5.量子力学的定态薛定谔方程就是哈密顿算符 的本征值方程。方程本征值表示粒子 能量 。
6.在一维无限深阱（0<x<a)中,当粒子处于 y1(n 1) 状态时，发现粒子的几率最大的位置为x=__a_/2___.
7.当一维无限深势阱的宽度减小时，其能级间 隔变 大 。 8.一切处于束缚态的微观粒子的能量具有一个 共同特点，即能量取值是 分立 的。
量子力学基础
（一）选择题
1.按照量子力学的基本原理，微观粒子的状态用 （ ）来描写。
A.波函数
B.粒子的坐标和动量
C.粒子的德布罗意波长 D.粒子的能量
2.当微观粒子受到外界力场作用时，它不再是
自由粒子了，但仍然具有( D )
A.确定的能量
B.确定的坐标和动量
C.确定的德布罗意波长 D.波粒二象性
3.按照波函数的统计解释，对于一个微观粒
9.在量子力学中，一维谐振子的最低能量不 等于零，这是由于（ B） A.谐振子的能量只能取离散的值 B.微观粒子具有波粒二象性 C.谐振子的势阱内存在一个隧道 D.谐振子的能级是等间距的
10.在量子力学中，电子自旋磁量子数ms( C ) A. 只能取一个值1/2 B. 只能取一个值 －1/2 C. 只能取两个值 ±1/2 D. 只能取两个值 ±1
（2）粒子出现在 a/4处的几率密度；
（3）在何处粒子出现的几率最大？
解: (1)粒子在此区间的几率:
W
a
4 y (x) 2dx
0
a
4
0
2 sin2 a
n
a
xdx
11
9.1%
4 2
13
3.设宽为a的一维无限深势阱中，可知粒子的基态
波函数y ( x) 2 sin x ，试求粒子处于基态时 （2）粒子出现在a a/4a处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？ y 2(x)
3
7.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，设已知 粒子处于某一能态，其波函数y(x)～x的分布 如图所示,那么，粒子出现的几率最大位置是 （ B ）。
A. 0, a , 2a 33
C. a , 5a 66
B. a , a , 5a 62 6
D. a 2
y (x)
oa
3
2a a x
3
题7图
8.微观粒子能够穿透大于其动能的势垒的现 象，叫做隧道效应，该效应可解释为（ B） A.粒子从别处获得了能量 B.粒子的动能具有不确定度 C.在势垒内部存在一个隧道 D.以上都不对
(3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？
(2) 粒子的概率密度:
( x) y 2 y *y 1 1 1 x2
（3）概率最大时:
dw 0 dx
1
x 0, wmax
3.设宽为a的一维无限深势阱中，粒子的基态
波函数y ( x)
2 sin
aa
x
，试求粒子处于基态时
（1）粒子在 0 x a / 4 区间中出现的几率；
5.下列哪一项不是薛定谔方程的基本特点（ D） A.是关于时间的一次微分方程，只需一个初始 条件便足以确定其解 B.包含一个“i”因子，因此满足此方程的波函数 一般是复函数 C.非相对论的，不适合m＝0的粒子 D.仅适用于势能不随时间变化的状态
6.微观粒子的定态是（ ）
A.势能是常数的状态 B.势能不随时间变化的状态 C.动能和势能均为常数的状态粒子在 a/4处的几率密度:
w dW y (x) 2 1
dx
a x a / 4
o a ax
2
（３）如图，当基态n=1时，波节在两端，
两波节中间处即 x=a/2 点的几率最大。
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4.设y m和y n是一维无限深势阱中
粒子的两个不同能态的 波函数，求
a y
my
ndx的值，并讨论意义
0
解：
子，在某一时刻可以由波函数确定的是( B )
A.粒子一定在哪个坐标出现
B.在空间各处找到该粒子的几率
C.粒子的运动轨道
D.粒子受到的力
4.下列哪个函数符合波函数的标准化条件（ ）
A.
u
x 0
(x 0) (x 0)
1 x2 (1 x 1)
B. u 0
(x是其它值)
C. u x2
D. u sin x
a
y
0
my
ndx
2 a
a m
n
sin x sin xdx
0
a
a
积分表： sin ax sin bxdx - 1 sin(a b)x 1 sin(a - b)x
2x2
e2
解：此线性谐振子的基态概率:
w (x) 2 e 2x2
概率最大条件: dw 0 2 3x e2x2 0
dx
得到概率最大的位置: x 0
10
2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为 y ( x) A
(1)将此波函数归一化；
1 ix
(2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数;
(3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？
解: (1) 归一化条件:
2 y dx
A A dx
1 ix 1 ix
A2 1 x 2 dx 1
A2 1
A 1
归一化后的波函数: y 1 1 1 ix 11
2.有一粒子沿x轴方向运动,其波函数为y ( x) A
(1)将此波函数归一化；
1 ix
(2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数;
6
（二）填空
1.波函数本身不具有确定的物理意义，而
y
(r ,
t
)
2
表示在 t 时刻，在坐标为 x,y,z 处__单__位__体积内出现
的2.波__函几__数率__y_,称(r,为t) 必_几_须_率_是_密___单度____值__。_、 有__限___、 _连__续__的
函数。上述条件为波函数的__标__准__化__ 条件。
9.在没有外界力场作用的空间内,一个经典粒 子的最低能量应为 零 ; 而微观粒子与经 典粒子不同，其最低能量 大于零
10.描述原子中电子运动状态的四个量子数
是 n 、 l 、 ml 、 ms ，它们分别对应电
子的 主量子数 、 角量子数
、
磁量子数 、 自旋磁量子数 。
9
（三）计算题
1.已知线性谐振子的基态波函数为0 (x) 求其在基态时概率最大的位置。
3.归一化条件表明，尽管在空间各点粒子出现的几 率一般_不__相__同__,但在粒子运动的整个空间找到粒子 的几率的总和却总是__等__于__1____。
4.对于不受外力的自由粒子，在运动过程中能量E 和动量 p 不变,根据德布罗意假设，与自由粒子相
联系的物质波的频率 ____E__/ _h_,波长____h__/_p__. 7
