重庆市巴蜀中学2020学年高二数学下学期半期考试试题 理(含解析)

重庆市巴蜀中学2018-2019学年高二数学下学期半期考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题，的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.2.抛物线上的点到其焦点的距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】利用焦半径公式可得长度.【详解】，故选C.【点睛】如果抛物线的方程为，则抛物线上的点到焦点的距离为.3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.5.某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则6.展开式中项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考虑的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数.【详解】的通项公式为，故的二项展开式中的常数项为，一次项系数为，二次项的系数为，展开式中的系数为，故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7.我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（）A. 8B. 12C. 18D. 19【答案】B【解析】【分析】就甲选择物理或历史分类计数即可.【详解】如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数；如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数，综上，选考方法种数共有12种，选B.【点睛】本题考查组合的计数，为基础题，解题时注意合理分类.8.下表是某厂月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不清，已知原来根据该数据由最小二乘法求得回归直线方程为，则表中模糊不清的数据为（）用水量A. 2.5B. 4.5C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用线性回归方程对应的直线过计算可得缺失的值.【详解】因为回归直线方程，当时，，设2月份用水量为，则，故，故选D.【点睛】本题考查线性回归方程对应的直线过，属于基础题.9.某学期某大学数学专业的6名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数2,2,1，1安排到不同的四个年级的方案共有（）A. 1080B. 540C. 180D. 90【答案】A【解析】【分析】先把6人分组（按2，2，1，1）后再分配给四个不同的班级可得总的方案数.【详解】不同的方案有，故选A.【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如组中人数确定等；（2）先选后排（或先分组再分配），比如要求所选的人满足一定的数目，我们得先选出符合数目要求的人，再把他们分配到相应的对象中，此处特别注意均匀分组问题；（3）去杂法，也就是从反面考虑．10.平行四边形的四个顶点均在双曲线上，直线的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点差法可求，从而可得渐近线方程.【详解】因为双曲线是中心对称的，故平行四边形的顶点关于原点对称，设，，则，故，，所以，整理得到：即，故即，所以渐近线方程为即，选A.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.11.观察：，，，，，，从而得到47的二进制数为，记作：，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（）A. 202B. 1202C. 021D. 2021 【答案】B【解析】【分析】把分解为后可得其三进制数的表示.【详解】因为，所以，故，故选B.【点睛】本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键.12.定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构建新函数，根据题设条件有在上为增函数，从而得到，化简后可得.【详解】，即令，则在上为增函数，，即，亦即，亦即，故选.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应根据该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为3号、16号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为__________．【答案】【解析】【分析】依据系统抽样可知学号是公差为的等差数列，从而可求余下一个同学的学号.【详解】因为该班总共52人，样本容量为4，故抽取的学号是公差为的等差数列，故余下一个同学的学号为.填.【点睛】本题考查系统抽样的性质，属于基础题.14.已知随机变量满足,，__________．【答案】【解析】【分析】利用公式直接计算即可.【详解】因为，所以，所以，填.【点睛】一般地，如果，，那么，.15.设，若，则非零实数__________．【答案】【解析】【分析】对题设中的等式两边求导后再令可得，从而求得的值.【详解】对等式两边求导后可得，令，则有，因，故即，填.【点睛】二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论．16.某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．【答案】【解析】【分析】三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积.【详解】如图，几何体三棱锥，将三棱锥补形为直三棱柱，其中底面为等腰直角三角形，其外接圆的半径为，侧棱，故外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）曲线的极坐标方程可以化为，利用可得其直角坐标方程. （2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于的一元二次方程，利用参数的几何意义可求的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，因为，所以直角坐标方程为；（2）设直线上两点的参数分别为，，则，，将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，化简得，则，所以.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为（其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．18.我校某数学老师这学期分别用两种不同的教学方式在高一甲、乙两个班（人数均相同，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）进行教学实验，现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如下:（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（2）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取三名同学，事件表示“抽到成绩为86分的同学至少1名”，求.（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，完成分类变量成绩教学方式的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：（参考公式：，其中）【答案】（1）乙班；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图可得乙班的平均分高.（2）利用古典概型的概率计算公式计算即可.（3）利用给出的公式计算出的值，再结合临界值表可知在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关.【详解】（1）由茎叶图知甲班数学成绩集中于分之间，而乙班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高.（2）根据题意得（3）根据题意得到列联表为因此在犯错误的概率不超过的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.【点睛】本题主要考查统计中茎叶图的应用、古典概型的概率计算和独立性检验，此类问题为容易题.19.如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）可证平面平面，从而可证平面.（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小.【详解】（1）底面是菱形，，因平面，平面，所以平面.同理，平面，，平面平面，又平面，所以平面.（2）底面，即为直线与平面所成的角，故，中,，又底面是边长为2的菱形，，取中点，连，则，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为,,,,,底面,，又底面是菱形，,平面，平面的法向量取 ,设平面的法向量，则：,，令得,,二面角的大小为.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了的该农产品，以（单位：）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量的平均数、中位数和众数；（2）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率，）求利润的分布列和数学期望.【答案】（1）；；；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值.（2）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望. 【详解】（1）,，，（2），利润的分布列为（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，属于基础题.21.椭圆的左焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，椭圆上另一点满足的重心为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列出关于方程组，解出它们可得椭圆的方程.（2）设，联立直线方程和椭圆方程，消元后可得，利用韦达定理可用表示的坐标，再利用在椭圆上得到，利用该式化简的面积表达式可得其值.【详解】（1）依题意：解得，椭圆的方程为.（2）设，则由于的重心为坐标原点，所以.联立 ,得，，，在椭圆上，，即，在椭圆上, ,，，即，即，，的重心为坐标原点，到直线的距离等于到直线的距离的3倍，即即，，， .【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知函数，.（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；（2）若恒成立，求的最小值的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设有，参变分离后可得的取值范围.（2）等价于，令，分和后可得，其中，故即，从而，令，利用导数可求其最大值.【详解】（1），，若函数 在单调递增，对任意恒成立，，在单调递减，当时，，.故所求实数的取值范围为.（2）即令，则恒成立若，则当时，与恒成立矛盾，所以,由得， 当时 ，单调递增；当时，单调递减；，，，,的最小值 .又，当时， ，单调递增； 当时，，单调递减，.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．。

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ②|a ⃗ |−|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |是a ⃗ 、b ⃗ 共线的充要条件；③对空间任意一点P 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ，z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A.B.C.D.3. 如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白处应该填入A.B.C. D.4. 给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是( ) A.，B.，C.， D.， 6. 已知，若，则等于( )A.B.C.D.7. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有( )A.510C 144CC 55A 33A 22B.510C 144CC 55A 22A 33C. 510C 144CC 55A 22 D. C 144C 105C 558. 具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示．若y 与x 的回归直线方程为y =2x ，则m 的值是( ) x 012 3 y−1 1m8A. 4B. 92C. 5D. 69. 用1，2，3，4，5组成无重复数字的三位奇数的个数为A. 30B. 36C. 40D. 6010. 在同一直角坐标系下，已知双曲线C:y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为( )A. 2B. √3C. √2D. 111. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k −1∉A 且k +1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定A ={1,2，3，4，5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有( )A. 10个B. 11个C. 12个D. 13个12. 已知y =f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. f(x)在(−3,−1)上先增后减B. x =−2是函数f(x)极小值点C. f(x)在(−1,1)上是增函数D. x =1是函数f(x)的极大值点二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用系统抽样的方法从容量为42的总体中抽取容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为______ ．14. 设随机变量X ～B (6,13)，则P(2<X <4)=______15. (√x +a)6的展开式中x 2项的系数为60，则实数a = ______ ．16. 图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是______.(提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案)三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =5cosαy =sinα(α为参数)，点P 的坐标为(3√2,0)． (1)试判断曲线C 的形状为何种圆锥曲线；(2)已知直线l 过点P 且与曲线C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求|PA|⋅|PB|的值．18.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到了如表的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为3．5(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；(3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为x，求x的分布列、数学期望．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)下面的临界值表仅供参考：19. 如图，四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点，以BE 为折痕将△BEC 折起，使C 到C′的位置，且平面BEC′平面ABED (1)求证：AE ⊥BC′；(2)求二面角C′−AE −B 的余弦值．20. 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，以下记录了A ，B ，C ，D 四个项目的招募情况，其中有两个数据模糊． 项目 招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a C 80 b D160200某同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为该生被招募后参加的项目个数，已知P(ξ=0)=140，P(ξ=4)=110．(Ⅰ)求该生至多获得三个项目招募的概率； (Ⅱ)求a ，b 的值；(Ⅲ)求ξ的分布列与数学期望Eξ．21. 如图所示，离心率为12的椭圆Ω：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P 的两条直线分别与椭圆交于点A 、C 和B 、D ，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ为常数，过点P 作AB 的平行线交椭圆于M 、N 两点． (Ⅰ)求椭圆Ω的方程；(Ⅱ)若点P(1,1)，求直线MN 的方程，并证明点P 平分线段MN ．22. 已知函数f(x)=(x +1)2(x −1)，(1)求f′(x)；(2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数f(x)的极值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：①根据向量的运算法则知，等号的左边为0⃗ ，而右边为0，故①不正确； ②|a ⃗ |−|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |⇔|a ⃗ |2−2|a ⃗ ||b ⃗ |+|b ⃗ |2=|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2⇔cosθ=−1，即a ⃗ 与b ⃗ 反向，∴|a ⃗ |−|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |是a ⃗ 、b ⃗ 共线的充分不必要条件，故②不正确；③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可以用不共面的三个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示，所以P 、A 、B 、C 四点一定不共面，故③不正确； 故选：D ．①由向量的运算法则，可判断真假；②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判断真假； ③利用空间向量的基本定理知错；考查向量的运算法则，空间向量的基本定理，命题真假的判断；2.答案：A解析：试题分析：因为，双曲线的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点，所以，抛物线的标准方程为，选A 。

2020-2021学年重庆巴蜀中学高二下期中理科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数212i z i-=+的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2．最小二乘法的原理是使得（ ）最小A ．()1n i i i y a bx =-+∑ B ．()21ni i i y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑ C ．()221n i ii y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑ D ．()21n i i i y a bx =-+⎡⎤⎣⎦∑ 3．若，则()47P X <<=（ ）(已知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=)A ．0.8185B ．0.3413C ．0.4772D ．0.97694．下列命题中真命题的个数为（ ）①两个变量,x y 的相关系数r 越大，则变量,x y 的相关性越强；②命题2:,210p x R x x ∀∈-->的否定为2000:,210p x R x x ⌝∃∈--≤； ③从4个男生3个女生中随机抽取3个人，每个人被抽取的可能性相同，则至少有一个女生的选取种数为31种.A ．0B ．1C ．2D ．35．已知命题()22:48,:2100p x q x x m m -≤-+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5或11B ．011m <≤C ．05m <≤D ．05m <<6．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.参考数据：()()()()()22n ad bcKa b a c c d b d-=++++A．090 B．095 C．099 D．099.97．现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图) 涂色，要求相邻的词语涂不同颜色，则不同的涂法种数为（）A．144 B．108 C．54 D．27 8．已知函数()34f x x x=-,则过点()1,4P-可以作出（）条()f x图象的切线A．0 B．1 C．2 D．3 9．拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记{A=两次点数均为奇数｝，B=｛两次点数之和为6｝，则()P B A=（）A．59B．13C．536D．23 10．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1 B．43C．83D．4 11．如图，双曲线()22221,0x ya ba b-=>的右顶点为A，左右焦点分别为12,F F，点P是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线b y x a=于点,R M 是PQ 的中点，若21RF PF ⊥，且1AM PF ⊥，则双曲线的离心率是（ ）A 5．2 C 3 D 2二、填空题12．已知随机变量25,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()52E ξ+= ． 13．532x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 展开式中的常数项为 ． 14．已知函数()ln x f x e a x -=-在定义域内单调递增，则a 的取值范围为 ． 15．如图，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下依次为第1群，第2群，…第n 群…，且第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是__________．三、解答题16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列12n n a a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈. 17．一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据都小于加工时间的均值的概率；（2）若加工时间y 与零件数x 具有相关关系，求y 关于x 的回归直线方程；（3）若需加工80个零件，根据回归直线预测其需要多长时间. (^121()()()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，^^^a y b x =-) 18．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB ⊥BC,AD ⊥DC,AC =2BC =2DC =2,3BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ .（1）求证：CM ∥平面PAD ；（2）若CM 与平面PAC 所成的角的正弦值为√55，求AP 的长. 19．已知焦点在y 轴上的椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>322⎝，不过椭圆顶点的动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，求： （1）椭圆C 的标准方程；（2）求三角形AOB 面积的最大值，并求取得最值时直线OA 、OB 的斜率之积.20．已知函数()()()21,x f x xe k x k R =-+∈.（1）2e k =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）若()f x 在R 上只有一个零点，求k 的取值范围.21．过外一点P 作的两条割线,PAB PMN ，其中PMN 过圆心O ，再过P 作的切线PT，切点为T ，已知1PM MO ==.（1）求切线PT 的长；（2）求AM BM AN BN⋅.参考答案1．B【解析】 试题分析：2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i ----====-++-，虚部为1-．故选B ． 考点：复数的概念．2．D【解析】试题分析：最小二乘法的原理是使得实际数据与估计值的差的平方和最小，故选D ． 考点：最小二乘法．3．A【解析】试题分析：由题意(46)2(56)0.6826P μP μ<<=<<=，(56)0.3413P μ<<=，(37)P μ<<=2(57)0.9544P μ<<=，(57)0.4772P μ<<=，所以(67)(57)(56)P μP μP μ<<=<<-<<0.47720.34130.1359=-=，所以(47)(46)(67)P μP μP μ<<=<<+<<0.68260.1359=+0.8185=．故选A ． 考点：正态分布．4．C【解析】试题分析：一般情况下，相关系数越大表明相关程度就越高.但是，相关系数只有相对意义，没有绝对意义。

2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复平面内与复数z=5i所对应点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为()1+2iA. 1+2iB. 1−2iC. −2+iD. 2+i<2x<2}，则A∩B=()2.集合A={0,1,2},B={x|12A. {0,1}B. {1}C. {0}D. {0,1，2}3.在整数集中，被5整除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，，给出如下三个结论：①；②；③；、④“整数、属于同一“类”的充要条件是“”.其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.p：|x|>2是q：x<−2的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.若定义在R上的函数为奇函数，则实数a的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是()A. 甲的极差是29B. 乙的众数是21C. 甲罚球命中率比乙高D. 甲的中位数是247.已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸(图中大正方形边长为2a)，可得这个几何体的体积是()A. 203a3B. 7a3C. 2√2a3D. 5a38.如图所示的程序框图，若输入的A,S分别为0，1，则输出的S=()A. 4B. 16C. 27D. 369.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数()A. (π2,3π2) B. (π,2π) C. (3π2,5π2) D. (2π,3π)10.抛物线y=x2(−2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的表面积是()A. 96−48√3B. 32C. 24D. 144−48√511.已知双曲x2a2−y2b2=1(a>b>0)的渐近线与圆x2−2x+y2+34=0相切，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. 2√33D. 212.如下图是函数的大致图象，则等于A.B.C.D.二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.给出以下结论：①函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②3−5=6(−5)2；③函数y=ln(1+x)−ln(1−x)为奇函数；④函数f(x)的定义域为[−1,4]，则函数f(x2)的定义域为[−2,2]其中正确的是______ ．14.设i是虚数单位，复数z满足(2+i)⋅z=5，则|z|=______．15.已知x2−ax+2≥0在x∈[−3,3]上恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.设函数f(x)=|2x+1|+2|x−a|．(1)若a=2，试求f(x)≥6的解集；(2)若a<0，且关于x的不等式f(x)<3x有解，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)=x．x2+2(1)判断并证明f(x)在[0,1]上的单调性；(2)若x ∈[−1,2]，求f(x)的值域．18. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．(1)某垃圾站的日垃圾分拣量y(千克)与垃圾分类志愿者人数x(人)满足回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，数据统计如下：已知y −=15∑y i 5i=1=40，∑x i 25i=1=90，∑x i 5i=1y i =885，根据所给数据求t 和回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂．附：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x ̂． (2)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15． ①若被调查的男性居民人数为a 人，请完成以下2×2列联表：类型喜欢垃圾分类志愿者不喜欢垃圾分类志愿者合计性别男性a女性合计②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？，n=a+b+c+d．附K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.82819.如图，已知四棱锥P−ABCD，ABCD是梯形，AB//CD，AB⊥BC，PA=PD=BC=CD=1，AB=2，PC=√3．(Ⅰ)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．20.椭圆C过点A(2,1)，中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在抛物线y2=4√3x的准线上．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点B(3,0)的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．21.已知函数在点处的切线方程为．(I)求，的值；(II)对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题．利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解：复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i，z所对应的点(2,1)，z关于虚轴对称的点为A(−2,1)，∴A对应的复数为−2+i．故选：C．2.答案：C解析：解：∵集合A={0,1,2},B={x|12<2x<2}={x|−1<x<1}，∴A∩B={0}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：D解析：试题分析：因为，所以，则①正确；，所以，所以②不正确；因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，所以③正确．对于④∵整数，属于同一“类”，∴整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0，反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”.故④正确．所以正确结论的个数有3个．故选D．考点：新定义题型．4.答案：C解析：本题考查充分条件、必要条件的判断，用集合的包含关系是解决问题的关键，属基础题．解不等式可得命题p对应的集合，由集合的包含关系可得结论．解：由|x|>2，解得x>2或x<−2，由于集合{x|x<−2}是{x|x>2或x<−2}的真子集，故p是q的必要不充分条件故选C5.答案：C解析：本题考查了定义在R上的奇函数的性质f(0)=0的运用．利用奇函数的性质，定义在R上的奇函数f(0)=0得到关于a的方程解之，再代入验证即可．解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即log3√a=0，所以a=1；此时为奇函数，符合题意，故选C．6.答案：D解析：略7.答案：A解析：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=(2a)3−8×(13×12a2×a)=203a3，故选：A由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：D解析：本题考查程序框图和算法的应用，模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k、A、S的值，当k>4时满足条件，退出循环，从而计算输出S的值．解：模拟执行程序，可得A=0，S=1，顺序执行语句，k=1，A=0+1=1，S=1×1=1；不满足条件k>4，执行循环体，k=3，A=1+3=4，S=1×4=4；不满足条件k>4，执行循环体，k=5，A=4+5=9，S=4×9=36；满足条件k>4，退出循环，输出S=36．故选D．9.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及三角函数的性质，属于基础题．y′=xcosx，对照选项可知当x∈(3π2,5π2)时，恒有xcosx>0．解：y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx−sinx=xcosx，当x∈(3π2,5π2)时，恒有xcosx>0．故选C．10.答案：C解析：解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，设正方体AC1的棱长AA1=a，则底面对角线AC=√2a，∴A点的横坐标等于√22a，结合抛物线方程可得A点纵坐标：y=(√22a)2=12a2，根据题意可知A 点纵坐标为4−a ． ∴12a 2=4−a ，解得a =2，因此正方体的棱长是2，表面积S =6×22=24． 故选：C由题意画出过正方体的两条相对侧棱的截面图，设正方体的棱长a ，然后根据A 点的纵坐标等于4−a ，利用抛物线方程与正方体的性质建立关于a 的等式，解出a =2，即可得到此正方体的表面积． 本题着重考查了正方体的性质、抛物线的应用等知识，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．11.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于简单题．求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可． 解：圆x 2−2x +y 2+34=0化简为：(x −1)2+y 2=14， 圆心(1,0)，半径为：12，双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ， 由圆与双曲线的渐近线相切，可得：12=|±b a|√1+(±ba )2，又a >b >0， 解得ba =√33，即b 2a 2=13，c 2−a 2a 2=13，可得e =c a=2√33． 故选：C ．12.答案：C解析：试题分析：由图象知f(x)=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x 1，x 2为导函数的两根，可结合根与系数求解．由图象知f(x)=0的根为0，1，2，∴d =0.∴f(x)=x 3+bx 2+cx =x(x 2+bx +c)=0.∴x 2+bx +c =0的两个根为1和2.∴b =−3，c =2.∴f(x)=x 3−3x 2+2x.∴f′(x)=。

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题．（共12题，每题5分，共6分．每题只有一个正确选项）1.命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定是（ ）A. 0x ∀>，210x x ++≥B. 0x ∀≤，210x x ++<C. 0x ∀>，210x x ++<D. 0x ∀≤，210x x ++≥【答案】A【解析】【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定为：“0x ∀>，210x x ++≥”.故选：A .【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.2.设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =（ ）A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)- 【答案】A【解析】【分析】 分别求出集合A 和B ，再求并集即可.【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-；由20log x <得01x <<，即()B 0,1=；所以()A B 1,2⋃=-.故选A【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.3.由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ）A. ②①③B. ②③①C. ①②③D. ③①② 【答案】D【解析】【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；结论：②安梦怡是独生子女，故选D.【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设2821001210(1)(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则01210a a a a ++++等于( ) A. 1B. 2C. 54D. 5【答案】B【解析】【分析】 令1x =，利用赋值法求二项展开式的各项系数和.【详解】令1x =，则282100121011(11)(43)1a a a a ⋅+-=+++⋅⋅+ 故012102a a a a ++++= 故选：B【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式的各项系数和，属于基础题.5.已知复数z 满足()411i z i +=-（i 为虚数单位），则复数2z -在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据复数的四则运算求得z ，再利用复数几何意义求解结论.【详解】由()411i z i+=-，得())()()141111i z i i i i -===-⋅++-，则)22z -=，∴复数2z -在复平面内对应的点为2,， ∴复数2z -在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的基本知识，复数的概念以及其几何意义，考查计算能力，属于基础题.6.袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 013 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）A. 19B. 16C. 29D. 518【答案】B【解析】【分析】经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的基本事件有3个，由此可以估计恰好第三次就停止的概率.【详解】解：经随机模拟产生的18组随机数中，232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 013 320 122 103 233恰好第三次就停止包含的基本事件有：023 123 132，共3个， 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为31186p ==. 故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的值范围为（ ）A. [)1,+∞B. [)1,-+∞C. (],1-∞D. (],3-∞【答案】A【解析】【分析】 由题意，可先解出p ⌝：31x -≤≤与q ⌝：x a ≤，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列出不等式即可得出a 的取值范围. 【详解】由条件:12p x +>，解得1x >或3x <-，故p ⌝：31x -≤≤，由条件:q x a >得q ⌝：x a ≤，∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1a ≥，故选：A . 【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.8.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ）①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. ①②③B. ②③C. ①②D. ③ 【答案】A【解析】【分析】根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可.【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同，故每年的增幅基本持平，故③正确；故选：A 【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题. 9.若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A. ()98f x x =+B. ()32f x x =-C. ()34f x x =--D. ()32f x x =+ 【答案】D【解析】【分析】令32x t +=，得到23t x -=代入条件, 可求出()f x 的解析式即可．【详解】设32x t +=，则23t x -=. 所以有()298323t f t t -=⨯+=+ 所以()32f x x =+故选：D【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查换元思想，属于基础题．10.设221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩，则((1))f f 的值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】先求出()1f ，然后即可求出((1))f f 【详解】因为221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩所以()21213f =-= 所以()2((1))3log 83f f f ===故选：B【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单.11.维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. 猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B. 猕猴桃的方差小于柚子的方差C. 猕猴桃的极差为32D. 柚子的中位数为121【答案】B【解析】【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题.12.已知数列{}n a ，{1,0,1},1,2,3,4,5,6i a i ∈-=．满足条件“12345603a a a a a a ≤+++++≤”的数列个数为（ ）个．A. 160B. 220C. 221D. 233【答案】D【解析】【分析】由已知可得||i a 只能取0或1，结合限制条件，对||0i a =的个数进行分类，可分为6个，5个，4个和3个，按照组合和分步乘法计数原理求出各类的个数，即可求出结论.【详解】因为{1,0,1},1,2,3,4,5,6i a i ∈-=，所以||i a 只能取0或1， 而12345603a a a a a a ≤+++++≤，所以123456,,,,,a a a a a a 中出现0的个数可以是6个、5个、4个、3个，若出现6个0，则数列为常数列，共有1个常数列，若出现5个0，则出现一个||1,1i i a a ==±有两种取法，共有16212C ⨯=，若出现4个0，则出现两个||1i a =，共有226215460C ⨯=⨯=，若出现3个0，则出现三个||1i a =，共有3362208160C ⨯=⨯=，综上所述，数列的个数为11260160233+++=.故选：D.【点睛】本题考查两个计数原理和组合的实际应用问题，理解题意合理分类是解题的关键，属于中档题.二、填空题．（共4题，每题5分，共20分）13.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =__________．【答案】5【解析】因为34z i i ⋅=-，所以34z i i ⋅=-，即34z i i ⋅=-，5z =.14.已知函数f (x+3)的定义域为[-2,4),则函数f (2x-3)的定义域为_____.【答案】[2,5).【解析】【分析】由24x -≤<可得137x ≤+<，再由1237x ≤-<可得25x ≤<，进而可得函数f (2x-3)的定义域为[)2,5．【详解】∵函数f (x+3)的定义域为[-2,4)，∴24x -≤<，∴137x ≤+<．令1237x ≤-<，解得25x ≤<．∴函数f (2x-3)的定义域为[)2,5．【点睛】解答本题时注意：（1）函数的定义域是指函数中自变量x 的取值范围．（2）求复合函数的定义域时常用到以下结论：①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域．15.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为_____________． 【答案】79【解析】【分析】先求出“电工师傅第1次抽到的是螺口灯泡”的概率,再求出“电工师傅第1次抽到的是螺口灯泡且第2次抽到的是卡口灯泡”的概率，根据条件概率公式，即可求解.【详解】记“电工师傅第1次抽到的是螺口灯泡”为事件A ,“电工师傅第2次抽到的是卡口灯泡”为事件B ,1137210321(),()1090A A P A P AB A ===， ()7(|)()9P AB P B A P A ∴==. 故答案为：79【点睛】要注意是不放回的抽取，所求事件的概率是古典概型的概率，属于基础题.16.在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________． 【答案】20126720x【解析】【分析】先求出展开式通项，得出系数，要使展开式中系数最大，只需该项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，建立关于项数r 的不等式，求解即可. 【详解】二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为31212364112121(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==， 0,1,2,12r =，若第1r +系数最大，需满足1213112121211112122222r r r r r r r r C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，即12!212!!(12)!(1)!(13)!212!12!!(12)!(1)!(11)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪---⎪⎨⨯⎪≥⎪-+-⎩， 整理得121321121r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得1013,,433r r N r ≤≤∈∴=， 8420205122126720T C x x ==,所以该二项展开式中系数最大的项为20126720x .故答案为：20126720x .【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记通项是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题、（共6小题，17题10分，其余5题各12分，共70分，请在答题卡上写出必要的解答过程）17.某校高二年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机抽取10首不同的古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的参赛者进入正赛，若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为12； （1）求甲在初赛中恰好正确背诵8首的概率（2）若进入正赛，则用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4首不同的古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25，求甲在正赛中积分X 的概率分布列及数学期望．【答案】（1）451024；（2）分布列详见解析，4()5E X =. 【解析】 【分析】（1）在初赛中甲背诵每一首古诗的正确的概率均为12，根据二项分布概率公式即可求解； （2）先求出甲在正赛中积分X 的可能值，按照二项分布概率公式，求出X 可能值对应的概率，得到分布列，按数学期望公式，即可求出结论.【详解】（1）记“甲在初赛中恰好正确背诵8首古诗”为事件A 学生甲在初赛中背诵每一首古诗的正确的概率均为12, 882101145()()(1)221024P A C =-=,所以甲在初赛中恰好正确背诵8首古诗的概率为451024； （2）甲的积分X 的可能值为8分，5分，2分，-1分，-4分，则43143442162396(8),(5)562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 221321442321623216(2),(1)5562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 404381(4)5625P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为所以1696216216814()852146256256256256255E X =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=， 甲在正赛中积分X 的数学期望为45.【点睛】本题考查独立事件重复发生的概率，熟记二项分布概率公式是解题的关键，考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查计算求解能力，属于基础题.18.下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据，其中x 表示产量（单位：吨），y 表示生产中消耗的煤的数量（单位：吨）x 2 3 4 56 y22.53.54.56.5（1）试在给出的坐标系下作出散点图，根据散点图判断，在y a bx =+与2x y m n =+中，哪一个方程更适合作为变量y 关于x 的回归方程模型？（给出判断即可，不需要说明理由） （2）根据（1）的结果以及表中数据，建立变量y 关于x 的回归方程．并估计生产100吨产品需要准备多少吨煤．参考公式：ˆˆay b x =-⋅，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑【答案】（1）散点图见解析，y a bx =+更适合；（2）ˆ 1.10.6yx =-，109.4吨. 【解析】 【分析】（1）作出散点图，根据散点图判断，y a bx =+更适合作为变量y 关于x 的回归方程模型； （2）根据（1）的结果、表中数据和参考公式，求出y 关于x 的回归方程，把100x =代入方程，即得答案.【详解】（1）散点图如图所示y a bx =+更适合作为变量y 关于x 的回归方程模型.（2）由表格可得552114, 3.8,90,87i i i i i x y x x y ======∑∑，122251558754 3.8ˆˆˆ1.1, 3.8 1.140.690545i ii ii x y x yba y bx xx ==--⨯⨯∴====-=-⨯=--⨯-∑∑， y ∴关于x 的回归方程为ˆ 1.10.6y x =-.当100x =时，ˆ 1.11000.6=109.4y=⨯-. 所以，估计生产100吨产品需要准备109.4吨煤． 【点睛】本题考查散点图和线性回归方程，属于基础题.19.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20～10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图示，其中时间段9:20～9:40记作区间[)20,40，9:40～10:00记作[)40,60，10:00～10:20记作[)60,80，10:20～10:40记作[)80,100，例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20～10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这60辆车在9:20～10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46～10:22之间通过的车辆数（结果保留到整数）． 参考数据：若()2~,T Nμσ，则①()0.6827P T μσμσ-<≤≤=；②(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=． 【答案】（1）10点04分；（2）分布列详见解析，8()5E X =；（3）683. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出各时间段的频率，按照平均数公式，即可求解；（2）按照分层抽样原则先求出10辆车中在9:20～10:00车辆数，确定出随机变量X 的可能值，求出X 各可能值对应的概率，得到X 的分布列，按数学期望公式，即可求出结论； （3）求出2σ，将9:46～10:22时间段转化为,μσ关系，利用正态分布三段区间的概率，求出9:46～10:22时间段通过车辆的概率，即可求出结论.【详解】（1）这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的平均数为(300.005500.015700.020900.010)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即10点04分；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中， 在10:00前通过的车辆数就是位于[20,60)这一区间的车辆数， 即(0.0050.015)20104+⨯⨯=，所以X 的可能值为0,1,2,3,4.所以43166444101018(0),(1)1421C C C P X P X C C ======， 2213646444101034(2),(3)735C C C C P X P X C C ======，04644101(4)210C C P X C ===，所以X 的分布列为所以18341812341421()7352105E X （3）由（1）得64μ=，22222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以18σ=，估计在9:46～10:22这一时间段内通过的车辆数， 也就是4682T <≤通过的车辆数，由()2~,T N μσ，得(64186418)0.6827P T -<≤+=，所以估计在9:46～10:22这一时间段内通过的车辆数为10000.6827683⨯≈（辆）. 【点睛】本题以频率分布直方图为背景，考查平均数、方差、随机变量的分布列和数学期望，以及正态分布三段区间概率的应用，考查计算求解能力，属于中档题.20.已知四棱锥S ABCD -，SD SB =，在平行四边形ABCD 中，AD CD =，Q 为SC 上的点，过AQ 的平面分别交SB ，SD 于点E 、F ，且//BD 平面AEQF ．（1）证明：EF AC ⊥；（2）若23SA SC ==2AB =，Q 为SC 的中点，SA 与平面ABCD 3求平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析，（2）12【解析】 【分析】（1）由//BD 平面AEQF ，平面AEQF 平面SBD EF =，可得//BD EF ，而题可知四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，所以可得EF AC ⊥；（2）由题意可推得,,OA OB OS 两垂直，所以O 为坐标原点，,,OA OB OS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于O ， 因为四边形ABCD 为平行四边形，且AD CD =， 所以四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 因为//BD 平面AEQF ，平面AEQF 平面SBD EF =，BD 在平面SBD 内，所以//BD EF ， 所以EF AC ⊥；（2）解：因为四边形ABCD 为菱形， 所以O 为AC 、BD 的中点， 因为SD SB =，23SA SC ==，所以,SO AC SO BD ⊥⊥，所以SO ⊥平面ABCD ，所以SAO ∠为直线SA 与平面ABCD 所成的角，所以3sin SAO ∠=， 所以60SAO ∠=︒，所以3,3SO AO ==因为2AB =，所以1OB =，如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)O A B C D S --，因为Q 为SC 的中点，所以33(,0,)2Q -，则333(,0,)2AQ =-， 因为AC BD ⊥，SO AC ⊥，所以平面SBD 的法向量为(3,0,0)OA =， 设平面AEQF 的法向量为(,,)m x y z =，因为//BD EF ，则00m OB m AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0333022y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令3z =，则1x =，所以(1,0,3)m =，设平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角为θ，则31cos cos ,2313OA m OA m OA mθ⋅====⨯+，所以平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值为12【点睛】此题考查空间图形中证线线垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理能力，利用了空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程； （2）设O 为坐标原点，过点F直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+，可得四边形AOBE 为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△，将根与系数的关系代入化简即可解决.【详解】(1)由已知得12c a =， 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB=+，∴四边形AOBE为平行四边形，122122||234AOBS OF y ytS=∴⨯-===+△，1m=≥，得2621313mSm mm==++，由对勾函数的单调性易得当1m=，即0t=时，max32S=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.22.已知函数2()2lnf x x ax=-，()(1)34xg x x e ax=++-，a R∈.（1）求()f x的单调区间；（2）若()f x有最大值且最大值是1-，求证：()()f xg x<.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）对()f x求导，得()221()axf xx-'=，对a分类讨论，利用导函数的正负性即可得出单调性；（2）利用（1）中结论及()f x最大值是1-，可得1a=，对()()f xg x<进行整理，可得232ln14xxx xex-<+-+，由0x>时，e1x>可知，证明232114ln xx xx-+-+≤即可，构造函数()2432lnh x x x x=--+，利用导数可得()()0h x h x≤()002ln1x x=-+，再构造()ln1m x x x=-+，利用导数可得()(1)0m x m≤=，所以()()00h x h x≤≤，问题得解. 【详解】（1）由函数2()2lnf x x ax=-，0x>得()2212()2axf x axx x-'=-=1)当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0∞，+上单调递增； 2)当0a >时，由()f x '=当0x <<()0f x '>，当x >()0f x '< 故()f x在0⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）证明：由（1）知，当0a >时，函数()f x 有唯一最大值，即l 1n 1f a --=-，解得=1a . 22ln ()(3)14x x x f x g x e x x -++-<⇔<0x >时e 1x >，所以证明23ln 1142x x x x -≤⇔+-+ 242ln 30x x x -+≤-即可，令()()2432ln 0+h x x x x x =-+∈-∞，，()()()()2211221224x x x x h x x x x x--+-'=--==可知，当01x 时函数()h x 取得极大值即最大值，且200210x x +-=()()2000000=2ln 432ln 1h x x x x x x --+=-+设()ln 1m x x x =-+，则11()1x m x x x-'=-= 所以()m x 在01，上单调递增，[)1+∞，上单调递减， 故()(1)0m x m ≤=，所以()()0002ln 10h x x x =-+≤ 所以()()00h x h x ≤≤，即242ln 30x x x -+≤- 问题得解.【点睛】本题是导数的综合应用题，考查了利用导数求函数单调性及利用导数求最值证明不等式，考查了分类讨论思想和放缩法，属于难题.- 21 -。

巴蜀中学高2020届高二（下）半期考试数学（文）试题卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分,每题只有一个正确选项）1。

2(1)1i i+=-（ )A 。

1i +B 。

1i -C 。

1i -+D 。

1i --【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可. 【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i ii i i i i i i +++====+=-+---+。

故选:C 。

【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。

2。

三个正整数x ,y ，z 满足条件： x y >，y z >，3xz >，若5z =,则y 的最大值是（ ) A 。

12 B 。

13C 。

14D 。

15【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合不等式的性质和不等式的传递性即可确定y 的最大值. 【详解】由不等式的性质结合题意有：,5,53x x y y >>>， 即,5,15.15x y y x y x >><∴<<， 由于,,x y z 都是正整数，故y 的最大值是13. 故选:B 。

【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，不等式的传递性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。

3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米,现向该铜钱上随机地投入一粒米(米的大小忽略不计）,那么该粒米落入小孔内的概率为( ) A.14πB 。

116πC 。

4π D 。

16π 【答案】A 【解析】 【分析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积,利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设A 为“该粒米落入小孔内"，因为正方形小孔的面积为16平方毫米,铜钱的面积为π64平方毫米，故()161644P A ππ==，故选A 。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 命题 p ：“∃x 0 ∈R ，x 2-x ＞0”，则￢p 是（）A. C. ∃x ∈R ，x 2-x ＜0∀x ∈R ，x 2-x ＜0 B. D. ∃x ∈R ，x 2-x ≤0 ∀x ∈R ，x 2-x ≤02. 抛物线 y 2 =4x 上的点 M （4，y ）到其焦点 F 的距离为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 63.4.圆形铜钱中间有一个边长为 4 毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为 16 毫米，现 向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概 率为（ ）A.B.C. D.若 m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. B. C. D.若 α⊥β，m ⊥β，则 m ∥α 若 m ∥α，n ⊥m ，则 n ⊥α若 m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则 α∥β 若 m ∥β，m ⊂α，α∩β=n ，则 m ∥n5.九江气象台统计，5 月 1 日浔阳区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下 雨的概率为 ，设 A 为下雨，B 为刮风，那么 P （A |B ）=（）A.B.C.D.6.（1+x -x 2）（x + ）6展开式中 x 2项的系数为（）7.A.B. C. D.我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历 史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的 法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方 法种数为（ ）A. 8B. 12C. 18D. 198.如表是某厂 1～4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不 清，已知原来根据该数据由最小二乘法求得回归直线方程为 y =-0.7x +5.25，则表中 模糊不清的数据为（ ） 月份 x 用水量 y1 4.523 34 2.5A. 2.5B. 4.5C. 3D. 49.某学期某大学数学专业的 6 名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数 2，2， 1，1 安排到不同的四个年级的方案共有（ ）A. 1080B. 540C. 180D. 900 0 0 0 0 0 0 0 010. 平行四边形 ABCD 的四个顶点均在双曲线=1（a ＞0，b ＞0）上，直线A B ，AD的斜率分别为 ，1，则该双曲线的渐近线方程为（）A.x ± y =0B.x ±y =0C.x ±y =0D.x ± y =0 11. 观察：47=2×23+1，23=2×11+1，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，从而得到 47 的二进制数为 101111，记作：47 =101111，类比上述方法，根据三进制（ ）数“满三进一”的原则，则 47 =（ ） （ ）A. 202B. 1202C. 021D. 2021 12. 定义在（0，+∞）上的函数 f （x ）满足 x •f ′（x ）•ln x +f （x ）＞0（其中 f ′（x ）为 f（x ）的导函数），则下列各式成立的是（ ）A. e f （e ）＞1B. f f （e ） ＜π＜1C.f f （e ）＞1＞πD. f f （e ）＜1＜π二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知学号为 3 号、16 号、42 号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号 为______．14. 已知随机变量 X ，Y 满足 X ～B （5， ），Y =2X +3，D （Y ）=______．15. 设（1-ax ）2020=a +a x +a x 2+…+a x 2020，若 a -2a +3a -4a +…+20019a -2020a =2020a ，则非零实数 a =______． 16. 某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为 1），则该几何体外接球的表面积______．三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为（其中 t为参数），以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ．（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线与曲线 C 交于 A ，B 两点，点 P （1，2），求||PA |-|PB ||的值．第 2 页，共 14 页2 3 0 12 2020 1 234 2019 202018. 我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）k 0.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19. 如图，已知多面体PABCDE的底面是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA=2ED=2．（1）证明：CE∥平面PAB；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P-AC-E的大小．第3 页，共14 页20. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频 率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了 120t 的该农产品，以 X （单位 t ：100≤X ≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示 下一个销售季度内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量 X 的平均数、中位数和众数； （2）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量 落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 x ∈（100，110）， 则取 X =105，且 X =105 的概率等于需求量落入[100，110）的频率，）求利润 T 的 分布列和数学期望．21. 椭圆 C ：=1（a ＞b ＞0）的左焦点为 F（-1，0），点 P （1， ）在椭圆上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l ：y =kx +m 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，椭圆 C 上另一点 M 满 △足ABM 的 重心为坐标原点 O ， △求ABM 的面积．122. 已知函数f（x）=，g（x）=ln x-x．（1）若函数h（x）=af（x）+g（x）（a∈R）在[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（2）若g（x）≤mx+n（m∈R，n＞0）恒成立，求（m+1）n的最小值φ（n）的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由特称命题的否定为全称命题， 可得命题 p ：“∃x ∈R ，x 2-x ＞0”， 则￢p ：“∀x ∈R ，x 2 -x ≤0”． 故选：D ．运用特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化，即可得到所求结论． 本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化， 考查转化能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由抛物线 y 2=4x ，得 F （1，0），如图，|FM |=4+，故选：C ．利用焦半径公式可得 FM 的长度．如果抛物线的方程为 y 2=2px （p ＞0），则抛物线上的点 M （x ，y ）到焦点 F 的距离为 ．3.【答案】A【解析】解：由题意可得：S =π×82=64π，圆S =4×4=16， 正方形由几何概型中的面积型可得：该粒米落入小孔内的概率为 P == = ，故选：A ．由几何概型中的面积型可得：该粒米落入小孔内的概率为 P = = = ，得解． 本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．4.【答案】D【解析】解：若 α⊥β，m ⊥β，则 m 与 α 可能平行也可能相交，故 A 错误； 若 m ∥α，n ⊥m ，则 n ⊂α 或 n ∥α 或 n 与 α 相交，故 B 错误； 若 m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则 α∥β 或 α 与 β 相交，故 C 错误； 若 m ∥β，m ⊂α，α∩β=n ，则 m ∥n ，故 D 正确． 故选：D ．第 6 页，共 14 页0 0 0 0 0根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断．本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题． 5.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．确定 P （A ）= ，P （B ）= ，P （AB ）= ，再利用条件概率公式，即可求得结论． 【解答】解：由题意 P （A ）= ，P （B ）= ，P （AB ）= ，∴P （A |B ）=故选：B ． 6.【答案】C= = ，【解析】解：由（x + ）6的展开式的通项公式为 T =x 6-r（ ）r =2-rx 6-2r，故（x + ）6的二项展开式中的常数项为= ，一次项系数为 0，二次项的系数为= ，则（1+x -x 2）（x + ）6展开式中 x 2的系数为 - = ，故选：C ．考虑（x + ）6 的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数．二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项 结合多项式的乘法来求，属中档题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论：如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有 C 2=6 种选考方法种数； 如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有 C 2=6 种选考方法种数， 综上，选考方法种数共有 12 种，故选：B ．根据题意，分 2 种情况讨论：如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门， 如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，求出每种情况的选法数目， 由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理的应用，解题时注意合理分类，属于基础题． 8.【答案】D【解析】解：设表中模糊不清的数据为 x ，则，∵回归直线方程 y =-0.7x +5.25，∴，解得 x =4．r +1 4 4故选：D ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解．本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础 题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，分 2 步进行分析：①，先把 6 人按 2，2，1，1 分成 4 组，有=45 种分组方法；②，将分好的 4 组全排列，对应四个年级，有 A 4=24 种安排方法， 则有 45×24=1080 种方案； 故选：A ．根据题意，分 2 步进行分析：①，先把 6 人按 2，2，1，1 分成 4 组，②，将分好的 4 组全排列，对应四个年级，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 10.【答案】A【解析】解：∵双曲线=1（a ＞0，b ＞0）是中心对称的，故平行四边形 ABCD 的顶点 B ，D 关于原点对称， 设 A （x ，y ），B （x ，y ），则 D （-x ，-y ），故，，∴，即故，即 ，∴渐近线方程为 y =，即 x，整理得到：，，故选：A ．利用点差法可求，从而可得渐近线方程．直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算，是中档题．11.【答案】B【解析】解：因为 47=3×15+2，15=3×5，5=3×1+2，2=3×0+2， 所以 47=1×27+2×9+0×3+2， 故 47 =1202．（ ）故选：B ．把 47 分解为 47=1×27+2×9+0×3+2 后可得其三进制数的表示．本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键，属于基础 题．12.【答案】C第 8 页，共 14 页4 00 111 13【解析】解：x •f ′（x ）•ln x +f （x ）＞0，∴f ′（x ）•ln x +＞0，即[f （x ）ln x ]′＞0，令 g （x ）=f （x ）ln x ，则 g （x ）在（0，+∞）上为增函数， ∴g （e ）＞g （1）＞g （ ），即 f （e ）ln e ＞0＞f （ ）ln ，亦即 ln e f （e ）＞ln1＞ln，亦即 e f （e ）＞1＞，故选：C ．构建新函数令 g （x ）=f （x ）ln x ，可得 g （x ）在（0，+∞）上为增函数，从而得到g （e ） ＞g （1）＞g （ ），化简后即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能 力与计算能力，属于难题．13.【答案】29【解析】解：因为该班总共 52 人，样本容量为 4， 故样本间隔为 52÷4=13，故抽取的学号是公差为 13 的等差数列，故余下一个同学的学号为 16+13=29． 故答案为：29．依据系统抽样可知学号是公差为 13 的等差数列，从而可求余下一个同学的学号． 本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔，结合等差数列的性质是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：因为 X ∽B （5， ），所以 D （X ）=5×= ，又 Y =2X +3，所以 D （Y ）=22×D （X ）= ，故答案为： ．利用公式 D （Y ）=22D （X ）直接计算即可．本题考查了二项分布及期望、方差的运算，属基础题． 15.【答案】-2【解析】解：对等式（1-ax ）2020=a +a x +a x 2+…+a x 2020，两边求导后可得： -a ×2020（1-ax ）2019 =a +2a x +3a x 2+4a x 3+2020a x 2019， 令 x =-1，则有-a ×2020（1+a ）2019=a -2a +3a -…-2020a =2020a ， 因为 a ≠0，则（1+a ）2019 =-1， 即 a =-2，故答案为：-2．对题设中的等式两边求导后再令 x =-1 可得（1+a ）2019=-1，从而求得 a 的值．0 1 2 2020 1 2 3 4 2020 1 2 3 2020二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论，属中档题．16.【答案】32π【解析】解：图，几何体为三棱锥A-BCD，将三棱锥A-BCD补形为直三棱柱ADE=ECB，其中底△面BCF为等腰直角三角形，其外接圆的半径为r=2，侧棱CD=4，故外接球的半径为R==2，故三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4πR2=32π．故答案为：32π．三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积．本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．17.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2sin2θ=8ρcosθ，因为，所以直角坐标方程为y2=8x；（2）设直线l上A，B两点的参数分别为t ，t，则A（1+t，2+t），B（1+t，2+t），将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得（2+t）2=8（1+t），化简得t2-4t-8=0，则所以||PA|-|PB||=||t|-|t ||=|t +t|=4．，【解析】（1）曲线C的极坐标方程可以化为ρ2sin2θ=8ρcosθ，利用角坐标方程．可得其直（2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于t的一元二次方程，利用参数t的几何意义可求||PA|-|PB||的值．本题考查了极坐标方程与直角方程的互化，属中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60-9（0分）之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高………………（3分）（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2P（ξ=0）==，P（ξ=1）=则随机变量ξ的分布列为=，P（ξ=2）==………………（6分）121122 1212ξP012数学期望Eξ=0×+1×+2×=人-……………………（8分）（Ⅲ）2×2列联表为优秀不优秀合计甲班31720乙班101020合计132740……………（10分）K2=≈5.584＞5.024因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．……（12分）【解析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论．本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．同理，ED∥平面PAB，ED∩CD=D，平面CDE∥平面PAB，又CE⊂平面CDE，∴CE∥平面PAB．解：（2）∵PA⊥底面ABCD，∴∠CPA即为直线PC与平面ABCD所成的角，故∠PCA=45°，△R t PAC中，AC=PA=2，又底面ABCD是边长为2的菱形，∴AB=AC=BC=2，取BC中点F，连结AF，则AF⊥AD，以A为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（），C（），D（0，2，0），E （0，2，1），=（），=（0，2，1），∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，又底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴平面PAC的法向量取=（-设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，-cos＜＞===-，），），由题意得二面角P-AC-E的平面角是锐角，∴二面角P-AC-E的大小为60°．【解析】（1）可证平面CDE∥平面PAB，从而可证CE∥平面PAB．（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小．线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行．空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．20.【答案】解：（1）=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5，X=120+中X=125，众×10=126，（2）T=利润T的分布列为T P 480000.1，560000.2600000.7E（T）=48000×0.1+56000×0.2+60000×0.7=58000（元）．【解析】（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值．（2）先求出利润与X的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，属于基础题．21.【答案】解：（1）依题意：，解得，∴椭圆C的方程为；（2）设A（x，y），B（x，y），M（x，y），由△于ABM的重心为坐标原点O，∴联立，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，．112233，∴，∵M在椭圆上，∴，即，∵A，B在椭圆上，∴，，∴|AB|=，即，即，，，∵△ABM的重心为坐标原点O，∴M到直线l即d=，∴的距离等于O到直线l的距离的3倍，∵，∴．【解析】（1）列出关于a，b，c的方程组，求解可得椭圆的方程；（2）设A（x，y），B（x，y），M（x，y），联立直线方程和椭圆方程，消元后可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，利用韦达定理可用k表示M的坐标，再利用M在椭圆上得到，利用该式化△简ABM的面积表达式可得其值．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．22.∴【答案】解（1）h（x）=af（x）+g（x）=，，∵函数h（x）在[1，+∞）单调递增，∴对任意x∈[1，+∞）恒成立，∴ae x-1≥0，∴，因为在[1，+∞）单调递减，∴当x=1时，∴故所求实数a的取值范围为，．．（2）∵，∴，∴ln x-（m+1）x-n≤0即令F（x）=ln x-（m+1）x-n，则F（x）≤0恒成立，，112233若m+1≤0，则当x＞e n时F（x）＞0，与F（x）≤0恒成立矛盾，∴m+1＞0，由F'（x）=0得当当∴，时F'（x）＞0，F（x）单调递增；时F'（x）＜0，F（x）单调递减；，∴，∵n＞0，∴，∴（m+1）n的最小值φ（n）=ne-1-n．又φ'（x）=e-1-n-ne-1-n=（1-n）e-1-n，∴当n∈（0，1）时，φ'（n）＞0，φ（n）单调递增；当x∈（1，+∞）时，φ'（n）＜0，φ（n）单调递减，∴．【解析】（1）由题设有h'（x）≥0，∀x∈（1，+∞），参变分离后可得a的取值范围．（2）等价于ln x-（m+1）x-n≤0，令F（x）=ln x-（m+1）x-n，分m+1≤0和m+1＞0后可得m+1≥e-1-n，从而，其中m+1＞0，故，令φ（n）=ne-1-n，利用导数可求其最大值．即本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数求函数的最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（含解析）一、选择题.（共12题，每题5分，共60分.每题只有一个正确选项） 1.甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是13，下成和棋的概率是12，则乙获胜的概率是（ ） A.56B.23C. 13D.16【答案】D 【解析】 【分析】根据概率性质可知所有可能的概率和为1，即可得解.【详解】甲、乙两人比赛下中国象棋，结果有三种：甲胜，和局，乙胜. 由概率性质可知，三种情况的概率和为1， 所以乙获胜的概率为1111236--=， 故选：D.【点睛】本题考查了概率性质的简单应用，属于基础题.2.设随机变量X 服从两点分布，若()()100.2P X P X =-==，则成功概率()1P X ==（ ） A. 0.2 B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布概率性质可得解.【详解】随机变量X 服从两点分布，()()100.2P X P X =-==，根据两点分布概率性质可知：()()()()100.2101P X P X P X P X ⎧=-==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()10.6P X ==， 故选：C.【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.3.甲、乙两位同学将最近10次物理考试的成绩（满分100分）绘制成如图所示的茎叶图进行比较，下列说法正确的是（ ）①甲同学平均成绩低于乙同学 ②甲同学平均成绩高于乙同学 ③甲同学成绩更稳定 ④乙同学成绩更稳定 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】A 【解析】 【分析】根据茎叶图中数据分布特征，即可做出判断.【详解】由茎叶图可知，甲组数据整体值偏小，乙组的数据整体值偏大，因而甲同学平均成绩低于乙同学，所以①正确；而甲组数据分布更为集中，乙组数据分布较为分散，因而甲同学成绩更稳定，所以③正确； 综上可知，正确的为①③； 故选：A.【点睛】本题考查了茎叶图的性质及简单应用，数据分析处理能力，属于基础题.4.记5250125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12345a a a a a ++++=（ ）A. 64B. 63C. 32D. 31【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法即可得解.【详解】5250125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+， 令0x =，代入可得01a =，令1x =，代入可得5012345232a a a a a a +++++==，所以5123450231a a a a a a ++++=-=， 故选：D.【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和求法，赋值法的应用，属于基础题. 5.某校高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查，若每人被抽取的概率是0.04，则该校高二年级人数为（ ） A. 1050 B. 1200C. 1350D. 1500【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比，可得高二年级抽取的人数，即可由没人被抽到的概率得高二年级人数.【详解】高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查， 则高二年级抽取的人数为8150=487+8+10⨯ 人，设高二年级人数为x ， 则480.04x= ，解得1200x = ， 所以高二年级人数1200 人，故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样的简单应用，属于基础题.6.演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A. 140种 B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，选出3名同学分别为1男2女，2男1女两种情况，即可得解. 【详解】选出3名同学既有男生又有女生有2种情况： 1男2女，则1245544402C C ⨯=⨯=;2男1女，则214543530 2C C⨯=⨯=；所以共有403070+=种不同选法.故选：C.【点睛】本题考查了组合问题的简单应用，属于基础题.7.同时抛掷4枚质地均匀的硬币400次，记4枚硬币中恰好2枚正面向上的次数为X，则X 的数学期望是（）A. 25B. 100C. 150D. 200【答案】C【解析】【分析】根据独立重复试验，先求得4枚硬币中恰好2枚正面向上的概率，即可求得抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望.【详解】由独立重复试验可知，同时抛掷4枚质地均匀的硬币，4枚硬币中恰好2枚正面向上的概率为222411113622448 C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二项分布的期望求法可知抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望为3 4001508⨯=，故选：C.【点睛】本题考查了独立重复试验概率求法，二项分布数学期望的求法，属于基础题.8.某高校需安排5位应届毕业生到3家企业实习，每家企业至少有1位实习生，并且实习生甲和乙必须去同一家企业实习，则不同实习安排方式共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】根据题意将甲乙捆绑看作一个整体，再与剩余3人一起分成三组，即可由排列组合的应用求解.【详解】因为甲和乙必须去同一家企业实习，则将甲乙捆绑作为一个整体，则共有4组人需要安排到3家企业实习，将四组人分为3组，则为1,1,2，因为出现重复的一组，所以总的安排方法数为1134332243321362C C A A ⨯⨯⨯⨯== 种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，注意分组时出现重复的情况，属于中档题. 9.设(5nx 的展开式中各项系数之和为a ，二项式系数之和为b ，且3132a b -=，则展开式中有理项共有（ ） A. 2项 B. 3项C. 4项D. 5项【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求得各项系数之和a ，由二项定理展开式性质可得二项式系数之和b ，结合3132a b -=即可求得n 的值，进而由二项定理展开式的通项求得有理项个数.【详解】二项式为(5nx ，展开式中各项系数之和为a ，令1x =，代入可得4n a =， 二项式系数之和为b ，则2n b =， 因为3132a b -=， 所以431232nn-⨯=，即()22312320n n -⨯-=，所以()()232210n n-+=，解得5n =，所以(55x ，由二项定理展开式的通项为()(5155r r r r T C x -+= ()()1552515r r r r C x--=-⋅⋅， 当0,2,4r =时为有理项，所以共有3项有理项， 故选：B.【点睛】本题考查了二项定理展开式的系数与二项式系数的概念，二项展开通项式的应用，有理项的求法，属于中档题.10.6支钢笔中有4支为正品，2支为次品，现需要通过检测将其进行区分，每次随机抽出一支钢笔进行检测，检测后不放回，直到完全将正品和次品区分开，用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()4P X==（）A.415B.715C.2881D.1027【答案】A【解析】【分析】完全将正品和次品区分开且4x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，即可根据概率求解.【详解】为将正品和次品区分开且4x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，概率分别为：前四次检测均为正品：43211 654315⨯⨯⨯=；第一次检测为次品，第四次检测为次品，则24311 654315⨯⨯⨯=；第二次检测为次品，第四次检测为次品，则42311 654315⨯⨯⨯=；第三次检测为次品，第四次检测为次品，则43211 654315⨯⨯⨯=；所以用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()14441515P X==⨯=，故选：A.【点睛】本题考查了分类、分步计数原理的应用，概率的求法，属于基础题.11.已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在A学校抽到B学校的老师是男老师的情况下，从B学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率是（）A. 23B.47C.411D.311【答案】A 【解析】【分析】当在A 学校抽到B 学校的老师是男老师时，B 学校男老师和总老师的数量可知，进而可求得从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率【详解】设A 学校抽到B 学校的老师是男老师事件为M ，B 学校抽取到市里上公开课的是男老师事件为N ，A 学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，因而A 学校抽到B 学校的老师是男老师的概率为()93155P M ==； 从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率为()31410111P N +==+， 因而由条件概率公式可得()()()411P M N P N M P M ⋅==, 故选：C.【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.12.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）A. 87B. 95C. 100D. 103【答案】D 【解析】 【分析】将6根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）.2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有1248C ⨯= 个.3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有1248C ⨯=个；除0外的两个数字不同，则有24424C ⨯=个，所以共有82432+= 个.1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有113243243248C C A =⨯⨯⨯= 个.2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有1236C ⨯=个，共有268+= 个. 综上可知，可组成的三位数共有48323488103+++++= 个. 故选：D.【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类、分步计数原理的应用，注意分类时要做到“不重不漏”，属于难题.二、填空题.（共4题，每题5分，共20分） 13.已知()1D X =，21Y X =-，则()D Y =______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据随机变量方差性质及公式即可得解. 【详解】()1D X =，21Y X =-， 则()21D X -，所以()()22124D X D X -==，故答案为：4.【点睛】本题考查了随机变量方差性质及公式的简单应用，属于基础题. 14.()()5121x x ++的展开式中3x 的系数为______.【答案】30 【解析】 【分析】将多项式展开，结合二项定理展开式的通项即可求解. 【详解】()()()()555121121x x x x x ++=+++，则()51x +展开式中3x 的系数为2554102C ⨯==， ()521x x +展开式中3x 的系数即为()51x +展开式中2x 的系数乘以2，所以355422202C ⨯⨯=⨯=， 所以()()5121x x ++的展开式中3x 的系数为102030+=， 故答案为：30.【点睛】本题考查了多项式乘积系数的求法，二项定理展开式通项的应用，属于基础题. 15.有7人站成一排照相，要求A ，B 两人相邻，C ，D ，E 三人互不相邻，则不同的排法种数为______. 【答案】288 【解析】 【分析】将A 、B 捆绑作为一个整体排列，再与剩余2人全排列，C 、D 、E 三人插空排列即可. 【详解】将A 、B 捆绑作为一个整体排列为22A ， 将A 、B 整体与剩余2人全排列则33A ，再将C 、D 、E 三人插入4个空位排列，则34A ，所以总的排列方法有233234232432288A A A =⨯⨯⨯⨯⨯= 种，故答案为：288.【点睛】本题考查了排列中相邻、不相邻问题的解法，属于中档题.16.对于数列{}n x ，若123n x x x x ≤≤≤⋅⋅⋅≤，则称数列{}n x 为“广义递增数列”，若123n x x x x ≥≥≥≥，则称数列{}n x 为“广义递减数列”，否则称数列{}n x 为“摆动数列”.已知数列{}n a 共4项，且{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则数列{}n a 是摆动数列的概率为______. 【答案】95128【解析】 【分析】根据数列的元素，先根据数列中数字的组成求得所有的数列，再将符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分类求得，即可求得“摆动数列”的个数，进而求得数列{}n a 是摆动数列的概率.【详解】根据题意可知，{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则四位数字组成的数列有以下四类： （1）由单个数字组成：共有4个数列；（2）由2个数字组成：则共有246C =种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列（如1222,2111等），则有1248C ⨯=个数列；分别由2个相同数字组成的4个数的数列（如1122等）共有6个数列，因而此种情况共有()248684C +=种；（3）由3个数字组成：共有344C =种数字搭配（如1123等），相同数字有3种可能，则共有4312144⨯⨯=个数列；（4）由4个数字组成：共有44432124A =⨯⨯⨯=个数列. 因而组成数列的个数为48414424256+++=个数列.其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为：（1）由单个数字组成：4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有4个数列；（2）由2个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为()2422236C ⨯++= 个；（3）由3个数字组成：1143224C C ⨯=个；（4）由4个数字组成：则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”， 综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为66个. 所以“摆动数列”的个数为25666190-=个，因而数列{}n a 是摆动数列的概率为19095256128=， 故答案为：95128. 【点睛】本题考查了数列新定义的综合应用，数字排列的综合应用，概率的求法，分类过程较为繁琐，属于难题.三、解答题.（共6小题，共70分，请在答题卡上写出必要的解答过程）17.小蔡参加高二1班“美淘街”举办的幸运抽奖活动，活动规则如下：盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，小蔡需从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序分别作为一个三位数的百位、十位与个位. （1）一共能组成多少个不同的三位数？（2）若组成的三位数是大于500的偶数，则可以获奖，求小蔡获奖的概率. 【答案】（1）120（2）16【解析】 【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数.（2）分别求得百位为5和百位为6的偶数个数，结合（1）即可求得可以获奖的概率. 【详解】（1）因为抽取的三位数各不同，因而组成三位数的总数为36654120A .（2）若百位为5，则个位可以为2、4、6中一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有113412C C ⨯=个；若百位为6，则个位可以为2、4中的一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有11248C C ⨯=个，∴大于500的偶数的概率为12811206P +==. 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，数字排列的特征及应用，属于基础题.18.某校高二年级共有1000 名学生，为了了解学生返校上课前口罩准备的情况，学校统计了所有学生口罩准备的数量，并绘制了如下频率分布直方图.（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法，从口罩准备数量在[)10,20和[]50,60的学生中选10人参加视频会议，则两组各选多少人？（3）在（2）的条件下，从参加视频会议的10人中随机抽取3人，参与学校组织的复学演练.记X 为这3人中口罩准备数量在[)10,20的学生人数，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.02x =（2）6人，4人（3）95【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质可知小矩形面积和为1，可求得x 的值； （2）根据分层抽样的特征，可分别求得两组各抽取的人数.（3）由题意可知，0,1,2,3X =；分别求得各自对应的概率，即可得频率分布列及数学期望. 【详解】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，可得(0.0150.0350.012)101x +++⨯=，解得0.02x =.（2）口罩准备数量在[)10,20的人数为0.0151060.0150.01⨯=+人，在[]50,60的人数为0.011040.0150.01⨯=+人.（3）由题0,1,2,3X =.343104(0)120C P X C ===，126431036(1)120C C P X C ===，216431060(2)120C C P X C ===，3631020(3)120C P X C ===，故分布列为：期望3660202169()1231201201201205E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及简单应用，分层抽样特征，离散型随机变量分布列及数学期望的求法，属于基础题.19.已知从境外回国的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通过核酸检测是否呈阳性来确定是否被感染.下面是两种检测方案： 方案一：逐个检测，直到能确定被感染者为止.方案二：将8位同胞平均分为2组，将每组成员的核酸混合在一起后随机抽取一组进行检测，若检测呈阳性，则表明被感染者在这4位当中，然后逐个检测，直到确定被感染者为止；若检测呈阴性，则在另外一组中逐个进行检测，直到确定被感染者为止. （1）根据方案一，求检测次数不多于两次的概率；（2）若每次核酸检测费用都是100元，设方案二所需检测费用为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）14（2）见解析，325 【解析】 【分析】（1）检测次数不多于两次即检测次数为1次或2次，即可求得其对应的概率，进而得检测次数不多于两次的概率；（2）根据题意可知X 可以取200,300,400，分别求得各情况下的概率，即可求得其分布列及数学期望.【详解】（1）P （一次）18=， P （两次）711878=⨯=， ∴P （不多于两次）111884=+=.（2）由题意可知，X 可以取200,300,400，则11111(200)24244P X ==⨯+⨯=， 1311311(300)2432434P X ==⨯⨯+⨯⨯=，1(400)1(200)(300)2P X P X P X ==-=-==， 故分布列为：X 200 300 400P14 1412均值111()200300400325442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了离散型随机变量概率、分布列及数学期望的求法，属于基础题. 20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，PA PD ⊥，PA PD =，2AD =，AC CD =.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）若直线PA 与平面PDC 265CD 长. 【答案】（1）见解析（2）13CD =【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可得PD AB ⊥，再根据题中PD PA ⊥，即可由线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面PAB ；（2）先证明ACD 为等腰三角形，然后以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC m =，写出各个点的坐标，并求得平面PDC 的法向量，再根据直线PA 与平面PDC 所成的线面角的正弦值求得m 的值，即可求得CD 长. 【详解】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PD ⊆平面PAD ， ∴PD AB ⊥，∵PD PA ⊥，,PA AB ⊆平面PAB ，PA AB A =，∴PD ⊥平面PAB .（2）∵PA PD ⊥，PA AD =， ∴PAD △为等腰直角三角形， ∵AC CD =，∴ACD 为等腰三角形.以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：设OC m =，则()0,1,0A ，()0,0,1P ，(),0,0C m ，()0,1,0D -，∴()0,1,1PA =-.设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，∵(),1,0DC m =，()0,1,1DP =，∴0mx y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则y m =-，z m =，∴()1,,n m m =-.∴22sin cos ,65221PA n m θ===⨯+，解得23m =. ∴2213CD OC OD =+=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法依据线面夹角求参数值，属于中档题. 21.如图，在矩形ABCD 中，23AB =，12BC =，以A ，B 为焦点的椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>恰好过C ，D 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知O 为原点，直线l ：()0y kx m m =+≠与y 轴交于点P ，与椭圆Γ相交于E 、F 两点，且E 、F 在y 轴异侧，若4OEF POE S S =△△，求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）112m -<<-或112m <<.【解析】 【分析】（1）根据矩形的边长，结合椭圆的性质即可求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆方程，化简方程并由韦达定理可得12x x +，12x x ，由直线与圆相交可得>0∆，并由题意可设()11,E x y ，()22,F x y 及120x x <<，再由212244014m x x k -=<+求得m 的范围；由4OEF POE S S =△△，分别求得面积后代入，结合韦达定理即可求得2114m <<，综合即可得m 的取值范围.【详解】（1）∵AB =12BC =，∴2c =212b a =，222a bc =+，解得2a =，1b =，∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）联立直线与椭圆方程，2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 化简可得()222148440k x kmx m +++-=，∵直线与椭圆相交，∴()()222264414440k m k m∆=-+->，化简变形可得22410k m -+>①，∵设()11,E x y ，()22,F x y ，不妨设120x x <<，122814km x x k -+=+②，21224414m x x k -=+③.由212244014m x x k-=<+，得21m <， ∵1212OEF S OP x x =-△，112OPE S OP x =△，且4OEF POE S S =△△， 则1214x x x -=，去掉绝对值，则213x x =-④ 联立②④，得12414km x k =+，221214kmx k -=+， 代入③得222212444141414km km m k k k --⋅=+++，化简可得2221164m k m -=-， 代入①式有22211041m m m --+>-，化简可得2114m <<， 所以m 的范围为112m -<<-或112m <<. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆中三角形面积的应用，根据直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，计算量较大，属于中档题.22.已知()()321ln 12f x x x ax a x =-+-，()2312g x x x =-+. （1）当1a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a <时，若对任意的[]11,2x ∈，都存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12120x x f x g x +=成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12y x =-（2）[)2,0a ∈- 【解析】 【分析】（1）将1a =代入，可得函数解析式，再代入1x =可得切点坐标；求得导函数，并由导数的几何意义求得切线斜率，进而得切线方程.（2）将所给方程变形可得()()1212f x x x g x =-；可得()g x x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的单调性，进而求得值域，即可求得()x g x -的值域；构造函数2()1()ln (1)2f x h x x ax a x x ==-+-，求得()h x '，由定义域及0a <分类讨论()h x 的单调情况，并求得最值即可求得符合题意的a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，31()ln 2f x x x x =-， 1(1)2f =-；所以切点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，而23()ln 12f x x x '=+-， 所以31(1)122f '=-=-；∴切线方程为11(1)22y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭. 化简可得12y x =-. （2）()()12120x x f x g x +=，所以()()1212f x xx g x =-，对于()312g x x x x =-+，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，()1,2x ∈上单调递增， ∴1x =时，()12g x x =，12x =或2时，()1g x x=， ∴当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()[]2,1x g x -∈--. 令2()1()ln (1)2f x h x x ax a x x ==-+-， 对任意的[]11,2x ∈，都存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()1212f x x x g x =-成立， 所以()h x 的值域是[2,1]--的子集，21(1)1()1ax a x h x ax a x x ---'=-+-=-1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， ①(],1a ∈-∞-时，()h x 在()1,2x ∈上单调递增， ∴(1)122ah =-≥-，(2)ln 221h =-≤-，解得[]2,1a ∈--. ②11,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()h x 在11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增， ∵(1)112ah =-≤-，(2)ln 221h =-≤-恒成立， 下面证明11ln()122h a a a ⎛⎫-=--+-≥- ⎪⎝⎭恒成立. 令1()ln()12p a a a=--+-，211()02p a a a '=-->，解得12a <-.∴()p a 在11,2a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭上单调递增， min 3()(1)22p a p =-=->-恒成立， ∴11,2a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭.③1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()h x 在()1,2x ∈单调递减， ∴(1)112ah =-≤-，(2)ln 222h =-≥-， 解得1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 综上所述[)2,0a ∈-.【点睛】本题考查了导数几何意义的简单应用，根据导函数判断函数的单调性与值域，构造函数法分析函数的单调性与值域，分类讨论思想的综合应用，是高考的常考点和重点，属于难题.。

2020年重庆蜀都中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)=log 2 (x 2 -ax+3a)在［2,+∞］上是增函数,则实数a的取值范围是( )a.(-∞,4)b.(-4,4)c.(-∞,-4)∪［2,+∞］d.［-4,4)参考答案：B解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令u(x)=x 2 -ax+3a,其对称轴x= .由题意有解得-4＜a≤4.2. 5人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是（）A．24 B． 36 C．48 D． 60参考答案：B略3. 已知点在椭圆上，则的最大值是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略4. 已知函数在时取得极值, 则 ( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：D略5. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则角B=A. B. C. D.参考答案：B【分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.6. 有一段演绎推理是这样的：“直线评语平面，则平行与平面内所有直线”，已知直线平面，直线，直线，则直线的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．分以上错误参考答案：A7. 若，，且和的等差中项是1，则的最小值为( )A. B. C. D.1参考答案：B8. 设，均为正项等比数列，将它们的前项之积分别记为，，若，则的值为（）A．32 B．64 C．256D．512参考答案：C略9. 已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列三个结论：的单调递减区间是；函数在处取得极小值；. 正确的结论是参考答案：A10.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列算法：第一步：输入；第二步：如果，则；如果，则；如果，则；第三步：输出函数值.若输出的为，则输入的的值为________．参考答案：12. 过抛物线y=f（x）上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则f′（1）= ．参考答案：1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；63：导数的运算．【分析】确定点A即为切点，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系，从而来求出f′（1）．【解答】解：∵点A（1，0）满足抛物线，∴点A即为切点．∵切线的倾斜角为45°，∴y′=f′（1）=tan45°=1．故答案为1．【点评】本题考查函数的导数的几何意义，同时考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．13. 函数的零点所在的区间是，则正整数的值为 . 参考答案：414. △ABC中，已知a=，c=3，B=45°，则b= ．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用由余弦定理求得b= 的值．【解答】解：△ABC 中，∵已知a=，c=3，B=45°，∴由余弦定理可得b===，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．15.．参考答案：316. 下面四个不等式：（1）a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；（2）a (1－a )≤；（3）＋≥2；（4）(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2；其中恒成立的序号有__________.参考答案：(1),(2),(4) 略17. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为45秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为50秒，当你到达路口时，看见红灯的概率是___________________. 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。