量子力学-第十章 散射

第一章量子力学作业习题[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（12；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=][2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

施罗德散射体的频率计算
施罗德散射体（Schrödinger Scatterer）通常指的是在量子力学中描述散射现象的模型。

散射是粒子（例如电子、光子或其他粒子）在与物质相互作用时改变其方向的过程。

施罗德散射体是一个理论模型，用于研究这些散射现象。

在施罗德散射体中，散射的频率或概率通常取决于几个关键因素，包括入射粒子的能量、散射体的性质（如大小、形状和内部势场），以及散射体与目标粒子之间的相互作用。

频率计算通常涉及量子力学的散射理论，特别是使用施罗德方程（Schrödinger Equation）来描述粒子行为。

施罗德方程是一个描述粒子如何随时间演化的偏微分方程。

在散射问题中，这个方程通常用于求解散射态和相应的散射振幅。

散射频率可以通过散射振幅计算得出，散射振幅是入射波和出射波之间的比例系数。

散射振幅可以通过求解施罗德方程的散射态得到，这通常涉及到复杂的数学和物理计算。

为了具体计算施罗德散射体的散射频率，需要知道散射体的具体性质（如势函数）以及入射粒子的能量和动量。

然后，可以使用量子力学中的散射理论和方法来求解施罗德方程，得到散射振幅和相应的散射概率或频率。

请注意，这里提供的信息是一种概括性的描述，并不包含具体的数学细节或计算步骤。

实际的频率计算需要更深入的专业知识和具体的物理模型。

电磁波的散射和散射波理论电磁波的散射是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到光学、电磁学、量子力学等多个学科的知识。

本文将从理论的角度来介绍电磁波的散射和散射波理论。

首先，我们来了解一下电磁波的散射现象。

当一束电磁波遇到物体时，部分波的能量会被物体吸收，而剩下的波则会被物体散射出去。

这个过程可以简单理解为光线在物体表面的反射，但实际上，散射是一个更加复杂的现象。

散射波理论是研究散射现象的一种理论框架。

根据这个理论，散射波的强度可以用散射截面来描述。

所谓散射截面，是指单位面积内被散射波所占据的空间。

通过计算散射截面，我们可以得到散射波的强度分布和散射强度。

要计算散射截面，我们需要考虑一些因素，比如物体的形状、大小、电磁波的频率和入射角度等。

这些因素的变化都会影响到散射截面的大小和形状。

一种经典的散射波理论是Mie散射理论。

该理论适用于球形物体散射的情况。

根据Mie散射理论，当电磁波的波长和物体大小相当时，散射截面的大小和形状会发生显著变化。

此时，我们可以观察到一些有趣的现象，比如物体呈现出不同颜色的光晕。

除了球形物体的散射，还有其他形状的物体，比如棱柱、棱台等，它们的散射现象也可以用不同的理论来解释。

当物体的形状变得复杂时，散射的计算变得更加困难，需要借助数值计算和模拟来进行。

近年来，随着计算机技术的快速发展，数值模拟方法在散射波理论中得到了广泛应用。

通过建立散射波的数值模型，我们可以模拟不同条件下的散射强度和散射截面，从而更好地理解和解释实验结果。

此外，散射波的理论研究还延伸到了量子力学领域。

在量子力学中，散射波是指粒子在势能场中的散射现象。

根据量子力学的原理，我们可以通过波函数来描述散射波的行为，计算出不同能量下的散射截面和强度分布。

总结起来，电磁波的散射是一个复杂而有趣的现象，需要借助散射波理论来解释和理解。

不同形状的物体的散射现象可以用不同的理论方法来描述，并通过数值模拟和量子力学计算得到更加精确的结果。

康普顿散射现象康普顿散射现象是物理学中的一个重要现象，它是指入射光子与物质原子相互作用时，光子的能量部分转移给原子中的自由电子，导致光子的散射。

康普顿散射现象最早是由美国物理学家康普顿在20世纪20年代发现的。

他利用X射线对物质进行研究时，发现X射线的散射角度与入射角度不同，而且散射光子的能量也有所改变。

通过对散射光子的能量和角度的测量，康普顿成功地解释了这一现象。

他提出了一个简单的公式来描述康普顿散射的能量转移，这个公式成为了现代物理学中的基本公式之一。

康普顿散射的机制非常复杂，它涉及到光子与原子中的自由电子发生相互作用的过程。

当一个光子进入物质时，它会与物质中的原子相互作用。

光子的电磁波场会激发原子中的自由电子，导致电子发生振动。

这个过程会导致光子的能量部分转移给电子，使得光子的波长增加，频率降低。

最终，散射光子的能量和波长会与入射光子不同。

康普顿散射现象在物理学中有着广泛的应用。

它可以用来研究物质的结构和组成，也可以用来测量物质的密度和厚度。

康普顿散射还可以用来研究宇宙射线和天体物理学中的一些问题。

此外，康普顿散射还被用于医学影像学中，例如X射线断层扫描（CT）和正电子发射断层扫描（PET）等技术中。

康普顿散射现象的研究也带来了一些重要的物理学理论。

例如，康普顿散射的能量转移过程是量子力学中的重要问题之一。

量子力学中的康普顿效应理论可以用来描述光子与物质相互作用的量子力学过程。

此外，康普顿散射现象也与相对论物理学有关。

康普顿效应的解释需要引入相对论量子力学的概念，例如质量能量关系和动量守恒等。

总之，康普顿散射现象是物理学中的一个重要现象，它不仅带来了重要的物理学理论，还有着广泛的应用价值。

未来，随着科学技术的不断发展，康普顿散射现象的研究将会更加深入，为我们认识世界带来更多的启示。

第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

第十章势散射理论§10.1 一般描述1, 散射(碰撞)实验的意义与分类散射(碰撞)实验是指具有一定动量的入射粒子束流，射向处于气、液、固体形态的靶粒子上，和靶粒子相互作用(电-弱作用或强作用)之后，入射粒子、靶粒子或新生出的粒子由相互作用的局限区域散射飞出。

除入射粒子的流强和能量之外，散射实验主要测量出射粒子的种类、能量、角分布(微分截面)、极化状态、角关联等等。

在实验和理论计算中，可以近似认为入射粒子束流是单色平面波, 而(不一定和入射粒子同类的)出射粒子束流是(渐近自由的)出射球面波，入射粒子和靶粒子的相互作用导致入射和出射粒子不同状态之间的跃迁。

各种类型的跃迁可以在设定相互作用之后由散射理论来计算。

理论计算的结果可以直接经受实验的检验，因此散射(碰撞)实验在对微观粒子相互作用以与它们内部结构的研究中处于一种特殊的地位，它们是原子物理、核物理的重要研究手段，是粒子物理几乎唯一的研究手段。

散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类：弹性散射过程A B A B+→+非弹性散射过程*+→+(*A——粒子A的某种内部激发态)A B A B碰撞反应过程A B C D+→+（+ ┄）▲“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发生机械能（A、B粒子总动能和相互作用势能之和）和粒子内能之间的转化，因此弹性散射中机械能守恒；▲“非弹性散射”。

存在机械能与粒子内能之间的转化。

比如，电子在原子上的散射造成靶原子内部状态的激发（或退激发）； ▲“碰撞过程”。

这是纯粹由于入射复合粒子A 、B 之间的组分粒子交换导致新复合粒子C 、D 出射，即（重新）组合反应。

它们属于一般的形式散射理论处理的范围。

比如，电子使靶原子电离放出束缚电子，或是各种原子核反应。

这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭，只是复合粒子在碰撞下的分解或重新组合，所以参与反应的粒子守恒。

▲“反应过程”。

这时出现新旧粒子的产生和湮灭，从而也造成出射粒子C 、D 不同于入射粒子A 、B 。

第十章 量子物理基础本章提要1． 光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。

· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。

· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。

2． 维恩位移定律· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系λm T b =其中b 是维恩常量。

3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系4T M σ=其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。

对于一般的物体4T M εσ=e 称发射率。

4． 黑体辐射· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。

黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。

· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式25/λ2πhc 1()λ1hc kT M T e l =-· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。

· 一个光子具有的能量为νh E =。

5． 粒子的波动性· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。

与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。

· x x p D D ?h 或者E t D D ?h 这一关系叫做不确定关系。

其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。

)()(x x V γδ-=束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中E <V 0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。

由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。

散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。

对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。

实际上二者有极其密切的联系。

下面将予以讨论2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有)()(x x V γδ-=，)0(>γ见右图。

在0≠x 处，0)(=x V 。

0>∴E 为游离态（自由态），E 可取任何连续值。

0<E 时则可能存在束缚态，此时E 取分立值。

以下讨论0<E 的情况。

定态Schrodinger 方程为，0)]([2d d 222=++ψγδψx E mx 积分⎰-→+εεεx d lim 0可得出δ势阱跃变条件， )0(2)0(')0('2ψγψψ m -=--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψm =--+在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为0)(''2=-ψβψx其中02>-=mEβ，)0(<E解为xe β±，可写为x xBe Aeββ-+，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。

考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维）， (a)偶宇称态⎩⎨⎧<>=-0)(x cex ce x xxββψ 或写成||)(x ce x βψ-=c 为归一化因子。

现在根据跃变条件求解。

按'ψ的跃变条件，c m c c ⋅-=--2/2 γββ2/ γβm =∴因此可得出粒子能量的本征值2222022γβm m E E -=-==由归一化条件⎰∞∞-==1/||d ||22βψc x ，可得出L m c /1/2===γβ，γm L /2 =是势的特征长度。

)()(x x V γδ-=束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中E <V 0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。

由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。

散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。

对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。

实际上二者有极其密切的联系。

下面将予以讨论2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有)()(x x V γδ-=，)0(>γ见右图。

在0≠x 处，0)(=x V 。

0>∴E 为游离态（自由态），E可取任何连续值。

0<E 时则可能存在束缚态，此时E取分立值。

以下讨论0<E 的情况。

定态Schrodinger 方程为，0)]([2d d 222=++ψγδψx E mx积分⎰-→+εεεx d lim 0 可得出δ势阱跃变条件，)0(2)0(')0('2ψγψψ m -=--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψm =--+在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为0)(''2=-ψβψx其中02>-=mEβ，)0(<E 解为x e β±，可写为x x Be Ae ββ-+，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。

考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），(a)偶宇称态⎩⎨⎧<>=-0)(x cex ce x xxββψ 或写成||)(x ce x βψ-=c 为归一化因子。

现在根据跃变条件求解。

按'ψ的跃变条件，c m c c ⋅-=--2/2 γββ2/ γβm =∴因此可得出粒子能量的本征值2222022γβm m E E -=-==由归一化条件⎰∞∞-==1/||d ||22βψc x ，可得出L m c /1/2=== γβ，γm L /2 =是势的特征长度。