．4B ．5 C.15D.10解析 由抛物线的定义知，点A 到焦点的距离等于点A 到其准线的距离．所以|AF |＝y 1＋p2＝4＋1＝5.故选B. 2．(2017·湖北武昌调考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( D )A.2B.3C.5D ．2解析 双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0.由于直线与圆相切，所以|3b －a |a 2＋b 2＝1，即(3b－a )2＝a 2＋b 2，所以ba＝3，双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.故选D.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m ＝( D ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8解析 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8.故选D. 4．(2017·上海浦东模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线上存在点P 使△OPF 2是以O 为顶点的等腰三角形，且|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，其中c 为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为( A )A.2B.2＋1C.3D.3＋1解析 由题意知|OP |＝|OF 2|，因为O 为F 1F 2的中点， 由平面几何知识有PF 1⊥PF 2. 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，从而有 |PF 1|＝a ＋2c 2－b 2，|PF 2|＝－a ＋2c 2－b 2. 由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，解得a 2＝b 2， 即ba＝1，所以双曲线的离心率为e ＝ 2. 5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2，又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24，因为1≤b <2，所以0<e ≤32.故选A.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的—个焦点，则p ＝ 22 .解析 拋物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，故直线x ＝－p2过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p ＝2 2.7．(2017·山东青岛二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为3 .解析 由已知和双曲线的定义有⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a 或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a . 因为2c >2a ，所以△PF 1F 2中30°角所对的边长为2a . 由余弦定理有4a 2＝4c 2＋16a 2－16ac ·32， 即3a 2－23ac ＋c 2＝0，两边同除以a 2， 得e 2－23e ＋3＝0，所以e ＝ 3.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解析 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，点P (0,1)在C 1上， 所以c ＝1，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ， 消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0. 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 9．(考点聚焦)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解析 (1)由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0. 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 10．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解析 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0， 从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|. 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4， 解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 连接F 1Q ，由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2.因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.1．(2017·山东青岛二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( B ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 解析 将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)·x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0.由椭圆与直线只有一个公共点，知Δ＝0，得a 2＋b 2＝9.又c a ＝a 2－b 2a ＝55，∴b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且两曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( C )A.2B.3 C ．1＋2D ．1＋3解析 因为两曲线的交点的连线过点F ，所以两曲线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫p2，±p ，代入双曲线方程可得⎝⎛⎭⎫p 22a 2－p 2b 2＝1，因为p2＝c ，所以c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，所以e 4－6e 2＋1＝0，又e >1，解得e ＝1＋2，故选C.3．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，c ＞0，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.故选B.4．(2017·山西太原模拟)已知抛物线K ：x 2＝2py (p >0)，焦点为F ，P 是K 上一点，K 在点P 处的切线为l ，d 为F 到l 的距离，则( D )A.d |PF |＝pB.d |PF |2＝pC.d |PF |＝2p D.d 2|PF |＝p 2解析 使点P 为原点O ，则切线l 为x 轴，且d ＝p 2，|PF |＝p2.代入四个选项中检验知选D.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上的一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2.所以|MF |＝2p ，即x ＋p 2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .故选B.6．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( A )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ， 所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°， 所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.7．(2017·湖南雅礼中学调研)已知抛物线E ：y 2＝2px (0<p <4)的焦点为F ，点P 为E 上一。

全国高考数学专题汇编：解析几何一．选择题（共21小题）1．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．B．3C．D．23．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．325．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD ⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．7．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝18．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．89．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．10．（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．11．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣113．（2018•新课标Ⅲ）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．215．（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．16．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C：+＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）17．（2017•新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）18．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．319．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．20．（2016•新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）22．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．23．（2018•新课标Ⅰ）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．24．（2017•新课标Ⅲ）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝．25．（2016•新课标Ⅰ）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为．三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．参考答案一．选择题（共21小题）1．B；2．B；3．B；4．B；5．B；6．D；7．B；8．D；9．A；10．B；11．C；12．D；13．A；14．D；15．D；16．A；17．C；18．C；19．A；20．B；21．A；二．填空题（共4小题）22．（3，）；23．2；24．5；25．4π；三．解答题（共15小题）26．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．【解答】解：（1）由题设得，A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），则，，由得a2﹣1＝8，即a＝3，所以E的方程为．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），若t≠0，设直线CD的方程为x＝my+n，由题可知，﹣3＜n＜3，由于直线P A的方程为，所以，同理可得，于是有3y1（x2﹣3）＝y2（x1+3）①．由于，所以，将其代入①式，消去x2﹣3，可得27y1y2＝﹣（x1+3）（x2+3），即②，联立得，（m2+9）y2+2mny+n2﹣9＝0，所以，，代入②式得（27+m2）（n2﹣9）﹣2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）＝0，解得n＝或﹣3（因为﹣3＜n＜3，所以舍﹣3），故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点（，0）．综上所述，直线CD过定点（，0）．27．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【解答】解：（1）由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x ＝c代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，所以弦长|CD|＝4c，将x＝c代入椭圆C1的方程可得y2＝b2（1﹣）＝，所以|y|＝，所以弦长|AB|＝，再由|CD|＝|AB|，可得4c＝，即3ac＝2b2＝2（a2﹣c2），整理可得2c2+3ac﹣2a2＝0，即2e2+3e﹣2＝0，e∈（0，1），所以解得e＝，所以C1的离心率为；（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），而抛物线的准线方程为：x＝﹣c，所以由题意可得2c+a+c+a﹣c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得＝，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12，所以C1的标准方程为：+＝1，C2的标准方程为：y2＝8x．28．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，故C的方程是：+＝1；（2）代数方法：由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），根据对称性，只需考虑n＞0的情况，此时﹣5＜s＜5，0＜t≤，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，又+＝1③，联立①②③得或，当时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），则（法一）＝（8，1），＝（11，2），∴S△APQ＝＝|8×2﹣11×1|＝，同理可得当时，S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．法二：∵P（3，1），Q（6，2），∴直线PQ的方程为：x﹣3y＝0，∴点A到直线PQ：x﹣3y＝0的距离d＝，而|PQ|＝，∴S△APQ＝••＝．数形结合方法：如图示：①当P点在y轴左侧时，过P点作PM⊥AB，直线x＝6和x轴交于N（6，0）点，易知△PMB≌△BQN，∴NB＝PM＝1，故y＝1时，+＝1，解得：x＝±3，（x＝3舍），故P（﹣3，1），易得BM＝8，QN＝8，故S△APQ＝S△AQN﹣S△APB﹣S△PBQ﹣S△BQN＝（11×8﹣10×1﹣（1+65）﹣1×8）＝，②当P点在y轴右侧时，同理可得x＝3，即P（3，1），BM＝2，NQ＝2，故S△APQ＝，综上，△APQ的面积是．29．（2019•新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解答】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（|AB|）2＝R2，即①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得或，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．30．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，故曲线C的离心率e＝＝﹣1．（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，•＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）．31．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点．（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【解答】（1）证明：设D（t，﹣），A（x1，y1），则，由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故，整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．∴直线AB过定点（0，）；（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx+．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是．设M为线段AB的中点，则M（t，），由于，而，与向量（1，t）平行，∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为．32．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N 两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝x+1，或：y＝﹣x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝+＝＝＝0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．33．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B 两点，|AB|＝8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，由|AB|＝x1+x2+p＝+2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；方法二：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|＝＝＝8，解得：sin2θ＝，∴θ＝，则直线的斜率k＝1，∴直线l的方程y＝x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即y ＝﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．34．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M （1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++＝，证明：2||＝||+||．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m将A，B代入椭圆C：+＝1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k＝＝﹣＝﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴k＝﹣．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2∵++＝，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，∴x3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A|＝a﹣ex1＝2﹣x1，|FB|＝2﹣x2，|FP|＝2﹣x3＝．则|F A|+|FB|＝4﹣，∴|F A|+|FB|＝2|FP|，35．（2017•新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y＝上两点，则直线AB的斜率为k＝＝（x1+x2）＝×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝的导数为y′＝x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为•＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝x+7．36．（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足＝．可得（x﹣x0，y）＝（0，y0），可得x﹣x0＝0，y＝y0，即有x0＝x，y0＝，代入椭圆方程+y2＝1，可得+＝1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2＝2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•＝1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）＝1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+m sinα﹣2sin2α＝1，当α＝0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m＝，即有Q（﹣3，），椭圆+y2＝1的左焦点F（﹣1，0），由•＝（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）＝3+3cosα﹣3（1+cosα）＝0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•＝1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝﹣3m﹣m2+nt﹣n2＝1，又P在圆x2+y2＝2上，可得m2+n2＝2，即有nt＝3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•＝（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）＝3+3m﹣nt＝3+3m﹣3﹣3m＝0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．37．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC＝﹣1，即有•＝﹣1，即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，可得D＝m，F＝﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．38．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p ＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴＝，＝t，∴N（，t），∴ON的方程为y＝x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴＝＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH＝，∴直线MH的方程为y＝x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．39．（2016•新课标Ⅱ）已知A是椭圆E：+＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+＝1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|＝|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2＝12，整理得：7a2﹣12a＝0，∴a＝或a＝0（舍），∴S△AMN＝a×2a＝a2＝；（II）设直线l AM的方程为：y＝k（x+2），直线l AN的方程为：y＝﹣（x+2），由消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴x M﹣2＝﹣，∴x M＝2﹣＝，∴|AM|＝|x M﹣（﹣2）|＝•＝∵k＞0，∴|AN|＝＝，又∵2|AM|＝|AN|，∴＝，整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8＝0，设f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8，则f′（k）＝12k2﹣12k+3＝3（2k﹣1）2≥0，∴f（k）＝4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，又f（）＝4×3﹣6×3+3﹣8＝15﹣26＝﹣＜0，f（2）＝4×8﹣6×4+3×2﹣8＝6＞0，∴＜k＜2．40．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP＝AF，BQ＝BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ＝90°，∴∠PFQ＝90°，∵R是PQ的中点，∴RF＝RP＝RQ，∴△P AR≌△F AR，∴∠P AR＝∠F AR，∠PRA＝∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ＝180°﹣∠QBF＝∠P AF＝2∠P AR，∴∠FQB＝∠P AR，∴∠PRA＝∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x＝﹣，S△PQF＝|PQ|＝|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF＝|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|＝1，∴x N＝1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得＝2（x1﹣x2），又＝，∴＝，即y2＝x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2＝x﹣1．。

十年高考真题精解解析几何十年树木，百年树人，十年磨一剑。

本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。

三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。

（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一： 圆锥曲线的基础性质（2019新课标I 卷T10理科）．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2013新课标Ⅰ卷T4理科)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x(2013新课标Ⅰ卷T10理科)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +（2015新课标I 卷T14理科）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .(2014新课标Ⅰ卷T4理科)已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C.m D.3m（2011新课标I 卷T14理科）在平面直角坐标系xoy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C的方程为．（2012新课标I 卷T10文科）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =C 的实轴长为（A （B ） （C ）4 （D ）8轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方程标准方程 (>0) (a>0,b>0) px y 22=参数方程(t 为参数) 范围 ─a x a ，─b y b |x| a ，y R x 0中心原点O （0，0） 原点O （0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) ,(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0)12222=+b y a x b a >12222=-by a x 为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222)0,2(p F双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. （3）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 抛物线：（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p，开口向下. （2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x pMF -=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设222a y x ±=-x y ±=2=e λ=-2222b y a x λ-=-2222b y a x 02222=-by a x )0(2222≠=-λλb y a x 02222=-b y a x 0=±b y a x )0(2222≠=-λλby a xA(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2pAB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).二、考向题型研究二： 简单的离心率求解问题（2019新课标I 卷T10文科）双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ） A ．2sin40° B ．2cos40°C ．D ．（2016新课标I 卷T5文科）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34（2011新课标I 卷T7理科）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．3（2012新课标I 卷T4文科）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为（A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45一、直接求出或求出a 与b 的比值，以求解。

第82练 高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题[基础保分练]1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，过点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，延长BF 2交椭圆C 于点M ，△ABF 2的周长为8.(1)求C 的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点P (x 0,0)，使得PM →·PB →为定值？若存在，求x 0；若不存在，请说明理由．2.已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值； (3)求线段MN 的长度的最小值．3．已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足PA 1→·PA 2→＝1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．[能力提升练]4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，右顶点为点B .(1)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于M ，N 两点(M ，N 不是左、右顶点)，且BM ⊥BN ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；(2)E ，F 是椭圆C 的两个动点，若直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，试判断直线EF 的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．答案精析1．解 (1)由题意可知，F 1F 2＝2c ＝2， 则c ＝1，又△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8， 即a ＝2，则e ＝c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3.故C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在点P ，使得PM →·PB →为定值．若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为x ＝1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM →·PB →＝(x 0－1)2－94.若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －，Δ>0显然成立，设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，x 1,2＝8k 2±64k 4－k 2＋k 2－k 2＋，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，由于PM →＝(x 2－x 0，y 2)， PB →＝(x 1－x 0，y 1)，则PM →·PB →＝x 1x 2－(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋k 2＋x 20 ＝x 20－8x 0－k 2＋3x 20－124k 2＋3， 因为PM →·PB →为定值， 所以4x 20－8x 0－54＝3x 20－123，解得x 0＝118，故存在点P 使PM →·PB →为定值，且x 0＝118.2．(1)解 由已知得，椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)， ∴a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设S (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1，∴y 2＝1－x 204，故k SA ·k SB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝－14. (3)解 直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0， 故可设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)， 从而M ⎝⎛⎭⎪⎫103，16k 3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y 2＝1，设S (x 1，y 1)，则(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k1＋4k2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2， 则k SB ＝－14k，直线SB 的方程为y ＝－14k (x －2)，又B (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14kx －，x ＝103，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－13k ，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－13k ，故MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k .又k >0， ∴MN ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，∴当k ＝14时，线段MN 的长度取最小值83.3．解 (1)依题意知，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，P (2，－1)， 所以PA 1→·PA 2→＝(－a －2,1)·(a －2,1)＝5－a 2， 由PA 1→·PA 2→＝1，a >0，得a ＝2， 因为e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点Q (t,0)，当直线l 与x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线l 的斜率k 存在， 设l ：y ＋1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k x －，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－(16k 2＋8k )x ＋16k 2＋16k ＝0， Δ＝－64k >0，所以k <0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， x 1,2＝16k 2＋8k ±k 2＋8k2－＋4k2k 2＋16k＋4k2，则x 1＋x 2＝16k 2＋8k1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，因为k QM ＋k QN ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝kx 1－2k －x 2－t ＋kx 2－2k －x 1－t x 1－t x 2－t＝2kx 1x 2－k ＋1＋kt x 1＋x 2＋k ＋tx 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝t －k ＋2tt －2k 2＋－t k ＋t2，所以要使对任意满足条件的k ， 使得k QM ＋k QN 为定值， 则只有t ＝2时，k QM ＋k QN ＝1.故在x 轴上存在点Q (2,0)，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1. 4．解 (1)设点M ，N 的坐标分别为 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 点B 的坐标为(2,0)， 因为BM ⊥BN ，则BM →·BN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， 又y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ， 代入整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2＋4＝0，(*)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 当Δ>0时，x 1,2＝－8km ±64k 2m 2－k 2＋m 2－k 2＋，则有x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，代入(*)得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0， 所以m ＝－27k 或m ＝－2k ，当m ＝－2k 时，直线方程为y ＝kx －2k ，恒过点B (2,0)，不符合题意，舍去；当m ＝－27k 时，直线方程为y ＝kx －27k ，恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，该点在椭圆内，此时Δ>0恒成立， 所以，直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.(2)设点E ，F 的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)， 直线AE ，AF ，EF 的斜率显然存在， 所以x 3≠1，x 4≠1，x 3≠x 4，设直线EF 的方程为y ＝kx ＋m ，同(1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， (*)当Δ>0时，x 3,4＝－8km ±64k 2m 2－k 2＋m 2－k 2＋，则有x 3＋x 4＝－8km 4k 2＋3，x 3x 4＝4m 2－124k 2＋3，①因为直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，则y 3－32x 3－1＝－y 4－32x 4－1， 又y 3＝kx 3＋m ，y 4＝kx 4＋m ， 代入整理得2kx 3x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －k －32(x 3＋x 4)＋3－2m ＝0，②①代入②，化简得4k 2－8k ＋3＋4km －2m ＝0， 即(2k －1)(2k ＋2m －3)＝0， 所以k ＝12或m ＝32－k ，当m ＝32－k 时，直线EF 的方程为y ＝k (x －1)＋32，恒过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，不符合题意，舍去； 当k ＝12时，方程(*)即x 2＋mx ＋m 2－3＝0，则当Δ＝12－3m 2>0时，－2<m <2， 所以当k ＝12且－2<m <2时，Δ>0恒成立，所以，直线EF 的斜率为定值12.。

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[答案] B[解析] 考查两平行直线的距离公式、直线与圆相切的性质及圆的标准方程．解：直线y ＝x 与y ＝x －4均与圆相切，设两直线间距离为d ，则圆的半径r ＝d 2＝41＋1·12＝2，设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝2⇒a ＝±1， ∵当a ＝－1时，圆不与直线y ＝x －4相切，∴a ＝1. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，选B.3．(教材改编题)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1[答案] D[解析] 原方程表示圆⇔(4m )2＋(－2)2－4×5m >0， 解得m <14或m >1.4．已知x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r ＝3的圆， 令d ＝x 2＋y 2，则d 为点(x ，y )到(0,0)的距离， ∴d max ＝－2－2＋－2＋r ＝5＋3，∴x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5.5．圆x 2＋(y ＋1)2＝1的圆心坐标是________，如果直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (0，－1)，1－2≤a ≤1＋ 2[解析] 可知圆心坐标为(0，－1)．直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，则|0－1＋a |12＋12≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 6．已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦，且|BC |＝6，则BC 的中点的轨迹方程是________． [答案] x 2＋y 2＝16[解析] 设BC 中点为P (x ，y )，则OP ⊥BC ，∵|OC |＝5，|PC |＝3，∴|OP |＝4，∴x 2＋y 2＝16. 7．根据下列条件求圆的方程：(1)经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.[解析] (1)解法1：∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3，∴圆心为C (7，－3)，又|CB |＝65.故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. 解法2：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r2－a 2＋－b2＝r23a ＋10b ＋9＝0，解得⎩⎨⎧a＝7，b ＝－3，r ＝65.所以所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0③设x 1，x 2是方程③的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36④由①②④得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.（四）典型例题1.命题方向：求圆的方程[例1] 根据下列条件，求圆的方程．(1)圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成12两部分的圆的方程； (2)求经过两已知圆C 1x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与C 2x 2＋y 2－2y －4＝0的交点，且圆心在直线l 2x ＋4y ＝1上的圆的方程．[分析] 用直接法或待定系数法．[解析] (1)如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成12两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.(2)由题意可设圆的方程为λ(x 2＋y 2－4x ＋2y )＋(x 2＋y 2－2y －4)＝0，(λ≠－1)即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－4λx ＋(2λ－2)y －4＝0，圆心坐标为(2λ1＋λ，1－λ1＋λ)，代入lx ＋4y ＝1，得λ＝3.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.[点评] 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式．另外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．所以的最大值为3，最小值为－ 3.x＝3，解得＝－2± 6.此时2＋6，最小值为－－ 6.又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，∴k max ＝3＋34，k min ＝3－34.3.命题方向：与圆有关的轨迹问题[例3] 如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[解析] 设动点P (x ，y )，由题意可知点P 是△ABD 的重心，∵A (－1,0)、B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，∴由重心坐标公式得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋1＋x 0－3y ＝2y 03，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12y 0＝3y2y，代入x 2＋y 2＝1得，所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49 (y ≠0)．[点评] 本题求轨迹方程的方法叫相关点法．用相关点法求轨迹方程的基本步骤：(1)设所求点的坐标为P (x ，y )(若x ，y 与题中已知的字母有冲突，则将这些已知字母全部替换成其他字母)，与P 相应的符合某已知曲线的点的坐标设为Q (x 0，y 0)；(2)建立二者之间的等量关系，从而求得x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )；(3)将Q (x 0，y 0)的坐标代入点Q 满足的方程进行求解，等价化简得所求轨迹方程．注意：求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形 ．跟踪练习3点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 [答案] A[解析] 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，又设P 、Q 连线中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.4.命题方向：圆方程的综合问题[例4] 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．[分析] 求圆M 的半径→求圆M 的方程→求圆N 的半径→求圆N 的方程→求弦长[解析] (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3， 则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度， 此弦的方程是y ＝33(x －3)， 即x －3y －3＝0， 圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.[点评] 1.解决有关圆的问题，常利用数形结合的方法，结合圆的有关性质可简化运算，解题时注意转化与化归的数学思想的应用．2．直线与圆相交所截得的弧，以及弧所对的圆周角或圆心角的有关问题，可转化为由弦心距、半弦长和半径所构成的直角三角形的三边之间的关系求解． 跟踪练习4已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心)，求圆的方程．[解析] 解法1：设A 、B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2. 由题设知⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1222＋y 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2222＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122－y 2222＋y 1－y 22.－2k2)＝2，－2k2)×2＝2＝－12，±3.为圆心，以5为半径的圆的方程8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为12，则圆C的方程为()－4)2＝4.4，但应除去两点：⎝⎛y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离d >r 1＋r 2 无解 相外切d ＝r 1＋r 2 一解 相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两解 相内切(r 1≠r 2) 一解 内含(r 1≠r 2)无解 3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝＋k 2x A ＋x B 2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上，则以P 为切点的切线方程为.（三）基础自测1．(2010·江西理)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范是 （ ）A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 [答案] A[解析] 如图，取MN 中点为H ，连CH 、CN ，则△CHN 为Rt △，又HN ＝ 3.R ＝2，故CH ＝1.由HN ≥ 3知圆心到直线的距离等于CH |3k ＋1|k 2＋1≤1. ∴－34≤k ≤0，故斜率范围是[－34，0]，选A.2．直线ax －y ＋2a ＝0 (a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定[答案] B[解析] 依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为两圆方程相减得，2ay ∴|OC |＝1a. 又公共弦长为23，∴于是，由Rt △AOC 可得即1a2＝22－(3)2， 整理得a 2＝1，又a >0，∴7．直线l 经过点P (5,5)[解析] 若直线l 的斜率不存在，直线则l ：y －5＝k (x －5)．则不论m 为何值，圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 1的距离为d ＝|3m －m －＋b |10＝|3＋b |10. ∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d <r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．跟踪练习1(2011·启东调研)已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝6，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．[解析] (1)证明：l ：mx －y ＋1－m ＝0的方程可化为y －1＝m (x －1)，其恒过定点P (1,1)．∵|PC |＝＋2＋－2＝5<r ＝6，∴点P 恒在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒交于两点．(2)由(1)及平面几何知识知，当l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，又k PC ＝2－1－1－1＝－12， ∴k l ＝－1k PC ＝2，∴所求直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.2.命题方向：弦长问题[例2] 已知点P (0,5)及圆C x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[分析] (1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系．[解析] (1)方法1 如图所示，AB ＝43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD ＝23，AC ＝4，在Rt △ACD 中，可得CD ＝2.设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34.k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.方法2 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5，联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k )x －11＝0，①设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，x 1x 2＝－111＋k 2，② 由弦长公式得1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝43，将②式代入，解得k ＝34， 此时直线方程为3x －4y ＋20＝0. 又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0.∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.v(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.[点评] 在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB 两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)若OA ⊥OB (O 为原点)，则可转化为x 1x 2＋y 1y 2＝0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB 的中点为(x 0，y 0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 12＋y 12＝r 2，x 22＋y 22＝r 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 0y 0.该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点，直线的斜率有关的问题．跟踪练习2已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] 假设存在且令l 为y ＝x ＋m圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点即N (－m ＋12，m －12) 以AB 为直径的圆过原点，∴|AN |＝|ON |又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |2∴|AN |＝CA 2－CN 2＝9－＋m 22 又|ON |＝－m ＋122＋m －122由|AN |＝|ON |得m ＝1或m ＝－4∴存在直线l 方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0.[点评] 设l ：y ＝x ＋m 与圆方程联立，其根为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标，由条件OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，可求m ＝1或－4.3.命题方向：圆与圆的位置关系[例3] 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋(m 2－5)＝0与C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋(m 2－3)＝0，当m 为何值时：(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含．[解析] 欲求m 的值，只要列出关于m 的一个等式或不等式就可以了. 因两圆的方程已给定，那么两圆的圆心和半径就可以求出，进而获得含m 的式子，问题变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系.把圆C 1与圆C 2的方程变形(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4.故两圆的半径分别为3和2，圆心距为|C 1C 2|＝m ＋2＋－2－m 2＝2m 2＋6m ＋5. (1)若两圆外离，则|C 1C 2|>3＋2，即2m 2＋6m ＋5>5.两边平方整理得m 2＋3m －10>0，解之得 m >2或m <－5.∴当m >2或m <－5时，两圆外离.(2)若两圆外切，则|C 1C 2|＝3＋2，即 m 2＋3m －10＝0.解之得 m ＝2或m ＝－5.∴当m ＝2或m ＝－5时，两圆外切.(3)若两圆相交，则3－2<|C 1C 2|<3＋2，即⎩⎨⎧ 2m 2＋6m ＋5<5，2m 2＋6m ＋5>1.解之得，当－5<m <－2或－1<m <2时，两圆相交.(4)若两圆内切，则|C 1C 2|＝3－2，即2m 2＋6m ＋5＝1. 解之得 m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，两圆内切. (5)若两圆内含，则0<|C 1C 2|<3－2，即⎩⎨⎧2m 2＋6m ＋5<1，2m 2＋6m ＋5≥0，解之得 －2<m <－1.∴当－2<m <－1时，两圆内含．跟踪练习3已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，求动圆圆心的轨迹方程．[解析] 设动圆的圆心坐标为(a ，b )，当两圆外切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝1＋4，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝25； 当两圆内切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝4－1，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 所以动圆圆心的轨迹方程为(a －5)2＋(b ＋7)2＝25或(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 4.命题方向：圆系方程的简单应用[例4] 已知两个圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，直线l ：x ＋2y ＝0，求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程．[解析] 所求的圆经过C 1，C 2的交点，故可用圆系方程求解． 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＋λ(x 2＋y 2－4)＝0 (λ≠－1) 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0所以圆心为(11＋λ，21＋λ)，半径为：12－21＋λ2＋－41＋λ2－1－λ1＋λ依题意有|11＋λ＋41＋λ|5＝4＋16－－λ2＋λ22解之，得λ＝±1，舍去λ＝－1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0.[点评] 由于圆系方程中不包括圆x 2＋y 2－4＝0，故应检验圆x 2＋y 2－4＝0是否满足条件．而直线l ：x ＋2y ＝0显然通过该圆的圆心，故不满足条件． 跟踪练习4圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的点的圆的方程为________． [答案] x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即x 2＋y 2＋λ－λ＋1x ＋＋λλ＋1y －λ＋λ＋1＝0(λ≠－1)，圆心⎝⎛⎭⎪⎫1－λλ＋1，－5＋λλ＋1，∴1－λλ＋1－5＋λλ＋1＝0，解得λ＝－2.．相离D．以上情况都有可能M，连接MO和PF2，则两圆半径分别为＋2a，＝12|PF ＝12|PF ＝(2＋1)2＋(－1＋1)2＝9<2若直线y ＝bx ＋c 过圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心，则△ABC 面积的最大值为( ) A.3B.32 3 D. 3由m ⊥n 得b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b ＋c －a 2bc ＝12⇒A ＝π3，sin A ＝32.由于圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心为由点到直线的距离公式，得k 2＋1＝5，＝－12，∴切线方程为－12x ＋52＝＝52，令＝12×52×＝254.11．(2010·山东文)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，本题考查了圆的标准方程及圆的弦长问题，圆的弦长问题合理应用特殊直角三角形是关键，设圆心为。

第2课时 定点与定值问题题型一 定点问题例1 (2018·湖州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的上顶点为B (0，1)，左、右焦点分别为F 1，F 2，BF 2的延长线交椭圆于点M ，BM →＝4F 2M →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且k BP ＋k BQ ＝m (m 为非零常数)，求证：直线l 过定点. (1)解 方法一 设M (x 0，y 0)，F 2(c ，0)，则由BM →＝4F 2M →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x 0－4c ，y 0－1＝4y 0，即⎩⎨⎧x 0＝43c ，y 0＝－13，代入椭圆方程得16c 29a 2＋19＝1，又a 2＝c 2＋1，所以a 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.方法二 如图，连接BF 1，MF 1，设|BF 1|＝|BF 2|＝3n ，则|F 2M |＝n ，又|MF 1|＋|MF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝6n ， 所以|MF 1|＝5n ，由|BF 1|∶|BM |∶|MF 1|＝3∶4∶5， 得∠F 1BM ＝90°，则∠OBF 2＝45°，a 2＝2b 2＝2， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，x 1＝x 2≠0，y 1＝－y 2， 所以k BP ＋k BQ ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝－2x 1＝m ， x 1＝－2m ，即直线l ：x ＝－2m.当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋t ，把y ＝kx ＋t 代入椭圆的方程并整理得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2＋1－t 2)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，k BP ＋k BQ ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋t －1x 1＋kx 2＋t －1x 2 ＝2k x 1x 2＋(t －1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ·2t 2－21＋2k 2＋(t －1)·－4kt 1＋2k 22t 2－21＋2k 2＝m ，整理得2k ＝m (t ＋1)，t ＝2km－1，所以直线l 的方程为y ＝kx ＋2km －1＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋2m －1， 过定点⎝⎛⎭⎫－2m ，－1. 综上，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫－2m ，－1. 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.跟踪训练1 (2018·浙江重点中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝25，点P 在椭圆上，tan ∠PF 2F 1＝2且△PF 1F 2的面积为4. (1)求椭圆的标准方程；(2)若点M 是椭圆上任意一点，A 1，A 2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA 1，MA 2分别与直线x ＝352交于E ，F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标. 解 (1)由tan ∠PF 2F 1＝2，得sin ∠PF 2F 1＝255，cos ∠PF 2F 1＝55. 由题意得⎩⎨⎧12×25×|PF 2|×255＝4，|PF 1|2＝|PF 2|2＋(25)2－2×|PF 2|×25×55，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4＋2＝6，a ＝3， 结合2c ＝25，c ＝5，得b 2＝4， 故椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)由(1)得A 1(－3，0)，A 2(3，0)，设M (x 0，y 0)，则直线MA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，与直线x ＝352的交点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，y 0x 0＋3⎝⎛⎭⎫352＋3，直线MA 2的方程为y ＝y 0x 0－3(x －3)，与直线x ＝352的交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，y 0x 0－3⎝⎛⎭⎫352－3. 设以EF 为直径的圆交x 轴于点Q (m ，0)，则QE ⊥QF ， 从而k QE ·k QF ＝－1，即y 0x 0＋3⎝⎛⎭⎫352＋3352－m ·y 0x 0－3⎝⎛⎭⎫352－3352－m ＝－1，即94y 20x 20－9＝－⎝⎛⎭⎫352－m 2， 又x 209＋y 204＝1，得m ＝352±1， 故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫352＋1，0，⎝⎛⎭⎫352－1，0.题型二 定值问题例2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)，过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1， 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)，令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 跟踪训练2 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值.(1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|·cos 60° ＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)， 解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2. 由|F 1F 2|＝4，得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. Δ＝56k 2＋32k >0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)·4k (k －2)2k 2－8k ＝4.当直线l 的斜率不存在时， 可得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.例 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值.解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， 2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m2－32x 0， 所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0). 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2 ＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x0y 0＝－8， 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程.1.(2018·衢州模拟)如图，圆x 2＋(y －1)2＝4过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的下顶点及左、右焦点F 1，F 2，过椭圆C 的左焦点F 1的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点D 且垂足为点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：当直线MN 斜率变化时，|DF 1||MN |为定值.(1)解 当x ＝0时，由x 2＋(y －1)2＝4，得y ＝－1或y ＝3； 当y ＝0时，由x 2＋(y －1)2＝4，得x ＝±3.又圆x 2＋(y －1)2＝4过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的下顶点及焦点F 1，F 2，故c ＝3，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，即椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明 易知直线MN 的斜率存在，且不为0，所以设直线MN ：y ＝k (x ＋3)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋3)，x 2＋4y 2＝4，消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，Δ＝(83k 2)2－4×4(1＋4k 2)(3k 2－1)＝16(k 2＋1)>0， 故x 1＋x 2＝－83k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(3k 2－1)1＋4k 2，则MN 的中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43k 21＋4k 2，3k 1＋4k 2，故MN 的中垂线DP 的方程为 k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3k 1＋4k 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43k 21＋4k 2，k ≠0，由y ＝0得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33k 21＋4k 2，0， 故|DF 1|＝3－33k 21＋4k 2＝3(1＋k 2)1＋4k 2，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)1＋4k 2，因此，|DF 1||MN |＝34为定值.2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上有一点P (m ，5)到焦点的距离为6. (1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (4，t )，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点，并说明理由.解 (1)由题意设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其准线方程为y ＝－p 2，P (m ，5)到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以5＋p2＝6，即p ＝2.所以抛物线方程为x 2＝4y . (2)由(1)可得点M (4，4)，设直线MD 的方程为y ＝k (x －4)＋4(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋4，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋16k －16＝0，由题意得Δ>0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x M ·x 1＝16k －16， 所以x 1＝16k －164＝4k －4，y 1＝(4k －4)24＝4(k －1)2，同理可得x 2＝－4k－4，y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k ＋12， 所以直线DE 的方程为y －4(k －1)2＝4(k －1)2－4⎝⎛⎭⎫1k ＋124k －4＋4k＋4(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k ⎝⎛⎭⎫k －1k －2k ＋1k(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x －4k ＋4). 化简得y ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2x ＋4k －4k ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x ＋4)＋8. 所以直线DE 过定点(－4，8).3.知抛物线C 1的方程为x 2＝2py (p >0)，过点M (a ，－2p )(a 为常数)作抛物线C 1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线C 1交于Q ，N 两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为Q ′，N ′，且|Q ′N ′|＝25，求抛物线C 1的方程； (2)设直线AM ，BM 的斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1·k 2为定值. (1)解 因为抛物线C 1的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，p2， 所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是x 2＋y p 2＝1，即x 2＋2yp ＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x 2＋2y p＝1，消去y 并整理，得x 2＋p 22x －p 2＝0，显然Δ>0恒成立，设点Q (x Q ，y Q )，N (x N ，y N )， 则x Q ＋x N ＝－p 22，x Q x N ＝－p 2.则|Q ′N ′|＝|x Q －x N |＝(x Q ＋x N )2－4x Q x N＝⎝⎛⎭⎫－p 222－4×(－p 2)＝p44＋4p 2＝25， 解得p ＝2.所以抛物线C 1的方程为x 2＝4y . (2)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>0，x 2<0). 依题意，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p ，则y ′＝xp.所以切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p.又点M (a ，－2p )在直线MA 上， 于是有－2p ＝x 1p ×a －x 212p，即x 21－2ax 1－4p 2＝0. 同理，有x 22－2ax 2－4p 2＝0，因此，x 1，x 2是方程x 2－2ax －4p 2＝0的两根， 则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－4p 2.所以k 1·k 2＝x 1p ·x 2p ＝x 1x 2p 2＝－4p 2p 2＝－4，故k 1·k 2为定值得证.4.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为22，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且|PQ |＝2 2. (1)求C 的方程；(2)若直线l 是圆x 2＋y 2＝8上的点(2，2)处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在.求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标. 解 (1)由已知，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为|PQ |＝22，不妨设点P (－c ，2)， 代入椭圆方程得c 2a 2＋2b 2＝1，又因为e ＝c a ＝22，所以12＋2b 2＝1，b ＝c ，所以b 2＝4，a 2＝2b 2＝8， 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题设，得直线l 的方程为y －2＝－(x －2)， 即x ＋y －4＝0，设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 0≠x 1且x 0≠x 2， 由切线MA 的斜率存在，设其方程为y －y 1＝k (x －x 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k (x －x 1)，x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4k (y 1－kx 1)x ＋2(y 1－kx 1)2－8＝0，由相切得Δ＝16k 2(y 1－kx 1)2－8(2k 2＋1)[(y 1－kx 1)2－4]＝0， 化简得(y 1－kx 1)2＝8k 2＋4，即(x 21－8)k 2－2x 1y 1k ＋y 21－4＝0，因为方程只有一解，所以k ＝x 1y 1x 21－8＝x 1y 1－2y 21＝－x 12y 1， 所以切线MA 的方程为y －y 1＝－x 12y 1(x －x 1)，即x 1x ＋2y 1y ＝8，同理，切线MB 的方程为x 2x ＋2y 2y ＝8， 又因为两切线都经过点M (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 0＋2y 1y 0＝8，x 2x 0＋2y 2y 0＝8，所以直线AB 的方程为x 0x ＋2y 0y ＝8， 又x 0＋y 0＝4，所以直线AB 的方程可化为x 0x ＋2(4－x 0)y ＝8， 即x 0(x －2y )＋8y －8＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，8y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， 所以直线AB 恒过定点(2，1).5.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值. (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a ，0)到直线x a ＋yb ＝1，即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b ＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)如图，F 1，F 2是椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点，且都在x 轴上方，AF 1∥BF 2，设AF 2，BF 1的交点为M .(1)求证：1|AF 1|＋1|BF 2|为定值；(2)求动点M 的轨迹方程.(1)证明 方法一 如题图所示，由题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设直线AF 1的方程为x ＝my －1，与椭圆C 的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，消去x ，整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 由题意知，Δ>0， 因为点A 在x 轴上方， 设A (x A ，y A )，所以y A >0，y A ＝2m ＋22(m 2＋1)2(m 2＋2)＝m ＋2(m 2＋1)m 2＋2，所以|AF 1|＝1＋m 2|y A －0|＝1＋m 2·[m ＋2(m 2＋1)]m 2＋2.直线BF 2的方程为x ＝my ＋1，设B (x B ，y B )，同理可得y B ＝－m ＋2(m 2＋1)m 2＋2，|BF 2|＝1＋m 2|y B －0|＝1＋m 2·[－m ＋2(m 2＋1)]m 2＋2，所以1|AF 1|＝m 2＋21＋m 2·[m ＋2(m 2＋1)]，1|BF 2|＝m 2＋21＋m 2·[－m ＋2(m 2＋1)]，所以1|AF 1|＋1|BF 2|＝m 2＋21＋m 2·[m ＋2(m 2＋1)]＋m 2＋21＋m 2·[－m ＋2(m 2＋1)]＝m 2＋21＋m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ＋2(m 2＋1)＋1－m ＋2(m 2＋1)＝m 2＋21＋m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(m 2＋1)2(m 2＋1)－m 2＝2 2. 所以1|AF 1|＋1|BF 2|为定值.方法二 如图所示，延长AF 1交椭圆于B 1，由椭圆的对称性可知|B 1F 1|＝|BF 2|，所以要证1|AF 1|＋1|BF 2|为定值，只需证1|AF 1|＋1|B 1F 1|为定值.设直线AF 1的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，y 1>0，y 2<0，与椭圆C 的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，消去x ，整理可得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0， 由题意知，Δ>0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.所以1|AF 1|＋1|B 1F 1|＝1m 2＋1⎝⎛⎭⎫1|y 1|＋1|y 2|＝1m 2＋1⎝⎛⎭⎫1y 1－1y 2＝1m 2＋1y 2－y 1y 1y 2 ＝1m 2＋1·－(y 1＋y 2)2－4y 1y 2y 1y 2＝8(m 2＋1)m 2＋1＝2 2.所以1|AF 1|＋1|BF 2|为定值.(2)解 方法一 设直线AF 2，BF 1的方程分别为 x ＝k 1y ＋1，x ＝k 2y －1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1y ＋1，x ＝k 2y －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1＋k2k 2－k 1，y ＝2k 2－k 1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 2k 2－k 1，2k 2－k 1.又由(1)方法一可得k 1＝x A －1y A ＝my A －2y A ＝m －2y A ，k 2＝x B ＋1y B ＝my B ＋2y B ＝m ＋2y B， 所以k 1＋k 2＝m －2y A ＋m ＋2y B ＝2m ＋2⎝⎛⎭⎫1y B －1y A ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2＋22(m 2＋1)－m －m 2＋22(m 2＋1)＋m＝2(m ＋2m )＝6m ，k 2－k 1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2＋22(m 2＋1)－m＋m 2＋22(m 2＋1)＋m ＝42m 2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1＋k 2k 2－k 1＝6m 42m 2＋1＝3m 22m 2＋1，y ＝2k 2－k 1＝242m 2＋1＝122m 2＋1，所以动点M 的轨迹方程为x 298＋y218＝1(y >0).方法二 如图所示，设|AF 1|＝d 1，|BF 2|＝d 2，因为AF 1∥BF 2，所以|MF 1||MB |＝d 1d 2，所以|MF 1||BF 1|＝d 1d 1＋d 2，即|MF 1|＝d 1d 1＋d 2·|BF 1|.又|BF 1|＋|BF 2|＝22，所以|BF 1|＝22－|BF 2|＝22－d 2， 所以|MF 1|＝d 1d 1＋d 2·|BF 1|＝d 1(22－d 2)d 1＋d 2.同理可得|MF 2|＝d 2(22－d 1)d 1＋d 2，所以|MF 1|＋|MF 2|＝d 1(22－d 2)d 1＋d 2＋d 2(22－d 1)d 1＋d 2＝22－2d 1d 2d 1＋d 2，由(1)可知d 1d 2d 1＋d 2＝11d 2＋1d 1＝122，所以|MF 1|＋|MF 2|＝32>|F 1F 2|＝2，动点M 的轨迹为以F 1，F 2为左、右焦点，以32为长轴长的椭圆的一半，所以动点M 的轨迹方程为x 298＋y 218＝1(y >0).。

2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。

高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。

其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。

运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。

试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。

一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。

4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。

2．会简单应用空间两点间的距离公式。

四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。

5．理解数形结合思想。

了解圆锥曲线的简单应用。

四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。

专题9 解析几何学科思想 分类讨论思想分类讨论思想是根据研究对象本质属性的异同，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，并综合得出答案的一种数学思想．例 求经过A （m ，3），B （1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【解】当m =1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角α=90°． 当m ≠1时，由斜率公式可得32111k m m -==--，①当m >1时，k =11m -> 0，所以直线的倾斜角的取值范围是：0°<α<90°． ②当m <1时，101k m =<-， 所以直线的倾斜角的取值范围是：90°<α<180°． 【方法与技巧】m 是一参数，m 的不同取值使得斜率有不同的取值范围． 训练题组1．已知椭圆2215x y m+=的离心率e ＝105，则m 的值为（ ） A ．3 B ．3或253 C ．15 D ．15或51532．已知双曲线x 2–y 24＝1，过点A （1，1）的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．过点P （–1，0），Q （0，2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．4．已知动点P （x ，y ）与两定点M （–1，0），N （1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）讨论轨迹C 的形状． 数形结合思想数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．例 已知实数x ，y 满足y =x 2–2x +2（–1≤x ≤1），求32y x ++ 的最大值与最小值．【解】32y x ++表示经过定点P （–2，–3）与曲线段AB 上任一点（x ，y ）的直线的斜率k ，如图，则k PA ≤k ≤k PB ，由已知，得A （1，1），B （–1，5），所以314,213PA k --==--358,2(1)PB k --==--- 所以43≤k ≤8，所以32y x ++的最大值是8，最小值是43．【方法与技巧】由题意作图，根据图求出过点P 直线与y =x 2–2x +2（–1≤x ≤1）交点，从而求出最大与最小值． 训练题组5．已知圆C ：（x –3）2＋（y –4）2＝1和两点A （–m ，0），B （m ，0）（m ＞0）．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．圆（x –3）2＋（y –3）2＝9上到直线3x ＋4y –11＝0的距离等于1的点有（ ） A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．设平面点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01),(x y x y y x A ，()(){}111),(22≤-+-=y x y x B ，则A B 所表示的平面图形的面积为（ ）A ．34π B ．35π C ．47π D ．2π8．若直线y =|x |与y =kx +1有两个交点，则k 的取值范围是________．转化归纳的思想研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法．这种思想方法是解析几何中最重要的思想方法，贯穿在解析几何教学的始终．例 已知a ，b 满足a +b =3【解】点（a ，b ）在直线x +y –3=0从而可看作求P （a ，b ）与点A （–5，2）距离的最小值问题，显然A 到直线的距离即为最小值． 因为点A 到直线x +y –3=0的距离为d =．【方法与技巧】将条件与目标函数都赋于几何意义，将问题转化为点到直线的距离． 训练题组9．已知双曲线1169:22=-y x C 的左、右焦点分别为P F F ，21,为双曲线C 的右支上一点，且212F F PF =，则21F PF ∆ 的面积等于（ ） A ．24B ．36C ．48D ．9610．已知圆（x ＋2）2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N （2，0），线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线11．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()0,5-A 和()0,5C ，顶点B 在双曲线221169x y -=上，则CA Bsin sin sin -为___________．12．已知直线5x –12y –60=0，求x 2+y 2的最小值．函数方程思想函数与方程的在解析几何中的应用就是从问题中的数量关系分析入手，运用数学语言将解析几何问题描述转化为数学模型，然后通过函数特性、图象或解方程、不等式（组）获得问题的解．例 两条平行直线分别过点P （–2，–2）、Q （1，3），它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行． （1）求d 的变化范围；（2）当d 取最大值时，求两条直线的方程．【解析】（1）设过点P （–2，–2）的直线l 1的方程为：Ax ＋By ＋C 1＝0，过点Q （1，3）的直线l 2的方 程为Ax ＋By ＋C 2＝0，由于点P 、Q 分别在直线上l 1、l 2，得–2A –2B ＋C 1＝0，A ＋3B ＋C 2＝0，两式相减得C 1–C 2＝3A ＋5B ，两直线间的距离为d =，即：2222930250d A AB d B ---()()＋＝． ①当B ≠0时，两直线斜率存在，有229Ad B-()()–30A B ()＋2d –25＝0．由d ＞0及∆≥0得：2223049250d d ----()()()…，从而0＜d ．②当B ＝0时，两直线分别为x ＝–2，与x ＝1，它们间的距离为3，满足上述结论．综上所述，d 的取值范围是（0）．（2）当d 时，k ＝35A B -=- ，对应两条直线分别为l 1：3x ＋5y ＋16＝0，l 2：3x ＋5y –18＝0． 【方法与技巧】设两平行线的一般方程，利用两平行间距离公式得出方程2222930+250d A AB d B ---＝()()，根据方程有意义，求得d 的取值范围．d 的取值就决定了直线斜率k =–AB的值． 训练题组13．能够把圆O ：x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f （x ）称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是（ ） A ．f （x ）＝4x 3＋x 2B ．f （x ）＝ln 5－x5＋xC ．f （x ）＝e x ＋e －x2D ．f （x ）＝tan x514．设椭圆)>>(=+012222b a b y a x 的离心率e=12，右焦点F （c ，0），方程a x 2+bx –c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）（ ） A ．在圆x 2+y 2=2内 B ．在圆x 2+y 2=2上 C ．在圆x 2+y 2=2外 D ．以上三种情况都有可能15．已知点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则•的最大值是 ．16．过点P （0，1）作直线l ，使它被两条已知直线l 1：2x ＋y –8＝0和l 2：x –3y ＋10＝0所截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．参考解析答案1．【答案】B【解析】若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3．若焦点在y轴上，则有5m >⎧=，∴m＝253． 2．【答案】A【解析】①斜率不存在时，方程为x ＝1满足题意．②当直线斜率存在时，设斜率为k ，y –1＝k （x –1），kx –y –k ＋1＝0．22441x y y kx k ⎧-=⎨=-+⎩，消去y ，整理得（4–k 2）x 2＋（2k 2–2k ）x –k 2＋2k –5＝0． 当4–k 2＝0，k ＝±2时符合；当4–k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条． 3．【解析】（1）当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x =–1，x =0， 它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．4．【解析】（1）由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ． 整理，得x 2–y 2λ＝1（λ≠0，x ≠±1）．（2）①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）；②当–1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）； ③当λ＝–1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点（–1，0），（1，0）； ④当λ<–1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）． 5．【答案】B【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42–1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6．∴m 的最大值为6，故选B ．6．【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．故选C ．7．【答案】D【解析】由题意可知，A B 所表示的平面图形为阴影部分所示，根据对称性可知，其面积等于圆面积的一半，即2．故选D ．8．【答案】–1<k <1【解析】利用数形结合找出直线l 的斜率k 的取值范围．y =|x |的图象是一､二象限角的平分线，直线y =kx +1过定点（0，1），由图象知：–1<k <1． 9．【答案】C【解析】由题意得5,4,3===c b a ，∴)0,5(1-F ，)0,5(2F ∵212F F PF =，∴122PF PF a =+=61016+=，作1PF 边上的高2AF ，则81=AF ，∴6810222=-=AF ，∴12PF F △的面积为4821==AF PF S ．10．【答案】B【解析】点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． 11．【答案】45故应填45．12所以x 2+y 2可以看成是直线上的动点到原点的距离的平方．原点到直线的距离6013d =，所以x 2+y 2最小值为3 600169．13．【答案】C【解析】若函数f （x ）是圆O 的“亲和函数”，则函数()f x 的图象经过点O 且关于点O 对称．A 中f （x ）＝4x 3＋x 2，B 中f （x ）＝ln 5－x 5＋x ，D 中f （x ）＝tan x 5的图象均过圆心O （0，0），在C 中，f （x ）＝e x ＋e －x2的图象不过圆心，不满足要求，故选C ．14．【答案】A【解析】由题意可得a=2c ，，所以方程ax 2+bx –c=0，即为2x 2–1=0，方程的两根分别为x 1，x 2，所以x 1+x 2=x 1x 2=–12，则2212x x +=（x 1+x 2）2–2x 1x 2=34+1=74<2，故点P （x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2内．故选A ．15．【答案】6【解析】由题意，F （–1，0），设点P （x 0，y 0），则有2200143x y +=，解得22003(14x y =-）， 因为001,)FP x y =+（，00,)OP x y =（，所以22200000000(1)(1)3(1344x x OP FP x x y x x x ∙=++=++-=++），此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时， •取得最大值222364++=． 16．【解析】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1．。

2023高考数学难点突破专题训练（2）解析几何★应知应会椭圆的基本量1. 如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2. 如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3. 椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4. 设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线P A与PB的斜率之积为定值________．1. 2b2a 2. b2·tanθ2 3. a＋c a－c 4. －b2a2直线与椭圆1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1) 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2. 圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．1. (1) ①相交②相切③相离2. 1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|双曲线的基本量运算1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2. 如图，P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为________．3. 焦点到渐近线的距离为________．4. 设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，则直线P A 与PB 的斜率之积为________．1. 2b 2a2. b 2tan θ2 3. b 4. b 2a 2 抛物线设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1) x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2) AF ＝p 1－cos α ，BF ＝p 1＋cos α ，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3) 1F A ＋1FB ＝2p； (4) 以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5) 以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6) 过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．直线与圆锥曲线1. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x 轴交于P ，Q 两点，O 为椭圆的中心，则OP ·OQ ＝a 2.2. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝－b 2a 2 . 3. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. 4. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 过定点(2p ，0).。

山东省2020高考数学解析几何解题技巧—巧施转化柳暗花明一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ，焦点，其中．(2) ，焦点，其中3．椭圆的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆． (5) 的关系：. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程12,F F 12,F F 12,F F 22221,(0)x y a b a b +=>>12(,0),(,0)F c F c-c 22221,(0)x y a b b a +=>>12(0,),(0,)F c F c-c 22221,(0)x y a b a b+=>>,a x a b y b -≤≤-≤≤x y (0,0)O 12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12||2A A a =12||2B B b =12||2F F c =,01,ce e e a=<<e ,,a b c 222c a b =-12,F F 12,F F 12,F F(1) ，焦点，其中(2) ，焦点，其中6．双曲线的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距. (4)离心率 (5) 渐近线方程. 7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程(1) ．对应的焦点分别为：. (2)离心率. 三．【题型归纳】（一）利用向量转化几何条件 （二）面积条件的转化 （三）弦长的转化 （四）角平分线的转化 四．【题型方法】（一）利用向量转化几何条件22221,(0,0)x y a b a b -=>>12(,0),(,0)F c F c -c =22221,(0,0)x y a b b a -=>>12(0,),(0,)F c F c -c =22221,(0,0)x y a b a b-=>>,x a x a ≥≤-x y (0,0)O 12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12||2A A a =12||2B B b =12||2F F c =,1c e e a=>by x a=±l F l 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p pF F F F --1e =例1．如图，已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面上的对应点的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦中点.（1）若直线经过圆心，求证：与垂直； （2）当时，求直线的方程；（3）设，试问是否为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）或；（3）为定值且 【解析】（1）证明如下： 因为，所以，所以圆心，半径；又因为，所以且，所以，所以与垂直； （2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以，所以，满足题意；当的斜率存在且为时，，，所以解得：，此时；综上：直线的方程为或；3z i i -=i z xOy(),Z x y C C m 360x y ++=()1,0A -k l m N C P Q 、M PQ l C l m PQ=l t AM AN =⋅t t t 1x =-4340x y -+=t 5t =-3z ii-()22:34C x y +-=()0,3C 2R =()1,0A -()30301l k -==--13m k =-1l m k k ⋅=-l m l :1l x =-2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()244112PQ =⨯-=PQ =l k ():1l y k x =+2d R ==PQ ==43k =:4340l x y -+=l 1x =-4340x y -+=（3）当直线的斜率不存在时，可知：，所以，所以，即；当直线的斜率存在且为时，设，，联立可得：， 所以，，即，所以； 又由可得：，所以，故， 综上可知：为定值，且.练习1．已知、分别是椭圆的两焦点，点是该椭圆上一动点，则_________.【答案】【解析】由椭圆知，焦点，，设，则，，，故，故答案为：l ()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5t AM AN =⋅=-5t =-l k ():1l y k x =+()()1122,,,P x y Q x y ()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩()()2222126650k x k k x k k ++-+-+=2122321M x x k k x k +-+==+()22311M M k k y k x k +=+=+222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩365,1313k k N k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++t 5t =-1F 2F 2214xy +=P 12PF PF ∈⋅[]2,1-2214x y +=1(F2F (,),22P x y x -≤≤()22122221(,),)3384134PF PF x y x x x x y y x ⋅=-⋅-=+-==+---22x -≤≤204x ∴≤≤12[2,1]PF PF ⋅∈-[]2,1-练习2．已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值； （3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2；（3）.【解析】（1）由是等腰直角三角形，可得，故椭圆方程为；（2）设过点的直线的方程为，的横坐标分别为， 将线的方程为代入椭圆方程， 消元可得，∴， ，令，则令，则（当且仅当时取等号） 又面积， ()2222:10x y a b a bΓ+=>>()1,0,F M ()0,b O OMF ∆Γ()0,2C AB Γ,A B AOB ∆l ,P Q F PQM ∆l 2212x y +=43y x =-OMF∆1,b a ===2212x y +=()0,2C AB 2y kx =+,A B ,A B x x AB 2y kx =+222(1+2)860,16240k x kx k ++=∆=->232k >2286,1212A B A Bk x x x x k k ∴+=-=++A B x x ∴-==2k t =3,2A B x x t >-=32u t =-0,2A B u x x >-==2u =AOB ∆122A B A B x x x x =⨯⨯-=-∴△AOB 面积的最大值为； （3）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心， 设，因为，所以．于是设直线的方程为，代入椭圆方程， 消元可得．由，得，且, 由题意应有，所以，所以．整理得． 解得或．经检验，当时，不存在，故舍去．∴当时，所求直线存在，且直线l 的方程练习3．已知点为椭圆的两个焦点，其中左焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，为椭圆上一点。

222高考数学总复习第六讲：解析几何高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥 曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线 中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查 直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这 点值得考生在复课时强化. 一、圆锥曲线的几类基本习题一. 弦的中点问题具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为 ( x , y ) ， ( x , y ) ，1122代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

例1 给定双曲线 x 2 - y 2 = 1 。

过 A （2，1）的直线与双曲线交于2两点 P 及 P ，求线段 P P 的中点 P 的轨迹方程。

1 212分析：设 P ( x , y ) ， P ( x , y ) 代入方程得 x 2 - y 12 = 1 ， x 2 - y 2 = 1 。

1 1122212两式相减得( x + x )( x - x ) - 1 ( y + y )( y - y ) = 0 。

1 2 1 2 1 2 1 2又设中点 P （x,y ），将 x + x = 2 x ， y + y = 2 y 代入，当 x ≠ x 时121212得程。

因此所求轨迹方程是 8( x - 1) 2 - 1 2 a 2 b 22 x - 2 y · y 1 - y 2 = 0 。

2 x - x1 2又 k = y 1 - y 2 = y - 1 ，x - xx - 212代入得 2 x 2 - y 2 - 4 x + y = 0 。

当弦 P P 斜率不存在时，其中点 P （2，0）的坐标也满足上述方1 214( y - ) 2 2 = 1 。

热点09 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：55分钟）1．（2019·福建三明一中高三月考）已知1F，2F为椭圆2222:1,(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30︒的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥，122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程是（ ）A ．22184x y +=B ．22182x y +=C ．22162x y +=D ．22164x y +=2．（2019·贵州高三月考（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，Q 为抛物线上一点，连接PF 并延长交抛物线的准线于点P ，且点P |2||=PQ QF ，则直线PF 的方程为（ ）A 0y -=B 0y +C 0y -=0y +D ．10x -=3．（2019·广东实验中学高三月考（理））(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条D ．既不充分也不必要条件4．（2019·全国高三月考（理））双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以F为圆心的圆()2232x y -+=与双曲线C 的两条渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22172x y -=B ．22271x y -=C ．22181x y -=D ．22118x y -=5．（2019·广东高三月考（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=6．（2019·安徽高三月考（理））已知2F 是双曲线22:193x yC -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．D ．7．（2019·河北高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C b a a b -=>>的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且5PB BQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．23B ．32C D ．28．（2019·山东济南外国语学校高考模拟（理））已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A B ．2-C - D 1二、填空题9．（2019·山东高三）直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B两点，则p =______，11AF BF+=______． 10．（2019·浙江高三期中）已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.11．（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B=u u u r u u u r，则k =___. 12．（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 三、解答题13．（2019·重庆高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P O 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u r u u u r为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由.14．（2019·陕西高考模拟（理））已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．15．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a＞b ＞0，其短轴长为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==u u ur u u u r u u u r EQ μuuu r（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．16．（2019·黑龙江高三期中（理））如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为E 的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的周长为4+.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）设,C D 是椭圆E 上两不同点，//CD AB ，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于,M N两点，且,MC CN MD DN λμ==u u u u r u u u r u u u u r u u u r，求λμ+的取值范围.17．（2019·北京高考模拟（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=u u u r u u u r u u u u r r，求证：由点M以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。