【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题四 第一讲

穿插滚动练(四)内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、立体几何与空间向量(文科为立体几何)一、选择题1．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析由题意可知x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或x＝0或x＝1，又x≠1，∴x＝0，±2，答案为C.2．若等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－2，则a2等于() A．4 B．12 C．24 D．36答案 B解析当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a·3n－1，又a1＝a·31－2＝3a－2，由等比数列定义，a2＝qa1，∴6a＝3·(3a－2)，∴a＝2.因此a2＝2a·32－1＝12.3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案 C解析由f′(x)的图象得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．故选C.4．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是() A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b答案 B解析将向量的模相等变为向量的平方相等求解．因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.5．已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则：“α⊥β”是“m⊥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若m⊥β，因m是一条直线且m⊂α，由面面垂直的判定定理，知α⊥β，反之，若m是一条直线且m⊂α，当α⊥β时，m与平面β的位置关系可以为：相交或平行或m⊂β，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，选B.6．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4 B．2 3C．2 D． 3答案 B解析由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为34a2·a＝23，得a＝2.由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为2 3.故选B.7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，两平面的交线为BD ， 所以CD ⊥平面ABD ，因此有AB ⊥CD .又因为AB ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，于是得到平面ADC ⊥平面ABC . 8． 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )A ．1B ．33 C ． 3D ．233答案 B解析 由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为△P AC ，是边长为2的正三角形，PD ⊥平面ABC ，且PD ＝3，底面△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，所以体积为V ＝13×3×12×2×2＝33，故选B. 9． 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )． A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③答案 B解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，sin C sin A＝2，且S △ABC＝154， 则b 的值为 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b＝c ＝2a ，sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154， 所以b ＝2，选C.11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥22x ＋y ≤44x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是 ( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]答案 A解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －2＝02x ＋y －4＝0，解得A (2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝02x ＋y －4＝0，解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．12．已知定义域为R 的函数f (x )满足：f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析 方法一 (数形结合法)：由题意知，f (x )过定点(4，－3)，且斜率k ＝f ′(x )<3. 又y ＝3x －15过点(4，－3)，k ＝3，∴y ＝f (x )和y ＝3x －15在同一坐标系中的草图如图， ∴f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)，故选D. 方法二 记g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，可知g (x )在R 上为减函数． 又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0， ∴f (x )<3x －15可化为f (x )－3x ＋15<0， 即g (x )<g (4)，结合其函数单调性，故得x >4. 二、填空题13．函数y ＝x ＋2cos x －3在区间[0，π2]上的最大值是________．答案 π6解析 y ′＝1－2sin x >0⇒sin x <12，sin x >12时y ′<0，∴sin x ＝12时y max ＝π6＋2×32－3＝π6.14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)＝______.答案3解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即周期为π2，∴ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，|φ|<π2，知φ＝π4.由f (0)＝1，知A ＝1.因此f (x )＝tan(2x ＋π4)，故f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15．若一个正方体的表面积为S 1，其外接球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.答案 2π解析 设正方体棱长为a ，则正方体表面积为S 1＝6a 2，其外接球半径为正方体体对角线长的12，即为32a ，因此外接球的表面积为S 2＝4πr 2＝3πa 2，则S 1S 2＝6a 23πa 2＝2π.16．如图所示，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 ∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径， ∴CB ⊥AC ，CB ⊥P A ，CB ⊥平面P AC . 又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .又∵E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影， ∴AF ⊥PC ，AE ⊥PB ，∴AF ⊥平面PCB .故①③正确．∴PB ⊥平面AEF ，故②正确．而AF ⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC .故④错误． 三、解答题17．如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH ∥平面CDE ；(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F —ABCD 的体积． (1)证明 方法一 ∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC . 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG ∥CD . ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .方法二 连接EA ，∵ADEF 是正方形，∴G 是AE 的中点． ∴在△EAB 中，GH ∥AB . 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD .∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .(2)解 ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD . ∵AD ＝BC ＝6，∴F A ＝AD ＝6.又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD .∵S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝82，∴V F —ABCD ＝13S ▱ABCD ·F A ＝13×82×6＝16 2.18．函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4， 所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23×⎝⎛⎭⎫45×22＋35×22＝765.19．已知当x ＝5时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx 取得最小值，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )，a 2＝－7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝a n2n ，求T n .解 (1)由题意得：－b2a ＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a (n －1)2－b (n －1)＝2an ＋b －a ＝2an －11a .∵a 2＝－7，得a ＝1.∴a 1＝S 1＝－9，∴a n ＝2n －11. (2)∵b n ＝2n －112n，∴T n ＝－92＋－722＋…＋2n －112n，① 12T n ＝－922＋…＋2n －132n＋2n －112n ＋1，②①－②得12T n ＝－92＋222＋…＋22n －2n －112n ＋1 ＝－92＋12(1－12n －1)1－12－2n －112n ＋1＝－72－12n －1－2n －112n ＋1.∴T n ＝－7－2n －72n .20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)若点M 是棱PC 的中点，求证：P A ∥平面BMQ ；(2)若二面角M —BQ —C 为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． (1)证明 连接AC ，交BQ 于N ，连接MN .∵BC ∥AD 且BC ＝12AD ，即BC 綊AQ .∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 是棱PC 的中点， ∴MN ∥P A .∵MN ⊂平面BMQ ，P A ⊄平面BMQ ， ∴P A ∥平面BMQ .(2)解 ∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ， 且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)；Q (0,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)．设M (x ，y ，z )，则PM →＝(x ，y ，z －3)， MC →＝(－1－x ，3－y ，－z )， ∵PM →＝tMC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t (－1－x )，y ＝t (3－y )，z －3＝t (－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t1＋t，y ＝3t1＋t ，z ＝31＋t.在平面MBQ 中，QB →＝(0，3，0)， QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 1＋t ，3t 1＋t ，31＋t ，∴平面MBQ 的法向量为m ＝(3，0，t )． ∵二面角M —BQ —C 为30°， cos 30°＝n ·m|n ||m |＝t3＋0＋t 2＝32，∴t ＝3. 21．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明：a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. (1)解 ∵对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立， 当x ＝1时，f (1)≥1， 又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝1， ∴1≤f (1)≤1.∴f (1)＝1.(2)证明 ∵f (1)＝1，∴a ＋b ＋c ＝1.又∵a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立，∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎨⎧a >0，Δ≤0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac ≥116.∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明 ∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m x ＋14 ＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]． ∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1.∴m ≤0或m ≥1.22．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－12.(1)求实数a 的值及函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2＋2kx ＋kx ，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求正实数k 的取值范围；(3)证明：ln 222 ＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．(1)解 由已知得f ′(x )＝1x －a ，∴f ′(2)＝12－a ＝－12，解得a ＝1.于是f ′(x )＝1x －1＝1－x x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)解 由(1)知x 1∈(0，＋∞)，f (x 1)≤f (1)＝0，即f (x 1)的最大值为0， 由题意知：对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立， 只需f (x )max ≤g (x )max .∵g (x )＝x 2＋2kx ＋k x ＝x ＋kx ＋2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋k －x ＋2k ≤－2k ＋2k ，∴只需－2k ＋2k ≥0，解得k ≥1.(3)证明 要证明ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．只需证2ln 222＋2ln 332＋…＋2ln n n 2<2n 2－n －12(n ＋1)，只需证ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<2n 2－n －12(n ＋1).由(1)当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， f (x )＝ln x －x ＋1≤0，即ln x ≤x －1， ∴当n ≥2时，ln n 2<n 2－1，ln n 2n 2<n 2－1n 2＝1－1n 2<1－1n (n ＋1)＝1－1n ＋1n ＋1， ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13＋1＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1＝n －1－12＋1n ＋1＝2n 2－n －12(n ＋1)， ∴ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1).。

PF PF1 7 1 ∴ ＝2.综上知， ＝ 或2. PF PF2 2 2

题型与方法
第三讲
反思归纳
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，
需按直角顶点不同的位置进行讨论. (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确 定性，需要根据图形的特征进行分类讨论.
审题破题
直角三角形关键是确定直角顶点，由 |PF1 |>|PF2 |
知，只需分∠PF2F1 和∠F1PF2 分别为直角两种情况即可.
解 若∠PF2F1＝90° ，
2 2 2 则 PF1 ＝|PF2 | ＋F1F2 ， 又∵ PF1＋PF2 ＝6，F1F2＝2 5，
4 2 当 m<2－2m，又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3
题型与方法
第三讲
4 ⅱ若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 1 它的对称轴方程 x＝ <0， 所以函数 y 在[0,1]上是减函数， 4－3m 于是 ymax＝f(0)＝m.
由①、②可知，这个函数的最大值为 2 2－2m，m<3， ymax＝ m，m≥2. 3
真题感悟
1 1 1 a ∴－ ＋a1＋a－ ＋a <－ 1＋ ， 2 2 2 2
1 1 5 ∴a－2＋a－2＋a<－4a. 1 1 5 ∵－1<a<0，∴ －2＋a －2＋a >－4， 1 2 1 2 5 5 ∴－－2＋a >－4，∴－2＋a <4，
则当
x∈ 0，

点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解． 答案 解析 (1)C (2)A x2 y2 (1)设 C： 2－ 2＝1. a a
x2 y2 ∵抛物线 y2＝16x 的准线为 x＝－4，联立 2－ 2＝1 和 x＝－4 得 A(－4， 16－a2)，B(－ a a
4，－ 16－a2)， ∴|AB|＝2 16－a2＝4 3， ∴a＝2，∴2a＝4.∴C 的实轴长为 4. |F1F2| 3 1 (2)当曲线 C 为椭圆时，e＝ ＝ ＝ ； |PF1|＋|PF2| 4＋2 2 |F1F2| 3 3 当曲线 C 为双曲线时，e＝ ＝ ＝ . |PF1|－|PF2| 4－2 2 反思归纳 (1)求椭圆或双曲线的离心率的方法： c ①直接求出 a 和 c，代入 e＝ ； a c ②建立关于 a，b，c 的方程或不等式，然后把 b 用 a，c 代换．通过解关于 的方程或不 a 等式求得离心率的值或范围． (2)研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数 a、b、c 或者建立 a、b、c 的关系式(等式或 不等式)，然后根据概念讨论相应的几何性质． x2 y2 变式训练 2 (1)已知 O 为坐标原点，双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，以 OF 为直 a b → → → 径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点 A，B，若(AO＋AF)· OF＝0，则双曲线的 离心率 e 为 A．2 答案 C → → → 解析 如图，设 OF 的中点为 T，由(AO＋AF)· OF＝0 可知 AT⊥OF， c c 又 A 在以 OF 为直径的圆上，∴A 2，2， b 又 A 在直线 y＝ x 上， a ∴a＝b，∴e＝ 2. x2 y2 (2)已知双曲线 2－ 2＝1 (a>0，b>0)的左顶点与抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点的距离为 4， a b 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为 ( A．2 3 答案 B 解析 B．2 5 b C．4 3 bp ， D．4 5 ) B．3 C. 2 D. 3 ( )

专题七概率与统计第一讲计数原理1．两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．2．排列、组合(1)排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A m n＝n！(n－m)！，A n n＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)．(2)组合数公式及性质C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，C m n＝n！m！(n－m)！，C0m＝1，C m n＝C n－mn，C m n＋1＝C m n＋C m－1n.(3)应用题①解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n－1nab n－1＋C n n b n(n∈N*)．通项(展开式的第r＋1项)：T r＋1＝C r n a n－r b r，其中C r n(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0n＝C n n，C1n＝C n－1n ，C2n＝C n－2n，…，C r n＝C n－rn.②二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n ＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ·21＋C 2n ·22＋…＋C n n ·2n等．1． (2013·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A ．243B ．252C ．261D ．279答案 B解析 不重复的三位数字有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．2． (2013·福建)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为 ( )A ．14B ．13C ．12D ．10答案 B解析 由已知得ab ≤1.若a ＝－1时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a ＝0时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能； 若a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能． ∴共有(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.3． (2013·江西)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为 ( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r， 令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.4． (2013·浙江)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 答案 480解析 分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480.5． (2013·上海)设常数a ∈R ，若⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝________. 答案 －2解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (a x)r，2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故C 15a ＝－10⇒a ＝－2.题型一计数原理及应用例1(1)(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为() A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)审题破题(1)直接利用分步计数乘法原理；(2)含“至少”，可以利用间接法．答案(1)C(2)14解析(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)先求出2,3组成的所有四位数的个数，再减去不符合要求的四位数的个数．因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个)．反思归纳分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．变式训练1(1)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．答案7 200解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.(2)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法．题型二排列组合的应用例2(1)(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有() A．12种B．18种C．24种D．36种(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为() A．85 B．86 C．91 D．90审题破题(1)每行每列互不相同，可分步来排，先排第一列；(2)可按男生甲、女生乙是否入选分类．答案(1)A(2)B解析(1)先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．(2)可分三类考虑：①男生甲入选，女生乙不入选：C13C24＋C23C14＋C33＝31；②男生甲不入选，女生乙入选：C14C23＋C24C13＋C34＝34；③男生甲入选，女生乙入选：C23＋C14C13＋C24＝21，∴共有入选方法种数为31＋34＋21＝86.反思归纳解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．变式训练2(1)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有() A．34种B．48种C．96种D．144种答案 C解析 B 和C 捆在一起，和除A 以外的3个数字排列A 44，B 和C 排列A 22，A 排在第一或最后，2种，所以共有2A 44A 22＝96(种)．(2)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答) 答案 48解析 ①只有1名老队员的排法有C 12·C 23·A 33＝36种；②有2名老队员的排法有C 22·C 13·C 12·A 22＝12种． 所以共48种．题型三 二项式定理及应用例3 (1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．360B ．180C ．90D ．45 (2)如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是 ( ) A ．7B ．－7C ．21D ．－21审题破题 (1)从第六项二项式系数最大可得n 的值，再利用展开式的通项公式即可；(2)从二项式系数和可求得n . 答案 (1)B (2)C解析 (1)依题意知：n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r·x ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.(2)由已知2n ＝128，n ＝7，由T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r＝C r 7·37－r (－1)r ·x ， 令7－53r ＝－3，得r ＝6，故1x3的系数为C 67·31·(－1)6＝21，故选C. 反思归纳 (1)二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．变式训练3 已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . 5－52r 7－52r(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大．因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11.T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.典例 (1)(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)； 第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)． 答案 C(2)若(1＋x )(2－x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011＋a 2 012x 2 012，则a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012等于( )A ．2－22 011B ．2－22 012C ．1－22 011D ．1－22 012解析 采用赋值法，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 011＋a 2 012＝2，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＋a 2 012＝0，把两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 012)＝2，所以a 0＋a 2＋…＋a 2 012＝1，又令x ＝0，得a 0＝22 011，所以a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012＝1－22 011.故选C. 答案 C得分技巧 (1)排列、组合问题的解题关键是深刻透彻理解题意，分类时不重不漏；也可利用正难则反思想：间接法；(2)二项式系数和的解题策略就是“赋值”．阅卷老师提醒 (1)排列、组合问题题意理解不准确是出错的主要原因，分类标准不明确产生“漏”、“重”是常见问题．(2)求二项展开式系数和时，赋值的原则是能整体出现所求式子，x ＝1，x ＝－1，x ＝0是常用值．1． (2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是 ( )A ．9B ．10C ．18D ．20答案 C解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 2． (2013·辽宁)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 展开式的通项公式T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r， ∴T r ＋1＝3n －r C r n x ，r ＝0,1,2，…，n .令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.3． 若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2答案 C解析 ∵(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，∴令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 013＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0， 其中a 0＝1所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.故选C.4． (x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )n －52rA ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 D解析 二项式⎝⎛⎭⎫1x 2－15展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.5． (2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案 96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种数共有4A 44＝96.6． (2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 答案 10解析 将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解． f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.专题限时规范训练一、选择题1． 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有 ( )A ．70种B ．112种C ．140种D ．168种答案 C解析 ∵从10名同学中挑选4名参加某项公益活动有C 410种不同方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加某项公益活动有C 48种不同方法； ∴所求的不同挑选方法共有C 410－C 48＝140(种)．2． 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种答案 C解析 当第一组开关有一个接通时，电路接通为C 12(C 13＋C 23＋C 33)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C 22(C 13＋C 23＋C 33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.3． 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 ( )A ．420B ．560C ．840D ．20 160答案 C解析 从下层8件中取2件，有C 28种取法，放到上层时，若这两件相邻，有A 15A 22种放法，若这两件不相邻，有A 25种放法，所以不同调整方法的种数是C 28(A 15A 22＋A 25)＝840.故选C.4． 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种答案 A解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6(种)选派方法． 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．5． 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有 ( )A ．1 440种B ．1 360种C ．1 282种D ．1 128种答案 D解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A 66·A 22＝1 440(种)， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C 11·A 14·A 22·A 44＝192(种)，如果“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A 55＝120(种)． 则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．6． 设⎝⎛⎭⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300答案 B解析 M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ，N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4，T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r ·x 4－3r 2⇒r ＝2，则(－1)2C 24·52＝150. 7． (2012·湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析 化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a . 因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除， 即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12.8． 设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)答案 D解析 由于T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫12r x 12－3r ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5. 二、填空题9． (2013·大纲全国)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答) 答案 480解析 方法一 先把除甲、乙外的4个人全排列， 共有A 44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个， 共有A 25种不同的方法．故所有不同的排法共有A 44·A 25＝24×20＝480(种)． 方法二 6人排成一排， 所有不同的排法有A 66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A 55A 22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．10．(2013·浙江)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.答案 －10解析 T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎫－x －13r ＝C r 5(－1)r x 15－5r 6， 令15－5r ＝0，则r ＝3.∴A ＝T 4＝C 35(－1)3＝－10.11．(2012·上海)在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________． 答案 －160解析 方法一 利用计数原理及排列、组合知识求解．常数项为C 36x 3⎝⎛⎭⎫－2x 3＝20x 3⎝⎛⎭⎫－8x 3＝－160. 方法二 利用二项展开式的通项求解．T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3.所以常数项为T 4＝(－2)3C 36＝－160.12．若对于任意实数x ，有x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＋a 3＋a 5－a 0＝________.答案 89解析 令x ＝3得a 0＋a 1＋…＋a 5＝35，令x ＝1得a 0－a 1＋…－a 5＝1，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝35－12＝121，令x ＝2得a 0＝25＝32，故a 1＋a 3＋a 5－a 0＝121－32＝89.三、解答题13．现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，求满足上述要求且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数．解 5个人分别参加三个项目有两种可能：1人＋1人＋3人；2人＋2人＋1人．(1)当按1人＋1人＋3人参加时，可按以下方式分类考虑：①甲乙都是一人的，则有A 33＝6(种)情况；②甲乙中有一个是一人的，则有2·C 23A 33＝36(种)．(2)当按2人＋2人＋1人参加时，可按以下方式分类考虑：①甲乙中有一个是一人的，则有2·C 13A 33＝36(种)；②甲乙都是两人的，则有C 13C 12A 33＝36(种)．综上可知：共有排法6＋36＋36＋36＝114(种)．14．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．解 根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7. (1)令x ＝1得展开式中所有项的系数之和为 (1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72r x r 2，r ≤7且r ∈N . 于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3.。