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1.奇函数; 2.偶函数; 3.既奇又 偶函数; 4.非奇非 偶函数.
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
1.奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，
①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 3.图象性质:
(1) f(x)=x3- 2x； (2) f(x)=2x4+3x2
2.（1）判断函数 f(x) = x 3 + x 的奇偶性. （2）如图是函数 f(x) = x + x 图像的一部分，能 否根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？
y
3
0
x
例4、快速判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x
（2）定义法
图象法
例2.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y y
偶
x
奇
x
2 f ( x) 2 x 11
y
f ( x) x
-1
2
非奇 非偶 x
y
-1 1
奇
x
f ( x) x 2 , x [1,2]
f ( x) x 3 , x [1,1]
定义法 例3.判断下列函数的奇偶性
奇偶函数图象的性质可用于： ① 判断函数的奇偶性. ②简化函数图象的画法
例1、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象. 解：画法略
y
相等
0
x
变式练习：如果函数y=f(x)是奇函数呢？它在y轴 右边的图象如下图，请画出在y轴左边的图象. y
相等
0
x
（1）图像法
y
x
0
我们发现现实生活中的许多事物都具有对称性，有 的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，那么在我
们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！
天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！ 成功=艰苦的劳动 励志笃行、追求卓越！ +正确的方法+少谈空话
临沂三中
李法学
教学目标
1、理解奇函数、偶函数的概念； 2、函数奇偶性的判断； 3、奇、偶函数图象的性质 【重点】函数奇偶性的概念 【难点】函数奇偶性的判断
(4) f ( x) x x2
x 2 x, x 0 (6) f ( x) 2 x x , x 0
偶函数的概念：
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
思考:定义中“任意一个x,都有f(-x)=f(x) 成立”说明了什么？
说明f(-x)与f(x)都有意义， 即-x、x必须同时属于定义域， 因此偶函数的定义域关于原点对称的。
思考：（1）下列函数图像是偶函数的图像吗?
1 (1) f ( x ) x x
解:定义域为{x|x≠0},
f ( x ) ( x ) ( 1 ) x ( x 1 ) x
f ( x ),
1 (2) f ( x ) 2 x
解:f(x)的定义域为{x|x≠0}.
∴f(x)为奇函数.
1 f ( x ) ( x )2 1 2 f ( x) x ∴f(x)为偶函数.
-3
3
-2
2
-1
1
0
0
1
1
2
2
3
3
x
f ( x) 1 x
-3
1 3
-2
1 2
-1
1
1
2
1 2
:
当自变量x取一对相反数时，相应的函 数值f(x)也是一对相反数.
对于f(x)=x ，f(-x)= -x= -f(x) ，即f(-x)= -f(x). 对于R内任意的一个x，都有f(-x)= - f(x)，这时 我们称函数f(x)=x为奇函数.
观察下列两个函数图象并思考以下问题： 这两个 （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ 函数的图像 都关于y轴 （2）当自变量x取一对相反数时,相应的 对称 y 两个函数值如何 ? y 2 f ( x) x f ( x) x
o o x x
x
f ( x) x 2
-3 -2 9 4
-1
1
0 0 0 0
(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质.
奇偶性是对函数的整个定义域而言的.
2.奇、偶函数图象的性质 : 判断正误
(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果 一个函数的图象关于原点对称,那么这个函 数为奇函数. (2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果 一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数 为偶函数 .
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;
(2)求f(-x)，找 f(-x)与f(x),-f(x)的关系; (3)作出结论: 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.
小试牛刀：
1.判断下列函数的奇偶性
1
1
1 1
2 4 2 2
3 9 3 3
x
f ( x) x
-3 -2 -1 1 2 3
从函数值对应表可以看到: ● 当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同 对于f(x)=x2 ，f(-x)=(-x)2=x2 ，即f(-x)=f(x)
对于R内任意的一个x，都有f(-x) =f(x)，这时
我们称函数f(x)=x2 为偶函数.
● 二、判断正误：
● 1、偶函数的图形不一定关于y轴对称…………（ ） ● 2、y=x x (1,5) 是奇函数………….…… （ ）
● 三、判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x | x |
(2) f(x) = 2 - x2 .
(3) f ( x) 5
(5) f ( x) x2 2 | x | 1
奇函数的概念：
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(-x)= - f(x),那么称 函数y=f(x)为奇函数.
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
[-b,-a]
o
[a ,b]
x
(2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，
那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如何?
y
3 2 1 -1o -1 1 2 3 -x0
y
O x0
两个函数 的图像都关 于原点对称.
x
f ( x) x
x
f ( x)
1 ( x 0) x
x
f ( x) x
y y y
。
1 x
1
x
-1
1
x
f ( x) x2 x (,1]
f ( x) x2（x 1）
f ( x) x 2 x (, 1] [1, )
（2）下列说法是否正确，为什么？
①若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
②若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称
4.判断奇偶性方法：图象法，定义法。
5.判断函数奇偶性的步骤 ①考查函数定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)、-f(x)的关系；
自主检测：
● 一、填空：
● 1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ● f(x)就叫做偶函数. ● 2、奇函数的图象关于 对称。 那么函数
4
(2) f ( x) x
5
(3)f(x)=0 (xR)
(4) f(x)=x+1
(3)f(x)=0 (xR)
解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数．
(4) f(x)=x+1
解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数.
