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函数的奇偶性-PPT精品课件

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函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件

函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件
f(x)＝－f(－x)． (2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如 f(1)＝f(－1)， 再验证． (3)可考虑 f(x)在[－2,2]上的单调性．
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1

函数的奇偶性课件PPT(共20张PPT)

函数的奇偶性课件PPT(共20张PPT)

已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，
并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下
图补充完整。
y
y
o
x
f(x)
o
x
g(x)
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用 到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方 用到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用到 了今天的知识吗？
3、什么是轴对称图形和中心对称图形。
y
y=x
2
9 从图象上你能发 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
2、通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括力。
8 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
从图象上你能发现什么吗？
现什么吗？
已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
f(-1)=1 =f(1) 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
-3 -2 -1 0 1 2 3 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
观察图象，你能发现它们的共同特征吗？
6 4
y
y=x
2
6y 4
y=
1 x
2
42 -2 -4 -6
246 x
42 -2 -4 -6
246 x
f(-3)=3 =-f(3) f(-2)=2 =-f(2)
f(-1)=1 =-f(1)
f(-3)=- 13=-f(3) f(-2)=- 12=-f(2)

函数的奇偶性-精品课件

函数的奇偶性-精品课件

如右图所示: 图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
f(x)=2x+1
思考2：以下两个函数是奇函数吗？ 是 偶函数吗？
(1) f(x)= x
(2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4)
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点 对称
∴f(x)为非奇非偶函数
解: ∵定义域不关于原点 对 称 或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数
解：定义域是x x o
f (x) x 1 (x 1)
x
x
即f x f x
f x为奇函数
(4) f (x) 1 x2 1
解：定义域是R f (x) 1 1
（ x）2 1 x 2 1
即f x f x
f x为偶函数
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.
3判断奇偶性方法: 图象法，定义法。
4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
思考3:
在前面的几个函数中有的是奇
函数，有的是偶函数，也有非 y 奇非偶函数。那么有没有这样
的函数，它既是奇函数又是偶
函数呢？
有。例如: 函数 f(x)=0
0 -1 1
x
是不是只有这一个呢？ 若不是， 请举例说明。
f(x)=0
根据奇偶性, 函数可划分为四类:

函数的奇偶性(课件PPT)

函数的奇偶性(课件PPT)

作业:
P39 : 1、2
5 5 f ( x ) ( x ) x f ( x) ， 于原点对称，并且
所以函数是奇函数。
（4）函数的定义域为 (,0) (0,)关于原点
对称。对于函数定义域内的每一个
f ( x)
x ，都有
1 1 f ( x )所以函数是偶函数。 2 2 ( x) x
问题5：如何判断f(x)是奇函数？ 1 形----函数图像关于原点对称（图像容易画出的
函数） 2 数----利用定义 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域
是否关于原点对称
（2）确定f(x)与f(-x)的关系
（3）若f(-x)= -f(x)，则f(x)是奇函数
问题6：你能举一些奇函数吗？
比如： f ( x ) x; f ( x ) 1 等等 x
问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？
比如： f ( x ) x 2 1；f ( x ) 2 等等 2 x 11
练习：下列哪几个函数是偶函数？
(1) f ( x) 2 x
2
不是 不是 不是
(2) f ( x) x , x (1,2)
(3) f ( x ) x 2 (4) f ( x ) 3
问题4：如何判断一个函数是偶函数？
1 形----函数图像关于y轴对称（图像容易画出 的函数） 2 数----利用定义 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域 是否关于原点对称 （2）确定 f ( x)与f ( x) 的关系 （3）若 f ( x) f ( x)，则 f ( x )是偶函数
2
不是
奇函数和偶函数的比较：
函数 定义域 函数满足 的条件 图像特点 代表函数 奇函数 偶函数 函数的定义域关于原点对称

函数的奇偶性 PPT精品课件

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函数的奇偶性 PPT精品 课件
演讲人

目录
01. 函数的奇偶性 PPT精品课件 02. 相关结论
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函数奇偶性（奇函数/偶函数，英文：Even function / Odd function） 是描述函数图像对称性的一种基本性质。对于一个定义域关于原点对称的 函数而言，如果恒成立，则称为偶函数，如果恒成立，则为奇函数。 1727 年，瑞士数学家欧拉 (L. Euler) 在研究幂函数的性质时首次提出函数 奇偶性的概念，“奇函数”“偶函数”的命名也是根据指数为偶数的幂函 数为偶函数，而指数为奇数的幂函数为奇函数而得来的。
相关结论
定义域关于原点对称的常数函数既是奇函数也是偶函数，且既奇又偶的函数必 为常数函数。 若函数的定义域关于原点不对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数。或 者说，函数为奇或偶函数的必要条件是它的定义域关于原点对称。
谢谢

《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件

《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;

奇偶性(共10张PPT)

奇偶性(共10张PPT)
x)x1 x
解：(1)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即 f(-x)=f(x)
∴ f ( x) x是4 偶函数.
1 (4) f(x)x2
(2)定义域为(-∞,+∞)
∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) 即 f(-x) = -f(x)
∴ f ( x) x是5 奇函数.
情景1：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具
有对称特征的美丽图像,比如
y x2, y等函1数图像.
x
f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？ 这就是本课时学习的函数的奇偶性.
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的 图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
定义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
f(x)=x2
f(x)=|x|
∴
是偶函数.
f(-3)=9=f(3)
f(-3)=3=f(3)
(2)定义域为(-∞,+∞)
f(-1)=-1=-f(1) 即 f(-x)=f(x)
f(-2)=4=f(2)
f(-2)=2=f(2)
(3)定义域为{x|x≠0}
f(-1)=1=f(1) 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.
个整体性质，它不同于函数的单调性是在一个区间 . 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.

人教版函数的奇偶性-高中数学(共41张PPT)教育课件

人教版函数的奇偶性-高中数学(共41张PPT)教育课件

f(－x)＝ f(x) 函数f(x)叫作偶函数
图象关于 y轴 对称
f(－x)＝ －f(x) 函数f(x)叫作奇函数 图象关于 原点 对 称
3
知识点聚焦：
• 二、奇偶性
定义
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数 f(x)具有 奇偶性
图象特征 奇(偶)函数 图象关于原点或y轴对称
4
探究一 函数奇偶性的判断
∵f(x)是奇函数，
•
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．
• 【答案】B
37
随堂训练
• 5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，那么f(－1)＋f(0)＝( )
•
A．－2
B．0
C．1
D．2
38
解析：
• 【解析】函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。

3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)

3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)

f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1

探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数

1 第1课时　函数奇偶性的概念(共45张PPT)

1 第1课时　函数奇偶性的概念(共45张PPT)

【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.

函数的奇偶性的性质PPT教学课件

函数的奇偶性的性质PPT教学课件

CH2—OH＋ 3HO C R 催化剂 CH —O—C—R ＋ 3H2O
加热
O
CH2—OH
CH2—O—C—R
2020/10/4
动物脂肪与植物油
2020/10/4
不同的油脂性质不同（R不同）
多数动物脂肪因饱和脂肪酸 甘油酯含量高在常温下呈固态
植物油因不饱和脂肪酸甘油 酯含量高而在常温下呈液态
油脂的生理功能
2020/10/4
水解 胃蛋白酶
氨基酸
酶
多肽
肽键 人体蛋白质
3、氨基酸
（1）结构：
羧酸分子中烃基上的氢原子被氨基 （ NH2）取代的产物。
（2）通式：
2020/10/4
O R CH—C—OH
NH2
（3）常见氨基酸及其酸碱性
甘氨酸 （H2N—CH2—COOH） (中性)
谷氨酸（HOOC—CH2—CH—COOH）
吃哪类油脂更利于健康
富含不饱和高级脂肪酸的植物油 特别是：必需脂肪酸的植物油
必需脂肪酸（P27）： 亚油酸 亚麻酸
花生四烯酸
2020/10/4
三、人必须吃含蛋白质的食物吗
1、蛋白质是构成人体的基础物质
人体内，肌肉、血液、内脏、神经、 毛发以及各种酶、抗体等都含有蛋白质。
2、蛋白质在人体内的转化
含有蛋白 质的食物
当x 0 时，f (x) x2 3x ,求 当x 0 时 f (x) 的解析式.
f (x) x2 3x(x 0)
例3、 设函数 f (x) 2x2 mx 3 ，
已知 f ( x 1) 是偶函数，求实数m的值.
例4、 已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且对任意实数x都有 f (x 3) f ( x) 0 ，

函数的的奇偶性PPT教学课件

函数的的奇偶性PPT教学课件

又∵f(x)在(-1,1)上为减函数， ∴
1-a>a2-1 -1<1-a<1 -1<a2-1<1,解得0<a<1.
（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)<g(m)，可得g(|1m|)<g(|m|),
又当x≥0时，g(x)为减函数，得到
|1-m|≤2 |m|≤2
1 解之得-1≤m< 2
（4）f(x)= 1 x2 x2 1
.
x
11
(1)x x 定1 1
(x)2 1 x2 x2
义 域 为
x1 x
得x2 1
（
3 ）
函
数
的
定
义
域
为
A
=
{
学点二 由奇偶性求函数解析式 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求 函数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析 式间的联系.
（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个 函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数， 既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.
判断下列函数的奇偶性：
1
1
（1）f(x)=x+ （3）f(x)=x+
xx
;
1
;
（2）f(x)=x2+ x2 ;
|1-m|>|m|,.
1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？
（1）对于函数奇偶性的理解
①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数 的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意 义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是 函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都 有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.
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y
(-a,f(-a)) -a (a,f(a))
o
a
x
偶函数的图象关于y轴对称，反过 来，如果一个函数的图象关于y轴 对称，那么这个函数是偶函数.
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 yy 轴左边的图象。
o
x
第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x)
理解定义
f ( x) x , x [2,4]的图像如图所示
2
y
-2
o
4
x
能说f ( x) x , x [2,4]为偶函数吗？
2
函数具有奇偶性的前提是什么？ 函数的定义域关于原点对称
对于奇、偶函数定义的几点说明:
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。 (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
是偶函数，且知道x ≥0是的图像，请作 y 出另一半图象。
x
例3. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x
∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x)
(2)
f(x)=3x4+6x2 +a
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x)
解: 定义域为R
解: 定义域为R
∴f(x)为偶函数
∴f(x)为奇函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称. ⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
1 (3) f ( x) x x
1 (4) f ( x) 2 x 1
解：定义域是R 1 1 f ( x) 2 2 （ x） 1 x 1 即f x f x f x 为偶函数
给出函数
判断定义域 是否对称 是
否
(3)作出结论. f(-x)与f(x) f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函 数或即是奇函数又是偶函数。
结论
练习: 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 偶函数 ________ 奇函数 ② f(x)= x -1 __________
④ f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________
4、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3)等
于（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 5、已知函数f(x)=x3，-5≤x<5，则下列结论正 确的是（ ） （A） 函数f(x)是奇函数 （B）函数f(x)的图像关于原点中心对称 （C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x) （D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域
x x o 解：定义域是
1 1 f ( x ) x ( x ) x x 即f x f x f x 为奇函数
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.
y
fx = x
（2）
O x0 x0
x
fx = x3
1 f ( x) ( x 0) x

例如：函数f(x)=x2 ，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x)
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点 对称
∴f(x)为非奇非偶函数
或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16;
f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇 函数，有的是偶函数，也有非 奇非偶函数。那么有没有这样 的函数，它既是奇函数又是偶 函数呢？
（1）图像法 （2）定义法
典例详解
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y y
x
x
f ( x) x 2
2
y
f ( x) －x 2 2 x
y
x
x
f ( x) 2 x 1
f ( x) 2 x , x 1
y
-a
(a,f(a))
o
a
x
(-a,f(-a))
奇函数的图象关于原点对称，反过来， 如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数.
③ f(x)=x ________ 奇函数 ⑤ f(x)=x5 __________ 奇函数
对于形如 f(x)=x n ( n Z ) 的函数，在定义 域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？ y
分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
有。例如：函数 f(x)=0 是不是只有这一个呢？若不是， f(x)=0 请举例说明。
y
0
-1
1
x
根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
结论:当自变量x任取定义域
-x
x
中的一对相反数时,对应的
函数值相等，即f(-x)=f(x)
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x x
结论:当自变量任取定义域中的 两个相反数时,对应的函数值也 互为相反数,即f(-x)=-f(x)
函数奇偶性的定义:
奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
偶函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
在日常生活中，有非常多的轴对称现象， 如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几 个例子。 除了轴对称外，有 些是关于某点对称，如 风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
y
（1）
-1 O 1 x
f(x)=x2
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
在线测试
1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？ （1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2) ( ) （2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（ ） （3）若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数（ ） 2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 3、下列四个结论： 偶函数的图像一定与y轴相交； 奇函数的图像一定过原点； 偶函数的图像关于y轴对称； 奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)） 表述正确的个数是 A、1 B、 2 C、3 D、4
∴ 2 0 f(x) -1 1
f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
f(x)=2x+1
思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶 函数吗？
(1) f(x)=
x
(2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4) 解: ∵定义域不关于原点 对 称