第三章 格林函数法

格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。

格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。

其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。

格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。

2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。

它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。

3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。

计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。

总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。

格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。

采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。

数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。

格林函数格林函数这是⼀篇关于格林函数经典解法的⽂章。

从现代的讨论中寻求根本的解法。

在数学中，格林函数是⼀种⽤来解有边界条件的⾮齐次微分⽅程式的函数。

在多体理论中，这⼀术语也被应⽤于物理中，特别在量⼦场论，电动⼒学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。

格林函数的名称是来⾃于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第⼀个提出这个概念的⼈。

在线性偏微分⽅程的现代研究中，格林函数主要⽤于研究基本解。

内容1、定义及⽤法2、动机3、⾮齐次边值问题的求解3.1、研究框架3.2、定理4、寻求格林函数4.1、特征⽮量展开5、拉普拉斯算⼦的格林函数6、范例7、其他举例定义及⽤法技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着⼀个在流形M 中作⽤的线性算⼦L ，为以下⽅程式的解：)(),(s x s x LG -=δ (1)其中δ为狄拉克δ函数。

此技巧可⽤来解下列形式的微分⽅程： )()(x f x Lu = (2)若L 的核是⾮平凡的，则格林函数不只⼀个。

不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯⼀的格林函数。

⼀般来说，格林函数只需是⼀种数学分布即可，不⼀定要具有⼀般函数的特性。

格林函数在凝聚态物理学中常被使⽤，因为格林函数允许扩散⽅程式有较⾼的精度。

在量⼦⼒学中，哈密顿算⼦的格林函数和状态密度有重要的关系。

由于扩散⽅程式和薛定谔⽅程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。

其⽅程如下：)(),(s x s x LG --=δ这⼀定义并不显著改变格林函数的任何性质。

如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成⼀个卷积算，即为：)(),(s x G s x G -=在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。

动机若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得：)()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此：ds s f s x LG x Lu )(),()(?=由于算符 L 为线式，且只对变量x 作⽤，不对被积分的变量 s 作⽤），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得：))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?=⽽以下的式⼦也会成⽴：ds s f s x G x u )(),()(?= (3)因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以⽤上述的⽅式得到)(x u 。

常微分方程格林函数格林函数（Green's function）是常微分方程理论中的一个重要概念。

格林函数是指线性常微分方程解的特定形式，用于将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。

格林函数的理论有广泛的应用，包括电磁学、量子力学、流体力学等领域。

我们考虑一个形如L[u]=f(某)的一维线性常微分方程，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，f(某)是已知函数。

我们想要找到方程的解u(某)。

为此，我们引入格林函数G(某,t)，满足以下两个条件：1. 对于每个固定的t，在某>t的区域内，格林函数满足L[G(某,t)]=δ(某-t)，其中δ(某-t)是Diracδ函数。

2.对于边界条件G(a,t)=G(b,t)=0，其中a和b是方程所涉及的区域的边界。

为了求解方程L[u]=f(某)，将解表示为u(某)=∫G(某,t)f(t)dt，其中积分是对整个区间进行的。

然后，我们可以利用格林函数的性质来计算系数函数G(某,t)与未知函数u(某)之间的关系，从而得到方程L[u]=f(某)的解u(某)。

对于常微分方程来说，我们可以通过求解格林函数来求解对应的非齐次方程。

具体的求解步骤如下：1.首先，求解齐次方程L[u]=0，并找到其解u_h(某)。

2.接下来，我们需要求解L[G(某,t)]=δ(某-t)的齐次方程，即L[G(某,t)]=0。

3.根据格林函数的边界条件，我们可以得到G(a,t)和G(b,t)的表达式，并利用这些条件分析求解。

4.最后，将方程的非齐次项f(某)代入到格林函数的表达式中，得到方程的解u(某)。

格林函数的概念和求解方法在物理和工程领域中广泛应用。

例如，在电磁学中，可以利用格林函数求解电荷分布所引起的电势分布；在量子力学中，格林函数用于描述定态和非定态系统中的粒子传播；在流体力学中，格林函数被用于描述流体的流动行为。

总之，格林函数是常微分方程理论中的重要工具，它可以将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。

用格林定理来求解静电边值的方法——格林函数 1.什么是格林函数：在r 'ρ处有一点电荷q ，则电荷密度可写为： ⎩⎨⎧'=∞'≠='-=rr r r r r q ρρρρρρ0)(δρ，（1） 该电荷密度激发的空间的势满足的方程为：)()(2r r q r '--=∇ρρρδεϕ，（2） ∴-∇='-=•∇,),(ϕδεE r r q E ρρρρΘ定义有一个负号。

（3） 同理，处于r 'ρ处的单位电荷的电荷密度为)()(r r r '-=ρρρδρ （4）该单位电荷密度激发的空间的势满足的方程为：)(1)(2r r r '--=∇ρρρδεϕ，（5） 定义一个函数——格林函数，用),(r r G 'ρρ来表示，且满足)(1),(2r r r r G '--='∇ρρρρδε。

（8） 显然格林函数的物理意义为在r 'ρ处的一个单位电荷在空间r ρ处所激发的电势。

显然（8）式对于r r 'ρρ和有对称性，故也可以看作是r ρ处单位电荷在空间r 'ρ处所激发的电势。

由于空间电势分布有两种边界条件，分别为：第一类边界条件：0|),(='s r r G ρρ。

确定了边界上的电势分布（将一大的电势为零的导体与之接触）（9）第二类边界条件：εS n G s 1|-=∂∂。

（10） 确定了边界上的场强分布，也即电荷分布（根据)(1r r E '-=•∇ρρδε，积分形式ετδε1)(1)(=''-=•⎰⎰d r r S d r E ρρρρρ，而E nG ρρ=∂∂-，Eρ的最简单的取法（之后详述）为εS 1（E ρ在边界表面不一定是均匀的） （7）由电势和电荷是共轭量，两个中只能确定一个。

2.格林定理：详细推到见第七讲课件3.2.2式的推导[]⎰∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=∇-∇iidS n n d ψφφψτψφφψ22（11）左边是对所有边界面包括的空间积分，右边是对所有边界面积分（求和），其中对n 的微分代表在该面上求被微分函数的梯度。