2019-2020学年高中数学 第19课时 数列复习专题3教学案 苏教版必修5.doc

2019-2020年高中数学 《数列（2）》教案2 苏教版必修5【三维目标】：一、知识与技能1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.理解数列的前项和与的关系；掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式．4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.二、过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程。

三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列的递推公式的理解与应用；难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.2.提问：已知数列满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩，能写出这个数列的前5项吗？ 思考：已知在数列中，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？二、研探新知1．递推公式（1）递推公式的概念：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用表示钢管数，表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3______年______月______日____________________部门20xx最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为A．(2)性质：P(A)＋P(A)＝1，P(A)＝1－P(A)．1．从集合的角度理解互斥事件与对立事件．设两个事件分别为A 和B，则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示．(2)事件A和B对立可用图(2)表示．2．运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．[例1] 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件．并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．[思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断．[精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件．道理是：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不可能是互斥事件．从而也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件．也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．也是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．[一点通]对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和是不是必然事件，这是判断两个事件对立的基本方法．1．下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件其中，正确的个数是________．解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有②④正确．答案：22．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(3分)故事件A，B，C的概率分别为，，分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋分)∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(6分)＝＝.故1张奖券的中奖概率为分)(3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，分)∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P＝＋＝.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E 概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.答案：3 54．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)m)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，16)(m)；(2)[8，12)(m)；(3)水位不低于14 m.解：设水位在[a，b)范围内的概率为P([a，b))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P([10，16))＝P([10，12))＋P([12，14))＋P([14，16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P([8，12))＝P([8，10))＋P([10，12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P([14，18))＝P([14，16))＋P([16，18))＝0.16＋0.08＝0.24.[例3] 一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2， (9)从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？[思路点拨] 用对立事件的性质去求解．[精讲详析] 从9张票中任取2张，有(1，2)，(1，3)，…，(1，9)；(2，3)，(2，4)，…，(2，9)；(3，4)，(3，5)，…，(3，9)；…(7，8)，(7，9)；(8，9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2，4，6，8的四张票中任取2张有(2，4)(2，6)(2，8)(4，6)(4，8)(6，8)共6种取法．∴P(C)＝＝，由对立事件的性质得P(B)＝1－P(C)＝1－＝.[一点通]1．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．2．涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．5．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的对立事件为两颗卫星预报都不准确，故所求概率为1－(1－0.8)·(1－0.75)＝0.95.答案：0.956.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示．随机选出一个成员，求：(1)他至少参加2个小组的概率；(2)他参加不超过2个小组的概率．解：(1)由题图知3个课外兴趣小组的总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A表示“选取的成员至少参加2个小组”．于是P(A)＝1－P(A)＝1－＝.(2)用事件B表示“选取的成员参加不超过2个小组”，用B表示“选取的成员参加3个小组”，所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.1．利用互斥事件的概率加法公式可以求一些复杂事件的概率，但一定要注意公式使用前提，一是两两互斥，二是有一个发生．2．利用互斥事件与对立事件的概率公式有助于解决较复杂的古典概型问题，可以把一个复杂事件分成几个简单的互斥事件或者考虑一个事件的对立事件往往能达到化繁为简的目的．课下能力提升(十八)一、填空题1．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________．①至少有一个红球；至少有一个白球②恰有一个红球；都是白球③至少有一个红球；都是白球④至多有一个红球；都是红球解析：对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．答案：②2．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．解析：∵摸出红球的概率P1＝＝0.45，∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.答案：0.323.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15、0.20、0.45，则不中靶的概率是________．解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C，D彼此互斥，故射手中靶概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0．15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率P(D)＝1－P(A ＋B＋C)＝1－0.80＝0.20.答案：0.204．袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有1个白球的概率是________．解析：从5个球中任取两个球含10个基本事件，取得的两球中没有白球的含3个基本事件，且此事件与事件A：“取得的两球中至少有一个白球”对立，则P(A)＝1－P()＝1－＝.答案：7 105．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，所以P(A)＝，所以P()＝1－P(A)＝1－＝.答案：3 5二、解答题6．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．7．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员中属于一支球队”为事件A，则事件A的概率为P(A)＝＝.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率为P(B)＝1－＝.8．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示“和为6”的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，以B表示“甲至少赢一次”的事件，C表示“乙至少赢两次”的事件，则B与C是否为互斥事件？试说明理由；(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)令x、y分别表示甲、乙出的手指数，则基本事件可表示为坐标中的数表示甲、乙伸出的手指数的和．因为S中点的总数为5×5＝25，所以基本事件总数n＝25.事件A包含的基本事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个，所以P(A)＝＝.(2)B与C不是互斥事件，如“甲赢一次，乙赢两次”的事件中，事件B与C是同时发生的．(3)由(1)知，和为偶数的基本事件数为13个，即甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平．。

2019-2020年高三数学二轮复习专题3数列与递教案苏教版【高考趋势】近几年高考中，数列问题除在小题中有两题左右外，大题常在最后两题之一的位置。

小题一般为概念性问题，只要掌握等差、等比的基本属性便能解决，而大题的综合性较强，常从数列的递推关系式入手，化归为等差或等比数列，求出其通项公式，再进一步研究其和，构造不等式等，在证明不等式时，常利用函数的思想解决有关问题。

【考点展示】1、等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+1-a，则实数a的值为。

2、等差数列{a n}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和S n=100,则n等于。

3、若f(n)=1+(nN*)，则按此形式写出f(1)的表达式应有f(1)=(不必算出最后结果)4、设{a n}为公比q1的等比数列，若a xx和a xx是方程4x2-8x+3=0的两根，则a xx+a xx=5、在等差数列{a n}中，a5=4, a7=-2，则|a1|+|a2|+…+|a10|=【样题剖析】例1、设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列。

（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna3n+1, nN*，求数列{b n}的前n项和T n。

例2、已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和满足S n1，且6S n=(a n+1)(a n+2), nN*。

（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a n(2b n-1)=1，并记T n为{b n}的前n项和，求证：3T n+1log2(a n+3), nN*。

例3、在数列{a n}中，a1=2, a n+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(nN*)，其中λ0。

（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）证明：存在kN*，使得对任意nN*均成立。

例4、已知函数f(x)=x2-4，设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴的交点（x n+1,0）(nN*),其中x n为正实数。

数 列教学目标1．理解数列概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列的通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4．数列的前n 项的和的公式及其应用． 5．提高观察、抽象的能力． 教学重点1．理解数列概念； 2．通项公式的应用． 教学难点根据一些数列的前几项写出数列的一个通项公式．克服难点的关键是由各项的特点，分析、寻找各项的构成未规律． 教学方法发现式教学法教学过程 设置情境考察下列问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图），那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． ①人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…． ②某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…． ③“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为1，21，41，81，161，…． ④ 某种树木第1年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼枝（如图），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，…． ⑤从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32． ⑥问题1 这些问题有什么共同的特点？ 把数按照一定的次序排成一列．意义建构、数学理论 数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number ），数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为｛n a ｝．其中1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．思考：能不能把数列的定义改成“按照一定规律排列的一列数称为数列”？数列中数的有序性，如果我们将数列1，2，4，8，16，…中2，4位置交换得：1，4，2，8，16，…这个数列就是与原数列不同的数列了．项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．在数列｛n a ｝中，1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．数列的分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．在上面我们考察的数列中那些是有穷数列，那些是无穷数列？学生活动问题2 上面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 20， 22， 24， 26， 28，…． ①↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数列的某一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 218+=来表示其对应关系，即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项．进一步考察上面这些数列，依次可以写出第n 项与n 的关系如下： 数列②：n a =1740+(n-1)83(n ∈N *)，数列③：12-=n n a （n ≥1，n ∈N ），数列④：121-=n n a （n ≥1，n ∈N ）．必须注意，不是所有的数列都可以写出上面这样的关系的，如数列⑥．通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．问题3 数列的通项公式与函数有何联系？为了解决这个问题我们先回顾函数的有关概念．在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义:如果A 、B 都是非空数集，那么A 到B 的某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从从A 到B 的一个函数，记作：)(x f y =，其中A x ∈．从函数的观点来观察数列的通项公式，数列实际上就是特殊的函数，数列可以看作是一个定义域为正自然数集N +（或它的有限子集{}n ,,2,1Λ的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式．我们知道函数通常可以用列表法、图象法和解析式法来表示，因此数列也可以用列表法、图象法及解析式来表示．数列的通项公式实际上就是数列的解析式．下面我们结合例题来看看如何用列表法及图象法表示数列．数学应用例1 已知数列｛n a ｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）n a ＝1+n n； （2）n a ＝nn 2)1(-．解 n123451+=n n a n 213243 54 65 n nn a 2)1(-= 21-41 81- 161 321-特点：它们都是一群弧立的点．从函数的观点看数列，它就是一种特殊函数的一列函数值．因为，数列中的每一个数都对应着一个序号；反之，每个序号也都对应着数列中一个数，如数列1，21，31，41，51中第3项（序号3）就对应着数31，第5项对应着数51．因此，可以认为这个数列是定义在集合{1，2，3，4，5}上的函数f (n )依次得到的函数值，而f (n )＝n1就是这个函数的解析式． 为什么要用函数的观点看数列呢？因为这样才能从本质上去理解数列的通项公式、求和公式、递增与递减等等有关问题，并用所学过的函数知识去指导我们解有关数列的问题．一方面不是所有的数列都很方便地能写出它的通项公式（如同有的函数关系不能用解析式表达一样）；另一方面，有的数列的通项公式在形式上可能不唯一，如―1，1，―1，1，―1，1,…，它的通项公式可以是a n ＝(－1)n，也可以是a n ＝cos n π，还可以是⎪⎩⎪⎨⎧-=.1,1为奇数时为奇数时n n a n例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2122-，3132-，4142-，5152-；（3）211⨯，321⨯-，431⨯，541⨯-．［分析］（1）项1=2×1-1， 3=2×2-1， 5=2×3-1， 7=2×4-1， ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 ∴12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1∴11)1(2+-+=n n a n ；‖ ‖ ‖ ‖ )11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯-∴)1(1)1(+-=n n a nn ．例3 写出以下各数列的一个通项公式：（1）－1，58，－715，924，－1135，…； （2）2－1，4＋21，8－31，16＋41，…；（3） 0.9，0.99，0.999，0.9999，…；帮助学生分析为什么题中要说明是写出一个通项公式．解 （1）要求出此数列的通项公式应分别寻找符号、分子、分母的变化规律．符号：－1，1，－1，1，…规律为(－1)n ；分母：3，5，7，9，11…(第一项应化成－33)，规律为2n ＋1；分子：3，8，15，24，35，…，可看作22－1，32－1，42－1，52－1，62－1，…规律为（n +1）2－1，故a n ＝(－1)n 121)1(2+-+n n ．（2）数列的每一项分别由两部分组成，前一部分2，4，8，16，…，规律为2n ；后一部分－1, 21，－31，41，…，规律为nn 1)1(⋅-， ∴ a n ＝2n＋n n )1(-．（3）数列可看成1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…， ∴nn a --=101．[说明] 仅仅根据数列的前几项写出数列的通项公式应该说是不科学的，因为后面未写出的项是否满足此规律不得而知，因此这类题仅作“寻找数列各项变化规律”的练习用，以培养观察、分析能力．例4 已知数列a 1＝2，a n ＋1＝2＋nna a -12，写出它的前4项．解： a 1＝2，a 2＝2＋1112a a -＝－2，a 3＝2＋2212a a -＝2＋32)2(1)2(2=---⨯， a 4＝2＋3312a a -＝6． [说明] 通过递推关系给出数列也是构成数列的一种重要方法，数学中有不少重要的数列都是由递推公式构成的，如由a 1＝a 2＝1，且a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)就得出有名的斐波拉契数列：1，1，2，3，5，8，13，…．数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n 与a n 之间的关系为：211 1 ⨯↓ 321 3 ⨯-↓ 431 3 ⨯-↓ 541 4 ⨯-↓ （3）序号⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 这个关系式今后常常要用．例5 数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋1，求a 1、a 5的值．解： 根据⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 可得311==S a ， 183351455=-=-=S S a ．课堂练习（1）若数列的通项公式是a n ＝n (n ＋1)，则a n ＋1－a n 为（ ）．[C]Ａ．2n Ｂ．2n ＋1 Ｃ．2n ＋2 Ｄ．2n ＋3（2）数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式中不能作为它的通项公式的是（ ）．[C]Ａ．2)1(11+-+n Ｂ．si n 22πn Ｃ．3)4)(2(--n n Ｄ．2cos 1πn -（3） 已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第 项．[21]（4） 写出下列数列的一个通项公式：① －1，3，－5，7，－9，…； ② －267,175103,51-，…； ③ 1618,816,414,212，…； ④ 189,167,145,123+-+-,…． [①2n －3；② (－1)n 1)1(122++-n n ； ③ 2n ＋(21)n ；④ n n 212+＋(－1)n ] （5）已知{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，写出它的前6项，并推测它的通项公式． [ 3，7，15，31，63，127；推测a n ＝2n ＋1－1．]课堂小结这李课我们学习了数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式．。

复习课(一) 算法初步本部分考查题型以填空题为主，主要考查由流程图确定输入、输出的内容及流程图中程序框中文字和符号操作的内容，属于低档题．[考点精要]1．流程图中的程序框图2．算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：(2)选择结构：(3)循环结构：[典例] (1)执行如图(1)的流程图，若输入t ＝0.01，则输出的n ＝________.(2)执行如图(2)的流程图，若输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是________．流程图的识读图(1) 图(2)[解析] (1)运行第一次s ＝1－12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，s ＞0.01；运行第二次s ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2， s ＞0.01；运行第三次s ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5， n ＝3，s ＞0.01；运行第四次s ＝0.125－0.0625＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，s ＞0.01； 运行第五次s ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5， s ＞0.01；运行第六次s ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6， s ＞0.01；运行第七次s ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，s <0.01； 输出n ＝7.(2)依题意及框图可得， ⎩⎨⎧ －2＜x ＜2，1≤2x≤3或⎩⎨⎧|x|≥2，1≤x ＋1≤3，解得0≤x ≤log 23或x ＝2.[答案] (1)7 (2){x |0≤x ≤log 23或x ＝2} [类题通法]理解程序框图表示的算法含义，逐次运行程序是解决此类问题常用的方法．[题组训练]1．(北京高考)执行如图所示的流程图，输出的结果为________．解析：x ＝1，y ＝1，k ＝0, s ＝x －y ＝0, t ＝x ＋y ＝2, x ＝s ＝0，y ＝t ＝2, k ＝1 不满足k ≥3，s ＝x －y ＝－2, t ＝x ＋y ＝2, x ＝－2, y ＝2, k ＝2 不满足k ≥3，s ＝x －y ＝－4, t ＝x ＋y ＝0, x ＝－4, y ＝0, k ＝3 满足k ≥3，输出结果为(－4,0)．答案：(－4,0)2．(安徽高考)执行如图所示的算法流程图，输出的n 为________．解析：执行第一次判断|a －1.414|＝0.414＞0.005，a ＝32，n ＝2；执行第二次判断|a －1.414|＝0.086＞0.005，a ＝75，n ＝3；执行第三次判断|a －1.414|＝0.014＞0.005，a ＝1712，n ＝4； 执行第四次判断|a －1.414|＜0.005，输出n ＝4. 答案：43．执行如图所示的流程图．如果输出i ＝4，那么空白判断框中应填入的条件是______．解析：根据流程图 i ＝2时，s ＝5； i ＝3时，s ＝8；i ＝4时，s ＝9，此时输出i ＝4，故应填s <9. 答案：s ＜9本部分考查题型以填空题为主，主要考查由伪代码确定相应的算法，进而确定输入输出的内容，解决此类问题常常把伪代码转化成流程图来解决．[考点精要]识读伪代码1．赋值语句的一般格式：变量←表达式．2．输入、输出语句：用Read a ，b 表示输入的数据依次赋值给a ，b . 用Print x 表示输出运算结果x . 3．条件语句的一般形式： If A Then B ElseCEndIf4．条件语句的嵌套的一般形式：其相应的流程图如下图所示：5．循环语句当型语句： 直到型语句： While P循环体End WhileDo循环体Until P End Do当循环的次数已经确定，可用“For ”语句表示．“For ”语句的一般形式为： For I From “初值”To“终值”Step“步长” 循环体EndFor[典例] (1)(江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________． S←1I←1While I ＜8S←S ＋2I←I ＋3End While Print S(2)某算法的伪代码如图所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值为________．Read xIf x ＞1 Then y←log2x Else y←x －1End If Print y(3)如图所示的伪代码是求1＋12＋…＋11 000的值的伪代码，在横线上应填入的语句是________．s←0For i From 1 To 1 000s← End For Print s[解析] (1)由程序可知S ＝1，I ＝1，I ＜8； S ＝3, I ＝4，I ＜8； S ＝5, I ＝7，I ＜8； S ＝7, I ＝10，I ＞8； 此时结束循环，输出S ＝7.(2)本题的伪代码是条件语句，算法的功能是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x ＞1，x －1，x≤1的函数值，已知输出结果为12，即函数值为12，若x ＞1，则有log 2x ＝12，解得x ＝2，符合x ＞1；若x ≤1, 则有x －1＝12，∴x ＝32，不符合x ≤1；∴输入实数x 的值为 2.(3)由算法语句可知，要填的应该是被执行的循环体，故填s ＋1/i . [答案] (1)7 (2) 2 (3)s ＋1/i [类题通法]解决此类问题关键要深刻理解伪代码表示的算法语句，注意算法流程图和算法伪代码的相互转化．[题组训练]1．根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2和3时，最后输出的m 值为______． Read a ，bIf a ＞b Then m←a Else m←b End If Print m解析：∵a ＝2，b ＝3，∴a ＜b ，应把b 赋值给m, ∴m 的值为3.答案：32．某算法的伪代码如下：． 解析：由算法的伪代码知其功能为 S ＝0＋11×3＋13×5＋…＋199×101＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋199－1101 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1101＝50101. 答案：501013．如图是求20个数的平均数的程序，在横线上应填入的语句是______． S←0I←1DoRead x S ＝S ＋xI ＝I ＋1Until End Do a ＝S/20Print a解析：由语句直到型循环可知I ＞20. 答案：I ＞201．下面这段伪代码的功能是______． n←0Read x1，x2，…，x10For i From 1 To 10 If xi ＜0 Thenn←n ＋1End If End For Print n答案：统计x1到x10这十个数据中负数的个数2．如图所示，算法的结果为________．解析：∵b＝5＋10×5＝55，∴2b＝110.答案：1103．(天津高考)执行如图所示的流程图，则输出的s值为________．解析：s＝20，i＝1，i＝2i＝2，s＝s－i＝20－2＝18，不满足i＞5；i＝2i＝4，s＝s－i＝18－4＝14，不满足i＞5；i＝2i＝8, s＝s－i＝14－8＝6，满足i＞5.故输出s＝6.答案：64．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y值为______．解析：当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2，当x＝2时，不满足x＜2，则y＝3×22＋1＝13.答案：135．如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．解析：n＝1,21<20；n＝2,22<20；n＝3,23<20；n＝4,24<20；n＝5,25>20，故输出n＝5.答案：56．如图是计算某年级500名学生期末考试(满分100分)及格率q的流程图，则图中空白框内应填入______．解析：由判断框可知M表示及格人数，N表示不及格人数，∴及格率q＝M500.答案：q←M 5007．执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的s属于________．解析：当0≤t≤2时，s＝t－3，此时s∈[－3，－1]，当－2≤t<0时，执行t←2t2＋1后，1＜t≤9，执行1＜t≤9时，输出s＝t－3，此时s∈(－2,6]，故s∈[－3,6]．答案：[－3,6]8．(全国卷Ⅱ)执行如图所示流程图，若输入的a，b分别是14,18，则输出的a值为________．解析：a＝14，b＝18，第一次循环14≠18且14＜18，b＝18－14＝4；第二次循环14≠4且14＞4，a＝14－4＝10；第三次循环10≠4且10＞4，a＝10－4＝6；第四次循环6≠4且6＞4，a＝6－4＝2；第五次循环2≠4且2＜4，b＝4－2＝2；第六次循环a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2.答案：29．执行如图所示的流程图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是________．解析：第一步，s＝s·log k(k＋1)＝log23，k＝2＋1＝3；第二步，s＝s·log k(k＋1)＝log23·log34＝log24，k＝3＋1＝4；第三步，s＝s·log k(k＋1)＝log24·log45＝log25，k＝5；…；第n步，s＝log2(n＋1)·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)，k＝n＋2，若输出s＝3，则log2(n＋2)＝3，n＋2＝8，n＝6，k＝n＋2＝8，说明k＝8时结束，故应填k≤7.答案：k≤710．执行如图所示流程图，若输入x ＝－2，h ＝0.5，则输出的各个数的和为______．解析：输入x ＝－2时，y ＝0，执行x ←x ＋0.5后，x ＝－1.5； 当x ＝－1.5时，y ＝0，执行x ←x ＋0.5后，x ＝－1； 当x ＝－1时，y ＝0，执行x ←x ＋0.5后，x ＝－0.5； 当x ＝－0.5时，y ＝0，执行x ←x ＋0.5后，x ＝0； 当x ＝0时，y ＝0，执行x ←x ＋0.5后，x ＝0.5； 当x ＝0.5时，y ＝0.5，执行x ←x ＋0.5后，x ＝1； 当x ＝1时，y ＝1，执行x ←x ＋0.5后，x ＝1.5； 当x ＝1.5时，y ＝1，执行x ←x ＋0.5后，x ＝2； 当x ＝2时，y ＝1，此时2≥2，结束循环． 故输出各数之和为0.5＋1＋1＋1＝3.5. 答案：3.511．将下列问题的算法改为“Do …End Do ”语句形示，并画出其流程图． i←1S←0While i≤10 S←S ＋i i←i ＋1End While Print S解：伪代码： 流程图如图： i←1S←0DoS←S ＋ii←i ＋1Until i ＞10End Do Print S12．民乐乐团筹备了一场新年音乐会.12月31日晚在中山音乐礼堂演出，并对外售票，成人票5元，学生票3元．假设有n 个成人和m 个学生参加了新年音乐会．请设计算法(用伪代码表示)，完成售票计费工作，要求输出最后的票房收入，并画出流程图．解：流程图： 伪代码：13．某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法，每位顾客一次购物：①在1 000 元以上者按九五折优惠； ②在2 000元以上者按九折优惠；③在5 000元以上者按八折优惠．(1)写出实际付款y (元)与购物原价款 x (元)的函数关系式；(2)用伪代码表示(1)中的算法．解：(1)设购物原价款数为x 元，实际付款为y 元，则实际付款方式可用分段函数表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x≤1 000，0.95x ，1 000<x≤2 000，0.9x ，2 000<x≤5 000，0.8x ，x>5 000.(2)用条件语句表示为14．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，x ＞0，1，x ＝0，－x2＋2，x ＜0，画出相应的流程图并写出程序语句．解：由于函数分为三段，故用三个判断框或两个判断框来画流程图．法一：三个判断框 法二：两个判断框Read x , If x ≤1 000 Then y ←x Else If x ≤2 000 Theny ←0.95xElse If x ≤5 000Then y ←0.9x Else y ←0.8x End IfEnd IfPrint y程序语句如下：法一：三个判断框法二：两个判断框Read xIf x＞0Then y←2x＋3 End IfIf x＝0Then y←1End IfIf x＜0Then y←－x2＋2 End IfPrint y Read xIf x＞0Theny←2x＋3ElseIf x＝0Then y←1Elsey←－x2＋2End IfEnd IfPrint y。

2019-2020年高中数学 7.4.3《复习课2》教案 苏教版必修3学习要求1、复习几何概型的概率公式并能综合应用；2、复习两个互斥事件的概率加法公式并能综合应用．【课堂互动】自学评价1、. 电脑”扫雷”游戏的操作面被平均分成480块,其中有99块埋有地雷,现在操作面上任意点击一下,碰到地雷的概率为( D )A. B. C. D.2、 向面积为S 的△内任投一点P,则△的面积小于的概率为_________.3(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0．65，乙的命中率为0．60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．65＋0．60＝1．25，为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0．25，命中靶的其余部分的概率是0．50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．25＋0．50＝0．75，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为．由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于这样做对吗?说明道理．【解】 (1)(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1．【精典范例】例1 在(0,1)区间内任意取两实数,求它们的和大于而小于的概率.【解】设两实数分别为,则,则样本空间对应的几何区域是边长为1的正方形,两数的和大于而小于,即,则事件发生的几何区域是两直线和之间而又在正方形内的区域A,符合几何概率, ∴221314A P -===21（）区域的面积2正方形的面积.例2 假设一直角三角形的两直角边长都是0,1间的随机数,试求斜边长小于事件的概率.【解】设两直角边长分别为,则斜边长=,样本空间为边长为1的正方形区域,而满足条件的事件所在的区域的面积为,因此,所求事件的概率为.例3 从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会．如果选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名?【解】设男生有名，则女生有名．选得2名委员都是男性的概率为．选得2上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于， 得213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x xx即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名．总之，男女生相差6名．例4有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求(1)三个人都分配到同一房间的概率;(2)至少有两个人分配到同一房间的概率.（点拨:∵三个人以同样的概率分配到每个房间,而三个人中每个人都可以分配到四个房间中的每一间,∴共有4×4×4=种方法.）【解】 (1)三个人分配到同一房间有4中分法,故由等可能事件的概率可知,所求的概率为.(2)设事件A为”至少有两人分配到同一房间”,则事件A的对立事件为”三个人分配到三个不同的房间”.∵三个人分配到三个不同房间共有种方法,∴,∴.追踪训练1、某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是和．试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率．()2、从4双不同的鞋子中任取4只,则至少有2只配对的概率为。

等差数列、等比数列-----复习（三）例1．（1）已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则212b a a -的值为__________（2）设,21=a 数列{}n a 21+是公比为2的等比数列，则=6a __________ （3）若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁（4）数列{}n a 中，已知对任意+++∈321*a a ，a N n …,13-=+nn a 则+++232221a a a …2n a +等于例2．（1）已知等比数列｛n a ｝的公比为2，若a a 20032002+=，且A 、B 、C 三点共线（直线不过原点O ），则20052004a a +＝_____________ （2）在等比数列{}n a 中，公比,2=q ,7799321=⋅⋅⋅+++a a a a 则=⋅⋅⋅++9963a a a _______（3）已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，且1818212=⋅⋅⋅⋅a a a ，若2=q ，则=⋅⋅⋅⋅⋅18963a a a a _____________例3．（1）在等比数列}{n a 中，若1049S =，20112S =，则30S = ． （2）已知等比数列{}n a 中前8项的和,308=S 前16项的和,15016=S 求20S例4．数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知,11=a n n S n n a 21+=+，证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列例5．在等比数列{}n a 中，110a >，公比()0,1q ∈，且153528225a a a a a a ++=，又3a 与5a 的等比中项为2，①求n a ；②设2l o g n n b a =，数列{}n b 的前n 和为n S ，当1212nS S S n+++最大时，求n 的值。

总 课 题 数列总课时 第17课时 分 课 题数列复习专题（一）分课时 第 1 课时教学目标 系统掌握数列有关概念和公式并会运用解决问题. 重点难点 等差、等比数列的概念和公式． 引入新课1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． 2．等差、等比数列的定义． 3．等差、等比数列的通项公式． 4．等差中项、等比中项．5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．例题剖析（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为 ．（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 ．（4）一个数列的前n 项和为n S n n 1)1(4321+-++-+-=Λ，则=++503317S S S ．（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，22n n a =，则这个数列前m 2项的和为 ．例1（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++Λ321a a a)(426422m m a a a a a ++++=Λ，则=1a ，公比=q ．（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=55b a ．（8）已知方程022=++m x x 和022=+-n x x 一共四个根组成一个首项为3的等差数列，则=-n m ．（9）一个直角三角形三边长组成等差数列，则它的三边长从小到大的比值为 ．例2 某三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．课堂小结等差、等比数列的概念和公式．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边长分别为（ ） A ．5，8，11 B ．9，12，15 C ．10，13，16 D ．15，18，21 2．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：（1）{}2n a 是等比数列；（2）{}1+n na a 是等比数列；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列；（4）{}||lg n a 是等比数列； 其中正确命题的序号为 ．3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）16795431，，，； （2）978756534312⨯⨯ ⨯ ⨯，，，； （3）11，101，1001，10001；（4）818929432- - ，，，；二 提高题 4．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．5．等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33， 且181=-m a a ，求通项公式．6．在等差数列{}n a 中，已知)(q p p S q S q p ≠= =，，求q p S +．三 能力题7．如图是第七届国际数学教育大会)7(-ICME 的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角形组成的，其中18732211=====A A A A A A OA Λ，记821OA OA OA ，，，Λ的长度所组成的数列为{}n a )81(≤≤ ∈+n N n ，,写出数列{}n a 的通项公式． 2A4A3A5A6A8．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉，再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉，如此继续下去……（1）第三次分割时共挖掉了多少个正方形？（2）设原正方形边长为a，第n次分割时共挖掉了多少个正方形？这些正方形的面积和为多少？。

2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点) 2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类，完成下列问题．阅读教材P311．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}，其中a1称为数列{a n}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，a n称为第n项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 教材整理2 数列的通项公式阅读教材P 32～P 33的有关内容，完成下列问题． 1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】 1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n ＝2n －1，n ∈N *. 【答案】 a n ＝2n －1，n ∈N *2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，则a 5＝________. 【解析】 ∵a n ＝3n －2，∴a 5＝3×5－2＝13. 【答案】 13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】【自主解答】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝n ＋2－n2n －1(n ∈N *)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1nn ＋(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….【导学号：91730020】【解】(1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n＝2n－12n.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋1 2＋1，－22＋12×2＋1，所以a n＝(－1)n＋1n2＋12n＋1.n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n}中的项？3是否为{a n}中的项？【精彩点拨】(1)令n＝1,2,3求解即可；(2)令a n＝45或a n＝3解n便可．【自主解答】(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{a n}的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{a n}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n的方程；(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－21n2(n∈N*)．(1)0和1是不是数列{a n}中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】(1)令a n＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{a n}中的第21项．令a n＝1，得n2－21n2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n}中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n，a n＋1，则有a n＝a n＋1，即n2－21n2＝n＋2－n＋2，解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]探究1 (小)项？【提示】可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n}中，n∈N*.探究2 如何定义数列{a n}的单调性？【提示】对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n＋1与a n的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．【精彩点拨】 利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围． 【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k2，∴当－k2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)． ∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n ，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：91730021】【解】 由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －942＋1058.由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)1，－23，35，…，－n －1·n2n －1，…；(5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列⎝ ⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列； (5)是摆动数列，也是无穷数列； (6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5) 2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n＝n ＋1.【答案】 a n ＝n ＋1 3．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．【解析】如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2­1­1的方法搭三角形：图2­1­1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.【答案】a n＝2n＋15．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2＋3n(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项； (2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？ 【解】 (1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8.又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有________．【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．【答案】①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．①a n＝n2－n＋1；②a n＝n n－2；③a n＝n n＋2；④a n＝n2＋1.【解析】令n＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．【解析】 由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20. 【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1. ∵25＝20＝3×7－1， ∴25是数列的第7项． 【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2­1­2【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2. 【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________.【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15. 【答案】 3－22n158．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30. 【解析】 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值． 【答案】 ① 二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式． 【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ， 又a 1＝3，a 10＝21， ∴⎩⎨⎧k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n}是由{a n}的偶数项组成，∴b n＝a2n＝2×2n＋1＝4n＋1(n∈N*)．10．已知数列{a n}的通项公式为a n＝9n2－9n＋29n2－1(n∈N*)．(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．【解】(1)a n＝9n2－9n＋29n2－1＝n－n－n－n＋＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10项a10＝28 31 .(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，又n∈N*，所以0<33n＋1<1.所以0<a n<1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，则a3＋a5的值为______.【导学号：91730024】【解析】由a1·a2·a3·…·a n＝n2，∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝9 4，同理a5＝25 16，∴a3＋a5＝61 16 .【答案】6116图2­1­32．如图2­1­3，五角星魅力无穷，一动点由A处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】设a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝1分别对应点A，B，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，∵a2 016＝a2 015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．【答案】A3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________.【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.【答案】274．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性．【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，可得f(2a n)＝a n－1an＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.故a n＝n－n2＋1.(2)法一：(作商比较)a n＋1 an ＝n＋－n＋2＋1n－n2＋1＝n＋n2＋1n ＋＋n＋2＋1<1.因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．法二：(作差比较)an＋1－a n＝n＋1－n＋2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝n2＋1－nn2＋1＋1＋n2＋2n＋2>0.所以数列{a n}是递增数列．。