巴蜀中学高2022届高二(上)数学月考参考答案

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设集合＝，，则下列关系中正确的是（ ）A.B.C.D.2. 在到范围内，与角终边相同的角是( )A.B.C.D.3. 在平面直角坐标系中，点的直角坐标为．若以圆点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，则点的极坐标可以是( )A.B.C.D.P {x |0≤x ≤}2–√m =3–√m ⊆Pm ⊈Pm ∈Pm ∉P02π−4π3π6π32π34π3xOy P (1,−)3–√O x P (1,−)π3(2,π)43(2,−)π3(2,−π)43={，x >22x4. 函数定义域为（ ）A.B.C.D. 5. 设：关于的方程有解；：函数在区间上恒为正值，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数的图象大致为（ ）A.B.C.D.7. 一扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为( )A.y ={，x >22x −3x +1,x <1(−∞,1)(2,+∞)(1,2)(−∞,1)∪(2,+∞)p x −−a =04x 2x q f(x)=(x +a −2)log 2(0，+∞)p q f(x)=+cos xx 2x 241B.C.D.8. 关于抛物线，下面几点结论中，正确的有( )①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标．A.①②③④B.①②③C.①②D.①9. 若，，，则，，的大小关系为( )A.B.C.D.10. 已知函数且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）A.B.C.D.11. 已知钝角三角形的最长边的长为，其余两边长为，则集合所表示的平面图形的面积是（ ）A.B.C.248y =a +bx +c(a ≠0)x 2a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x a =1.1−3b =4log 3c =17log 9a b c a <b <ca <c <bb <a <cb <c <af(x)=+3(a >0a 2x−6a ≠1A A θ=sin θ−cos θsin θ+cos θ−17717ABC 2a b P ={(x,y)|x =a,y =b}24π−2D.12. 已知函数，则的解集为 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知全集，，，则________．14. 下列结论中：①定义在上的函数在区间上是增函数，在区间也是增函数，则函数在上是增函数；②若，则函数不是奇函数；③函数的单调增区间是④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；⑤函数的定义域一定不是空集；写出上述所有正确结论的序号：________．15. 已知，，则________．16. 设函数有两个零点，则实数的值是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知：存在，：任意 ，若且为假，或为真，求实数的取值范围．18. 已知函数满足.求的解析式；若的定义域为，求函数的值域．19. 已知函数.4π−2f(x)=4|x +2|+cos πxf(4x −7)≤3()[,2]32[1,]32[2,]52[,1]12U ={1,2,3,4,5,6,7}A ={2,4,5}B ={1,3,5,7}(A)∩(B)=∁U ∁U R f(x)(−∞,0](0,+∞)f(x)R f(2)=f(−2)f(x)f(x)=−1x(−∞,0)∪(0,+∞)cos(π−α)=35α∈(0,π)tan α=f(x)=|−a |−4x +a +11x −1a p ∈R,m +1≤0x 0x 20q x ∈R,+mx +1>0x 2p q p q m f (x)f (2x +2)=3+(x +1)log 2(1)f (x)(2)f (x)[1,8]g(x)=(x)−3f (2x)f 2f(x)=2sin x cos x +1()π求的值；求函数的最大值及对应的的值.20. 噪声是指发声体做无规则振动时发出的声音．声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．噪声不但会对听力造成损伤，也对人们的生活工作有所干扰，还能诱发多种致癌致命的疾病．科学家经过大量的分析发现：声音强度（分贝）与声音能量之间存在函数关系．经测定，数据如下表：声音能量声音强度为了描述声音强度（分贝）与声音能量之间的函数关系，现有以下两种模型供选择：，.选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并写出相应的解析式；对于人的耳朵，分贝的声音比较适宜室内谈话，分贝的声音比较适宜室外谈话．试问声音能量在什么范围时适合人与人交流谈话？ 21. 已知函数为奇函数.求的值；探究的单调性，并证明你的结论；求满足的的范围． 22. 已知函数，．当时，解不等式；若不等式对任意成立，求实数的取值范围．(1)f()π4(2)f(x)x D I (W/)cm 2I 10−1310−12×191010−12×281010−12×371010−12×461010−12D 304042.787544.471645.682046.6276D I (W/c )m 2D =KI +B D =M lgI +N (1)(2)(40,60](60,70]f(x)=a −2+12x (1)a (2)f(x)(3)f(a )<f(−2x +1)x 2x 2x f (x)=|3x −6|+|x −a|a ∈R (1)a =1f (x)<3(2)f (x)<11−4x x ∈[−4,−]32a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】判断与的关系即可．【解答】∵集合＝，∴，2.【答案】C【考点】终边相同的角【解析】根据与角终边相同的角是 ，，求出结果．【解答】解：与角终边相同的角是，.令，可得与角终边相同的角是.故选．3.【答案】C3–√2–√P {x |0≤x ≤}2–√m =>3–√2–√−4π32kπ+(−)4π3k ∈z −4π32kπ−4π3k ∈Z k =1−4π32π3C点的极坐标和直角坐标的互化【解析】根据公式先求出点的极径和三角函数值，再根据点所在的象限确定极角，从而得到答案.【解答】解：由题意，设极角为，点的直角坐标为，所以.因为点在第四象限，所以，，则点的极坐标可以是：.故选.4.【答案】D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】由的取值范围，能求出函数的定义域．【解答】解：∵，∴函数定义域，故选．5.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的值域与最值|OP|==2+12(−)3–√2−−−−−−−−−−√θP (1,−)3–√tan θ==−−3–√13–√P θ=−+2kππ3k ∈Z P (2,−)π3C x y ={，x >22x −3x +1,x <1y ={，x >22x −3x +1,x <1y ={，x >22x −3x +1,x <1{x |x <1,或x >2}D此题暂无解析【解答】解：由题意知：即方程有解，，所以，：函数在区间上恒为正值，则，解得，所以是的必要不充分条件.故选.6.【答案】C【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】先判断函数奇函数，再求出即可判断【解答】，则函数为奇函数，故排除，当＝时，＝，故排除，故选：．7.【答案】C【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】p a =−4x 2x a =(−−2x 12)214a ≥−14q f(x)=(x +a −2)log 2(0，+∞)0+a −2≥1a ≥3p q B f(1)f(−x)==−=−f(x)(−x +cos(−x))2−x +cos x x 2x f(x)AD x 1f(1)1+cos 1>0B C此题暂无解析【解答】解：∵弧长，∴，由扇形的面积公式可得：.故选.8.【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反，正确；②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的定点，正确；③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同，正确；④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标，正确.故选.9.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：据题设知， l =|α|⋅r =2r =4r =2S =lr =×4×2=41212C a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x A 0<a <1,b =4=，log 3log 316−−√c =17==17=.log 917log 39log 312log 3log 317−−√0<a <1<b <c所以.故选.10.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】D 11.【答案】C【考点】线性规划的实际应用二元一次不等式（组）与平面区域【解析】钝角三角形的最长边的长为，其余两边长为、，由余弦定理可得，再由两边之和大于第三边，根据约束条件，画出可行域，可得可行域的面积．【解答】解：由钝角三角形的最长边的长为，其余两边长为、由余弦定理可得，再由两边之和大于第三边，得，且，，点表示的范围如下图所示，由图可得可行域的面积为答案：12.【答案】0<a <1<b <c A ABC 2a b +<4a 2b 2ABC 2a b+<4a 2b 2a +b >2a >0b >0P π−2CB【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：，将函数的图像向右平移两个单位长度后，得到，可知函数是偶函数，且在上单调递增，，，，，解得.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】⑤【考点】函数的定义域及其求法函数的概念及其构成要素∵f(x)=4|x +2|+cos πx =4|x +2|+cos π(x +2)f(x)g(x)=f(x −2)=4|x|+cos πxg(x)[0,+∞)∵f(4x −7)≤3∴f[(4x −5)−2]≤3∴g(4x −5)≤g(1)∴|4x −5|≤11≤x ≤32B利用函数的奇（偶）的定义和函数相等的定义判断不对，根据单调函数的定义判断对不对．根据函数的定义知正确．【解答】解：①由增函数的定义中“任意性”知，两个单调区间不能并在一起，故不对；②函数既是奇函数又是偶函数，但，故不对；③考察幂函数函数的单调性知，单调增区间是，，故不正确；④考察函数，但当定义域不同时，函数对应法则和值域可以相同，故不对；⑤根据函数的定义知函数的定义域一定不是空集，⑤正确．．故答案为⑤15.【答案】【考点】同角三角函数间的基本关系运用诱导公式化简求值【解析】由诱导公式可得的值，及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．【解答】解： ，，，则，则，．故答案为：．16.【答案】，，【考点】函数零点的判定定理(2)(4)(1)(3)(5)y =0(x ∈R)f(2)=f(−2)f(x)=−1x(−∞,0)(0,+∞)y =0(x ∈R)−43cos a αtan α∵cos(π−α)=−cos α=35α∈(0,π)∴cos α=−<035α∈(,π)π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45∴tan α===−sin αcos α45−3543−43−12724由题意可得有两个不等实根，即为①或，②，讨论和，结合二次方程的解即可得到所求值．【解答】解：函数有两个零点，即为有两个不等实根，即为，①或，②由①可得，解得或，当时，；当时，，当时，由①可得；由②可得，符合题意；当时，由①可得；由②可得有两个相等的实根，即，解得或，符合题意．故答案为：，或.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：若且为假，或为真，则一真一假，当真假时 所以；当假真时 所以．故实数的取值范围是．【考点】全称命题与特称命题逻辑联结词“或”“且”“非”|−a |=4x −a −11x −1−a =4x −a −1≥01x −1−a =−4x +a +1≤01x −1a =4a <4f(x)=|−a |−4x +a +11x −1|−a |=4x −a −11x −1−a =4x −a −1≥01x −1−a =−4x +a +1≤01x −1−4x +1=01x −1x =054x =0a ≤−1x =54a ≤4a =4x =54x =2a <4x =544−(5+2a)x +2a +2=0x 2Δ=(5+2a −4×4(2a +2)=0)2a =−12a =72−12724p q p q p,q p q {m <0,m ≥2或m ≤−2,m ≤−2p q {m ≥0,−2<m <2,0≤m <2m (−∞,−2]∪[0,2)解：若且为假，或为真，则一真一假．当真假时 所以；当假时 所以．所以实数的取值范围是．【解答】解：若且为假，或为真，则一真一假，当真假时 所以；当假真时 所以．故实数的取值范围是．18.【答案】解：令，则，则，故的解析式为．由，得，又，则的定义域为，，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以的值域为.【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则，则，故的解析式为．p q p q p,q p q {m <0,m ≥2或m <−2,m ≤−2p q {m ≥0,−2<m <2,0≤m <2m (−∞,−2]∪(0,2)p q p q p,q p q {m <0,m ≥2或m ≤−2,m ≤−2p q {m ≥0,−2<m <2,0≤m <2m (−∞,−2]∪[0,2)(1)2x +2=t x =t −22f(t)=3+=2+t log 2t 2log 2f(x)f(x)=2+x log 2(2)2x ∈[1,8]x ∈[,4]12x ∈[1,8]g(x)[1,4]g(x)=(2+x −3(3+x)log 2)2log 2=(x +x −5log 2)2log 2x ∈[1,4]x ∈[0,2]log 2y =+x −5x 2[0,2]g(x)[−5,1](1)2x +2=t x =t −22f(t)=3+=2+t log 2t 2log 2f(x)f(x)=2+x log 2∈[,4]1由，得，又，则的定义域为，，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以的值域为.19.【答案】解：.由已知，得，∴的最大值为，此时，即.【考点】任意角的三角函数正弦函数的定义域和值域函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：.由已知，得，∴的最大值为，此时，即.20.【答案】解：选择 . 理由如下：由，，，，，，可知当自变量增加量为常数时，函数增加量不是常数，则不选择，而选择.由题意，得 (2)2x ∈[1,8]x ∈[,4]12x ∈[1,8]g(x)[1,4]g(x)=(2+x −3(3+x)log 2)2log 2=(x +x −5log 2)2log 2x ∈[1,4]x ∈[0,2]log 2y =+x −5x 2[0,2]g(x)[−5,1](1)f()=2××+1=1+1=2π42–√22–√2(2)f(x)=sin 2x +1f(x)22x =+2kπ(k ∈Z)π2x =+kπ(k ∈Z)π4(1)f()=2××+1=1+1=2π42–√22–√2(2)f(x)=sin 2x +1f(x)22x =+2kπ(k ∈Z)π2x =+kπ(k ∈Z)π4(1)D =M lgI +N10−1310−12×191010−12×281010−12×371010−12⋯×91010−12D =KI +B D =M lgI +N {30=M lg +N,10−1340=M lg +N,10−12即解得故声音强度（分贝）与声音能量的函数解析式为 .由题意可知，当时，适合人与人交流谈话，所以，即，，解得 .故当声音能量时，适合人与人交流谈话．【考点】函数模型的选择与应用对数函数的定义域【解析】（1）选择 . 原因：……当自变量增加量为常数时，函数增加量不是常数，所以不选择一次函数，而选择，由已知可得： 即，解之得所以解析式为： .（2）由已知可得：当时，适合人与人交流谈话，所以，即：，即：，所以 .所以当声音能量时，适合人与人交流谈话．【解答】解：选择 . 理由如下：由，，，，，，可知当自变量增加量为常数时，函数增加量不是常数，则不选择，而选择.由题意，得 即{30=−13M +N,40=−12M +N,{M =10,N =160.D I (W/c )m 2D =10lgI +160(2)40<D ≤7040<10lgI +160≤70−120<10lgI ≤−90−12<lgI ≤−9<I ≤10−1210−9I ∈(,]10−1210−9D =M lgI +N,,×,×,×10−1310−12191010−12281010−12371010−12×91010−12D =M lgI +N {30=M lg +N,10−1340=M lg +M,10−12{30=−13M +N,40=−12M +N,{M =10,N =160,D =10lgI +16040<D ≤7040<10lgI +160≤70−120<10lgI ≤−90−12<lgI ≤−9<I ≤10−1210−9I ∈(,]10−1210−9(1)D =M lgI +N10−1310−12×191010−12×281010−12×371010−12⋯×91010−12D =KI +B D =M lgI +N {30=M lg +N,10−1340=M lg +N,10−12{30=−13M +N,40=−12M +N,解得故声音强度（分贝）与声音能量的函数解析式为 .由题意可知，当时，适合人与人交流谈话，所以，即，，解得 .故当声音能量时，适合人与人交流谈话．21.【答案】解：由于是定义在上的奇函数，故，解得.所以.∵的定义域为，∴任取且，则．∵在上是单调递增的，且，∴，∴，，，∴，即，∴在上单调递增．∵在上单调递增，∴当时，即，又，∴，解得：.【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）直接代入即可获得解答；（2）根据函数单调性的定义，首先应在所给区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可；{M =10,N =160.D I (W/c )m 2D =10lgI +160(2)40<D ≤7040<10lgI +160≤70−120<10lgI ≤−90−12<lgI ≤−9<I ≤10−1210−9I ∈(,]10−1210−9(1)f(x)R f(0)=a −=02+120a =1f(x)=1−2+12x (2)f(x)R ，∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=a −−a +x 1x 22+12x 12+12x 2=2(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 2y =2x R <x 1x 20<<2x 12x 2−<02x 12x 2+1>02x 1+1>02x 2f()−f()<0x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)R (3)f(x)R f(a )<f(−2x +1)x 2x 2a <−2x +1x 2x 2a =1−2x +1>0x <12解：由于是定义在上的奇函数，故，解得.所以.∵的定义域为，∴任取且，则．∵在上是单调递增的，且，∴，∴，，，∴，即，∴在上单调递增．∵在上单调递增，∴当时，即，又，∴，解得：.22.【答案】解：当时，，当 时， ,此时无解；当 时， ，解得；当时， ，解得 .综上：.由题意可知： ,即,即 且，即且，由于，故 且，即.(1)f(x)R f(0)=a −=02+120a =1f(x)=1−2+12x (2)f(x)R ，∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=a −−a +x 1x 22+12x 12+12x 2=2(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 2y =2x R <x 1x 20<<2x 12x 2−<02x 12x 2+1>02x 1+1>02x 2f()−f()<0x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)R (3)f(x)R f(a )<f(−2x +1)x 2x 2a <−2x +1x 2x 2a =1−2x +1>0x <12(1)a =1f(x)=|3x −6|+|x −1|x <16−3x +1−x <31≤x ≤26−3x +x −1<31<x ≤2x >23x −6+x −1<32<x <521<x <52(2)6−3x +|x −a|<11−4x|x −a|<5−x x −a <5−x x −a >x −5a >2x −5a <5x ∈[−4,−]32a >−8a <5−8<a <5不等式恒成立问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）直接分类讨论，解不等式即可；（2）利用不等式的性质化简，再解不等式，求出不等式，再去讨论即可得到结果.【解答】解：当时，，当 时， ,此时无解；当 时， ，解得；当时， ，解得 .综上：.由题意可知： ,即,即 且，即且，由于，故 且，即.x a (1)a =1f(x)=|3x −6|+|x −1|x <16−3x +1−x <31≤x ≤26−3x +x −1<31<x ≤2x >23x −6+x −1<32<x <521<x <52(2)6−3x +|x −a|<11−4x|x −a|<5−x x −a <5−x x −a >x −5a >2x −5a <5x ∈[−4,−]32a >−8a <5−8<a <5。

数学参考答案·第1页（共9页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 78 答案 BCADCCDD【解析】1．由角的周期性变化可知：A B ⊂，故选B ． 2．cos 2x =解得π2π()6x k k =+∈Z 或π2π()6x k k =-+∈Z ，故选C ．3．0.10555551log 5log 4log 100a b a b =>==>=>=>>.，∵∴又π3ππ25<<，3πtan 05c =<∴，a b c >>∴，故选A ．4．由函数定义域可以排除C ，由函数奇偶性可以排除A ，又因当(01)x ∈，时，2e e e e0ln ||00ln ||x xxxx x x ----><<，，，所以B 选项错误，D 选项正确，故选D ．5．如图1所示，在等腰三角形中，30OB AOB =∠=︒，可得322B ⎛ ⎝⎭，，由题意，点B 的坐标6次一个循环，即以6为周期，23B 与5B 重合，故有322B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 6．由卷图可知05sin 0252π3π234A .,A .T ϕ⎧=⎪=⎪⎨⎪<<⎪⎩，又ππ||226ωϕωϕ*∈==N ，≤，，∴，1π()sin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴，1π12ππ12π()sin sin 3523562330g x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴，故选C ．7．8人中选5人，分三组的分组分配问题：2253353853C C C C A 84002⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ． 图1数学参考答案·第2页（共9页）8．设切点坐标32000(3)x x x -，，∵32()3f x x x =-，∴2()36f x x x '=-，∴曲线()f x 在3200(3)x x x -，处的切线斜率为20036x x -，又∵切线过点(2)P t ，，∴切线斜率为3200032x x tx ---，∴322000003623x x t x x x --=--，即3200029120x x x t -++=， ∵过点(2)P t ，可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程3200029120x x x t -++=有3个解．令320000()2912h x x x x t =-++，则0()h x 图象与x 轴有3个交点，∴0()h x 的极大值与极小值异号，2000()61812h x x x '=-+，令0()0h x =，得01x =或2，∴(2)(1)0h h <，即(4)(5)0t t ++<，解得54t -<<-，故选D ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BDABDABCABD【解析】9．对称轴为ππ32k x k =+∈Z ；对称中心为ππ0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，；π()2sin 26f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭π2cos 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；两个零点的距离：12π()2k x x k -=∈Z ，故选BD ．10．选项A ：()g x 有两条对称轴2x =，7x =，()(4)(14)g x g x g x =-=-，∵()(10)g x g x =+∴周期为10，所以正确；选项B ：()(14)(24)g x g x g x =-=-，12x =是()y g x =的对称轴，所以正确；选项C ：由对称性(1)(3)(11)0g g g ===，()0g x =至少有3个解，所以错误；选项D ：周期为10，[22022]，有202个周期，(1)0g =，至少有20221405⨯+=个解，所以正确，故选ABD ．11．对于A ：πsin sin sin sin sin cos 2A B A A A A ⎛⎫+<+-=+ ⎪⎝⎭，正确；对于B ：ππcos cos cos cos sin cos 124A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫+>+-=+=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；关于C ：cos()cos cos sin sin 0A B A B A B +=->，sin sin cos cos A B A B <，tan tan 1A B <∴，正确；关于D ：tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<（也可用特殊值法排除）错误，故选ABC ．数学参考答案·第3页（共9页）12．选项A ：π02x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，，cos 0x x ≥，故2sin cos 2sin 2x x x x x x x x x ----=≤≤，所以正确；选项B ：()2sin cos f x x x x x =--，()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-，()cos 0f x x x ''=≥，(0)0f '=，π()002f x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭≥≤≤，()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，()0f x ≥，所以B 正确；选项C ：由选项B 可知当π02x <≤时，()0f x '>，单调递增，无零点；当ππ2x ≤≤时，()cos sin 1f x x x x '=+-单调递减；ππ1022f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，(π)20f '=-<，由零点存在性定理知有唯一零点，()f x '在(0π)，有1个零点，所以C 错误；选项D ：0a “≤”由选项B 可知不等式成立；法一：若()f x ax ≥，则令()2sin cos h x x x x x ax =---，(0)0h =∵，()cos sin 1h x x x x a '=+--，(0)0h '≥∴即(0)0h a '=-≥，0a ≤；只需证明0a ≤不等式成立，显然；法二：令()2sin cos h x x x x x ax =---，()cos sin 1h x x x x a '=+--，π()cos 002h x x x x ⎡⎤''=∀∈⎢⎥⎣⎦≥，，，()h x '在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，当0a ≤时，不等式成立，当0a >时，(0)0h a '=-<，ππ122h a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，0π02x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，0(0)()0x x h x '∀∈<，，，()h x 单调递减，(0)0h =∵，()0h x <∴即()f x ax <，不合题意，综上可知，0a ≤命题成立，所以D 正确，故选ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．ππ||2T ω==． 14．古典概型，样本空间样本点总数为55A 120=，事件所占样本个数为3234A A 72=，故723()1205P A ==．数学参考答案·第4页（共9页）15．()sin cos (sin cos )g x x x x x =-+；令πsin cos [4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则22111(1)11222t y t t -⎡⎤=-=--∈-+⎢⎥⎣⎦． 16．2sin cos cos sin sin sin sin A B A B B A B =-∵，2sin sin sin sin sin cos cos A B A B B B A +=∴，sin (2sin sin )cos sin cos A B B A B B +=，22sin sin cos sin cos cos 2sin sin 3sin 2cos A B B B BA B B B B==++∴2tan 123tan 23tan tan B B B B==++，tan 12A =，当且仅当23tan 2B =，即tan 3B =时四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）证明：由sin sin tan cos 1cos A B A A B==+知： sin (1cos )sin cos sin sin cos sin cos sin()A B B A A B A A B B A +=⇒=-=-； ………（3分） 由πππ0sin 222A B A y x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增知：2B A =．…………………………………………………………………………（5分）（2）解：由锐角ABC △知π02π202π3π2A B A A B A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+=∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，ππ64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………………………………………………………………（7分）故tan tan tan()tan 11tan tan 3B AB A A A B ⎫-=-=∈⎪⎪+⎝⎭． ………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）21()cos cos 2(2sin 1)224A f x A x x x x ⎫=++--+⎪⎪⎝⎭数学参考答案·第5页（共9页）sin 2(cos 21)2cos 22sin 22cos 2244444A A A A x x x A x x ⎛⎫=++--+=+-+ ⎪⎝⎭sin(2)2x ϕ=++ ， …………………………………………………（4分）故max )22(f x +==+2A =．…………………………（6分）（2）由（1）知3π()2cos 2222223f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， ……………（8分）故37ππ2330ππ46x x -⎡⎤⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-，，，故max 5()π212f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，min 1()(0)2f x f ==， 故()y f x =的值域为122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． …………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：由AB CD AB BC ⊥，∥，22AB BC CD ==得AD BD ⊥， 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，由PB PD =知PO ⊥平面ABCD ，故PO AD ⊥， ……………………………………（3分） 由AD BD ⊥，AD PO ⊥，BD PO O = ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 故AD ⊥平面PBD ．………………………………………………………………（5分）（2）解：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图2所示的空间直角坐标系O xyz -，则(000)(0)00)O A B -，，，，，，(00)(00)C D ，，，设(00)P a ，，，则由PA PC ⊥知240PA PC a =-=，2a =，故(002)P ，，； …………………………………………………………（7分）设平面PBC 的法向量为()x y z m =，，，由(0)BC =，(02)BP = ，，有020m BC m BP z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，， 取1z =，则1)m = ；设平面PAD 的法向量为()n a b c =，，，图2数学参考答案·第6页（共9页）由02)DP = ，，(00)AD = ，，有200n DP c n AD ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，， 取1c =，则(01)n =，，…………………………………………（11分）记平面PAD 与平面PBC 所成角为θ，则||cos |cos |15||||m n m n m n θ=〈〉===，．………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件A ，第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮比赛答对至少2题包含两种情况： 前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对， ……………（2分）故212111115()C 13332327P A ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ． ………………………………（5分）（2）记小陈同学参加比赛获得的奖金为X （单位：元）， 在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且答对的可能性为16，选择继续作答且答错的可能性为13，选择停止作答的可能性为12，【法一】排异法：22112221211211121442252(0)C C 33333363333927818181P X ⎛⎫⎛⎫==+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………………………………………………（7分） 1211(100)3329P X === ，………………………………………………………（8分）2111(200)3329P X === ， ………………………………………………………（9分）21211(300)33227P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（10分）12111(400)336254P X ===， ………………………………………………（11分）故52111113(450)181992754162P X =-----=≥．………………………（12分）数学参考答案·第7页（共9页）【法二】21111(500)336254P X ===，………………………………（6分）311(600)(1000)327P X P X ⎛⎫=+===⎪⎝⎭， …………………………………………（7分）21211(700)33681P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（8分）21211(800)336162P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（9分）22111(900)336162P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，………………………………………………（10分）故1111113(450)542781162162162P X =++++=≥． ……………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由2c e a ==知a ==， ………………………………（2分）1O AB d →====直线，故b a ==， 故椭圆C 的标准方程为221332x y +=． ………………………………………………（4分） （2）0MN k =时：(01)(11)(11)Q M N -，，，，，，故||||2OQ MN = ； ……………（5分）0MN k ≠时：设直线l 的方程为x my t =+， 由直线l 与圆221x y +=相切，所以1d ==，即221t m =+，………………（6分）联立221332x y x my t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得222(2)230m y mty t +++-=，由韦达定理：12221222232mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，……………………………………………（8分）数学参考答案·第8页（共9页）MN 中点Q 的坐标为22222tmt m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，故||OQ ===12|||MN y y =-===，…………………………………………………………………（10分）故222224222()()192212124(2)4414|4|||4m m mm m m O N m Q m M ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎤=+=+∈ ⎪ ⎪ ⎥+++⎝⎦⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝++⎭= ，， 综上：||||OQ MN 的取值范围是924⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）1()e 1x f x -'=-，……………………………………………………（1分）令()0f x '<得1x <，令()0f x '>得1x >，故()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． ………………………（4分）（2）11()e ln ()(1)e 1x x ag g x x x x xa x x --'=+-=---⇒，(1)0g =恒成立(1)1g a '⇒=-，…………………………………………………………………（5分）当0a ≤时：1()(e 1)ln x g x x a x -=--，故(01)x ∈，时，()0g x <，(1)x ∈+∞，时，()0g x >， 只有1x =一个零点，不符合题意； …………………………………（6分）当01a <<时：1()(1)e 1x ag x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=->， 由0lim ()x g x +→'=-∞知必存在0(01)x ∈，使得0()0g x '=， ()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增；结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0lim ()lim ()x x g x g x +→+∞→==+∞知：数学参考答案·第9页（共9页）()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点；……………（8分）当1a =时：11()(1)e 1x g x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)0g '=，故min ()(1)0g x g ==，只有1x =一个零点，不符合题意； ……………………………………（9分）当1a >时：1()(1)e 1x ag x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=-<， 由lim ()x g x →+∞'=+∞知必存在0(1)x ∈+∞，使得0()0g x '=，()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增，结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0lim ()lim ()x x g x g x +→+∞→==+∞知： ()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点， ………………（11分）综上所述：(01)(1)a ∈+∞ ，，． ………………………………………（12分）。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 如图的平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则 A.B.C.D.2. 已知四棱柱的底面四边形为菱形，且平面，若，，则直线与平面所成角的正切值为( )A.B.C.D.3. 已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数为（ ）A.ABCD −A 1B 1C 1D 1M BB 1N DD 1BM =B 12B 1N =D D 113D 1=x +y +z MN −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x +y +z =()17162332ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥A 1ABCD ∠BCD =120∘A =AB A 1BD 1ABB 1A 1239−−√13226−−√1339−−√1326−−√13=2px(p >0)y 2A (,)122–√x B AB M =λMB −→−AB −→−λ131B.C.D.4. 已知正方体的体积为，点在线段上（点异于，两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）A.B.C.D.5. 正六边形中，，，设，为一组基底，则可以用，表示为（ ）A.B.C.D.6. 如图，甲站在水库底面的点处，乙站在水拟斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（ ）A.B.C.1232ABCD −A 1B 1C 1D 11M BC M B C N CC 1AMN ABCD −A 1B 1C 1D 1BM ABCDEF =FH −→−13HE −→−−2=2−EC −→−BD −→−GB −→−CG −→−=AB −→−e 1→=AF −→−e 2→HG −→−e 1→e 2→+34e 1→23e 2→+23e 1→53e 2→+23e 1→76e 2→+1712e 1→34e 2→D C 120∘D C DA =30m CB =40m AB =20 m 3–√70 m70 m3–√90 m90 m3–√D.7. 在长方体中，，点为的中点,则异面直线与所成角的正切值为( )A.B.C.D.8. 已知向量，向量与向量的夹角为，且，则（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9. 若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有( )A.90 m3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =4，AD =A =2A 1P C AP CD 15–√43–√42–√414=(1,1)m →n →m →3π4⋅=−1m →n →||=n →−112−2m n αβm ⊥αn //αm ⊥nn ⊥αn //m m ⊥αm ⊥αm//βα⊥βα⊥βm//αm ⊥βa →b →π3c →(−)⋅(−)=0a →c →b →c →|+|=1a →b →−|=1→B.C.与不可能垂直D.11. 已知，，分别是三边，，的中点，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D.12. 长方体中， ，点在线段上运动，则下列命题正确的是( )A.直线与平面所成的角为B.直线和平面平行C.三棱锥的体积为D.二面角所成的角为定值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为， 和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是________.①与异面且垂直； ②与相交且垂直；③平面； ④，，，四点共面．|−|=1a →b →+a →b →c →||<c →3–√D E F △ABC AB BC CA ABCD −A 1B 1C 1D 12BC =2B =AB =2B 1P AD 1C B 1BPC 1π3A 1B 1BPC 1−BP B 1C 116P −B −D C 1ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BC G H A 1D 1M N P AB C 1D 1CD Q A 1M FH AC 1FG AC 1Q //D 1EFN B 1H F P14.如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，＝，且＝＝＝，＝，则点到平面的距离等于________．15. 在三角形中，若，且，则________.16. 已知非零向量、、、满足：，、、为不共线三点，给出下列命题：①若，则、、、四点在同一平面上；②当时，若，，，，则的最大值为；③已知正项等差数列，若，，，且、、三点共线，但点不在直线上，则的最小值为；④若，，则、、三点共线且分所成的比一定为．其中你认为正确的所有命题的序号是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 已知空间三点，，，设，．（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求实数的值；（3）若向量与共线，求实数的值． 18. 如图，在正四面体中，点，分别是，的中点，点，分别在，上，P −ABC ABC ∠ACB 90∘PA PB AB PC C PAB ABC +=3AB −→−AC −→−AP −→−=x +y CP −→−AB −→−AC −→−x −y =OA −→−OB −→−OC −→−OD −→−=α+β+γ(α,β,γ∈R)OA −→−OB −→−OC −→−OD −→−B C D α=，β=，γ=−13212A B C D α>0,β>0,γ=2–√||=OA −→−3–√||=||=||=1OB −→−OC −→−OD −→−<，>=OB −→−OC −→−5π6<，>=<，>=OD −→−OB −→−OD −→−OC −→−π2α+β−6–√2–√(n ∈N ∗)a n α=a 2β=a 2009γ=0A B C O BC +1a 34a 20089α+β=1(αβ≠0)γ=0A B C A BC −→−λαβA(−2,0,2)B(−1,1,2)C(−3,0,4)=a →AB −→−=b →AC −→−a →b →θk +a →b →k −2a →b →k λ−a →b →−λa →b →λA −BCD E F AB BC G H CD AD且＝，＝．（1）求证：直线，必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）若＝，求点到平面的距离．19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为，的中点，为棱上靠近点的三等分点， .若点在线段的延长线上，且，问：在棱上是否存在点，使得与垂直？请说明理由．求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.试用向量，，表示向量；若，，，求的值． 21. 如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．DH AD DG CD EH FG BD AB 2B EFGH P −ABC PAC ⊥ABC D M AC DP N PC C PA =PC =AB =BC =2,AB ⊥BC (1)H BD DB =DH AP E HE BN (2)BMN ABC OABC 2=BD −→−DC −→−E AD =OA −→−a →=OB −→−b →=OC −→−c →(1)a →b →c →OE −→−(2)OA =OC =3OB =2∠AOC =∠BOC =∠AOB =60∘⋅OE −→−AC −→−ABC −A 1B 1C 1∠BAC =90∘AB =AC =2A =4A 1A 1ABC BC E D B 1C 1D ⊥A 1BC A 1B AC A 1C 122. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点．求直线与平面的距离；若，求二面角的平面角的余弦值．P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD PA =AB =6–√E PB (1)AD PBC (2)AD =3–√A −EC −D参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】B【考点】空间向量的加减法【解析】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出．【解答】解：∵，，，∴，∴，，，∴．故选：．2.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】由条件，以，分别为，轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量的相关知识求解即可.【解答】=−MN −→−AN −→−AM −→−=+AN −→−AD −→−23AA 1−→−=+AM −→−AB −→−12AA 1−→−=+−−MN −→−AD −→−23AA 1−→−AB −→−12AA 1−→−=−++AB −→−AD −→−16AA 1−→−x =−1y =1z =16x +y +z =16B OA −→−OB −→−y x O AA 1z O −xyz ABB 1A 1=1解：延长至，使得，连接，，故即为直线与平面所成角.不妨设，则，，而，故.故选．3.【答案】D【考点】直线与抛物线的位置关系平面向量的坐标运算【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、向量的坐标运算．【解答】解：把点代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线的方程为，则．设，则，．由，得解得或（舍去）．故选．4.【答案】B 1A 1E E =A 112A 1B 1BE E D 1∠BE D 1BD 1ABB 1A 1AB =2E ⊥D 1A 1B 1E =D 13–√BE =13−−√tan ∠BE ===D 1E D 1BE 3–√13−−√39−−√13C A (,)122–√2=2p ×12p =2=4x y 2B(−1,0)M (,)y 2M 4y M =(−,−)AB −→−322–√=(−1−,−)MB −→−y 2M 4y M =λMB −→−AB −→− −1−=−λ,y 2M 432−=−λ,y M 2–√λ=2λ=1DB【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由于，所以=++DC −→−DA −→−AB −→−BC −→−|=(++DC −→−|2DA −→−AB −→−BC −→−)2=|+|+|+2(⋅+⋅+⋅)DA −→−|2AB −→−|2BC −→−|2DA −→−AB −→−AB −→−BC −→−DA −→−BC −→−=+(20++2×(0+0+30×40×cos )=49002–√)22∘，于是，故甲、乙两人相距．故选．7.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则, ,设异面直线与所成角为，则，=，，∴异面直线与所成角的正切值为.故选.8.【答案】B【考点】=+(20++2×(0+0+30×40×cos )=49003023–√)240260∘||=70DC −→−70 m A D DA x DC y DD z A(2,0,0)，P(0,4,1)，(0,4,2)，(0,0,2)C 1D 1=(−2,4,1)，AP −→−=(0,−4,0)C 1D 1−→−−AP C 1D 1θcos θ===|⋅|AP −→−C 1D 1−→−−||⋅||AP −→−C 1D 1−→−−16⋅421−−√421−−√sin θ=1−1621−−−−−−√5–√21−−√tan θ==sin θcos θ5–√4AP C 1D 15–√4A平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，由平面向量数量积的定义可得,，解得.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.【答案】A,B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】由直线与平面垂直的性质判断；由直线与平面垂直的性质及判定定理判断；由直线与平面平行的性质及平面与平面垂直的判定判断；由直线与平面的位置关系判断．【解答】若，则垂直内的所有直线及平行于的所有直线，又，∴，故正确；若，则垂直于内的两条相交直线与，又，∴垂直于内的两条相交直线与，则，故正确；若，过作平面与相交，交线为，则，又，则，可得，即，故正确；若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误．10.【答案】B,C,D【考点】=(1,1)m →||==m →+1212−−−−−−√2–√⋅=||⋅||cos m →n →m →n →3π4=×||×(−)=−12–√n →2–√2||=1n →B A BCD m ⊥αm ααn //αm ⊥n A n ⊥αn αa b n //m m αa b m ⊥αB m//βm βn m//n m ⊥αn ⊥αβ⊥αα⊥βC α⊥βm//αm//βm ⊂βm βD平面向量数量积数量积表示两个向量的夹角向量的模数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】考察平面向量数量积的基本定义和运算.【解答】解：，，所以，故错误；，，所以，故正确；，，所以，即与不可能垂直，故正确；，由，可知，，故，其中为与夹角，故，，所以，故正确.故选.11.【答案】A,B,C,D【考点】向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析A (+=+2⋅⋅+a →b →)2a →2a →b →b →2=2+2⋅cos ||⋅||=360∘a →b →|+|=a →b →3–√A B (−=−2⋅⋅+a →b →)2a →2a →b →b →2=2−2⋅cos ||⋅||=160∘a →b →|−|=1a →b →B C (−)(−)a →c →b →c →=⋅−(+)⋅+a →b →a →b →c →c →2=−(+)⋅+=012a →b →c →c →2(+)⋅=+>0a →b →c →c →212+a →b →c →C D A C +−(+)⋅c →212a →b →c →=|−cos θ⋅||⋅|+|+=0c →|2c →a →b →12||(||−cos θ)=−<0c →c →3–√12θc →+a →b →||<cos θc →3–√cos θ∈[−,]3–√3–√3–√||<c →3–√D BCD【解答】此题暂无解答12.【答案】B,D【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，平面即平面，在长方体中，，，又，平面，平面，所以平面，故选项错误；对于，因为平面与面是同一平面，且，平面，平面，所以平面，故选项正确；对于，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又因为，，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为点到该平面的距离，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项错误；对于，二面角所成的角就是二面角所成的角，即为定值，故选项正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】①③④【考点】A BPC 1ABC 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥B B 1C 1C ⊥B 1C 1D 1B ∩=C 1C 1D 1C 1B ⊂C 1ABC 1D 1⊂C 1D 1ABC 1D 1C ⊥B 1ABC 1D 1B BPC 1ABC 1D 1//AB A 1B 1AB ⊂ABC 1D 1⊂A 1B 1ABC 1D 1//A 1B 1BPC 1C −BP B 1C 1P −BB 1C 1P ∈AD 1A //B D 1C 1A ⊂D 1BB 1C 1B ⊂C 1BB 1C 1A //D 1BB 1C 1A P 2−BP B 1C 113D P −B −D C 1−B −D D 1C 1BD平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定空间中直线与直线之间的位置关系用向量证明垂直【解析】解：连接，，，，如图，∵，，即，又，∴平面.∵点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，∴，∴平面.又平面，∴，故①正确；建立空间直角坐标系如图所示：设，则，，，.，，，故与不垂直，故②错误；连接，，取中点，连接，，，已知，，分别为，和的中点，∴平面平面，即平面平面.又平面，∴平面，故③正确；取靠近的三等分点，连接，，易得，∴，∴，∴，∴，∴，，，四点共面，故④正确．故答案为：①③④.【解答】解：连接，，，，如图，B A 1AB 1D C 1FH B ⊥A A 1B 1B ⊥BC A 1B ⊥A 1B 1C 1A ∩=B 1B 1C 1B 1B ⊥A 1ADC 1B 1E F BC G H A 1D 1B//FH A 1FH ⊥ADC 1B 1A ⊂C 1ADC 1B 1FH ⊥AC 1A =3A 1F(1,3,0)G(2,0,3)A(3,0,0)(0,3,3)C 1=(1,−3,3)FG −→−=(−3,3,3)AC 1−→−⋅=−3−9+9=−3≠0FG −→−AC 1−→−FG AC 1MP PD 1A 1B 1J JN CN JB M N P AB C 1D 1CD JNCB//DA A 1D 1EFN//DA A 1D 1Q ⊂D 1DA A 1D 1Q//D 1EFN B 1C 1C 1R NR HB 1△NR ∼△H C 1B 1A 1∠NR =∠H C 1A 1B 1∠NR =∠H C 1B 1C 1NR//HB 1PF//HB 1B 1H F P B A 1AB 1D C 1FH∵，，即，又，∴平面.∵点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，∴，∴平面.又平面，∴.又过正方体中心，必不过正方体中心，与异面，故①正确；建立空间直角坐标系：设，则，，，.，，，故与不垂直，故②错误；连接，，取中点，连接，，，已知，，分别为，和的中点，∴平面平面，即平面平面.又平面，∴平面，故③正确；取靠近的三等分点，连接，，易得，∴，，∴，∴，∴，，，四点共面，故④正确．故答案为：①③④.14.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析B ⊥A A 1B 1B ⊥BC A 1B ⊥A 1B 1C 1A ∩=B 1B 1C 1B 1B ⊥A 1ADC 1B 1E F BC G H A 1D 1B//FH A 1FH ⊥ADC 1B 1A ⊂C 1ADC 1B 1FH ⊥AC 1∵AC 1FH ∴FH AC 1A =3A 1F(1,3,0)G(2,0,3)A(3,0,0)(0,3,3)C 1=(1,−3,3)FG −→−=(−3,3,3)AC 1−→−⋅=−3−9+9=−3≠0FG −→−AC 1−→−FG AC 1MP PD 1A 1B 1J JN CN JB M N P AB C 1D 1CD JNCB//PM A 1D 1EFN//PM A 1D 1Q ⊂D 1PM A 1D 1Q//D 1EFN B 1C 1C 1R NR HB 1△NR ∽△H C 1B 1A 1∠NR =∠H C 1A 1B 1∴∠NR =∠H C 1B 1C 1NR//HB 1PF//HB 1B 1H F P【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】解：由，得，所以，所以.故答案为：.【解答】解：由，得，所以，所以.故答案为：.16.【答案】①③【考点】共线向量与共面向量空间向量的基本定理及其意义空间向量的夹角与距离求解公式【解析】①根据空间四点共面的充要条件若且，则、、、四点在同一平面上；可知①正确；②把两边平方，化成，即，利用基本不等式即可求得的最大1+=3=3(+)AB −→−AC −→−AP −→−AC −→−CP −→−=(+)−=−CP −→−13AB −→−AC −→−AC −→−13AB −→−23AC −→−x =,y =−1323x −y =11+=3=3(+)AB −→−AC −→−AP −→−AC −→−CP −→−=(+)−=−CP −→−13AB −→−AC −→−AC −→−13AB −→−23AC −→−x =,y =−1323x −y =11=α+β+γ(α,β,γ∈R)OA −→−OB −→−OC −→−OD −→−α+β+γ=1A B C D =α+β+γOA −→−OB −→−OC −→−OD −→−3=++2−αβα2β23–√=(α+β−(2+)αβ+2)23–√α+β4+23–√β=A C值为，，故可知②错；③根据，，，且、、三点共线，可得，利用等差数列的性质可得，利用基本不等式即可求得结果；④根据三点共线的充要条件可知且，则、、三点共线，而分所成的比一定为错，如点在线段的延长线上，且，，而此时的，因此错．【解答】解：①若，则、、、四点在同一平面上；①正确；②，两边平方得，，∴，当且仅当时等号成立，故②错；③若，，，且、、三点共线，∴，∴，则．③对．④若，，则、、三点共线，若点在线段的延长线上，且，，而，∴，∴，故④错故答案为①③．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：，．，∴和的夹角的余弦值为．（2） ，∵向量与互相垂直，∴∴，或．（3） ，∵向量与共线，∴存在实数，使得即∴4+23–√α=a 2β=a 2009γ=0A B C +=1a 2a 2009+=1a 3a 2008=α+βOA −→−OB −→−OC −→−α+β=1A B C A BC −→−λαβA BC BA =43λ=−3=−αβ14α+β+γ=1A B C D =α+β+OA −→−OB −→−OC −→−2–√OD −→−3=++2−αβα2β23–√=(α+β−(2+)αβ+2≥(α+β−(2+)+2)23–√)23–√(α+β)24α+β≤4+23–√α=β=2+3–√α=a 2β=a 2009γ=0A B C +=1a 2a 2009+=1a 3a 2008+=(+)(+)≥5+4=91a 34a 20081a 34a 2008a 3a 2008α+β=1(αβ≠0)γ=0A B C A BC BA =43λ=−3=+=+OA −→−OB −→−BA −→−OB −→−43BC −→−=+(−)=−+OB −→−43OC −→−OB −→−13OB −→−43OC −→−α=−，β=1343=−αβ14==(1,1,0)a →AB −→−==(−1,0,2)b →AC −→−(1)cos θ===−||⋅||a →b →˙−1+0+0×2–√5–√10−−√10a →b →θ−10−−√10k +=(k −1,k,2)a →b →k −2=(k +2,k,−4)a →b →k +a →b →k −2a →b →(k +)⋅(k −2)=(k −1,k,2)⋅(k +2,k,−4)=(k −1)(k +2)+−8=2+k −10=0a →b →a →b →k 2k 2k =−52k =2λ−=(λ+1,λ,−2)a →b →−λ=(1+λ,1,−2λ)a →b →λ−a →b →−λa →b →μλ−=μ(−λ)a →b →a →b →(λ+1,λ,−2)=μ(1+λ,1,−2λ) λ+1=μ(λ+1)λ=μ−2=−2μλλ=1λ=−1∴，或．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式空间向量的数乘运算共线向量与共面向量【解析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用向量垂直于数量积的关系即可得出；（3）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：，．，∴和的夹角的余弦值为．（2） ，∵向量与互相垂直，∴∴，或．（3） ，∵向量与共线，∴存在实数，使得即∴∴，或．18.【答案】证明：因为，，所以，故，，，四点共面，必相交于一点，设＝，因为，所以平面，同理：平面，而平面平面＝，故，即直线，必相交于一点；连结，，正四面体的棱长为，则该正四面体的高为，所以到平面的距离为，λ=1λ=−1==(1,1,0)a →AB −→−==(−1,0,2)b →AC −→−(1)cos θ===−||⋅||a →b →˙−1+0+0×2–√5–√10−−√10a →b →θ−10−−√10k +=(k −1,k,2)a →b →k −2=(k +2,k,−4)a →b →k +a →b →k −2a →b →(k +)⋅(k −2)=(k −1,k,2)⋅(k +2,k,−4)=(k −1)(k +2)+−8=2+k −10=0a →b →a →b →k 2k 2k =−52k =2λ−=(λ+1,λ,−2)a →b →−λ=(1+λ,1,−2λ)a →b →λ−a →b →−λa →b →μλ−=μ(−λ)a →b →a →b →(λ+1,λ,−2)=μ(1+λ,1,−2λ) λ+1=μ(λ+1)λ=μ−2=−2μλλ=1λ=−1E F G H FG EH ∩FG M M ∈EH M ∈ABD M ∈BCD ABD∩BCD BD M ∈BD EH FG EG BG 2E BFG＝，点，分别是，＝，在中，由余弦定理可得：，在等腰梯形中可得：到的距离为，而到的距离也为，所以的面积与的面积相等，由＝可得：＝，可得，故点到平面的距离为．【考点】平面的基本性质及推论点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：∵，为的中点，，∴，同理可证，∵平面平面，∴平面．∴，且∴可以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则从而∴∴，DH AD CD E F AB CF 1△CFG EFGH G EF G BF △BFG △BFG V E−BFG V B−EFG B EFGH (1)PA =PC D AC PD ⊥AC BD ⊥AC PAC ⊥ABC PD ⊥ABC PD ⊥AD PD ⊥BD.DA DB DPx,y,z A(,0,0),B(0,,0),C(−,0，0),2–√2–√2–√H(0,−,0），P(0,0,).2–√2–√M (0,0,),N (−,0,)2–√222–√32–√3=(0,−,),BM −→−2–√2–√2=(−,−，BN −→−22–√32–√),2–√3=(,，0),,=(−,0,)HA −→−2–√2–√AP −→−2–√2–√k (0≤k ≤1)−→−−→−设，则，∴ ，∵，∴，即，故不存在满足条件的点．设是平面的法向量，∴ 令，则，是平面的一个法向量．.∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【考点】两条直线垂直的判定用空间向量求平面间的夹角二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，为的中点，，∴，同理可证，∵平面平面，∴平面．∴，且∴可以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则从而∴∴，设，则，∴ ，∵，∴，即，故不存在满足条件的点．=k (0≤k ≤1)AE −→−AP −→−=+=+k =(1−k,1,k)HE −→−HA −→−AE −→−HA −→−AP −→−2–√⋅=(−,−,)⋅BN −→−HE −→−22–√32–√2–√3(1−k,1,k)2–√=2k −1030≤k ≤12k −≠0103⋅≠0BN −→−HE −→−E (2)=(x,y,z)n →BMN⋅=−y +z =0,n →BM −→−2–√2–√2⋅=−x −y +z =0，n →BN −→−22–√32–√2–√3z =4=(−1,2,4)n →=(0,0,)DP −→−2–√ABC cos ,n ==DP −→−⋅DP −→−n →||⋅||DP −→−n →421−−√21BMN ABC 421−−√21(1)PA =PC D AC PD ⊥AC BD ⊥AC PAC ⊥ABC PD ⊥ABC PD ⊥AD PD ⊥BD.DA DB DPx,y,z A(,0,0),B(0,,0),C(−,0，0),2–√2–√2–√H(0,−,0），P(0,0,).2–√2–√M (0,0,),N (−,0,)2–√222–√32–√3=(0,−,),BM −→−2–√2–√2=(−,−，BN −→−22–√32–√),2–√3=(,，0),,=(−,0,)HA −→−2–√2–√AP −→−2–√2–√=k (0≤k≤1)AE −→−AP −→−=+=+k =(1−k,1,k)HE −→−HA −→−AE −→−HA −→−AP −→−2–√⋅=(−,−,)⋅BN −→−HE −→−22–√32–√2–√3(1−k,1,k)2–√=2k −1030≤k ≤12k −≠0103⋅≠0BN −→−HE −→−E (x,y,z)→设是平面的法向量，∴ 令，则，是平面的一个法向量． .∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.【答案】解：因为，所以，所以.因为点为的中点，所以．由题意知，，，，所以 ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，(2)=(x,y,z)n →BMN ⋅=−y +z =0,n →BM −→−2–√2–√2⋅=−x −y +z =0，n →BN −→−22–√32–√2–√3z =4=(−1,2,4)n →=(0,0,)DP −→−2–√ABC cos ,n ==DP −→−⋅DP −→−n →||⋅||DP −→−n →421−−√21BMN ABC 421−−√21(1)2=BD −→−DC −→−==(−)BD −→−13BC −→−13OC −→−OB −→−=(−)13c →b →=+=+(−)OD −→−OB −→−BD −→−b →13c →b →=+23b →13c →E AD =(+)=++OE −→−12OA −→−OD −→−12a →13b →16c →(2)⋅=a →c →92⋅=3a →b →⋅=3c →b →=−AC −→−c →a →⋅=(++)⋅(−)OE −→−AC −→−12a →13b →16c →c →a →=−++⋅+12a →216c →213a →c →⋅−⋅=−13b →c →13b →a →32(1)2=BD −→−DC −→−=(−)−→−1−→−1−→−−→−所以，所以.因为点为的中点，所以．由题意知，，，，所以 ．21.【答案】证明：（1）设为的中点，由题意得平面，∴．∵，∴．又，、平面故平面．…由，分别为、的中点，得，且，又，从而，且，∴为平行四边形．故，…又∵平面，∴平面． …（2）∵平面，平面，∴又为的中点，∴…∵，为中点，∴，∴，∴，∴…∴中边上的高为，∴，而，…设到平面的距离为由得，∴到平面的距离为．…【考点】点、线、面间的距离计算==(−)BD −→−13BC −→−13OC −→−OB −→−=(−)13c →b →=+=+(−)OD −→−OB −→−BD −→−b →13c →b →=+23b →13c →E AD =(+)=++OE −→−12OA −→−OD −→−12a →13b →16c →(2)⋅=a →c →92⋅=3a →b →⋅=3c →b→=−AC −→−c →a →⋅=(++)⋅(−)OE −→−AC −→−12a →13b →16c →c →a →=−++⋅+12a →216c →213a →c →⋅−⋅=−13b →c →13b →a →32E BC E ⊥A 1ABC E ⊥AE A 1AB =AC AE ⊥BC E ∩BC =E A 1E A 1BC ⊂BCA 1AE ⊥BC A 1D EB 1C 1BC DE //B B 1DE =B B1A //BE A 1A =BEA 1DE //A A 1DE =A A 1AED A 1D //AE A1AE ⊥BC A 1D ⊥A1BC A1E ⊥A 1ABC BC ⊂ABC E ⊥BCA 1E BC C =B A 1A 1∠BAC =90∘E BC AE =BE Rt △EA ≅Rt EB A 1A 1B =A =4A 1A1C =4A 1△AC A 1AC ==−(A 1C 2AC 2)2−−−−−−−−−−−−√−4212−−−−−−√15−−√=⋅2⋅=S △AC A 11215−−√15−−√=AC ⋅AB =⋅2⋅2=2S △ABC 1212E ===A 1−E A 1B 2B 2−−−−−−−−−−√−(422–√−−−−−−−√)214−−√B AC A 1C 1d=V −ABCA 1V B−ACA1d ===E ⋅A 1S △ABC S △AC A 12⋅14−−√15−−√2210−−−√15B AC A 1C 12210−−−√15直线与平面垂直的判定【解析】（1）设为的中点，推导出，，从而平面，再推导出为平行四边形，由此能证明平面．（2）推导出，，，由，能求出到平面的距离．【解答】证明：（1）设为的中点，由题意得平面，∴．∵，∴．又，、平面故平面．…由，分别为、的中点，得，且，又，从而，且，∴为平行四边形．故，…又∵平面，∴平面． …（2）∵平面，平面，∴又为的中点，∴…∵，为中点，∴，∴，∴，∴…∴中边上的高为，∴，而，…设到平面的距离为由得，∴到平面的距离为．…22.【答案】解：如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.E BC E ⊥AE A 1AE ⊥BC AE ⊥BC A 1AED A 1D ⊥A 1BC A 1E ⊥BC A 1C =B A 1A 1AE =BE =V −ABC A 1V B−AC A 1B AC A 1C 1E BC E ⊥A 1ABC E ⊥AE A 1AB =AC AE ⊥BC E ∩BC =E A 1E A 1BC ⊂BCA 1AE ⊥BC A 1D EB 1C 1BC DE //B B 1DE =B B 1A //BE A 1A =BEA 1DE //A A 1DE =A A 1AED A 1D //AE A 1AE ⊥BC A 1D ⊥A 1BC A 1E ⊥A 1ABC BC ⊂ABC E ⊥BCA 1E BC C =B A 1A 1∠BAC =90∘E BC AE =BE Rt △EA ≅Rt EB A 1A 1B =A =4A 1A 1C =4A 1△AC A 1AC ==−(A 1C 2AC 2)2−−−−−−−−−−−−√−4212−−−−−−√15−−√=⋅2⋅=S △AC A 11215−−√15−−√=AC ⋅AB =⋅2⋅2=2S △ABC 1212E ===A 1−E A 1B 2B 2−−−−−−−−−−√−(422–√−−−−−−−√)214−−√B AC A 1C 1d=V −ABC A 1V B−AC A 1d ===E ⋅A 1S △ABC S △AC A 12⋅14−−√15−−√2210−−−√15B AC A 1C 12210−−−√15(1)A AB AD AP x y z A −xyz (,0,)–√–√设，则，，，．因此，，．则，，所以平面．又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，，所以．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，所以．故，所以二面角的平面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角点、线、面间的距离计算【解析】本题主要考查了点，线，面的距离计算．无【解答】解：如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.D(0,a,0)B(,0,0)6–√C(,a,0)6–√P(0,0,)6–√E (,0,)6–√26–√2=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(0,a,0)BC −→−=(,a,−)PC −→−6–√6–√⋅=0AE −→−BC −→−⋅=0AE −→−PC −→−AE ⊥PBC AD//BC AD//PBC AD PBC A PBC ||=AE −→−3–√(2)AEC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(,,0)AC −→−6–√3–√ +=0,6–√2x 16–√2z 1+=0,6–√x 13–√y 1=−1x 1=y 12–√=1z 1=(−1,,1)n 1−→2–√EDC =(,,)n 2−→x 2y 2z 2=(,,−)EC −→−6–√23–√6–√2=(−,0,0)CD −→−6–√ +−=0,6–√2x 23–√y 26–√2z 2−=0,6–√x 2=z 22–√=1y 2=(0,1,)n 2−→2–√cos ， ==n 1−→n 2−→|⋅|n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→6–√3A −EC −D 6–√3(1)A AB AD AP x y z A −xyz设，则，，，．因此，，．则，，所以平面．又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，，所以．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，所以．故，所以二面角的平面角的余弦值为．D(0,a,0)B(,0,0)6–√C(,a,0)6–√P(0,0,)6–√E (,0,)6–√26–√2=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(0,a,0)BC −→−=(,a,−)PC −→−6–√6–√⋅=0AE −→−BC −→−⋅=0AE −→−PC −→−AE ⊥PBC AD//BC AD//PBC AD PBC A PBC ||=AE −→−3–√(2)AEC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(,,0)AC −→−6–√3–√ +=0,6–√2x 16–√2z 1+=0,6–√x13–√y 1=−1x 1=y 12–√=1z 1=(−1,,1)n 1−→2–√EDC =(,,)n 2−→x 2y 2z 2=(,,−)EC −→−6–√23–√6–√2=(−,0,0)CD −→−6–√ +−=0,6–√2x23–√y 26–√2z 2−=0,6–√x2=z 22–√=1y 2=(0,1,)n 2−→2–√cos ， ==n 1−→n 2−→|⋅|n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→6–√3A −EC −D 6–√3。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 点A(1,2,3)关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A.(−1,2,3)B.(1,−2,3)C.(1,−2,−3)D.(1,2,−3)2. 直线x4−y3=1在y 轴上的截距为（ ）A.3B.4C.−3D.−43. 已知椭圆E ：x 211+y 22=1与双曲线C ：x 2a 2−y 25=1(a >0)有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y =±3√55x B.y =±√53x C.y =±2√55x D. y =±√52x4. 由曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形的面积等于（ ）A.π+2B.π−2C.2πD.4πA(1,2,3)x (−1,2,3)(1,−2,3)(1,−2,−3)(1,2,−3)−=1x 4y 3y 34−3−4E ：+=1x 211y 22C ：−=1(a >0)x 2a2y 25C y =±x 35–√5y =±x 5–√3y =±x 25–√5y =±x 5–√2+=|x |+|y |x 2y 2π+2π−22π4π5. 数列2，43，85，167，329…的一个通项公式a n 等于( )A.2n2n −1B.2n n C.2n 2n −1D.2n 2n +16. 如图，已知两条异面直线a,b.所成的角为、 a ，点M,N 分别在a,b 上，且 MN ⊥aMN ⊥b P,Q 分别为直线a,b 上位于线段 MN 同侧的两点，则PQ 的长为（ ）A.√MP 2+NQ 2+MN 2−2MP ⋅NOcosθB.√MP 2+NQ 2+MN 2+2MP ⋅NOcosθC.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}- 2MP\cdot NO\operatorname{ sin }\theta}{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}- 2MP\cdot NO\operatorname{ sin }\theta}D.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}+ 2MP\cdot NQ\operatorname{ sin }\theta}{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}+ 2MP\cdot NQ\operatorname{ sin }\theta}7. 已知数列{a n }，{b n }满足：a 1>0,b 1>0，{a n+1=a n +1b n ,b n+1=b n +1a n (n ∈N ∗)，则( )A.a 50+b 50>20， a 50b 50>100 B.a 50+b 50>20， a 50b 50<100C.a 50+b 50<20， a 50b 50>100 D.a 50+b 50<20， a 50b 50<1008. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2px(p >0)上，则这个正三角形的边长为( )A.2p B.2√2p C.4p D.4√3p 4π24385167329a n 2n2n −12n n 2n2n −12n2n +1a b.a MN ab MN ⊥aMN ⊥b P Q a b MN PQM +N +M −2MP ⋅NO cos θP 2Q 2N 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√M +N +M +2MP ⋅NO cos θP 2Q 2N 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√{}，{}a n b n >0,>0a 1b 1 =+,a n+1a n 1b n =+b n+1b n 1a n (n ∈)N ∗()+>20a 50b 50>100a 50b 50+>20a 50b 50<100a 50b 50+<20a 50b 50>100a 50b 50+<20a 50b 50<100a 50b 50=2px(p >0)y 2()2p2p2–√4p4p3–√二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知圆C:x 2+y 2=4，直线l:(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)．则下列四个命题正确的是( )A.直线l 恒过定点(−3,3)B.当m =0时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C.圆C 与曲线：x 2+y 2−6x −8y +m =0恰有三条公切线，则m =16D.当m =13时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点(−169,−49)10. 已知P 为△ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）A.若→AP =−13→AB +23→AC ，则P 在直线BC 上B.若→PA ⋅→PB =→PB ⋅→PC =→PC ⋅→PA ，则P 为△ABC 的垂心C.若→AB ⊥→AP ，→BC =λ→BP ，|→AP |=√λ+2，则→AC ⋅→AP 的最小值为−1D.若→PA +3→PB +2→PC =→0，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积比为2∶3∶111. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是圆O:x 2+y 2=a 2上且不在x 轴上的一点，且△PF 1F 2的面积为√32b 2．设C 的离心率为e ，∠F 1PF 2=θ，则（ ）A.|PF 1|+|PF 2|>2a B.→PF 1⋅→FF 2=ab C.e ∈[√33,1)D.tanθ=2√33 12. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，a 2=1，a n =a n−1+a n−2(n ≥3,n ∈N +)，则称数列{a n }为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列有关数列{a n }的结论成立的是( )A.S 7=54B.S 2020=a 2022−1C.a 2+a 4+a 6+⋯⋯+a 2020=a 20214p3√C :+=4x 2y 2l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)( )l (−3,3)m =0C l 1C +−6x −8y +m =0x 2y 2m =16m =13l P C PA PB A B AB (−,−)16949P △ABC=−+AP −→−13AB −→−23AC −→−P BC ⋅=⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−PC −→−PA−→−P △ABC ⊥AB −→−AP −→−=λBC −→−BP −→−||=AP −→−λ+2−−−−−√⋅AC −→−AP −→−−1+3+2=PA −→−PB −→−PC −→−0→△APB △APC △BPC 2∶3∶1C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P O :+=x 2y 2a 2x △PF 1F 23–√2b 2C e ∠P =θF 1F 2|P |+|P |>2aF 1F 2⋅=abPF 1−→−FF 2−→−e ∈[,1)3–√3tan θ=23–√3{}a n n S n =1a 1=1a 2=+a n a n−1a n−2(n ≥3,n ∈)N +{}a n {}a n =54S 7=−1S 2020a 2022+++a 2a 4a 6⋯⋯+=a 2020a 202120212022D.a 21+a 22+a 23+⋯⋯+a 22021=a 2021a 2022卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若平面α的一个法向量为→u 1=(−3,y,2)，平面β的一个法向量为→u 2=(6,−2,z)，且α//β，则y +z =________．14. 若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ax +a 2−9=0(a >0)有公共点，则a 的取值范围为________．15. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6=51，a 8=22，则a 3=________．16. 已知向量→a 、→b 满足|→a |=1，|→b |=2，则|→a +→b |+|→a −→b |的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知直线过点A(2,1)和B(6,−2)两点．（1）求出该直线的直线方程（用点斜式表示）；（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x 轴和y 轴上的截距． 18. 已知数列{a n }是等差数列，a 2，a 5是方程x 2−14x +13＝0的两根．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若a n+1>a n ，求数列{3n ⋅a n }的前n 项和S n ． 19. 如图1，⊙O 的直径AB =4，点C 、D 为⊙O 上两点，且∠CAB =45∘，F 为→BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（1）求证：OF//平面ACD ；（2）在AD 上是否存在点E ，使得平面OCE ⊥平面ACD ？若存在，试指出点E 的位置；若不存在，请说明理由． 20. 已知抛物线y 2=8x 的准线为l ，动点M 到A(−1,0)的距离与它到直线l 的距离之比等于√22．求动点M 的轨迹E 的方程；设P 是曲线E 上一点，曲线E 在点P 处的切线交直线l 于点Q ，求证：∠PAQ 为定值． 21. 数列的{a n }前n 项和为S n ，点(n,S n )(n ∈N ∗)在函数的图象上．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令，求数列{b n }的前n 项和T n ． +++a 21a 22a 23⋯⋯+=a 22021a 2021a 2022α=(−3,y,2)u 1→β=(6,−2,z)u 2→α//βy +z =+=4x 2y 2++2ax +−9=0(a >0)x 2y 2a 2{}a n n S n =51S 6=22a 8=a 3a →b →||=1a →||=2b →|+|+|−|a →b →a →b →A(2,1)B(6,−2)x y{}a n a 2a 5−14x +13x 20(){}a n ()>a n+1a n {⋅}3n a n n S n 1⊙O AB =4C D ⊙O ∠CAB =45∘F BC −→−AB 2OF //ACDAD E OCE ⊥ACD E=8x y 2l M A (−1,0)l 2–√2M EP E E P l Q ∠PAQ{}a n n S n (n,)(n ∈)S n N ∗{}a n {}b n n T n22. 已知双曲线与椭圆x 249+y224=1共焦点，且以y=±43x为渐近线，求双曲线方程．+=1x249y224y=±x43参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】空间直角坐标系空间中的点的坐标【解析】在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数【解答】解：∵在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数，∴点A(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标为(1,−2,−3)故选C．2.【答案】C【考点】直线的截距式方程【解析】利用直线在y轴上的截距的定义，根据直线的截距式方程，直接求出直线在y轴上的截距．【解答】根据直线的截距式方程：x4+y−3=1；可知直线x4−y3=1 在y轴上的截距为−3，3.【答案】D【考点】双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：椭圆E 的焦点为(±3,0).故a 2=32−5=4，双曲线的渐近线方程为y =±√52x.故选D.4.【答案】A【考点】圆的综合应用【解析】由已知中曲线x 2+y 2=|x |+|y |，我们易画出满足条件的曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形，分析图形的形状，代入面积公式即可求出曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形的面积．【解答】解：曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形如下图中阴影所示：其面积有一个边长为√2的正方形和四个以√2为直径的半圆的面积的和∴S =√2×√2+4×12×π⋅(√22)2=π+2故选A5.【答案】C【考点】数列递推式【解析】观察该数列的前四项，知分子都是1，分母2，4，6，8…是偶数，由此可知a n=12n．【解答】解：∵a1=2=212×1−1，a2=43=222×2−1，a3=85=232×3−1，a4=167=242×4−1，a5=329=252×5−1，…∴a n=2n2n−1.故选C．6.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).【解答】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).7.【答案】A【考点】数列与函数的综合数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为a2n+1+b2n+1=a2n+b2n+1a2n+1b2n+2(a n b n+b n a n)，所以a250+b250=a21+b21+49∑i=1(1a2i+1b2i)+249∑i=1(a i b i+b i a i)>a21+b21+1a21+1b21+2×2×49≥4+4×49=200.又a n+1b n+1=a n b n+1a n b n+2，所以a50b50=a1b1+49∑i=11a i b i+2×49>98+a1b1+1a1b1>100.所以(a50+b50)2=a250+b250+2a50b50>200+200=400，因此a50+b50>20.故选A.8.【答案】D【考点】抛物线的应用【解析】根据抛物线的对称性可知，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2px(p>0)上，则另外两个定点关于x轴对称，就可的直线OA的倾斜角，据此求出直线OA的方程，与抛物线方程联立解出A点坐标，就可求出正三角形的边长．【解答】解：如图：∵抛物线y 2=2px关于x轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2px(p>0)上，则A，B点关于x轴对称，∴直线OA倾斜角为30∘，∴直线OA的斜率为√33，∴直线OA方程为y=√33x，由{y=√33x，y2=2px，得{x=6p，y=2√3p，∴A(6p,2√3p)，则B(6p,−2√3p)，∴|AB|=4√3p∴这个正三角形的边长为4√3p．故选D．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,C,D【考点】直线与圆的位置关系命题的真假判断与应用直线与圆相交的性质圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．【解答】解：A ，直线方程可化为m(x +3)+3x +4y −3=0，令x +3=0，则3x +4y −3=0，∴ x =−3，y =3，∴ 直线l 恒过定点(−3,3)，故A 正确；B ，当m =0时，直线l 方程为3x +4y −3=0，圆心C(0,0)到直线l 的距离d =|−3|√32+42=35.∵圆半径r =2，∴r −d =2−35=75>1，故圆C 上有四个点到直线l 的距离等于1，故B 错误；C ，∵圆C:x 2+y 2=4，曲线x 2+y 2−6x −8y +m =0，即(x −3)2+(y −4)2=25−m ，两圆心的距离t =√(0−3)2+(0−4)2=5，∴5=2+√25−m ，解得：m =16，故C 正确；D ，当m =13时，直线l:16x +4y +36=0，化简为：4x +y +9=0.∵P 是直线l 上一动点，设P(t,−9−4t)，圆C:x 2+y 2=4，圆心C(0,0)，半径r =2，以线段PC 为直径的圆M 方程为：(x −t)x +(9+4t +y)y =0，即：x 2+(−t)x +y 2+9y +4ty =0，又∵圆C 的方程为x 2+y 2=4，∴圆C 与圆M 的公共弦方程为−tx +4ty +9y +4=0，公共弦即l AB 为(4y −x)t +9y +4=0，则{4y −x =0,9y +4=0,解得{x =−169,y =−49,∴直线AB 经过点(−169,−49)，故D 正确． 故选ACD ．10.【答案】B,C,D 【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算直线与平面垂直的判定向量的线性运算性质及几何意义【解析】无【解答】解：A ．∵−13+23≠1，∴P 、B 、C 三点不共线，即P 不在直线BC 上，故选项A 错误；B ．∵→PA ⋅→PB =→PB ⋅→PC ，∴→PA ⋅→PB −→PB ⋅→PC =→PB ⋅(→PA −→PC )=→PB ⋅→CA =0，∴PB ⊥CA ，同理PC ⊥AB ，PA ⊥CB ，∴P 为△ABC 的垂心，故选项B 正确；C ．∵→AC ⋅→AP =(→AB +→BC)⋅→AP =(→AB +λ→BP)⋅→AP =[→AB +λ(→AP −→AB)]⋅→AP =[(1−λ)→AB +λ→AP]⋅→AP =(1−λ)→AB ⋅→AP +λ→AP2=λ(λ+2)=(λ+1)2−1，又λ+2>0且λ≠0，即λ>−2且λ≠0，∴当λ=−1时，→AC ⋅→AP 取得最小值−1，故选项C 正确；D ．∵→PA +3→PB +2→PC =0，∴→PA +3(→AB −→AP )+2(→AC −→AP )=→0，∴→PA +3→AB +2→AC −5→AP =0，即→AP =12→AB +13→AC ．如图可知，S △APB =13S △ABC ，S △APC =12S △ABC，∴S △BPC =16S △ABC ，∴S △APB ∶S △APC ∶S △BPC =13∶12∶16=2∶3∶1，故选项D 正确.故选BCD ．11.【答案】A,C【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义和性质椭圆的离心率三角形的面积公式平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由于点P 在C 的外部，所以|PF 1|+|PF 2|>2a ，则A 正确；设P (x 0,y 0) (y 0≠0)，则x 20+y 20=a 2，所以→PF 1⋅→PF 2=(−c −x 0,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=x 20−c 2+y 20=a 2−c 2=b 2≠ab ，则B 错误；由x 20+y 20=a 2及y 0≠0，得0<|y 0|≤a ，由S =12×2c ×|y 0|=√32b 2，解得|y 0|=√3b 22c ，所以0<√3b 22c ≤a ，即0<√3(a 2−c 2)≤2ac ，即√3e 2+2e −√3≥0，解得√33≤e <1，则C 正确；由→PF 1⋅→PF 2=b 2及→PF 1⋅→PF 2=|→PF 1||→PF 2|cosθ，得|→PF 1||→PF 2|cosθ=b 2，从而△PF 1F 2的面积为S =12×b 2cosθ×sinθ=12b 2tanθ，结合S =√32b 2，解得tanθ=√3，则D 错误．故选AC ．12.【答案】B,D【考点】数列的求和数列递推式数列的应用数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】解：A ，S 7=1+1+2+3+5+8+13=33，故A 不成立；B ，因为数列{a n }从第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，则a n+2=a n +a n+1=a n +a n−1+a n =a n +a n−1+a n−1+a n−2=a n +a n−1+a n−2+a n−3+a n−2⋯⋯=a n +a n−1+a n−2+a n−3+⋯+a 2+a 1+1=S n +1，所以S 2020=a 2022−1，故B 成立；C ，a 2+a 4+a 6+⋯+a 2020=a 2+a 3+a 2+a 5+a 4+⋯+a 2018+a 2019=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+⋯+a 2019=S 2019，但S 2019+1=a 2021，所以a 2+a 4+a 6+⋯⋯+a 2020≠a 2021，故C 不成立．D ，因为a n+2=a n+1+a n ，a 1=a 2=1，所以a 21=a 2a 1，a22=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a23=a 3a 4−a 2a 3，⋯⋯a 22021=a 2021a 2022−a 2021a 2020，将以上式子相加可得a 12+a 22+⋯+a 22021=a 2021a 2022，故D 成立.故选BD . 三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】−3【考点】共线向量与共面向量【解析】利用面面平行的性质可得：→u 1//→u 2，再利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵α//β，∴→u1//→u2，∴存在实数λ使得→u1=λ→u2，即(−3,y,2)=λ(6,−2,z)，∴{−3=6λy=−2λ2=λz，解得λ=−12，y=1，z=−4．∴y+z=−3．故答案为：−3．14.【答案】[1,5]【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】利用两圆有公共点的条件，即可得出结论．【解答】解：圆x 2+y2+2ax+a2−9=0，可化为(x+a)2+y2=9，∵圆x 2+y2=4与圆x2+y2+2ax+a2−9=0(a>0)有公共点，∴3−2≤a≤3+2,∴a的取值范围为[1,5]．故答案为：[1,5]．15.【答案】7【考点】等差数列的通项公式等差数列的性质等差数列的前n项和【解析】无【解答】解：设等差数列的公差为d，由S6=51，a8=22，得{6a 1+15d =51,a 1+7d =22,解得a 1=1，d =3，故a 3=a 1+2d =7．故答案为：7.16.【答案】[4,2√5]【考点】两向量的和或差的模的最值向量的模两点间的距离公式【解析】利用设向量→a 、→b 的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求|→a +→b |+|→a −→b |转换后的最值即可．【解答】解：向量→a 、→b 满足|→a |=1，|→b |=2，由题意可设，→a =(0,1)、→b =(x,y)，→a ，→b 满足|→a |=1，|→b |=2，且x 2+y 2=4，则：→a +→b =(x,1+y)；→a −→b =(−x,1−y)，则|→a +→b |+|→a −→b |=√x 2+(y +1)2+√x 2+(y −1)2，转换成所求为点(x,y)到(0,−1)与点(0,1)的距离之和大小，且(x,y)可看成在x 2+y 2=4表示的圆周上的点，由数形结合法知即：当(x,y)在(2,0)或(−2,0)时，则|→a +→b |+|→a −→b |值最小为3+1=4，当(x,y)在(0,2)或(0,−2)时，则|→a +→b |+|→a −→b |值最大为2√22+12=2√5，则|→a +→b |+|→a −→b |的取值范围是[4,2√5].故答案为：[4,2√5].四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】∵直线过点A(2,1)和B(7，∴直线AB的斜率为，故直线AB的点斜式方程为：．把直线l的方程化为斜截式：，一般式：3x+6y−10＝0，截距式：，故直线l在x轴上的截距为；在y轴上的截距为．【考点】直线的点斜式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】（1）依题意，可得x2−14x+13＝0的两根分别为x＝4，或x＝13，则a2＝1，a2＝13，或a2＝13，a5＝2，设等差数列{a n}的公差为d，则①当a2＝1，a5＝13时，d＝＝，此时a1＝1−3＝−3，a n＝−3+3⋅(n−1)＝4n−6，②当a2＝13，a5＝6时，d＝＝，此时a1＝13−(−4)＝17，a n＝17−4⋅(n−1)＝21−4n，∴a n＝8n−7，或a n＝21−4n，n∈N∗．（2）依题意，由a n+5>a n，可知数列{a n}是单调递增数列，则a n＝4n−7，n∈N∗，∴2n⋅a n＝(4n−7)⋅7n，S n＝−3×34+1×34+5×36+...+(4n−7)⋅7n，3S n＝−3×32+1×83+...+(4n−11)⋅2n+(4n−7)⋅5n+1，两式相减，可得−2S n ＝−6+4×33+4×32+...+4⋅3n −(7n −7)⋅3n+2＝−9+4×−(7n −7)⋅3n+6＝−(4n −9)⋅8n+1−27，∴S n ＝(2n −）⋅3n+2+．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】本题第(Ⅰ)题先解出一元二次方程的根据，然后对a 2，a 5的取值分类讨论，分别求出对应的公差d 的值，进一步计算可得数列{a n }的通项公式；第(Ⅱ)题先根据a n+1>a n 判断出数列{a n }唯一的通项公式，然后计算出数列{3n ⋅a n }的通项公式，最后运用错位相减法计算出前n 项和S n ．【解答】（1）依题意，可得x 2−14x +13＝0的两根分别为x ＝4，或x ＝13，则a 2＝1，a 2＝13，或a 2＝13，a 5＝2，设等差数列{a n }的公差为d ，则①当a 2＝1，a 5＝13时，d ＝＝，此时a 1＝1−3＝−3，a n ＝−3+3⋅(n −1)＝4n −6，②当a 2＝13，a 5＝6时，d ＝＝，此时a 1＝13−(−4)＝17，a n ＝17−4⋅(n −1)＝21−4n ，∴a n ＝8n −7，或a n ＝21−4n ，n ∈N ∗．（2）依题意，由a n+5>a n ，可知数列{a n }是单调递增数列，则a n ＝4n −7，n ∈N ∗，∴2n ⋅a n ＝(4n −7)⋅7n ，S n ＝−3×34+1×34+5×36+...+(4n −7)⋅7n ，3S n ＝−3×32+1×83+...+(4n −11)⋅2n +(4n −7)⋅5n+1，两式相减，可得−2S n ＝−6+4×33+4×32+...+4⋅3n −(7n −7)⋅3n+2＝−9+4×−(7n −7)⋅3n+6＝−(4n −9)⋅8n+1−27，∴S n ＝(2n −）⋅3n+2+．19.【答案】（1）证明：∵∠CAB=45∘，∴∠COB=90∘，又∵F为→BC的中点，∴∠FOB=45∘，∴OF//AC，又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，∴OF//平面ACD．（2）解：存在，E为AD中点，∵OA=OD，∴OE⊥AD，又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直，∴OC⊥平面OAD，又AD⊂平面OAD，∴AD⊥OC，∴AD⊥平面OCE，又AD⊂平面ACD，∴平面OCE⊥平面ACD．∴在AD上是存在点E，E为AD中点，使得平面OCE⊥平面ACD．【考点】与二面角有关的立体几何综合题【解析】（1）由∠CAB=45∘，知∠COB=90∘，由F为→BC的中点，知∠FOB=45∘，从而得到OF//AC，由此能证明OF//平面ACD．（2）存在，E为AD中点．由已条条件推导出OE⊥AD，AD⊥OC，从而得到AD⊥平面OCE，由此能求出在AD上是存在点E，E为AD中点，使得平面OCE⊥平面ACD．【解答】（1）证明：∵∠CAB=45∘，∴∠COB=90∘，又∵F为→BC的中点，∴∠FOB=45∘，∴OF//AC，又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，∴OF//平面ACD．（2）解：存在，E为AD中点，∵OA=OD，∴OE⊥AD，又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直，∴OC⊥平面OAD，又AD⊂平面OAD，∴AD⊥OC，∴AD⊥平面OCE，又AD⊂平面ACD，∴平面OCE⊥平面ACD．∴在AD上是存在点E，E为AD中点，使得平面OCE⊥平面ACD．20.【答案】x22+y2=1证明：设P(x1,y1),Q(−2,t)，直线PQ的斜率为k，则直线PQ的方程为y=k(x+2)+t，{y=k(x+2)+t，x22+y2=1,由联立得(1+2k 2)x 2+4k(2k +t)x +8k 2+8kt +2t 2−2=0，因为直线PQ 与曲线E 相切，所以Δ=16k 2(2k +t)2−4(1+2k 2)(8k 2+8kt +2t 2−2)=0，即2k 2+4k +t 2−1=0，（∗）此时x 1=−4k 2−2kt1+2k 2，y 1=2k +t1+2t 2，则→AP =(1−2k 2−2kt1+2k 2，2k +t1+2k 2)，→AQ =(−1,t)，→AP ⋅→AQ =2k 2+4kt +t 2−11+2k 2，把(∗)式代入得→AP ⋅→AQ =0，所以→AP ⊥→AQ ，即∠PAQ =π2，所以∠PAQ 为定值．【考点】圆锥曲线的综合问题轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：解：抛物线y 2=8x 的准线l 的方程为x =−2，设M(x,y)，则√(x +1)2+y 2|x +2|=√22，化简得x 2+2y 2=2，即x 22+y 2=1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22+y 2=1．【名师指导名师指导】本题考查椭圆的方程、性质及直线与椭圆的位置关系．根据已知条件利用点到直线距离公式即可得E 的方程；【名师指导】【名师指导】本题考查椭圆的方程、性质及直线与椭圆的位置关系．运用韦达定理、一元二次方程的判别式和平面向量即可得证．21.【答案】点(n,S n )(n ∈N ∗)在函数的图象上，可得S n＝n 2+n ，当n ＝1时，a 4＝S 1＝1；n ≥5时，a n ＝S n −S n−1＝n 2+n−2−(n −8)＝n ，上式对n ＝1也成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，n ∈N ∗；＝＝-，则数列{b n }的前n 项和T n＝（−1)+（--）＝−1．【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】∵椭圆方程为x 249+y 224=1，∴椭圆的半焦距c =√49−24=5．∴椭圆的焦点坐标为(±5,0)，也是双曲线的焦点设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，则可得：{ba =43a 2+b 2=25 ⇒{a 2=9b 2=16∴所求双曲线方程为x 29−y 216=1【考点】双曲线的标准方程双曲线的离心率【解析】根据椭圆方程，得椭圆的焦点坐标为(±5,0)，由此设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，结合双曲线的渐近线方程，联列方程组并解之，可得a 2＝9，b 2＝16，从而得到所求双曲线的方程．【解答】∵椭圆方程为x 249+y 224=1，∴椭圆的半焦距c =√49−24=5．∴椭圆的焦点坐标为(±5,0)，也是双曲线的焦点设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，则可得：{ba =43a 2+b 2=25 ⇒{a 2=9b 2=16∴所求双曲线方程为x 29−y 216=1。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 已知集合，集合，则 A.B.C. D.2. 角的终边经过点，那么 A.B.C.D.3. 若方程＝的两根满足一根大于，一根小于，则的取值范围是（ ）A.，）B.（，C.（，D.，）A ={x |−3<x <1}B ={x |−2x <0}x 2A ∪B =(){x|0<x <2}{x|0<x <1}{x|−3<x <0}{x|−3<x <2}θP(−3,4)sin θ+2cos θ=()15−15−2525−2mx +4x 2021m (−∞+∞)3)(1=1=−214. 若函数的图象平移变换后为函数的图象，则平移方法可以是 （ ）A.先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度B.先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度C.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度D.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度5. 已知点在幂函数的图象上，则的表达式为( )A.B.C.D.6. 已知函数若，则（ ）A.B.C.D.7. 已知 ，则 的值为( )A.B.C.D.8. 已知每枝笔售元，则总售价元与售出数量枝的函数图象是( )A.一条直线y =12x 2y =−212(x +1)212211221(,)2–√22–√4y =f(x)f(x)f(x)=x3f(x)=x 3f(x)=x −2f(x)=(12)x{，x ≤0,2x a −x,x >0,log 2f (f (−1))=−1a =−2−12cos(−α)=π623cos(+2α)5π35919−19−592y xB.一条射线C.一条线段D.呈射线排列的无限个点9. 已知函数满足，且，当时，，求( )A.B.C.D.10. 化简等于 A.B.C.D.11. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为 A.B.C.D.12. 已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 A.B.C.D.卷II （非选择题）f(x)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)1≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=−1121+tan 15∘1−tan 15∘()33–√23–√1f(x)1y >>1x 2x 1[f()−f()](−)<0x 2x 1x 2x 1a =f(−)12b =f(2)c =f(3)a b c ()c >a >bc >b >aa >c >bb >a >cl :y =x +m y =1−x 2−−−−−√m ()(−2,2)(−1,1)[1,)2–√(−,)2–√2–√二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则的值为________.14. 已知函数，则________.15. 定义在上的奇函数满足，当时，，则________．16. 函数的单调递增区间是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 17. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤求函数的定义域；若，求函数的解析式．18. 化简：；. 19. 若函数在区间内有最值，则的取值范围为________. 20. 设()，曲线在点（）处的切线垂直于轴．求的值； 求函数的极值．21. 已知定义域为的函数是奇函数．求的值；判断在上的单调性（不用证明）；若对于任意，不等式恒成立，求的范围．f (x)=ln x +2x (1,f(1))ax +by −1=0a b f(x)= 3x +1(x ≥0)(x <0)1+2x 2f[f(−1)]=R f (x)f (x +2)=f (−x)x ∈[−1,0]f (x)=+2x x 2f (2021)=f (x)=2x −ln x (1)f (x)=−−3x +4x 2−−−−−−−−−−−√lgx(2)f (2x −1)=+4x −1x 2f (x)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2f(x)=sin(ωx +)(0<ω<1)π6(π，2π)ωf(x)=a ln x −x +4a ∈R y =f(x)1,f(1)y (1)a (2)f(x)R f(x)=a −2x +12x (1)a (2)f(x)(−∞,+∞)(3)t ∈R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2k f(x)=−x 222. 已知函数．求曲线在处的切线方程；求证：当时，．f(x)=−e x x 2(1)f(x)x =1(2)x >0≥ln x +1+(2−e)x −1e x x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】求出集合，根据交集定义进行求解．【解答】解：，则.故选.2.【答案】C【考点】三角函数【解析】根据任意角的三角函数的定义求得 和 的值，从而求得的值．【解答】解：∵角的终边经过点，∴，，，∴，，∴.故选.3.B B ={x |−2x <0}={x |0<x <2}x 2A ∪B ={x |−3<x <2}D sin θ=y r cos θ=x r sin θ+2cos θθP(−3,4)x =−3y =4r =|OP|=5sin θ==y r 45cos θ==−x r 35sin θ+2cos θ=−25C【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数为，把点代入函数解析式求得的值，可得函数的解析式．【解答】解：设幂函数的表达式为，根据幂函数的图象过点，y =x ααy =x α(,)2–√22–√4(–√–√可得，解得，故幂函数的表达式是.故选．6.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】由题意得， ，∴∴．，故选．【解答】解：由题意得， ，∴．∴.故选．7.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知,=(2–√42–√2)αα=3f(x)=x 3B f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A cos(−α)=π623cos(+2a)=cos(−2a)5π3π3=2(−a)−1cos 2π6−1.故选.8.【答案】D【考点】函数的图象【解析】根据题意，列出函数解析式即可画出函数图象．【解答】解：根据题意得，，为正比例函数，由于铅笔为非负整数枝，故函数为呈射线排列的无限个点.故选．9.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得＝＝，从而得到＝，再由当时，＝，能求出的值．【解答】解：∵，且，∴.令，得，∴，∴以为周期的周期函数.∵当时，，∴．故选．10.【答案】C=−19C y =2x D f(1+x)−f(1−x)−f(x −1)f(x +4)f(x)1≤x ≤2f(x)−12x f(2017)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)f(1+x)=−f(1−x)=−f(x −1)x −1=t f(t +2)=−f(t)f(x +4)=−f(x +2)=f(x)f(x)41≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=−1=211C【考点】两角和与差的正切公式【解析】先把代入原式，根据正切的两角和公式化简整理即可求得答案．【解答】解：.故选.11.【答案】D【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质【解析】根据函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，可得函数关于对称；由当时，（ ）恒成立，可得函数在上为单调减函数，利用单调性即可判定出、、的大小．【解答】解：∵函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，∴函数关于对称,∴，∵当时，恒成立，∴ ，即 ，∴函数在上为单调减函数,∵,∴，即.故选．12.【答案】C【考点】tan =145∘=1+tan 15∘1−tan 15∘tan +tan 45∘15∘1−tan tan 45∘15∘=tan(+)=tan =45∘15∘60∘3–√C f(x)1y f(x)x =1>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1−x 2x 1<0f(x)(1,+∞)a b c f(x)1y f(x)x =1a =f(−)=f()1252>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1(−)x 2x 1<0f()−f()<0x 2x 1f()<f()x 2x 1f(x)(1,+∞)1<2<<352f(2)>f()>f(3)52b >a >c D函数的零点与方程根的关系【解析】画出图象，当直线经过点，时，求出的值；当直线与曲线相切时，求出．即可．【解答】解：画出图象，当直线经过点，时，，此时直线与曲线有两个公共点；当直线与曲线相切时，．因此当时，直线与曲线有两个公共点．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，所以切线的斜率．又直线的斜率为，所以，解得．故答案为：．14.【答案】l A C m l m l A C m =1l y =1−x 2−−−−−√l m =2–√1≤m <2–√l :y =x +m y =1−x 2−−−−−√C −3f (x)=ln x +2x (x)=+2f ′1x k =(1)=3f ′ax +by −1=0−a b −=3a b =−3a b−32【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，则，∴.故答案为：. 15.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为.所以，故是以为周期的周期函数，则．故答案为：．16.【答案】【考点】x =−1<0f(−1)==1(−1+2)213f[f(−1)]=f()=3×+1=2131321f (x)f (x +2)=f (−x)=−f (x)f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x)f (x)4f (x +4)=f (x)f (x)4f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[−2]=1(−1)21[,+∞)12利用导数研究函数的单调性【解析】求导，令，解不等式即可.【解答】解：函数的定义域为，∴ ，令，解得，∴函数的单调递增区间为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】得，即________的定义域为（．）．（2）4，则………则故【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】略略18.【答案】(x)=2−≥0f ′1x f (x)=2x −ln x (0,+∞)(x)=2−f ′1x(x)=2−≥0f ′1xx ≥12f (x)=2x −ln x [,+∞)12[,+∞)12{(−−3x +4≥0x 2{lgx ≠0x >0x ∈(0,1)f (x)0.1≥2x −1=t x =t +12f (t)=+4×−1=+t +t +()t +122t +1214t 2525254f (x)=+x +14x 25254−sin(+α)+sin(−α)180∘解：..【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式化简，即可得出结论；利用诱导公式化简可得结论．【解答】解：..19.【答案】∪【考点】函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由于函数取最值时，，即，(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(1)(2)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(，)1613(，1)23f(x)=sin(ωx +)π6ωx +=kπ+,k ∈Zπ6π2x =(kπ+)1ωπ3(π，2π)又因为在区间内有最值，所以时，有解，所以，即得，由得，当时，，当时，又，所以的范围为∪故答案为：∪. 20.【答案】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】求导函数，利用曲线在点（）处的切线垂直于轴，可得，从而可求的值；由知，，，确定函数的单调性，即可求得函数的极值．【解答】(π，2π)(kπ+)∈(π,2π)1ωπ3k 1<(k +)<21ω13 ω<k +，13+<ω，k 216+<ω<k +k 21613+<k +k 21613k >−13k =0<ω<1613k =10<ω<1，<ω<123ω(，)1613(，1)23(，)1613(，1)23(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)y =f(x)1,f(1)y f'(1)=0a (2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f(x)(1)f(x)=a ln x −x +4解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．21.【答案】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．【考点】奇函数函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】（1）为上的奇函数，由即可求得的值；（2）分离出常数，即可判断在上的单调性（直接写出答案，不用证明）；（3）利用奇函数在上单调递减的性质，可将恒成立转化为恒成立，利用，即可求的取值范围．【解答】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13f(x)R f(0)=0a −1f(x)(−∞,+∞)f(x)R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 23−2t −k >0t 2△=4+12k <0k (1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)2222，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．22.【答案】解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】Ⅰ求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线在处的切线方程；Ⅱ 猜测：当，时，的图象恒在切线的上方，只证：当时，，又，即，即可．【解答】(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x xx =1()f(x)x =1()x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x (1)f (x)=−2x′x解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x x =1。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线的倾斜角的取值范围是 A.B.C.D.2. 已知直线经过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为 ，是椭圆的右焦点，且 ，则椭圆的方程为()A.B.C.D.3. 已知直线恒过点，则点关于直线的对称点的坐标是（　　）A.B.C.x +(+1)y +1=0(a ∈R)a 2()[0,]π4[,π)3π4[0,]∪(,π)π4π2[,)∪[,π)π4π23π42x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1M y N F 2|MN|=|M |F 2+=1x 240y 24+=1x 25y 2+=1x 210y 2+=1x 29y 25(1+k)x +y −k −2=0P P x −y −2=0(3,−2)(2,−3)(1,−3)(3,−1)D.4. 圆的位置关系为（ ）A.内切B.外切C.相交D.外离5. 已知分别是椭圆的上、下焦点．下顶点为．其长轴长与焦距之和为．．．（异于点）均在椭圆上，且为坐标原点）．直线．交于点，且则 面积的最大值为（ ）A.B.C.D.6. 已知双曲线：，过其焦点的直线与该双曲线的两条渐近线的交点分别为，，以为直径的圆过点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.7. 经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )A.B.C.D.(3,−1)：+−2y =0，：+−2−6=0C 1x 2y 2C 2x 2y 23x −−√⋅F 1F 2C :+=1(a >b >0)y 2a x 2b x A 16M1N P 4C =OM −→−NO −→−O NF AM B +=2NM −→−NA −→−NB −→−ΔP F F 142–√82–√12242–√C −=1(a >b >0)y 2a 2x 2b 2F A B OB A △OAB 2b 32–√5–√26–√27–√2A (−1,4)x 3y =−x −3y =x +3y =−x +3y =−x +5C C C8. 记点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线9. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 A.B.C.D.10. 已知圆：与圆外切，则点与圆的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定11. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是( )A.B.C.D.12. 椭圆。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线的倾斜角大小为( )A.B.C.D.2. 若直线：与直线：垂直，则实数的值是( )A.B.C.D.3. 抛物线的焦点坐标是( )A.B.C.D.+=1x2–√y6–√π6π32π35π6l 1ax +2y +6=0l 2x +(a −1)y +5=0a 231122=−y x 2(−,0)12(−,0)14(0,−)14(0,−)124. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是( )A.B.或C.或D.5. 国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成类型的标准：年龄中位数在岁以下为年轻型人口；年龄中位数在岁为成年型人口；年龄中位数在岁以上为老年型人口．上图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至年为成年型人口；②从年至年为老年型人口；③放开二孩政策之后我国仍为老年型人口．其中正确的是( )A.②B.①②C.①③D.②③6. 若、，则、两点间的距离为（ ）A.B.C.D.7. 已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是()y =x 2–√3–√3–√6–√25–√6–√25–√2020∼3030200020102020A(1,3,−2)B(−2,3,2)A B 61−−√52557−−√+=1x 2a 2y 22F (−,0)3–√=122A.B.C.D.8. 某高中高一新生有人，其中男生人，女生人，学校要对高一新生学生的选课意愿进行调查，采用分层抽样的方式抽取人，其中抽取的男生数为 A.B.C.D.9. 过椭圆：的上顶点与右焦点的直线方程为，则椭圆的标准方程为( )A.B.C.D.10. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则直线与圆的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定11. 据气象部门预报，在距离某码头正西方向处的热带风暴中心正以的速度向东北方向移动，距风暴中心以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（ ）+=1x 23y 22+=1x 24y 22+=1x 25y 22+=1x 26y 2290050040045()15202530C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 22x +3y −6=0C +=1x 213y 24+=1x 29y 24+=1x 25y 24+=1x 23y 22(−2,1)M 3x −4y +1=0M 400km 20km/h 300km 9hA.B.C.D.12. 过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若一组数据，，，…，的平均数是，另一组数据，，，…，的平均数是，则第三组数据，，，…，的平均数是________．14. 双曲线的一条弦的中点是，此弦所在的直线方程是________．15. 已知曲线 ，给出下列四个结论：①若，则是圆，其半径为；②若，则是椭圆，其离心率为③若，则是两条与轴平行的直线；④若，则是双曲线，其渐近线为其中所有正确结论的序号是________16. 已知椭圆，过点作两条斜率互为相反数且不平行于坐标轴的直线，分别与椭圆相交于异于的不同两点，，则直线的斜率为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知圆的圆心在直线 上，并且与轴的交点分别为 .求圆的方程；9h10h11h12hC :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F C B A =3BF −→−FA −→−C 133–√33–√22–√2x 1x 2x 3x n 30+x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3+x n y n 704+1y 14+1y 24+1y 34+1y n −=1x 2y 2(1,2)C :m +n =1x 2y 2m =n >0C n −√m >n >0C m −n m −−−−−−√m =0,n >0C y mn <0C y =±−x.m n−−−−−−√C :+=1x 2y 24P (−,1)3–√2C P A B AB C 3x +2y =0x A(−2,0),B(6,0)(1)C (2)l l C △MCN若直线过原点且垂直直线 ，直线交圆于,，求 的面积.18. 某企业为了检查生产产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的产品中各抽取件产品作为样本，测出它们的某一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则该产品为优等品；若该项质量指标值落在内，则该产品为合格品．甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图分别如下图所示（乙流水线分组为，，，，.求甲流水线的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）和中位数；甲、乙两条流水线生产出来的优等品每件分别可获利润元和元，生产出来的合格品每件分别可获利润元和元，比较在甲、乙两条流水线生产出来的各件产品获得的利润谁更多．19. 已知动圆与圆 外切，与圆内切，设动圆圆心的轨迹为．求的轨迹方程；过点点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，两点（，不与重合）．求证：直线过定点，并求该定点的坐标．20. 已知圆上一动点，过点作轴的垂线，垂足为,的中点为.求点的轨迹的方程，并指出轨迹的图形；设直线交圆于,两点，,是曲线上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值及此时直线的方程.21. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的横坐标为，．求抛物线的方程；设为过点的任意一条直线，若交抛物线于，两点，求证：以为直径的圆必过坐标原点．22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且的面积为.求椭圆的方程；过原点作圆：的两条切线，切点分别为，，求.(2)l 3x +2y =0l C M N △MCN A 100[80,100][60,80)[70,75)[75,80)⋯[90,95)[95,100])(1)(2)4035105100M :+=C 1(x −)3–√2y 2(−)6–√2–√2:+=C 2(x +)3–√2y 2(+)6–√2–√2M C (1)C (2)P (0,)3–√A B A B P AB +=4x 2y 2P P x P ′PP ′M (1)M E (2)l :y =x +=4x 2y 2A B C D E ACBD AB ⊥CD ACBD CD =2px(p >0)y 2F A A 4|AF |=5(1)(2)l (4,0)l A B AB +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P (,)2–√322–√3C △PF 1F 222–√3(1)C (2)O M +=(x −a)2(y −b)2a 2A B |AB|2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】由于直线的斜率可利用直线的倾斜角与斜率的关系再结合倾斜角的范围即可得解．【解答】解：设直线的倾斜角为，∴斜率，又∵，∴.故选.2.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据直线的垂直关系求解即可.【解答】解：直线：与直线：垂直，，.+=1x 2–√y 6–√k =−3–√+=1x 2–√y 6–√αk =−=tan α3–√α∈[0,π)α=2π3C ∵l 1ax +2y +6=0l 2x +(a −1)y +5=0∴a +2(a −1)=0∴a =23A故选.3.【答案】C【考点】抛物线的标准方程【解析】由抛物线的标准方程求得 ，且抛物线开口向下，由此求得它的焦点坐标．【解答】解：由抛物线 可得，∴，，且抛物线开口向下，故它的焦点坐标为.故选．4.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】由题意，可得，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：当双曲线的焦点在轴上，由双曲线的方程,可得渐近线的方程为,即有,则;当双曲线的焦点在轴上，由双曲线的方程,A p =12=−y x 22p =1p =12=p 214(0,−)14C =b a 3–√=1+(=4e 2b a)2x −=1(a,b >0)x 2a 2y 2b 2y =±x b a b =a,c ==a 2–√+a 2b 2−−−−−−√3–√e ==c a 3–√y −=1(a,b >0)y 2a 2x 2b 2=±xa可得渐近线方程为,即有,则.综上可得或.故选.5.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数频率分布折线图、密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：①很明显在年的时候年龄中位数位于岁以下，属于年轻型人口；②由图可知年年龄中位数位于岁以上，为老年型人口；③放开二孩政策之后，年龄中位数依然位于岁以上，为老年型人口.可以判断②③是正确的，①是错误的．故选.6.【答案】B【考点】空间两点间的距离公式【解析】根据空间坐标系中两点之间的距离公式，代入点、的坐标加以计算，可得的值．【解答】解：∵、，∴根据空间两点间的距离公式，可得．故选：7.y =±x a b b =a,c ==a 2–√+a 2b 2−−−−−−√6–√2e ==c a 6–√2e =3–√6–√2B 1970202010∼20203030D A B |AB |A(1,3,−2)B(−2,3,2)|AB |==5[1−(−2)+(3−3+(−2−2]2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√BC【考点】椭圆的标准方程【解析】由题意得到，，求出，即可得到答案.【解答】解：∵椭圆的一个焦点为，∴，∴，∴，∴这个椭圆的方程是 .故选.8.【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】先求出抽样比，再计算即可.【解答】解：由题意可得，抽样比例为，则抽取的男生数为：(人).故选.9.【答案】A【考点】椭圆的标准方程c =3–√−2=3a 2=5a 2+=1x 2a 2y 22F (−,0)3–√c =3–√−2=3a 2=5a 2+=1x 25y 22C =45500+400120500×=25120C根据题意，分析椭圆的焦点位置，求出直线与坐标轴的交点坐标，即可得椭圆的上顶点和右焦点的坐标，可得、的值，求出的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆：的上顶点与右焦点的直线方程为，令，得，令，得，即直线与轴交点为，直线与轴交点为，所以椭圆的上顶点坐标为，椭圆的右焦点为，即，，则，所以椭圆的标准方程为.故选．10.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为圆与两坐标轴都相切，且点在该圆上，所以可设圆的方程为，所以，即，解得或．当圆心坐标为时，圆的半径为，此时圆心到直线的距离为，当圆心坐标为时，圆的半径为，此时圆心到直线的距离为．故直线与圆相离．故选．11.2x +3y −6=0b c a C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 22x +3y −6=0x =0y =2y =0x =3y (0,2)x (3,0)(0,2)(3,0)b =2c =3=+=13a 2b 2c 2C +=1x 213y 24A M (−2,1)M +=(x +a)2(y −a)2a 2+=(−2+a)2(1−a)2a 2−6a +5=0a 2a =1a =5(−1,1)13x −4y +1=0>165(−5,5)53x −4y +1=0>53453x −4y +1=0M C【答案】B【考点】解三角形的实际应用【解析】作出示意图，在风暴中心行进路线上取两点，使得到码头的距离均为，利用勾股定理求出，则影响时间为．【解答】解：设码头为，风暴中心开始位置为，码头开始受风暴影响时风暴中心为，码头结束风暴影响时风暴中心为，则，，，过作于，则，∴，∴，∴码头受风暴影响时间为．故选：．12.【答案】D【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知，，∴：，与椭圆的方程联立得：，∴，∴，∴C D A 300km CD CD 20A B C D AB =400AC =AD =300∠B =45∘A AE ⊥BD E AE =AB sin B =2002–√CE ==100A −A C 2E 2−−−−−−−−−−√CD =2CE =200=10h 20020B B(0,b),F(−c,0)l AB y =x +b b c C +=1x 2a 2+2x +b 2c 2x 2b 2c b 2b 2++=0x 2a 2x 2c 22x c (+)+2cx =0a 2c 2x 2a 2+=−x 1x 22c a 2+a 2c 22c2∵，∴点的横坐标为，∵，∴，得，∴.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：点差法，由得，则此弦所在的直线斜率，+a cB(0,b)A −2c a 2+a 2c 2=3BF −→−FA −→−=−c −2c a 2+a 2c 234+1=e 232e =2–√2D 161x −2y +3=0{−=1，x 21y 21−=1，x 22y 22−=−x 22x 21y 22y 21k ===−y 2y 1−x 2x 1+x 2x 1+y 2y 112−2=(x −1)1所求直线方程为，即.故答案为：.15.【答案】②④【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】①当时，曲线可化为，它表示半径为的圆，故①错误；②当时，曲线可化为 ，又，所以曲线表示焦点在轴上椭圆，其离心率为 ，故②正确；③当时，曲线可化为，即，它表示两条与×轴平行的直线，故③错误；④当时，曲线是双曲线，令，则渐近线为，故④正确．16.【答案】-【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，得关于的一元二次方程，根据根与系数的关系两根之和可求点的横坐标，代入直线方程可得点的纵坐标，根据两直线斜率互为相反数，可得点的坐标．进而由两点连线的斜率公式可得直线的斜率．【解答】解：设直线的斜率为，则直线的斜率为．y −2=(x −1)12x −2y +3=0x −2y +3=0m =n >0C +=x 2y 21n 1n−√m >n >0C +=1x 21m y 2n 0<<1m 1nC y e ===c a −1n 1m n −−−−−−− m −n m −−−−−−√m =0,n >0C =y 21n y =±1n −−√m <0C m +n =0x 2y 2y =±−x m n−−−−−√23–√PA y −1=k (x +)3–√2x A A B AB PA k PB −k −1=k (x +)–√所以直线的方程为，设点，，由 得，所以，所以，，，，所以，直线的斜率为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：线段的中垂线方程为： ，由得 .∴圆心为 .又半径 ，∴圆的方程为 易得直线的方程为：，所以点到直线的距离为： ,∴,【考点】PA y −1=k (x +)3–√2A (⋅)x A y AB (⋅)x B y B y −1=k (x +)，3–√2+=1，x 2y 24(4+)+(2k +)x ++k −3=0k 2x 23–√k 234k 23–√+=−x A x p 2k +3–√k 24+k 2=−−x A 2k +3–√k 24+k 2x p =−+2k +3–√k 24+k 23–√2=k (+)+1y A x A 3–√2=−+k +12+k 23–√k 34+k 23–√=−x B 2k −3–√k 24+k 2x p =+2k −3–√k 24+k 23–√2=−k (+)+1y B x B 3–√2=−k +1−2+k 23–√k 34+k 23–√tAB −y B y A−x B x A =−k +1−(−+k +1)−2+k 23√k 34+k 23–√2+k 23√k 34+k 23–√+−(−+)2k−3√k 24+k 23√22k+3√k 24+k 23√2=−23–√−23–√(1)AB x =2{x =2,3x +2y =0,y =−3C (2,−3)r =|AC|=5C (x −2+(y +3=25.)2)2(2)l 2x −3y =0C l d ==|4+9|4+9−−−−√13−−√|MN|=2=4−r 2d 2−−−−−−√3–√∴=×|MN|×d =×4×=2.S △MCN 12123–√13−−√39−−√直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：线段的中垂线方程为： ，由得 .∴圆心为 .又半径 ，∴圆的方程为 易得直线的方程为：，所以点到直线的距离为： ,∴,18.【答案】解：甲流水线的平均数：．设中位数为，则，解得．用，分别表示甲、乙两条流水线生产出来的各件产品所获取的利润．，，所以乙流水线获得的利润更多．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图【解析】无无【解答】解：甲流水线的平均数：．设中位数为，则，解得．(1)AB x =2{x =2,3x +2y =0,y =−3C (2,−3)r =|AC|=5C (x −2+(y +3=25.)2)2(2)l 2x −3y =0C l d ==|4+9|4+9−−−−√13−−√|MN|=2=4−r 2d 2−−−−−−√3–√∴=×|MN|×d =×4×=2.S △MCN 12123–√13−−√39−−√(1)67.5×0.05+72.5×0.15+77.5×0.2+82.5×0.3+87.5×0.2+92.5×0.1=81.25x ×0.3+0.4=0.5x −805x =2453(2)Q 1Q 2100=10×40+40×60=2800Q 1=5×20+35×80=2900Q 2(1)67.5×0.05+72.5×0.15+77.5×0.2+82.5×0.3+87.5×0.2+92.5×0.1=81.25x ×0.3+0.4=0.5x −805x =2453(2)Q Q用，分别表示甲、乙两条流水线生产出来的各件产品所获取的利润．，，所以乙流水线获得的利润更多．19.【答案】解：设动圆圆心为，半径为，由题意知,，故，所以的轨迹方程为.当直线的斜率均存在,设直线的斜率为，,由题意知消去得，,所以．同理可得,所以直线的斜率为，直线的方程为，所以直线过定点，当直线的斜率一个为，一个不存在时，也过定点．综上，直线过定点.【考点】轨迹方程椭圆的标准方程圆与圆锥曲线的综合问题直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】.【解答】解：设动圆圆心为，半径为，(2)Q 1Q 2100=10×40+40×60=2800Q 1=5×20+35×80=2900Q 2(1)M r |M |=r +(−)C 16–√2–√|M |=(+)−r C 26–√2–√|M |+|M |=2>||C 1C 26–√C 1C 2C +=1x 26y 23(2)PA,PB PA k A (,),B (,)x 1y 1x 2y 2 +=1，x 26y 23y =kx +，3–√y (2+1)+4kx =0k 2x 23–√A (,)−4k 3–√2+1k 2−23–√3–√k 22+1k 2B (,)4k 3–√2+k 2−23–√k 23–√+2k 2AB −1k 23k AB y =x −−1k 23k 3–√3(0,−)3–√3PA,PB 0AB (0,−)3–√3(1)M r |M |=r +(−)C –√–√由题意知,，故，所以的轨迹方程为.当直线的斜率均存在,设直线的斜率为，,由题意知消去得，,所以．同理可得,所以直线的斜率为，直线的方程为，所以直线过定点，当直线的斜率一个为，一个不存在时，也过定点．综上，直线过定点.20.【答案】解:设，则.因为点在圆，所以，即，所以点的轨迹的方程为，其图形为椭圆.由，可知直线与直线垂直，所以可设直线的方程为，，.联立方程得.|M |=r +(−)C 16–√2–√|M |=(+)−r C 26–√2–√|M |+|M |=2>||C 1C 26–√C 1C 2C +=1x 26y 23(2)PA,PB PA k A (,),B (,)x 1y 1x 2y 2 +=1，x 26y 23y =kx +，3–√y (2+1)+4kx =0k 2x 23–√A (,)−4k 3–√2+1k 2−23–√3–√k 22+1k 2B (,)4k 3–√2+k 2−23–√k 23–√+2k 2AB −1k 23k AB y =x −−1k 23k 3–√3(0,−)3–√3PA,PB 0AB (0,−)3–√3(1)M （x ，y ）P(x ，2y)P +=4x 2y 2+=4x 2(2y)2+=1x 24y 2M E +=1x 24y 2(2)AB ⊥CD CD l :y =x CD y =−x +m C （，）x 1y 1D （，)x 2y 2 y =−x +m ，+=1，x 24y 25−8mx +4−4=0x 2m 2Δ=16(5−)>02由，得.又，所以=.又因为直线过原点，即过圆的圆心，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即四边形面积的最大值为.此时直线的方程为.【考点】椭圆的应用椭圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】Δ=16(5−)>0m 2−<m <5–√5–√+=x 1x 28m 5=x 1x 24−4m 25|CD|=|−|=2–√x 2x 12–√−4(+)x 2x 12x 1x 2−−−−−−−−−−−−−−−√=2–√−4×()8m 524−4m 25−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√42–√55−m 2−−−−−−√l :y =x +=4x 2y 2|AB|=4=|AB||CD|S ACBD 12=×4×1242–√55−m 2−−−−−−√=82–√55−m 2−−−−−−√≤810−−√5m =0ACBD 810−−√5CD y =−x (1)M （x ，y ）P(x ，2y)解:设，则.因为点在圆，所以，即，所以点的轨迹的方程为，其图形为椭圆.由，可知直线与直线垂直，所以可设直线的方程为，，.联立方程得.由，得.又，所以=.又因为直线过原点，即过圆的圆心，所以，所以(1)M （x ，y ）P(x ，2y)P +=4x 2y 2+=4x 2(2y)2+=1x 24y 2M E +=1x 24y 2(2)AB ⊥CD CD l :y =x CD y =−x +m C （，）x 1y 1D （，)x 2y 2 y =−x +m ，+=1，x 24y 25−8mx +4−4=0x 2m 2Δ=16(5−)>0m 2−<m <5–√5–√+=x 1x 28m 5=x 1x 24−4m 25|CD|=|−|=2–√x 2x 12–√−4(+)x 2x 12x 1x 2−−−−−−−−−−−−−−−√=2–√−4×()8m 524−4m 25−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√42–√55−m 2−−−−−−√l :y =x +=4x 2y 2|AB|=4=|AB||CD|S ACBD 12×4×4–√， 当且仅当时，等号成立，即四边形面积的最大值为.此时直线的方程为.21.【答案】解：抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义可得，，解得，即抛物线的方程为.证明：设直线，，，代入抛物线方程，可得，判别式为恒成立，，，，即有，则，则以为直径的圆必过坐标原点．【考点】抛物线的求解圆锥曲线的综合问题【解析】（1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设直线，，，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以为直径的圆必过坐标原点．【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义可得，，解得，=×4×1242–√55−m 2−−−−−−√=82–√55−m 2−−−−−−√≤810−−√5m =0ACBD 810−−√5CD y =−x (1)=2px(p >0)y 2F(,0)p 2x =−p 2|AF |=4+=5p 2p =2=4x y 2(2)l :x =my +4A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=4x y 2−4my −16=0y 216+64>0m 2+=4m y 1y 2=−16y 1y 2=⋅=16x 1x 2y 214y 224+=0x 1x 2y 1y 2⊥OA −→−OB −→−AB p =2l :x =my +4A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB (1)=2px(p >0)y 2F(,0)p 2x =−p 2|AF |=4+=5p 2p =2=4x 2即抛物线的方程为.证明：设直线，，，代入抛物线方程，可得，判别式为恒成立，，，，即有，则，则以为直径的圆必过坐标原点．22.【答案】解：，，解得，，，解得 椭圆的方程为.由得，，，：，点.，，四点共圆，为直径.设为的中点，且为圆的圆心，，， 圆：，的方程为，，.【考点】椭圆的标准方程直线与圆的位置关系圆的标准方程=4x y 2(2)l :x =my +4A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=4x y 2−4my −16=0y 216+64>0m 2+=4m y 1y 2=−16y 1y 2=⋅=16x 1x 2y 214y 224+=0x 1x 2y 1y 2⊥OA −→−OB −→−AB (1)∵=S △PF 1F 222–√3∴×2c ×=12y P 22–√3c =1∴(−1,0)F 1(1,0)F 2∴ =+1,a 2b 2+=1,29a 289b 2{=2,a 2=1b 2∴+=1x 22y 2(2)(1)a =2–√b =1∴M +=2(x −)2–√2(y −1)2M(,1)2–√∵OA ⊥AM OB ⊥BM ∴OM Q OM Q ∴Q(,)2–√212∴QM =r ==(−+(−12–√22–√)212)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√2∴Q (x −+(y −=2–√2)212)234∴AB x +y −1=02–√∴(+(=2|2+1−1|2+1−−−−√)2AB 2)2∴A =B 283点到直线的距离公式中点坐标公式【解析】此题暂无解析【解答】解：，，解得，，，解得 椭圆的方程为.由得，，，：，点.，，四点共圆，为直径.设为的中点，且为圆的圆心，，， 圆：，的方程为，，.(1)∵=S △PF 1F 222–√3∴×2c ×=12y P 22–√3c =1∴(−1,0)F 1(1,0)F 2∴ =+1,a 2b 2+=1,29a 289b 2{=2,a 2=1b 2∴+=1x 22y 2(2)(1)a =2–√b =1∴M +=2(x −)2–√2(y −1)2M(,1)2–√∵OA ⊥AM OB ⊥BM ∴OM Q OM Q ∴Q(,)2–√212∴QM =r ==(−+(−12–√22–√)212)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√2∴Q (x −+(y −=2–√2)212)234∴AB x +y −1=02–√∴(+(=2|2+1−1|2+1−−−−√)2AB 2)2∴A =B 283。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 设为虚数单位，则复数 （ ）A.B.C.D.3. 已知点是抛物线上一点，且点到该抛物线焦点的距离为，则( )A.B.C.D.4. 以下两个图表是年初的个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，给出下列结论：其中正确的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是、、、月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津，上海、重庆）①月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均；②月份仅有三个城市居民消费价格指数超过；A ={x|−x −2<0}x 2B ={x|+2x ≤0}x 2A ∩B ={x|0<x <2}{x|−1<x ≤0}{x|−1<x <0}{x|0≤x <2}i i (3+i)=1+3i−1+3i1−3i−1−3iP (m,m)(m ≠0)=2px (p >0)y 2P 30p =1012203020194=100123434102③仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势；④四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较大．A.①②B.②④C.①②④D.①③④5. 设变量，满足线性约束条件若取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为( )A.或B.或C.或D.或6. 已知长方体中，．平面过中点，中点，中点，则面截此长方体所得截面面积为（ ）x y x −2y +1≤0,2x −y +2≥0,x +y −2≤0,z =x +ay a −1211−2−2−12−12ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =8,BC =A =6A 1αAB M AD L BB 1N α3−−√A.B.C.D.7. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据,…,，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是 A.与具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该大学某女生身高增加，则其体重约增加D.若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为8. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.9. 若，为实数，则""是“"的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知数列满足，，，则数列的前项的和等于（ ）A.B.341−−√2341−−√641−−√941−−√y kg x cm (,)(i =1,2x i y i n)=0.85x −85.71yˆ()y x (,)x ¯¯¯y¯¯¯1cm 0.85kg170cm 58.79kgf (x)=x ln x +a −(2a +1)xx 2x =1a (−,+∞)12[−,+∞)12(−∞,−)12(−∞,−]12a b b <1a ab <1{}a n =1a 1=3a 2=3(n ∈)a n+2a n N ∗{}a n 2020S 20202(−1)310082(−1)310092(−1)1010C.D.11.下表显示出函数随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ） A.一次函数模型B.二次函数模型C.对数函数模型D.指数函数模型12. 在四面体中，，，平面，四面体的体积为．若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 在数列中，，则14. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为________．15. 计算： _________．16. 已知函数，若关于的方程＝恰有两个不等实根、，则的最小值为________．2(−1)310102(−1)32020y x x −2−10123y 1160.261.113.9616.0563.98ABCD AB =AC =23–√BC =6AD ⊥ABC ABCD 3–√ABCD O O 49π449π49π24π{}a n =1,−=n (n ∈,n ≥2)a 1a n a n−1N +=a n −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2+−4x +3=0x 2y 2(a )b −3−2⋅=(bc)a −23f(x)={−2x,(x >0)−(x ≤0)e −x P f[f(x)]+m 0x 1x 2+x 1x 2三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组 ，第组 ，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．求出的值；若已从年龄较小的第，组中用分层抽样的方法抽取人，现要再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，.求的值；若，求的面积． 19. 如图所示，直棱柱，底面是平行四边形，，，是边的中点，是边上的动点，（1）当时，求证：平面；（2）若，求三棱锥体积．20. 设椭圆的焦点分别为，直线交轴于点，且.求椭圆的方程：过分别作互相垂直的两直线，与椭圆分别交于，和，四点，求四边形面积的最大值和最小值． 21. 已知函数 ．若 在 上单调递增，求实数的取值范围；当 时，若实数 满足 ，求证：．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为2002001[15,25)2[25,35)3[35,45)4[45,55)5[55,65)(1)a (2)1255322△ABC A B C a b c c sin A −2b sin C =0−−=ac a 2b 2c 25–√5(1)cos A (2)b =5–√△ABC ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A =AB ==3A 1B 1D 1BC =2E B 1C 1F CC 1F =BC C 1BF ⊥EF D 1BE ⊥EF B −EF D 1+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(−1,0),(1,0)F 1F 2l :x =a 2x A =2AF 1−→−AF 2−→−(1)(2),F 1F 2,l 1l 2D E M N DMEN f(x)=+cos x −ax(a ∈R)e x (1)f(x)(0,+∞)a (2)a =−1，(<)x 1x 2x 1x 2f()+f()=4x 1x 2+<0x 1x 2xOy C 1{x =2cos t ，y =2+2sin t ，t O C ρ=4cos θ极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；设点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，若，求的值．23. 已知，求证：．x C 2ρ=4cos θ(1)C 1C 1(2)M (4,0)θ=α(0<α<)π2C 1A C 2B ∠AMB =π4tan αa,b ∈(−1,1)|a +b|<|1+ab|参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：.故选．3.【答案】B【考点】抛物线的标准方程i(3+i)=3i +=−1+3ii 2B由题可得焦点为，根据点在抛物线上，得到(1)，根据点到该抛物线焦点的距离为，得到(2)，联立(1)和(2)即可得解.【解答】解：因为抛物线，所以焦点为.因为点在抛物线上，所以，即，①又因为点到该抛物线焦点的距离为，所以，②由①和②可得，.故选.4.【答案】B【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：根据题目所给信息，①，月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为大，不平均，①错误；②，月份仅有三个城市居民消费价格指数超过；③，天津市和上海从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势，③错误；④，四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较大，④正确.故正确的有②④.故选.5.【答案】B【考点】简单线性规划求线性目标函数的最值(,0)p 2P(m,m)(m ≠0)=2px (p >0)y 2m =2p P 30=30+(m −)p 22m 2−−−−−−−−−−−−−√p =12=2px (p >0)y 2(,0)p 2P(m,m)(m ≠0)=2px (p >0)y 2=2pm m 2m =2p P 30=30+(m −)p 22m 2−−−−−−−−−−−−−√p =12m =24B 34102B作出不等式组所表示的可行域，目标函数取得最大值时的最优解不唯一，根据图象直线与直线或直线重合，求解即可.【解答】解：作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示：因为目标函数取得最大值时的最优解不唯一，所以当时，直线与直线重合，此时；当时，直线与直线重合，此时，所以或.故选.6.【答案】D【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】解：过，，三点的截面为六边形．如图所示：连接，，易得，z =x +ay y =−x +z ax +y −2=0x −2y +1=0a z =x +ay a >0y =−x +z a x +y −2=0a =1a <0y =−x +z a x −2y +1=0a =−2a =1−2B M N l MNPQRL RN RP =S 四边形QRNP S 四边形RLMN S 边形QRPN所以只需求即可．由已知得，，，，所以.在中，，所以，所以，所以.故选．7.【答案】D【考点】线性相关关系的判断求解线性回归方程【解析】根据回归方程为，，可知，，均正确，对于回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于，，所以与具有正的线性相关关系，故正确；对于，回归直线过样本点的中心，故正确；对于，∵回归方程为，∴该大学某女生身高增加，则其体重约增加，故正确；对于，时，，但这是预测值，不可断定其体重为，故不正确.故选．8.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】S 四边形QRPN QR =QP =5PR =82−−√RN =10PN =32–√=××=S PQR 1282−−√32–√2341−−√2△PRN cos ∠PNR ==+(3−(1022–√)282−−√)22×10×32–√32–√10sin ∠PNR =82−−√10=S PRN 12×10×3sin ∠PNR =32–√41−−√=2(+)=9S 截S △PQR S △PRN41−−√D =0.85x −85.71yˆ0.85>0A B C D A 0.85>0y x B (,)x ¯¯¯y ¯¯¯C =0.85x −85.71yˆ1cm 0.85kg D x =170cm =0.85×170−85.71=58.79yˆ58.79kg D【解答】解：由，可得，．①当时，，恒成立，所以在单调递增，即在单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增，所以在处取得极小值，不合题意；②当时，，令，则，所以在内单调递增，即在内单调递增，可得当时，，当时，，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意；③当时，，，，令，则，所以在内单调递增，在内单调递减，即在内单调递增，在内单调递减，在处取得极大值，也是最大值，，所以当时，单调递减，不合题意；④当时，，令，则，所以在单调递减，即在单调递减，当时，，单调递增，当时，单调递减．所以在处取极大值，符合题意．综上可知，实数的取值范围为，故选．9.【答案】D【考点】(x)=ln x +2ax −2a =g(x)f ′(1)=0f ′(x)=+2a =g ′1x 1+2ax x a ≥0(x)>0g ′x ∈(0,+∞)g(x)(0,+∞)(x)f ′(0,+∞)x ∈(0,1)(x)<0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)>0f ′f (x)f (x)x =1−<a <012−>112a (x)>0g ′x ∈(0,−)12ag(x)(0,−)12a (x)f ′(0,−)12a x ∈(0,1)(x)<0f ′x ∈(1,−)12a (x)>0f ′f (x)(0,1)(1−)12a f (x)x =1a =−12−=112a (x)>0g ′x ∈(0,1)(x)<0g ′x ∈(1,+∞)g(x)(0,1)(1,+∞)(x)f ′(0,1)(1++∞)(x)f ′x =1(x)≤(1)=0f ′f ′x ∈(0,+∞)f (x)a <−120<−<112a (x)<0g ′x ∈(−,+∞)12a g(x)(−,+∞)12a (x)f ′(−,+∞)12a x ∈(−,1)12a (x)>0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)f (x)x =1a (−∞,−)12C必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用特值即可判断其充分性与必要性均不成立即可得解.【解答】解：当， 时，满足 ，但不成立，即充分性不成立；当，时，满足 ，但不成立，即必要性不成立；则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选．10.【答案】C【考点】数列递推式数列的求和【解析】由，得，当时，，，，成等比数列；奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以为首项，为公比的等比数列；据此求出数列的前项的和【解答】解：∵，∴，∴奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以为首项，为公比的等比数列；∴.故选.11.【答案】b =−2a =−1b <1a ab <1a =−1b =2ab <1b <1a b <1a ab <1D =3(n ∈)a n+2a n N ∗=3a n+2a n n =1a 1a 3⋯a 2n−11333{}a n 2020S 2020=3(n ∈)a n+2a n N ∗=3a n+2a n 1333=(++⋯+)+(++⋯+)S 2020a 1a 3a 2019a 2a 4a 2020=+1×(1−)310101−33×(1−)310101−3=(−1)+(−1)12310103231010=×+×−212310103231010=2×−231010=2(−1)31010CD【考点】函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题表中数据可知函数值都大于，并且近似 ，函数是单调增函数，而且函数增加的速度越来越快，符合指数函数的类型，近似于 ．故选．12.【答案】B【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设为的中点，为外接圆的圆心，球的半径为，由已知条件求出，再利用球的表面积公式即可求出答案.【解答】解：四面体与球的位置如图所示：设为的中点，为外接圆的圆心，球的半径为，，，，，，，，.∵四面体体积为，0f(0)=1y =4x D E BC O 1△ABC O R R 2ABCD O E BC O 1△ABC O R ∵AB =AC =23–√BC =6∴BE =EC =3AE ⊥BC ∴AE =3–√cos ∠BAE ==AE AB 12∴∠BAE =π3∴∠BAC =2∠BAE =2π3ABCD 3–√×6××AD =11∴ ，解得：..在四边形中，，，，，，，.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】【解析】本题考查数列的通项公式，考查运算求解能力．由题意可得，当时，满足上式，则14.【答案】【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率直线与圆的位置关系点到直线的距离公式××6××AD =13123–√3–√AD =1∴DE =2O AD O 1O //AD O 1∠O A =O 190∘OA =OD A =2AE O 1O =O 1AD 12∴=O =+=R 2A 2(2)3–√2()122494∴S =4=4π×=49ππR 2494B +nn 22=(−)+(−)+⋯+(−)+=+1=a n a n a n−1a n−1a n−2a 2a 1a 1(n +2)(n −1)2+nn 22n =1a 1=1=a n +n n 2223–√3【解析】利用双曲线的渐近线与圆相切圆心到渐近线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线的一条渐近线，即．由圆化为．圆心，半径．∵渐近线与圆相切，∴化为．∴该双曲线的离心率．故答案为：．15.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：原式.故答案为：.16.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2+−4x +2=0x 2y 2⇔(2,0)r −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2y =x b a bx −ay =0+−4x +3=0x 2y 2(x −2+=1)2y 2(2,0)r =1+−4x +3=0x 2y 2=1|2b |+b 2a 2−−−−−−√=3a 2b 2e ===c a 1+b 2a 2−−−−−−√23–√323–√3b 9c 3a 8=⋅==a −2b 6a −6b 3c 3a −2+(−6)b 6+3c 3b 9c 3a 8b 9c 3a 81−ln 2f(x)<0f(x)−ln m a(a ≤−1)可判断恒成立；从而化简方程为＝，从而作图辅助，可知存在实数，使＝，从而可得，再构造函数，求导，从而确定最值．【解答】∵，∴恒成立；∴＝，∵＝，∴＝，即＝；作函数，＝的图象如下，，结合图象可知，存在实数，使＝，故，令，则，故当＝时，有最大值；三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】解：由 ，解得 .第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人.设第一组的人为，第二组的人为，则共有，，，，，，，，，十个基本事件，其中第二组恰好抽到两人的共有六个基本事件，故第组恰好抽到人的概率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率频率分布直方图f(x)<0f(x)−ln m a(a ≤−1)−2x 1a =−e −x 2+=−−ln(−a)x 1x 2a 2f(x)={−2x,(x >0)−(x ≤0)e −x f(x)<0f[f(x)]−e −f （x ）f[f(x)]+m 0−+m e −f （x ）0f(x)−ln m f(x)={ −2x,(x >0)−(x ≤0)e −x y −ln m a(a ≤−1)−2x 1a =−e −x 2+=−−ln(−a)x 1x 2a 2g(a)=−−ln(−a)a 2g'(a)=−2+a 2a a −2+x 1x 21−ln 2(1)10×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)=1a =0.035(2)1220301251223(AB)(CDE)(ABC)(ABD)(ABE)(ACD)(ACE)(ADE)(BCD)(BCE)(BDE)(CDE)22P ==61035【解析】此题暂无解析【解答】解：由 ，解得 .第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人.设第一组的人为，第二组的人为，则共有，，，，，，，，，十个基本事件，其中第二组恰好抽到两人的共有六个基本事件，故第组恰好抽到人的概率为.18.【答案】解：因为，所以，即，所以．因为，由知，所以．由余弦定理可得，整理得，解得或(舍).因为，所以，所以的面积．【考点】余弦定理正弦定理三角形的面积公式【解析】(1)10×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)=1a =0.035(2)1220301251223(AB)(CDE)(ABC)(ABD)(ABE)(ACD)(ACE)(ADE)(BCD)(BCE)(BDE)(CDE)22P ==61035(1)c sin A −2b sin C =0ac =2bc a =2b cos A ===−+−b 2c 2a 22bc −ac 5√5ac 5–√5(2)b =5–√(1)a =2b a =25–√(2=(+−2c ⋅(−)5–√)25–√)2c 25–√5–√5+2c −15=0c 2c =3c =−5cos A =−5–√5sin A =25–√5△ABC S =××3×=3125–√25–√5【解答】解：因为，所以，即，所以．因为，由知，所以．由余弦定理可得，整理得，解得或(舍).因为，所以，所以的面积．19.【答案】解：（1）因为底面是平行四边形，所以，是的中点，所以…在直棱柱，因为底面，底面，所以，又因为，所以平面，…又平面，所以…在矩形中，因为，，∴．∴，，∴，∴，…又∵，∴平面…（2）因为平面，所以是三棱锥的高，且，•因为，…因为，所以，所以，所以，…所以…【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】(1)c sin A −2b sin C =0ac =2bc a =2b cos A ===−+−b 2c 2a 22bc −ac 5√5ac 5–√5(2)b =5–√(1)a =2b a =25–√(2=(+−2c ⋅(−)5–√)25–√)2c 25–√5–√5+2c −15=0c 2c =3c =−5cos A =−5–√5sin A =25–√5△ABC S =××3×=3125–√25–√5A 1B 1C 1D 1AB ===3B 1D 1D 1C 1E B 1C 1E ⊥D 1B 1C 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥C 1A 1B 1C 1D 1E ⊂D 1A 1B 1C 1D 1E ⊥C D 1C 1∩C =B 1C 1C 1C 1E ⊥D 1BC B 1C 1BF ⊂BC B 1C 1E ⊥BF D 1B C B 1C 1CF =E =1C 1BC =F =2C 1Rt △BCF ≅Rt △F E C 1∠CFB =∠FEC 1∠CBF =∠FE C 1∠BFE =90∘BF ⊥EF E ∩EF =E D 1BF ⊥EF D 1E ⊥D 1BEF E D 1B −EF D 1E =2D 12–√BE ==B +B 21B 1E 2−−−−−−−−−−√10−−√BE ⊥EF Rt △B E ∽Rt △F E B 1C 1=EF BE EC 1BB 1EF =10−−√3==××EF ×BE ×E =V 三棱锥B−EF D 1V 三棱锥−BEF D 11312D 1102–√9E ⊥D B C E ⊥C D C BC B C（1）证明，，推出平面得到，证明，即可证明平面．（2）通过，推出，求出，利用等体积法转化求解即可．【解答】解：（1）因为底面是平行四边形，所以，是的中点，所以…在直棱柱，因为底面，底面，所以，又因为，所以平面，…又平面，所以…在矩形中，因为，，∴．∴，，∴，∴，…又∵，∴平面…（2）因为平面，所以是三棱锥的高，且，•因为，…因为，所以，所以，所以，…所以…20.【答案】 解：因为，则，则，所以.因为，所以，所以，所以椭圆的方程为. 分两种情况讨论：①当直线与轴垂直时，．此时，则四边形的面积.同理当直线与轴垂直时，E ⊥D 1B 1C 1E ⊥C D 1C 1E ⊥D 1BC B 1C 1E ⊥BF D 1BF ⊥EF BF ⊥EF D 1Rt △B E ∽Rt △F E B 1C 1=EF BE EC 1BB 1EF A 1B 1C 1D 1AB ===3B 1D 1D 1C 1E B 1C 1E ⊥D 1B 1C 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥C 1A 1B 1C 1D 1E ⊂D 1A 1B 1C 1D 1E ⊥C D 1C 1∩C =B 1C 1C 1C 1E ⊥D 1BC B 1C 1BF ⊂BC B 1C 1E ⊥BF D 1B C B 1C 1CF =E =1C 1BC =F =2C 1Rt △BCF ≅Rt △F E C 1∠CFB =∠FEC 1∠CBF =∠FE C 1∠BFE =90∘BF ⊥EF E ∩EF =E D 1BF ⊥EF D 1E ⊥D 1BEF E D 1B −EF D 1E =2D 12–√BE ==B +B 21B 1E 2−−−−−−−−−−√10−−√BE ⊥EF Rt △B E ∽Rt △F E B 1C 1=EF BE EC 1BB 1EF =10−−√3==××EF ×BE ×E =V 三棱锥B−EF D 1V 三棱锥−BEF D 11312D 1102–√9(1)=2AF 1−→−AF 2−→−|A |=2|A |F 1F 2|A |=+1,F 1a 2|A |=−1F 2a 2+1=2(−1)a 2a 2=3a 2||=2c =2F 1F 2c =1=−=3−1=2b 2a 2c 2+=1x 23y 22(2)l 1x |DE|==2b 2a 43–√|MN|=2a =23–√DMEN S =|DE||MN|12=××2=41243–√3–√l 2x =|DE|⋅|MN|=41也有四边形的面积；②当直线均与轴不垂直时，设直线的方程为，则直线的方程为，设的坐标为，的坐标为，则，联立则可得，，所以，则，则，则，同理可得，所以四边形的面积,令，则，当且仅当，即时取等号，则，则当，即时，取得最小值为，DMEN S =|DE|⋅|MN|=412,l 1l 2x l 1y =k(x+1)(k ≠0)l 2y =−(x −1)1kD (,k(+1))x 1x 1E (,k(+1))x 2x 2|DE|=+(−)x 1x 22(k +1−k −1)x 1x 22−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==|−|(+1)k 2(−)x 1x 22−−−−−−−−−−−−−−−√+1k 2−−−−−√x 1x 2 y =k (x +1)，+=1，x 23y 22(3+2)+6x +3−6=0k 2x 2k 2k 2Δ=36−4(3+2)(3−6)48+48>0k 4k 2k 2k 2+=,x 1x 2−6k 23+2k 2=x 1x 23−6k 23+2k 2=−4(−)x 1x 22(+)x 1x 22x1x 2=−4()()−6k 23+2k 223−6k 23+2k 2=36−4(3−6)(3+2)k 4k 2k 2(3+2)k 22=48+48k 2(3+2k 2)2|−|=x 1x 24⋅3–√+1k 2−−−−−√3+2k 2|DE|=(+1)k 243–√3+2k 2|MN|=4(+1)3–√1k 22+3k 2DMEN S =|DE||MN|12=(+1)12k 243–√3+2k 24(+1)3–√1k 22+3k 2=24(++2)k 21k 26(+)+13k 21k 2u =+k 21k 2u ≥2=k 21k 2k =±1S ==4−≤424u +486u +1346u +13u =2k =±1S 962596综上所述所以四边形面积的最大值和最小值分别为和.【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的范围与最值问题【解析】【解答】解：因为，则，则，所以.因为，所以，所以，所以椭圆的方程为.分两种情况讨论：①当直线与轴垂直时，．此时，则四边形的面积.同理当直线与轴垂直时，也有四边形的面积；②当直线均与轴不垂直时，设直线的方程为，则直线的方程为，设的坐标为，的坐标为，则，联立则可得，，所以DMEN 49625(1)=2AF 1−→−AF 2−→−|A |=2|A |F 1F 2|A |=+1,F 1a 2|A |=−1F 2a 2+1=2(−1)a 2a 2=3a 2||=2c =2F 1F 2c =1=−=3−1=2b 2a 2c 2+=1x 23y 22(2)l 1x |DE|==2b 2a 43–√|MN|=2a =23–√DMEN S =|DE||MN|12=××2=41243–√3–√l 2x DMEN S =|DE|⋅|MN|=412,l 1l 2x l 1y =k(x+1)(k ≠0)l 2y =−(x −1)1kD (,k(+1))x 1x 1E (,k(+1))x 2x 2|DE|=+(−)x 1x 22(k +1−k −1)x 1x 22−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==|−|(+1)k 2(−)x 1x 22−−−−−−−−−−−−−−−√+1k 2−−−−−√x 1x 2 y =k (x +1)，+=1，x 23y 22(3+2)+6x +3−6=0k 2x 2k 2k 2Δ=36−4(3+2)(3−6)48+48>0k 4k 2k 2k 2+=,x 1x 2−6k 23+2k 23−62，则，则，则，同理可得，所以四边形的面积,令，则，当且仅当，即时取等号，则， 则当，即时，取得最小值为，综上所述所以四边形面积的最大值和最小值分别为和.21.【答案】解：，由在 上单调递增，故当 时， 恒成立，即 恒成立．设，，因为 ，所以 ，，所以 ，即．故在 上单调递增，=x 1x 23−6k 23+2k 2=−4(−)x 1x 22(+)x 1x 22x 1x 2=−4()()−6k 23+2k 223−6k 23+2k 2=36−4(3−6)(3+2)k 4k 2k 2(3+2)k 22=48+48k 2(3+2k 2)2|−|=x 1x 24⋅3–√+1k 2−−−−−√3+2k 2|DE|=(+1)k 243–√3+2k 2|MN|=4(+1)3–√1k 22+3k 2DMEN S =|DE||MN|12=(+1)12k 243–√3+2k 24(+1)3–√1k 22+3k 2=24(++2)k 21k 26(+)+13k 21k 2u =+k 21k 2u ≥2=k 21k 2k =±1S ==4−≤424u +486u +1346u +13u =2k =±1S 9625DMEN 49625(1)(x)=−sin x −a f ′e x f(x)(0,+∞)x >0−sin x −a ≥0e x a ≤−sin x e x h(x)=−sin x(x >0)e x (x)=−cos x h ′e x x >0>1e x cos x ≤1−cos x >0e x (x)>0h ′h(x)(0,+∞)h(x)>h(0)=1故，故.证明：当 时，，，故 在上单调递增，又因为 且，故，要证，只需证，因为在上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证．令，，令，则，所以 在 上单调递增，所以 ，故 在上单调递减，故，故原不等式成立．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：，由在 上单调递增，故当 时， 恒成立，h(x)>h(0)=1a ≤1(2)a =−1f(x)=+cos x +x e x (x)=−sin x +1>0f ′e x f(x)R f(0)=2f()+f()=4x 1x 2<0<x 1x 2+<0x 1x 2<−x 2x 1f(x)R f()<f(−)x 2x 14−f()<f(−)x 1x 1f(−)+f()−4>0x 1x 1g(x)=f(−x)+f(x)−4(x <0)(x)=(x)−(−x)g ′f ′f ′=−sin x +1−−sin x −1e x e −x =−−2sin x e x e −x (x)=−−2sin x ϕ′e x e −x (x)=+−2cos x >2−2cos x ≥0ϕ′e x e −x ϕ(x)=−−2sin x e x e −x (−∞,0)ϕ(x)<φ(0)=0g(x)(−∞,0)g(x)>g(0)=2f(0)−4=0(1)(x)=−sin x −af ′e x f(x)(0,+∞)x >0−sin x −a ≥0e x即 恒成立．设，，因为 ，所以 ，，所以 ，即．故在 上单调递增，故，故.证明：当 时，，，故 在上单调递增，又因为 且，故，要证，只需证，因为在上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证．令，，令，则，所以 在 上单调递增，所以 ，故 在上单调递减，故，故原不等式成立．22.【答案】解：由参数方程可知是圆心为，半径为的圆．的直角坐标方程为，即.代入，，得，所以的极坐标方程为；a ≤−sin x e x h(x)=−sin x(x >0)e x (x)=−cos x h ′e x x >0>1e x cos x ≤1−cos x >0e x (x)>0h ′h(x)(0,+∞)h(x)>h(0)=1a ≤1(2)a =−1f(x)=+cos x +x e x (x)=−sin x +1>0f ′e x f(x)R f(0)=2f()+f()=4x 1x 2<0<x 1x 2+<0x 1x 2<−x 2x 1f(x)R f()<f(−)x 2x 14−f()<f(−)x 1x 1f(−)+f()−4>0x 1x 1g(x)=f(−x)+f(x)−4(x <0)(x)=(x)−(−x)g ′f ′f ′=−sin x +1−−sin x −1e x e −x =−−2sin x e x e −x (x)=−−2sin x ϕ′e x e −x (x)=+−2cos x >2−2cos x ≥0ϕ′e x e −x ϕ(x)=−−2sin x e x e −x (−∞,0)ϕ(x)<φ(0)=0g(x)(−∞,0)g(x)>g(0)=2f(0)−4=0(1)C 1(0,2)2∴C 1+=4x 2(y −2)2+−4y =0x 2y 2=+ρ2x 2y 2y =ρsin θ−4ρsin θ=0ρ2C 1ρ=4sin θ(2)A (,θ)B (,θ)设，.∵，∴，，∴．∵，，∴．∴，则，整理得或（舍去），所以.【考点】直线的极坐标方程圆的参数方程圆的极坐标方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由参数方程可知是圆心为，半径为的圆． 的直角坐标方程为，即.代入，，得，所以的极坐标方程为；设，.∵，∴，，∴．∵，，∴．∴，则，整理得或（舍去），所以.(2)A (,θ)ρ1B (,θ)ρ2θ=α|OA|=4sin α|OB|=4cos α|AB|=|OB|−|OA|∣∣∣∣=|4cos α−4sin α||OM|=4∠AMB =π4|BM|=4sin α|AB|=|BM||4cos α−4sin α|=4sin αcos α=2sin αcos α=0tan α=12(1)C 1(0,2)2∴C 1+=4x 2(y −2)2+−4y =0x 2y 2=+ρ2x 2y 2y =ρsin θ−4ρsin θ=0ρ2C 1ρ=4sin θ(2)A (,θ)ρ1B (,θ)ρ2θ=α|OA|=4sin α|OB|=4cos α|AB|=|OB|−|OA|∣∣∣∣=|4cos α−4sin α||OM|=4∠AMB =π4|BM|=4sin α|AB|=|BM||4cos α−4sin α|=4sin αcos α=2sin αcos α=0tan α=1223.【答案】证明：要证，只需证，即证，即证，∵，∴，∴，∴，∴成立．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】证明：要证，只需证，即证，即证，∵，∴，∴，∴，∴成立．|a +b|<|1+ab|<(a +b)2(1+ab)2+2ab +<1+2ab +a 2b 2a 2b 2(−1)(−1)>0a 2b 2−1<a <1,−1<b <10≤<1,0≤<1a 2b 2−1<0,−1<0a 2b 2(−1)(−1)>0a 2b 2|a +b|<|1+ab||a +b|<|1+ab|<(a +b)2(1+ab)2+2ab +<1+2ab +a 2b 2a 2b 2(−1)(−1)>0a 2b 2−1<a <1,−1<b <10≤<1,0≤<1a 2b 2−1<0,−1<0a 2b 2(−1)(−1)>0a 2b 2|a +b|<|1+ab|。