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重庆市巴蜀中学校高2025届高二（下）期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题1.已知集合{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5A B C ===，则()A B C ⋃⋂=（ ） A.{}3 B.{}1,2,3,4 C.{}1,2,3,5 D.{}1,2,3,4,52.已知函数()1y f x =-的定义域为()1,5，则函数()2y f x=的定义域为（ ）A.()2,0-B.()0,2C.()2,2-D.()()2,00,2-⋃3.已知函数()y f x =在区间D 上连续可导，则“()0f x …在区间D 上恒成立”是“()f x 在区间D 上单调递增”的（ ）条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为175cm ，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为165cm ，则这个班级的平均身高估计为（ ）cm .A.168.75B.169C.171D.171.255.甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单班回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ） A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.66.已知12F F ､分别是椭圆22:16x C y y =+=的左､右焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点，动点M 满足22(1)F M F P λλ=>，且1PM PF =，则动点M 的轨迹方程为（ ）A.22(6x y +=B.22(6x y +=C.22(24x y +=D.22(24x y +=7.设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.b a c <<D.a b c <<8.某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A.6 B.7 C.8 D.9二､多选题9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；A.根据小概率值0.025=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025B.根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01C.该药物的预防有效率超过97.5%D.若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.00510.已知三次函数()35(0)f x x bx b =++<有极小值点2x =，则下列说法中正确的有（ ）A.3b =-B.函数()f x 有三个零点C.函数()f x 的对称中心为()1,3D.过()1,1-可以作两条直线与()y f x =的图象相切11.已知实数,x y ，满足2227x y xy ++=，则下列说法正确的是（ ）A.x y +…B.1xy …C.226x y +-…D.2228x y +-…三､填空题12.函数()3f x x =__________. 13.设函数()2,0,0x x f x x x -<⎧=⎨⎩…，则不等式()()22f x f x ++>的解集为__________. 14.小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字12345､､､､，假设每次转动转盘后箭头指向数字12345､､､､的概率相等，游戏()1,2,3n n =要转动转盘n 次，如果这n 次箭头指向的数字不大于42n -，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________.四､解答题15.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)*1Δ(n n n a a a n +=-∈N，已知数列{}Δn a 为常数列，且245,24a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 16.随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：（1）若该地区新能源汽车车主的年龄X （单位：岁）近似服从正态分布()45,64N ，其中年龄(61,69]X ∈的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数） （2）已知变量x 与y 之间的相关系数r =，请求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 参考公式与数据：①若随机变量()2,X Nμσ~，则()()0.6827;220.9545P XP X μσμσμσμσ-+=-+=剟剟；()330.9973P x μσμσ-+=剟；②()()()()()121ˆnniiiii nii x x y y x x y y r bx x ==----==-∑∑∑；③()621210,30i i y y y =-==∑.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线22133y x -=在第一象限内的交点M （1）求拋物线C 的标准方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A B ､两点，且直线MA MB ､的倾斜角互补，求直线l 的斜率.18.甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为23，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第n 场比赛的概率为()n P n N +∈. （1）求12,P P ； （2）求()n P n +∈N ；（3）记前n 场比赛（即从第1场比赛到第n 场比赛）中甲参加的比赛的场数为X ，求()E X . 参考资料：若12,,,n X X X 为n 个随机变量，则()1111n ni i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.19.请阅读下列2段材料：材料1：若函数()y f x =的导数()f x '仍是可导函数，则()f x '的导数()f x ''⎡⎤⎣⎦成为()f x 的二阶导数，记为()f x ''；若()f x ''仍是可导函数，则()f x ''的导数()f x '⎡'⎤⎣⎦'成为()f x 的三阶导数，记为()f x '''；以此类推，我们可以定义n 阶倒数：设函数()y f x =的1n -阶导数()()()12,n f x n n N -+∈…仍是可导函数，则()()1n fx -的导数()()1n f x -'⎡⎤⎣⎦称为()f x 的n 阶导数，记为()()n f x ，即()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m 阶多项式，分母是n 阶多项式，那么帕德逼近就是mn阶的帕德逼近.一般地，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德逼近函数定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++且满足()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++===''=''''（其中e 2.71878=为自然对数的底数）.请根据以上材料回答下列问题：（1）求函数()()ln 1g x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()0R x ；（2）求函数()ln f x x =在1x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()1R x ，并比较()f x 与()1R x 的大小； （3）求证：当()0,x ∞+时，23xx >恒成立.。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二（下）期末数学复习试卷（1）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 集合A ={x||x −1|≤1}，B ={x|−2x +a <0}，若A ∪B =B ，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0 )B. (−∞,0]C. (2,+∞)D. [2,+∞)2. 复数1+3i1−i (i 是虚数单位)的模等于( )A. 2√5B. 2√2C. √5D. √23. 由数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x 10,y 10)可得y 关于x 的线性回归方程为y ̂=x +3.5，若∑x i 10i=1=15，则∑y i 10i=1=( )A. 18.5B. 50C. 60D. 1004. 已知x ∈R ，“|x +1|>3”是“x 2>4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 现有A ，B ，C ，D ，E 五人，随意并排站成一排，那么A ，B 相邻且B 在A 左边的概率为( )A. 110B. 15C. 25D. 456. 若不等式x 2−ax ≥16−3x −4a 对任意a ∈[−2,4]成立，则x 的取值范围为( )A. (−∞,−8]∪[3,+∞)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. [−8,6]D. (0,3]7. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则aa+1+4bb+1的最大值是( )A. 92B. 114C. 1D. 738. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(x,y)为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则|PA||PF|的最大值是( )A. 2B. √2C. 2√33 D. √32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0解集为{x|−2<x <3}，则( )A. a>0B. 不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}C. a+b+c>0D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<12}10.已知正数a、b满足ab=1，那么下列不等式中，恒成立的有()A. a+b≥2B. a+b+1a+b ≥52√a√b ≥2√2 D. 1a+1b≤1211.下列说法正确的有()A. X～B(n,13)，且D(X)=2，则n=6B. 设有一个回归方程ŷ=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 在某项测量中，测盘结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，则P(ξ≤1)=0.512.为响应政府部门疫情防控号召.某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是()A. 若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B. 共有64种不同的安排方法C. 若甲乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D. 若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车(救护车相同)，且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某企业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80,σ2)，且P(X<60)=0.2，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为______ ．14.(2x+1)(2x−1)5的展开式中的常数项为______．15.设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC=4√3，三棱锥A−PBC的外接球表面积为64π，则该圆锥的体积为______ ．16.若xlnx(ax2−x−a+1)≤0在x∈[12,2]上恒成立，则实数a的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知圆C：(x+1)2+(y−2)2=9，直线l：kx−y−k+3=0．(1)直线l一定经过哪一点；(2)若直线l平分圆C，求k的值；(3)若直线l与圆C相交于A，B，求弦长AB的最小值及此时直线的方程．18.已知三对三篮球对抗赛，采用五局三胜制(一方累计赢得三场比赛，这方获胜，并且比赛结束)进行比赛．现有甲，乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为P，无平局．每场比赛互不影响．(1)若p=1，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率；3(2)若甲队以3：1取胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值点P．19.如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=√3，平面EDCF⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：DF//平面ABE；(Ⅱ)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．20. 某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x 与相应的管理时间y 的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： x(单位：亩) 1 2 3 4 5 y(单位：月) 811142423愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60女性村民40(1)做出散点图，判断土地使用面积x 与管理时间y 是否线性相关；并根据相关系数r 说明相关关系的强弱．(若|r|≥0.75，认为两个变量有很强的线性相关性，r 值精确到0.001)．(2)若以该村的村民的性别与参与管理意风的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．r =∑(n i=1x i −x −)∑(n i=1x i −x −)2∑(2i=1y i−y −)2，y −=16，∑(5i=1y i −y −)2=206，√515≈22.7．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其上顶点与左、右焦点F1、F2围成的是面积为√3的正三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F2的直线l(l的斜率存在)交椭圆C于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，问：|MN||PF2|是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．22.已知函数f(x)=x+alnx，g(x)=e−x−lnx−2x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x0)=0，求x0+lnx0的值；(3)证明：x−xlnx≤e−x+x2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A ={x|0≤x ≤2}，集合B ={x|x > a2}. 因为A ∪B =B ，所以A ⊆B ，所以a2<0,a <0； 故选：A ．先求出集合A 、B ，再由条件A ∪B =B 得到A 与B 的包含关系，利用数轴分析即可． 本题考查不等式的解法和集合的包含关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数1+3i1−i (i 是虚数单位)的模等于|1+3i||1−i|=√1+32√1+(−1)2=√10√2=√5．故选：C ．利用复数模的运算性质进行求解即可．本题考查了复数模的求解，主要考查了复数模的性质的理解和应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为∑x i 10i=1=15，则x −=1510=1.5， 因为线性回归方程必过样本中心(x −,y −)，且y ̂=x +3.5， 则有y −=x −+3.5=1.5+3.5=5， 所以∑y i 10i=1=5×10=50． 故选：B ．求出x −，再利用线性回归方程必过样本中心(x −,y −)，代入回归方程求解即可得到y −，从而求出∑y i 10i=1．本题考查了线性回归方程的理解和应用，解题的关键是掌握线性回归方程必过样本中心(x −,y −)，考查了运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵|x +1|>3，∴x +1>3或x +1<−3，∴x >2或x <−4， ∵x 2>4，∴x >2或x <−2，∵{x|x >2或x <−4}⊊{x|x >2或x <−2}， ∴|x +1|>3是x 2>4的充分不必要条件． 故选：A ．先解出两个不等式，再利用集合的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：现有A ，B ，C ，D ，E 五人，随意并排站成一排， 基本事件总数n =A 55=120，A ，B 相邻且B 在A 左边包含的基本事件个数m =A 44=24， ∴A ，B 相邻且B 在A 左边的概率为P =m n=24120=15．故选：B ．基本事件总数n =A 55=120，A ，B 相邻且B 在A 左边包含的基本事件个数m =A 44=24，由此能求出A ，B 相邻且B 在A 左边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵不等式x 2−ax ≥16−3x −4a 对任意a ∈[−2,4]成立， ∴(x −4)a −x 2−3x +16≤0，∴[(x −4)a −x 2−3x +16]max ≤0， 把左边看成关于a 的一元一次函数，只需满足：{(x −4)⋅(−2)−x 2−3x +16≤0(x −4)⋅4−x 2−3x +16≤0，即{−x 2−5x +24≤0−x 2+x ≤0，解得x ≥3或x ≤−8． 故选：A ．将关于x 的函数看成关于a 的函数，直接把a =−2和a =4代入不等式即可． 本题考查了函数恒成立的问题，其中涉及到主元互换的思路技巧，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：aa+1+4bb+1=1−1a+1+4−4b+1=5−(1a+1+4b+1)， ∵a +b =2，∴a +1+b +1=4，1a+1+4b+1=14(1a+1+4b+1)(a +1+b +1)=14(1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1)，b+1a+1+4(a+1)b+1≥2√4=4(当且仅当b+1a+1=4(a+1)b+1，即a =13，b =53时，等号成立)，故14(1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1)≥14×9，即1a+1+4b+1≥94，故aa+1+4bb+1=5−(1a+1+4b+1)≤114，故选：B ．化简a a+1+4b b+1=5−(1a+1+4b+1)，从而转化为利用基本不等式求1a+1+4b+1的最值即可． 本题考查了基本不等式的应用，同时考查了整体思想与转化思想方法的应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设直线PA 的倾斜角为α，设PP′垂直于准线于P′，由抛物线的性质可得|PP′|=|PF|， 所以则|PA||PF|=|PA||PP′|=1cosθ， 当cosθ最小时，则|PA||PF|值最大，所以当直线PA 与抛物线相切时，θ最大，即cosθ最小，由题意可得A(−1,0)，设切线PA 的方程为：x =my −1， {x =my −1y 2=4x，整理可得y 2−4my +4=0， △=16m 2−16=0，可得m =±1，将m =±1代入y 2−4my +4=0，可得y =±2，所以x =1， 即P 的横坐标为1，即P 的坐标(1,±2)，所以|PA|=√22+22=2√2，|PP′|=1−(−1)=2，所以|PA||PF|的最大值为：2√22=√2，故选：B ．由抛物线的性质可得|PF|等于P 到准线的距离|PP′|，进而可得|PA||PF|的最大值是直线PA 的倾斜角最大时，即直线PA 与抛物线相切，设过点A 的相切方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线的参数的值，代入整理的方程求出P 的坐标，进而求出|PA||PF|的最大值．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线相切的性质，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：由已知可得−2，3是方程ax 2+bx +c =0的两根，则由韦达定理可得：{−2+3=−ba−2×3=c a ，且a <0，解得c =−6a ，b =−a ，所以A 错误，选项B ：ax +c >0化简为x −6<0，解得x <6，B 正确， 选项C ：a +b +c =a −a −6a =−6a >0，C 正确，选项D ：cx 2−bx +a <0化简为：6x 2−x −1<0，解得−13<x <12，D 正确， 故选：BCD ．由已知可得−2，3是方程ax 2+bx +c =0的两根，则由韦达定理可得：{−2+3=−ba −2×3=c a，且a <0，解得c =−6a ，b =−a ，然后对应各个选项逐个判断即可．本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：∵a +b ≥2√ab =2(当且仅当a =b =1时，等号成立)，∴A 正确， ∵a +b ≥2，且函数y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，∴a +b +1a+b ≥2+12=52，B 正确，当a =b =1时，√a √b =2<2√2，故C 错误， 当a =b =1时，1a +1b =2>12，故D 错误， 故选：AB ．对于选项A ，利用基本不等式可得，对于选项B ，结合函数y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增求得，对于选项C 、D ，令a =b =1可判断．本题考查了基本不等式的应用及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A ：X ～B(n,13)，D(X)=13×23n =2，则n =9.故错误． 对于选项B ：若有一个回归方程y =3−5x ，变量x 增加1个单位时，故y =3−5(x +1)=3−5x −5.故y 平均减少5个单位，正确．对于选项C ：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关系数|r|越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，错误．对于选项D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，由于正态曲线关于x =1对称，则P(ξ≤1)=0.5，正确． 故选：BD ．直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结果． 本题考查了回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有C 32(24−2)=42种选取方法，A 正确；对于B ，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A ，B ，C 三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有3×3×3×3=81种安排方法，B 错误； 对于C ，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去A 地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A 22=2种情况，此时有2×2=4种安排方法；若甲乙不在同一组，有C 42−1=5种分组方法，若甲乙两人不能去A 地，只能安排没有甲乙的1组去A 地，甲乙所在的两组安排到B 、C 两地，有A 22=2种情况，此时有5×2=10种安排方法；则一共有4+10=14种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，有C192=171种安排方法；故选：AD．根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】300【解析】解：因为X服从正态分布N(80,σ2)，故正态曲线的对称轴为X=80，所以P(X<60)=P(X>100)=0.2，所以P(60≤X≤100)=1−P(X<60)−P(X>100)=1−0.4=0.6，则综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为0.6×500=300个．故答案为：300．利用正态分布的对称性以及正态曲线的性质求出P(60≤X≤100)，然后利用样本容量为500，求解即可．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．14.【答案】19【解析】解：(2x +1)(2x−1)5的展开式中的常数项为2x×(C54×2x)+C55×(−1)5=19，故答案为：19．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．15.【答案】24π或8π【解析】解：圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC=4√3，三棱锥A −PBC 的外接球表面积为64π，所以圆锥的外接球与三棱锥的外接球相同，外接球的内角为R ，4πR 2=64π， 解得R =4，即OA =OB =OC =4，BC =4√3，所以OO′=√42−(2√3)2=2， 所以圆锥的高为：4+2=6，或4−2=2O(在三角形ABC 外)，所以该圆锥的体积为：13π×(2√3)2×6=24π，或13π×(2√3)2×2=8π． 故答案为：24π或8π．画出圆锥的直观图，判断三棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，求解外接球的半径，然后求解圆锥的高，即可得到圆锥的体积．本题考查几何体的外接球的表面积与圆锥的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】(−∞,13]【解析】解：当x =1时，lnx =0，对任意的实数a ，不等式恒成立， 当x ∈[12,1)时，lnx <0，当x ∈(1,2]时，lnx >0． 令f(x)=ax 2−x −a +1，则f(1)=0， 当x ∈[12,1)时，f(x)⩾0， 当x ∈(1,2]时，f(x)⩽0，所以{f(12)⩾0,f(2)⩽0,，解得a ⩽13．综上，实数a 的取值范围为(−∞,13]． 故答案为：(−∞,13]．先分析ln x 的正负，进而得到ax 2−x −a +1的正负，再结合二次函数性质建立不等式求解．本题考查不等式恒成立问题的处理方法，考查二次函数的性质，考查数学抽象的核心素养，属于中档题．17.【答案】解：(1)l ：kx −y −k +3=0，即k(x −1)−y +3=0，联立{x −1=0−y +3=0，得{x =1y =3．∴直线l 经过定点P(1,3)；(2)圆C ：(x +1)2+(y −2)2=9的圆心C(−1,2)， ∵直线l 平分圆C ，∴−k −2−k +3=0，即k =12； (3)直线l 与圆C 相交于A ，B ，直线l 过圆内定点P(1,3)， 要使弦长AB 最小，则直线l 与PC 垂直， ∵|PC|=√(−1−1)2+(2−3)2=√5， ∴弦长|AB|的最小值为2√9−5=4； ∵k PC =3−21−(−1)=12，∴k l =−2，则此时直线l 的方程为−2x −y +2+3=0，即2x +y −5=0．【解析】(1)直接由直线系方程求得直线所过定点P 的坐标； (2)把圆心坐标代入直线方程即可求得k 值；(3)当直线l 与PC 所在直线垂直时，弦长最短，求得|PC|，再由垂径定理求解弦长的最小值，求出PC 所在直线的斜率，可得直线l 的斜率，则直线l 的方程可求．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)乙方在比赛四场后赢得比赛，则乙方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴乙方在比赛四场后赢得比赛的概率P =c 32(23)2×13×23=827． (2)甲队以3：1取胜，则前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴f(p)=c 32p 2(1−p)p =3p 3−3p 4，则f′(p)=9p 2−12p 3=3p 2(3−4p)，当p ∈(0,34)，f′(p)>0，f(p)单调递增， 当p ∈(34,1)，f′(p)<0，f(p)单调递减， ∴f(p)的最大值点P =34．【解析】(1)乙方在比赛四场后赢得比赛，则乙方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，由此能求出乙方在比赛四场后赢得比赛的概率．(2)甲队以3：1取胜，则前三场中有两场获胜，且第四场获胜，求出f(p)=3p 3−3p 4，再利用导数求最值即可．本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，利用导数求最值，是中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC 中点G ，连接DG ， 因为BG =12BC =1=AD ，又因为AD//BC ， 所以四边形ABGD 为平行四边形，所以DG//AB ，又因为AB ⊥AD ，所以DA ⊥DG ， 因为四边形EDCF 为矩形，所以ED ⊥CD ， 又因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD =CD ，所以ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥DA ，ED ⊥DG ， 于是DA 、DG 、DE 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，√3)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，√3)， 设平面ABE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2y =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−x +√3z =0，令z =1，m ⃗⃗⃗ =(√3,0，1)，因为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√3+√3=0，又因为DF ⊄平面ABE ， 所以DF//平面ABE ．(Ⅱ)解：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，√3)， 设平面BEF 的法向量为n ⃗ =(u,v ，w)， {BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−u −2v +√3w =0BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2u +√3w =0，令v =√3，n ⃗ =(2√3,√3,4)，所以平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=102⋅√31=5√3131．【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，先证明直线向量与平面法向量数量积为零，进而证明直线与平面平行；(Ⅱ)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)散点图如图所示：由散点图可知，管理时间y 与土地使用面积x 线性相关， 由题意，x −=1+2+3+4+55=3，y −=16，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=−2×8+(−1)×(−5)+0×(−2)+1×8+2×7=43，∑(5i=1x i −x −)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10， ∑(5i=1y i −y −)2=206，所以r =43√10×206=432√515≈0.947>0.75，所以管理时间y 与土地使用面积x 线性相关性较强；(2)由题意可知，调查的300名村民中有不愿意参与管理的女性村民人数为300−(140+40+60)=60人，该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率为P =60300=15， 则X 的可能取值为0，1，2，3，则P(X =0)=C 30⋅(45)3=64125， P(X =1)=C 31⋅15⋅(45)2=48125，P(X =2)=C 32⋅(15)2⋅(45)1=12125， P(X =3)=C 33⋅(15)3⋅(45)0=1125，所以X 的分布列为： X 0 123 P6412548125121251125则E(X)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．【解析】(1)作出散点图，由散点图判断是否线性相关，然后由公式求解r 的值，即可判断线性相关性的强弱；(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了线性相关性的判断，相关系数的求解与应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为△PF 1F 2为正三角形所以S △PF 1F 2=√34(2c)2=√3，解得c =1， 由对称性可得∠OBF 2=30°，|BF 2|=√c 2+b 2=a ，所以sin∠OBF 2=sin30°=|OF 2||BF 2|，即c a =12，所以a =2，所以b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{x =my +1x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，所以{△>0y 1+y 2=−6m3m 2+4y 1y 2=−93m 2+4，且x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=83m 2+4， 所以弦MN 的中点Q 的坐标为(43m 2+4,−3m3m 2+4)，则弦MN 的垂直平分线方程为y =−m(x −43m 2+4)−3m3m 2+4， 令y =0，得x P =13m 2+4， 所以|PF|=1−13m 2+4=3(m 2+1)3m 2+4，所以|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+m 2√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4，所以|MN||PF|=123=4，当直线l 的斜率为0时，|MN|=4，|PF|=1， 所以|MN||PF|=4，综上所述，|MN||PF|是定值且为4．【解析】(1)由△PF 1F 2为正三角形，面积为√3，得c =1，ca =12，b 2=a 2−c 2，解得a ，b ，进而可得答案．(2)分两种情况：当直线l 的斜率不为0时，当直线l 的斜率为0时，分析|MN||PF|，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1+ax =x+ax，当a≥0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a<0时，f(x)在(0,−a)单调递减，在(−a,+∞)单调递增，综上：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a<0时，f(x)在(0,−a)单调递减，在(−a,+∞)单调递增；(2)若g(x0)=0，则e−x0=2x0+lnx0，∴e−x0−x0=x0+lnx0，∴e−x0+lne−x0=x0+lnx0，由(1)a=1时，f(x)=x+lnx，则f(x)在(0,+∞)单调递增，故f(e−x0)=f(x0)，即e−x0=x0，e−x0−x0=x0+lnx0=0，故x0+lnx0=0；(3)要证x−xlnx≤e−x+x2，即证e−x+x2−x+xlnx≥0，设ℎ(x)=e−x+x2−x+xlnx，(x>0)，ℎ′(x)=−e−x+2x+lnx，令g(x)=ℎ′(x)，则g′(x)=e−x+2+1x>0，故函数ℎ′(x)单调递增，又ℎ′(1e)<0，ℎ′(1)>0，故ℎ′(x)在(1e,1)上存在唯一零点x0，即−e−x0+2x0+lnx0=0，故当x∈(0,x0)，ℎ′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在x∈(0,x0)上单调递减，在x∈(x0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)≥ℎ(x0)=e−x0+x02−x0+x0lnx0，由−e−x0+2x0+lnx0=0，得ℎ(x0)=(x0+1)(x0+lnx0)=0，故ℎ(x)≥0，即f(x)≤e−x+x2，即x−xlnx≤e−x+x2．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(e−x0)=f(x0)，即e−x0=x0，从而求出x0+lnx0的值即可；(3)问题转化为证e−x+x2−x+xlnx≥0，设ℎ(x)=e−x+x2−x+xlnx，(x>0)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学下学期半期考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题，的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.2.抛物线上的点到其焦点的距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】利用焦半径公式可得长度.【详解】，故选C.【点睛】如果抛物线的方程为，则抛物线上的点到焦点的距离为.3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.5.某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则6.展开式中项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考虑的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数.【详解】的通项公式为，故的二项展开式中的常数项为，一次项系数为，二次项的系数为，展开式中的系数为，故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7.我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（）A. 8B. 12C. 18D. 19【答案】B【解析】【分析】就甲选择物理或历史分类计数即可.【详解】如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数；如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数，综上，选考方法种数共有12种，选B.【点睛】本题考查组合的计数，为基础题，解题时注意合理分类.8.下表是某厂月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不清，已知原来根据该数据由最小二乘法求得回归直线方程为，则表中模糊不清的数据为（）月份 1 2 3 4用水量 4.5 3 2.5A. 2.5B. 4.5C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用线性回归方程对应的直线过计算可得缺失的值.【详解】因为回归直线方程，当时，，设2月份用水量为，则，故，故选D.【点睛】本题考查线性回归方程对应的直线过，属于基础题.9.某学期某大学数学专业的6名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数2,2,1，1安排到不同的四个年级的方案共有（）A. 1080B. 540C. 180D. 90【答案】A【解析】【分析】先把6人分组（按2，2，1，1）后再分配给四个不同的班级可得总的方案数.【详解】不同的方案有，故选A.【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如组中人数确定等；（2）先选后排（或先分组再分配），比如要求所选的人满足一定的数目，我们得先选出符合数目要求的人，再把他们分配到相应的对象中，此处特别注意均匀分组问题；（3）去杂法，也就是从反面考虑．10.平行四边形的四个顶点均在双曲线上，直线的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点差法可求，从而可得渐近线方程.【详解】因为双曲线是中心对称的，故平行四边形的顶点关于原点对称，设，，则，故，，所以，整理得到：即，故即，所以渐近线方程为即，选A.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.11.观察：，，，，，，从而得到47的二进制数为，记作：，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（）A. 202B. 1202C. 021D. 2021 【答案】B【解析】【分析】把分解为后可得其三进制数的表示.【详解】因为，所以，故，故选B.【点睛】本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键.12.定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构建新函数，根据题设条件有在上为增函数，从而得到，化简后可得.【详解】，即令，则在上为增函数，，即，亦即，亦即，故选.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应根据该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为3号、16号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为__________．【答案】【解析】【分析】依据系统抽样可知学号是公差为的等差数列，从而可求余下一个同学的学号.【详解】因为该班总共52人，样本容量为4，故抽取的学号是公差为的等差数列，故余下一个同学的学号为.填.【点睛】本题考查系统抽样的性质，属于基础题.14.已知随机变量满足,，__________．【答案】【解析】【分析】利用公式直接计算即可.【详解】因为，所以，所以，填.【点睛】一般地，如果，，那么，.15.设，若，则非零实数__________．【答案】【解析】【分析】对题设中的等式两边求导后再令可得，从而求得的值.【详解】对等式两边求导后可得，令，则有，因，故即，填.【点睛】二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论．16.某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．【答案】【解析】【分析】三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积.【详解】如图，几何体三棱锥，将三棱锥补形为直三棱柱，其中底面为等腰直角三角形，其外接圆的半径为，侧棱，故外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）曲线的极坐标方程可以化为，利用可得其直角坐标方程. （2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于的一元二次方程，利用参数的几何意义可求的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，因为，所以直角坐标方程为；（2）设直线上两点的参数分别为，，则，，将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，化简得，则，所以.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为（其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．18.我校某数学老师这学期分别用两种不同的教学方式在高一甲、乙两个班（人数均相同，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）进行教学实验，现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如下:甲班乙班2 9 0 1 5 6 86 6 4 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 91 7 3 6 88 3 2 2 6 5 7 9 93 2 2 1 1 59 8 7 7 4甲班乙班合计优秀不优秀合计20 20 40（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（2）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取三名同学，事件表示“抽到成绩为86分的同学至少1名”，求.（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，完成分类变量成绩教学方式的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10．828（参考公式：，其中）【答案】（1）乙班；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图可得乙班的平均分高.（2）利用古典概型的概率计算公式计算即可.（3）利用给出的公式计算出的值，再结合临界值表可知在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关.【详解】（1）由茎叶图知甲班数学成绩集中于分之间，而乙班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高.（2）根据题意得（3）根据题意得到列联表为甲班乙班合计优秀 3 10 13不优秀17 10 27合计20 20 40因此在犯错误的概率不超过的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.【点睛】本题主要考查统计中茎叶图的应用、古典概型的概率计算和独立性检验，此类问题为容易题.19.如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）可证平面平面，从而可证平面.（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小.【详解】（1）底面是菱形，，因平面，平面，所以平面.同理，平面，，平面平面，又平面，所以平面.（2）底面，即为直线与平面所成的角，故，中,，又底面是边长为2的菱形，，取中点，连，则，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为,,,,,底面,，又底面是菱形，,平面，平面的法向量取 ,设平面的法向量，则：,，令得,,二面角的大小为.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了的该农产品，以（单位：）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量的平均数、中位数和众数；（2）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率，）求利润的分布列和数学期望.【答案】（1）；；；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值.（2）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望. 【详解】（1）,，，（2），利润的分布列为 48000 56000 60000 0.10.20.7（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，属于基础题.21.椭圆的左焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，椭圆上另一点满足的重心为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列出关于方程组，解出它们可得椭圆的方程.（2）设，联立直线方程和椭圆方程，消元后可得，利用韦达定理可用表示的坐标，再利用在椭圆上得到，利用该式化简的面积表达式可得其值.【详解】（1）依题意：解得，椭圆的方程为.（2）设，则由于的重心为坐标原点，所以.联立 ,得，，，在椭圆上，，即，在椭圆上, ,，，即，即，，的重心为坐标原点，到直线的距离等于到直线的距离的3倍，即即，，， .【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知函数，.（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；（2）若恒成立，求的最小值的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设有，参变分离后可得的取值范围.（2）等价于，令，分和后可得，其中，故即，从而，令，利用导数可求其最大值.专业Word 可修改欢迎下载【详解】（1），，若函数在单调递增，对任意恒成立，，在单调递减，当时，，.故所求实数的取值范围为. （2）即令，则恒成立若，则当时，与恒成立矛盾，所以, 由得，当时，单调递增；当时，单调递减；，，， ,的最小值 . 又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，. 【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判专业Word 可修改欢迎下载断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．。
2020-2021学年重庆巴蜀中学高二下期中理科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数212i z i-=+的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2．最小二乘法的原理是使得（ ）最小A ．()1n i i i y a bx =-+∑ B ．()21ni i i y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑ C ．()221n i ii y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑ D ．()21n i i i y a bx =-+⎡⎤⎣⎦∑ 3．若，则()47P X <<=（ ）(已知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=)A ．0.8185B ．0.3413C ．0.4772D ．0.97694．下列命题中真命题的个数为（ ）①两个变量,x y 的相关系数r 越大，则变量,x y 的相关性越强；②命题2:,210p x R x x ∀∈-->的否定为2000:,210p x R x x ⌝∃∈--≤； ③从4个男生3个女生中随机抽取3个人，每个人被抽取的可能性相同，则至少有一个女生的选取种数为31种.A ．0B ．1C ．2D ．35．已知命题()22:48,:2100p x q x x m m -≤-+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5或11B ．011m <≤C ．05m <≤D ．05m <<6．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.参考数据：()()()()()22n ad bcKa b a c c d b d-=++++A．090 B．095 C．099 D．099.97．现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图) 涂色，要求相邻的词语涂不同颜色，则不同的涂法种数为（）A．144 B．108 C．54 D．27 8．已知函数()34f x x x=-,则过点()1,4P-可以作出（）条()f x图象的切线A．0 B．1 C．2 D．3 9．拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记{A=两次点数均为奇数｝，B=｛两次点数之和为6｝，则()P B A=（）A．59B．13C．536D．23 10．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1 B．43C．83D．4 11．如图，双曲线()22221,0x ya ba b-=>的右顶点为A，左右焦点分别为12,F F，点P是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线b y x a=于点,R M 是PQ 的中点，若21RF PF ⊥，且1AM PF ⊥，则双曲线的离心率是（ ）A 5．2 C 3 D 2二、填空题12．已知随机变量25,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()52E ξ+= ． 13．532x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 展开式中的常数项为 ． 14．已知函数()ln x f x e a x -=-在定义域内单调递增，则a 的取值范围为 ． 15．如图，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下依次为第1群，第2群，…第n 群…，且第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是__________．三、解答题16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列12n n a a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈. 17．一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据都小于加工时间的均值的概率；（2）若加工时间y 与零件数x 具有相关关系，求y 关于x 的回归直线方程；（3）若需加工80个零件，根据回归直线预测其需要多长时间. (^121()()()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，^^^a y b x =-) 18．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB ⊥BC,AD ⊥DC,AC =2BC =2DC =2,3BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ .（1）求证：CM ∥平面PAD ；（2）若CM 与平面PAC 所成的角的正弦值为√55，求AP 的长. 19．已知焦点在y 轴上的椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>322⎝，不过椭圆顶点的动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，求： （1）椭圆C 的标准方程；（2）求三角形AOB 面积的最大值，并求取得最值时直线OA 、OB 的斜率之积.20．已知函数()()()21,x f x xe k x k R =-+∈.（1）2e k =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）若()f x 在R 上只有一个零点，求k 的取值范围.21．过外一点P 作的两条割线,PAB PMN ，其中PMN 过圆心O ，再过P 作的切线PT，切点为T ，已知1PM MO ==.（1）求切线PT 的长；（2）求AM BM AN BN⋅.参考答案1．B【解析】 试题分析：2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i ----====-++-，虚部为1-．故选B ． 考点：复数的概念．2．D【解析】试题分析：最小二乘法的原理是使得实际数据与估计值的差的平方和最小，故选D ． 考点：最小二乘法．3．A【解析】试题分析：由题意(46)2(56)0.6826P μP μ<<=<<=，(56)0.3413P μ<<=，(37)P μ<<=2(57)0.9544P μ<<=，(57)0.4772P μ<<=，所以(67)(57)(56)P μP μP μ<<=<<-<<0.47720.34130.1359=-=，所以(47)(46)(67)P μP μP μ<<=<<+<<0.68260.1359=+0.8185=．故选A ． 考点：正态分布．4．C【解析】试题分析：一般情况下，相关系数越大表明相关程度就越高.但是，相关系数只有相对意义，没有绝对意义。
高2023届高二（下）月考数学参考答案一、单选题12345678B C A D B BD A 1.事件A 与事件B 互斥，则()()()0.5P A B P A P B È=+=。
2.每人均有3种选择，根据分步计数原理可得选法总数为43。
3.根据题意，从6个数中任取2个数的情况有2615C =种，满足“至少有一个偶数”的情况有11233312C C C +=，故根据古典概型概率公式可得概率为45。
4.从左到右依次涂色，第一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以总数为：54´4´4´4´1280=5.如图所示，样本空间的容量为3856C =，其中能构成等边三角形有：111111111111,,,,,,,AB D A BD CB D C BD BA C B AC DA C D AC ，共8种，根据古典概型概率公式可得概率为17。
6.令0x =可得：01a =令13x =可得：2022120220220333a a a a ++++= ，故202212220221333a a a +++=- 。
7.根据本校监考人数分为：（1）本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：122132242432()28C C C C C A +=；（2）本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：21222322()6C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为34.8.设9个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则按照第3号位的选法可分为三种情况：（1）第3个位置选7号：先从1,2,3,4,5,6号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中最小的放入7号位置，剩下的三个放入中间三个位置，8,9号放入最后两个位置，即236315C C =，（2）第3个位置选8号：先从1,2,3,4,5,6，7号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中最小的放入7号位置，剩下4个选3个放入中间三个位置，余下的号和9号放入最后两个位置，即237484C C =，（3）第3个位置选9号：先从1,2,3,4,5,6，7,8号中选两个放入前两个位置，余下的6个号中最小的放入7号位置，剩下5个选3个放入中间三个位置，余下的2个号放入最后两个位置，即2385280C C =由分类计数原理可得共有15+84+280=379种排列方式。
高 2021届高二下开学考试数学复习题（二）参考答案1.从一批产品中随机取出3 件，记事件A 为“3件产品全是正品”，事件B 为“3件产品全是次品”，事件C为“3件产品中至少有1 件是次品”，则下列结论正确的是（）A．A 与C 对立B．A 与C 互斥但不对立C．B 与C 对立D．B 与C 互斥但不对立【答案】A2.依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么X 4 表示的随机试验的样本点是（）A．第一枚是3 点，第二枚是1 点B．第一枚是3 点，第二枚是1 点或第一枚是1 点，第二点枚是3 点或两枚都是2 点C．两枚都是4 点D．两枚都是2 点【答案】B3.某工厂利用随机数表对生产的600 个零件进行抽样测试，先将600 个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600 从中抽取60 个样本，如下提供随机数表的第4 行到第6 行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6 行第6 列开始向右依次读取3 个数据，则得到的第6 个样本编号为（）A．522 B．324 C．535 D．578【答案】D【解析】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535 ，577，348 ，994（不合适），837（不合适），522 ，535 （重复不合适），578则满足条件的6 个编号为436 ，535，577 ，348 ，522 ，578则第 6 个编号为578本题正确选项：D4.港珠澳大桥于2018 年10 月2 刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55 千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000 辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（）A．300，0.25 B．300，0.35 C．60，0.25 D．60，0.35【答案】B【解析】由频率分布直方图得：C nn 9在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90) 的频率为0.06⨯5 = 0.3 ， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90) 的车辆数为： 0.3⨯1000 =300 ，行驶速度超过90km / h 的频率为： (0.05 + 0.02)⨯ 5 = 0.35 ．故选：B ．5. 一个盒子里装有大小相同的红球 5 个，白球 4 个，从中任取两个，则至少有一个白球的概率是 ( )413 2313 A ．B ．C ．D ．9367218【答案】D【详解】记事件 A ：所抽取的两球至少有一个白球，则其对立事件 A ：所抽取的两个球全是红球， C 25由古典概型的概率公式可得P (A )= 5 = ，2 18由对立事件的概率公式可得 P (A ) = 1- P (A )= 1- 5 = 13，故选 D ． 18 186. 某一试验中事件 A 发生的概率为 p ，则在 n 次这样的试验中， A 发生 k 次的概率为() A ．1－p kB ．(1－p )k p n－kC ．(1－p )kD ．C k (1－p )k p n －k【答案】D 【解析】在n 次独立重复试验中，事件 A 恰发生k 次，符合二项分布，而 p (A ) = p ，则 p (A )= 1- p ，故 P ( X = k ) = C k (1- p )kpn -k ，故答案选 D. 7. 已知随机变量 X 的分布列如下表所示,则 E (2X - 5) 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题得0.1+0.2+b + 0, 2 + 0.1 =1,∴b = 0.4, ，所以 E (X) =1⨯0.1+ 2⨯0.2 + 3⨯0.4 + 4⨯0.2 + 5⨯0.1 = 3 所以 E (2X - 5) = 2E (X ) -5 = 2⨯3-5 =1.故答案为：A 8.⎛1-2 ⎪5 51 ⎫(1- x )5 展开式中 x 3 的系数为（ ）x ⎝ ⎭A ．11B ． -11【答案】D C ．9 D ． -9 【解析】 (1 - x )5通项公式为T = C k (-x )k = (-1)k C k x k ，k +155∴(1- x )5 展开式中含 x 3 , x 5 项分别为-C 3 x 3 , -C 5 x 5 ， ∴⎛1-2 ⎪ 1 ⎫(1- x )5 展开式中 x 3 的系数为-9 . x ⎝ ⎭故选:D.9. 某人制定了一项旅游计划，从 7 个旅游城市中选择 5 个进行游览．如果 A 、B 为必选城市，并且在游 览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（ ）A ．600 种B ．480 种C ．240 种D ．120 种【答案】AC 3 A 5【解析】 5 5 = 600 .210. 某高中数学老师从一张测试卷的 12 道选择题、4 道填空题、6 道解答题中任取 3 道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ）C 1 ⋅ (C 1 ⋅ C 1 + C 2 ) + C 2 ⋅ C 1C 1 ⋅C 1 ⋅C 1 + C 1 ⋅C 2A ． 126 4 6 12 6B ． 12 6 4 12 6C 3 - C 3C 3 - C 322 102210C 1⋅ C 1⋅C1C3 C312 64 6 12 6- C 3C ． 12 6 20D ． 221016C 3 - C3 C 3 - C 322102210【答案】A 【解析】从 12 道选择题、4 道填空题、6 道解答题中任取 3 道题取到选择题的取法有C 3 - C 3 种，2210其中既取到选择题又取到填空题的情况有两大类，一是取到一道选择题,此情况的取法有C 1(C 1C 1+ C 2) 种， 二是取到二道选择题,此情况的取法有C 2 ⋅ C 1 种， C 1 ⋅ (C 1 ⋅ C 1 + C 2 )+ C 2 ⋅ C 1所以在取到选择题时解答题也取到的概率为12 6 4 6 12 6 .C3 C3本题选择A 选项.3 2 23 2 24 A 2A2 3 3 4 5 12n n n +122 1011. 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A ．72B ．120C ．144D ．168【答案】B【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目， 有 A 3A 2A 1= 6⨯ 2⨯ 2 = 24 (种)； 第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有 A 3 A 1 A 1 A 1= 6⨯ 2⨯ 2⨯ 4 = 96 (种)； 根据分类加法计数原理，共有 96+24=120 种不同的排法. 故选 B.12. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排 3 名志愿者完成 5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ）A ．60B ．90C ．120D ．150 【答案】D【解析】根据题意，分 2 步进行分析： ①、将 5 项工作分成 3 组，C 3C 1C 1若分成 1、1、3 的三组，有 5 2 1 = 10种分组方法， 2 C 2C 2C 1若分成 1、2、2 的三组，有 5 3 1 = 15种分组方法，2 则将 5 项工作分成3 组，有 10+15＝25 种分组方法； ②、将分好的三组全排列，对应 3 名志愿者，有 A 3 ＝6 种情况， 则有 25×6＝150 种不同的分组方法； 故选：D ．13. 已知某民营车企 1 月份生产了 A ，B ，C 三种型号的新能源汽车，台数依次为 120，210，150. 现用分层抽样的方法从中随机抽取 16 台车进行安全测试，则 B 型号的新能源汽车应抽取的台数为.【答案】714. 计算： A 3 + A 3 + A 3+ + A 3 =【答案】4290【解析】由C m + C m -1 = C m可得，A3 +A3 +A3 ++A33 4 5 123 4 5 12 34 45 12 3 5 56 123 3 = (C 3 + C 3 + C 3 +⋯+ C 3 )⋅ A 3= (C 4 + C 3 + C 3 +⋯+ C 3 )⋅ A 3 =（C 4 + C 3 + C 3 +⋯+ C 3 ）⋅ A 3 =（C 4 + C 3 + C 3 +⋯+ C 3 ）⋅ A 36 67 12 3=（C 4 + C 3 ）⋅ A 312 12 3 = C 4 ⋅ A 3=4290 13315. 已知(1- x )10 = a + a (1+ x )+ a (1+ x )2++ a (1+ x )10，则a +a + ... + a =12101210【答案】-102316. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有 3 种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案．【答案】66【解析】根据题意，分 3 种情况讨论：①当 A 、C 、E 种同一种植物，此时共有 3×2×2×2=24 种方法； ②当 A 、C 、E 种二种植物，此时共有 C 2×A 2×2×1×1=36 种方法；33③当 A 、C 、E 种三种植物，此时共有 A 3 ×1×1×1=6 种方法； 则一共有 24+36+6=66 种不同的栽种方案； 故答案为 66．17. 某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间[20, 40)内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.质量指标值[15, 20) [20, 25)[25, 30)[30, 35) [35, 40)[40, 45)频数2184814162（1）求图中实数a 的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[25,30) 内的定为一等品，每件售价 240 元；质量指标值落在区间[20, 25) 或[30, 35) 内的定为二等品，每件售价 180 元；其他的合格品定为三等品，每件售价 120 元，根据表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为 X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）a= 0.080 （2）详见解析【解析】（1）据题意，得0.008⨯5 + 0.032⨯5+ 5a + 0.024⨯5+ 0.036⨯5+ 0.020⨯5 = 1所以a = 0.080（2）据表1 分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为1 , 1,1.2 3 6随机变量X 的所有取值为240，300，360，420，480.P (X= 240)=1 ⨯1 =1 P (X = 300)=C1 ⨯1 ⨯1 =16 6 362 3 6 9P (X= 360)=C1 ⨯1 ⨯1 +1 ⨯1 =5 P (X = 420)=C1 ⨯1 ⨯1 =12 2 63 3 18 2 2 3 3P (X= 480)=1 ⨯1 =12 2 4X 240 300 360 420 480P 136195181314所以E (X)= 240⨯+ 300⨯+ 360⨯+ 420⨯+ 480⨯= 400 （元）36 9 18 3 418.为检验A, B 两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取6 件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于90 分为优品.前5 件的评分记录如下，第6 件暂不公布.（1）求所抽取的A 生产线上的6 个产品的总分小于 B 生产线上的第6 个产品的总分的概率；（2）已知A, B 生产线的第6 件产品的评分分别为90,97 .①从A 生产线的6 件产品里面随机抽取2 件，设非优品的件数为η，求η的分布列和数学期望；②以所抽取的样本优品率来估计B 生产线的优品率，从B 生产线上随机抽取3 件产品，记优品的件数为X ，求X 的数学期望及方差.【答案】（1）3100；（2）①详见解析；②2.【解析】（1）A 生产线前5 件的总分为88 + 89 + 90 + 91+ 92 = 450，B 生产线前5 件的总分为82 + 84 + 92 + 91+ 94 = 443；要使制取的A 生产线上的6 个产品的总分小于B 生产线上的6 个产品的总分，则第6 件产品的评分分别可以是(90, 98)，(90, 99)，(91, 99)，故所求概率为3=3.10⨯10 100（2）①η可能取值为0,1, 2 ，C2C0 2C1C18C C C 5 15 C 2 1P (η = 0) = 4 2 = ， P (η = 1) = 4 2 = ， P (η = 2) = 2 = ，2 2 2 6 6 6η E η = ⨯1+ ⨯ 2 = .15 15 32 ⎛ 2 ⎫ ②由样品估计总体，优品的概率为 ， X 可取0,1, 2,3且X ~ B 3, ，33 ⎪故 EX = np = 3⨯ 2= 2 .315⎝ ⎭DX = np (1- p ) = 3⨯ 2 ⨯ 1 = 23 3 319. 某单位准备购买三台设备，型号分别为 A , B ,C 已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为 100 元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为 200 元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各 60 台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.. 21 件的概率；（1）由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6 和 7 的频率均为30 = 1 ；60 2B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6,7,8 的频率分别为20 = 1 , 30 = 1 , 10 = 1 ； 60 3 60 2 60 6 C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为 7 和 8 的频率分别为 45 = 3 , 15 = 1；60 4 60 4设该单位一个月中 A , B ,C 三台设备使用易耗品的件数分别为 x , y , z ,则P (x = 6) = P (x = 7) = 1 , P ( y = 6) = 1 , P ( y = 7) = 1 , P ( y = 8) = 1 , P (z = 7) = 3 , P (z = 8) = 1,2 3 2 6 4 4设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为 X , 则 P ( X > 21) = P ( X = 22) + P ( X = 23)而 P ( X = 22) = P (x = 6, y = 8, z = 8) + P (x = 7, y = 7, z = 8) + P (x = 7, y = 8, z = 7)= 1 ⨯ 1 ⨯ 1 + 1 ⨯ 1 ⨯ 1 + 1 ⨯ 1 ⨯ 3 = 7, 2 6 4 2 2 4 2 6 4 48P ( X = 23) = P (x = 7, y = 8, z = 8) = 1 ⨯ 1 ⨯ 1 = 1,2 6 4 48故 P ( X > 21) = 7 + 1 = 1,48 48 6即该单位一个月中 A , B ,C 三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率为 1.6（2）以题意知,X 所有可能的取值为19, 20, 21, 22, 23P ( X = 19) = P (x = 6, y = 6, z = 7) = 1 ⨯ 1 ⨯ 3 = 1；2 3 4 8P ( X = 20) = P (x = 6, y = 6, z = 8) + (x = 6, y = 7, z = 7) + P (x = 7, y = 6, z = 7)=1⨯1⨯1+1⨯1⨯3+1⨯1⨯3=17；2 3 4 2 2 4 2 3 4 48P( X = 21) =P(x = 6, y = 7, z = 8) + (x = 6, y = 8, z = 7) +P(x = 7, y = 6, z = 8) +P(x = 7, y = 7, z = 7)=1⨯1⨯1+1⨯1⨯3+1⨯1⨯1+1⨯1⨯3=17；2 2 4 2 6 4 234 2 2 4 48由（1）知, P( X = 22) =7, P( X = 23) =1, 48 48若该单位在购买设备的同时购买了20 件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为Y1 元,则Y1 的所有可能取值为2000, 2200, 2400, 2600 ,P(Y = 2000) =P( X = 19) +P( X = 20) =1+17=23；1P(Y1= 2200) =P( X = 21) =17；48718 48 48P (Y 1 = 2400) = P ( X = 22) =48；P (Y 1 = 2600) = P ( X = 23) = 48；EY = 2000 ⨯ 23 + 2200 ⨯ 17 + 2400 ⨯ 7 + 2600 ⨯ 12142 ；1 48 48 48 48元,若该单位在肋买设备的同时购买了21 件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为Y2则Y2的所有可能取值为2100, 2300, 2500 ,P(Y2= 2100) =P( X = 19) +P( X = 20) +P( X = 21) =1+17+17=5；8 48 48 6P(Y2= 2300) =P( X = 22) =7；48P(Y2= 2500) =P( X = 23) =1；48EY = 2100 ⨯5+ 2300 ⨯7+ 2500 ⨯1≈ 2138 ；2 6 48 48EY2 <EY1,所以该单位在购买设备时应该购买21 件易耗品π20.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD，∠ABC= ，BC=CD=CE=1，EC⊥平面ABCD，EF//AC，3P 是线段EF 上的动点（1）求证：平面BCE⊥平面ACEF；（2）求平面PAB 与平面BCE 所成锐二面角θ的最小值π【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】(1)证明：如图：在等腰梯形ABCD 中，AB / /CD,∴AB = 2 ，BC =CD =1,∠ABC =π, 3∴AC2 =AB2 +BC2 - 2AB ⋅BC ⋅ cos π= 33∴AB2 =AC 2 +BC 2 ,∴AC ⊥BCEC ⊥平面ABCD,∴EC ⊥AC又 EC ⋂BC =C,∴AC ⊥平面BCE ，又AC⊂平面ACEF∴平面BCE ⊥平面ACEF（2）由(1)可建立以C 点为坐标原点，分别以直线CA, CB, CE 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图,令 EP =λ(0 λ3) 则C(0, 0, 0), A( 3, 0, 0)B(0,1,0), P(λ,0,1)设n1 = (x, y, z) 为平面PAB 的一个法向量，⎧⎪n1⋅AB=0⎧⎪-3x+y=0由⎨n ⋅BP = 0 得⎨λx -y +z = 0 ，取x =1，得n1= (1, 3, 33 +1+ ( 3 - λ)2 ⨯1 ( 3 - λ)2 +4 - λ) ，⎩⎪ 1 ⎪⎩n 2 = (1, 0, 0) 是平面 BCE 的一个法向量，∴cos θ = | n 1 ⋅ n 2 | = 1 = 1 | n 1 || n 2 | 当λ = 0 λ33 时， cos θ 有最大值 1 ，2又θ 为锐角，∴θ 的最小值为 π. 3x 2 y 2F F 121.已知椭圆C :a2+=1(a >b > 0) 的左、右焦点分别为1、2，离心率为b2 23 2，点 P 是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2 面积的最大值为 .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 M (0,1)作直线l 交椭圆C 于 A 、B 两点，过点 M 作直线l 的垂线l 交圆O : x 2 + 2 = a 于另一点 N .若1ABN的面积为3，求直线l1 的斜率.+ = ± 2 1 2 y4 2 【答案】（1）x y 1 （2） 1 4 3 2 【解析】（1）∵椭圆C 的离心率为 1，当 P 为C 的短轴顶点时， 2△PF 1F 2 的面积有最大值⎧ c = 13.⎧a = 2⎪a 2⎪⎪2 2 2∴⎨a⎪1=b +c,解得⎨b = 3 ，⎪c = 1⎪⨯ 2c ⨯b =3⎩2x2 y2故椭圆C 的方程为：4 6 3 ABN 1 + = 1 .4 3 （2）若l 1 的斜率为 0，则| AB |= ， | MN |= 2 ， ∴ 的面积为 4 6，不合题意，所以直线l 的斜率不为 0.3 设直线l 1 的方程为 y = kx +1， ⎧ x 2 + y 2 =⎪由⎨ 4 3 ⎪⎩y = kx +1 1(8k )2 - 4 ⨯ (3 + 4k 2 )⨯ (-8) 消去 y 得(3 + 4k 2 )x 2 + 8kx - 8 = 0 ， 设A (x 1, y 1 )，B (x 2 , y 2 ) ， 则 x + x =-8k ， x x = -8 ，1 2 3 + 4k 2 1 2 3 + 4k 2 ∴ | AB |= 1+ k 2 ⋅ = 3 + 4k. 3 + 4k 2直线l 的方程为 y = - 1x +1，即 x + ky - k = 0 ，2 ∴| MN |= 2 4 6 1+ k 2 ⋅ 1+ 2k 2ABNk= 2 .1+ k2 ∴ 的面积 S = 1- k 2 1+ k 21| AB | ⋅ | MN |=1 ⋅2 23 + 4k 24 6 1+k 2 ⋅ 1+ 2k 2⋅ 2 = 3 ，1+ k 2解得k = ± 1 ，即直线l 的斜率为± 1 .2 1 222. 已知函数 f (x ) = 2ln x - ax ， a ∈ R .（Ⅰ）讨论 f(x ) 的单调性； （Ⅱ）当a = -1时，令 g (x ) = x 2- f (x ) ，其导函数为 g '(x ) ，设 x , x是函数 g (x ) 的两个零点，判断 1 2x 1 + x 2 是否为 g '(x ) 的零点？并说明理由.222．解：（Ⅰ）依题意知函数 f (x )的定义域为(0, + ∞)，且 f '(x ) = 2 - a xx + x . ……………………1 分（1）当a ≤ 0 时， f '(x )> 0 ，所以 f (x )在(0, + ∞)上单调递增. （2）当a > 0 时，由 f '(x )= 0 得： x = 2， a 则当 x ∈ (0 , 2) 时 f '(x )> 0 ；当 x ∈ ( 2 , + ∞) 时 f '(x ) < 0 . a a 所以 f (x )在(0 , 2 ) 单调递增，在( 2 , + ∞) 上单调递减. (3)分 aa综上，当a ≤ 0 时， f (x )在(0, + ∞)上单调递增；当a > 0 时， f (x )在(0 , 2 ) 单调递增，在( 2 , + ∞) 上单调递减.…………………………4 分 aa（Ⅱ） 1 2 不是导函数 g '(x ) 的零点. 证明如下： 2当 a = -1时， g (x ) = x 2 - f (x ) = x 2 - 2ln x - x . ∵ x 1 ， x 2 是函数 g (x ) 的两个零点，不妨设0 < x 1 < x 2 ， ⎧ x 2 - 2ln x - x = 0⎧x 2 -x = 2ln x ∴⎨ 1 1 1⇒⎨ 1 1 1 ，两式相减得：(x -x)(x +x-1)= 2(ln x。
重庆市巴蜀中学2019-2020学年度第二学期高2021届（二下）数学月考试题卷命题人：唐莲骄郭鹏审题人：冉光晏一、选择题。
（共12题，每题5分，共60分。
每题只有一个正确选项）1.甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是13，下成和棋的概率是12，则乙获胜的概率是（）A ．56B.23C.13D.162.设随机变量X 服从两点分布，若(1)(0)=0.2P X P X =-=，则成功概率(1)=P X =（）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.甲、乙两位同学将最近10次物理考试的成绩(满分100分)绘制成如图所示的茎叶图进行比较，下列说法正确的是（）①甲同学平均成绩低于乙同学②甲同学平均成绩高于乙同学③甲同学成绩更稳定④乙同学成绩更稳定A.①③B.①④C.②③D.②④4.记()52501251x a a x a x a x +=++++ ，则12345a a a a a ++++=（）A ．64B.63C.32D.315.某校高一、高二、高三年级人数比为7：8：10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查，若每人被抽取的概率是0.04，则该校高二年级人数为（）A.1050B.1200C.1350D.15006.演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（）A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种7.同时抛掷4枚质地均匀的硬币400次，记4枚硬币中恰好2枚正面向上的次数为X ，则X 的数学期望是（）A ．25B.100C.150D.2008.某高校需安排5位应届毕业生到3家企业实习，每家企业至少有1位实习生，并且实习生甲和乙必须去同一家企业实习，则不同的实习安排方式共有（）A ．12种 B.18种C.24种D.36种9.设n x x 5(-的展开式中各项系数之和为a ，二项式系数之和为b ，且3132a b -=，则展开式中有理项共有（）A ．2项B.3项C.4项D.5项10.6支钢笔中有4支为正品，2支为次品，现需要通过检测将其进行区分，每次随机抽出一支钢笔进行检测，检测后不放回，直到完全将正品和次品区分开，用X 表示直到检测结束时检测进行的次数，则==)4(X P （）A.154B ．715C ．2881D ．102711.已知A 学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B 学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A 学校任意抽取一位数学老师到B 学校，然后从B 学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B 学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从A 学校抽到B 学校的老师也是男老师的概率是（）A ．23B ．47C ．411D ．31112.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步。
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复平面内与复数z=5i所对应点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为()1+2iA. 1+2iB. 1−2iC. −2+iD. 2+i<2x<2}，则A∩B=()2.集合A={0,1,2},B={x|12A. {0,1}B. {1}C. {0}D. {0,1，2}3.在整数集中，被5整除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，，给出如下三个结论：①；②；③；、④“整数、属于同一“类”的充要条件是“”.其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.p：|x|>2是q：x<−2的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.若定义在R上的函数为奇函数，则实数a的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是()A. 甲的极差是29B. 乙的众数是21C. 甲罚球命中率比乙高D. 甲的中位数是247.已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸(图中大正方形边长为2a)，可得这个几何体的体积是()A. 203a3B. 7a3C. 2√2a3D. 5a38.如图所示的程序框图，若输入的A,S分别为0，1，则输出的S=()A. 4B. 16C. 27D. 369.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数()A. (π2,3π2) B. (π,2π) C. (3π2,5π2) D. (2π,3π)10.抛物线y=x2(−2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的表面积是()A. 96−48√3B. 32C. 24D. 144−48√511.已知双曲x2a2−y2b2=1(a>b>0)的渐近线与圆x2−2x+y2+34=0相切，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. 2√33D. 212.如下图是函数的大致图象，则等于A.B.C.D.二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.给出以下结论：①函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②3−5=6(−5)2；③函数y=ln(1+x)−ln(1−x)为奇函数；④函数f(x)的定义域为[−1,4]，则函数f(x2)的定义域为[−2,2]其中正确的是______ ．14.设i是虚数单位，复数z满足(2+i)⋅z=5，则|z|=______．15.已知x2−ax+2≥0在x∈[−3,3]上恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.设函数f(x)=|2x+1|+2|x−a|．(1)若a=2，试求f(x)≥6的解集；(2)若a<0，且关于x的不等式f(x)<3x有解，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)=x．x2+2(1)判断并证明f(x)在[0,1]上的单调性；(2)若x ∈[−1,2]，求f(x)的值域．18. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．(1)某垃圾站的日垃圾分拣量y(千克)与垃圾分类志愿者人数x(人)满足回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，数据统计如下：已知y −=15∑y i 5i=1=40，∑x i 25i=1=90，∑x i 5i=1y i =885，根据所给数据求t 和回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂．附：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x ̂． (2)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15． ①若被调查的男性居民人数为a 人，请完成以下2×2列联表：类型喜欢垃圾分类志愿者不喜欢垃圾分类志愿者合计性别男性a女性合计②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？，n=a+b+c+d．附K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.82819.如图，已知四棱锥P−ABCD，ABCD是梯形，AB//CD，AB⊥BC，PA=PD=BC=CD=1，AB=2，PC=√3．(Ⅰ)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．20.椭圆C过点A(2,1)，中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在抛物线y2=4√3x的准线上．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点B(3,0)的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．21.已知函数在点处的切线方程为．(I)求，的值；(II)对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题．利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解：复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i，z所对应的点(2,1)，z关于虚轴对称的点为A(−2,1)，∴A对应的复数为−2+i．故选：C．2.答案：C解析：解：∵集合A={0,1,2},B={x|12<2x<2}={x|−1<x<1}，∴A∩B={0}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：D解析：试题分析：因为，所以，则①正确；，所以，所以②不正确；因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，所以③正确．对于④∵整数，属于同一“类”，∴整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0，反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”.故④正确．所以正确结论的个数有3个．故选D．考点：新定义题型．4.答案：C解析：本题考查充分条件、必要条件的判断，用集合的包含关系是解决问题的关键，属基础题．解不等式可得命题p对应的集合，由集合的包含关系可得结论．解：由|x|>2，解得x>2或x<−2，由于集合{x|x<−2}是{x|x>2或x<−2}的真子集，故p是q的必要不充分条件故选C5.答案：C解析：本题考查了定义在R上的奇函数的性质f(0)=0的运用．利用奇函数的性质，定义在R上的奇函数f(0)=0得到关于a的方程解之，再代入验证即可．解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即log3√a=0，所以a=1；此时为奇函数，符合题意，故选C．6.答案：D解析：略7.答案：A解析：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=(2a)3−8×(13×12a2×a)=203a3，故选：A由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：D解析：本题考查程序框图和算法的应用，模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k、A、S的值，当k>4时满足条件，退出循环，从而计算输出S的值．解：模拟执行程序，可得A=0，S=1，顺序执行语句，k=1，A=0+1=1，S=1×1=1；不满足条件k>4，执行循环体，k=3，A=1+3=4，S=1×4=4；不满足条件k>4，执行循环体，k=5，A=4+5=9，S=4×9=36；满足条件k>4，退出循环，输出S=36．故选D．9.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及三角函数的性质，属于基础题．y′=xcosx，对照选项可知当x∈(3π2,5π2)时，恒有xcosx>0．解：y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx−sinx=xcosx，当x∈(3π2,5π2)时，恒有xcosx>0．故选C．10.答案：C解析：解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，设正方体AC1的棱长AA1=a，则底面对角线AC=√2a，∴A点的横坐标等于√22a，结合抛物线方程可得A点纵坐标：y=(√22a)2=12a2，根据题意可知A 点纵坐标为4−a ． ∴12a 2=4−a ，解得a =2，因此正方体的棱长是2，表面积S =6×22=24． 故选：C由题意画出过正方体的两条相对侧棱的截面图，设正方体的棱长a ，然后根据A 点的纵坐标等于4−a ，利用抛物线方程与正方体的性质建立关于a 的等式，解出a =2，即可得到此正方体的表面积． 本题着重考查了正方体的性质、抛物线的应用等知识，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．11.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于简单题．求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可． 解：圆x 2−2x +y 2+34=0化简为：(x −1)2+y 2=14， 圆心(1,0)，半径为：12，双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ， 由圆与双曲线的渐近线相切，可得：12=|±b a|√1+(±ba )2，又a >b >0， 解得ba =√33，即b 2a 2=13，c 2−a 2a 2=13，可得e =c a=2√33． 故选：C ．12.答案：C解析：试题分析：由图象知f(x)=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x 1，x 2为导函数的两根，可结合根与系数求解．由图象知f(x)=0的根为0，1，2，∴d =0.∴f(x)=x 3+bx 2+cx =x(x 2+bx +c)=0.∴x 2+bx +c =0的两个根为1和2.∴b =−3，c =2.∴f(x)=x 3−3x 2+2x.∴f′(x)=。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z满足z⋅i=1+i，则|z|等于()A. 1B. 2C. √2D. 02.二项式(√x−2x)5的展开式中x的系数为()A. −10B. 10C. −40D. 403.已知甲、乙两组是按大小顺序排列的数据.甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则mn等于()A. 127B. 107C. 43D. 744.从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是()A. 121B. 27C. 17D. 1145.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加知识竞赛，决出第一名到第五名(无并列名次)，已知甲排第二，乙不是第五，丙不是第一，据此推测5人的名次排列情况共有()种A. 21B. 14C. 8D. 56.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=12nx(n>0)上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为()A. √33B. √3 C. √22D. 17.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看作所有棱长均为4cm的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为()A. √6+√2B. √6−√2C. √3+1D. √3−18.设实数m>0，若对任意的x∈(1,+∞)，不等式2e2mx−lnxm≥0恒成立，则实数m 的取值范围是()A. [12e ,+∞) B. [12,+∞) C. [1,+∞) D. [e,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为()A. A77⋅A1010B. A177⋅A1010C. A177+A1010D. A171710.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A. P(X=1)=821B. 随机变量X服从二项分布C. 随机变量X服从超几何分布D. E(X)=8511.已知复数z1=2−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2−i|=1，则下列结论正确的是()A. P1点在复平面上的坐标为(2,−2)B. z1−=2+2iC. |z1−z2|的最大值为√13+1D. |z1−z2|的最小值为√5−112.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△ABF1为等边三角形，则下列结论一定正确的是()A. 双曲线C的离心率为√7B. △AF1F2的面积为2√3a2C. △BF1F2的内心在直线x=±a上D. △AF1F2内切圆半径为(√3−1)a三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=4√x在点(1,4)处的切线方程为______ ．14.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品，已知三家公司的市场占有率分别是25%、25%、50%，且三家公司产品的次品率分别为2%、1%、4%，则市场上该产品的次品率为______ (结果用百分数表示)，该次品是甲公司生产的概率为______ ．15.有6名大学生到甲、乙、丙三所学校去实习，每名大学生只取一所学校，若甲、乙、丙三所学校都需要2名大学生，则不同安排方法的种数为______ .(用数字作答) 16.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=√2，E为AD1的中点，F为D1B上一点，则(EF+FC)2的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(x0,y0)在抛物线C上，且|PF|=x0+1．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．18.某公司开发了一款手机APP，为了解用户对这款APP的满意度，推出该APP3个月后，从使用该APP的用户中随机调查了50名用户，根据这50名用户对该APP满意度的评分，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100)．(1)求频率分布直方图中a的值，以及该数据的中位数(中位数的结果保留小数点后一位数)．(2)公司规定：用户对该APP满意度的评分不得低于75份，否则将对这款APP进行整改，用每组数据的中点值，试估计用户对该APP满意度评分的平均分，并据此回答公司是否需要进行整改．19.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BE⊥AD，BC=1，AD=5，BE=√3.把△ABE沿BE折起，使得AC=2√2，得到四棱锥A−BCDE.如图2所示．(1)求证：AE ⊥平面BCD ；(2)求平面ABC 与平面AED 所成锐二面角的余弦值．20. 小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为23，小亮投篮成功的概率为34，每次投篮成功与否相互独立． (1)小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过3次的概率；(2)小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮2次，记他们总共投篮成功的次数之和为X ，求X 的分布列与期望． 21. 椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，长轴长为2√6．(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)直线l 与圆C 2：x 2+y 2=2相切于点M ，交C 1于两点A ，B ，试问：|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．22.已知函数f(x)=e x−a(x−1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(x>0)，函数g(x)的唯一极小值点为x0，点(2)设a>1，g(x)=f(x)+1xA(x1,g(x1))和B(x2,g(x2))是曲线y=g(x)上不同两点，且g(x1)=g(x2)，求证：x1⋅x2<x02．答案和解析1.【答案】C【解析】解：z⋅i=1+i，∴z⋅i⋅(−i)=(1+i)⋅(−i)，化为：z=1−i，则|z|=√2，故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：二项式(√x−2x )5的展开式的通项Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−3r2，令5−3r2=1，得r=1，所以二项式(√x−2x)5的展开式中x的系数为C51⋅(−2)1=−10，故选：A．得到通项Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−3r2，x的幂指数为1可求得r=1，从而可得答案．本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质与二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：因为30%×6=1.8，50%×6=3，所以第30百分位数为n=28，第50百分位数为37+m2=34+432，解得m=40，所以mn =4028=107．故选：B．利用百分位数的定义求解．本题主要考查了百分位数的定义，同时考查了学生的计算能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张的所有情况有C72=21种，抽到的2张卡片上数字之和为8的情况有(1,7)，(2,6)，(3,5)共3种，∴抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是321=17．故选：C．计算抽到的2张卡片上数字之和为8的情况种数除以所有抽到的2张卡片种数即可解决此题．本题考查古典概型、组合数，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①乙是第一名，丙、丁、戊三人排在第三、四、五名，有A33=6种名次排列情况；②乙是第三名或第四名，丙不是第一，丙有2种可能，剩下2人有A22=2种可能，此时有2×2×2=8种名次排列情况；则有6+8=14种名次排列情况，故选：B．根据题意，分2种情况讨论：①乙是第一名，②乙是第三名或第四名，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(18n,0)，设P(2ny02,y0)，y0>0，所以FP的中点M(116n +ny02,y02)，所以k OM=y02116n+ny02=y018n+2ny02≤02√18n⋅2ny0=1，所以直线OM的斜率的最大值为1，故选：D．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设P的坐标，求出PF的中点M的坐标，进而求出直线OM的斜率的表达式，由均值不等式可得直线OM的斜率的最大值．本题考查线段中点的求法及直线斜率的求法和均值不等式的应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由粽子的形状是所有棱长均为4cm的正四棱锥，得每个侧面三角形的面积为12×4×4×√32=4√3cm2．∴粽子的表面积为4×4√3+4×4=(16√3+16)cm2；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，正四棱锥的高为ℎ=√42−(2√2)2=2√2cm，设球的半径为r，∴四棱锥的体积V=13×(16√3+16)r=13×16×2√2，解得r=√6−√2cm．故选：B．由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求，求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径．本题考查空间几何体的结构特征及相关计算，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】A【解析】解：依题意，2me2mx−lnx≥0，即2mx⋅e2mx−xlnx≥0，即e2mx⋅lne2mx≥xlnx，设f(x)=xlnx(x>1)，f′(x)=lnx+1>0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，∴e2mx≥x在(1,+∞)上恒成立，即2m≥lnxx在(1,+∞)上恒成立，设g(x)=lnxx (x>1),g′(x)=1−lnxx2，易知函数g(x)在(1,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，∴2m≥g(x)max=g(e)=1e ，则m≥12e．故选：A．将已知不等式可以同构为e2mx⋅lne2mx≥xlnx，设f(x)=xlnx(x>1)，则f(e2mx)≥f(x)，由f(x)的单调性可知2m≥lnxx 在(1,+∞)上恒成立，再构造函数g(x)=lnxx(x>1)，求出函数g(x)的最大值即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：根据题意，法一：对于前排的7人，先在17人中选出7人，排成一排，有A177种排法，将剩下的10人排成一排，有A1010种排法，则有A177A1010种排法，B正确；法二：直接将17人排成一排，左边7人安排在第一排，后面的10人安排在第二排即可，有A1717种排法，D正确；故选：BD．法一：依次分析第一排和第二排的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；法二：直接将17人排成一排，左边7人安排在第一排，后面的10人安排在第二排即可，再计算出不同站法的种数．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C41C63C104=821，P(X=2)=C42C62C104=37，P(X=3)=C43C61C104=435，P(X=4)=C44C104=1210，∴E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85，故A，D正确．故选：ACD．由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．本题考查命题真假的判断，超几何分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABC【解析】解：复数z1=2−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，则P1(2,−2)，z1−= 2+2i．复数z2满足|z2−i|=1，则z2对应的点的轨迹为：以C(0,1)为圆心，1为半径的圆．∴|z1−z2|的最大值为|CP1|+1=√22+(−2−1)2+1=√13+1；|z1−z2|的最小值为|CP1|−1=√22+(−2−1)2−1=√13−1．综上可得：ABC正确，D不正确．故选：ABC．复数z1=2−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，可得P1(2,−2)，z1−.复数z2满足|z2−i|=1，可得z2对应的点的轨迹为：以C(0,1)为圆心，1为半径的圆．因此|z1−z2|的最大值为|CP1|+1；|z1−z2|的最小值为|CP1|−1．本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：显然C正确，若过F2的直线与双曲线交于A，B两点，当A，B都在双曲线的右支上时，因为△ABF1为等边三角形，则AB垂直于x轴，所以A，B关于x轴对称，可得A(c,b2a)，由题意可得b2a2c=√33，又b2=c2−a2，e=ca，所以可得e2−2√33e−1=0，e∈(1,+∞)，解得：e=√3，所以A不正确；且c=√3a，在△AF1F2中，设其内切圆的半径为r，由等面积法可得12r(6a+2√3a)=12×4a×2a×√32，∴r=(√3−1)a；当当A，B都在双曲线的左，右两支上时，设AB=BF1=AF1=m，AF2=2a，由双曲线的定义可知AF1−AF2=2a，得m=4a，在△AF1F2中由余弦定理，cos120°=4a2+16a2−4c22×2a×4a ，得e=ca=√7，设内切圆的半径为r′，则12⋅(6a+2√7a)r′=12⋅2a⋅4a⋅√32，得r′=√3a3+√7，故AD错误；不论什么情况下△AF1F2的面积为2√3a2，故选：BC．利用题中的条件以及双曲线的定义及其性质即可做出判断．本题考查了双曲线的定义及其性质，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于中档题．13.【答案】y=2x+2【解析】解：y=4√x的导数为y′=4⋅2√x =√x，可得曲线y=4√x在点(1,4)处的切线斜率为k=21=2，则切线的方程为y−4=2(x−1)，即y=2x+2．故答案为：y=2x+2．求得曲线y=4√x的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】2.75%211【解析】解：根据题意，假设市场上该产品共有a件，则次品有a×25%×2%+a×25%×1%+a×50%×4%=2.75a%，则市场上该产品的次品率P=a×2.75%a=2.75%；该次品是甲公司生产的概率P′=a×25%×2%a×2.75%=211；故答案为：2.75%，211．根据题意，假设市场上该产品共有a件，求出次品的数目，计算可得该产品的次品率，进而计算可得该次品是甲公司生产的概率，即可得答案．本题考查互斥事件的概率的计算，注意概率的概念和计算公式，属于基础题．15.【答案】90【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①在6名大学生中选出2人，安排在甲学校，有C62=15种安排方法，②在剩下的4名大学生中选出2人，安排在乙学校，有C42=6种安排方法，③剩下2人安排到丙学校，有1种安排方法，则有15×6=90种安排方法；故选：根据题意，分3步进行分析：①在6名大学生中选出2人，安排在甲学校，②在剩下的4名大学生中选出2人，安排在乙学校，③剩下2人安排到丙学校，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】4+√3【解析】解：由题意得AD1=√2⋅√2=2，D1E=1，D1C=√D1D2+DC2=√2+4=√6将平面D1AB和平面D1BC在一个平面内展开，见平面展开图，根据三角形三边关系知，EF+FC≥EC，所以(EF+FC)2的最小值为EC2=D1E2+D1C2−2⋅D1E⋅D1C⋅cos∠AD1C=1+6−2⋅(cos45°cos30°−sin45°sin30°)=4+√3，故答案为：4+√3．把平面D1AB和平面D1BC在一个平面内展开，根据三角不等式及余弦定理求解．本题考查了长方体的结构特征，考查了两点间距离最小值问题，属于中档题．=x0+1，17.【答案】解：(1)根据焦半径公式可知|PF|=x0+p2解得：p=2，所以抛物线方程是y2=4x；(2)抛物线的焦点F(1,0)，直线l的斜率不可能为0，设直线l：x=my+1，与抛物线方程联立y2−4my−4=0，y1+y2=4mx1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4，解得：m=0，所以直线l的方程是x=1．【解析】(1)通过焦半径公式求解p，得到抛物线方程．(2)抛物线的焦点F(1,0)，直线l的斜率不可能为0，设直线l：x=my+1，与抛物线方程联立y2−4my−4=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解m，得到直线方程．本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．18.【答案】解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，解得a= 0.006，设该组数据中位数为x，则(0.004+0.006+0.022)×10+0.028×(x−70)=0.5，解得x≈76.4，所以该组数据的中位数为76.4；(2)由题中数据可得，对APP满意度评分的平均分为x−=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2，因为76.2>75，所以公司不需要进行整改．【解析】(1)利用概率之和为1，列出方程求出a的值，再由频率分布直方图中中位数的求解方法计算中位数即可；(2)由平均数的计算公式求出对APP满意度评分的平均分，比较即可得到答案．本题考查了频率分布直方图的理解和应用，主要考查了由频率分布直方图求解频率的方法，由频率分布直方图求解中位数和平均数的方法，考查了逻辑推理能力与数据分析能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：在等腰梯形中，BC =1，AD =5，BE ⊥AD ，可知AE =2，DE =3， 由BE ⊥BC 可得CE =2．又AC =2√2，则AC 2=CE 2+AE 2， 则AE ⊥EC ，又BE ⊥AE ，BE ∩EC =E ， 可得AE ⊥平面BCD(2)解：AE ⊥EC ，BE ⊥AE ，BE ⊥ED ，则以点E 为原点，以EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A(0,0，2)，B(√3,0,0)，C(√3,1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面ABC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则：{√3x =2z y =0⇒n 1⃗⃗⃗⃗ =(2,0,√3)， 注意到，面AED 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设平面ABC 与平面AED 所成锐二面角的平面角为θ， 故cosθ=cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=2√4+3=2√77．【解析】(1)证明BE ⊥AD ，BE ⊥BC ，推出AE ⊥EC ，然后证明AE ⊥平面BCD (2)以点E 为原点，以EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABC 的法向量，面AED 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面ABC 与平面AED 所成锐二面角的平面角的余弦函数值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)记小明用了i(i =1,2，3)次投篮就停止为事件A i ，小明在停止投篮时投篮次数不超过3次为事件M ，则P(M)=P(A 1)+P(A 1−⋅A 2)+P(A 1−⋅A 2−⋅A 3)=23+13×23+13×13×23=2627．(2)由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，3，4 则P(X =0)=(13)2⋅(14)2=1144，P(X =1)=C 21⋅23⋅13⋅(14)2+C 21⋅34⋅14⋅(13)2=572，P(X =2)=(23)2⋅(14)2+(13)2⋅(34)2+C 21⋅23⋅13⋅C 21⋅34⋅14=37144， P(X =3)=(23)2⋅C 21⋅34⋅14+(34)2⋅C 21⋅23⋅13=512，P(X =4)=(23)2⋅(34)2=14， 所以X 的分布列为：期望E(X)=0×1144+1×572+2×37144+3×512+4×14=176．【解析】(1)记小明用了i(i =1,2，3)次投篮就停止为事件A i ，小明在停止投篮时投篮次数不超过3次为事件M ，利用互斥事件的概率求解即可．(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到分布列，然后求解期望． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，ca =√2且2a =2√6，解得：a =√6，c =√3，所以b 2=a 2−c 2=3， 则椭圆C 1：x 26+y 23=1；(2)当直线l 的斜率不存在时，不妨令M(√2,0)， 故A(√2,√2)，B(√2,−√2)，则|MA|⋅|MB|=2，当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m ，M(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，故，圆心到直线的距离d =√1+k 2⇒m 2=2(k 2+1)，且k =−xy 0，联立：{y =kx +mx 2+2y 2=6⇒(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0， ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，且x 02+y 02=2，由于A ，M ，B 三点共线，则|MA|⋅|MB|=−MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 0)(x 2−x 0)+(kx 1+m −y 0)(kx 2+m −y 0)=(1+k 2)x 1x 2+(km −ky 0−x 0)(x 1+x 2)+x 02+(m −y 0)2=(1+k 2)(2m 2−6)1+2k 2−4km(km −ky 0−x 0)1+2k2+x 02+y 02−2my 0+m 2 =2m(kx 0−m)1+2k 2+2，注意到k =−xy 0且y 0=kx 0+m ，则x 0=−km k 2+1，代入上式，即得：MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m 2−2k 2m 2k 2+11+2k 2+2=−4(2k 2+1)1+2k 2+2=−2故|MA|⋅|MB|=−MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2．【解析】(1)利用椭圆的离心率，长轴长，求解a ，b ，定点椭圆方程．(2)当直线l 的斜率不存在时，推出|MA|⋅|MB|=2，当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m ，M(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求出圆心到直线的距离，联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理的结果，由于A ，M ，B 三点共线，化简向量的数量积，推出结果．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】(1)f(x)的定义域为R ，f′(x)=e x −a ，当a ≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R 上单调递增； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =lna ，当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0；当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0． 所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，f(x)在R 上单调递增；当a >0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增． (2)由题意g′(x 0)=0得a =e x 0−1x 02，不妨设x 1<x 2，由g(x 1)=g(x 2)，得e x 1−ax 1+a +1x 1=e x 2−ax 2+a +1x 2，即e x 1−e x 2x 1−x 2=a +1x1x 2，且a =e x 0−1x 02，所以e x 1−e x 2x 1−x 2−1x 1x 2=e x 0−1x 02，要证x 1x 2<x 02，即证√x 1x 2<x 0，显然ℎ(x)=e x −1x 2在(0,+∞)上是增函数，故只需证ℎ(√x 1x 2)<ℎ(x 0)，即证e √x 1x 2−1x 1x 2<e x 0−1x 02，即证e √x 1x 2−1x1x 2<e x 1−e x 2x 1−x 2−1x1x 2，即证e √x 1x 2<e x 1−e x 2x 1−x 2，又由于√x 1x 2<x 1+x 22，故只需证e x 1+x 22<e x 1−e x 2x 1−x 2，即证x 2−x 1<ex 2−x 12−ex 1−x 22，令ex 2−x 12=t(t >1)，则x 2−x 1=2lnt ，所以即证2lnt <t −1t ．令φ(t)=2lnt −t +1t (t >1)，则φ′(t)=−(t−1)2t 2<0，所以φ(t)在(1,+∞)上为减函数， 从而φ(t)<φ(1)=0，即有2lnt <t −1t ，从而x 1x 2<x 02成立．【解析】(1)对于f(x)求导，再对a 分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；(2)分析可得要证x 1x 2<x 02，x 2−x 1<ex 2−x 12−ex 1−x 22，令ex 2−x 12=t(t >1)，即证2lnt <t −1t ，令φ(t)=2lnt −t +1t (t >1)，利用导数求得φ(t)的单调性，从而证得φ(t)<0，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
重庆市巴蜀中学2019-2020学年度第二学期高2021届（二下）数学月考试题答案一、选择题：123456789101112DCADBCCDBAAD二、填空题：13.414.3015.28816.12895.三、解答题：17.（1）12045636=⨯⨯=A .（2）若百位为5，则有1243=⨯个；若百位为6，则有842=⨯个，∴61120812=+=P .18.（1）110)201.0035.0015.0(=⨯+++x ，解得02.0=x .（2）口罩准备数量在)20,10[的人数：601.0015.0015.010=+⨯人，]60,50[的人数：401.0015.001.010=+⨯人.（3）由题3,2,1,0=X .1204)0(31034===C C X P ，12036)1(3102416===C C C X P ，12060)2(3101426===C C C X P ，12020)3(31036===C C X P ，故分布列为：X 0123P1204120361206012020期望59120216120203120602120361)(==⨯+⨯+⨯=X E .19.（1）P （一次）=81，P （两次）=817187=⨯，∴P （不多于两次）=418181=+（2）4141214121)200(=⨯+⨯==X P ，41314321314321)300(=⨯⨯+⨯⨯==X P ，21)300()200(1)400(==-=-==X P X P X P ,故分布列为：X 200300400P414121均值325214004130041200)(=⨯+⨯+⨯=X E .20.（1）证明：∵⊥AB 平面PAD ，⊆PD 平面PAD ∴AB PD ⊥∵PA PD ⊥，⊆AB PA ,平面PAB ，A AB PA = ，∴⊥PD 平面PAB .（2）∵PD PA ⊥，AD PA =∴△PAD 为等腰直角三角形，∵CD AC =，∴△ACD 为等腰三角形.以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.设OC=m ，则A （0,1,0），P （0,0,1），C （m,0,0），D （0,-1,0）∴)1,1,0(-=PA 设平面PDC 的法向量为),,(z y x n =∵)1,1,0(),0,1,(==DP m DC ，∴⎩⎨⎧=+=+00z y y mx ，令1=x ，则m z m y =-=,，∴),,1(m m n -=.∴652|1222||,cos |sin 2=+⨯-=><=m m n PA θ，解得32=m .∴1322=+=OD OC CD .21.（1）∵21,32==BC AB ，∴2222,21,322c b a a b c +===，解得1,2==b a ∴椭圆的方程为1422=+y x .（2）0448)41(4422222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y ，�4144 �4182221221k m x x k km x x +-=+-=+.∵直线与椭圆相交，∴0140)44)(41(464222222>+-⇒>-+-=∆m k m k m k ③∵设),(),,(2211y x F y x E ，不妨设210x x <<，由041442221<+-=k m x x ，得12<m ||||21||||21121x OP S x x OP S OPE OEF =-=∆∆， ，且POE OEF S S ∆∆=4则||4||121x x x =-，去掉绝对值，则123x x -=④联立①④，得：21414k km x +=，224112k kmx +-=代入②得：4161414441441122222222--=⇒+-=+⋅+-m m k k m k km k km 代入③式有：141011412222<<⇒>+---m m m m ；所以m 的范围为121211<<-<<-m m 或.22.（1）当1=a 时，321ln )(x x x x f -=，21)1(-=f ；2231ln )('x x x f -+=，21231)1('-=-=f ；∴切线方程为：x y x y 21)1(2121(-=→--=--.（2）)()(0)()(22112121x g xx x f x g x f x x -=→=+.对于x x x x g 123)(+-=，在)1,21(∈x 上单调递减，)2,1(∈x 上单调递增，∴1=x 时，21)(=x x g ，21=x 或2时，1)(=x x g ，∴当]2,21[∈x 时，]1,2[)(--∈-x g x.令x a ax x x x f x h )1(21ln )()(2-+-==，则0)1)(1(0)1)(1(1)1(11)('2>+-→>+--=----=-+-=ax x x a x x a x x a ax a ax x x h ①]1,(--∞∈a 时，)(x h 在)2,1(∈x 上单调递增，∴122ln )2(,212)1(-≤-=-≥-=h ah ，解得]1,2[--∈a .②21,1(--∈a 时，)(x h 在)1,1(a x -∈上单调递减，)2,1(a x -∈上单调递增，∵122ln )2(,112)1(-≤-=-≤-=h a h 恒成立，下证2121)ln(1(-≥-+--=-aa a h 恒成立.令210211)(',121)ln()(2-<→>--=-+--=a a a a p a a a p ，∴)(a p 在)21,1(--∈a 上单调递增，223)1()(min ->-=-=p a p 恒成立，∴21,1(--∈a .③)0,21[-∈a 时，)(x h 在)2,1(∈x 单调递减，∴222ln )2(,112)1(-≥-=-≤-=h a h ，解得)0,21[-∈a .综上所述：)0,2[-∈a .。
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分).1．复数z满足（2+i）•z＝i﹣1，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x||2x+1|＜3}，B＝{x|（x﹣2）（x+1）＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，1）B．（﹣2，2] C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1）3．变量x，y之间有如下对应数据：x 4 4.5 5.5 6y12 11 10 9已知变量y对x呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）A．3 B．3.5 C．17 D．17.54．二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．35．为做好社区新冠疫情防控工作，需将五名志愿者分配到三个社区去开展工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必须去同一个社区，则不同的分配方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种6．已知a，b为非零实数，则“a＜b”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线l过F1分别交双曲线左、右支于A、B点，|F2A|＝|F2B|，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆否命题是真命题B．命题“若x＝1，则x2＝1”的否命题是“若x＝1，则x2≠1”C．命题“∀x＞0，都有x2＞0”的否定是“∃x＞0，使得x2≤0”D．若p∧q为假命题，则p、q都为假命题10．为了解全市居民月用水量，随机抽取了1000户居民进行调查，发现他们的月用水量都在0～24t之间，进行等距离分组后，图1是分成6组，图2是分成12组，分别画出频率分布直方图如图所示：则下列说法正确的是（）A．从图1中知：抽取的月用水量在[4，8）t之间的居民有50户B．从图1中知：月用水量的90°分位数为18tC．由图1估计全市居民月用水量的平均值为7.76t（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）D．图1中：组数少，组距大，容易看出数据整体的分布特点；图2中：组数多，组距小，不容易看出总体数据的分布特点11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点），则（）A．对任意的F点，三棱锥F﹣ADE与三棱锥A1﹣ADE的体积相等B．对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形C．存在点F，使得EF∥平面A1C1DD．存在点F，使得EF⊥平面BDC112．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（）A．ab有最大值B．有最小值8C．有最小值4 D．a2+b2有最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
