亥姆霍兹方程中的格林函数Green Function for Helmholtz

第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。

一般地，点源作用产生的场就是格林函数。

在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。

集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。

在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。

（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。

注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。

1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。

不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。

如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。

郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。

知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。

”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。

利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。

感生电场是指一种电场，它是在一个电荷附近产生的，可以对其他电荷产生电力作用。

格林函数法是一种常用的解决感生电场问题的方法。

首先，我们需要了解几个概念：
1.格林函数（Green's function）是指一种可以用来求解感生电场的特殊函数。

2.定义域（domain of definition）是指格林函数有意义的区域。

3.边界条件（boundary condition）是指对于感生电场的求解，我们所给出的限制条
件。

接下来，我们可以使用格林函数法来解决感生电场问题，步骤如下：
1.确定感生电场问题的定义域。

2.确定感生电场问题的边界条件。

3.对于感生电场问题的定义域内的任意点，求出格林函数。

4.使用格林函数和边界条件，求出感生电场。

格林函数法是一种有效的方法，可以帮助我们快速解决感生电场问题。

但是，这种方法并不适用于所有情况，需要根据具体问题进行选择。

广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法第23卷第l0期2004年10月大学物理CoLLEGEPHYS1CSV o1.23No.10Oct.2004广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法崔元顺(淮阴师范学院物理系,江苏淮安223001)摘要:运用并矢法求解广义Helmholtz方程,结合Fourier变换,留数定理等数学处理,给出方程的并矢Green函数解析表达式;并进～步就旋波介质给出其中色散关系的另外一种求解方法. 关键词:广义Helmholtz方程;并矢Green函数;旋波介质中图分类号:0441.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2004)10—0025—031引言文献[1]用并矢法直接求解了真空中时谐场E(r,t)=E(r)e”所满足的非齐次微分方程’V×V×E—kE=ioJ(1)式中’,表示电流,k=.￡.,给出相应问题外向波的并矢Green函数解为G(,,r(I+嘉)熹(2)式中J为单位并矢,R=Jr—rJ为源点到场点的距离;并且以电偶极辐射,磁偶极辐射为例进行了运算,给出了具体应用实例.本文在文献[1]～[3]的基础上,推广式(1)使之成为V×V×E一口V×E一E=(3)式(3)称为广义Helmholtz方程,其中a,和均为常系数,视具体物理问题而定.显见,式(3)比式(1)多出一项场量的旋度项.本文运用并矢法求解式(3) 的并矢Green函数,并进一步结合旋波介质,给出不同于文献[4],[5]的关于旋波介质色散关系的另一种求解方法.2广义Helmholtz方程的并矢Green函数由于式(3)为线性微分方程,其解满足线性叠加性,故可将其中的E(r)表达为E(r)=IG(r,r)?’,(r)dV(4)并且可写出l,(r)=II?J(r)6(r—r)dV(5)将式(4),(5)代入式(3),可得并矢Green函数G(r, r)所满足的微分方程为V×V×G(r,r)一口×G(r,r)一G(r,r)=I6(r—r)(6)为求解式(6),运用Fourier变换:fG(r,,1g(p)eXp[ip.(,√)]p)=南唧[ip.(,√p(7)其中g(p)为p空间的并矢Green函数,dp代表p 空间的体积元.将式(7)代入式(6),注意运用—ip,得p×(p×g)+i口p×g+g=一I(8)即p(p?g)+iap×g十(一P)g=一I(9)用p矢量左点乘式(9)两端,得p.g一素p(1o)再用p矢量左叉乘式(9)两端,得’p×g=生竺2_曼二{(11)将式(10),(11)代入式(9),经整理给出g(p)=f(P)pp+,1(P)p×I+f3(P)I(12作与上述得到式(8)时相反的代换:P一一i,有G(r,r)=由{一VVf~~f,(eXp[ip?(r—r,)]d3P—iV×lJI(户)exp[ip?(r—r)]d3PI+JI(户)exp[ip?(r—r,)]dP}(17)为得到并矢Green函数G(r,r)的具体形式,需对式(17)中三项积分进行运算n1.在P空间取球坐标系(P,0,),设该球坐标系的极轴沿R=r—r方向,则P=PsinOdpdOd9P?(r—r)=pRcos0由于式(13)～(15)中各系数函数均为P的偶函数, 故式(17)中各项积分具有如下形式:(R)=I(P)exp[ip?(r—rd3P=l户(P)d户lexp(ipRcos)?.fhdiRJ~..PZ,(‘sin0d0d9P0)?I=一’)?Jexp(ipR)dp(18)其中j=1,2,3,可见式(18)已将P空间的三重体积分转化成一维积分,可由留数定理f(z)dz=27ci∑Resf(b,)计算其结果”.由于R&gt;0,据Jor—dan引理,在P空间的复平面上取上半平面的围线积分,有(R)=篓面PL(P)exp(ipR)dp=箐Res[PL(P)exp(ipR)](19)由式(13)～(15)可见,式(19)中被积函数具有数个一阶极点.令(P)的分母为零,即有:P一ap一=0(2o)P+ap一=0(21)由此司解出对应的一阶极点分别为P=±kl,±k2,m=l,2,3,4(22)其中:忌,=丢(a+厕),忌=丢(一+厮)(23)显见,P=k,,一k:对应于式(20)的解,而P=一k,,k:则对应于式(21)的解,且满足关系:kl—k,=口,klk2=pz一忌:一忌,,一忌2:忌(24)在计算式(19)中留数时,注意运用式(24),并注意实轴上极点的处理.由于极点对称地分布于P空间复平面的实轴上,故将式(13)～(15)2~(22)代入式(19)求得的积分结果将含有对称的复共轭指数项.当只取外向波时,即在式(19)中只选用P=k,,k:的极点进行计算,有:Fl(R)一[eXp(R)+exp(ik2R)](25)F2(R)=[eXp(R)一eXp(叫(26)R)=燕[eXp(i)+k2eXp(i)](27)将式(25)～(27)代入式(17),便给出式(6)对应于外向波的并矢Green函数为G(r,r)=一1{VVFl(R)+i×[IF2(R)卜,(R)}=l_{[eXp(i忌,R)+exp(ikR)]+J×[exp(ik.R)一exp(ikR)]+J[exp(ik.R)+eXp(i忌R)]}(28)其中已用到并矢关系:×[F(R)I]=I×VF(R),I×A=A×I.由式(28)可见,外向波并矢Green函数表式中包含忌.,k2两个相位常数,表现为二色性,反映了由式(3)所描述的电磁体系中场点与场源之间的特殊关联性质;由式(23)可知,这些相位常数的大小均决定于微分方程式(3)中的常系数a与J9.第10期崔元顺:广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法27由式(28)结合式(4),可给出均匀介质中电场矢量的积分表达式.对于常见的置于坐标原点,沿轴放置的时谐电偶振子,IJ(r)dV==多P:6(r),可简明地由式(4),式(28)给出其电场的空间部分为E(r)=G(r,0)?e:,其中P为体系的电偶极矩.3旋波介质色散关系的另一种求解方法对于时谐场,取时谐因子为e”,则旋波介质物态方程为,D=￡E+i,H:iyE+(29)式中),=￡c为旋波参量,p描述介质的螺旋结构,=(1一∞.p.),其中￡和分别为介电常量和磁导率.式(29)中￡,),,均为实参量.结合时谐Maxwell方程组:r×Eij(30)l?D:p【.B:可导出场矢量E所满足的广义非齐次Helmholtz方程为?××E一2(U),×E—k!E=i61.,(31)式中k=092￡.可以证明,D,B和H满足与式(31)相同形式的方程.将式(31)与式(3)作比较,可见只要在式(3)中令:a=2),,p=k,=i(32)便可将以上的求解过程和结果用于求解式(31),并且由式(23)给出旋波介质的色散关系为:kl=),+~/(),)+k.(33)k2=一(U),+~/(),)!+k(34)出色散关系;而在本文中,由得到式(23)的过程可见,是通过计算留数,由极点给出该结果.比较可见, 式(33),(34)与文献[4]的结果一致,表明以上计算的可靠性与正确性.4结束语本文运用Fourier变换,留数定理等数学工具,给出广义Helmholtz方程的并矢Green函数的解析表达式,其求解过程和求解方法对于求解电磁理论中线性偏微分方程和电磁理论相关内容的教学等有一定的参考价值;由式(28)可见,所得结果对于进一步研究和了解较为复杂的线性电磁介质中电波的传播与辐射性质有一定意义,怕.与文献[4],[5]相比,本文更为关心和重要的是,基于广义Helmholtz方程的求解过程,给出了旋波介质中电磁色散关系的另外一种求解方法.参考文献:[1]崔元顺.用并矢法直接求解时谐辐射场[J].大学物理, 1996,15(12):13～15.[2]崔元顺.一类广义矢量偏微分方程的并矢格林函数解及其应用[J].数学物理,1999,19(1):17～22.[3]BassiriS,EnghetaN,PapasCH.DyadicGreen’Sfunc—tionanddipoleradiationinchiralmedia[J].A[taFreq, 1986.L V(2):83～88.[4崔元顺,周淮玲.旋波介质的色散关系[J].大学物理, 2002,21(9):20～21.[5]崔元顺.耗散旋波介质中的色散关系[J].大学物理, 2003,22(12):12～14.[6崔元顺.运动电磁媒质中的推迟势[J].大学物理. 1996,15(11):17～20.[7吴崇试.数学物理方法[M].北京:北京大学出版社, 1999.145～160.[8]王一平,陈达章.刘鹏程.工程电动力学[M].西安:西北电讯工程学院出版社,1985.373～375.式(33),(34)的形式及结果已在文献[4](或[5])中[9]崔元顺.旋波媒质中光波传播的物理光学理论[J].光给出,但这里给出了不同的求解方法.在文献E4],子,1999,28(9):820～823.[5]中,所采用的方法是首先给出平面波解形式,然[1O;崔元顺.用磁矢势并矢格林函数研究旋波媒质中的电后将其代入场波动方程,由场矢量的非零解条件给波辐射….微波,2000,16(3):253～259.TheGreen’SfunctionofthegeneralizedHelmholtz’Sequationand anothermethodforsolvingdispersionrelationinchiralmediumCUIY uan—shun(DepartmentofPhysics,HuaiyinNormalCollege,Huaian,Jiangsu223001,Chi na)(下转31页)第10期李旭等:电介质椭球内极化场强方向的研究31同值时夹角的大小,见表1.从表l中我们可以看到,极化场强的方向与外电场方向之间的夹角的大小是随着C值的改变而改变的,当f=2.0时,0=164.53.,当C=a=b=4时,0=180.00..当C与a,b的值越接近时,也越接近180.,说明如果电介质椭球体的形状和球体越相似,则极化场强的方向与外电场方向之间的夹角也越接近180..表1C为不同值时夹角0的大小4结束语通过上面的讨论得知电介质椭球内极化场强是均匀的,但其方向与外电场方向并不总是严格相反的,其夹角的大小与外电场E.的方向以及椭球体3半轴a,b,C的大小都是有关系的,只有当E.与电介质椭球的某一主轴平行,或者当a=b=C(球体)时,E的方向才与E.的方向严格相反.参考文献:[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].第2版.北京:高等教育出版社,1991.188.[2]MoonP,SpencerDE.FieldTheoryHandbook,Includ—ingCoordinateSystems,DifferentialEquations,and TheirSolutions2nd[M].NewY ork:Springer-Verlag, 1988.40～44.[3]白洪波.两带电半椭球壳之间的相互作用[J].大学物理,1999,18(11):22～24.[4]王竹溪,郭敦仁.特殊函数论[M].北京:北京大学出版社,2001.565～568.[5]郭硕鸿.电动力学[M].第2版.北京:高等教育出版社.1999.57～60.Studyonthedirectionofthepolarizationfield strengthinadielectricellipsoidLIXu,HUXian—quan,HUWen—jiang3(1.TheKeyLaboratoryofHighV oltageEngineeringandElectricalNewTechno lyundertheStoteMinistryofEduction,ChongqingUniversity,Chongqing400030,China;2.DepartmentofPhysicsandInformationTechnology,ChongqingNormalUni versity,Chongqing400047,China;3.DepartmentofElectronicEngineering,ChongqingUniversityofPostandTel ecommunications,Chongqing430065,China)Abstract:Theanglebetweenthepolarizationvectorinthedielectricellipsoidan dtheexternalfieldvectoriscalculated,itturnsoutthatthedirectionsofthemarenotalwaysstrictlyantiparall e1.Keywords:dielectricellipsoid;ellipsoidalcoordinates;polarizationfieldstren gth(上接27页)Abstract:ThegeneralizedHelmholtz’Sequationissolvedbythedyadicmethod ,theanalyticexpressionfordyadicGreen’SfunctionoftheequationisgivencombiningwithFourier’Strans formation,theoremofresidues,etc.,andanotherwayforsolvingdispersionrelationinchiralmediumisgiven. Keywords:thegeneralizedHelmholtz’Sequation;dyadicGreen’Sfunction;ch iralmedium。

广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的
另一求解方法
崔元顺
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2004(023)010
【摘要】运用并矢法求解广义Helmholtz方程,结合Fourier变换、留数定理等数学处理,给出方程的并矢Green函数解析表达式;并进一步就旋波介质给出其中色散关系的另外一种求解方法.
【总页数】4页(P25-27,31)
【作者】崔元顺
【作者单位】淮阴师范学院,物理系,江苏,淮安,223001
【正文语种】中文
【中图分类】O441.1
【相关文献】
1.耗散旋波介质中的色散关系 [J], 崔元顺
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