北邮数理方程课件-第八章-Green函数法

数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。

分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。

同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。

本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。

所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。

Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。

特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。

从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。

如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。

这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。

本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。

7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。

green 公式外法向量形式Green公式是微积分中的重要定理，它以外法向量形式表达了曲线线积分和曲面面积分之间的关系。

在本文中将详细介绍Green公式的概念、推导过程以及应用。

Green公式是由英国数学家George Green在19世纪提出的，它是微积分中的一个重要定理。

它建立了曲线线积分和曲面面积分之间的联系，通过它我们可以将曲线上的线积分转化为曲面上的面积分，从而简化问题的求解过程。

我们来看一下Green公式的具体表达形式。

设D是一个有界闭区域，其边界为C，C是一个分段光滑的曲线，方向为逆时针方向，f(x,y)和g(x,y)是D上的连续可微函数，则Green公式可以表达为以下形式：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y)dA其中，∮C表示沿曲线C的闭合积分，∬D表示在区域D上的面积分，dA表示面积元素，(dx, dy)表示位移元素。

接下来，我们来推导一下Green公式的证明过程。

首先，我们可以将曲线C分成若干小段，记第i段的长度为Δs_i，方向为ΔC_i。

在每一小段上，我们将f(x,y)dx和g(x,y)dy分别展开为：f(x,y)dx = f(x_i,y_i)Δx_i = f(x_i,y_i)cosθ_iΔs_ig(x,y)dy = g(x_i,y_i)dy_i = g(x_i,y_i)sinθ_iΔs_i其中，(x_i,y_i)是第i段的起点坐标，(Δx_i,Δy_i)是位移矢量，θ_i是位移矢量与x轴的夹角。

然后，我们将上述展开式代入到Green公式中，得到：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∑[f(x_i,y_i)cosθ_i + g(x_i,y_i)sinθ_i]Δs_i使用极限的思想，当Δs_i趋近于0时，上述求和式可以看作是对曲线C的积分。

根据极限的性质，我们可以将曲线C的积分转化为曲面D的积分，即：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y)dA至此，我们完成了Green公式的推导过程。

特殊区域的green函数
Green函数是当今互联网领域研究的热点课题之一。

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Green函数利用理论物理、数学技术和计算机科学，在探索和试验阶段最大化系统的抗耗散能力，最大限度的强化了系统的一致性，减少了耗散现象的发生。

Green函数法可以用来实现对系统的动态可观察性，它将影响了系统应用的多变性和复杂性。

它可以更加准确的构建仿真的数据，更大的容差，可以将系统进行无限细致的分解，由此可以获得越来越准确而深入的见解，深入到系统结构及其它未知潜在因素。

Green函数法有助于企业在控制、优化和管理服务水平等领域取得突破性的成就。

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Green函数技术运用到系统中将增强系统的灵活性，能实现高效、轻松、稳定的系统控制，从而满足企业需求。

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green公式法Green公式是数学分析中常用的一个重要定理，是微积分中的一种基本方法。

它的原理是通过将一个区域内的曲线或曲面的积分转化为该区域内的区域积分，从而简化计算过程。

在本文中，我们将介绍Green公式的定义、推导过程以及一些应用案例。

1. Green公式的定义给定一个平面区域D，边界为C。

设函数P(x, y)和Q(x, y)在D上具有连续的偏导数，那么Green公式可以表示为：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)其中，∂Q/∂x 和∂P/∂y 分别表示Q(x, y)和P(x, y)对x和y的偏导数，∬D 表示对D上的区域积分，∮C 表示对C上的曲线积分。

2. Green公式的推导为了推导Green公式，我们先假设区域D是简单闭合区域，即边界C是一个简单闭合曲线。

然后，将区域D划分为无穷多个小的区域，每个小区域都可看作是矩形区域。

通过对小矩形区域应用散度定理，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV其中，∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA 可以看作是在D上的曲面积分，∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV 则是在D的内部体积上的体积积分。

由于无穷小小矩形区域趋近于零，所以体积积分项在推导过程中可以忽略。

因此，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)通过以上推导，我们成功地得到了Green公式。

3. Green公式的应用案例Green公式在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用案例。

3.1 流场的流量计算假设在平面区域D上存在一个流场，流速由函数V(x, y)表示，那么流过闭合曲线C的总流量可以通过Green公式计算得出。

根据Green公式，我们有：∮C (V · n) ds = ∬D ( ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y) dA其中，V · n 表示V向量与曲线的法向量的点积，∂Vx/∂x 和∂Vy/∂y 分别表示Vx(x, y)和Vy(x, y)对x和y的偏导数。

§ 3 Green 公式 曲线积分与路径无关性一、 格林Green 公式Green 公式揭示了平面上某区域内的二重积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系. Green 公式是N--L 公式在 R 2中的推广.1 闭区域的正面与边界正向的规定平面上的单连通区域、多连通区域 P227—228在区域D 2R ⊂内，如果任意两条有同一起点和同一终点的曲线，其中一条总可以在D 内连续的变动为另一条，则称区域D 是单连通的；否则就是多连通闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P224图21--10. 若以L 记正向边界, 则用-L 或L -表示反向（或称为负向）边界.2 格林Green 公式及其证明定理21.11 设闭区域D 边界D ∂由光滑曲线或逐段光滑曲线组成. 若函数P 和Q 在闭区域D ⊂R 2上连续,且有连续的一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx dxdy y P x Q , （1）其中L 为区域D 的正向边界.证明 P224—226注 将格林Green 公式的证明过程分为几个习题，由同学们解答.然后老师小结.Green 公式又可记为⎰⎰⎰+=∂∂∂∂DL Qdy Pdx dxdy QP y x . 3 格林Green 公式的一个应用由逐段光滑封闭曲线所围区域D 的面积公式|D |⎰-=L ydx xdy 21, L 为D 的正向边界. （2）补例1 计算由星形线 ) 20 ( sin , cos 33π≤≤==t t b y t a x 所界的面积. 补例2 用Green 公式求曲线 a x y y x 333=+ 所围图形的面积.4 应用格林Green 公式简化某些二类曲线积分的计算举例有时用Green 公式，将二类曲线积分转化为二重积分来计算. 对环路积分, 可直接应用Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1 计算积分⎰ABxdy , 其中A , ) , 0 (r B ) 0 , (r . 曲线AB 为圆周222r y x =+在第一象限中的部分. （P226）解法1 ( 直接计算积分 ) 曲线AB 的方程为 20 , sin , cos π≤≤==t t r y t r x .方向为自然方向的反向. 因此⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=AB r t t r tdt r xdy 222022242sin 2121cos πππ. 解法2 ( 用Green 公式 ) 补上线段BO 和OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为D , 注意到∂D 为反向, 以及0=⎰BOA, 有⎰ABxdy ⎰⎰⎰⎰∂-=-=-=DBOADr dxdy xdy xdy 24π.例2 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界. （P226）解 2222),( , ),(yx xy x Q y x y y x P +=+-=. (P 和Q 在D 上有连续的偏导数). ()2222222yx x y y x y x y P +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, 22222)(y x x y x Q +-=∂∂. 于是, I =⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=D Ldxdy y P x Q 0.注 将此例推广为（参见P203） 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不通过原点的正向闭曲线.补例3 计算积分⎰++Ldy x y x dx xy )(22, 其中L 是由曲线 222 , x y x y ==,4 , 3==xy xy 所围区域D 的边界, 取正向.解 ,),(2xy y x P = x y x y x Q +=2),(. 1 , 12 , 2=∂∂-∂∂⇒+=∂∂=∂∂yP x Q xy x Q xy y P . ⎰⎰⎰=DLdxdy .作代换xy v x yu ==, 2, 在此代换之下 , 区域D 变为UV 平面上的区域 } 43 , 21|),( {≤≤≤≤='v u v u D .=-=∂∂xy x x yy x v u 2312),(),(u x y 332-=-, u v u y x 31),(),( =∂∂⇒. 于是,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'====DD Lu dv du dudv u dxdy 2143331 ⎰==21212ln 31ln 3131u u du . 补例4 计算积分⎰⎰-Dy dxdy e 2, D : 10 , 1≤≤≤≤x y x . 解 令2),( , 0),(y xe y x Q y x P -==, 有⎰⎰⎰∂+=DDdy y x Q dx y x P ),(),( .域D 为三角形, 三个顶点为O , ) 0 , 0 (A ) 1 , 1 (, B ) 1 , 0 (.⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==+=∂∂BOO ADDDdy y x Q dy y x Q dx y x P ),(),(),()1(21211101022----=-==⎰e e dx xe x x . 注 此例将二重积分化为二类曲线积分转来计算.二、曲线积分与路线无关性第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关. 对同一个起点和同一个终点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的. 在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和终点有关呢？下面我们先在平面中情形来讨论这个问题。