重庆市巴蜀中学2020-2021高二上期末数学试卷答案

2020-2021重庆市高二数学上期末一模试卷带答案一、选择题x+猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，1．日本数学家角谷静夫发现的“31我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程N=，则输出i值为（）序框图输入的6A．6B．7C．8D．92．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A．没有白球B．2个白球C．红、黑球各1个D．至少有1个红球3．执行如图的程序框图，那么输出的S的值是（）A ．﹣1B ．12C ．2D ．14．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变5．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度6．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 7．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ）A．9B．10C．11D．128．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．27B．57C．29D．599．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF 2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A．B．C．D．10．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是()A ．0.020B ．0.018C ．0.025D ．0.0311．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．①B ．②④C ．③D ．①③12．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）A ．10B ．17C ．19D ．36二、填空题13．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人.14．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___ 15．如果执行如图的程序框图，那么输出的S =__________．16．根据如图所示算法流程图，则输出S的值是__．17．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．18．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．19．某种活性细胞的存活率(%)y 与存放温度()x C ︒之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：经计算得回归直线的斜率为-3.2.若存放温度为6C ︒，则这种细胞存活率的预报值为__________%．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）：（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82823．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．24．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．25．某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在[)50,60内的植物有8株,在[]90,100内的植物有2株.(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y的值;80,100内的植物中随机抽取3株,设随机变量X表示所抽(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在[]80,90内的株数,求随机变量X的分布列及数学期望;取的3株高度在[)80,100内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该(Ⅲ)据市场调研,高度在[]80,100植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在[]内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?26．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.2．C解析：C 【解析】分析：写出从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案详解：从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共五种情况则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是红球，黑球各一个包括1红1白，1黑1白两种情况． 故选C点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本题列举出所有情况即可得出结果．3．B解析：B 【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018 S=12,k=2017<2018 2,2018S k ==输出2,选C.4．A解析：A 【解析】 【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，， 所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势． 【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键7．D解析：D 【解析】 【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值. 【详解】1n =，S k =； 2n =，22k kS k =-=； 3n =，263k k k S =-=；4n =，33124k k kS =-==，所以12k =. 故选：Ｄ. 【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值. 【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况. 其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为59p =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.9．B解析：B 【解析】 【分析】 由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】 由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点， 则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．【详解】由频率分布直方图的性质得：()+++++=，a100.0050.0150.0350.0150.0101a=．解得0.020故选A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．C解析：C【解析】【分析】【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；③、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.故选C.12．C解析：C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：S=+++=，故选C．235919考点：程序框图．二、填空题13．40【解析】【分析】设应从B校抽取n人利用分层抽样的性质列出方程组能求出结果【详解】设应从B 校抽取n 人某市有ABC 三所学校各校有高三文科学生分别为650人500人350人在三月进行全市联考后准备用分解析：40 【解析】 【分析】设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果． 【详解】设应从B 校抽取n 人，Q 某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，120n650500350500∴=++，解得n 40=．故答案为：40． 【点睛】本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数然后比较大小即可【详解】故最大【点睛】本题考查了不同进制间的转化考查了学生的计算能力属于基础题 解析：a【解析】 【分析】将三个数都转化为10进制的数，然后比较大小即可。

2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )A. B. C. D.2.，是椭圆的焦点，点P在椭圆上，点P到的距离为1，则P到的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63.已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为( )A. B. C. 4 D.4.某工厂去年的电力消耗为m千瓦，由于设备更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 千瓦B. 千瓦C. 千瓦D. 千瓦5.在正方体中，，则( )A. B. C. D.6.等差数列中，为其前n项和，，则的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087.直线平分圆C：的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则( )A. 5B.C. 3D.8.如图，过拋物线的焦点F的直线与拋物线交于两点，与其准线l交于点点B位于之间且于点D且，则等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.在四面体中，，，，，则以下选项正确的有( )A. B.C. D.10.对于直线以下说法正确的有( )A.的充要条件是 B. 当时，C. 直线一定经过点D. 点到直线的距离的最大值为511.椭圆的离心率为，短轴长为，则( )A. 椭圆的方程为B. 椭圆与双曲线的焦点相同C. 椭圆过点D. 直线与椭圆恒有两个交点12.若数列满足，，的前n项和为，下列结论正确的( )A. B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点，，则线段MN的垂直平分线的一般式方程为__________.14.已知数列的前n项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.15.双曲线的左顶点为A，虚轴的一个端点为B，右焦点F到直线AB的距离为，则双曲线E的离心率为__________.16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，分别为的中点，连接，则点F到平面PCE的距离为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

重庆市高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x∈M 或x∈P”是“x∈M∩P”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≥x ，则该命题的否定．．是 （ ▲ ） A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >x B ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x<xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x<x3．几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是 （ ▲ ） A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 24.如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2， N 是1MF 的中点，O 是坐标原点,则线段ON 的长为（ ▲ ）A. 2B. 4C. 8D.23 5. 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ▲ )A ．(0，512)B ．(512，＋∞) C．(13，34] D ．(512，34]6.已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F ,P 是平面内一动点，且满足12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ▲ ）A.221169x y += B.2211612x y += C. 22143x y += D. 22134x y += 7. 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( ▲ )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝128. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，21=，则21F PF ∆的面积为（ ▲ ）A ．33B ．3C ．32D ．339.2)0>>n m 的曲线在同一坐标系中的示意图应（ ▲ ）10.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ▲ ）A. 1B.1+ D. 1+11.四面体ABCD 中，090,CBD AB BCD ∠=⊥面，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，过点E 、F 和四面体ABCD 的外接球球心O 的平面将四面体ABCD 分成两部分，则较小部分的体积与四面体ABCD 的体积之比为（ ▲ ） A ．18 B ．316 C ． 14 D ．276412.已知点O 为坐标原点，F 为椭圆:C 2213x y +=的左焦点，点P 、Q 在椭圆上，点P 、Q 、R 满足0,20OF PQ QR PQ ⋅=+=OR +的最大值为（ ▲ ）A ．6 BC ． 3+．3+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题1．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ） l k 23k =l A ．或 B ．或 C ．或 D ．或30 150 45 135 60 120 90 180 【答案】C【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， l α0180α≤< 因为，所以，23k=k =当； k tanα=60α= 当， k =tan α=120α= 所以直线的倾斜角为或. l 60 120 故选：C.2．已知点在坐标平面内的射影为点，则（ ）()2,1,3A -Oxz B OB =A BCD【答案】C【分析】根据已知条件及向量的模公式即可求解.【详解】因为点在坐标平面内的射影为点, ()2,1,3A -Oxz B 所以，()2,0,3B -所以，()2,0,3OB =- 所以.OB == 故选：C.3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）22131x y m m +=+-m A ． B ．C ．D ．()3,1-()1,1-()3,1--()()3,11,1--- 【答案】D【分析】根据方程表示椭圆的条件即可求解.【详解】因为方程表示椭圆，22131x y m m+=+-所以，解得且，301031m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩31m -<<1m ≠-所以实数的取值范围为. m ()()3,11,1--- 故选：D.4．大衍数列0，2，4，8，12，18，…来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其通项公式为，则（ ）221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数100101a a -=A ． B ．C ．100D ．101101-100-【答案】B【分析】根据通项公式直接计算得到答案.【详解】，故.221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数221001*********10022a a --=-=-故选：B5．如图，在棱长为的1正方体中，点是线段的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -E 11A C 1AE D B ⋅=A ．1B ．0C ．D ．12-1-【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，()()()1111,0,0,,,1,1,1,0,0,0,122A E B D ⎛⎫⎪⎝⎭所以，，()111,,1,1,1,122A B E D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，.1111122AE D B ⋅=-+-=- 故选：D6．已知圆，直线与圆相交于，两点，则的22:2410C x y x y +---=:210l ax y a --+=C A B AB 最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】由题意得直线过定点且点在圆内，由结合弦长公式可得结果． ()2,1D D d CD ≤=【详解】圆：的圆心，半径C ()()22126x y -+-=()1,2C r =直线即，则直线经过定点 :210l ax y a --+=(2)10a x y --+=l ()2,1D由,得点在圆内CD r =<D设圆心到直线的距离为，则，（当时取等号） C l d d CD ≤=CD l ⊥则，（当时取等号） 4AB ==≥=CD l ⊥则的最小值为4. AB 故选：C.7．已知，则方程表示的曲线可能是（ ）0a ≠(()20ax x ay a -+=A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.【详解】方程，得或，(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a >22y a x =()0,0x y ≥≥1y x a a=+0,0x y ≥≥部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A ，B ，D 不符合，C 符合； y 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a <22y a x =()0,0x y ≤≥1y x a a=+0,0x y ≤≥部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A ，B ，C ，D 均不符合， y综上，方程表示的曲线可能是C.(()20ax x ay a -+=故选：C.8．双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F C P 使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 12PF F △CA ．B ．C ．D ．(()1)+∞)1,+∞【答案】B【分析】当时，．因为为钝角等腰三角形，则，且212PF F F ⊥22b PF a=12PF F △2122PF F F c ==为钝角，所以，结合的关系求解即可．21PF F ∠22b c a>,,,a b c e 【详解】当时，． 212PF F F ⊥22b PF a=因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，12PF F △2122PF F F c ==21PF F ∠22bc a>即，所以，结合，解得． 2222ac b c a >=-2210e e --<1e >11e <<故选：B.二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（ ） {}n a 316n na n =-A ．数列为递增数列 B ． {}n a 4862+=a a a C ．为最小项 D ．为最大项5a 6a 【答案】CD【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的{}n a 11616393n a n =+⎛⎫- ⎪⎝⎭*N n ∈性质即可判断A 、C 、D ；求得即可判断B ．486,a a a +【详解】， 11616316393n n a n n ==+-⎛⎫- ⎪⎝⎭当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减， 5n >*N n ∈0n a >5n ≤*N n ∈0n a <则为最小项，为最大项，故C 、D 正确，A 错误；5a 6a ，，则，故B 错误，4803414863816a a +=⨯-⨯-+=6336616a ⨯==-4862a a a +≠故选：CD ．10．椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（ ）22143x y +=P ()22114x y -+=Q PQ A ． B ．1 C ．3 D ．414【答案】BC【分析】先转化为椭圆上一点到圆心的距离，利用二次函数单调性求出范围，再由圆上点的几何性质，求出的取值范围.PQ 【详解】设圆心为，，()1,0C 00(,)P x y 则，其中， ()222200001||1244PC x y x x =-+=-+[]02,2x ∈-由对称轴为知，时，函数单调递减，04x =[]02,2x ∈-则，所以，[]2||1,9PC ∈[]||1,3PC ∈则有，． 17||||22PQ PC ≤+≤11||||22PQ PC ≥-≥故选：BC11．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） {},,AB AC ADA ．存在，使得,x y ∈R AB x AC y AD =+B ．也构成空间的一个基底{},,BC CD AB C ．若，则直线与异面AP AB AC AD =++AP BD D ．若，则，，，四点共面AP AB AC AD =-+P B C D 【答案】BCD【分析】根据空间向量基本定理判断A,B 选项，再由共线向量基本性质及为一组基底{},,AB AC AD判断出C 、D.【详解】由题意知，三向量不共面，所以错误；,,AB AC ADA 若三向量共面，则有，,,BC CD AB()()AB xBC yCD x AC AB y AD AC =+=-+- 化简有：，因为不共面，()()10x AB x y AC y AD --+-+= ,,AB AC AD则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B 正确； 1000x x y y --=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,,BC CD AB 若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故AP BDAP mAB nAD =+ ()()110m AB AC n AD -++-= C 正确； 若，化简有，则有，所以四点共面，故D 正确． AP AB AC AD =-+ AP AB AC AD -=-+ BP CD =故选：BCD12．设圆与圆的公共点为，，点在圆上运221:6260C x y x y +-+-=222:60C x y y +-=A B M 1C 动，则（ ）A ．直线的方程为B ． AB 3430x y -+=125=AB C ．的面积的最大值为 D ．圆，在公共点的切线互相垂直MAB △432251C 2C 【答案】ACD【分析】由题意可判断两圆相交，两圆方程相减可得直线的方程，即可判断A ；求出圆心到AB 1C 直线的距离，然后用弦长公式求得，即可判断B ；设为点到直线的距离，则有AB AB M h M AB，从而可得的面积的范围，即可判断C ；由勾股定理可得，即可11365M h d r ≤+=MAB △12C A C A ⊥判断D ．【详解】圆，圆心，半径，()()221:3116C x y -++=()13,1C -14r =圆，圆心，半径，()2223:9x y C +-=()2C 0,323r =因为，则两圆相交.1212125r C r r C r -<=<+两圆方程相减得，即得，故A 正确；()()222206266x x y x y y y ++----=+:3430AB x y -+=圆心到直线的距离，则，故B 错误； 1C AB 1165d 245AB ==设为点到直线的距离，则有，所以的面积，M h M AB 11365M h d r ≤+=MAB △1432225M S AB h =⋅≤故C 正确；因为，，，则，所以，所以两圆在处14C A =23C A =125C C =2221212C A C A C C +=12C A C A ⊥A 的切线互相垂直，故D 正确． 故选：ACD.三、填空题13．若两直线与互相垂直，则实数的值为______．10x my +-=()2220m m x y -++=m 【答案】0或3【分析】利用直线的一般式方程中，直线相互垂直的系数关系列方程即可得出.【详解】因为直线与直线互相垂直，10x my +-=()2220m m x y -++=则，解得：或，()220m m m -+=0m =3m =故答案为：0或3.14．与椭圆有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为______．22126x y +=【答案】2213x y -=【分析】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出，即可得解.,a b 【详解】椭圆的焦点为，22126x y +=(0,2),(0,2)-即双曲线的焦点为，故，(0,2),(0,2)-2c =又离心率为，解得，故， 22c e a a===1a =2223b c a =-=所以双曲线的方程为.2213x y -=故答案为：.2213x y -=15．已知等差数列的前项和为，，，则______． {}n a n n S 11a =63236S S -=9S =【答案】153【分析】根据等差数列的前n 项和公式求出公差，据此求出，即可得出. 5a 9S 【详解】由有，，， ()112n n n S a n d -=+61615S a d =+3133S a d =+则有，解得， 632936S S d -==4d =所以，所以．51417a a d =+=()1995991532a a S a +===故答案为：15316．与平面解析几何类似，在空间直角坐标系中，平面与直线可以用关于，，的三元O xyz -x y z 方程来表示，过点且一个法向量为的平面的方程为()000,,P x y z (),,n a b c =α；过点且一个方向向量为的直线()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z (),,v r s t =()0rst ≠l的方程为．已知平面的方程为，直线的方程为000x x y y z z r s t---==α2350x y z +-+=l ，若直线在平面内，则经过原点且与直线垂直的平面的方程为______． 12x p y zp q--==l αO l β【答案】20x y z -+=【分析】由题意列出关于的方程组，求得的值，进而得出答案.,p q ,p q 【详解】由题意有，解得，26023050p q p +-=⎧⎨+-+=⎩42p q =-⎧⎨=-⎩所以经过原点且与直线垂直的平面的方程为， O l β()()()()4020200x y z -⨯-+-+-⨯-=即． 20x y z -+=故答案为：．20x y z -+=四、解答题17．已知等差数列和等比数列满足，，． {}n a {}n b 113a b ==222a b =-73a b =(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b(2)在数列中，去掉与数列相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列{}n a {}n b ，求数列的前20项和．{}n c {}n c 【答案】(1)，41n a n =-3nn b =(2)960【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）找出数列前20项中与相同的项只有2项，故只需求前22项和去掉相同项即可{}n a {}n b {}n a 得解.【详解】（1）设的公差为d ，的公比为q ，{}n a {}n b 由题意知，，()113n a a n d nd d =+-=+-13n n b q -=⋅故得，222733,3,36,3a d b q a d b q =+==+=所以，所以解得，代入则有，2332,363d q d q +=-+=35d q =-2690q q -+=所以，．所以，．3q =4d =41n a n =-3nn b =（2）因为，令，解得，则有，2079a =379n ≤3n ≤1233,9,27b b b ===的前20项中只有两项与相同，即3和27，{}n a {}n b 又均不在数列， 212283,87a a =={}n b 故的前20项和为． {}n c 2227872721279602a a ++⋅⋅⋅+-=⨯-=18．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．()2222:10,0x y C a b a b-=>>1A 2A C P C(1)若，点，求双曲线的方程；124A A b =()1P -C (2)当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程．P 1A 2A 1PA 2PA C 【答案】(1)2214x y -=(2) y =【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可；,a b（2）设点，根据点在双曲线上及，求得的值，即可得出答案. ()00,P x y P C 122PA PA k k ⋅=ba【详解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．2224811a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=（2）设点，则，即，又()00,P x y 2200221x y a b-=2202220y b x a a =-()()12,0,,0A a A a -则有，所以12220002220002PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--ba=所以渐近线方程为．y =19．已知四棱锥中，平面，，，点在棱P ABCD -PA ⊥ABCD AB DC A 2PA AD DC AB ===E 上，平面．PC BE A PAD(1)证明：；BE PD ⊥(2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 90PDC ∠= BE PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）过作的平行线交于点，结合线面平行的性质得，可得，分E DC PD F BE AF ∥E F 别为，的中点，结合得，又即可证得；PC PA AP AD =AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）由已知条件证得面，得．建空间直角坐标系，求出面的法向量，然AB ⊥PAD AB AD ⊥PBD 后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过作的平行线交于点，连接， E DC PD F AF 又，则，则四点共面，AB DC A EF AB ∥,,,B E F A∵面，面，面面，BE A PAD BE ⊂BEFA BEFA ⋂PAD AF =∴，故为平行四边形，从而， BE AF ∥BEFA 12EF AB DC ==∴，分别为，的中点，又，E F PC PA AP AD =∴，又，∴．AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）因为，，所以，DC PD ⊥AB DC A AB PD ⊥由平面，平面，得，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD PA AB ⊥又，面，所以面，又面，所以． PA PD P = ,PA PD ⊂PAD AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB AD ⊥所以，以为原点，为轴建空间直角坐标系，设， A ,,AB AD AP ,,x y z 1AB =则有． ()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E 所以，， ()1,2,0BD =- ()1,0,2BP =- 设面的法向量为，则，令，所以． PBD (),,n x y z =r 2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2x =()2,1,1n = 又有，记为与平面所成角，()0,1,1BE = αBE PBD 则sin cos ,BE nBE n BE nα⋅==== 所以与平面 BE PBD 20．已知直线与圆交于，两点，．210x y -+=22:420C x y x y a +-+-=A B CA CB ⊥(1)求实数的值；a (2)若点在圆上运动，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹方程．P C O M 2OP CM = M 【答案】(1)5a =(2) ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得圆心到直线的距离，求解即可； CAB d =（2）设，，由可得，结合点在圆上，即可得动点的00(,)P x y (,)M x y 2OP CM = 002422x x y y =-⎧⎨=+⎩P C M 轨迹方程．【详解】（1）将圆化为标准方程为，，()()22215x y a -++=+50a +>则圆心，半径(2,1)C -r =记为圆心到直线的距离，d C AB 因为，所以，又因为， CA CB ⊥d=d． =5a =（2）设，，00(,)P x y (,)M x y 因为，即，解得， 2OP CM = 00(,)2(2,1)x y x y =-+002422x x y y =-⎧⎨=+⎩又点在圆上，则，从而得，P C ()()22002110x y -++=()()22262310x y -++=所以动点的轨迹方程为． M ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭21．如图，是以为直径的圆上异于，的一点，平面平面，是边长C AB OA B PAC ⊥ABC PAC △为2的等边三角形，，是的中点．3BC =E PC(1)求证：；AE PB ⊥(2)过直线与直线平行的平面交棱于点，线段上是否存在一点，使得二面角AEBC PB F AF Q ？若存在，求的值；否则，说明理由． A CQ B --AQ QF 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 2AQ QF=【分析】（1）取中点，可得面，以为原点，，分别为，轴建立空间AC D PD ⊥ABC C CA CB x y 直角坐标系，利用数量积的运算证明即可；0AE PB ⋅= （2）设，则有，分别求出面与面的法向AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ACQ BCQ 量，利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）取中点，连接，则有，AC D PD PD AC ⊥又因为面面，面，面面，所以面， PAC ⊥ABC PD ⊂PAC PAC ABC AC =PD ⊥ABC 又，以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图，BC AC ⊥C CA CB x y 则有：，，，， ()2,0,0A ()0,3,0B ()0,0,0C (1,P 12E ⎛ ⎝所以，，所以，32AE ⎛=- ⎝(1,3,PB =- 330022AE PB ⋅=+-= 所以．AE PB⊥（2）因为面，面，面面，所以．BC ∥AEF BC ⊂PBC AEF ⋂PBC EF =EF BC ∥又因为点是线段的中点，所以点为线段的中点，，， E PC FPB 13,22F ⎛ ⎝33,22AF ⎛=- ⎝ 设，则有，且，．AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0CA = ()0,3,0CB = 设为面的法向量，则有，令，解得()1111,,n x y z =ACQ 11111120332022n CA x n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩1y =．(10,1,n = 同理，设为面的法向量，则有，令()2222,,n x y z =BCQ 22222230332022n CB y n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得．2x =23,0,22n λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由题意有，解得，所以． 13cos ,4n = 640λ-=23λ=所以． 2AQ QF=22．椭圆的焦距为2，左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于左()2222:10x y C a b a b+=>>1A 2A P C 右顶点的点，直线与直线的斜率之积为． 1PA 2PA 34-(1)求椭圆的方程；C (2)直线与椭圆相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交椭圆于，两1l C M 2l 1l 221x y +=2l C A B 点，坐标原点位于直线，之间，记，的面积分别为，，求的取值范O 1l 2l MAB △OAB A 1S 2S 12S S 围． 【答案】(1) 22143x y +=(2)1,3⎤⎦【分析】（1）设为椭圆上一点，根据直线与直线的斜率之积为可得，00(,)P x y 1PA 2PA 34-2234a b =即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由根1l 与系数关系得出，分别求出，的面积，作商后由函数性质求值域，当斜率不存,M M x y MAB △OAB A 在时，验证即可.【详解】（1）由题意知：，设为椭圆上一点，所以 22c =00(,)P x y 2200221x y a b +=则有， 122200022200034PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--所以，又，所以2234a b =2221a b c -==224,3a b ==所以椭圆C 的方程． 22143x y +=（2）①当斜率存在时，设直线，则有， 11:l y kx m =+1223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩解得，()222113484120k x km x m +++-=且有， ()()22222211164434431612390k m k m k m ⎡⎤∆=-+⋅-=-+=⎣⎦所以．22143m k =+且有，． 1214434M km k x k m -==-+211143M k y m m m =-+=设（与异号），则有圆心到直线的距离为，22:l y kx m =+2m 1m 2l 11d ==解得． 2221m k =+设两条直线的距离为，则有，且，所以． 2d 1212S AB d =⋅212S AB =122S d S =所以，1211S S=+记，其中，所以， ()1f k =[)211,k +∈+∞[)2143,41k -+∈+所以． )121,3S S ∈②当斜率不存在时，不妨设，，此时， 1:2l x =-2:1l x =3AB =所以，，所以． 1132S AB =⨯212S AB =123S S =综上，的范围为． 12S S 1,3⎤⎦。

2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知椭圆方程为2212x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．答案：B根据椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.解：由椭圆的标准方程可知：222222,11a b c a b ==⇒=-=，则焦距为22c =， 故选：B.2．下列说法正确的是（ ） A ．空间中的任意三点可以确定一个平面 B ．四边相等的四边形一定是菱形 C ．两条相交直线可以确定一个平面 D ．正四棱柱的侧面都是正方形 答案：C根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.解：对于A ，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A 错误； 对于B ，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B 错误； 对于C ，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C 正确； 对于D ，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D 错误. 故选：C3．已知数列{}n a 中，1111,31n na a a +==-，则5a =（ ） A ．13B ．32-C ．2-D ．32答案：D由数列{}n a 的递推公式依次去求，直到求出5a 即可. 解：由1111,31n na a a +==-，可得2111311213a a ===--，321123112a a ===---， 3411111(2)3a a ===---， 4511311213a a ===-- 故选： D.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥ B ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥ C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α∥ D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥答案：D根据空间直线与平面间的位置关系判断． 解：若m n ⊥，n ⊂α，也可以有m α⊂，A 错； 若m n ∥，n ⊂α，也可以有m α⊂，B 错； 若m n ⊥，n α⊥，则m α∥或m α⊂，C 错；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，这是线面垂直的判定定理之一，D 正确 故选：D ．5．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ） A ．30尺 B ．40尺C ．6尺D ．60尺答案：A由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解. 解：由题女子织布数成等差数列，设第n 日织布为n a ，有1305,1a a ==，所以()()1120111220130105302a a a a a a a ++++=⨯=+=，故选:A.6．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 为AB 中点，则异面直线BC 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A ．34BC．3D ．12答案：A根据异面直线所成角的定义，取AC 中点为E ，则1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，再解三角形即可求出．解：如图所示：设AC 中点为E ，则在三角形ABC 中，,D E 为中点，DE 为中位线，所以有//DE BC ，112DE BC ==，所以1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，在三角形1EDC 中，112,2DC C E ==22211113cos 24C D DE C E EDC DE C D ∠+-==⋅， 故选：A.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．3C ．±1D ．3答案：B设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，及112AF BF p +=，可求得13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上方，又1cos p AF θ=-，求得1cos ,tan 32θθ==，利用对称性即可得出结果.解：设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，所以3AF BF =，由12p =， 112411433BF AF BF p BF +=⇒⨯=⇒=∣，所以13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上 方，又1cos p AF θ=-，所以1cos ,tan 32θθ=，所以由对称性知，直线l 的斜率3故选：B.8．已知四面体P ABC -中，,2,23PC a PA PB AC BC a AB a ======，若该四面体的外接球的球心为O ，则OAC 的面积为（ ） A 273 B 215 C 230 D 23a答案：C根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可. 解：由图设点D 为AB 中点，连接,PD CD ，由PA PB AC BC ===，所以,PD AB CD AB ⊥⊥，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂面PCD ，则AB ⊥面PCD ，且PAB ABC ≌，所以球心O ∈面PCD ，所以平面PCD 与球面的截面为大圆，CD 延长线与此大圆交 于E 点.在三角形ABC 中，由2,23AC BC a AB a ===，所以130,120,sin 22A B C CD BC B a a =====⨯=，由正弦定理知：三角形ABC 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，设三角形ABC 的外接圆圆心为点M ，则OM ⊥面ABC ，有2r ME MC a ===，则MD a =，设PAB △的外接圆圆心为点N ，则ON ⊥面PAB ，由正弦定理知：三角形PAB 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，所以OM ON =，又三角形PDC 中，PC PD CD a ===， 所以OD 为PDC ∠的角平分线，则30ODM ∠=， 在直角三角形OMD 中，3tan 303OM MD ==， 在直角三角形OED 中，22222213433a R OM EM a a =+=+=，在三角形OAC 中，取中点S ，由OA OC OS AC =⇒⊥2222131033OS OA AS a a a =-=-=，所以211303022233OACSAC OS a a a =⨯=⨯⨯=， 故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键. 二、多选题9．如图，正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，2PA AB ==，点,E F 分别为侧棱,PA PB 的中点，则（ ）A ．OE PA ⊥B ．//OF PDC ．四棱锥P ABCD -的体积为43D ．AC ⊥平面PBD 答案：ABD证明OP ⊥平面ABCD ，OP OA =，故选项A 正确；证明//OF PD ，故选项B 正确； 42P ABCD V -=，故选项C 错误；证明,OP AC BD AC ⊥⊥，则AC ⊥平面PBD 即得证，故选项D 正确.解：由点O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD ，直角三角形POA 中，2212,22OA AC OP PA OA ==-所以OP OA =，当E 为中点时，OE PA ⊥，故选项A 正确；在三角形PBD 中，,O F 为中点，所以//OF PD ，故选项B 正确；11422433P ABCD ABCD V OP S -=⨯==C 错误； 由OP ⊥面,,ABCD OP AC BD AC ⊥⊥，,,OP BD O OP BD =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，故选项D 正确. 故选：ABD.10．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上第一象限的点，点12,A A 为双曲线的左右顶点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点Q ，记212PQt AQ A Q =⋅，则（ ）A ．bt a=B ．双曲线的离心率为1e t =+C ．当1t =时，双曲线的渐近线互相垂直 D ．t 的值与P 点在双曲线上的位置无关 答案：BCD根据双曲线左右顶点坐标，结合双曲线的离心率公式、渐近线方程进行逐一判断即可. 解：因为点12,A A 为双曲线的左右顶点，所以12(,0),(,0)A a A a -设点()12,(0,0),,,p x y x y PQ y AQ x a A Q x a >>==+=-， 则222212||PQ y t AQ A Q x a ==⋅-，又点P 在该双曲线上，满足22221x y a b -=，所以2222222212(1)||x b PQ b a t A Q A Q x a a-===⋅-，所以选项A 错，选项D 对；又c e a ==B 对，对选项C ，221b t a ==，则1b a =，双曲线的渐近线方程为y x =±，故C 对.故选：BCD11．已知欧拉函数()()*n n N ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数.例如：()11ϕ=，()42ϕ=，设数列{}n a 中：()()*n a n n N ϕ=∈，则（ ） A ．数列{}n a 是单调递增数列 B ．{}n a 的前8项中最大项为7a C ．当n 为素数时，1n a n =- D ．当n 为偶数时，2n n a = 答案：BC根据欧拉函数的概念可写出数列{}n a 的前8项，根据前8项，可判断选项A,B,D ；根据n 为素数时，n 与前1n -个数都互素，从而可判断选项C.解：由题知数列{}n a 前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A 错误； 由选项A 可知，{}n a 的前8项中最大项为76a =，故选项B 正确； 当n 为素数时，n 与前1n -个数互素，故1n a n =-，所以C 对正确； 因为62a =，故选项D 错误. 故选：BC .12．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ） A ．平面1A BE 截正方体所得的截面面积为92B ．三棱锥1B ACE -C ．当点F 在棱1CC 运动时，平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值可以取到2D ．当点F 在底面ABCD 上时，直线1B F 与1CC 所成角为30，则动点F答案：ACD对于选项A ，取CD 中点为N ，则1//EN A B ，可知平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，利用平面几何知识即可求出梯形1A BNE 的面积，进而判断A 是否正确；对于B ，设点M 为AC 中点，AC ⊥面1B ME ，再根据内切球的性质和几何体提及的关系1=3V rS （其中V ,S ，r 分别是几何体的的体积、表面和内切球的半径），由此即可判断B 是否正确；对于C ，利用空间向量法求二面角，即可判断C 是否正确；对于D ，由于11//BB AA ，可得130BB F ∠=，所以123tan 303BF BB ==，可知点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233的圆上，作出草图，即可求出动点F 的轨迹长度，进而判断D 是否正确.解：选项A ，设CD 中点为N ，连接,BN EN ，则1//EN A B ，所以平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，过点E 作1EG A B ⊥，在直角三角形1GA B 中，1125,EA AG == 所以2211922EG EA AG =-所以()1139322222ABNE S EN AB EG =+⨯=⨯⨯=，所以A 正确； 选项B ，在三棱锥1B ACE -中，11122,5,3B A BC AC EA EC B E ====== 设点M 为AC 中点，所以1,B M AC EM AC ⊥⊥，则AC ⊥面1B ME ，16,3B M EM ==，所以11,11122632332A B CE B MEV AC S-=⨯=⨯⨯⨯⨯= 又三棱锥1B ACE -表面积为1116236ACB ACEB EB CE S S SSS =+++=++表面和又1123A B CE V r S -=⨯=表面积，则666236621r ==++++，故B 错误；选项C ，以点B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设点()()2,0,,02F t t ≤≤，则()()12,0,,0,1,1==BF t BA ， 设平面1FA B 的法向量为(),,nx y z =，所以1200⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n BF x tz n BA y z ，取2=-=y z ，则x t =，所以平面1FA B 的法向量为(),2,2n t =-，又平面ABCD 法向量为()0,0,1m =平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值2211cos ,328m n m nt θ⋅⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦⋅+∣ 又()111232,32322⎡⎤-=∈⎢⎥+⎣⎦，所以选项C 正确； 选项D ，11//BB CC ，所以1∠BB F 直线1B F 与1CC 所成角，即130BB F ∠=， 所以123tan 303BF BB ==， 所以点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233BF =的圆上， 又点F 在底面ABCD 上，如下图所示：所以动点F 2332ππ=，故D 正确； 故选：ACD. 三、填空题13．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14．已知数列{}n a 满足下列条件：①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n a 是单调递增数列；③数列{}n a 的公比q 满足01q <<.请写出一个符合条件的数列{}n a 的通项公式__________.答案：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）根据题意判断数列特征，写出一个符合题意的数列{}n a 的通项公式即可.解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n a 的公比q 满足01q <<，所以等比数列{}n a 公比01q <<，且各项均为负数， 符合题意的一个数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）15．已知数列{}n a 满足()()11121,2n n n a n a a ++=+=，则320222023212320222023a a aa a +++++=__________. 答案：20232024由题112n n n a a n ++=+，用累乘法求得通项公式：11n a n =+，则()11111n a n n n n n ==-++，通过裂项求和即可得出结果. 解：由题112n n n a a n ++=+，所以累乘法求通项公式： 2132123,,341n n n a a a a a a n -==⋯=+，所以12313411n n a a n n =⨯⨯⨯=++，经验证1n =时，112a =符合. 所以()11111n a n n n n n ==-++，则3202220232111111120231123202220232232023202420242024a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2023202416．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，直线(0)y kx k =>与双曲线交于,M N 两点，且2OM OF =，O 为坐标原点，又()222216MF NMF NF S +=，则该双曲线的离心率为__________.根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.解：由直线(0)y kx k =>与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称， 在三角形2MF N ∆中，2OM OF =，所以22MF NF ⊥， ,M N 是以12F F 为直径的圆与双曲线的交点，不妨设()11,M x y 在第一象限， 212NF MMF F SS=，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得()222222211b c y a y a b --=，整理得2222222211b c a bb y a y ，242211,b b c y y c==，所以2121122MF F Sc y b =⋅⋅=，由()2222216MF NMF NF S b +==所以124MF MF b ，又因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F +=，即222222222(2)(2)4,824,42b a b a c b a c b a c ++-=+=+=，222222223442,23,2c c a a c c a a -+===，所以离心率62cea .【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键. 四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，首项为12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列. (1)求n a 和n S ；(2)设(1)1nn n b a =-+，记12n n T b b b =+++，求n T .答案：(1)2331,2n n n na n S +=-=(2)**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数（1）由题意解得等差数列{}n a 的公差d ，代入公式即可求得n a 和n S ； （2）把n 分为奇数和偶数两类，分别去数列{}n b 的前n 项和n T . (1)设等差数列{}n a 公差为d ，由题有()()()2214111a a a +=++，即()2(3)333d d +=+，解之得3d =或0，又0d ≠，所以3d =，所以()()2113131,22n n n a a n n n a a n d n S ++=+-=-==. (2)()(1)1(1)311n n n n b a n =-+=--+，当n 为正奇数，()()11(1)(1)313113n n n n a a n n ++-+-=--++-=，()()()12123421n n n n n T b b b a a a a a a a n --=+++=-++-+++-+-+()1133122n n n n -+=⨯--+=- 当n为正偶数，()()()12123415322n n n n n nT b b b a a a a a a n n -=+++=-++-+++-++=⨯+=， 所以**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数18．如图①，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为AB CD ､的中点，224CD AB EF ===，现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体，在图②中：(1)证明：平面//AEB 平面DFC ；(2)求四棱锥F ABCD -的体积. 答案：(1)证明见解析. (2)2（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明； （2）将所求四棱锥F ABCD -的体积转化为求32E CDF V -即可.(1)证明：因为//AE DF ，AE ⊄面DFC ，DF ⊂面DFC ， 所以//AE 面DFC ， 同理//BE 面DFC ， 又因为,AE BE ⊂面ABE ,AE BE E =所以面//ABE 面DFC . (2)解：因为在图①等腰梯形ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点， 所以EF CD ⊥，在图②多面体中，因为,EF DF EF FC ⊥⊥，,DF FC ⊂面DFC ，DF FC F ⋂=， 所以EF ⊥面DFC .因为CF EF ⊥，面BEFC ⊥面AEFD ，CF ⊂面BEFC ，面BEFC ⋂面AEFD EF =, 所以CF ⊥面AEFD ， 又因为DF ⊂面AEFD ， 所以CFDF ，在直角三角形DFC 中，因为2DF FC ==,所以CD =，同理，AB = 所以2CD AB =， 则2ACDABCSS=，有32ABCD ABC ACD ACD S S S S =+=△△△△， 所以33331222223F ABCD F ACD A CDF E CDFCDF V V V V EF S ----⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 所以四棱锥F ABCD -的体积为2.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点F ，点()2,2M 在抛物线C 上. (1)求MF ；(2)过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，过点N 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，证明：AOB 为直角三角形（O 为坐标原点）.答案：(1)52(2)证明见解析（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得MF .（2）由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，与抛物线方程联立，可得2240y my --=，利用韦达定理证得0OA OB ⋅=即可得出结论.(1)点()2,2M 在抛物线2:2C y px =上.∴44p =，则1p =，所以252,22M p y x MF x ==+=. (2)证明：由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，点()()1122,,,A x y B x y联立方程222x my y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2240y my --=，由韦达定理有121224y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由22y x =，所以221212422y y x x =⨯=，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥，所以AOB 为直角三角形. 20．三棱锥P ABC -中，PAB PAC ≅△△，2BC AB ，PA AB ⊥，直线PC 与平面ABC 所成的角为3π，点D 在线段PA 上.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若点E 在PC 上，满足34PE PC =，点D 满足(01)AD AP λλ=<<，求实数λ使得二面角A BE D --的余弦值为25.答案：(1)证明见解析； (2)12λ=.（1）证明AC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设1AB AC ==，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数λ的等式，即可解得实数λ的值. (1)证明：因为PAB PAC ≅△△，PA AB ⊥，则PA AC ⊥且AB AC =， AB AC A ⋂=，PA ∴⊥平面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成的线面角，即3PCA π∠=，22BC AB AC ==，故222AB AC BC +=，AC AB ∴⊥，PA AB A =，AC ∴⊥平面PAB ， BD ⊂平面PAB ，因此，BD AC ⊥.(2)解：设1AB AC ==，由（1）可知3PCA π∠=且PA AC ⊥，tan33PA AC π∴==，因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()0,1,0C 、(3P 、330,4E ⎛ ⎝⎭、()()301D λλ<<，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,0AB =，330,4AE ⎛= ⎝⎭，则1113304m AB x y z m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取1y =，可得(0,1,3m =， 设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，()1,0,3DB λ=-，331,4BE ⎛=- ⎝⎭， 由22222303304n DB x z n BE x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x λ=，则(3,43n λλ=-，由已知可得2412cos ,522584m n m n m nλλλ⋅-<>===⋅-+，解得12λ=.当点D 为线段AP 的中点时，二面角A BE D --的平面角为锐角，合乎题意. 综上所述，12λ=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P 在椭圆22149x y +=上，且在第一象限内，点12,A A 分别为椭圆C 的左､右顶点，直线12,PA PA 分别与椭圆C 交于点,M N ，过2A 作直线1PA 的平行线与椭圆C 交于点D ，问直线DN 是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.答案：(1)2214x y +=(2)过定点，8,05⎛⎫⎪⎝⎭（1）根据椭圆上的点及离心率求出a ,b 即可；（2）设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件122212,PA DA DA NA PA PA k k k k k k =⋅=⋅化简，结合椭圆方程，求出t 即可得解.(1) 由2223c e a b c a ===+，有2a b =， 又221341a b+=，所以22a b ==，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+. 如图，联立2214x y x t my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 有：()2224240m y mty t +++-=，韦达定理有：()()1222222212224*,Δ4444044mt y y m m t t m t y y m ⎧+=-⎪⎪+=--+>⎨-⎪=⎪+⎩由12//PA DA ，所以()()122212222000,224PA DA DA NA PA PA y y k k k k k k x x x =⋅=⋅==-+-， 又()22220000914494x y y x +=⇒=-，所以222020944DA NA y k k x ⋅==-- 又221212,22DA NA y yk k x x ==--， 所以()()2211129224DA NA y y k k x x ⋅==---.又()()()()()()221212121222222(2)x x my t my t m y y m t y y t --=+-+-=+-++-所以有()()2212121242(2)9y y m y y m t y y t -=+-++-， 把()*代入有：()22444(2)9t t --=-， 解得85t =或2，又直线DN 不过右端点，所以2t ≠，则85t =， 所以直线DN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()ln 1f x x x =+.(1)求函数()y f x =在x e =处的切线方程；(2)设()f x '为()y f x =的导数，若方程()'2a f x a x =+的两根为12,x x ，且12x x <，当0t >时，不等式()122a t x tx <-+对任意的()12,(0,x x ∞∈+恒成立，求正实数t 的最小值. 答案：(1)21y x e =-+ (2)1（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得()21212ln x x a x x -=，利用该式再将不等式()122a t x tx <-+变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.(1)由题意可得()()()ln 1,2,1f x x f e f e e '+'===+， 所以切点为(),1e e +，则切线方程为：()2121y x e e x e =-++=-+. (2)由题意有：()ln 12a x x a +=+，则ln 2a x x =， 因为12,x x 分别是方程ln 20a x x -=的两个根，即1122ln 2,ln 2a x x a x x ==.两式相减()()2121ln ln 2a x x x x -=-， 则()21212ln x x a x x -=， 则不等式()122(0)a t x tx m <-+>，可变为()()21122122ln x x t x tx x x -<-+， 两边同时除以1x 得，212211212ln x x txt x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-+，令21x k x =，则()212ln k t tk k-<-+在()1,k ∈+∞上恒成立. 整理可得()21ln 02k k t tk-->-+，在()1,k ∈+∞上恒成立，令()()21ln 2k h k k t tk-=--+，则()()()22222222(2)11(2)14(2)(2)(2)t t k k k t k t t h k k t tk k t tk k t tk ⎡⎤---⎢⎥⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=-==-+-+-+'， ①当22(2)1t t -≤，即1t ≥时，()0h k '>在()1,+∞上恒成立，则()h k 在()1,+∞上单调递增，又()10h =，则()0h k >在()1,+∞上恒成立；②当22(2)1t t ->，即01t <<时，当22(2)1,t k t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<， 则()h k 在22(2)1,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()()10h k h <=，不符合题意.综上：1t ≥，所以t 的最小值为1.。

2020-2021学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.抛物线y2=6x的焦点坐标为()A. (32,0) B. (0,32) C. (24,0) D. (0,24)2.命题p：“∀x∈(0,π2)，sinx<tanx”的否定￢p为()A. ∀x∈(0,π2),sinx≥tanx B. ∀x∈(0,π2),sinx>tanxC. ∃x0∈(0,π2),sinx0≥tanx0 D. ∃x0∉(0,π2),sinx0≥tanx03.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是()A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆锥D. 圆柱4.已知圆C1：x2+y2=3和圆C2：(x+1)2+(y−3)2=12，那么这两个圆的位置关系是()A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切5.已知直线经过点(2,−3)，且与直线2x−y−5=0垂直，则直线l在y轴上的截距为()A. −4B. −2C. 2D. 46.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=√32x，则该双曲线的离心率为()A. √32B. √52C. 2D. √727.“k=√33”是“直线l：y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，则在堑堵ABC−A1B1C1中截掉阳马C1−ABB1A1后的几何体的外接球的体积是()A. 25πB. 125√23π C. 100π D. 175√23π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知直线l：√3x−y+1=0，则下列结论正确的是()A. 直线l的倾斜角是π6B. 过(√3,1)与直线l平行的直线方程是√3x−y−2=0C. 点(√3,0)到直线l的距离是2D. 若直线m：x−√3y+1=0，则l⊥m10.对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，则下列说法中正确的是()A. 若m⊥α，n⊥α，则m//nB. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD. 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m//α11.给出下列命题，其中正确的命题是()A. 若a⃗⋅b⃗ <0，则<a⃗，b⃗ >是钝角B. 若a⃗为直线l的方向向量，则λa⃗(λ∈R)也是直线l的方向向量C. 若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 在四面体P −ABC 中，若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 12. 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A(−5,0)，B(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为−49，求点M 的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为−49”拓展为“斜率之积为常数k(k ≠0)”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论正确的有( )A. k <0时，点M 的轨迹为椭圆(不含与x 轴的交点)B. −1<k <0时，点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(不含与x 轴的交点)C. k <−1时，点M 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(不含与x 轴的交点)D. k >0时，点M 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(不含与x 轴的交点) 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点A(2,3，5)，B(0,1，7)，则线段AB 的中点M 的坐标为______ ，线段AM 的长为______ ． 14. 已知抛物线x 2=4y 上一点P 到x 轴的距离是8，则点P 到该抛物线焦点的距离是______ ． 15. 经过点M(2,1)作直线l 交椭圆x 212+y 24=1于A ，B 两点且M 为AB 的中点，则直线l 的斜率为______ ．16. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体有四个顶点在圆锥母线上，其余四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10√2cm ，高为10cm.打印所用原料密度为1.2g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______ g.(π取3.14) 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：DE//平面PAC ； (2)求证：AB ⊥PB ．18. 已知圆C ：x 2+y 2=8内有一点P(−1,2)，直线l 过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α．(1)当α=135°时，求弦AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．19. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=4，AB =2，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)求三棱锥C −C 1DE 的体积；(2)求异面直线MN 与C 1D 所成角的余弦值．20. 已知抛物线y 2=−x 与直线y =k(x +1)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点(1)当k =12时，求|AB|；(2)求证：OA ⊥OB ．21. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB =6，过点D 作DM ⊥AB 交AB 于点M ，DM =AM =CD =2，现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB 、AC ． (1)求直线AB 与平面AMC 所成角的正弦值；(2)当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求二面角P −MC −B 的余弦值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，直线y=1与C的两个交点间的距离为4√63．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)分别过F1、F2作l1、l2满足l1//l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：抛物线y2=6x的焦点坐标为：(32,0)．故选：A．直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．2.【答案】C【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈(0,π2),sinx0≥tanx0．故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】C【解析】解：三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都可以是矩形，圆锥不可能．几何体放置不同，则三视图也会发生改变．三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都可以是矩形．几何体放置不同，则三视图也会发生改变．考查了学生的空间想象力．4.【答案】C【解析】解：∵圆C1：x2+y2=3的圆心C1(0,0)，半径r1=√3，圆C2：(x+1)2+(y−3)2=12的圆心C2(−1,3)，半径r2=2√3，√3=r2−r1<|C1C2|=√10<r1+r2=3√3，∴圆C1和圆C2相交，故选：C．由已知可求得圆C1和圆C2的圆心和半径，继而可求得两圆的圆心距，与两圆半径的和与差比较即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系及其判定，求得两圆的圆心距和半径是关键，考查运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：设经过点(2,−3)，且与直线2x−y−5=0垂直的直线方程为：x+2y+c=0，把(2,−3)代入，得2−6+c=0，解得c=4，∴直线l的方程为x+2y+4=0，令x=0，得y=−2，则直线l在y轴上的截距为−2．故选：B．设经过点(2,−3)，且与直线2x−y−5=0垂直的直线方程为x+2y+c=0，把(2,−3)代入，求出直线l的方程为x+2y+4=0，令x=0，能求出直线l在y轴上的截距．本题考查直线的纵截距的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=√32x，可得ba =√32，所以c2−a2a2=34，解得e=ca =√72．故选：D．利用双曲线的渐近线方程，推出a、b，关系，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．7.【答案】A【解析】解：当k=√33时，直线l转换为y=√33(x−2)，即：√3x−3y−2√3=0所以：圆心(0,0)到直线的距离d=√3|√32+(√3)2=1=r，所以直线与园相切．直线与园相切．则：圆心(0,0)到直线kx−y+2k=0的距离d=√1+k2=r=1，解得：k=±√33，故：“k=√33”是“直线l：y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件．故选：A．直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：在堑堵ABC−A1B1C1中截掉阳马C1−ABB1A1后，剩余的几何体为三棱锥A−BCC1，该几何体与堑堵ABC−A1B1C1的外接球是同一个球，∵AB=3，BC=4，AC=5，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，所以，直角△ABC的外接圆直径为AC=5，所以，堑堵ABC−A1B1C1的外接球的直径为2R=√AC2+CC12=5√2，∴R=5√22，因此，在堑堵ABC−A1B1C1中截掉阳马C1−ABB1A1后的几何体的外接球的体积是43πR3=43π⋅(5√22)3=125√23π．故选：B．根据题意知，剩余的几何体与堑堵ABC−A1B1C1的外接球是同一个球，先计算出该堑堵底面外接圆的直径AC，然后利用公式2R=√AC2+CC12可得出外接球的半径R，最后利用球体体积公式可计算出答案．本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．9.【答案】BC【解析】解：直线l：√3x−y+1=0，化为：y=√3x+1，A.设直线l的倾斜角为α，可得tanα=√3，解得α=π3，因此A不正确；B.设过(√3,1)与直线l平行的直线方程是√3x−y+m=0，把点(√3,1)代入可得：√3×√3−1+m=0，解得m=−2，因此过(√3,1)与直线l平行的直线方程是√3x−y−2=0，因此B正确；C.点(√3,0)到直线l的距离=√3×√3−0+1|√(√3)2+(−1)2=2，因此C正确；D .直线l 与m 的斜率乘积=√3×√3=1≠−1，因此l 与m 不垂直，因此D 不正确．故选：BC ．利用直线的方程、直线的平行与垂直与斜率之间的关系即可判断出结论．本题考查了直线的方程、直线的平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.【答案】AD【解析】解：对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，在A 中，若m ⊥α，n ⊥α，则由线面垂直的性质定理得m//n ，故A 正确； 在B 中，若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误；在D 中，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由线面垂直、面面垂直的性质得m//α，故D 正确． 故选：AD ．在A 中，由线面垂直的性质定理得m//n ；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在D 中，由线面垂直、面面垂直的性质得m//α． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题． 11.【答案】CD【解析】解：对于A ，当 a ⃗⃗⃗ =−b ⃗ 时，若a ⃗ ⋅b ⃗ =−1<0，但<a ⃗ ，b ⃗ >=π，不是钝角，所以A 错；对于B ，当λ=0时，λa ⃗ =0⃗ ，不是直线l 的方向向量，所以B 错； 对于C ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以C 对； 对于D ，如图，过P 作PO ⊥平面ABD 交平面于O 点，连CO 交AB 于M ，连AO 交BC 于N ，连BO 交AC 于T ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒PC ⊥BC ⇒AN ⊥BC ，同理，CM ⊥AB ⇒O 为△ABC 垂心，所以BT ⊥AC ⇒PB ⊥AC ，从而PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以D 对； 故选：CD ．本题以向量内积判断A ，以直线方向向量概念判断B ，经向量线性运算判断C ，以四面体中线面位置关系判断D ． 本题以命题真假判断为载体，考查了向量基本概念及基本运算，考查了空间线面位置关系，属中档题． 12.【答案】BCD【解析】解：设M(x,y)，则k AM =y−0x+5，k MB =y−0x−5， 由题意可得，y−0x+5⋅y−0x−5=k ，故y 2=k(x 2−25)．若k =−1，方程化为y 2+x 2=25，表示了以原点为圆心，5为半径的圆(除A ，B 点)； 若−1<k <0，方程化为x 225+y 2−25k=1，点M 的轨迹为焦点在x 轴的椭圆(不含与x 轴的交点)；若k <−1，方程化为y 2−25k+x 225=1，表示焦点在y 轴，以A 、B 为短轴端点的椭圆(除A ，B 点)； k >0时，方程化为x 225−y 225k =1，点M 的轨迹为焦点在x 轴的双曲线(不含与x 轴的交点)． 综上可知，BCD 正确．故选：BCD ．设M(x,y)，求出AM ，BM 所在直线的斜率，由题意可得y 2=k(x 2−25)，对k 分类讨论可得结论． 本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．13.【答案】(1,2，6)√3【解析】解：∵点A(2,3，5)，B(0,1，7)，∴线段AB的中点M的坐标为(1,2，6)，线段AM的长为|AM|=√(1−2)2+(2−3)2+(6−5)2=√3．故答案为：(1,2，6)，√3．利用线段中点坐标公式、两点间距离公式直接求解．本题考查线段中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】9【解析】解：设点P的坐标为(x,y)，则由已知可得：y=8，又由抛物线方程可得：p=2，所以由抛物线的定义可得点P到抛物线的焦点的距离为y+p2=8+1=9，故答案为：9．设出点P的坐标，利用抛物线的定义以及已知条件即可求解．本题考查了抛物线的定义，考查了学生对抛物线定义的理解，属于基础题．15.【答案】−23【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1212+y124=1，x2212+y224=1，两式相减，可得，(x1−x2)(x1+x2)12+(y1−y2)(y1+y2)4=0，又点M恰好为线段AB的中点，则x1+x2=4，y1+y2=2，则直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=−23，则直线l的斜率为：−23．故答案为：−23．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，作差运用平方差公式，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，求出斜率即可．本题考查点差法求中点弦所在直线方程，考查直线的斜率公式，及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】478【解析】解：如图，是几何体的轴截面，设正方体的棱长为a，则√2 2 a5√2=10−a10，解得a=5，∴该模型的体积为：V=13×π×(5√2)2×10−53≈398.33(cm3).∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1.2≈478(g)．故答案为：478．设正方体的棱长为a，由题意得√2 2 a5√2=10−a10，解得a=5，求出该模型的体积，由此能求出制作该模型所需原料的质量．本题考查圆锥、正方体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】证明：(1)∵D，E分别是AB，PB的中点，∴DE//PA．又∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC∴DE//平面PAC；(2)∵PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，∴PC⊥AB，∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴AB⊥PB．【解析】(1)由D，E分别是AB，PB的中点，根据三角形中位线定理，可得DE//PA，利用线面平行的判定定理可得DE//平面PAC；(2)由线面垂直的性质，可得PC⊥AB，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由线面垂直的性质可得AB⊥PB．本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质，属于中档题．18.【答案】解：(1)圆C：x2+y2=8的圆心在原点，半径为2√2，当α=135°时，直线l的方程为：y−2=−(x+1)，即x+y−1=0，圆心(0,0)到直线l的距离d=|−1+2−1|√1+1=0，即直线l过圆心，所以|AB|=4√2．(2)当弦AB被P(−1,2)平分时，OP⊥l，∵k OP=−2，∴直线l的斜率k l=12，∴直线l的方程为：y−2=12(x+1)，即x−2y−5=0【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．(1)先求出直线l的方程，由圆心到直线的距离为0知，AB为圆的直径，故|AB|=4√2；(2)当弦AB被点P平分时，OP⊥l，由此可得直线l的斜率，再由点斜式可得直线l的方程．19.【答案】解：(1)设C1到平面CDE的距离为h，由等体积法可得，V C−C1DE =V C1−CDE=13S△CDE⋅ℎ，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，即CC1为C1到平面CDE的距离为h，∴V C−C1DE =13×12×CD×CE×CC1=13×12×2×1×4=43；(2)取AD的中点Q，连接NQ，BQ，∵N为A1D的中点，∴NQ//AA1且NQ=12AA1，∵M为BB1的中点，∴MB//AA1且MB=12AA1，可得NQ//MB且NQ=MB，∴NQBM为平行四边形，得QB//MN，又QB//DE，∴NM//DE，∴∠C1DE为异面直线MN与C1D所成角(或其补角)，在正方形ABCD中，AB=2，E为BC的中点，∴DE=√5，C1E=√17，C1D=2√5，∴cos∠C1DE=5+20−172×√5√5=45．∴异面直线MN 与C 1D 所成角的余弦值为45．【解析】(1)由已知直接利用等体积法求三棱锥C −C 1DE 的体积；(2)取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQ ，证明NQ//MB 且NQ =MB ，可得∠C 1DE 为异面直线MN 与C 1D 所成角(或其补角)，求解三角形可得DE =√5，C 1E =√17，C 1D =2√5，再由余弦定理可得异面直线MN 与C 1D 所成角的余弦值． 本题考查多面体体积与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算能力，是中档题． 20.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 当k =12时，联立方程组{y 2=−xy =12(x +1)，整理可得y 2+2y −1=0，所以y 1+y 2=−2，y 1y 2=−1，所以弦长|AB|=√1+1k 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+4⋅√4+4=2√10；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{y 2=−xy =k(x +1)，整理可得ky 2+y −k =0，所以y 1y 2=−1，所以x 1x 2=(y 1y 2)2=1；因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=1−1=0， 所以OA ⊥OB ．【解析】(1)联立直线与抛物线的方程，求出两根之和及两根之积，利用弦长公式可得弦长|AB|的值；(2)联立直线与抛物线的方程，求出两根之积，进而可得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即证得结论成立． 本题考查直线与抛物线的综合及弦长公式，直线垂直的证明方法，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵AM ⊥DM ，平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD =MD ，AM ⊂平面AMD ， ∴AM ⊥平面MBCD ， ∵DM ⊥BM ，∴以M 为原点，MD ，MB ，MA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(0,0，0)，A(0,0，2)，B(0,4，0)，C(2,2，0)，D(2,0，0)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)， 设平面AMC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2z =02x +2y =0，令x =1，则y =−1，z =0，∴m⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设直线AB 与平面AMC 所成角为θ，则sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=|√16+4×√2|=√105， 故直线AB 与平面AMC 所成角的正弦值为√105．(2)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴P(0,43,43)， 设平面PMC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a +2b =043b +43c =0，第11页，共11页 令a =1，则b =−1，c =1，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)，∵AM ⊥平面BCM ，∴平面BCM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×2=√33， 由图可知，二面角P −MC −B 为锐角，故二面角P −MC −B 的余弦值为√33．【解析】(1)由面面垂直的性质定理，知AM ⊥平面MBCD ，而DM ⊥BM ，故以M 为原点建立空间直角坐标系，求得平面AMC 的法向量m⃗⃗⃗ ，设直线AB 与平面AMC 所成角为θ，由sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|，即可得解； (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出点P 的坐标，再求得平面PMC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，易知平面BCM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，然后由cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得解． 本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角和二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)易知椭圆过点(2√63,1)，所以83a +1b =1，①， 又∵c a =12②，a 2=b 2+c 2，③，①②③得a 2=4，b 2=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1;(Ⅱ)设直线l 1：x =my −1，它与C 的另一个交点为D ，与C 联立，消去x ，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，△=144(m 2+1)>0，|AD|=√1+m 2⋅12√1+m 23m 2+4，又∵F 2到l 1的距离为d =2，所以S △ADF 2=12√1+m 23m 2+4， 令t =√1+m 2≥1，则S △ADF 2=123t+1t ，所以当t =1时，最大值为3，又∵S 四边形ABF 2F 1=12(|BF 2|+|AF 1|)⋅d =12(|AF 1|+|DF 1|)⋅d =12|AB|⋅d =S △ADF 2所以四边形ABF 2F 1面积的最大值为3.【解析】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题． (Ⅰ)利用离心率为12，直线y =1与C 的两个交点间的距离为4√63，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；(Ⅱ)直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形ABF 2F 1面积的最大值．。

2021-2022学年重庆市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线3x+√3y+1=0的倾斜角是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.直线y=kx+1与圆x2+y2+2y−5=0的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切3.设a为实数，则曲线C：x2−y21−a2=1不可能是()A. 抛物线B. 双曲线C. 圆D. 椭圆4.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是()A. 4031B. 2031C. 1031D. 5315.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为()A. √24B. √23C. √104D. √636.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √67.已知空间中四点A(−1,1,0)，B(2,2,1)，C(1,1,1)，D(0,2,3)，则点D到平面ABC的距离为()A. √6B. √63C. √66D. 08.已知数列{a n}的首项为a1，且(1+1n)a n+1−a n=1(n∈N∗)，若a n⩾a4，则a1的取值范围是()A. [92,252] B. [498,818] C. [6,10] D. [254,9]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若向量{a⃗,b⃗ ,c⃗ }构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()A. a⃗+b⃗ ，a⃗−b⃗ ，a⃗+2b⃗B. a⃗−b⃗ ，a⃗+c⃗，b⃗ +c⃗C. a⃗−b⃗ ，c⃗，a⃗+b⃗ +c⃗D. a⃗−2b⃗ ，b⃗ +c⃗，a⃗+c⃗−b⃗10.已知数列{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，设c n=a n+b n，d n=a n b n，则关于数列{c n}和{d n}，下列说法中正确的是()A. 数列{c n}一定是等差数列B. 数列{d n}一定不是等差数列C. 给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式D. 给定d1，d2可求出数列{d n}的通项公式11.设圆O：x2+y2=1与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是()A. 若∠ABO=30°，则点B的坐标为(√3,1)B. 若|OB|=2，则0°⩽∠OBC⩽30°C. 若∠OBC=30°，则|OB|=2D. 若∠ABC=60°，则|OB|⩽212.已知曲线C的方程为x|x|4+y2=1，点A(1,0)，则()A. 曲线C上的点到A点的最近距离为1B. 以A为圆心、1为半径的圆与曲线C有三个公共点C. 存在无数条过点A的直线与曲线C有唯一公共点D. 存在过点A的直线与曲线C有四个公共点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线mx−2y−1=0与x+(1−m)y+2=0平行，则实数m的值为______．14.写出一个数列{a n}的通项公式a n=______，使它同时满足下列条件：①a n<a n+1，②S n⩽a n，其中S n是数列{a n}的前n项和．(写出满足条件的一个答案即可)15.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(−1,2,3)在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，则四面体PABC的体积为______．16.已知离心率为e1的椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和离心率为e2的双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点，线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，则4e12+e22的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足a n+1−a n=3，且a1，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值及此时n的值．18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是圆x2+y2−2x=0与x轴的一个交点．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点(8,0)的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：OA⊥OB．19.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S n=2S n−1+1(n>1,n∈N∗).(1)证明：数列{S n+1}为等比数列；(2)若b n=S n2−26a n，是否存在正整数k，使得b n≥b k对任意n∈N∗恒成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．20.已知圆C经过点A(−2,3)和B(0,1)，且圆心C在直线x+y+1=0上．(1)求圆C的方程；(2)过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN的面积为√3，求直线l的方程．21.如图，直角梯形AEFB与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AE//BF，AE⊥AB，AB=AE=2，BF=1，∠ABC=120°，M为AD中点．(1)证明：直线BM//平面DEF；(2)求二面角M−EC−F的余弦值．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(√6,0)，B(−√6,0)，过点A的动直线l1与过点B，设动点P的轨迹为曲线C．的动直线l2的交点为P，l1，l2的斜率均存在且乘积为−12(1)求曲线C的方程；(2)若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q，直线NQ交x轴于点T，求|QT|⋅|TN|的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线3x+√3y+1=0的斜率为：−√3，直线的倾斜角为：θ，tanθ=−√3，可得θ=120°．故选：C．求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：圆x2+y2+2y−5=0即x2+(y+1)2=6，表示以(0,−1)为圆心，半径等于√6的圆．直线y=kx+1恒过(0,1)点，圆心到(0,1)的距离为2<√6，故直线和圆相交，故选：A．根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出直线y=kx+1恒过的定点，利用圆心与定点的距离，与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系．本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．3.【答案】A=1化为x2+y2=1，方程表示圆．【解析】解：当a=±√2时，曲线C：x2−y21−a2a2>2时，方程表示椭圆，a∈(−√2,√2)且a≠±1时，方程表示双曲线，故选：A．通过a的范围，判断曲线的形状，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，圆锥曲线的判断，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设第二天织布的x 尺，则由题意得，12x +x +2x +4x +8x =5，解得x =1031， 故选：C ．设第二天织布的x 尺，由等比数列的性质写出每天织布尺数，从而建立方程求解． 本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：建立如图的坐标系，设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D 1(0,0,2)，E(1,1,2)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)， 则|AE|=√1+1+4=√6，|BD 1|=√4+4+4=2√3，则cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2−2+4√6×2√3=46√2=4√212=√23， 即异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值为√23，故选：B ．建立空间直角坐标系，求出向量坐标，利用向量法进行求解即可．本题主要考查空间异面直线所成角的求解，建立坐标系，利用坐标系和向量法是解决本题的关键，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意，因为△ABF 2为等边三角形，所以|AF 2|=|BF 2|=|AB|，∠BAF 2=∠ABF 2=∠AF 2B =60°， 因为△F 1AO≌△F 2AO ，所以∠AF 1F 2=30°，∠BF 2F 1=90°，即BF 2⊥F 1F 2，故点B(c,b 2a )，因为tan∠AF 1F 2=tan30°=b 2a2c=c 2−a 22ac=√33， 则e −1e =2√33，解得e =√3．故选：B ．利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率e ．本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,3)， 令m⃗⃗⃗ =(−1,1,2)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面ABC 的法向量， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=6√6=√6，故选：A ．用向量数量积计算点到平面距离即可． 本题考查了点到平面距离问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：因为(1+1n )a n+1−a n =1(n ∈N ∗)，可得n+1na n+1−a n =1，所以(n +1)a n+1−na n =n ，所以2a 2−a 1=1，3a 3−2a 2=2，4a 4−3a 3=3，⋯，na n −(n −1)a n−1=n −1，各式相加可得na n−a1=1+2+3+⋯+(n−1)=n(n−1)2=n2−n2，所以a n=n−12+a1n，由a n≥a4，可得n−12+a1n≥32+a14恒成立，整理得a1(n−4)2n≤n−4恒成立，当1≤n≤3时，n−4<0，不等式可化为a1≥2n恒成立，所以a1≥(2n)max=6；当n=4时，n−4=0，不等式可化为0≤0恒成立；当n≥5时，n−4>0，不等式可化为a1≤2n恒成立，所以a1≤(2n)min=10，综上可得，实数a1的取值范围是[6,10]．故选：C．由题意，得到(n+1)a n+1−na n=n，利用累加法求得a n=n−12+a1n，结合由a n≥a4，转化为a1(n−4)2n≤n−4恒成立，分1≤n≤3，n=4和n≥5三种情况讨论，即可求解．本题考查累加法，考数列的通项公式，考查学生的推理能力，属于难题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A：由于向量{a⃗,b⃗ ,c⃗ }构成空间的一个基底，且满足a⃗+2b⃗ =32(a⃗+b⃗ )−12(a⃗−b⃗ )，故A正确；对于B：由于a⃗−b⃗ =(a⃗+c⃗ )−(b⃗ +c⃗ )，故B正确；对于C：由于a⃗+b⃗ +c⃗≠m(a⃗−b⃗ )+n c⃗，故C错误；对于D：由于a⃗−2b⃗ =(a⃗+c⃗−b⃗ )−(a⃗−2b⃗ )，故D正确．故选：ABD．直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的基底，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：设{a n}、{b n}公差分别为d1，d2，且都不为0，AC：∵c n+1−c n=a n+1+b n+1−a n−b n=d1+d2，∴数列{c n}为等差数列，给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式，∴AC正确，B：设a n=d1n+t1，b n=d2n+t2，∴d n=a n b n=(d1n+t1)⋅(d2n+t2)=(d1d2)n2+(d1t2+d2t1)n+t1t2为二次函数，∴数列{d n }一定不为等差数列，∴B 正确，D ：根据二次函数的性质，仅仅给定d 1，d 2不能求出数列{d n }的通项公式，∴D 错误， 故选：ABC ．利用等差数列的通项公式，等差数列的定义判断即可．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的定义，是中档题．11.【答案】BD【解析】解：对于A ，若∠ABO =30°，则可得|OB|=2，所以√x B 2+1=2，解得x B =±√3，所以点B 的坐标为(±√3,1)，故A 错误； 对于B ：若|OB|=2，则∠ABO =30°，又因为∠OBC ≤∠ABO ，所以0°⩽∠OBC ⩽30°，故B 正确；对于C ：过B 作圆O 的两条切线B A 、M B ，切点分别为A 、M ，若在圆O 上存在点C ，使∠ OBC =30°，则∠ OMB ≥∠ OBM =30°，所以∠ ABO ≥30°，又OAOB =sin∠ABO ，所以|OB|≤2，故C 错误．对于D ：在圆C 上存在点C 使∠ABC =60°，则∠ABM ≥60°，则∠ABO ≥30°，所以|OB|⩽2，故D 正确． 故选：BD ．利用数形结合法，对每一个选项逐一计算可判断结果． 本题考查点与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】BC【解析】解：原方程x|x|4+y 2=1等价于{x 24+y 2=1,x ⩾0y 2−x 24=1,x <0， 对A ：由题意，当P(x,y)为曲线C 在第一缘限上的点时才有P 点到A 点的最近距离，此时|PA|2=(x −1)2+y 2=34x 2−2x +2(0⩽x ⩽2)，所以|PA|min 2=23, 故|PA|min =√63，故选项A 错误；对B ：因为√63<1，且椭圆右顶点、上顶点到点A 的距离分别为1、√2，故椭图上恰有三个点到A 的距离为1，故选项B 正确； 对C ：由于y 2−x 24=1(x <0)与y =k(x −1)无交点时，联立{y 2−x 24=1(x <0)y =k(x −1)，有(k 2−14)x 2−2k 2x +k 2−1=0，由Δ<0，可得−√55<k <√55，此时直线只与椭圆有一个交点，故选项C 正确；对D ：由于过A 点的直线与椭圆只有一个交点，与双曲线最多两个交点，所以与曲线C 至多有三个公共点，故选项D 错误， 故选：BC ．原方程等价于{x 24+y 2=1,x ⩾0y 2−x 24=1,x <0，然后对各选项逐一分析判断即可得答案． 本题考查了曲线与方程的相关知识，属于中档题．13.【答案】2或−1【解析】解：∵直线mx −2y −1=0与x +(1−m)y +2=0平行， ∴m(1−m)=−2×1，解得m =2或−1，经检验，当m =2或−1时，直线mx −2y −1=0与x +(1−m)y +2=0不重合， 故答案为：2或−1．根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解． 本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．14.【答案】−1n【解析】解：写出一个数列{a n }的通项公式a n ，使它同时满足下列条件：①a n <a n+1，②S n ⩽a n ，条件①a n <a n+1，表明数列{a n }是单调递增数列， 条件②S n ⩽a n ，表明首项不能为0或正数．因此可取a n=−1n．故答案为：−1n．根据条件①a n<a n+1，表明数列{a n}是单调递增数列；条件②S n⩽a n，表明首项不能为0或正数，进而得出结论．本题考查了数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：空间直角坐标系Oxyz中，点P(−1,2,3)在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，把四面体PABC补成棱长为1、2、3的直四棱柱，如图所示：则四面体PABC是直四棱柱CMPN−OAQB截去四个体积相等的三棱锥余下的部分，所以四面体PABC的体积为V四面体PABC =V四棱柱CMPN−OAQB−4V三棱锥C−OAB=1×2×3×−4×13×12×1×2×3=2．故答案为：2．根据题意画出图形，结合图形，利用分割补形法求出四面体PABC的体积．本题考查了空间几何体的结构特征与几何体体积计算问题，是中档题．16.【答案】92【解析】解：设F2为右焦点，半焦距为c，PF1=x，PF2=y，由题意，PF1⊥PF2，则x²+y²=4c²，x+y=2a1，x−y=2a2，所以(2a1)²+(2a2)²=2×4c²，从而有1e 12+1e 22=2，故(4e 12+e 22)(1e 12+1e 22)=5+4e 12e 22+e 22e 12≥5+2√4e 12e 22⋅e 22e 12=9，当仅当e 2=√2e 1=√62时取等，所以4e 12+e 22≥92， 故答案为：92．设F 2为右焦点，半焦距为c ，PF 1=x ，PF 2=y ，由题意，PF 1⊥PF 2，则x²+y²=4c²，x +y =2a 1，x −y =2a 2，所以(2a 1)²+(2a 2)²=2×4c²，从而有1e 12+1e 22=2，最后用均值不等式即可求解．本题考查椭圆的定义，双曲线的定义，椭圆离心率、双曲线离心率的取值范围，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a n+1−a n =3，∴数列{a n }的公差为3， 故a n =a 1+3(n −1)， 又∵a 1，a 5，a 8成等比数列， ∴(a 1+12)2=a 1(a 1+21)， 解得a 1=−48，故a n =a 1+3(n −1)=3n −51；(2)由题意得，S n 取最小值时，即a n 变号时， 令a n =3n −51=0得，n =17； 故S n 的最小值为S 16=S 17=−408； 此时n 的值为16或17．【解析】(1)由题意得数列{a n }的公差为3，再由a 1，a 5，a 8成等比数列得(a 1+12)2=a 1(a 1+21)，从而解得；(2)由等差数列性质知，当S n 取最小值时，即a n 变号时，从而确定最小值． 本题考查了等差数列与等比数列的性质应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意知，圆与x 轴的交点分别为(0,0)，(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，所以p2=2，即p =4，所以抛物线方程为y 2=8x ； (2)证明：设直线为x =my +8， 联立方程{x =my +8y 2=8x ，有y 2−8my −64=0，所以y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−64，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)264+y 1y 2=0， 所以OA ⊥OB ．【解析】(1)由圆与x 轴的交点分别为(0,0)，(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，从而即可求解；(2)设直线为x =my +8，联立抛物线方程，由韦达定理及OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2，求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得证． 本题考查了直线与抛物线，第(2)问中将直线方程设为x =my +8就避免了讨论斜率存在与不存在这两种情况，属于基础题．19.【答案】证明：(1)∵S n =2S n−1+1(n >1,n ∈N ∗).∴1+S n =2S n−1+2=2(S n−1+1)， 则数列{S n +1}是公比为2的等比数列，解：(2)∵数列{S n +1}是公比为2的等比数列，首项S 1+1=1+1=2， ∴S n +1=2×2n−1=2n ，则S n =2n −1， 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， 又a 1=1满足a n =2n−1，∴a n =2n−1．则b n =S n 2−26a n =(2n −1)2−26×2n−1=4n −15×2n +1，令t =2n ，则b n =t 2−15t +1，t ∈{2,4,8,16,…,} 故当t =8时，即n =3时，b n 取得最小值，即此时k =3． 即存在k =3使得b n ≥b k 对任意n ∈N ∗恒成立．【解析】(1)利用等比数列的定义进行证明即可．(2)求出数列{a n }的通项公式以及S n ，求出b n 的通项公式，利用指数函数的性质，利用换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，根据等比数列的定义，以及指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键，是中档题．20.【答案】解：(1)设直线AB 的中点为D ，则有D(−1,2)，因为k AB =3−1−2−0=−1，所以直线AB 的方程为y =−x +1，所以直线AB 的中垂线为l 1：y =x +3，则圆心C 在直线l 1上，且在直线x +y +1=0上， 联立方程{y =x +3x +y +1=0，解得C(−2,1)，则圆的半径为r =2，所以圆的方程为(x +2)2+(y −1)2=4，(2)设圆心到直线的距离为d ，因为S △CMN =12CM ×CN ×sin∠MCN =√3，所以∠MCN =π3或2π3，所以d =√3或d =1，显然直线斜率存在，所以设直线l ：y =kx ， 则有d =∣−2k−1∣√k 2+1=√3或d =∣−2k−1∣√k 2+1=1，解得k =−2±√6或k =0或k =−43，故直线的方程为y =0或y =−43x 或y =(−2±√6)x ．【解析】(1)先求出直线AB 的方程，再求AB 中垂线方程l 1，再联立方程{y =x +3x +y +1=0，解得C(−2,1)，可求圆的半径，进而得圆的方程；(2)S △CMN =12CM ×CN ×sin∠MCN =√3，可得d =√3或d =1，设直线l ：y =kx ，进而可求k ，可求方程．本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．21.【答案】(1)证明：取DE 中点N ，连接MN 、NF ， 因为M 为AD 中点，所以MN//AE ，MN =12AE ， 因为AE//BF ，AE =2，BF =1，所以MN//BF ，MN =BF ，所以四边形MNFB 是平行四边形，所以MB//NF ， 因为NF ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ，所以直线BM//平面DEF ．(2)解：因为平面AEFB ⊥平面ABCD ，平面AEFB ∩平面ABCD ，AE ⊥AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，因为MN//AE ，所以MN ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥MA ，MN ⊥MB ，因为ABCD 是菱形，∠ABC =120°，M 为AD 中点， 所以△ADB 是等边三角形，所以BM ⊥AD ，所以MA 、MB 、MN 两两垂直，建系如图，E(1,0,2)，C(−2,√3,0)，F(0,√3,1)，M(0,0,0)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−√3,0)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)， 令m ⃗⃗⃗ =(2√3,4,−√3)，n ⃗ =(−√3,1,2√3)，因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面CEM 的法向量， 因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以n ⃗ 是平面CEF 的法向量， 因为二面角M −EC −F 为钝角，所以二面角M −EC −F 的余弦值为−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√31⋅√16=−2√3131．【解析】(1)只要证明BM 平行于平面DEF 内直线FN 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)设P(x,y)，则有k PA ⋅k PB =x−√6x+√6=y 2x 2−6=−12，整理可得x 26+y 23=1(y ≠0,x ≠±√6)．(2)设M(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0)，N(x 1,y 1)，则x 026+y 023=1,x 126+y 123=1，k NQ ⋅k NM =y 1−y 0x 1−x 0⋅y 1+y 0x 1+x 0=y 12−y 02x 12−x 02=(3−x 122)−(3−x 022)x 12−x 02=−12，又k MN ⋅k MQ =−1，故k NQ =12k MQ ，即k NQ =y2x 0，则直线NQ ：y +y 0=y 02x 0(x +x 0)，直线MN ：y −y 0=−xy 0(x −x 0)，联立解得交点N 点纵坐标为y 0312−3y 02，故|QT|⋅|TN|=√1+4x 02y 02|−y 0|⋅√1+4x 02y 02⋅|y N |=y 02+4x 02y 02⋅y 0412−3y 02=(24−7y 02)y 023(4−y 02)，令4−y 02=t ，则t ∈(1,4),|QT|⋅|TN|=(7t−4)(4−t)3t=13(32−7t −16t)，7t +16t≥8√7，当且仅当t =√7故|QT|⋅|TN|的最大值为32−8√73．当且仅当t =√7时等号成立，故|QT|⋅|TN|的最大值为32−8√73．【解析】(1)由题意得到关于x ，y 的等式，整理变形即可确定曲线C 的方程；(2)设出点的坐标，结合(1)中的结果将原问题转化为关于一个变量的最值问题，最后利用基本不等式求最值即可确定|QT|⋅|TN|的最大值．本题主要考查曲线方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．。

重庆市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2.已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为A. B. C. D.3.已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为A. B. C. D.4.已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是A. B. C. D.5.有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是A. 4B. 3C. 2D. 16.三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心7.设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是A. B. C. D.8.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为A. 14B. 15C. 16D. 17二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列命题正确的是A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C. 若随机变量，且，则D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为10.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A. 恰好取到一件次品有不同取法；B. 至少取到一件次品有不同取法；C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是A.B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则的面积不大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，求曲线过点处的切线方程______．14.关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号15.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．16.已知向量，，若函数在区间上是增函数，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，，的周长为12，求的面积．18.已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．证明数列等比数列；已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅．选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．来求数列前n和．19.已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．求证：平面；试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．20.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11 10 9分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．求该同学这个题目需要仲裁的概率；求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．21.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C 上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．22.已知函数．求不等式的解集；函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．【解答】解：集合，，，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得又，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得．因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，，即当时，恒成立，所以当且时，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，且．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，因为，，，所以，，，所以．又因为，所以．又由，得，即，结合整理可得，即离心率．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．【解答】解：设，，则由，可得，解得，，即由题意可设椭圆E的标准方程为，所以消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．【解答】解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。

重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.3. 命题“，均有”的否定形式是（）A. ，均有B. ，使得C. ，均有D. ，使得4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（）A. B. C. D.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A. B. C. D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（）A. B. C. D.10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（）A.2B.C. 3D.11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（）A. B. C.0.3 D.12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则__________．14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

A C 112020年秋高二(上)期末联合检测试卷数学 参考答案一、单项选择题1～4 BDCD 5～8 CCAA第7题解析：由题知21120PF F︒∠=，2212PF F F c ==，故1PF =，由椭圆定义知22c a +=， 故12c a -==. 第8题解析：∵60OAB OAC ︒∠=∠=，∴OAB ∆与OAC ∆全等，ABAC=，设O ⊥平面ABC 于点D ，D 为Rt ABC ∆的外心，设BD m =，则AB =，又OAB ∆为等边三角形，OB AB ==，又OB ==，解得1m =，故表面积为8π.二、多项选择题9．BC 10．ABC 11．BCD 12．AD第11题解析：若C 为椭圆，则1030(12)(23)13m m m m m ->⎧⎪->⇒∈⎨⎪-≠-⎩， ，，A 不正确；若C 为双曲线， 等价于(1)(3)0m m --<，即3m >或1m <，B 正确；由题(12)m ∈，时，椭圆长轴长22a =>，(23)m∈，时，椭圆长轴长22a=>，C 正确；若C 为焦点在x 轴上的双曲线，1030m m ->⎧⎨-<⎩，3m >，e a ==<. 第12题解析：设11B C 中点为N ，当M 为N 时，tan 2α=，此时30α> ，当M 点趋于点1A 时，0α→ ， 故在线段1A N 内存在一点M ，使得30α= ，故A 正确；过M 作11MP AC ⊥于P ，下面考虑β最大的情况， 当P 固定时，要使tan MP AP β=变大，则应使MP变大， 故不妨设M 在11A B 上，此时设MP x =，则AP ==tan MP AP β== 又2x ≤，∴tan 1β<<，故β不可能为45 ，B 错误； 过M 作11B C 的平行线分别与1111A B AC ， 交于点11,D E ，过11D E ，分别作1BB 的平行线，分别交AB AC ， 于点D E ，，连接DE ， 易得平面11//DEE D 平面11BCC B ，过A 作AS DE ⊥于S ，则AS ⊥平面11BCC B ，故sin AS AM α=，又sin PM AMβ=，故只需比较AS 与PM ，过1A 作1111A S D E ⊥于1S ，则11AS A S =，比较11A S 与MP ，111A D E ∆为等边三角形，显然11A S MP >，∴sin sin αβ>，∴αβ>，D 正确.三、填空题13．3π 14．10 15．1-或72316．4 第15题解析：由题2219(1)(24x y -++=，CA CB ⊥⇔圆心1(1)2-， 到直线(1)y k x =+的距离为24r =1|2|4k +=，解得1k =-或723. 第16题解析：设OC m =，过B 作x 轴的平行线交OA 的延长线于D ，则//BD OC ，A 为BC 中点，故BD OC m AD AO m ====，，2OD m ∴=，由对称性知2OB m =，设直线OB 的倾斜角θ， 则112cos 4BD OB θ==，又tan b aθ=，故1cos 4a c θ==，4e ∴=. 四、解答题17．（10分）解：若p 为真，则4401a a ∆=+<⇒<- ……3分若q 为真，则2004a a a ->⇒<或4a > ……6分 选①：p q ∧为真，则p 真q 真，1a ⇒<- ……10分选②：p q ∨为假，则p 假q 假，04a ⇒≤≤选③：()p q ⌝∧为真，则p ⌝真q 真，4a ⇒>或10a -<≤18．（12分）解：（1）由题02x p =，0510422p AF x p p =+==⇒=； ……6分 （2）设直线:1l x ty =-，联立28y x =，得2880y ty -+=，则128y y =. ……12分19．（12分）解：（1）设圆心(2)C m m ，，圆222:()(2)4C x m y m m -+-= 设圆C 截y 轴所得弦AB 的中点为M ，则222243AM m m m =-=∴1m =，圆22:(1)(2)4C x y -+-=；……6分（2）设切线方程为(3)4y k x =++，2=，两边同时平方，解得43k =-或0k =， ……10分 故两条切线方程为43y x =-或4y =. ……12分 20．（12分）解：（1）设E 为11A B 中点，∴1//C E CD ，1//C E 平面1CDB又1，∴平面1，∴平面1平面1， ∴1//AC 平面1CDB ； ……6分（2）由题知111BB AC ⊥，90ACB =∠° ∴1111B C AC ⊥，11AC ⊥平面11CC B B ∴111AC CB ⊥ ……8分∵1AA BC =，∴11CB C B ⊥，∴1CB ⊥平面11AC B ， ……10分 ∴平面11AC B ⊥平面1B CD . ……12分21．（12分）解：（1）过M 作//MN CB 交A B '于点N ，连接EN ，则12MN BC =， 又//DE CB ,12DE CB =，故//MN DE 且MN DE =，∴DENM 为平行四边形，//DM EN ∴， 又DM ⊄平面A BE '，EN ⊂平面A BE '，∴//DM 平面A BE '； ……5分 （2）以D 为原点，DC DE DA ' ，， 分别为x y z ，，轴正方向建立坐标系， 不妨设1DC =，则(120)B ， ， ，(010)E ， ，，(001)A '， ，，(10)F t ， ，由1(120)(110)2DB EF t t ⊥⇒⊥-⇒= ， ， ， ， ， ……7分 故(011)A E '=- ， ， ，(110)EB = ， ， 设平面A EB '的法向量为()n x y z = ， ， ， 则00y z x y -=⎧⎨+=⎩，令1x =得(111)n =-- ， ， ……9分 同理可得平面FA E '的一个法向量为(122)m = ， ，， ……11分 设二面角F A E B '--的大小为θ，则||cos 3||||n m n m θ⋅==⋅ . ……12分 22．（12分）解：（1）由题知2c =，故2A B x x ==-，不妨设A 在x 轴上方，则A y =， 设AM MC λ= ，则3(1C λ+， ，代入椭圆方程得22691611010λλλ+++=， 解得11λ=-或35，显然0λ>，故53λ=，即||5||3MA MC =； ……4分 （2）设点1122()()A x y B x y ，， ，， 法一：设AM MC BM MD λμ== ， ，则112211()()x y x y C D λμλλμμ+-+---， ， ， ， 将点C 坐标代入椭圆方程得22211122(1)2(1)1106x x y λλλλ+-+++=， 即2222111(1)2(1)10106x x y λλλ+-+++=，即221(1)2(1)1010x λλλ+-++-=， 又0λ>，故1121010x λλ+-+-=，11129x λ-∴=，同理可得21129x μ-=， ……8分又由题知3λμ+=，即122x x +=-， ……9分 由（1）知，当直线AB 斜率不存在时，1033λμ+=≠， 故可设直线:(2)AB y k x =+，联立椭圆方程得2222(53)2020300k x k x k +++-=， 则2122205532k x x k +=-=-+， ……11分 解得21k =，即1k =±. ……12分法二：111:1AC x l x y y -=+，联立椭圆方程得22112113(1)6(1)[5]270x x y y y y --++-=， 又22113530x y +=，故221111(336)6(1)270x y x y y y -+--=， 由21119112C y y y x =--得119112C y y x =--，所以1112||||||9A C y x MA MC y -==，同理2112||||9x MB MD -= 1212222()||||53||||92x x MA MB x x MC MD -++==⇒+=-，后续同法一.。