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4.5偏序关系和等价关系

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4.5等价关系和偏序关系

4.5等价关系和偏序关系


3、传递性；
<x,y>∈R x mod 3=y mod 3 <y,z>∈R y mod 3=z mod 3
∴ x mod 3=z mod 3，从而<x,z> ∈R。
续上例Z上的模3同余关系
……～ -3 ～ 0 ～3 ～6 ～9 ～12 ～…… ……～-2 ～1 ～4 ～7 ～10 ～13 ～…… ……～-1 ～2 ～5 ～8 ～11 ～14 ～…… 即是：{3n}中的各元素相互等价， {3n+1}中的各元素相互等价， {3n+2}中的各元素相互等价。
[4]R＝{4,5 } ＝ [5]R
2
3
等价关系例1
5
[6]R＝{6}
例2：整数上的模3同余关系R
[0]R＝{……,-3,0,3,6,9,…… } ＝ [3]R ＝ [6]R ＝ …… ={3n | n∈Z}=3Z [1]R＝{……,-2,1,4,7,10,… } ＝ [4]R ＝ [7]R ＝ …… ={3n+1 | n∈Z}=3Z+1 [2]R＝{……,-1,2,5,8,11,…… } ＝ [5]R ＝ [8]R ＝ …… ={3n+2 | n∈Z}=3Z+2
划分块
设 A 为非空集合，若存在 A 的一个子集簇 CP(A)满足： 1. C； 2. 对于A的任意子集x, yC，若x y，则x y = ； 3. C = A。 则称C为A的一个划分，C中的元素称为 划分块。
等价关系和划分的对应
设A为非空集合，则： 1. 2. 设 R 为 A上的任意一个等价关系，则 设C是A的任意一个划分，则定义RC 商集A/R是A的一个划分； = {<x, y> | x, yA x, y属于C的同一划分块}， 则RC是等价关系。
离散数学___等价关系与偏序关系

离散数学___等价关系与偏序关系

19
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
4.5偏序关系和等价关系

4.5偏序关系和等价关系


②
对于任意的x,yA，若 x|y 且 y|x 则 x=y
即：若<x,y>R且<y,x>R则x=y
数学与信息工程系
∴ R是反对称的
③ 对于任意的<x,y>,<y,z>R，有x|y 且 y|z ∴有x|z ∴ < x , z> R ∴ R是传递的 综合①、②、③，R是偏序关系。
相关概念
x与 y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系,
4.5 等价关系与偏序关系
数学与信息工程系



等价关系的定义与实例 等价类及其性质 商集与集合的划分 等价关系与划分的一一对应 偏序关系 偏序集与哈斯图 偏序集中的特定元素
1
等价关系的定义与实例
数学与信息工程系
定义 设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、 对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称 x 等价于y, 记做 x～y. 实例 设 A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系 R： R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 其中 x≡y(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的 余数与 y 除以3的余数相等.
则π1和π2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分. 为什么？
10
等价关系与划分的一一对应
数学与信息工程系
商集 A/R 就是 A 的一个划分 不同的商集对应于不同的划分 任给 A 的一个划分π, 如下定义 A 上的关系 R： R = {<x,y> | x,y∈A∧x 与 y 在π的同一划分块中} 则 R 为 A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集 就是π.
等价关系和偏序关系

等价关系和偏序关系

等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。

本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。

首先，我们来介绍等价关系。

等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。

在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。

换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。

等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。

2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。

在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。

在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。

在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。

接下来，我们来介绍偏序关系。

偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。

在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。

与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。

偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。

2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。

在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。

集合论第三课 等价关系与偏序关系

集合论第三课 等价关系与偏序关系


• 定理2.16 设R1和R2是A上的等价关系， 则 R1R2是A上的等价关系。
• 例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，A上的二元关系R 中，有多少个是等价关系？
• 因为等价类划分和等价关系是一一对应的， 所以A上的二元关系中等价关系的个数等于 A的划分个数。 • 西安交通大学1998考研
例： A是学生集合，是在A中按学院的划分， ’是在A中按专业的划分。和’确定A 上的等价关系R:同学院同学关系和R’:同专 业同学关系，显然R’R。
• 证明： • /*’细分 R’R ，基本法*/ • 对于任一<a, b>R’，存在'的某块S’，使a, bS’。因为’细分，所以必存在的块S， 使S’S。因此a, bS，从而<a, b>R。 • /* R’R ’细分 */ • 设S’是‘的一块，aS’则[a]R’ ={x|xR’a}=S’ （请展开证明）。由于R’R，若xR’a必有 xRa。因此{x|xR’a}{x|xRa}，即 [a]R’[a]R。 ’的一块包含在的一块中，所以’细分 。
• /*北京航空航天大学1996考研试题*/
2.7 次序关系
• 二 拟序关系 • 定义2.22（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称 R为A上的拟序关系。称(A, R)为拟序集，或记为 (A, <)。（不意味着小于）
• 定理2.24 A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称 的。 证明：反证法
– 位置关系：若a b，则结点a在b之下； –Байду номын сангаас连线规则：若a与b之间不存在其他元素c，使a c，c b则在a与b之间用一线相连。
2.7 次序关系
• 例题： Rosen《离散数学及其应用（本科教学 版）》p225例13、例14、P226例18
既是等价关系又是偏序关系

既是等价关系又是偏序关系

既是等价关系又是偏序关系等价关系是指集合中的元素之间具有相等的关系，而偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序关系，即可以进行大小比较。

有些关系既是等价关系，同时又是偏序关系。

以下是一篇用中文生成的内容生动、全面、有指导意义的文章，解释了这种关系的概念和应用。

在我们的生活中，有很多关系是并不那么容易理解的。

然而，等价关系和偏序关系这两个概念却是十分重要且有指导意义的。

这两个关系既有联系又有区别，同时又有其独特之处。

首先，让我们来了解一下等价关系。

等价关系是指一个集合中的元素之间具有相等的关系。

也就是说，如果两个元素之间存在等价关系，那么它们之间是相互等于的。

举个例子来说，我们可以将“等于”定义为一个等价关系。

如果我们有两个数3和3，它们之间是等价关系，因为它们是相等的。

同样地，如果我们有两个人，他们的年龄相等，它们之间也可以被视为等价关系。

与此同时，偏序关系是指一个集合中的元素之间存在某种偏序关系，也即可以进行大小比较。

这种关系是有序的，而不仅仅是相等。

举个例子来说，我们可以将“大于”定义为一个偏序关系。

比如，如果我们有两个数5和3，我们可以说5大于3。

同样地，如果我们有两个人，他们的年龄可以按照大小顺序排列，那么我们可以将年龄视为一个偏序关系。

然而，有一些关系既是等价关系又是偏序关系。

这种关系使得我们能够更好地理解和描述我们周围的世界。

举个例子来说，考虑到集合A中的人群，我们可以定义两个人之间的关系R，这个关系可以表示为“谁的年龄较大”。

这个关系是等价关系，因为如果两个人的年龄相等，那么它们是相互等于的。

但同时它也是偏序关系，因为我们可以根据年龄的大小来对人们进行排序和比较。

这种既是等价关系又是偏序关系的关系在实际中有着广泛的应用。

在数学中，这种关系可以帮助我们从大到小对数进行排序和分类。

在计算机科学中，我们可以使用等价关系和偏序关系来对数据进行分类和排序。

在社会科学中，我们可以使用这种关系来比较不同人群之间的各种属性。

离散数学等价关系与偏序关系

离散数学等价关系与偏序关系

6
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
离散数学等价关系与偏序关系

离散数学等价关系与偏序关系

注： 由定理1、2可得：X上的等价关系与X的划分 是一一对应的，并且互相确定。
2021/10/10
9
集合与图论
商集
等价关系R确定的划分是R的所有等价类之集 {[x]xX}
定义4 设R是X上的等价关系，由R所确定的X的 划分也就是R的所有等价类之集称为X对R的商集， 并记X/R。
即：X/R={[x] xX，[x]是x的等价类}。
2021/10/10
6
集合与图论
集合的划分
定义3 设X为非空集合，X的若干个子集形成的集 族称为X的一个划分，如果具有性质：
(1) ；
(2) x,y，若xy，则x∩y=;
(3)
。
称 中的元素为X的划分块。
如果是X的一个划分，则当=k时， 被称为X的 一个k-划分。
2021/10/10
7
集合与图论
2021/10/10
11
集合与图论
实例
例8：给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系。 求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出 对应的等价关系。
2021/10/10
12
集合与图论
实例
A上的等价关系与划分之间的对应：
4对应于全域关系EA； 5对应于恒等关系IA； 1, 2和 3分别对应于等价关系 R1, R2和R3，其中 R1={(2,3),(3,2)}∪IA R2={(1,3),(3,1)}∪IA R3={(1,2),(2,1)}∪IA
2021/10/10 [3]=[6]={3,6}
5
集合与图论
等价类的性质
定理1 设R是非空集合X上的等价关系, 则 (1) xX, [x]≠ 。
(2) x, yX, 如果(x, y)R, 则 [x]=[y]。
等价关系和偏序关系的联系

等价关系和偏序关系的联系

等价关系和偏序关系的联系
在许多人的眼中，“等价关系”和“偏序关系”，被看成是互联网领域著名的
两个概念。

它们是用来解释任何形式的数据在任何媒体上进行存储、传播以及传输的基础。

但它们之间是有一定区别的。

等价关系是用来描述事物之间具有完全相同质量和价值的关系。

比如说，二进
制数和十六进制数虽然表达形式不同，但都可以表示相同的数据，因此它们之间具有等价关系。

此外，当同一个网页阐述的基本信息被用不同的文字描述时，这也是等价关系的一个体现。

而偏序关系则是描述事情之间拥有相同质量但价值不同的关系。

比如说，基本
的网页上的信息，和随后在同一网页上发布的详细信息，虽然是基础上的相同信息，但它们之间的价值是不同的，这就是偏序关系。

互联网领域把“等价关系”和“偏序关系”应用于处理各种数据格式、控制传
输效率等，帮助数据在不同的媒体上进行存储、传播以及传输。

由于等价关系和偏序关系之间有各自明确的优势，因此，借助它们，企业可以充分利用数据来管理商业信息，从而更加高效地实现商业价值。

从以上可以明显看出，“等价关系”和“偏序关系”在互联网领域都起着不可
或缺的作用。

它们不仅可以帮助企业更加高效地实现商业价值，更可以使得数据可以在不同的媒体上有效、高效地传递。

因此，在进行数据存储、传播以及传输时，要充分运用“等价关系”和“偏序关系”等概念，从而有效地进行数据存储和传输。

离散数学 二元关系(3)

离散数学 二元关系(3)


则a,b∈A，a≠b，且<a,b>∈R，<b,a>∈R，
因R是传递的，∴<a,a>∈R，<b,b>∈R。
与R是反自反的矛盾。
∴R具有反对称性。
西南科技大学
23
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 有关说明: (1). 由反自反性和传递性可以推出反对称性。
(2). 拟序关系具有反自反性，反对称性和传递性。
最大元不存在，极大元是4、6、15。
(3).B3={2,3,4,6,12,30}，则B3 的最大元、最小元均 不存在；极大元是12、30，极小元是2、3。
西南科技大学
18
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 3、上界、下界、上确界、下确界 定义 设<A,≤>是偏序集，集合BA
系用哈斯图表示。
哈斯图是关系图的简化，其省略方法如下:
西南科技大学
5
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics (1). 把所有结点的自回路均省略，只用一个结点
表示A的元素。
(2). 省略所有有向边的方向，通过适当排列A中
元素的位置来确定它们的关系，如a≤b，则a画
在b的下方(向上画)。 (3).如a≤b，b≤c，则必有a≤c。所以，如a到b有 边，b到c有边，则把a到c的有向边省略掉。
④4≤5，5≤4两者均不成立，4、5的位置的高低不 决定两者的序关系。 ⑤该关系图共有14条有向弧，而哈斯图共有6条边， 省略了8条边。 4 6
5 2 1 8 3
西南科技athematics (2).哈斯图为：
(3).A={ａ,ｂ,ｃ}，则包含关系R是ρ(A)上的偏 序关系。则<ρ(A)，R>是偏序集,其哈斯图如下:
4.5等价关系

4.5等价关系

实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
5
等价类的性质
定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则 (1) x∈A, [x] 是A的非空子集. (2) x, y∈A, 如果 x R y, 则 [x]=[y]. (3) x, y∈A, 如果 x y, 则 [x]与[y]不交. (4) ∪{ [x] | x∈A}=A，即所有等价类的并集就 是A.
3
A上模3等价关系的关系图
设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
4
等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy }
称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
记为[x].
12
实例
例3 设 A={1, 2, 3, 4}，在 AA上定义二元关系R： <<x,y>,<u,v>>R x+y = u+v， 求 R 导出的划分. 解 AA={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4 ,4>}
②
对于任意的x,yA，若 x|y 且 y|x 则 x=y

等价关系与偏序关系


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等价关系与偏序关系
• 引言 • 等价关系 • 偏序关系 • 等价关系与偏序关系的比较 • 等价关系与偏序关系在数学中的应用 • 等价关系与偏序关系在计算机科学中的应用 • 总结与展望
目录
Part
01
引言
目的和背景
研究目的
探讨等价关系与偏序关系的性质、特 点及其在数学和其他领域的应用。
研究背景
等价关系与偏序关系是数学中的基本 概念，对于理解数学的许多分支以及 解决实际问题具有重要意义。
偏序关系与集合的排序
偏序关系在集合论中被用来描述元素之间的 排序关系。通过偏序关系，可以对集合中的 元素进行排序，从而形成有序集合。
在图论中的应用
等价关系与图的同构
在图论中，如果两个图具有相同的结构性质，则称它们是同构的。等价关系可 以用来定义图的同构关系，即如果两个图之间存在一个保持顶点和边关系的双 射，则它们是同构的。
Part
07
总结与展望
研究成果总结
等价关系研究
在等价关系方面，我们深入探讨了等价关系的性质、分类、构造方法以及等价类与划分之间的联系。通过实例分析和 理论推导，我们揭示了等价关系在数学、计算机科学等领域中的广泛应用。
偏序关系研究
在偏序关系方面，我们系统研究了偏序集的定义、性质、结构以及偏序关系与序偶、全序关系之间的联系。通过对比 分析不同偏序集的特点，我们总结了偏序关系在解决实际问题中的优势与局限性。
在数据结构中的应用
等价类划分
利用等价关系将数据元素划分为 互不相交的子集，便于数据的分 类和组织。
偏序集合
在数据结构中，偏序关系可用于 定义元素间的部分排序，如优先 队列、堆等。

第6讲 等价关系、相容关系与偏序关系.ppt

本节在偏序的基础上, 介绍偏序集中的特殊 元素.
1.偏序关系 Def 设R A A, 若R具有自反性、反对称
性和传递性, 则称R为A上的偏序.
例2-57 R, ?
例2-58 P(X), ? Remark 借用数的 表示偏序(理由?), 可读作
“小于等于”, (A, ) 称为偏序集. 例 N+, |?
set
set
algebra
algebra
logic
logic
graph
graph
2.相容类 Def 2-21 设R是集合A上的相容关系,
C A,若对于任意x, y C, 均有(x, y) R, 则 称C是由相容关系R产生的相容类. 在前例中, {set}, {set, algebra}, {logic}, {logic, algebra}, {logic, graph}, {logic, algebra, graph}等是由相容关系R产生的相容 类, 而{set, logic}, {set, graph}等不是.
c), (b, c), (c, b)}, 则R具有自反性、对称性以 及传递性, 因此R为A上的等价关系.
[a]R {x | x A,(a, x) R} {a}.
[b]R {b, c}.
[c]R {b, c}.
例2-48 Z上的模3同余关系R:
R {( x, y) | x, y Z,3 | (x y)}.
S的最小元b: b S,x S : b x.
存在性? (R, ), S = Z? (P(X), ), S = P(X)?
z [x]R (x, z) R. (x, y) R ( y, x) R. ( y, z) R z [ y]R.
同理可证, [ y]R [x]R ?

等价关系和偏序关系

等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中两种常见的关系类型。

它们在数学和现实生活中都有重要的应用。

等价关系是指具有相同性质或属性的对象之间的关系。

简单来说，如果两个对象之间的关系是等价关系，那么它们在某个方面是相等的。

比如，假设我们以身高作为判断两人是否同一等级的标准，那么所有身高相同的人构成了一个等价类。

在这个等价类中，每个人与其他人都具有相等的身高。

在这种情况下，身高就是构成等价关系的“等价性质”。

在数学中，等价关系具有以下三个基本特征：1. 反身性：每个对象与自身都具有相同的性质。

换句话说，对于任何一个对象a，a与a之间的关系是等价关系。

2. 对称性：如果对象a与对象b之间的关系是等价关系，那么对象b与对象a之间的关系也是等价关系。

3. 传递性：如果对象a与对象b之间的关系是等价关系，且对象b与对象c之间的关系也是等价关系，那么对象a与对象c之间的关系必须是等价关系。

举个例子来说，如果我们以相等作为判断两个数值关系的标准，那么对于任意两个数a和b，如果a等于b，那么b也等于a，而且如果b等于c，那么a也等于c。

因此，这种数值关系具有反身性、对称性和传递性，是一个等价关系。

与等价关系不同，偏序关系则是一种可以对对象进行排序的关系。

在偏序关系中，我们可以将对象按照某种标准排列成一个序列，其中一个对象优于另一个对象。

例如，在学生的考试成绩中，如果一个学生的成绩高于另一个学生，我们可以说前者优于后者。

在这种情况下，优劣可以作为构成偏序关系的“有序性质”。

对于偏序关系，它具有以下三个基本特征：1. 反身性：每个对象与自身之间的关系是偏序关系。

也就是说，对于任何一个对象a，a与a之间的关系是偏序关系。

2. 反对称性：对于两个不同的对象a和b，如果a与b之间的关系是偏序关系，那么b与a之间的关系就不能是偏序关系。

3. 传递性：如果对象a与对象b之间的关系是偏序关系，且对象b与对象c之间的关系也是偏序关系，那么对象a与对象c之间的关系必须是偏序关系。

4.5等价关系与偏序关系


9
商集
为非空集合A上的等价关系 定义 设R为非空集合 上的等价关系 以R的不交 为非空集合 上的等价关系, 的不交 的等价类为元素的集合叫作A在 下的商集, 下的商集 的等价类为元素的集合叫作 在R下的商集 记做 A/R, 即A/R = { [x]R | x∈A } ∈ 关于模3等价关系 实例 A={1,2,…,8}，A关于模 等价关系 的商集为 ， 关于模 等价关系R的商集为 A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为： 关于恒等关系和全域关系的商集为： 关于恒等关系和全域关系的商集为 A/IA = { {1},{2}, … ,{8}} A/EA = { {1, 2, … ,8} }
12
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, ＝ 给定π 如下： 给定 1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } ， π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ∅,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 的划分, 的划分. 则π1和π2 是A的划分 其他都不是 A 的划分 的划分 为什么？ 为什么？
7
等价类的性质
是非空集合A上的等价关系 定理 设R是非空集合 上的等价关系 则 是非空集合 上的等价关系, (1) [x] ≠ ∅,且[x]⊆A. 且 ⊆ (2)若 x R y, 则 [x]=[y]. 若 (3) 若 x y, 则 [x] ∩[y]= ∅. (4) x∪A[ x ] = A ∈
∈
8
实例

偏序关系及其逆关系的并集是等价关系

偏序关系及其逆关系的并集是等价关系1.介绍偏序关系偏序关系是指在集合上的一种二元关系，它具有反身性、反对称性和传递性。

具体而言，在集合X上，如果对于任意的a、b、c∈X，满足以下三个条件：① 反身性：a≤a② 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b③ 传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c那么我们称≤为集合X上的一种偏序关系。

2.介绍逆关系逆关系就是在原关系中，将元组的顺序颠倒。

假设R是集合X上的一个关系，那么R的逆关系定义为R的元组(a,b)颠倒为(b,a)，就得到了R的逆关系。

3.偏序关系的逆关系如果R是集合X上的一个偏序关系，那么R的逆关系R-1也是在X上的一个偏序关系。

我们可以通过验证来证明这一点。

① 反身性：由R是偏序关系可知，a≤a，根据逆关系的定义，aRb，则bRa，所以b≤b② 反对称性：如果aRb且bRa，则根据R是偏序关系可知a=b③ 传递性：如果aRb且bRc，则根据R是偏序关系可知a≤b且b≤c，最终得到a≤c4.偏序关系及其逆关系的并集现在我们来考虑偏序关系R和其逆关系R-1的并集R∪R-1。

R∪R-1包括了R和R-1中的所有元组。

我们可以通过验证来证明R∪R-1是一个等价关系。

① 反身性：R包括了所有的反身性元组，而R-1也包括了所有的反身性元组，所以R∪R-1满足反身性② 对称性：R中的元组(a,b)对应着R-1中的元组(b,a)，所以R∪R-1满足对称性③ 传递性：假设(a,b)∈R∪R-1且(b,c)∈R∪R-1，如果(a,b)∈R，那么由R的传递性可知(a,c)∈R；如果(a,b)∈R-1，那么由R-1的传递性可知(a,c)∈R-1。

R∪R-1满足传递性。

5.总结通过上述的论证，我们得知偏序关系及其逆关系的并集是等价关系。

这一结论对于理解偏序关系和等价关系的性质有着重要的意义，同时也为数学领域的相关研究提供了深入的思考和方法。

在实际应用中，我们可以通过这一结论，对偏序关系和等价关系进行更深入的分析和应用。

等价关系、偏序关系

等价关系、偏序关系
等价关系是抽象的根基
定义
【等价关系】设 R ⊆X ×X ，如果 R 是⾃反、对称、传递 关系，则 R 就称为等价关系
【等价类】设 R ⊆X ×X 是 X 上的等价关系，∀x ∈X , [x ]={y ∈X ∣(y ,x )∈R } 称为 R 的⼀个等价类
【集合的划分】设 X 是⼀个集合，A 是 X 的⾮空⼦集构成的集合，如果 A 满⾜「A ,B ⊆A ,A ∩B =∅」与「⋃A i ∈A A i =X 」，则称 A 是集合 X 的⼀个划分
【偏序关系与偏序集】设 ≤:X →X ，如果 ≤ 是⾃反、传递、反对称的，则称 ≤ 是 X 上的偏序关系，(X ,≤) 称为偏序集
【全序关系与全序集】设 ≤:X →X ，若 ∀x ,y ∈X , (x ,y )∈≤ 或 (y ,x )∈≤，则称 ≤ 为全序关系，(X ,≤) 称为全序集定理
【不同等价类⽆交集】[x ]≠[y ]→[x ]∩[y ]=∅
【等价关系与集合划分⼀⼀对应】给定集合 X 上的⼀个划分 A ，由 A 可以确定⼀个等价关系
理解
1. 若 I ⊆R , R −1⊆R , R 2⊆R ，则 R 就是等价关系
2. 因为并⾮所有集合元素都存在序关系，所以叫偏序关系
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6
实例
[1]=[4]=[7]={1,4,7}， [2]=[5]=[8]={2,5,8}， [3]=[6]={3,6} 以上3 类两两不交， {1,4,7}{2,5,8}{3,6} = {1,2, … ,8}
数学与信息工程系
A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：
7
商集
数学与信息工程系
②
对于任意的x,yA，若 x|y 且 y|x 则 x=y
即：若<x,y>R且<y,x>R则x=y
数学与信息工程系
∴ R是反对称的
③ 对于任意的<x,y>,<y,z>R，有x|y 且 y|z ∴有x|z ∴ < x , z> R ∴ R是传递的 综合①、②、③，R是偏序关系。
相关概念
x与 y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系,
定义 设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有 等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做 A/R, A/R = { [x]R | x∈A } 实例 A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为 A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = { {1},{2}, … ,{8}} A/EA = { {1, 2, … ,8} }
数学与信息工程系
最元与极元是有区别的：
① 最元与B中其它元素都可比，是B中最小
(大)的元素；
② 极元不一定与B中元素都可比，只要没
有比它小(大)的元素，它就是极小(大)元。
实例
数学与信息工程系
例10 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、 最小元、极大元、最大元.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元.
则π1和π2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分. 为什么？
10
等价关系与划分的一一对应
数学与信息工程系
商集 A/R 就是 A 的一个划分 不同的商集对应于不同的划分 任给 A 的一个划分π, 如下定义 A 上的关系 R： R = {<x,y> | x,y∈A∧x 与 y 在π的同一划分块中} 则 R 为 A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集 就是π.
4.5 等价关系与偏序关系
数学与信息工程系



等价关系的定义与实例 等价类及其性质 商集与集合的划分 等价关系与划分的一一对应 偏序关系 偏序集与哈斯图 偏序集中的特定元素
1
等价关系的定义与实例
数学与信息工程系
定义 设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、 对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称 x 等价于y, 记做 x～y. 实例 设 A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系 R： R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 其中 x≡y(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的 余数与 y 除以3的余数相等.
相关概念
都是可比的，则称 R 为全序（或 线序）
数学与信息工程系
全序关系： R为非空集合A上的偏序, x,yA, x与 y
例5：数集上的小于或等于关系是全序关系
整除关系不是正整数集合上的全序关系 全序关系一定是偏序关系，偏序关系不 一定是全序关系。
二、偏序集与哈斯图
定义
作 <A,≼>.
数学与信息工程系
特殊元素的性质
多个.


数学与信息工程系
对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在
最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一.
最小元一定是极小元；最大元一定是极大元.
孤立结点既是极小元，也是极大元.
偏序集的特殊元素
定义 设<A, ≼>为偏序集, BA, yA.
数学与信息工程系
(1) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B的上界.
等价关系的验证
x∈A, 有x ≡ x(mod 3)
数学与信息工程系
验证模 3 相等关系 R 为 A上的等价关系, 因为
x, y∈A, 若 x ≡ y(mod 3), 则有 y ≡ x(mod 3)
x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3),
则有 x≡z(mod 3)
下界、上界、下确界、上确界不一定存在 下界、上界存在不一定惟一


下确界、上确界如果存在，则惟一
集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的
上确界；反之不对.
实例
数学与信息工程系
例12 设偏序集<A,≼>如下图所示，设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下界、上界、下确界、上确界.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 f, 最小上界为 d.
偏序集的特殊元素
定义 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B.
数学与信息工程系
(1) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元.
(2) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元.
(3) 若x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.
记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
5
等价类的性质
数学与信息工程系
定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则 (1) x∈A, [x] 是A的非空子集. (2) x, y∈A, 如果 x R y, 则 [x]=[y]. (3) x, y∈A, 如果 x y, 则 [x]与[y]不交. (4) ∪{ [x] | x∈A}=A，即所有等价类的并集就 是A.
8
集合的划分
数学与信息工程系
定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(πP(A)) 满足下面条件： (1) π (2) xy (x,y∈π∧x≠y→x∩y=) (3) ∪π=A 则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分 块.
9
例题
数学与信息工程系
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
数学与信息工程系
x,yA, x与y可比 x≼y ∨ y≼x. 结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况：
x≺y (或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.
数学与信息工程系
例3：{2,3,6,12,24,36} 上的整除关系 :
(1) 2与3、24与36不可比
(2) 6与6、6与12、6与3可比
例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系 求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写 出对应的等价关系.
11
等价关系与划分之间的对应
2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
数学与信息工程系
2 1 3
1
2
3
4
5
π1对应于全域关系 EA，π5 对应于恒等关系 IA π2,π3和π3分别对应等价关系 R2, R3 和 R4. R2={<2,3>,<3,2>}∪IA，R3={<1,3>,<3,1>}∪IA R4={<1,2>,<2,1>}∪IA
可能在B中，也可能不在B中；
下确界是下界中的最大，
上确界是上界中的最小。
数学与信息工程系
例11：{ 2,3,6,12,24,36 } 上的整除关系， 求 { 2,3,6,12 } 的界、确界。 下界：无
24 12 6
36
上界：12, 24, 36
下确界：无
上确界：12
2
3
特殊元素的性质

数学与信息工程系
(3) 6≤6、6≤12、3≤6 6＝6、6＜12、3＜6
相关概念
数学与信息工程系
覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如
果 x ≺ y且不存在 zA 使得 x ≺ z ≺ y, 则称 y 覆盖x. 例4：{ 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系,
2覆盖1, 4和6覆盖2. 4不覆盖1.
(2) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为B的下界.
(3) 令C＝{y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的 最小上界 或 上确界. (4) 令D＝{y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的 最大下界 或 下确界.
说明：
① ② B的界、确界在 A 的范围中，
数学与信息工程系
自反性、对称性、传递性得到验证
3
A上模3等价关系的关系图
设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
数学与信息工程系
4
等价类
[x]R = { y | y∈A∧xRy }
数学与信息工程系
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简