函数单调性与奇偶性典型例题讲解ppt课件
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函数单调性与奇偶性典型例题讲解
又∵f(x)在 R 上递减， ∴x2－x+3x＜3,∴x2+2x－3＜0∴－3＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
人教版高中数学课件：正弦函数性质(单调性与奇偶性)新人教版
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=- |sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
, k , k
4
], k Z
4
y为增函数 y为减函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
3 4 3 4
,k Z ,k Z
为减区间。 为增区间。
当
2k
x 3
4
2k
2
6k
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
函数的奇偶性和单调性-课件
性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
高三一轮函数的奇偶性与单调性54页PPT
高三一轮函数的奇偶性与单调性
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·—孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·—孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
1.3函数的基本性质——奇偶性1课件人教新课标
(是偶函数)
练习
3. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
图象，求f (－4).
y
y
2
2
O⑴
4 x – 3 –1 O ⑵ x
4. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部 图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
《习案》P.168第3题
例1 已知函数f (x)是偶函数，而且 在(0，＋∞)上是减函数，判断f (x) 在(－∞，0)上是增函数还是减函数， 并证明你的判断.
例2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且 f ( x) g( x) 1 ，求函数f (x)，g(x) x1
的解析式；
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函 数，且f (x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
f (x)
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.
课堂小结
1. 奇函数、偶函数的定义； 2. 奇函数、偶函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33-P.36； 2．《学案》双基训练P.37-P.38.
1.3 函数的基本性质 ——奇偶性
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习
3. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
图象，求f (－4).
y
y
2
2
O⑴
4 x – 3 –1 O ⑵ x
4. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部 图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
《习案》P.168第3题
例1 已知函数f (x)是偶函数，而且 在(0，＋∞)上是减函数，判断f (x) 在(－∞，0)上是增函数还是减函数， 并证明你的判断.
例2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且 f ( x) g( x) 1 ，求函数f (x)，g(x) x1
的解析式；
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函 数，且f (x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
f (x)
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.
课堂小结
1. 奇函数、偶函数的定义； 2. 奇函数、偶函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33-P.36； 2．《学案》双基训练P.37-P.38.
1.3 函数的基本性质 ——奇偶性
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
函数的基本性质ppt课件
−
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
即练即清
1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × )
x
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. ( × )
(3)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( × )
1
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 3 .
因此f(1)≠f(-1), f(-1)≠-f(1),
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1 x2 0, 得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
| x 2 | 2,
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1 x2) .
x
又∵f(-x)= lg[1 (x)2]=- lg(1 x2) =-f(x),
1 0
1
+b=ln +b=0,
2 (1 0)
2
∴b=-ln 1 =ln 2,此时f(x)=ln 1 1 +ln 2=ln 1 x ,满足题意.
2
2 1 x
1 x
综上可知,a=-1 ,b=ln 2.
2
答案 -1 ;ln 2
2
即练即清
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
1
3x x2
;(2)f(x)=|x|+x;
2.(2024届江苏淮安期中,7)若函数f(x)=(3aax, x1)x1 4a, x 1,是定义在R上的减函数,则a的 取值范围为 ( A )
A. 18
,
1 3
函数的奇偶性和单调性-课件
函数的奇偶性和单调性
本课件将介绍函数的性质、特点以及例子。包括奇函数和偶函数，单调递增 和单调递减函数。帮助你更好的理解函数的特性和应用。
函数的性质
定义
函数是一种映射方式，将自变 量映射到因变量。函数图像为 曲线或线段。
奇偶性
奇函数满足f(-x)=-f(x)，图像关 于坐标原点对称，如y=x^3。 偶函数满足f(-x)=f(x)，图像关 于y轴对称，如y=x^2。
单调性
单调递增函数满足f(x1)<f(x2)， 若x1 < x2，图像从左往右逐渐 升高；单调递减函数满足 f(x1)>f(x2)，若x1 < x2，图像 从左往右逐渐降低。
奇函数和偶函数
奇函数特点
1. 奇函数关于原点对称；2. 若f(x)存在，则 f(0)=0。
奇函数例子
y=x^3, sin(x), tan(x)
1.导数小于0；2.f'(x)单调递减；3.图
单调递减函数例子
4
像从左往右逐渐降低。
y=-x, 1/x, e^(-x)
总结
通过理解函数的奇偶性和单调性，可以更好地推导和证明一些数学公式的性质。同时，这也是理解和应 用微积分、线性代数等高级数学知识的基础。
举例说明
例一：cos函数
cos函数是一种偶函数，其图 像在[0,π]区间上单调递减，在 [π,2π]区间上单调递增。
函数的最大值和最小值计算可以应用在寻 找最优解的问题中，如代价函数的最小值。
3 质点运动规律4 信源自处理函数可以描述质点的运动规律，如位移、 速度、加速度等。
函数可用于处理信号，如声音、图像、视 频等的编码、解码和压缩等。
例二：指数函数
例三：sin函数
本课件将介绍函数的性质、特点以及例子。包括奇函数和偶函数，单调递增 和单调递减函数。帮助你更好的理解函数的特性和应用。
函数的性质
定义
函数是一种映射方式，将自变 量映射到因变量。函数图像为 曲线或线段。
奇偶性
奇函数满足f(-x)=-f(x)，图像关 于坐标原点对称，如y=x^3。 偶函数满足f(-x)=f(x)，图像关 于y轴对称，如y=x^2。
单调性
单调递增函数满足f(x1)<f(x2)， 若x1 < x2，图像从左往右逐渐 升高；单调递减函数满足 f(x1)>f(x2)，若x1 < x2，图像 从左往右逐渐降低。
奇函数和偶函数
奇函数特点
1. 奇函数关于原点对称；2. 若f(x)存在，则 f(0)=0。
奇函数例子
y=x^3, sin(x), tan(x)
1.导数小于0；2.f'(x)单调递减；3.图
单调递减函数例子
4
像从左往右逐渐降低。
y=-x, 1/x, e^(-x)
总结
通过理解函数的奇偶性和单调性，可以更好地推导和证明一些数学公式的性质。同时，这也是理解和应 用微积分、线性代数等高级数学知识的基础。
举例说明
例一：cos函数
cos函数是一种偶函数，其图 像在[0,π]区间上单调递减，在 [π,2π]区间上单调递增。
函数的最大值和最小值计算可以应用在寻 找最优解的问题中，如代价函数的最小值。
3 质点运动规律4 信源自处理函数可以描述质点的运动规律，如位移、 速度、加速度等。
函数可用于处理信号，如声音、图像、视 频等的编码、解码和压缩等。
例二：指数函数
例三：sin函数
高考数学一轮复习函数的单调性、奇偶性、周期性-教学课件
提示:不能.如 f(x)= 1 及 f(x)=tan x. x
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
函数的奇偶性-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
(3) f (x)在[2,4]上单调递减, f (x)min f (4), f (x)max f (2). 令x y 1得f (2) 2 f (1) 4;令x y 2得f (4) 2 f (2) 2 f (2) 8.
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
函数的奇偶性与单调性.ppt
另一方面，由定义f(-x) ＝-（-x）2+2｜-x｜+3= -x2+2｜x｜ +3= f(x)，故其为偶函数。
3、函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数， 既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不 是奇函数也不是偶函数
例7、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ (x 1)2 (x 1)2
单调性性质规律: 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上： (1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数
f(x)与C·f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)≠0，则函数f(x)与- f(x) 具有相反的单调性. (4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数. (5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·解：f(x)＝x2+2(a-1)x+2＝［x+(a-1)］２-(a-1)2+2，此二次函 数的对称轴是x＝1-a.因为在区间(-∞，1-a］上f(x)是单调递 减的，若使f(x)在(-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须 在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.
2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称.
例1 、试讨论y = x- 1 在区间(0,+∞)上的单调性,并证明
x
评析： 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有 增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.
拓展：已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减 函数，求实数a的取值范围.
3、函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数， 既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不 是奇函数也不是偶函数
例7、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ (x 1)2 (x 1)2
单调性性质规律: 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上： (1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数
f(x)与C·f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)≠0，则函数f(x)与- f(x) 具有相反的单调性. (4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数. (5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·解：f(x)＝x2+2(a-1)x+2＝［x+(a-1)］２-(a-1)2+2，此二次函 数的对称轴是x＝1-a.因为在区间(-∞，1-a］上f(x)是单调递 减的，若使f(x)在(-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须 在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.
2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称.
例1 、试讨论y = x- 1 在区间(0,+∞)上的单调性,并证明
x
评析： 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有 增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.
拓展：已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减 函数，求实数a的取值范围.
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1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函 数的大致图象，然后观察图象得出结论．
2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利 用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注 意“求谁设谁”．
3．解含“f”的不等式，应具备两个方面： 一是能转化为 f(x1)＜f(x2)或 f(x1)＞f(x2)的形式； 二是 f(x)的单调性已知．特别是 f(x)为偶函数时， 应把不等式 f(x1)＜f(x2)转化为 f(|x1|)＜f(|x2|)的形 式，利用 x∈[0，＋∞)的单调性求解．
又 f(－2)＝－1， ∴f(2)＝3．
拓展提升：函数 f(x)，x∈R，若对于任意实数 a，b 都有 f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．
奇偶函数的图象及应用 已知函数 f(x)＝x2＋1 1在区间[0，＋∞)上的图象
如图 2－2－4 所示，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定 义域内的图象，请说明你的作图依据．
图 2－2－4
【思路探究】 先证明 f(x)是偶函数，依据其图象关于 y 轴对称作图． 解：∵f(x)＝x2＋1 1，∴f(x)的定义域为 R．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)ห้องสมุดไป่ตู้0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
【答案】 (－2，0)∪(2，5]
利用函数的奇偶性求解析式
已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x3＋x
＋1，求 f(x)的解析式．
解：∵f(x)为 R 上的奇函数，∴f(0)＝0． 令 x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
从而－f(x)＝－x3－x＋1，即 f(x)＝x3＋x－1.
∴x＜0 时，f(x)＝x3＋x－1．
∴f(x)＝x03，＋x－1，
x＜0 x＝0
．
x3＋x＋1， x＞0
1．本题在求 x＜0 时，f(x)的解析式，用了化归的思想， 即把待求 x＜0 的范围向已知范围 x＞0 转化．
2．如果奇函数 f(x)在原点处有定义，则 f(0)＝0．
又 f(x)是奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)＝－1． 【答案】 －1
4．已知 f(x)＝ax3－bx＋1(a，b∈R)，若 f(－2)＝－1， 则 f(2)的值＝___3______．
解：易见 f(2)＝8a－2b＋1，………① f(－2)＝－8a＋2b＋1，……②
由①＋②得，f(2)＋f(－2)＝2，
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，xx，＜x0＞0 ．
(3)①当 x＜0 时，－x＞0， 且 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； ②当 x＞0 时，－x＜0， 且 f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)． 综上所述，对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 总有 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
x＞0 x＜0
．
已知 f(x)是 R 上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数， 若有 f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，求实数 a 的取值范围． 解：因偶函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
故其图象关于 y 轴对称，且在区间(－∞，0)上是减函数． 又 f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立， 根据 f(x)图象性质可知：|－2a＋3|＞|2a－1|． 两边平方得：(－2a＋3)2＜(2a－1)2， 整理得：8＞8a，解 a＜1， 所以实数 a 的取值范围为(－∞，1)．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
请关注：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函 数在关于原点对称的区间上单调性相反，在利用 f(x1)与 f(x2) 的大小关系推出 x1 与 x2 的关系时，必须要注意 x1 与 x2 是否 属于同一个单调区间，若不属于同一个单调区间，需要利用 奇偶性进行必要的转化，我们在解题中一定不要忽略这一点．
又对任意 x∈R，都有 f(－x)＝(－x1)2＋1＝x2＋1 1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数． 则 f(x)的图象关于 y 轴对称，其图象如图所示：
1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原 点对称，偶函数图象关于 y 轴对称，画图象时，一般先找出 一些关键点的对称点，然后连点成线．
2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得 到作函数图象的简便方法，如作出函数 y＝|x|的图象．因为 该函数为偶函数，故只需作出 x≥0 时的图象，对 x≤0 时的 图象，关于 y 轴对称即可．
1．函数 y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则 a＝ ________.
解：由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称， ∴2a－3＝－a，且 2a－3＜－a，解之得 a＝1．
【答案】 1
3．已知函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x) ＝1，则 f(－2)的值为________． 解：∵当 x＞0 时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－1x；
解：(1)f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称． 又 f(－x)＝(－x)－－1x＝－(x－1x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
(2)易知 f(x)的定义域为 R，它关于原点对称， 且 f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数；