2019-2020年高考数学专题复习数列的综合应用教案文

2019-2020年高考数学 专题2：数列的题型与方法（文科）教案 苏教版一、考点回顾1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式，等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质。

2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法：①若1(1)()n k a a n d a n k d =+-=+-，则{}n a 为等差数列； ②若，则{}n a 为等比数列；③中项公式法：验证都成立。

3．在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当10a >,d<0时，满足的项数m 使得m S 取最大值.(2)当10a <,d>0时，满足的项数m 使得m S 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

4．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。

5．数列的综合应用：⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。

⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。

6．注意事项：⑴证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或11-+=n n n n a aa a 而得。

⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。

⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

⑷注意一些特殊数列的求和方法。

⑸注意n s 与n a 之间关系的转化。

如：n a =,,11--n n s s s 21≥=n n ，n a =∑=--+nk k k a a a 211)(．⑹数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力． ７．知识网络111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1. （山东省滨州市2007年高三第三次复习质量检测）已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a21101322==⇒=+-∴q q q q 或 211=∴≠q q1)21(64-⨯=n n a 故（II ）n b n n n -==⨯=--72log ])21(64[log 7212⎩⎨⎧>-≤-=∴7777||n n n nb nn n n n T b n n )13(2)76(,6||,71-=-+==≤∴时当 2)7)(6(212)7)(71(,1||,778--+=--++==>n n n n T T b n n 时当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)13(n n n n n n T n点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

2019-2020年高考数学重点难点讲解数列综合应用教案旧人教版纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n －1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知Sn=1++…+,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n ∈N*)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2.解：∵Sn=1++…+.(n ∈N*)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n 的增函数∴f(n) min=f(2)=∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f(n)＞［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2恒成立只要＞［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2成立即可由得m ＞1且m ≠2此时设［logm(m －1)］2=t 则t ＞0 于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1由此得0＜［logm(m －1)］2＜1解得m ＞且m ≠2.●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“xx年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(xx年~xx年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn；(3)设r=219.2－1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求Pn(b).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)xx年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至xx年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至xx年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；(3)求xn.参考答案难点磁场解：(1)设f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1设{rn}的公比为q，则①②②÷①得q==t+1，代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n －1］歼灭难点训练一、1.解析：当a=n 时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn1)111(lim )(lim 1111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=∞→∞→n d d d n n n n n n n n答案：A二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP 110252221sin ||||21102sin ,102722514||||cos 21212121212121=⨯⨯⨯==∴=∴=⨯=∴∆OP P OP S OP P OP OP OP P P OP 答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n 次有纯酒精a(1－)n 升.答案：a(1－)n4.解析：从xx 年到xx 年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈1xx0(亿元).答案：1xx0三、5.解：(1)由题意得rqn －1+rqn ＞rqn+1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得：q2－q －1＜0，解得＜q ＜,因q ＞0,故0＜q ＜;(2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a q a q a a a a a b b q a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n .b1=1+r ≠0，所以{bn}是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而bn=(1+r)qn-1.当q=1时，Sn=n(1+r),1)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim ,0)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,1;11)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,10;0)1(1lim 1lim -∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-==-+-=--+=>+-=-+-=--+=<<=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n q r b q q r q S q r q S qq r S q rq q r q S qq r S q r n S 有由所以时当时当.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n q n r q n r q r q r b b n n n n,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N*)时，Cn 随n 的增大而减小，故1＜Cn ≤C21=1+=2.25 ①当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N*)时，Cn 也随n 的增大而减小，故1＞Cn ≥C20=1+=－4 ②综合①②两式知，对任意的自然数n 有C20≤Cn ≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25，最小项C20=－4.6.解：(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1－)b ，第3位职工的奖金a3=(1－)2b ，…，第k 位职工的奖金ak= (1－)k －1b;(2)ak －ak+1=(1－)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设fk(b)表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f1(b)=(1－)b,f2(b)=(1－)2b,…,fk(b)=(1－)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1－)nb,故.7.解：设an 表示第n 年的废旧物资回收量，Sn 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) (2)S6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨) ∴从1996年到xx 年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到xx 年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，∴从1996年到xx 年共节约：≈3 平方公里.8.解：(1)当n ≥3时，xn=;a a x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测an=(－)n-1a(n ∈N)证法一：因为a1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)所以an=(－)n-1a.证法二：用数学归纳法证明：(ⅰ)当n=1时，a1=x2－x1=a=(－)0a,公式成立；(ⅱ)假设当n=k 时，公式成立，即ak=(－)k －1a 成立.那么当n=k+1时，ak+1=xk+2－xk+1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++ .)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式an=(－)n-1a 成立.(3)当n ≥3时，有xn=(xn －xn －1)+(xn －1－xn －2)+…+(x2－x1)+x1=an －1+an －2+…+a1,由(2)知{an}是公比为－的等比数列，所以a.2019-2020年高考数学重点难点讲解 直线方程及其应用教案 旧人教版 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的. ●难点磁场(★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sinACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C(x,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(acos α,asin α)、(bcos α,bsin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： kAC=tanxCA=,.cos sin tan x b b xCB k BC -==αα于是tanACB=ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x x ab b a x x b a ab x b a由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tanACB ≤,当且仅当=x ，即x=时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳. ［例2］预算用xx 元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★★★★级题目.知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解.错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解.解：设桌椅分别买x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(，) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得 ∴B 点的坐标为(25，)所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z=x+y 在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x ∈N,y ∈N*,故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p ＞0).一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M(如下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明：y1·y2=－p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属★★★★★★级题目. 知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时.技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ 的方程为y=k(x －) ①由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px 中，整理，得y2－y －p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2= －p2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M(，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x直线QN 的方程为y=－1,Q 点的纵坐标y2=－1，由题设P 点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故P 点坐标为(4，4)将y=－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x=,故N 点坐标为(，－1)由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x+y －12=0,设M 点关于直线NP 的对称点M1(x1,y1)⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x 的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M 关于直线PN 对称.●锦囊妙计1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.求线性目标函数z=ax+by 的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t 值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)设M=，则M 与N 的大小关系为( )A.M ＞NB.M=NC.M ＜ND.无法判断2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )A.15B.30C.36D.以上都不对二、填空题3.(★★★★)直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________.4.(★★★★)自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x －4y+7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.5.(★★★★)函数f(θ)=的最大值为_________，最小值为_________.6.(★★★★★)设不等式2x －1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x 的范围为_________.三、解答题7.(★★★★★)已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.8.(★★★★★)设数列{an}的前n 项和Sn=na+n(n －1)b ，(n=1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0.(1)证明：{an}是等差数列.(2)证明：以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.(3)设a=1,b=,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C 外时，r 的取值范围.参考答案难点磁场证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc －1)x+2－b －c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b ＜1. ∵f(－1)=1－bc+2－b －c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0f(1)=bc －1+2－b －c=(1－b)(1－c)＞0∴线段y=(bc －1)x+2－b －c(－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.歼灭难点训练一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(10xx ，10xx ）及C(10xx ，10xx ）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y=x ，点A 在直线的下方，∴kAB ＞kAC,即M ＞N. 答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x点(x,y ）应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11.以上共有15个，x,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.答案：C二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.答案：P(5，6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x2+y2－4x －4y+7=0关于x 轴对称的圆相切.答案：3x+4y －3=0或4x+3y+3=05.解析：f(θ)=表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.答案： 06.解析：原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m ≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.答案：三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1,x2＞1,点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).因为A 、B 在过点O 的直线上，所以,又点C 、D 的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2). 由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====由此得kOC=kOD,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1∴x2=x13将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当n ≥2时，有an=Sn －Sn －1=［na+n(n －1)b ］－［(n －1)a+(n －1)(n －2)b ］=a+2(n －1)b.因此，当n ≥2时，有an －an －1=［a+2(n －1)b ］－［a+2(n －2)b ］=2b.所以{an}是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a a a b n n na a a S n S n n ∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a －1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)= (x －a),即x －2y+a －2=0.(3)解：当a=1,b=时，Pn 的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1由不等式②，得r ＜－或r ＞+由不等式③，得r ＜4－或r ＞4+再注意到r ＞0,1＜－＜4－=+＜4+故使P1、P2、P3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞) ① ② ③。

专题32 数列及其综合应用1. 掌握数列的求和方法：(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)<n2<n(n＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．高频考点一等差、等比数列求和公式及利用例1 已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列．(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2) 求数列{b n}的前n项和．从而b n＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．(2) 由(1)知b n＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．数列{3n}的前n 项和为32n(n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n－1，所以，数列{b n }的前n 项和为32n(n ＋1)＋2n－1.【变式探究】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N ＋)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.高频考点二 可转化为等差、等比数列求和 例2、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n∈N *.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．则A ＝2（1－22n）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n]＝n. 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.高频考点三 根据数列特征，用适当的方法求和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn(k∈N *)，且S n 的最大值为8.(1) 确定常数k ，求a n ；(2) 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .【解析】(1) 当n ＝k∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n(n≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n.(2) 因为b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.【变式探究】已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *)，且{b n }是以q 为公比的等比数列．(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2；(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1a 2n.【解析】(解法1)(1) 证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q, ∴ a n ＋2＝a n q 2(n∈N *) . (2) 证明：∵ a n ＝a n －2q 2，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q2n －2，∴ c n ＝a 2n－1＋2a 2n ＝a 1q2n －2＋2a 2q2n －2＝(a 1＋2a 2)q2n －2＝5q2n －2，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝(1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1)＋(1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n )＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2.由题知q>0，当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n ；当q≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n－1q 2n －2（q 2－1）.故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n－1q 2n －2（q 2－1），q≠1.面同解法1)．高频考点四 数列求和的综合应用例4 将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{b n}，b1＝a1＝1，S n为数列{b n}的前n项和，且满足2b nb nS n－S2n＝1(n≥2)．【解析】(1) 证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n成等差数列，并求数列{b n}的通项公式；所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，则S＝b k（1－q k）1－q＝－2k（k＋1）·（1－2k）1－2＝2k（k＋1）(1－2k)(k≥3)．1.【2016高考天津理数】已知{}n a是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,b nn N∈*是na和1na+的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n nc b b n N+=-∈，求证：{}n c是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn nka d Tb n N===-∈∑，求证：2111.2nk kT d=<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）证明：由题意得21n n n b a a+=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-+++-+()()()24222222221,n n d a a a n a a d d n n =++++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k kT d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 2.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-．解得1λ=-．3.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II）若32n na⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n*∈N，证明：2na≤，n*∈N．【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．【解析】（I）由112nnaa+-≤得1112n na a+-≤，故111222n nn n na a++-≤，n*∈N，否则，存在n*∈N，有2na>，取正整数00342log2nnam->且00m n>，则0304002log23322244nnamm nna-⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n*∈N，均有2na≤．4.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设数列A：1a，2a,…Na (N≥).如果对小于n(2n N≤≤)的每个正整数k都有ka＜na，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“)(AG是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】（1）()G A 的元素为2和；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】（Ⅰ）)(A G 的元素为和.（Ⅱ）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}12,i i i N a a *∈≤≤>≠∅N . 记{}1min 2,i m i i N a a *=∈≤≤>N ，则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,. 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G . （Ⅲ）当1a a N ≤时，结论成立.又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G . 从而对任意p n k N ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤.对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a . 所以p a aa a a a i ip n pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.因此)(A G 的元素个数p 不小于1N a a -. 5.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221ny x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】（Ⅰ）1=n n a q ；（Ⅱ）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q .所以双曲线2221n y xa 的离心率 22(1)11nnn e a q ．由2513q q 解得43q . 因为2(1)2(1)1+k kq q 2(1)1*1+k k q q kN （）.于是11211+1n n nq e e e q qq ， 故1231433n nn e e e . 6.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =．（2）{}n a 不具有性质P ．（3）见解析．（3）[证]充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．7.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】8.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T . 【解析】（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令UE CD =，UF DC =则E ≠∅，F ≠∅，EF =∅.于是C E C D S S S =+，D F C D S S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设是E 中的最大数，为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-， 从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤，故21EF S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由. 【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在 【解析】（1）证明：因为112222n n n n a a a d a ++-==（1n =，2，）是同一个常数，所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k na a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a+，并令1d t a=（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=- 得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得， 211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；（2）由题意得21n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤， ∴11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++.【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩; （II ）13631243n n n T +=+⨯.所以1113T b ==当1n > 时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-两式相减，得()()012122333133n nn T n ---=+++--⋅ ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ 所以13631243n n n T +=+⨯ 经检验，1n = 时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=+⨯ 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 【答案】（Ⅰ）1n n x n =+；（Ⅱ）14n T n≥.【解析】当2n ≥时，因为222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n x n n n n n-------==>==， 所以211211()2234n n T n n->⨯⨯⨯⨯=. 综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥.1．(2014·湖南卷) 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 2．(2014·安徽卷) 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立． 当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立．即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p，则x p ≥c ， 所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p＝p －1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p时，f (x )>f (c 1p)＝c 1p. ①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎪⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．3．(2014·湖北卷) 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.4．(2014·江西卷) 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解析】(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.6.(2014·四川卷) 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图像上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .【解析】(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2， 所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 7．(2014·浙江卷) 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n .(ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n－（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4.8．(2013年高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：P 1：数列{a n }是递增数列； P 2：数列{na n }是递增数列； P 3：数列{a nn }是递增数列；P 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4【答案】D9．(2013年高考重庆卷)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.【解析】因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64. 【答案】6410． (2013年高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.【解析】(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.1．在数列{a n }中，a 1＝1，数列{a n ＋1－3a n }是首项为9，公比为3的等比数列． (1)求a 2，a 3；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n .解：(1)∵数列{a n ＋1－3a n }是首项为9，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1－3a n ＝9×3n －1＝3n ＋1，∴a 2－3a 1＝9，a 3－3a 2＝27，∴a 2＝12，a 3＝63. (2)∵a n ＋1－3a n ＝3n ＋1，∴a n ＋13n ＋1－a n3n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是首项为13，公差为1的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n ＝n 3＋nn －12＝3n 2－n6.2．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式； (2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1an ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． (1)a 2－1a 1＝2，以上各式相加得1a n －14＝n 2－n ，所以a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝42n －12(n ∈N *)．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴3a 1＋3d ＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ， ①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1n ≥2， ②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n(n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n. (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立，设c n ＝n2n ，当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝12，故λ>12.所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝∵n ∈N *，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝12n ＋12n －1>0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13.综上所述，13≤T n <12.5.对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设数列{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝74.(1)求数列{a n }的通项公式，并判断数列{S n }是否为“减差数列”；(2)设b n ＝(2－na n )t ＋a n ，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，求实数t 的取值范围． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 1＝1，S 3＝74，所以1＋q ＋q 2＝74，即4q 2＋4q －3＝0， 所以(2q －1)(2q ＋3)＝0.因为q >0，所以q ＝12，所以a n ＝12n －1，S n ＝1－12n1－12＝2－12n －1，所以S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2<2－12n ＝S n ＋1，所以t >⎝⎛⎭⎪⎫1n －2max＝1.故t 的取值范围是(1，＋∞)．6.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围.解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8. ∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·l og 122n ＝－n ·2n， ∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1.专业. ＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，得2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立， ∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1，即m <12n －1对任意正整数n 恒成立.∵12n －1>－1， ∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1].。

2019-2020年高考数学一轮复习 3.5 数列的应用教案●知识梳理1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.●点击双基1.已知{a n }是递增的数列，且对于任意n ∈N *，都有a n =n 2+λn 成立，则实数λ的取值范围是A.λ＞0B.λ＜0C.λ=0D.λ＞－3 解析：由题意知a n ＜a n +1恒成立，即2n +1+λ＞0恒成立，得λ＞－3. 答案：D 2.设a 1，a 2，…，a 50是从－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1+a 2+…+a 50=9，且（a 1+1）2+（a 2+1）2+…+（a 50+1）2=107，则a 1，a 2，…，a 50中有0的个数为A.10B.11C.12D.13解析：将已知的等式展开整理得a 12+a 22+a 32+…+a 502=39，故此50个数中有11个数为0. 答案：B3.如下图，它满足：（1）第n 行首尾两数均为n ；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（n ≥2）第2个数是_______________.解析：设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律，则a n +1=a n +n ，累加得a n =a 1+1+2+3+…+（n －1）=222+-n n .答案：222+-n n4.已知a n =log n +1（n +2）（n ∈N *），观察下列运算a 1·a 2=log 23·log 34=2lg 3lg ·3lg 4lg =2， a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6=log 23·log 34·…·log 67·log 78=2lg 3lg ·3lg 4lg ·…·6lg 7lg ·7lg 8lg =3. ……定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的k （k ∈N *）叫做企盼数.试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k =2008时，企盼数k =______________.解析：由a 1·a 2·…·a k =2lg 3lg ·3lg 4lg ·4lg 5lg ·…·)1lg()2lg(++k k =2lg )2lg(+k =log 2（k +2）=2008，解之得k =22008－2.答案：22008－2 ●典例剖析 【例1】 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:（1）2005年底的住房面积为1200（1+5%）－20=1240（万平方米），2006年底的住房面积为1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米. （2）2024年底的住房面积为1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20=1200（1+5%）20－20×05.0105.120-≈2522.64（万平方米），∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 【例2】 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t ，第二天运送1100 t ，以后每天都比前一天多运送100 t ，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t ，连续运送15天，总共运送21300 t ，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解：设在第n 天达到运送食品的最大量.则前n 天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列. a n =1000+（n －1）·100=100n +900.其余每天运送的食品量是首项为100n +800，公差为－100的等差数列. 依题意，得1000n +2)1(-n n ×100+（100n +800）（15－n ）+2)14)(15(n n --×（－100）=21300（1≤n ≤15）.整理化简得n 2－31n +198=0.解得n =9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量.评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a 1=104，经过n 年后绿化的面积为a n +1，试用a n 表示a n +1；（2）求数列{a n }的第n +1项a n +1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771） 剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：（1）设现有非绿化面积为b 1，经过n 年后非绿化面积为b n +1. 于是a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意，a n +1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a n 减去被非绿化部分1002a n 后剩余的面积10098a n ，另一部分是新绿化的面积1008b n ，于是 a n +1=10098a n +1008b n =10098a n +1008（1－a n ）=109a n +252.（2）a n +1=109a n +252，a n +1－54=109（a n －54）.数列{a n －54}是公比为109，首项a 1－54=104－54=－52的等比数列.∴a n +1=54+（－52）（109）n.（3）a n +1＞60%，54+（－52）（109）n ＞53，（109）n ＜21，n （lg9－1）＜－lg2，n ＞3lg 212lg ≈6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.思考讨论你知道他是怎么想出{a n －54}中的54来的吗？ ●闯关训练夯实基础1.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是A.32S B.34S C.36S D.38S 解析：一次砍伐后木材的存量为S （1+25%）－x ； 二次砍伐后木材存量为［S （1+25%）－x ］（1+25%）－x .由题意知（45）2S －45x －x =S （1+50%），解得x =36S.答案：C2.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n 层与第n +1层花盆总数分别为f （n ）和f （n +1），则f （n ）与f （n +1）的关系为A.f （n +1）－f （n ）=n +1B.f （n +1）－f （n ）=nC.f （n +1）=f （n ）+2nD.f （n +1）－f （n ）=1 答案：A3.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元.解析：存款从后向前考虑（1+p ）+（1+p ）2+…+（1+p ）5=pp p ]1)1)[(1(6-++=p 1［（1+p ）7－（1+p ）］.注：2008年不再存款. 答案：p1［（1+p ）7－（1+p ）］ 4.某工厂去年产值为a ，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________.解析：每年的总产值构成以a （1+10%）=1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，∴S 5=1.11)1.11(1.15--a =11×（1.15－1）a .答案：11×（1.15－1）a5.从盛满a L （a ＞1）纯酒精容器里倒出1 L ，然后再用水填满，再倒出1 L 混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.解：每次用水填满后酒精浓度依次为a a 1-，（a a 1-）2，（aa 1-）3，…，故每次倒出的纯酒精为1，a a 1-，（a a 1-）2，…，（aa 1-）n －1，….∴第九、十两次共倒出的纯酒精为 （a a 1-）8＋（a a 1-）9＝（a a 1-）8（1＋aa 1-）＝98)1)(12(a a a --.培养能力6.已知直线l 上有一列点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），…，其中n ∈N *，x 1=1，x 2=2，点P n +2分有向线段1+n n P P 所成的比为λ（λ≠－1）.（1）写出x n +2与x n +1，x n 之间的关系式； （2）设a n =x n +1－x n ，求数列{a n }的通项公式.解：（1）由定比分点坐标公式得x n +2=λλ+++11n n x x .（2）a 1=x 2－x 1=1，a n +1=x n +2－x n +1=λλ+++11n n x x －x n +1=－λ+11（x n +1－x n ）=－λ+11a n ，∴n n a a 1+=－λ+11，即{a n }是以a 1=1为首项，－λ+11为公比的等比数列. ∴a n =（－λ+11）n －1. 7.（2002年春季北京，21）已知点的序列A n （x n ，0），n ∈Ｎ*，其中x l ＝0，x 2＝a （a ＞0），A 3是线段A l A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….（1）写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式（n ≥３）；（2）设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a l ，a 2，a 3，由此推测数列｛a n ｝的通项公式，并加以证明.解：（1）当n ≥3时，x n =221--+n n x x .（2）a 1=x 2－x 1=a ，a 2=x 3－x 2=212x x +－x 2=－21（x 2－x 1）=－21a ，a 3=x 4－x 3=223x x +－x 3=－21（x 3－x 2）=－21（－21a ）=41a ，由此推测：a n =（－21）n －1a （n ∈N *）.证明如下：因为a 1=a ＞0，且a n =x n +1－x n =21-+n n x x －x n =21n n x x --=－21（x n －x n －1）=－21a n－1（n ≥2），所以a n =（－21）n －1a . 探究创新ij （1）写出a 45的值；（2）写出a ij 的计算公式；（3）证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积.（1）解：a 45=49.（2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j =4+3（j －1）， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j =7+5（j －1）， ……第i 行是首项为4+3（i －1），公差为2i +1的等差数列， 因此a ij =4+3（i －1）+（2i +1）（j －1）=2ij +i +j =i （2j +1）+j .（3）证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i 、j 使得N =i （2j +1）+j ， 从而2N +1=2i （2j +1）+2j +1=（2i +1）（2j +1），即正整数2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N +1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k 、l ，使得2N +1=（2k +1）（2l +1），从而N =k （2l +1）+l =a kl ， 可见N 在该等差数阵中.综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积.●思悟小结1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.2.将实际问题转化为数列问题时应注意： （1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求a n 还是求S n ，特别要准确地确定项数n .3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透. ●教师下载中心 教学点睛1.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识.2.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样.3.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.4.强化转化思想、方程思想的应用. 拓展题例【例1】 杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题： （1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； 第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算？并说明理由.解：（1）设引进设备n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则y =50n －（12n +2)1(-n n ×4）－98=－2n 2+40n －98，由y ＞0，得10－51＜n ＜10+51.∵n ∈N *，∴3≤n ≤17， 即3年后开始盈利. （2）方案一：年平均盈利为n y ，n y =－2n －n98+40≤－2n n 982⋅+40=12，当且仅当2n =n98，即n =7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元. 方案二：盈利总额y =－2（n －10）2+102，n =10时，y 取最大值102， 即经过10年盈利总额最大， 共计盈利102+8=110万元.两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.【例2】 据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.（1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.0810≈2.159）（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b 1表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b 2表示2004年底该市堆积的垃圾数量……b n 表示2002+n 年底该城市堆积的垃圾数量，①求b 1；②试归纳出b n 的表达式（不用证明）.解：（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x 万吨.依题意，得10+x +1.08x +1.082x +…+1.089x =50，∴08.1108.1110--·x =40.∴x =108.108.010-×40≈2.76万吨. ∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨.（2）①b 1=50×80%+3=43（万吨）.②∵b 1=50×80%+3=50×54+3， b 2=54b 1+3=50×（54）2+3×54+3，b 3=54b 2+3=50×（54）3+3×（54）2+3×54+3，∴可归纳出b n =50×（54）n +3×（54）n －1+3×（54）n －2+…+3×54+3=50×（54）n +3×541)54(1--n=50×（54）n +15［1－（54）n ］=35×（54）n +15. 这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨.。

数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。

检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。

二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。

三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。

等差数列的前n项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

2019-2020年高三数学 第25课时 第三章 数列 数列的实际应用专题复习教案一．课题：数列的实际应用二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；2．能够把实际问题转化成数列问题．三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题．四．教学过程：（一）主要知识：1．解应用问题的核心是建立数学模型；2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型；3．注意问题是求什么（）．（二）主要方法：1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数计算准确；3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．（三）例题分析：例1．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，（1）求的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则，221555()(1)444a ab a b =-=-+， 32325555()[()1]4444a a b a b =-=-++， ………12*55555()[()()1]()4[()1]()44444n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈． （2）当时，有得55197()4[()1]44729n n a a a --⨯<即，所以，lg 51lg 27.2lg 52lg 213lg 2n ->=≈--． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元，设第个月月底余，第个月月底余，则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥，从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，设，∴是等比数列，∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==）解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-（万元） 到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）∴甲方案扣除本息后的净获利为：（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==（万元）贷款的本利和为：1091.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=-（万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：（万元）所以，甲方案的获利较多．例4．某工厂在xx 年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元，（1）求的通项公式；（2）当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？（3）当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？ 解：（1）由题意得，当时，，当时，， ∴12(1)23()()(2)32n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩． （2）由已知， 当时，1121222832838()()2[()()]327232729n n n n n a a a a a a ----=+≥⨯=要使得上式等号成立，当且仅当，即，解得，因此这个人第三年收入最少为元．（3）当时，121223233()()()()32382n n n n n a a a b a a ----=+≥+≥=，上述等号成立，须且2233121log 1log 223n =+>+=因此等号不能取到， 当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．（四）巩固练习：某工厂生产总值月平均增长率为，则年平均增长率为（ ）。