高一函数的奇偶性ppt

2
y=x2+2x
3 2 1
1
-2 -1 0 -1 1 2 3 x
-2 -1 0 -1 -2 -3
1
2
3 x
-2
-3
即是奇函数又是偶函数的函数
如：
y 3 2
1
-2 -1 0 -1 -2 -3 1
y=0
2 3 x
2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)
∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x)
……
-x
x
f(-x) = -f(x)
f(x)=x
y x
-3 -2 -1 0 1 2 3 1
1 2
3 2 1
1 1 1 f ( x) -1 x 3 2
表（4）
1 3
-2 -1 0
-1 -2 -3
1
2
3 x
f(-1)= -1 =-f(1)
1 f(-3)= =-f(3) 3 ……
1 2
∴f(x)奇函数
∴f(x)偶函数
在日常生活中，我们可以观察到 许多对称现象，如：美丽的蝴蝶，盛 开的花朵，六角形的雪花晶体，以及 建筑物和它在水中的倒影.....
四川曹家大院一景
水镜台
曹家多子院大门
二道门
晋祠硕亭
曹家大院某院
太谷民居门墩石狮子
晋祠鼓楼
y
f (x)=x2
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
3、奇、偶函数性质：
偶函数的
定义域关于原点对称
图象关于y轴对称
奇函数的定义域关于Fra bibliotek点对称图象关于原点对称。
偶函数的图像特征
如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
性质：偶函数的定义域关于原点对称
问题： f
解：
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
O
x
f (x)=|x|
y
问题： 1、对定义域中的每一个x， -x是否也在定义域内？ 2、f(x)与f(-x)的值有什么 关系？
x … -2 -1 0 1 2 …
O x
y … 2 1 0 1 2 …
函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(x)=f(-x)
y=x3
0
性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
六、应用:
例1 判断下列函数的奇偶性 1.y=-2x2+1,x∈R; 是偶函数 是奇函数 2.f(x)=-x｜x｜; 3.y=-3x+1; 不是奇函数也不是偶函数 4.f(x)=x2,x∈{-3,-2,-1,0,1,2}; 非奇非偶函数 5.y=0,x∈[-1,1]; 既是奇函数也是偶函数
f(-x) = -f(x)
1 f ( x) x
函数y=f(x)的图象 关于原点对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内； 2、都有f(-x)=-f(x)
如果对于函数f(x)的定义域为A。 如果对任意一个x∈A，都有 f(-x)=- f(x)， 那么称函数f(x)是奇函数 。
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函 数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶 性.
( x) x x 1,2
,
2
是偶函数吗？
不是。
例：
y=x2
性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
性质：奇函数的定义域关于原点对称。
问题： f ( x) x, x 1, 是奇函数吗？ 解：
y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 1
不是。
2
3 x
-2
-3
例：
1 x 6. f ( x ) ( x 1) 1 x
非奇非偶函数 亦奇亦偶函数
7.f ( x) x 1 1 x
2
2
x2 x 例2、证明函数f ( x ) 2 x x 是奇函数
例3 如图是奇函数y=f(x)图象 的一部分，试画出函数在y轴 左边的图象。
( x 0) ( x 0)
3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2 -3
f(x)=x
1 f ( x) x
y
x
-3 -2 -1
表（3）
0 1 2 3
2 3
-2
3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1
f(-1)= -1=-f(1) -f(2) f(-3)= -3 =-f(3)
y
x 0
例4 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。
练习：判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 4 1 (3) f ( x ) x x ( 2) f ( x) x 5 1 ( 4) f ( x ) 2 x
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
。
（A）
y x 4 2 | x | 1, x [2,3]
（B）
x 1 x 0 1 y , x R且x 0 y x x 1 x 0
（C） （D）
观察下面两个函数填写表格
y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y
如果对于函数f(x)的定义域为A。 如果对任意的x∈A，都有 f(-x)= f(x)， 那么称函数y=f(x)是偶函数。
（1）下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
（2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
（2）下列函数是否为偶函数，为什么？
判定函数奇偶性基本方法: ∈ ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.
说明： 1、根据函数的奇偶性
函数可划分为四类:
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 f(x)=0 x∈R 非奇非偶函数
非奇非偶函数
如：
y y 3
y=3x+1