滚动小专题(四) 函数的图像与性质

函数的图像和性质专题 第1讲 函数的基本性质总结（一）、函数单调性 1、函数单调性的定义 （1）、设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

区间D 称为y=f(x)的单调增区间（2）、如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：（1） 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2） 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) 。

2、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (1) 定义法：1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；2 作差f(x 1)－f(x 2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (2)图象法(从图象上看升降)_(3)要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性，特别要注意(0,0)by ax a b x=+>>型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b ba a-∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b ba a-(4)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f [g(x)] 增 减 减 增 例、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）； 注意：求单调区间时，一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”,三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．例、若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,23)）（二）、函数的奇偶性1、函数的奇偶性 （1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：（1） 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

专题二、函数的基本性质及图像例2、讨论()af x xx=+的单调性。

（2）、导数法：设y()=在(a,b)内可导，f x①．若在(a,b)内恒有'()0f x>，则函数y()f x=在(a,b)内单调递增．②．若在(a,b)内恒有'()0f x<，则函数y()=在(a,b)内单调递减．f x例3、求函数()ln=-的单调性f x x x（45（1）奇（偶）函数在对称的两个区间上单调性相同（反）。

（2）在公共定义域上：增函数 + 增函数仍是增函数；减函数 + 减函数仍是减函数；增函数⨯负数所得函数是减函数；减函数⨯负数所得函数是增函数。

6、单调性的应用（1）求参数的取值范围 （2）求解或证明不等式（3）比较两个函数值或自变量的大小例6、已知()f x 为(0,)+∞上的增函数，若2()(3)f a a f a -=+，则实数a 的取值范围为________0)≠ 偶函数()()()f x f x f x ⇔-=，等价形式：()()0f x f x --=，()1(()0)()f x f x f x -=≠ ()()()f x f x fx =-=(2)若奇函数()f x 的定义域中含有0，则必有(0)0f =（3）函数()()f x g x 、的定义域分别为12D D 、，在它们的公共定义域D 上有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯偶=奇，奇偶性相同的两个函数之积是偶函数。

（4）任一个函数（定义域关于原点对称）都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”：即()()()()()22f x f x f x f x f x +---+=，()()()()()22f x f x f x f x f x -+---=（5）既是奇又是偶的函数有无穷多个(定义在关于原点对称的任一数集上的函数()0f x =)34T （4）周期函数的定义域一定是无限集（5）一些求周期的方法：①若()y f x =图像有两条对称轴,x a x b ==（a b ≠） 则()y f x =必是周期函数，且周期2T a b =-②若()y f x =的图像有两个对称中心A≠（a,0）,B(b,0)(a b)则()y f x =必是周期函数，且周期2T a b =-③若()y f x =的图像有一个对称中心A （a,0）和一条对称轴≠x=b(a b)则()y f x =必是周期函数，且周期4T a b =-④函数()f x 满足()()f x f a x -=+，则()f x 必是周期函数，20T a =≠(a ) ⑤函数()f x 满足1()()f x a f x +=±，则()f x 必是周期函数，20T a =≠(a )对称。

常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势：3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R单调性：当k>0时 ；当k<0时奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。

补充：反函数定义：例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1(x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）=周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： xy b Of (x )=bx y Of (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标反比例函数 f (x )=xk(k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较3）、f (x )=dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为②当0>a 时，开口向上，有最低点 当0<a 时。

初中知识点归纳——函数图像篇函数图像是初中数学中的重要内容之一。

通过函数图像的形状、特点以及变化规律，可以深入理解函数的性质和作用。

本文将从函数图像的基本形状与分类、常见函数图像的特点及其变化规律等方面进行归纳与总结。

一、函数图像的基本形状与分类函数图像的形状可以分为线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等几种常见类型。

1. 线性函数图像线性函数的特点是图像为一条直线。

直线的斜率表示了函数的增减趋势，当斜率为正时，函数图像呈上升趋势；当斜率为负时，函数图像呈下降趋势；斜率为0时，函数图像为水平直线。

2. 二次函数图像二次函数的图像通常为抛物线形状。

抛物线的开口方向由二次项的系数决定，当二次项的系数为正时，抛物线开口向上；当二次项的系数为负时，抛物线开口向下。

二次函数的图像还受到常数项的影响，常数项决定了抛物线的位置。

3. 指数函数图像指数函数的图像为指数曲线，呈现上升或下降的趋势。

指数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。

当底数大于1时，指数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，指数曲线呈现下降趋势。

4. 对数函数图像对数函数的图像为对数曲线，也呈现上升或下降的趋势。

对数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。

当底数大于1时，对数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，对数曲线呈现下降趋势。

二、常见函数图像的特点与变化规律1. 线性函数的特点与变化规律线性函数的图像为一条直线，具有以下特点和变化规律：（1）斜率决定了线性函数图像的倾斜程度和方向，斜率越大图像越陡峭，斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降。

（2）截距决定了线性函数图像与纵轴的交点位置，截距为正表示交点在纵轴上方，截距为负表示交点在纵轴下方。

2. 二次函数的特点与变化规律二次函数的图像为抛物线，具有以下特点和变化规律：（1）开口方向由二次项的系数决定，正系数表示抛物线开口向上，负系数表示抛物线开口向下。

（2）顶点是抛物线的最高点或最低点，在坐标系中的横坐标为顶点的x坐标，纵坐标为顶点的y坐标。

五大基本函数图像及性质经过数学发展的几千年，函数成为数学研究的主要内容之一，用来描述理解宇宙规律的精妙抽象工具，而函数图像则是这些函数形式反射出来的表达形式。

在数学探索中，五种基本函数图像最为常见，它们分别是：直线函数图像，二次函数图像，指数函数图像，对数函数图像和正弦函数图像。

直线函数图像是函数图像中最简单的一种形式，它可以用方程的形式y=kx +b来表示，其中K表示斜率，b表示偏移量，x、y是函数的模型变量，模型变量是可以表达数学物理实验结果的变量。

斜率便是表示函数图像斜线斜率，偏移量是表示函数图像经过y轴的截距，而此类函数一般没有极限，但伴随着变量不断变化而无限的延伸。

这种特性使它成为很多具有统计推论意义的实验结果的基础数据，在解决微积分问题时也是非常重要的概念。

二次函数图像的基本形式为y=ax^2 +bx +c，其中a,b,c代表的是函数的方程的三个常数，x是函数模型变量，y是函数的值，在实际应用中，一般需要将该方程写成y=a(x-h)^2 +k的形式；a为非负实数，当a为0时，表示函数直线，当a不为0时，表示函数曲线；h是函数的极值点横坐标，k是函数极值点的点的纵坐标，这样的函数有两个极值点，极值点的大小取决于a的正负，正值表示极值点为最小值，负值表示极值点为最大值。

指数函数图像是根据指数函数进行描述的，其基本形式为y=a^x，其中a为正实数，x为函数模型变量，y为函数值，这种函数图像有两个极限，即横坐标上趋于无穷大时，纵坐标为正负无穷大，指数函数在应用时非常广泛，它可以用来描述多种不同的物理实验结果，比如温度变化，加速速度的变化等等。

对数函数图像是根据对数函数来描绘的，其基本形式为y=loga(x)，其中a是底数，x是函数模型变量，y是函数值，这种函数图像的横坐标上的极限为0，纵坐标上的极限为正负无穷大，对数函数可以用来描述指数函数和二次函数的变化，在温度变化，分子运动速度和其它变化等等应用也十分重要。

初中数学函数图像知识点汇总函数是数学中的重要概念，而函数图像则是理解函数性质的重要工具之一。

在初中数学中，学习函数图像有助于学生理解函数的变化规律、性质和应用。

下面将对初中数学函数图像的知识点进行详细总结。

1. 基本函数图像：(1) 常数函数 f(x)=a : 这是一条平行于x轴的直线，横坐标不变，纵坐标为常数a。

(2) 一次函数 f(x)=kx+b : 这是一条斜率为k的直线，纵截距为b。

(3) 平方函数 f(x)=x^2 : 这是一条开口向上的抛物线，对称轴是y轴。

(4) 绝对值函数 f(x)=|x| : 这是一条以原点为顶点的V字形折线。

2. 函数的变换：(1) 平移：将函数图像沿x轴或y轴平行地移动。

当函数图像向右平移h单位时，函数表示形式为f(x-h)；当函数图像向上平移k单位时，函数表示形式为f(x)+k。

(2) 翻折：将函数图像沿x轴或y轴翻转。

当函数图像关于x轴对称时，函数表示形式为-f(x)；当函数图像关于y轴对称时，函数表示形式为f(-x)。

(3) 压缩与拉伸：将函数图像沿x轴或y轴进行扩大或缩小。

当函数图像水平方向压缩为原来的1/a倍，纵轴方向拉伸为原来的a倍时，函数表示形式为f(ax)；当函数图像水平方向拉伸为原来的a倍，纵轴方向压缩为原来的1/a倍时，函数表示形式为f(x/a)。

3. 常见函数图像特征：(1) 斜率：一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度。

斜率越大，函数图像越陡峭。

(2) 零点：函数图像与x轴相交的点称为零点。

零点对应于函数的解，即f(x)=0。

(3) 最值：函数图像的最高点称为最大值，最低点称为最小值。

(4) 对称中心：若函数图像关于某一点对称，则该点为对称中心。

常见对称中心有原点和y轴。

(5) 单调性：函数图像在某一区间上递增或递减称为函数的单调性。

4. 常用函数图像的特点：(1) 常数函数 f(x)=a : 函数图像平行于x轴，斜率为0，没有零点，单调性为常数。

函数的图象和性质本专题对函数的图象和性质进行复习与深化，这类题目考查的知识点较多，要求学生的能力也较强，试题呈现多样.解这类题一要有数形结合思想，二要有函数思想.要善于将题目中的条件转化为点的坐标、变量之间的关系.复习时，深刻理解函数是刻画动态问题的最佳数学模型，从而灵活建立函数关系式，熟悉各种题型的解题策略，不断丰富解题经验.类型1 同一坐标系下多个函数图象例1 (2013·杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x 2和y=1x的图象. ①如果1a >a>a 2，那么0<a<1；②如果a 2>a>1a ，那么a>1；③如果1a >a 2>a ，那么-1<a<0；④如果a 2>1a>a ，那么a<-1，则( )A.正确的命题是①④B.错误的命题是②③④C.正确的命题是①②D.错误的命题只有③【解答】一次函数与反比例函数联立方程组1.y x y x =⎪=⎧⎪⎨⎩，解得1,1x y ==⎧⎨⎩或1,1.x y =-=-⎧⎨⎩故一次函数与正比例函数的交点坐标为(1，1)、(-1，-1). ∵y=x 2过(1,1)，∴(1,1)是三个函数图象的交点.又y=x 与y=x 2都过原点， ∴(0,0)是它们的一个交点. 自变量取值 a<-1 -1<a<0 0<a<1 a>1 函数大小a 2>1a >a a 2>a>1a 1a >a>a 2a 2>a>1a可知①、④正确；②、③错误，故选A.方法归纳：根据函数图象比较自变量的取值范围时，一般是看界点左右两边自变量所对应函数值的大小情况.有时自变量的取值范围不止一段，所以不要漏解.1.(2014·淄博)如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0，-2)，它与反比例函数y=-8x的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的解析式为( )A.y=x 2-x-2B.y=x 2-x+2C.y =x 2+x-2D.y=x 2+x+22.(2014·泰安)已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m<n)的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx+的图象可能是( )类型2 二次函数的图象与性质综合例2 (2013·新疆改编)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点的坐标是(4，3).(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小?若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用二次函数图象的轴对称和两点之间线段最短确定点D位置，并求出周长的最小值.【解答】(1)把A(1，0)，C(4，3)代入y=ax2+bx+3，得301643 3.a ba b++=++=⎧⎨⎩，解得1,4.ab==-⎧⎨⎩∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)存在.假设抛物线对称轴上存在点D，使△BCD的周长最小.∵△BCD的周长=BD+CD+BC，而BC是定值.∴当BD+CD最小时，△BCD的周长最小.由y=x2-4x+3=(x-2)2-1知，抛物线的对称轴为直线x=2.∵点A与点B关于直线x=2对称，∴AD=BD.∴BD+CD=AD+CD.故当A、D、C三点在同一条直线上时，AD+CD最小.即D为直线AC与直线x=2的交点.∵直线AC经过点A(1，0)，C(4，3).∴直线AC的解析式为y=x-1.当x=2时，y=2-1=1.∴D的坐标为(2，1).方法归纳：二次函数图象关于对称轴对称，常常利用这一性质解决线段最短或周长最短问题.1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值.2.(2013·昆明改编)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在边BC上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标.3.(2014·黔西南改编)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).经过点P作y轴的垂线，重足为E，连接AE.(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如果P点的坐标为(x,y)，△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求S 的最大值.参考答案类型1 同一坐标系下多个函数图象 1.A 2.C类型2 二次函数的图象与性质综合 1.(1)∵AB=2，对称轴为直线x=2， ∴A(1,0)，B(3,0).∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B ，∴1,3是方程x 2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系，得1+3=-b ，1×3=c. ∴b=-4，c=3.∴抛物线的函数表达式为y=x 2-4x+3.(2)连接AC 、BC ，BC 交对称轴于点P ，连接PA.由(1)知抛物线的函数表达式为y=x 2-4x+3，点A 、B 的坐标分别为(1,0)，(3,0). ∴点C 的坐标为(0,3).∴BC=2233+=32，AC=2231+=10.∵点A 、B 关于对称轴x=2对称，∴PA=PB. ∴PA+PC=PB+PC.此时，PB+PC=BC.∴当P 点在对称轴上运动时，PA+PC 的最小值等于BC. ∴△APC 周长的最小值=AC+AP+PC =32+10.2.(1)由题意知：A(4，0)，C(0，3)，BC=4. ∴BC 的中点坐标为(2，3).由对称性可知：抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3. 将O(0，0)代入得：0=a(0-2)2+3，解得a=-34.抛物线的解析式为y=-34x 2+3x. (2)∵直线AC 经过点A(4，0)，C(0，3)， ∴直线AC 的解析式为y=-34x+3.由2334334y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得111,94x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或224,0.x y =⎧⎨=⎩ ∴抛物线与直线AC 的交点的坐标为(1，94)和(4，0). ∴点D 的坐标为(1，94). 3.(1)由抛物线过C(0,3)，则设y=ax 2+bx+3. ∵抛物线过点A(-3,0)、B(1,0)， ∴9330,30.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12.a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3，顶点坐标为D(-1,4).(2)过点A 作AH ⊥AB 交EP 的延长线于点H.∵A(-3,0)、D(-1,4),∴直线AD 的解析式为y=2x+6.∴S=12AH ·EP=-12xy=-x(x+3) =-(x+32)2+94(-3<x<-1).∴当x=-32时，S 的最大值为94.。