推迟Green函数与时变电磁场.

时变电磁场时变电磁场亦称交变电磁场。

当电场和磁场都随时间变化时，由变化着的电场激发的磁场和由变化的磁场激发的电场的总称。

时变电磁场遵守麦克斯韦方程。

伴随时变电磁场有电磁波的传播。

根据场随时间变化的频率不同，时变电磁场又可分为似稳电磁场和迅变电磁场两种，前者场变化的频率较小，可以忽略场似辐射效应和推迟效应，可以用处理稳恒电磁场的方法近似处理;后者由于场变化频率较大，不可忽略辐射效应和推迟效应。

[1]时变电磁场是随时间变化着的电磁场。

时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而产生的效应。

这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。

如果将二根通入同向电流的平行导线，右边的那根导线向右弯曲成平面线圈，该平面线圈就成了最简单的磁石，那么根据平行电流的相互作用产生引斥力的结论，此时右边的通电平面线圈与左边的通电导线之间产生的就是引力。

时变电磁场同理，如果将右边的通电导线向左弯曲成平面线圈，线圈就与左边的通电导线之间产生的就是斥力，若右边的通电线圈可以绕着中心轴旋转，右边的通电线圈就会在斥力的作用下产生绕轴的翻转运动，就会直至翻转到能够与左边的通电导线产生最大引力的位置为止，此时向左弯曲线圈中的电流方向就会因翻转转的运动変成会与向右弯曲线圈中的电流方向一致，不会再产生绕轴的翻转运动了。

据此如果将这根通电导线周围的所有导线都弯曲变成通电线圈，那么不能与中心这根通电导线产生引力的通电线圈，就都会在斥力的作用之下产生绕轴的翻转运动。

如果这些通电线圈，就是摆放在通电导线周围，处在同一平面上的小磁针，此时通电导线周围的所有小磁针，就会在通电导线周围形成一圈NS二极首尾相连的小磁针的圆形分布。

这就是通电导线周围的小磁针能够产生绕轴旋转，在通电导线周围能够形成NS二极首尾相连的小磁针圆圈分布的原因。

关系M.法拉第提出的电磁感应定律表明，磁场的变化要产生电场。

这个电场与来源于库仑定律的电场不同，它可以推动电流在闭合导体回路中流动，即其环路积分可以不为零，成为感应电动势。

数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。

分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。

同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。

本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。

所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。

Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。

特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。

从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。

如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。

这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。

本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。

7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。

数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。

分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。

同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。

本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。

所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。

Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。

特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。

从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。

如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。

这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。

本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。

7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。

偏微分方程green公式偏微分方程（PartialDifferentialEquations，简称PDE）在数学和物理学中有着重要的作用，它可以描述多元函数的变化，进而用于解决实际问题。

其中，green公式是一种有用的方法，用于把复杂的PDES（偏微分方程组）转化为更容易求解的形式。

本文将介绍green 公式的定义、推导以及应用，并结合一些实例进行说明。

一、green公式的定义green公式是一种把偏微分方程组转化为更容易求解的形式的方法，由英国数学家George Green在19世纪发现，因此也称为green 公式。

它的形式为：$$ oint_{sp} left[f frac {partial u}{partialn}-frac{partial f}{partial n} Uright]ds=0 $$其中，U代表未知函数，f为边界条件，n为法向量，sp代表边界曲线。

二、green公式的推导green公式的推导可以分为四个步骤：1.先考虑f=0的特殊情况，即特征值方程。

2.令U(x,y)构成 Green数，写出 Green数的偏微分方程；3.给出 Green数 U(x,y)特解，并写出特解的表达式；4.根据Green函数U(x,y)的特解，推导出green公式。

三、green公式的应用Green公式可以用于许多应用领域，如热传导、电磁场、气流模拟等。

1.Green公式在热传导中的应用：热传导是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解温度场的变化问题。

如果将温度场用U(x,y)表示，则可以将热传导问题转化为求解green公式的问题。

2.Green公式在电磁场中的应用：电磁场是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解电和磁场分布的变化问题。

如果将电场用U(x,y)表示，则可以把电磁场变化问题转化为求解green公式的问题。

3.Green公式在气流模拟中的应用：气流模拟是一种应用green公式求解流体力学问题的方法。

green公式法摘要：1.引言2.Green 公式法的定义和原理3.Green 公式法的应用领域4.Green 公式法的优缺点5.结论正文：1.引言Green 公式，又称Green 恒等式，是由英国数学家George Green 在1828 年提出的。

这个公式在数学、物理以及工程领域中有着广泛的应用，尤其在解决一些偏微分方程和波动方程的问题时，具有重要的意义。

2.Green 公式法的定义和原理Green 公式法是一种求解偏微分方程的数值方法。

其基本原理是将偏微分方程中的积分操作用离散求和来代替，从而将偏微分方程转化为一个巨大的线性方程组，进而求解。

具体来说，对于一个在区域D 上的函数f(x, y)，如果它在区域D 上有一个连续的一阶偏导数，那么可以通过Green 公式法来求解该函数在区域D 上的值。

公式如下：D f(x, y) dA = D f(x, y)/n * dA，其中，n 为区域D 的边界单位法向量，dA 为区域D 的面积元素。

3.Green 公式法的应用领域Green 公式法在许多领域都有广泛的应用，如在电磁场问题的求解、热传导问题的求解、波动方程的求解等。

特别是在求解无界区域上的偏微分方程时，Green 公式法具有独特的优势。

4.Green 公式法的优缺点Green 公式法的优点在于它将复杂的偏微分方程转化为一个线性方程组，求解起来更加简便。

同时，它适用于许多不同的应用领域，具有较强的通用性。

然而，Green 公式法也存在一些缺点。

首先，它的适用性依赖于函数的一阶偏导数存在。

其次，当区域D 的边界形状复杂或者边界条件复杂时，求解难度会大大增加。

5.结论总的来说，Green 公式法是一种求解偏微分方程的有力工具，尤其在求解无界区域上的偏微分方程时，具有独特的优势。

第18讲时变电磁场（2）本节内容：一，坡印廷定理和坡印廷矢量二，时谐场三，复介电常数与复磁导率一，坡印廷定理和坡印廷矢量电磁场是一种物质，并且具有能量。

交变场中电场、磁场均随时间变化，所以电场能量密度、磁场能量密度也必随时间变化，而空间各点电磁能量密度的变化说明能量发生了转移或转化。

电磁能量按照一定的分布形式储存于空间，并且随着电磁场的变化在空间传输。

下面从麦克斯韦方程出发，导出表征电磁能量守恒和转换关系的坡印廷定理，以及描述能量转移情况的电磁能流矢量——坡印廷矢量。

1，电磁能量守恒——坡印廷定理（1）由麦克斯韦第一、二方程：t D J H ∂∂+=⨯∇ （5.5-1）t B E ∂∂-=⨯∇ （5.5-2） （5.5-2）H ⋅-（5.5-1）E ⋅得：t D E E J t B H H E E H ∂∂⋅-⋅-∂∂⋅-=⨯∇⋅-⨯∇⋅ （5.5-3） 而：()()t w H B t H B t t H H t B H m ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅ 2121μ同理：()()t w D E t D E t t D E t D E e ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅ 2121ε∴ ()E J w w tH E E H m e ⋅-+∂∂-=⨯∇⋅-⨯∇⋅由矢量恒等式： ()H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇()()E J w w tH E m e ⋅-+∂∂-=⨯⋅∇E J t w ⋅-∂∂-= 上式两边积分：()⎰⎰⎰⋅-∂∂-=⨯⋅∇V V V dV E J dV t w dV H E即：⎰⎰⋅-∂∂-=⋅⨯VSdVEJtWS dHE即：⎰⎰⋅+⋅⨯=∂∂-VSdVEJS dHEtW—坡印廷定理下面解释一下上式各项的物理意义。

由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为E J ，显然右边第二项为体积V 内的损耗功率。

左边为电磁能量的减少率。

而体积V 内电磁能量的减少不外乎两种原因，一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到V 之外。

偏微分方程green公式由偏微分方程green公式可知，偏微分方程在数学中一直占有着特殊的地位，它将某些类型的难题转化为算术问题，可以说是数学家们解决问题的法宝。

而green公式是偏微分方程的重点、核心内容，它则是数学界的一个重要的数学理论。

本文就green公式的基本内容及其在工程中的应用进行介绍与分析。

Green公式是由英国数学家George Green在十九世纪末提出的，它可以帮助解决那些涉及二阶偏微分方程的复杂椭圆型和平面型问题。

Green公式可以用来求解偏微分方程在特定范围内的通解，并可以获得其中一阶偏微分方程解的两个系数和定积分。

Green公式最根本的原理是基于示范法来解决问题。

Green公式的基本形式可表示为：中f（x）,g（x）和h（x）是可积函数，a和b是常数。

这个式子的意思是：若f（x）,g（x）和h（x）任何两个以上的函数有可积部分，那么就可以根据上述公式求得它们之间的定积分，其中a和b都是常数。

Green公式的应用主要有：1.Green公式可以求出在一定范围内，满足偏微分方程的通解2.以求出偏微分方程的两个系数3.以求出偏微分方程的定积分green公式在工程中的应用是非常丰富的。

它可以应用于气体、流体力学、数学物理学等许多学科，尤其是在解决复杂的椭圆型和平面型问题时，它可以为解决问题提供重要的指导。

以下是众多green公式在工程中的实际应用：1.以用green公式解决水力和热传导方程，这在求解实际工程中有重要的意义。

2.以用green公式求解电磁场的线圈的励磁情况，从而有助于理解电场的概念。

3.以用green公式求解导体微分方程，从而有助于理解电力系统的工作原理。

4.声学、超声学和激光技术等领域中，Green公式也可以提供有效 for助。

以上事实表明，green公式十分重要，它在数学理论和实际应用中都发挥着重要作用。

未来，green公式将继续深入人们的生活并受到更多关注，它将对数学理论的发展及人类社会的发展产生积极的影响。

随时间变化的电磁场麦克斯韦方程随时间变化的电磁场麦克斯韦方程研究问题:随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律。

§5.1 电磁感应现象与电磁感应定律电磁感应现象电磁感应现象的发现:1820年,奥斯特发现电流的磁效应,引起了相反方向的探索;1831年,法拉第经十年艰苦探索,发现了电磁感应现象??磁的电效应仅在某种东西正在变动的时刻才发生。

基本实验事实:闭合的导线回路和永久磁铁之间发生相对运动时,回路中出现电流。

感应电流的大小取决于磁铁运动的快慢,感应电流的方向与磁铁移动的方向有关;闭合的导线回路与载流线圈之间发生相对运动时,结果相同;两个线圈都固定,其中一个线圈中的电流发生变化时(闭合电键的开关、电阻值的变化),在另一个线圈中引起感应电流;处在磁场中的闭合导线回路中的一部分导体在磁场中运动,回路中产生感应电流,感应电流的大小和方向取决于导线运动的速度大小和方向。

分类:导线回路或回路上的部分导体在恒定不变的磁场(磁铁或电流产生)中运动,回路中出现电流;固定不动的闭合导线回路所在处或其附近的磁场发生变化,回路中出现电流。

共同特点: 感应电流的产生是由于通过闭合导线回路的磁感应强度通量发生变化。

引起磁感应强度通量变化的原因可以是磁感应强度的变化,也可以是由于导体在稳定的磁场中运动引起。

法拉第电磁感应定律法拉第的研究发现:在相同条件下,不同金属导体中的感应电流与导体的导电能力成正比;感应电流是由与导体性质无关的电动势产生的;即使不形成闭合回路,也会有电动势存在??感应电动势。

结论:对于给定的导线回路,感应电流与感应电动势成正比。

电磁感应现象就是磁感应通量的变化在回路中产生感应电动势的现象??电磁感应现象的本质。

德国物理学家纽曼和韦伯的工作结论:对于任一给定回路,其中感应电动势的大小正比于回路所圈围面积的磁通量的变化率。

楞次定律:内容:闭合回路中感应电流的方向,总是企图使感应电流产生的磁场去阻止引起感应电流的磁通量的变化。