2020年人教版中考复习之含参二次函数练习试题(无答案)

2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数一、选择题1．（2020安徽）（4分）如图，ABC ∆和DEF ∆都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合．现将ABC ∆在直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．2.（2020福建）已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（ ）A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =3．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020哈尔滨）（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( ) A ．2(3)5y x =++ B ．2(3)5y x =-+ C ．2(5)3y x =++ D ．2(5)3y x =-+5．(2020杭州)（3分）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞06．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2+ax +1，y 2＝x 2+bx +2，y 3＝x 2+cx +4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac ．设函数y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ） A ．若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C ．若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0D ．若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝07．(2020天津)已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．有下列结论： ①0abc >①关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根； ①12a <-． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38.（2020河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下， 甲：若5b =，则点P 的个数为0； 乙：若4b =，则点P 的个数为1； 丙：若3b =，则点P 的个数为1． 下列判断正确的是（ ）A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对9.（2020江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+D ．2y x =+ 10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。

人教版数学2020年中考一轮复习压轴题综合练习—《二次函数》1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．（1）解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，可得，，∴；（2）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），①四边形CMNB是平行四边形时，，∴x＝﹣2，∴；②四边形CNBM时平行四边形时，，∴x＝2，∴M（2，2）；③四边形CNMB时平行四边形时，，∴x＝4，∴；综上所述：M（2，2）或或；（3）解法一：过点B作BH平行于y轴交PC的延长线与H点．∵BH∥OC∴∠OCB＝∠HBC又∠OCB＝∠BCP∴∠PCB＝∠HBC∴HC＝HB又OC⊥OB∴HB⊥OB故可设H（3，m），即HB＝HC＝m过点H作HN垂直y轴于N在Rt△HCN中，则m2＝32+（m﹣2）2解得∴由点C、P的坐标可得，设直线CP的解析式为；故解得x＝0（舍去），1即点P到y轴的距离是解法二、过点B作CP的垂线，垂足为M，过点M作x轴的平行线交y轴于点N，再过点B 作DN的垂线，垂足为D，（以下简写）可得△BOC≌△BMC得BM＝BC＝3，OC＝CM＝2设点M（m，n）得BD＝n，CN＝n﹣2，MN＝m，MD＝3﹣m可证△BDM∽△MNC所以得解得，则同解法一直线CP的解析式故解得x＝0（舍去），1即点P到y轴的距离是2．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点．（1）求直线OA及抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当△PCO为等腰三角形时，求D的坐标；（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得△PQM的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设直线OA的解析式为y＝kx，1把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，直线OA的解析式为y＝x；＝ax（x﹣4），再设y2把点A坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，函数的解析式为y＝﹣x2+4x，∴直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x．（2）设D的横坐标为m，则P的坐标为（m，﹣m2+4m），∵P为直线OA上方抛物线上的一个动点，∴0＜m＜3．此时仅有OC＝PC，CO＝OD＝m，∴，解得，∴；（3）函数的解析式为y＝﹣x2+4x，∴对称轴为x＝2，顶点M（2，4），设P（n，﹣n2+4n），则点P关于对称轴的对称点Q（4﹣n，﹣n2+4n），M到直线PQ的距离为4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，要使△PQM的面积为，则，即，解得：或，∴或．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），∴点B的坐标是（3，0）．将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得．解得．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，∵∠CON ＝90°，∴四边形CONM 是矩形．∴∠CMN ＝90°，CO ＝MN 、∴y ＝x 2﹣4x +3，∴C （0，3）．∵B （3，0），∴OB ＝OC ＝3．∵∠COB ＝90°，∴∠OCB ＝∠BCM ＝45°．又∵∠ACB ＝∠PCB ，∴∠OCB ﹣∠ACB ＝∠BCM ﹣∠PCB ，即∠OCA ＝∠PCM ．∴tan ∠OCA ＝tan ∠PCM ． ∴＝．故设PM ＝a ，MC ＝3a ，PN ＝3﹣a ．∴P （3a ，3﹣a ），将其代入抛物线解析式y ＝x 2﹣4x +3，得（3a ）2﹣4（3﹣a ）+3＝3﹣a ．解得a 1＝，a 2＝0（舍去）． ∴P （，）．（3）设抛物线平移的距离为m ，得y ＝（x ﹣2）2﹣1﹣m ．∴D （2，﹣1﹣m ）．如图2，过点D 作直线EF ∥x 轴，交y 轴于点E ，交PQ 延长线于点F ，∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．∴∠EOD＝∠QDF．∴tan∠EOD＝tan∠QDF，∴＝．∴＝．解得m＝．故抛物线平移的距离为．4．如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a （a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC 为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧．（1）求点A，B的坐标；（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．解：（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；（2）当CD∥x轴时，则∠CAO＝60°，则OC＝OA tan60，故点C（0，），即＝4a，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+；（3）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，则点E（，2a），AE＝CE＝ED，∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF，∴△CFE∽△EGD，∴，其中EF＝，CF＝2a，解得：GE＝2a，DG＝，故点D（a，2a+），BD2＝（+2a﹣4）2+（2a+）2＝16（a﹣）2+，故当a＝时，BD最小，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+．5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF ：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）c＝3，点B（3，0），将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交AB于点M，S△COF ：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，解得：x＝1或2，故点D（1，4）或（2，3）；（3）①当点P在x轴上方时，取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，设MH＝x，则MG＝，则△OBM中，OB2+OM2＝MB2，即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，故MG＝＝，则点M（0，4），将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②，联立①②并解得：x＝3（舍去）或，故点P（，）；②当点P在x轴下方时，同理可得：点P（﹣，﹣）；综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）．6．如图已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线AC沿y轴向下平移，得直线BD，BD与抛物线交于另一点D，连接CD，CD与x轴交于点E，试判定△ADE和△ABD是否相似，并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是△ABD的外心．点Q是线段AE上的动点（不与点A，E重合）．①直接写出M点的坐标：（）．②设直线MQ的函数表达式为y＝kx+b．在射线MQ绕点M从MA旋转到ME的过程中，是否存在点Q，使得k为整数．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设解析式为y＝a（x﹣1）（x+4），将（0，2）代入解析式的a＝抛物线解析式为y＝（2）设AC直线解析式为y＝kx+b，将A、C坐标代入可得k＝，b＝2 ∴AC直线解析式为将AC直线平移后得到直线BD直线BD的解析式为联立解析式解得x1＝1，x2＝﹣5∴点D坐标为（﹣5，﹣3）∴直线CD的解析式为y＝x+2∴点E坐标为（﹣2，0）∴AE＝2，AD＝，BD＝，DE＝，AB＝5∵∴△ADE∽△ABD（3）①点M△ABD的外心，则点M在AB的垂直平分线上设点M（）∴MD＝MB∴MD2＝MB2∴（）2+（a +3）2＝（）2+a 2∴a ＝∴M 点坐标为（）②∵A （﹣4，0），M （）可得AM 直线解析式为y ＝﹣x ﹣4 ∵E （﹣2，0），M （）可得EM 直线解析式为y ＝﹣5x ﹣10可知当直线MQ 的k 值为整数时，k 值可以为﹣2，﹣3，﹣4 当k ＝﹣2时，直线MQ 为y ＝﹣2x ﹣，点Q 坐标为（﹣，0）当k ＝﹣3时，直线MQ 为y ＝﹣3x ﹣7，点Q 坐标为（，0）当k ＝﹣4时，直线MQ 为y ＝﹣4x ﹣，点Q 坐标为（，0）∴Q 点坐标为（﹣，0）或（，0）或（，0）7．如图1，抛物线C 1：y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC ＝3OA ，抛物线C 1的顶点为G （1）求出抛物线C 1的解析式，并写点G 的坐标；（2）如图2，将抛物线C 1向下平移k （k ＞0）个单位，得到抛物线C 2，设C 2与x 轴的交点为A ′、B ′，顶点为G ′，当△A ′B ′G ′是等边三角形时，求k 的值；（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为轴正半轴上一动点（介于0与B 之间），过点M 作x 轴的垂线分别交抛物线C 1、C 2于P 、Q 两点，是否存在M 点，使得以A 、Q 、M 为顶点的三角形与以P 、M 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∴OC＝3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得：解得：，∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，1所以点G的坐标为（1，4）．的解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣k，即y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k，（2）设抛物线C2过点G′作G'D⊥x轴于点D，设B′D＝m，∵△A'B'G'为等边三角形，∴，则点B'的坐标为（m+1，0），点G'的坐标为（1， m），将点B'、G'的坐标代入y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：，∴k＝1；（3）设M（a，0），则P（a，﹣a2+2a+3）、Q（a，﹣a2+2a+2），∵M介于O与B之间，∴0＜a ＜3∵A （﹣1，0），B （3，0）． ∴AM ＝a +1，QM ＝﹣a +2a +2．BM ＝3﹣a ，PM ＝﹣a 2+2a +3．综上所述M 点的坐标为．8．我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．（1）判断抛物线y ＝x 2与y ＝﹣x 2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线y ＝x 2﹣2x 与y ＝x 2﹣2mx ﹣3是“共点抛物线”，且“共点”在x 轴上，求抛物线y ＝x 2﹣2mx ﹣3的函数关系式；（3）抛物线L 1：y ＝﹣x 2+2x +1的图象如图所示，L 1与L 2：y ＝﹣2x 2+mx 是“共点抛物线”； ①求m 的值；②点P 是x 轴负半轴上一点，设抛物线L 1、L 2的“共点”为Q ，作点P 关于点Q 的对称点P ′，以PP ′为对角线作正方形PMP ′N ，当点M 或点N 落在抛物线L 1上时，直接写出点P 的坐标．解：（1）是，（0，0）x 2＝﹣x 2∴x ＝0（2）令y ＝x 2﹣2x ＝0 解得x 1＝0，x 2＝2 当x ＝0时，﹣3≠0 ∴（0，0）不是共点 当x ＝2时，4﹣4m ﹣3＝0 解得m ＝ ∴y ＝x（3）①若两个抛物线是“共点抛物线” 则方程﹣x 2+2x +1＝﹣2x 2+mx 有两个相等的实数根 即x 2+（2﹣m ）x +1＝0有两个相等的实数根 ∴△＝（2﹣m ）2﹣4＝0 解得m ＝0或m ＝4 ∴m 的值为0或4．②P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0） 设点P （a ，0）当m ＝0时，Q （﹣1，﹣2） ∴P '（﹣2﹣a ，﹣4）∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M∴△APM≌△BMP'（AAS）设M（x，y），N（a，b）解得解得∴可得M（1，﹣3﹣a），N（﹣3，a﹣1）分别代入L1解析式可得a 1＝﹣5，a2＝﹣13当m＝4时，Q（1，2）∴P'（2﹣a，4）∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M ∴△APM≌△BMP'（AAS）设M（p，q），N（x，y）解得解得∴可得M（﹣2，4﹣a），N（3，1+a）分别代入L1解析式可得a 1＝﹣3，a2＝11（舍）∴P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）9．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线交y轴于C，且过点D（6，m），左右平移抛物线y＝x2﹣4x+3，记平移后的点A对应点为A'，点B的对应点为B'．（1）求线段AB，CD的长；（2）当抛物线平移到某个位置时，A'D+B'D最小，试确定此时抛物线的解析式；（3）平移抛物线是否存在某个位置，使四边形周长最小？若存在，求出此时抛物线的解析式和四边形A'B'DC周长最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，∵A（1，0）、B（3，0），∴AB＝2，直线，则点C（0，1）、D（6，4），∴CD＝3；（2）如图1，作D关于x轴对称点E，EG∥x轴，且EG＝AB＝A'B'＝2，连接DG交x轴于B'，连接A'E，∵A'B'CE是平行四边形，∴A'E＝A'D＝B'G，∴当D，B'，G三点共线时，A′D+B′D＝B′D+B′G最小，此时B'（7，0），A'（5，0），则抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）（x﹣7）＝x2﹣12x+35；（3）如图2，作D关于x轴对称点E，作EF∥x轴，且EF＝AB＝A'B'＝2，连接CF交x轴于A'，连接B'E，B'D，∵A'B'EF是平行四边形，∴B'E＝A'F＝B'D，∴当C，A'，F三点共线时，A'C+B'D＝A'C+A'F最小，此时四边形A'B'DC周长最小，F（4，﹣4），则直线CF的表达式为：y＝﹣x+1，∴点A′、B′的坐标分别为（，0）、（，0），则抛物线解析式为：y＝x2﹣x+，最小周长＝．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4过点A（﹣2，0），B（4，0），x轴上有一动点P（t，0），过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E，连接CE，AC．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时（不与点O，B重合），若△CDE与△ABC相似，求t的值；（3）当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即：﹣8a＝4，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4，则点A（﹣2，0）；（2）由题意得：AB＝6，AC＝2，BC＝4，∵PE∥y轴，∴∠OCB＝∠OBC＝∠PDB＝∠CDE＝45°，故只存在△CDE∽△ABC和△CDE∽△CBA两种情况，OB＝OC＝4，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，点P（t，0），则点E（t，﹣t2+t+4）、D（t，﹣t+4），CD＝xsin45°＝t，D①当△CDE∽△ABC时，则，即：，解得：t＝0或（舍去0）；②当△CDE∽△CBA时，同理可得：t＝0或1（舍去0）；故t＝1或；（3）点P（t，0），则点E（t，﹣t2+t+4）、D（t，﹣t+4），则DC＝，DE＝﹣t2+2t，CE＝，①当CD＝DE时，即：＝﹣t2+2t，解得：t＝4﹣2或0（舍去0）；②当CD＝CE时，同理可得：t＝0或4（全部舍去）；③当DE＝CE时，同理可得：t＝0或2（舍去0）；当点P移动到点B的右侧时，D，E的上下位置发生了变化，同理可得：点P（4，0）；故：点P的坐标为（4﹣2，0）或（2，0）或（4，0）．11．综合与探究：如图1，抛物线y ＝x 2+x +3与x 轴交于C 、F 两点（点C 在点F 左边），与y 轴交于点D ，AD ＝2，点B 坐标为（﹣4，5），点E 为AB 上一点，且BE ＝ED ，连接CD ，CB ，CE ．（1）求点C 、D 、E 的坐标；（2）如图2，延长ED 交x 轴于点M ，请判断△CEM 的形状，并说明理由；（3）在图2的基础上，将△CE M 沿着CE 翻折，使点M 落在点M '处，请判断点M '是否在此抛物线上，并说明理由．解：（1）如图1所示，∵抛物线y ＝x 2+x +3与x 轴交于C ，当y ＝0时，x 2+x +3＝0．解得x 1＝﹣，x 2＝﹣4． ∵点C 在点F 左边， ∴点C 的坐标是（﹣4，0）． 当x ＝0时，y ＝3． ∴点D 的坐标是（0，3）． ∵AD ＝2，D （0，3）， ∴OA ＝5．∵点B 坐标为（﹣4，5）， ∴BA ∥x 轴．在Rt △EAD 中，设EA ＝a ，EB ＝4﹣a ． 又BE ＝ED ， ∴DE ＝4﹣a ．∴a 2+22＝（4﹣a ）2，得a ＝﹣． ∴点E 的坐标是（﹣，5）．（2）如图2所示，△CEM 的等腰三角形．理由如下：由C（﹣4，0），D（0，3）知，OC＝4，OD＝3．由勾股定理求得CD＝5．又∵点B坐标为（﹣4，5），∴CB＝5，CD＝CB．又∵BE＝BD，∴△CBE≌△CDE（SSS）．∴∠BEC＝∠CED．又∵BE∥CM，∴∠BEC＝∠ECM，∴∠CED＝∠ECM．∴EM＝CM．∴△MCE是等腰三角形．（3）点M'不在此抛物线上．理由如下：如图3所示，设点M的坐标是（m，0）．∵△DOM∽△DAE．∴＝，即＝．解得m＝．∵CM＝4+＝．由翻折可知，EM＝EM′．∵CM＝EM，∴四边形CMEM′是菱形．∴EM′＝CM＝．∴M′A＝+＝．∴点M′的坐标是（﹣，5）．当m＝﹣时，代入抛物线解析式y＝x2+x+3，得y＝（﹣）2+×（﹣）+3＝≠5．∴点M′不在此抛物线上．12．如图所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、C，M是线段OA上的一个动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．（1）求抛物线的解析式；＝4或；（2）当以C、P、N为顶点的三角形为直角三角形时，S△CPN的最大值．（3）过点N作NH⊥AC于H，求S△HPN解：（1）将点A坐标代入y＝x+c得：c＝4，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A坐标代入y＝﹣x2+bx+4并解得：b＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①当∠CNP＝90°时，点N（﹣3，4），点P（﹣3，1），S＝×CN×PN＝×3×3＝；△CPN②当∠NCP＝90°时，同理可得：S＝4；而∠NPC≠90°；故答案为：4或；（3）设点N（x，﹣x2﹣3x+4），则点P（x，x+4），∵OA ＝OC ，∴∠HPN ＝45°＝∠HPH ，S △HPN ＝×NH ×PH ＝（NP ）2，NP ＝﹣x 2﹣3x +4﹣x ﹣4＝﹣x 2﹣4x ，当x ＝﹣2时，NP 的最大值为：4，故S △HPN ＝×NH ×PH ＝（NP ）2的最大值为×42＝4，即S △HPN 的最大值为4．13．如图，已知直线y ＝﹣3x +c 与x 轴相交于点A （1，0），与y 轴相交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ，与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）点P 是第二象限抛物线上一点，且S △PAB ＝2S △AOB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP 交y 轴于点D ，若点Q 是第二象限内抛物线上一动点，连接QE 交CD 于点F ，求以C 、E 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似时点Q 的坐标．解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣3x +c ，解得：c ＝3，则点B （0，3），则抛物线表达式：y ＝﹣x 2+bx +3，将点A 坐标代入二次函数表达式并解得：b ＝﹣2，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3…①，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；（2）连接PB ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设点P （m ，n ），n ＝﹣m 2+2m +3，2S△AOB＝2××OA×OB＝3，S△PAB ＝S梯形PHOB+S△AOB﹣S△APH＝（n+3）（﹣m）+﹣（1﹣m）n＝3，整理得：m2﹣m+6＝0，解得：m＝3或﹣2（舍去正值），故点P（﹣2，3）；（3）C、E、F为顶点的三角形与△AOB相似时，只有∠CFE＝90°和∠CEF＝90°，①当∠CEF＝90°时，Q与抛物线的顶点重合，故点Q（﹣1，4）；②∠CFE＝90°时，过点F作FG⊥x轴于点G，当△CFE∽△BOA时，则∠OBA＝∠FCE＝α，则tan∠OBA＝tan∠FCE＝tanα＝，则sinα＝，cosα＝，则，设EF＝m，则CF＝3m，则CE＝2m，由EF2+CF2＝CE2，解得：m＝，则CF＝，FG＝CF sinα＝，CG＝CF cosα＝，则点F（﹣，），将点FE的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，故直线FE的表达式为：y＝﹣3x﹣3…②，①②联立并解得：x＝3或﹣2（舍去正值），故点Q（﹣2，3）；当△CFE∽△AOB时，这种情况不存在，故点Q的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．14．如图，抛物线y＝ax2﹣bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，连接AB，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P到直线AB的距离为时，求点P的横坐标；（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．解：（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①，则点A（0，3）；（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G，则∠ABO＝∠HPG＝α，在△AOB中，tan ABO＝＝3＝tanα，设PG＝n，则HG＝3n，PH＝，即：n2+9n2＝（）2，解得：n＝，则直线直线AB的表达式为：y＝﹣3x+3，设点H（m，3﹣3m），则点P（m+，﹣3m），将点P坐标代入①式并整理得：3m2+11m﹣14＝0，解得：m＝1或﹣，故点P的横坐标为：或﹣；（3）①当点P在x轴上方时，参考（2）作△P′G′H′，过点O作OM⊥AC于点M，∵△ACP和△ABC的面积相等，∴P′H′＝OM，∵OA＝OC，∴∠ACO＝45°，∴OM＝，即：P′H′＝OM＝，按照（2）的方法，同理可得：点P′的坐标为（，）或（，）；②当点P不在x轴上方时，同理可得：点P（2，﹣1）或（1，0）；故：点P（P′）的坐标为（，）或（，）或（2，﹣1）或（1，0）．15．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为点P．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣，故点C坐标为（3，0），点P（1，﹣2）；（2）①点D在点C的右侧时，过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC＝∠BAC＝α，由题意得：AB＝2，AC＝6，BC＝4，PC＝2，S＝×AC×BH＝×BC×y A，△ABC解得：BH＝2，sinα＝＝＝，则tanα＝，由题意得：GC＝2＝PG，故∠PCB＝45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD＝MC＝x，在△PMD中，tanα＝＝＝，解得：x＝2，则CD＝x＝4，故点D（7，0）；②当点D在点C的左侧时，同理可得：点D（，0），故点D（7，0）或（，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：＝﹣2，则直线A′N表达式中的k值为，设直线A′N的表达式为：y＝x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b＝，故直线A′N的表达式为：y＝x+…①，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②两个方程并求解得：x＝﹣，故点N（﹣，）．。

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D.有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B.C.D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C.D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

中考数学复习解答题专项集训之二次函数试题（共20题）1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点M （﹣2，92）和N （2，−72）两点，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）若点M 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点，求抛物线解析式及A 、B 、C 坐标； （2）在（1）的条件下，若点P 是A 、C 之间抛物线上一点，求四边形APCN 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）若B （m ，0），且1≤m ≤3，求a 的取值范围．2．某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x 天生产的电子产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系式：y ={20x(0≤x ≤10)10x +200(10＜x ≤30)． （1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；（2）设第x 天每件电子产品的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？3．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？4．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．（1）分别判断函数y=12x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y=2x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．5．“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素材料一反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离．制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离．材料二汽车急刹车的停车距y（m）为反应距离y1（m）与制动距离y2（m）之和，即y＝y1+y2，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度x（m/s）有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据．速度x（m/s）反应距离y1（m）制动距离y2（m）10 7.5 815 10.5 16.220 15 3225 17.5 5230 22.9 78.135 27.1 108.540 29.2 123…材料三经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数k有关，且满足y＝y1+k•y2，其中y、y1、y2意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数k满足0.8≤k≤1.5．[任务一]①利用材料二判断最适合描述y1、y2分别与x的函数关系的是；A．y1＝ax、y2＝bxB．y1＝ax、y2＝bx2C．y1＝ax2、y2＝bx2②请你利用当x＝10m/s，x＝20m/s时的两组数据，计算y1、y2分别与x的函数关系式．[任务二]在某条限速为60km/h的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为34m，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？[任务三]某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至少15m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少m/s？（精确到1m/s）6．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （0，3）、C （﹣1，﹣3）三点． （1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．8．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y =−110x 2+c 且过顶点C （0，5）．（长度单位：m ） （1）直接写出c ＝ ；（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB 的长度）是多少米？（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．9．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝xm ，面积为ym 2（如图）．甲 乙 丙 单价（元/棵） 141628合理用地（m 2/棵）0.4 1 0.4（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m 2，求x 的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．10．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，﹣1）和（2，7）．（1）求二次函数解析式及对称轴；（2）若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．11．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．12．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB= 43，点P为x轴下方的抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．14．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O ，守门员位于点A ，OA 的延长线与球门线交于点B ，且点A ，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB ＝28m ，AB ＝8m ，足球飞行的水平速度为15m /s ，水平距离s （水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h 的鹰眼数据如表：s /m … 9 12 15 18 21 … h /m…4.24.854.84.2…（1）假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，s ＝ m ； （2）求h 关于s 的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m ，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．15．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，连接BC ，点E 是第四象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，EG ∥x 轴交直线BC 于点G ，求△EFG 面积的最大值；（3）如图2，点M 在线段OC 上（点M 不与点O 重合），点M 、N 关于原点对称，射线BN 、BM 分别与抛物线交于P 、Q 两点，连接PA 、QA ，若△BMN 的面积为S 1，四边形BPAQ 的面积为S 2，求S 1S 2的值．16．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +3交坐标轴于B 、C 两点，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点A （﹣1，0）．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ ∥CO ，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在∠DCP ＝∠DPC ，求出m 值； （3）在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m ，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．18．在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．（1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式；（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2+43x−2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AC的长度；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD ∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移√13个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N 为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．20．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？。

中考备考训练：二次函数压轴题专项1．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D．（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．解：（1）y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3或﹣1，故：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，4）；（2）如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，∵∠PQO+∠OPQ＝90°，∠OPQ+∠HPE＝90°，∴∠HPE＝∠PQO，而∠PHE＝∠QOP＝90°，由旋转知，PQ＝PE，∴△EPH≌△PQO（AAS），∴EH＝OP＝﹣t，HP＝OQ＝5，∴E（﹣t，5+t）当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t＝﹣t2﹣2t+3，解得t1＝﹣2，t2＝﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），故所求t的值为﹣2；（3）设点M（a，﹣a2+2a+3）①若点M在x轴上方，如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB，∴∠MCN＝∠DAF，∴△MCN∽△DAF，∴，∴，a2＝0（舍去）∴M（，）；②若点M在x轴下方，同理可得M（4，﹣5）综上所述，M（，）或M（4，﹣5）．2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）、点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1，连接BC、AC．（用含有a的代数式来表示）；（1）求S△ABC＝6，求抛物线的解析式；（2）若S△ABC（3）在（2）的条件下，当﹣1≤x≤m+1时，y的最大值是2，求m的值．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：a﹣b+c＝0…①，函数的对称轴为：x＝1＝﹣…②，联立①②并解得：b＝﹣2a，c＝﹣3a，故抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，则点B的坐标为：（3，0）；S＝AB×OC＝4×（﹣3a）＝﹣6a；△ABC＝﹣6a＝6，解得：a＝﹣1，（2）S△ABC故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（3）①当m+1≤1时，即m≤0，函数在x＝m+1时，取得最大值，即：﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝2，解得：m＝（舍去正值），故m＝；②当m＞0时，函数在顶点处取得最大值，而顶点纵坐标为4≠2，故不存在m值；综上，m＝．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m 的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；②∠M′AO＝45°时同理可得：点M（﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m≤4；（3）①当BD是矩形的边时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝1，抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：1，OB＝1，而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE＝3a，∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），同理△PGB≌△DFQ（AAS），∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；②如图3，当BD是矩形的边时，作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则Q N＝DL＝21a，同理△PLD∽△DI B，∴，即，解得：a＝（舍去负值），LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．4．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+b2向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2（1）直接写出抛物线C1的解析式；（2）如图1，已知抛物线C1交x轴于点A、点B，点A在点B的左侧，点P（2，t）在抛物线C1上，CB⊥PB交抛物线于点C，求C点的坐标；（3）已知点E、点M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE ＝DE，设点M、N的横坐标分别为m、n，求m和n的数量关系（用含m的式子表示n）解：（1）抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到C1：故抛物线C1的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4；（2）过点B作y轴的平行线MN，过点C作CM⊥MN于点M，过点P作PN⊥MN于点N，∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠PBN+∠CBM＝90°，∴∠BCM＝∠PBN，点P的坐标为：（2，﹣3），则N B＝3，PN＝1，则tan∠PBN＝＝tan∠MCB，设BM＝m，则CM＝3m，则点C（3﹣3m，m），将点C的坐标代入C1的解析式并解得：m＝，故点C（﹣，）；（3）设点M、N的坐标为：（m，m2）、（n，n2），则点E（﹣m，m2），将点M的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MD的表达式为：y＝kx+m2﹣km，将直线MD的表达式与y＝x2联立并整理得：x2＝kx+m2﹣km，△＝k2﹣4（﹣m2+km）＝0，解得：k＝2m，故直线MD的表达式为：y＝2mx﹣m2，由点N、E的坐标，由中点公式得：点D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），将点D的坐标代入y＝2mx﹣m2并整理得：n2﹣2mn﹣7m2＝0，解得：n＝（1）m．5．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当＝时，求点M的坐标；（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①；（2）设点M（m， m2﹣m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（m﹣）x﹣2，则点N（，0），当＝时，则＝，即：＝，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，﹣3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；（2）②当∠PAB＝OAB时，无解；③当∠PAB＝OBA时，则AH ＝BH ，设OH ＝a ，则AH ＝BH ＝4﹣a ，AO ＝2，故（4﹣a ）2＝a 2+4，解得：a ＝，故点H （，0），则直线AH 的表达式为：y ＝x ﹣2…③，联立①③并解得：x ＝0或（舍去0），故点P （，）；综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（，）． 6．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过原点，（1）当顶点坐标为（2，2）时，求此函数的解析式；（2）继续探究，如果b ≠0，且抛物线顶点坐标为（m ，m ），m ≠0，求此函数的解析式（用含m 的式子表示）（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，A n 在直线y ＝x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n ∁n D n ，若这组抛物线中有一条经过D n ，求所有满足条件的正方形边长．解：抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过原点，则抛物线的表达式为：y ＝ax 2+bx ；（1）顶点坐标为（2，2）时，抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）2+2＝ax 2﹣4ax +4a +2，故4a +2＝0，解得：a ＝﹣，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+2＝﹣x 2+2x ；（2）抛物线顶点坐标为（m ，m ），抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣m ）2+m ＝ax 2﹣2max +am 2+m ，即：am 2+m ＝0，解得：a ＝﹣，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣m ）2+m ＝﹣x 2+2x ；（3）∵顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y ＝x 上，∴可设A n （n ，n ），点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ）．∴a ＝﹣，b ＝2，∴由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x ．∵四边形A n B n ∁n D n 是正方形，∴点D n 的坐标是（2n ，n ），∴﹣（2n ）2+2•2n ＝n ，∴4n ＝3t ．∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12，∴n ＝3，6或9．∴满足条件的正方形边长是3，6或9．7．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣2x +n 与x 轴的两个交点分别为A （﹣3，0），B （1，0），C 为顶点．（1）求m 、n 的值．（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）把A （﹣3，0），B （1，0）代入y ＝mx 2﹣2x +n 得，，解得：；故m的值为﹣1，n的值为3；（2）存在，理由：过C作CE⊥y轴于E，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴y＝﹣（x+1）2+4，∴C（﹣1，4），∴CE＝1，OE＝4，设D（0，a），则OD＝a，DE＝4﹣a，∵△ACD是以AC为斜边的直角三角形，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO，∴△CDE∽△DAO，∴＝，∴＝，∴a1＝1，a2＝3，∴点D的坐标为（0，1）或（0，3）．8．如图1，已知y＝的图象与x轴交于A，B两点，点P是抛物线上在第四象限的点，且tan∠BAP＝．（1）求点P的坐标；（2）抛物线的对称轴交x轴于点Q，若抛物线上存在点C，使得∠CPQ＝∠PQB，求点C 的坐标；（3）将x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折得到如图2所示的图象，若直线y＝kx+与这个图形恰有四个公共点，求出此时k的取值范围．解：（1）y＝…①，令y＝0，则x＝6或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0），函数的对称轴为：x＝2，tan∠BAP＝，则设直线AP的表达式为：y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣，则直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣…②，联立①②并解得：x＝3或﹣2（舍去﹣2），故点P（3，﹣3）；（2）①如图，当点C在点P下方时，设直线PC与x轴交于点N，过点N作NM⊥PQ于点M，∵∠CPQ ＝∠PQB ，∴点M 是PQ 的中点，点P 、Q 的坐标分别为（3，﹣3）、（2，0），故点M （，﹣）， 直线PQ 表达式中的k 值为：﹣3，则直线MN 的表达式为：y ＝x +b ，将点M 坐标代入上式并解得：b ＝﹣，故直线MN 的表达式为：y ＝x ﹣， 故点N （7，0），同理过点P 、N 的直线的函数表达式为：y ＝x ﹣…③，联立①③并解得：x ＝3或（舍去3），故点C （，﹣）；②当点C （C ′）在点P 上方时， ∵∠C ′PQ ＝∠PQB∴C ′P ∥x 轴，点P （3，﹣3）， 则点C ′（1，﹣3），综上，点C 的坐标为（1，﹣3）或（，﹣）；（3）①当k ＜0时，抛物线沿x 轴向上翻折后顶点的纵坐标为，设点K （0，），作直线m 过点K 和翻折后顶点，m ＝1，（k ＝0）， 则直线m 与图形有3个交点，过点K、B作直线n，将点K、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线n的表达式为：y＝﹣x+，直线n与图形有3个交点，故在直线m与n之间的部分，直线与这个图形恰有四个公共点，故：﹣＜k＜0；②当k≥0时，当k＝0时，直线和图象有4个交点，当直线与二次函数相切时，同理可得：k＝，故：0＜k＜；当直线过点（﹣2，0）时，k＝时，直线和图象有3个交点，∴0≤k＜且k≠时，直线和图象有4个交点；综上，k的取值范围为：﹣＜k＜0或0≤k＜且k≠，即﹣＜k＜且k≠．9．如图，已知抛物线C1的顶点为E（，﹣），与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣2）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点D是抛物线C1上一点，且∠ACO+∠BCD＝45°，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，直线l1经过第四象限的D点，且直线l1与抛物线C1只有一个交点，l2：y＝2x+n交抛物线C1于点E，F，记△DEF的面积为S，求1＜S＜8时n的取值范围．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣）2，将点C坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x﹣2…①；（2）∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝45°，①当点D在BC上方时，如下图：连接AC、BC，tan∠ACO＝，∵∠ACO+∠BCD＝45°，而∠BCD+DCO＝45°，∴∠ACO＝∠DCO，如图所示，故直线CD过（1，0），将（1，0）、点C（0，﹣2）代入一次函数表达式并解得：直线CD的函数表达式为：y＝2x﹣2…②，联立①②并解得：x＝3，故点D（3，4）；②当点D在BC下方时，同理可得：点D（，﹣）；综上，点D（3，4）或（，﹣）；（3）D（，﹣），如图2，过点D 作DH ∥y 轴交EF 于点H ，则点H （，3+n ）， 将直线l 2的表达式与二次函数表达式联立并整理得：x 2﹣3x ﹣（2+n ）＝0，设点F 、E 的横坐标分别为：r ，t （r ＞t ）， 则r +t ＝3，rt ＝﹣2﹣n ，则r ﹣t ＝＝，S ＝HD ×（r ﹣t ）＝×（3+n +）＝（4n +17），即1＜（4n +17）＜8，解得：﹣＜n ＜﹣．10．如图1，抛物线的顶点为点A ，与x 轴的负半轴交于点D ，直线AB 交抛物线W 于另一点C ，点B 的坐标为（1，0）． （1）求直线AB 的解析式； （2）求tan ∠BDC 的值；（3）将抛物线W 向下平移m （m ＞0）个单位得到抛物线W 1，如图2，记抛物线W 1的顶点为A 1，与x 轴负半轴的交点为D 1，与射线BC 的交点为C 1．问：在平移的过程中，tan ∠D 1C 1B 是否恒为定值？若是，请求出tan ∠D 1C 1B 的值；若不是，请说明理由．解：（1）在中，当x＝0时，有y＝﹣2，∴A（0，﹣2），∵点B的坐标为（1，0），可设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2；（2）在中，当y＝0时，有，解得：x1＝﹣2，x2＝2，∵抛物线与x轴的负半轴交于点D，∴D（﹣2，0），∵点C是直线AB与抛物线W的交点，∴联立方程组，解得，，由此可知，C（4，6），过点C作CE⊥x轴于点E，∴CE＝6，OE＝4，∴DE＝DO+OE＝6，∴△CDE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∴tan∠CDE＝1，∴tan∠BDC＝1；（3）tan∠D1C1B恒为定值，理由如下：由题意，抛物线W1的解析式为，设点D1的坐标为（t，0），其中t＜0，∴，∴，∴，∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，∴，解得，，∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，且t＜0，∴点C1的坐标为（2﹣t，2﹣2t），过C1作C1E1⊥x轴于点E1，∴C1E1＝2﹣2t，OE1＝2﹣t，∴D1E1＝D1O+OE1＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，∴C1E1＝D1E1，∴Rt△C1D1E1为等腰直角三角形，∴∠C1D1E1＝45°，由（2）知∠BDC＝45°．∴∠C1D1E1＝∠BDC，∴D1C1∥DC，∴∠D1C1B＝∠DCB，∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，∴tan∠D1C1B恒为定值．如图2，过B作BF⊥DC于点F，∵∠BDC＝45°，∴Rt△BDF为等腰直角三角形，∵BD ＝OD +OB ＝3，DF ＝BF ＝，由（1）知，DC ＝6，FC ＝DC ﹣DF ＝，∴在Rt △BFC 中，有tan FCB ＝＝，∴tan ∠D 1C 1B ＝．11．如图，抛物线y ＝与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧，）与y轴交于点C ，作直线AC ．（1）点B 的坐标为 （2，0） ，直线AC 的关系式为 y ＝﹣2x ﹣4 ．（2）设在直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PD ⊥x 轴于D ，交直线AC 于点E ，当CE 平分∠OEP 时求点P 的坐标．（3）点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，试问以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若存在，直接写出所有点M 的坐标；若不存在，请简述你的理由．解：（1）y ＝，令y ＝0，则x ＝2或﹣8，令x ＝0，则y ＝﹣4，故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣8，0）、（2，0）、（0，﹣4），将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：，解得：，故直线AC 的表达式为：y ＝﹣2x ﹣4， 故答案为：（2，0），y ＝﹣2x ﹣4；（2）如图，左侧图是局部放大图，∵CE平分∠OEP时，∴∠OEC＝∠CEP，∵PD∥y轴，∴∠CEP＝∠ECO＝∠OEC＝α，则△OEC为等腰三角形，tan∠ECO＝＝2＝tanα，则sinα＝，过点E作y轴的垂线交于点F，过点O作OH⊥EC于点H，设：OH＝2x，则CH＝x，而OH2+HC2＝OC2，即x2+4x2＝16，解得：x＝，EF＝EC sinα＝2××，故m＝﹣，则点P（﹣，﹣）；（3）设：点N（m，n），n＝m2+m﹣4，点M（s，0），①当AC是平行四边形的边时，则点A向右平移8个单位向下平移4个单位得到C，同理N（M）向右平移8个单位向下平移4个单位得到M（N），即m+8＝s，n﹣4＝0或m﹣8＝s，n+4＝0，而n＝m2+m﹣4，解得：s＝5±或﹣14，②当AC是平行四边形的对角线时，利用中点公式得：﹣8＝m+s，﹣4＝n，而n＝m2+m﹣4，解得：s＝﹣2；故点M的坐标为：（5+，0）或（5﹣）或（﹣14，0）或（﹣2，0）．12．如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点．①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最小时，求点P的坐标；（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2…①；（2）①点F（0，1），设：点P（m， m2），则PF＝＝m2+1，而点P到直线l的距离为： m2+1，则⊙P与直线l的位置关系为相切；②当点P、Q、F三点共线时，|PQ﹣PF|最小，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线FQ的函数表达式为：y＝x+1…②，联立①②并解得：x＝2，故点P的坐标为：（2，3）；（3）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），则BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切．13．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线y＝﹣2x+6经过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式：（2）点P是第一象限抛物线上一点，P点横坐标为t，连接PC、PB，设△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）：（3）在（2）问的条件下，当S＝3且t＜2时，连接PB，在抛物线上是否存在一点Q，使∠PBQ＝∠ACB？若存在求出Q点坐标，若不存在，说明理由．解：（1）直线y＝﹣2x+6经过B、C两点，则点B、C的坐标为：（3，0），（0，6），将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝1，c＝6，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6…①；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（t，﹣t2+t+6），则点H（t，﹣2t+6），S＝×PH×OB＝（﹣t2+t+6+2t﹣6）＝﹣t2+t（0＜t＜3）；（3）S＝3，即：﹣t2+t＝3，解得：t＝1或2（舍去2），故点P（1，6），而点B （0，3），则直线PB的表达式为：y＝﹣x+9，则点M（0，9），tan∠BMO＝，过点A作AL⊥BC于点L，S＝OC×AB＝×BC×AL，即3×5＝AL×3，解得：AL＝，△ABCsin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝5＝tan∠MBQ，设BQ交y轴于点H，过点H作HN⊥MB于点N，tan∠BMO＝，tan∠MBQ＝5，设：HN＝5x，则BN＝x，MN＝15x，MB＝16x＝，解得：x＝，HB＝x＝，则OH2＝BH2﹣OB2＝，则点H（0，），则BH的函数表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝﹣（不合题意值已舍去），则点Q（﹣，）．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点与△ABC的外心重合，求m的取值；（3）点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．解：（1）C（0，4），则c＝4，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，则点M（1，5）；（2）点A（3，1）函数的对称轴为：x＝1，则点B（﹣1，1），点C（0，4），直线BC的中点坐标为：（﹣，），则线段BC的中垂线的函数表达式为：y＝﹣x+，当x＝1时，y＝2，即外心坐标为（1，2），则二次函数图象向下平移了5﹣2＝3个单位；（3）△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，存在△ACB∽△CMP或△ACB∽△MPC，点A、B、C、M的坐标分别为：（3，1）、（﹣1，1）、（0，4）、（1，5），则AB＝4，BC＝，AC＝3，CM＝，①当△ACB∽△CMP时，如下图左侧图，则，即，解得：PM＝，PC＝，设点P（r，s），则r2+（s﹣4）2＝，（r﹣1）2+（s﹣5）2＝，解得：r＝，s＝4，故点P（，4）；②当△ACB∽△CMP时，如上图右侧图，则点P在直线CA上，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3，同理可得：PC＝，设点P（n，﹣n+3），则n2+（3﹣n﹣4）2＝，解得：n＝（不合题意的值已舍去），故点P（，）；综上，点P的坐标为：（，4）或（，）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为P（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若直线PM与BC交于Q，且sin∠CQP＝，求点M的坐标；（3）将抛物线平移至顶点为坐标原点，过F（0，）的直线交抛物线于G、H，GO交直线y＝﹣于点N，求证：HN∥y轴．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），故﹣2a＝﹣2，解得：a＝1，故函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①；（2）过点C作PM的平行线交x轴于点H，过点H作HG⊥BC于点G，则∠HCB＝∠CQP，∵OB＝OC＝2，∴∠OBC＝45°，设：OH＝m，则BH＝2﹣m，HG＝BH sin∠OBC＝（2﹣m），HC＝，sin ∠HCB ＝＝sin ∠CQP ＝，即：＝，解得：m ＝（不合题意的值已舍去），则点H （，0），则直线CH 表达式中的k 值为：3，设直线PQ 的表达式为：y ＝3x +n ，将点P （，﹣）的坐标代入上式并解得：直线PM 的表达式为：y ＝3x ﹣…②，联立①②并解得：x ＝或（舍去），故点M （，）；（3）新函数的表达式为：y ＝x 2…③，设点H 、G 的坐标分别为（x 1，x 12）、（x 2，x 22），则直线HG 的表达式为：y ＝x 2•x ，则点N 的坐标为（﹣，﹣）；设直线HG 的表达式为：y ＝kx +…④，联立③④并整理得：x 2﹣kx ﹣＝0，则x 1x 2＝﹣，x 1＝﹣则点H 的横坐标为：﹣，点H 、N 的横坐标均为：﹣， 故HN ∥y 轴．16．综合探究如图（1）示，抛物线y ＝x 2﹣x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 连接AC ，BC 得到△ABC ，再将它向右平移得到△A ′B ′C ′对应点如图示），直线l 经过B ，C 两点请解答下列问题（1）求直线l 的表达式．（2）如图（2）示，当点C 落在抛物线y ＝x 2﹣x ﹣2上时，①连接A ′C ，CC ′，BC ′，试判断四边形A ′CC ′B 的形状（要有说理过程）； ②设A ′C ′与BC 交于点P ，求四边形BPC ′B ′的面积；（3）如图（3）示，在△ABC 向右平移的过程中，设点A ′关于直线l 的对称点为点A ″，试猜想点A ″能否落在直线B ′C ′上？若能，请直接写出此时△ABC 向右平移的距离；若不能，请说明理由．解：（1）y ＝x 2﹣x ﹣2，令y ＝0，则x ＝3或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），点C （0，﹣2），将点B 、C 的坐标代入一次函数：y ＝kx +b 得：，解得：，故直线l 的表达式为：y ＝x ﹣2…①；（2）①点A 、C 、C ′、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣2）、（2，﹣2）、（3，0），故：AC ＝，BC ′＝，CC ′∥A ′B ，故A ′CC ′B 为等腰梯形；②同理可得：直线A ′C ′的表达式为：y ＝﹣2x +2…②，联立①②并解得：x ＝，故点P （，﹣1）；S 四边形BPC ′B ′＝S △A ′B ′C ′﹣S △A ′BP ＝×4×2﹣×2×1＝3；（3）能，理由：△ABC 向右平移m 个单位，则点B ′的坐标为（3+m ，0），A ′（﹣1+m ，0），连接A′A″、BA″，过点A″作A″H⊥AB于点H，A′A″交BC于点G，设∠A′BG＝∠A″BG＝α，tanα＝，则sinα＝，cos，由三角形面积公式得： A″H×A′B＝BG×A′A″，即：A″H×（3+1﹣m）＝2（3+1﹣m）sinαcosα＝（4﹣m）（4﹣m），A″H＝（4﹣m），故点A″[3﹣（4﹣m），（4﹣m）]，直线B′C′的表达式为：y＝（x+m）﹣2，将点A″代入上式并整理得：26m＝46（4﹣m），m＝．故此时△ABC向右平移的距离为．。

2020中考数学二次函数基础复习题（一）一、选择题1.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,下列结论错误的是()A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>03.将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为()A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-64.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为()A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥95.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是()二、填空题6.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是.7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为m2.8.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为.三、解答题9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边的距离分别为m,m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?2020中考数学二次函数基础复习题（二）一、选择题1.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧2.下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=03.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或64.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是()二、填空题5.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.6.已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD 的三等分点,则m的值为.三、解答题7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值.8.已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L',且L'与x轴相交于A'、B'两点(点A'在点B'的左侧),并与y轴相交于点C',要使△A'B'C'和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.2020中考数学二次函数基础复习题（一）答案一、选择题1.C当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得--<0,(-)-(-)=--<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.D A.由图象开口可知:a<0,由对称轴可知:->0,∴b>0,∴由抛物线与y轴的交点可知:c>0,∴abc<0,故A正确;B.由图象可知:x=-1时,y<0,∴y=a-b+c<0,∴a+c<b,故B正确;C.由图象可知:顶点的纵坐标大于2,∴->2,∵a<0,∴4ac-b2<8a,∴b2+8a>4ac,故C正确;D.对称轴x=-<1,a<0,∴2a+b<0,故D错误.故选D.3.A4.A5.D二、填空题6.答案-3<a<-2或<a<解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得am2+(a2-1)m-a=0,m=-(-)(-)=-(-)(),解得m1=,m2=-a,∵2<m<3,∴2<<3或2<-a<3,解得<a<或-3<a<-2.7.答案75解析设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米.8.答案(,2)解析∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,∴4=4a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2,∵AB⊥x轴,∴B(-2,0),∴OB=2,∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,∴D点在y轴上,且OD=OB=2,∴D(0,2),∵DC⊥OD,∴DC∥x轴,∴P点的纵坐标为2,代入y=x2,得2=x2,解得x=(负值舍去),∴P(,2).三、解答题9.解析(1)根据题意得B,C,把B,C代入y=ax2+bx(a≠0)得解得-∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x,∴图案最高点到地面的距离=-(-)=1 m.(2)令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,∵10÷2=5,∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.2020中考数学二次函数基础复习题（二）答案一、选择题1.D∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,∴ax2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与x轴有两个交点,x=-(-)>0,故选D.2.D∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A选项错误; ∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴ac<0,所以B选项错误;∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,∴-=1,∴2a+b=0,所以C选项错误;∵抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0,所以D选项正确.故选D.3.B对于二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当x=h时,函数有最大值0,又当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2 2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去);当h>5 2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知h=1或6.故选B.4.B∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,∴a>0,∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,∴a、b异号,即b<0.∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0.∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,故选B.二、填空题5.答案m>9解析∵抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,∴Δ<0即(-6)2-4×1×m<0,解得m>9.6.答案 2解析如图,∵B,C是线段AD的三等分点,∴AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当y=0时,x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),B(1,0),∴AB=3+1=4,∴AC=BC=2,∴m=2,故答案为2.三、解答题7.解析(1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b,得--解得-.∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)当点P是线段BC的中点时, 易得点P的横坐标为,当x=时,y=,所以点P的坐标为.(3)由(2)得点C的坐标为, ∴OC=,又OB=3,∴BC==.∴sin∠OCB===.8.解析(1)令y=0,得x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,∴A(-3,0),B(2,0).∴AB=5,令x=0,得y=-6,∴C(0,-6),∴OC=6,∴S△ABC=AB·OC=×5×6=15.(2)由题意得A'B'=AB=5.要使S△A'B'C'=S△ABC,只要抛物线L'与y轴的交点为C'(0,-6)或C'(0,6)即可. 设所求抛物线L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.∵抛物线L'与抛物线L的顶点的纵坐标相同,∴-=--,--=--,解得m=±7,n=±1(n=1舍去).∴抛物线L'的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.。

2020年中考数学专题 二次函数（含答案）一、单选题 1.二次函数2(0)＝＋＋yax bx c a ≠的图象如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20＋a b < C ．30＋a c <D ．230＋＋－＝ax bx c参考答案:解：∵抛物线开口方向得a ＜0，由抛物线对称轴为直线x ＝2ba-，得到b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0， A 、abc ＜0，错误； B、2a ＋b ＞0，错误； C 、3a ＋c ＜0，正确；D 、由图可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3有一个交点，而ax 2＋bx ＋c －3＝0有一个的实数根，错误； 故选：C ．2.如图，在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =-和二次函数2y ax c =-+的图象大致可能为( )参考答案:D3.如图，正方形ABCD 中，AB ＝8 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1 cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t (s)，△OEF 的面积S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为( )参考答案:B4.抛物线的图象与坐标轴交点的个数是（）Ａ．没有交点 Ｂ．只有一个交点 Ｃ．有且只有两个交点Ｄ．有且只有三个交点参考答案:Ａ5.对于二次函数()212+-=x y 的图象，下列说法正确的是（ ）A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是（1，2）D.与x 轴有两个交点参考答案:C6.函数2y x bx c =++与y x =①240b c <﹣； ②10c b -+=； ③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<．其中正确结论的个数为（ ） A.1 B.2 C.3参考答案:C解析：∵函数2y x bx c =++与x 轴无交点， ∴240b ac <-； 故①正确；当1x =-时，10y b c =-+>， 故②错误；∵当3x =时，933y b c =++=， ∴360b c ++=；2321y x x =-+-DCBA③正确；∵当13x <<时，二次函数值小于一次函数值， ∴2x bx c x ++<， ∴()210x b x c +-+<．故④正确． 故选C ．7.已知抛物线213662y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，若的D 为AB 的中点，则CD 的长为（ ）A.154B.92C.132D.152参考答案:A8.下列各关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量）（ ）A.218y x =B.y =C.21y x= D.2y a x =参考答案:A二、填空题9.二次函数y ＝223x 的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1、A 2，A 3，…，A n 在y轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n -1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1＝∠A 1B 2A 2＝∠A 2B 3A 3＝…＝∠A n -1B n A n ＝60°，菱形A n -1B n A n C n 的周长为＿＿＿＿＿．参考答案:4n10.若实数,a b 满足21a b +=，则2227a b +的最小值是 参考答案:7811.函数21y x =＋是由22y x =－向_____平移_____单位得到的。

21.1.1二次函数基础练习一、选择题1. 下列说法中，正确的是( )A ．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B ．在圆的面积公式S ＝πr 2中，S 是r 的二次函数C ．y ＝12 (x －1)(x ＋4)不是二次函数D ．在y ＝1－2x 2中，一次项系数为12.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是（ ）A. (1，2)B. (-1，2)C. (1，-2)D. (-1，-2)3．函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（ ） A ．a≠0且b≠0 B ．a≠0且b≠0，c≠0C ．a≠0D ．a ，b ，c 为任意实数4. 下列函数是二次函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝ x －25.关于函数y=x 2的性质表达正确的一项是（ ）A. 无论x 为任何实数，y 值总为正B. 当x 值增大时，y 的值也增大C. 它的图象关于y 轴对称D. 它的图象在第一、三象限内6．下列函数不属于二次函数的是（ ）A ．y=（x ﹣2）（x+1）B ．y=12（x+1）2C ．y=2（x+3）2﹣2x 2D ．y=1﹣√3x 27. 某快递公司十月份快递件数是10万件,如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x>0),十二月份的快递件数为y 万件,那么y 关于x 的函数解析式是 ( )A ．y=10(1-x)2.B ．y=10(1+x)2.C ．y= (1+x)2.D ．y=10(1-x)2.8.若抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（﹣1，0），（5，0），则这条抛物线的对称轴是直线（ ）A. x ＝1B. x ＝2C. x ＝3D. x ＝﹣29．某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x （x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/sC ．10 m/sD ．5 m/s 10. 将二次函数y ＝(x －1)(x ＋2)化成一般形式为是( ).A ．y ＝x 2＋x+2B ．y ＝x 2-x －2C ．y ＝x 2-x+2D ．y ＝x 2＋x －211.已知点A （1，y 1），B （2 ，y 2），C （4，y 3）在二次函数y ＝x 2﹣6x+c 的图象上，则y 1 ， y 2 ， y 3的大小关系是（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 2＜y 3＜y 1C. y 3＜y 2＜y 1D. y 1＜y 3＜y 2二、填空题12．已知抛物线y =﹣12x 2﹣3x 经过点（﹣2，m ），那么m =________． 13. 某广告公司要设计一周长为20 m 的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m ，广告牌的面积为S m 2，写出广告牌的面积S 与边长x 之间的函数关系式是________________，自变量x 的取值范围是________．14.二次函数y =x 2＋2x －3与x 轴两交点之间的距离为________. 15．已知函数y =（m -2）x 2-3x +1，当________时，该函数是二次函数；当_______时，该函数是一次函数．16.将二次函数y ＝－(x －1)2－3(x －1)化成y ＝ax 2＋bx ＋c 的形式为____________________________．17.如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1 ， 将C 1向右平移得到C 2 ， C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为________．三、解答题18．已知函数()()2m m 4y m 3x m 2x 2+-=++++．()1当函数是二次函数时，求m 的值；()2当函数是一次函数时，求m 的值19． 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a ，b ，c 的值．(1)y ＝3－2x 2；(2)y ＝x (x －1)＋1；(3)y ＝2x (1－x )＋2x 2；(4)y ＝(x ＋3)(3－x )．20.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出不等式的解集；（2）当时，写出函数值y的取值范围。

2020人教版数学二次函数专题复习（含答案）2020人教版数学二次函数专题复习(名师精选试卷，建议下载练习)总分：100分班级:__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________说明：（1）本节考点：二次函数的图象、性质及应用，二次函数的三种形式，待定系数法；（2）最大难度：☆☆☆☆一、选择题（共10小题；共30分）1. 如果将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是A. B.C. D.2. 若二次函数的图象经过，，，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.3. 已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则实数的取值范围是A. B. C. D.4. 对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是A. B. 或C. D.6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. B. C. D.7. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③8. 定义：若点在函数的图象上，将以为二次项系数，为一次项系数构造的二次函数称为函数的一个“派生函数”．例如：点在函数的图象上，则函数称为函数的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：（1）存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在轴的右侧（2）函数的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是A. 命题（1）与命题（2）都是真命题B. 命题（1）与命题（2）都是假命题C. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题D. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题9. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动，设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间函数关系可以用图象表示为A. B.C. D.10. 如图，在四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共18分）11. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为．12. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是，宽是，抛物线的最高点到路面的距离为米，该抛物线的函数表达式为．13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为，则的长为．14. 已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：则关于的一元二次方程的根是．15. 如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点．若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为．16. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的是．（填正确结论的序号）三、解答题（共5小题；共52分）17. 校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度与水平距离之间的函数关系式为．求：（1）铅球的出手时的高度；（2）小明这次试掷的成绩．18. 某商店购买一批单价为元的日用品，如果以单价元销售，那么半月内可以售出件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润?19. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为米，底部宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．（1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架” ，使，点在抛物线上，，点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?20. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）当为的中点时，求该函数的解析式；（2）当为何值时，的面积最大，最大面积是多少?21. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围；（3）设点是抛物线上任意一点，点在直线上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形?若能，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．答案第一部分1. C2. D 【解析】经过，，二次函数的对称轴，，，与对称轴的距离最远，最近，，．3. D 【解析】如图，抛物线开口向下，在对称轴右侧的值随值的增大而减小，所以为了满足题意，直线必须在对称轴或对称轴的右侧，建立不等式即可．4. C5. A【解析】因为二次函数的图象不经过第三象限，所以抛物线在轴的上方或在轴的下方经过一、二、四象限，当抛物线在轴的上方时，因为二次项系数，所以抛物线开口方向向上，所以，，解得；当抛物线在轴的下方经过一、二、四象限时，设抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，所以，所以，①，②，③由①得，由②得，所以此种情况不存在，所以．6. B 【解析】根据抛物线解析式计算出的顶点坐标，过点作轴于点，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，然后求解即可．7. B 【解析】时，；时，；因为，所以；因为，，，所以．8. C 【解析】（1）因为在上，所以和同号，所以对称轴在轴左侧，所以存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在轴的右侧是假命题．（2）因为函数的所有“派生函数”为，所以时，，所以所有“派生函数”为经过原点，所以函数的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．9. B 【解析】①时，；②时， .10. C【解析】过点作，垂足为 .设，则 .，，.而，，.， ..在中，，，即，又四边形的面积三角形的面积三角形的面积，．第二部分11.12.13.【解析】当时，，解得，，则，点关于点的对称点为，点的横坐标为，点的坐标为，抛物线解析式为，当时，，则，当时，，解得，，则，的长为．14. ；15.【解析】依题意，得，因为三角形是等腰三角形，所以，点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线为：，解方程组：即：，解得：，所以，点的坐标为．16. ①②⑤【解析】函数与轴有两个交点，则其相应方程的判别式大于；由图象得，，对称抽；又解析式可以写成，当时，；且当时，．第三部分17. （1）当时，，铅球的出手时的高度为．（2）由题意可知，把代入解析式得：，解得，（舍去），即该运动员的成绩是米．18. 设销售单价为元，销售利润为元．根据题意，得当时，最大，这时，．所以，销售单价提高元，才能在半月内获得最大利润元．19. （1），．（2）根据顶点的坐标，可设抛物线的解析式为．将点代入解析式求得．所以这条抛物线的解析式为（3）设点的坐标为，则，．设这个支架的总长为．根据题意，得．则当时，最大所以这个"支撑架"总长的最大值是米．20. （1）在矩形中，，，，为的中点，，点在反比例函数的图象上，，该函数的解析式为．（2）由题意知，两点坐标分别为，，当时，有最大值，．最大值21. （1）因为抛物线的对称轴，，所以，因为抛物线过点，。

2020 届中考九年级数学二次函数综合题复习1、如图1，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴分别交于A、B 两点，与y 轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根为﹣8、2．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l 绕点A 以AB 为起始位置顺时针旋转到AC 位置停止，l 与线段BC 交于点D，P 是AD 的中点．①求点P 的运动路程；②如图2，过点D 作DE 垂直x 轴于点E，作DF⊥AC 所在直线于点F，连结PE、PF，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF 周长的最小值．2、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形ABCD 的边BC 在x 轴上，D 点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C 三点，抛物线y=ax2+bx+c 过点D，B，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED 是⊙P 的切线；（3）若将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，E 点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c 上吗？请说明理由；（4）若点M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3、小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c 1 是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2 是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”；（2）若函数mx﹣2 与y=x2﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n）2015 的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C 关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1 的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+4 与x 轴交于点A、B 两点，与y 轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P 作y 轴的垂线与射线BC 交于点Q，以PQ 为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F 在点Q 的下方，且QF=1．设线段PQ 的长度为d，点P 的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求d 与m之间的函数关系式．（3）当Rt△PQF 的边PF 被y 轴平分时，求d 的值．（4）以OB 为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3 时，直接写出点F 落在△OBD 的边上时m 的值．5、如图，二次函数y=ax2+2x+c 的图象与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A 的直线AD∥BC 且交抛物线于另一点D，求直线AD 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x 轴上是否存在一点P，使得以B、C、P 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②动点M 以每秒1 个单位的速度沿线段AD 从点A 向点D 运动，同时，动点N 以每秒个单位的速度沿线段DB 从点D 向点B 运动，问：在运动过程中，当运动时间t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．6、如图，抛物线y=﹣x2+2x+3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点D 为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP 沿x 轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C 对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t 为何值时S 最大，最大值为多少？7、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y 轴相切于点B（0，4）．（1）求经过B，C，D 三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE 与⊙A 相切；（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标．8、综合与探究如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为x2+x+4．抛物线W 与x 轴交于A，B 两点（点B 在点A 的右侧，与y 轴交于点C，它的对称轴与x 轴交于点D，直线l 经过C、D 两点．（1）求A、B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．（2）将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l 交于点F，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．（3）如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C 交直线l 于点M，C′D′交CB 于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x 轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC 上是否存在点E，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．10、如图①，一次函数y=kx+b 的图象与二次函数y=x2 的图象相交于A，B 两点，点A，B 的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4 时，k= ，b= ；当m=﹣2，n=3 时，k= ，b= ；（2）根据（1）中的结果，用含m，n 的代数式分别表示k 与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点C，D，点A 关于y 轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED 为菱形时，m 与n 满足的关系式为；当四边形AOED 为正方形时，m= ，n= ．11、抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C 的坐标；（2）点P 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，同时点E 也从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P 的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C 作CD⊥x 轴于点D，交线段OB 于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A 三点．（1）∠OBA= °．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E 为顶点的四边形面积记作S，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3 个？13、在平面直角坐标系中，已知x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），点 C 的坐标为（4，3），直角顶点 B 在第四象限． （1）如图，若抛物线经过 A 、B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离时，试证 明：平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线 AC 的另一交点为 Q ， 取 BC 的中点 N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．14、如图，抛物线 y=﹣x 2+2x+3 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点E ．（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F ，过点 F 作 FG ⊥AD 于点 G ，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H ，求△FGH 周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A，M，P，Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形．若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标．15、已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1 经过坐标原点，且当x＜0 时，y 随x 的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0 时，对应x 的取值范围；（2）设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x 轴于点B，DC⊥x 轴于点C．①当BC=1 时，直接写出矩形ABCD 的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标；如果不存在，请说明理由．16、已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t 上．（1）求点C 的坐标；（2）当y1 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求2n2﹣5n 的最小值．答案：1、【解答】解：（1）∵函数y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2+bx+c=0 两根为：﹣8，2，∴A（﹣8，0）、B（2，0），即OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，﹣6），将A（﹣8，0）、B（2，0）代入y=ax2+bx﹣6中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为x2+x﹣6；（2）①如图1，当l 在AB 位置时，P 即为AB 的中点H，当l 运动到AC 位置时，P 即为AC 中点K，∴P 的运动路程为△ABC 的中位线HK ，∴HK=BC，在Rt△BOC 中，OB=2，OC=6，∴BC=2，∴HK= ，即P 的运动路程为：；②∠EPF 的大小不会改变，理由如下：如图2，∵DE⊥AB，∴在Rt△AED 中，P 为斜边AD 的中点，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD ，同理可得∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF 大小不变，∴∠EPF 的大小不会改变；（3）设△PEF 的周长为C，则C=PE+PF+EF，△PEF∵PE=AD，PF=AD，=AD+EF，∴C△PEF在等腰三角形PEF 中，如图2，过点P 作PG⊥EF 于点G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC==，∴tan∠EPG==，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴C=AD+EF=（1+）AD=AD，△PEF最小，又当AD⊥BC 时，AD 最小，此时C△PEF=30，又S△ABC∴BC×AD=30，∴AD=3，最小值为：AD= ．∴C△PEF2、【解答】解：（1）∵C（2，0），BC=6，∴B（﹣4，0），在Rt△OCD 中，∴OD=2tan60°=2，∴D（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），把）代入得，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为（x+4）（x ﹣2）=﹣x2﹣x+2 ；（2）在Rt△OCD 中，CD=2OC=4，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴=，==，∴=，而∠DAE=∠DCB，∴△AED∽△COD，∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠DOC=90°，∴CD 为⊙P 的直径，∴ED 是⊙P 的切线；（3）E 点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c 上．理由如下：∵△AED∽△COD，∴= ，即= ，解得DE=3 ，∵∠CDE=90°，DE ＞DC ，∴△ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°，E 点的对应点 E ′在射线 DC 上， 而点 C 、D 在抛物线上， ∴点 E ′不能在抛物线上； （4）存在． ∵y=﹣x 2﹣ x+2 （x+1）2+∴M （﹣1， ），而 B （﹣4，0），D （0，2）， 如图 2， 当 BM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 D 向左平移 4 个单位，再向下平移 个单位得到点 B ，则点 ）向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位得到点 N 1（﹣ 5， ）；当 DM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 B 向右平移 3 个单位，再向上平移 个单位得到点M ，则点 D （0，2）向右平移 3 个单位，再向上平移个单位得到点 N （2 3，）；当 BD 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 M 向左平移 3 个单位，再向下平移 个单位得到点 B ，则点 D （0，2）向右平移 3 个单位，再向下平个单位得到点 N 3（﹣3，﹣），综上所述，点 N 的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）．3、【解答】（1）解：∵a 1=﹣1，b 1=3，c 1=﹣2， ∴﹣1+a 2=0，b 2=3，﹣2+c 2=0， ∴a 2=1，b 2=3，c 2=2，∴函数 y=﹣x 2+3x ﹣2 的“旋转函数”为y=x2+3x+2；（2）解：根据题意m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1；（3）证明：当x=0时，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），当y=0时，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），∵点A、B、C 关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2•（﹣1）•4=﹣2，解得，∴经过点A1，B1，C1 的二次函数解析式为（x﹣1）（x+4）=x2+x ﹣2，而（x+1）（x ﹣4）=﹣x2+x+2，∴a 1+a 2=﹣+=0，b1=b2=，c1+c2=2﹣2=0，∴经过点A1，B1，C1 的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．4、【解答】解：（1）把点B（3，0）代入抛物线y=a（x﹣1）2+4，得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，即抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，当x=0 时，y=3；当y=0 时，x=﹣1，或x=3，∴C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），设直线BC 的解析式为：y=kx+b，根据题意得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，∵点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），∴点Q 的纵坐标坐标为：﹣m2+2m+3，则﹣x+3=﹣m2+2m+3，x=m2﹣2m，∴点Q的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴当﹣1≤m＜0 时，如图1，d=m2﹣2m﹣m=m2﹣3m，当0＜m＜3 时，如图2，d=m﹣（m2﹣2m）=﹣m2+3m∴d 与 m 之间的函数关系式为：d= ；（3）当 Rt △PQF 的边 PF 被 y 轴平分时，点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，∴横坐标互为相反数，∴m 2﹣2m+m=0， 解得：m=1，或 m=0（不合题意，舍去）， ∴m=1，∴d=3﹣1=2； （4）分四种情况：①情形一：如图 4 所示，∵C 点的坐标为（0，3）， 将 y=3 代入函数 y=﹣x 2+2x+3 得 x 1=0（舍去），x 2=2， ∴P 点的横坐标 m=2；②情形二：如图 5 所示：过 D 2 点作 D 2G ⊥CO 交 QF 与 N 点， ∵B （0，3） ∴D 2（，），∵CO=3，QF=1，QF ∥CO ，∴ ，∴D 2N=，∴Q （1，2）， 将 y=2 代入函数 y=﹣x 2+2x+3 得 x 1=1+，x 2=1﹣（舍去）， ∴m=1+；②情形三：如图 6 所示：过 D 2 点作 D 2G ⊥OB ，∵B（0，3）∴D2（，），∵BG=，QF=1，QF∥CO，∴，∴BF=1，∴Q（1，1），将y=1代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=1+，x2=1﹣（舍去），∴m=1+；④情形四：如图7 所示：∵CD 2=6，QF=1，BC=3，且QF∥CD2，∴，∴BQ=，∴Q 点纵坐标，即P 点纵坐标，将y=代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），∴m= ．综上所述：当0＜m＜3 时，点F 落在△OBD 的边上时m 的值为：2，或，或，．5、【解答】解：（1）由题意知：，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3 中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），由已知条件得直线BC 的解析式为y=﹣x+3，∵AD∥BC，∴设直线AD 的解析式为y=﹣x+b，∴0=1+b，∴b=﹣1，∴直线 AD 的解析式为 y=﹣x ﹣1；（3）①∵BC ∥AD ， ∴∠DAB=∠CBA ， ∴只要当 或时，△PBC ∽△ABD ， 解得 D （4，﹣5），∴AD=，AB=4，BC=， 设 P 的坐标为（x ，0）， 即或 ，解得或 x=﹣4.5，∴或 P （﹣4.5，0），②过点 B 作 BF ⊥AD 于 F ，过点 N 作 NE ⊥AD 于 E ， 在 Rt △AFB 中，∠BAF=45°， ∴，∴===，∴当时，S △MDN 的最大值为 ．∴BF= ，BD=， ∴ ，∵DM=，DN= ，又∵ ，NE=，6、【解答】解：（1）∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， ∴C （0，3），D （1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）∵在三角形中两边之差小于第三边， ∴延长 DC 交 x 轴于点 P ，设直线 DC 的解析式为 y=kx+b ，把 D 、C 两点坐标代入可，解，∴直线 DC 的解析式为 y=x+3，将点 P 的坐标（a ，0）代入得 a+3=0，求得 a=﹣3， 如图 1，点 P （﹣3，0）即为所求；（3）过点 C 作 CE ∥x ，交直线 BD 于点 E ，如图 2，由（2）得直线 DC 的解析式为 y=x+3，由法可求得直线 BD 的解析式为 y=﹣2x+6，直线 BC 的解析式为y=﹣x+3，，解得 ，，），在 y=﹣2x+6 中，当 y=3 时， ∴E 点坐标为（，3），设直线 P ′C ′与直线 BC 交于点 M ， ∵P ′C ′∥DC ，P ′C ′与 y 轴交于点（0，3﹣t ）， ∴直线 P ′C ′的解析式为 y=x+3﹣t ， 联立∴点 M 坐标为∵B ′C ′∥BC ，B ′坐标为（3+t ，0）， ∴直线 B ′C ′的解析式为 y=﹣x+3+t ， 分两种情况讨论：①当 时，如图 2，B ′C ′与 BD 交于点 N ， 联立，解得 ，∴N 点坐标为（3﹣t ，2t ），S=S △B ′C ′P ﹣S △BMP ﹣S △BNB ′=×6×3﹣（6﹣t ）×（6﹣t ）﹣t ×2t=﹣t 2+3t ， 其对称轴为 ，可知当 时，S 随 t 的增大而增大，当 时，有最大 ；② ≤t ＜6 时，如图 3，直线 P ′C ′与 DB 交于点 N ，联立，解得，∴N 点坐标为（，），S=S △BNP ′﹣S △BMP ′= （6﹣t ）×﹣ ×（6﹣t ）×=（6﹣t ）2=t2﹣t+3；显然当＜t＜6 时，S 随t 的增大而减小，当t= 时，S=综上所述，S 与t 之间的关系式为S= ，且当t= 时，S 有最大值，最大值．7、【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：，解得．∴经过B ，C，D 三点的抛物线的函数表达式为x2+x+4；（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2﹣，∴E（﹣5，﹣），设直线CE 的函数解析式为y=mx+n，直线CE 与y 轴交于点G，则，解得：，∴y=x+，在x+中，令，∴G（0，），如图1，连接AB，AC，AG ，则=，CG= = = ，∴BG=CG ，AB=AC ， 在△ABG 与△ACG 中，，∴△ABG ≌△ACG ， ∴∠ACG=∠ABG ， ∵⊙A 与 y 轴相切于点 B （0，4）， ∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90° ∵点 C 在⊙A 上，∴直线 CE 与⊙A 相切；（3）存在点 F ，使△BDF 面积最大， 如图 2 连接 BD ，BF ，DF ，设 F （t ，t 2+t+4）， 过 F 作 FN ∥y 轴交 BD 于点 N ，设直线 BD 的解析式为 y=kx+d ，，解得．∴直线 BD 的解析式为 x+4， ∴点 N 的坐标为（t ，t+4），∴FN=t+4﹣（t 2+t+4）=﹣t 2﹣2t ， ∴S △DBF =S △DNF +S △BNF =OD •FN=（﹣t 2﹣2t ）=﹣t 2﹣8t=﹣（t+4）2+16，∴当 t=﹣4 时，S △BDF 最大，最大值是 16， 当 t=﹣4 时t 2+t+4=﹣2， ∴F （﹣4，﹣2）．8、【解答】解：（1）当 y=0 时，﹣x 2++4=0， 解得 x 1=﹣3，x 2=7，∴点 A 坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（7，0）．∵﹣=﹣，∴抛物线 w 的对称轴为直线 x=2， ∴点 D 坐标为（2，0）．当 x=0 时，y=4， ∴点 C 的坐标为（0，4）． 设直线 l 的表达式为 y=kx+b ，，解得，∴直线 l 的解析式为 y=﹣2x+4；（2）∵抛物线 w 向右平移，只有一种情况符合要求，即∠FAC=90°，如．此时抛物线 w ′的对称轴与 x 轴的交点为 G ， ∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，∴tan ∠1=tan ∠3，∴=．设点F的坐标为（x F，﹣2x F+4），∴，解得x F=5，﹣2x F+4=﹣6，∴点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为x2+x；（3）由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3+m，0），D′（2+m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，可用待定系数法求得直线A ′C′的表达式为x+4﹣m，直线BC 的表达式为x+4，直线C′D′的表达式为y=﹣2x+2m+4，分别解方程组和，解得和，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点N 的坐标为（m，﹣m+4），∴y M=y N∴MN∥x 轴，∵CC′∥x 轴，∴CC′∥MN．∵C′D′∥CD，∴四边形CMNC′是平行四边形，∴S=m[4﹣（﹣m+4）]=m29、【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，∴，解得，∴该二次函数的解析式为y= x2﹣x﹣4；（2）由二次函数x2﹣x﹣4 可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），设直线BC 的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线BC 的解析式为y= x﹣4，设E（m，m﹣4），当DC=CE 时m﹣4）2=CD2，即（m﹣8）2+（m﹣4）2=52，解得m1=8﹣2，m2=8+2（舍去），∴E（8﹣2，﹣）；当DC=DE 时m﹣4）2=CD2，即（m ﹣3）2+（m﹣4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE 时m﹣4）2=（m﹣3）2+（m﹣4）2 解得m5=5.5，∴E（，﹣）．综上，存在点E，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E 的坐标为，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标m2﹣m﹣4，m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2∵△PBD 的面积S=S梯形﹣m﹣4）]﹣×3×4=﹣m2+ m=﹣（m﹣）2+∴当时，△PBD 的最大面积，∴点P的坐标为（，﹣）．10、【解答】解：（1）当x=﹣1时，y=x2=1，则A（﹣1，1）；当x=4时，y=x2=16，则B（4，16），把A（﹣1，1）、B（4，16）分别代入y=kx+b得，解得；当x=﹣2时，y=x2=4，则A（﹣2，4）；当x=3时，y=x2=9，则B（3，9），把A（﹣2，4）、B（3，9）分别代入y=kx+b得，解得；故答案为：3，4；1，6；（2）k=m+n，b=﹣mn．理由如下：把A（m，m2），B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；（3）①当m=﹣3时，A（﹣3，9），∵点A 关于y 轴的对称点为点E，∴E（3，9），∵k=m+n，b=﹣mn，∴k=﹣3+n，b=3n，∴直线AB的解析式为y=（﹣3+n）x+3n，则D（0，3n），当y=0时，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，则C（，0），∴==（n＞3）；②连结AE 交OD 于P，如图②，∵点A（m，m2）关于y 轴的对称点为点E，∴E（﹣m，m2），∴OP=m2，∵k=m+n，b=﹣mn，∴D（0，﹣mn），若四边形AOED 为菱形，则OP=DP，即﹣mn=2m2，所以n=﹣2m；若四边形AOED 为正方形，则OP=AP，即﹣m=m2，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．11、【解答】解：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即x2﹣x+2=0，解得：x1=2，x2=4，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2），（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，，∴DE=4﹣2t，∴，∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）2 始终为正数，且t=1 时，1﹣（t﹣1）2 有最大值1，∴t=1 时，有最小值1，即t=1 时有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线x2﹣x+2 的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴EP2=5，PF2=（3﹣2）2+m2，EF2=（m﹣1）2+32，当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，EP2+PF2=EF2，即5+1+m2=（m﹣1）2+32，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，EF2+FP2=PE2，即 （m ﹣1）2+3+（3﹣2）2+m 2=5， 解得；m=0 或 m=1，不合题意舍去， ∴当∠EFP=90°时， 这种情况不存在， ③当∠PEF=90°时， EF 2+PE 2=PF 2，即（m ﹣1）2+32+5=（3﹣2）2+m 2， 解得：m=7， ∴F （3，2），（3，7）．12、【解答】解：（1）∵OA 是⊙O 的直径， ∴∠OBA=90°， 故答案为：90；（2）连接 OC ，如图 1 所示，∵由（1）知 OB ⊥AC ，又 AB=BC ， ∴OB 是 AC 的垂直平分线， ∴OC=OA=10，在 Rt △OCD 中，OC=10，CD=8， ∴OD=6， ∴C （6，8），B （8，4） ∴OB 所在直线的函数关系为 x ，又∵E 点的横坐标为 6， ∴E 点纵坐标为 3， 即 E （6，3）， 抛物线过 O （0，0），E （6，3），A （10，0）， ∴设此抛物线的函数关系式为 y=ax （x ﹣10），把 E 点坐标代入得： 3=6a （6﹣10），解得 ．∴此抛物线的函数关系式为 y=﹣x （x ﹣10），即 y=﹣x 2+x ；（3）设点 P （p ，﹣p 2+p ），①若点 P 在 CD 的左侧，延长 OP 交 CD 于 Q ，如右图 2， OP 所在直线函数关系式为p+）x ∴当 x=6 时，即 Q 点纵坐标，∴QE=﹣3=，S 四边形 POAE =S △OAE +S △OPE=S △OAE +S △OQE ﹣S △PQE=•OA •DE+QE •OD ﹣•QE •P x • =×10×3+×（﹣p+）×6﹣•（）•（6﹣p ），=②若点 P 在 CD 的右侧，延长 AP 交 CD 于 Q ，如右图 3， P （p ，﹣p 2+p ），A （10，0）∴设 AP 所在直线方程为：y=kx+b ，把 P 和 A 坐标代入得，，解得 ．∴AP 所在直线方程为x+，∴当 x=6 时•6+=P ，即 Q 点纵坐标P ，∴QE=P ﹣3， ∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE=S △OAE +S △AQE ﹣S △PQE=•OA •DE+•QE •DA ﹣•QE •（P x ﹣6） =×10×3+•QE •（DA ﹣P x +6） =15+•（p ﹣3）•（10﹣p ） ==，∴当 P 在 CD 右侧时，四边形 POAE 的面积最大值为 16，此时点 P 的位置就一个，令=16，解得，∴当 P 在 CD 左侧时，四边形 POAE 的面积等于 16 的对应 P 的位置有两个，综上所知，以 P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积 S 等于 16 时，相应的点 P 有且只有 3 个．13、【解答】解：（1）∵等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4， 3） ∴点 B 的坐标为（4，﹣1）． ∵抛物线过 A （0，﹣1），B （4，﹣1）两点，∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为 x 2+2x ﹣1．（2）如答题图 2，设顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距时，到达 P ′，作 P ′M ∥y轴，PM ∥x 轴，交于 M 点， ∵点 A 的坐标为（0，﹣1），点 C 的坐标为（4，3）， ∴直线 AC 的解析式为 y=x ﹣1， ∵直线的斜率为 1，∴△P ′PM 是等腰直角三角形， ∵PP ′=， ∴P ′M=PM=1，∴抛物线向上平移 1 个单位，向右平移 1 个单位， ∵y=﹣x 2+2x ﹣1=﹣（x ﹣2）2+1， ∴平移后的抛物线的解析式为 （x ﹣3）2+2，令 y=0，则 （x ﹣3）2+2，解得 x 1=1，x=52， ∴平移后的抛物线与 x 轴的交点为（1，0），（5，0），解 ， 或∴平移后的抛物线与 AC 的交点为（1，0）， ∴平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点（1，0）． （3）如答图 3，取点 B 关于 AC 的对称点 B ′，易得点 B ′的坐标为（0，3），BQ=B ′Q ，取 AB 中点 F ，连接 QF ，FN ，QB ′，易得 FN ∥PQ ，且 FN=PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP=FQ ．∴NP+BQ=FQ+B ′Q ≥FB ′==2．∴当 B ′、Q 、F 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为．14、【解答】解：（1）当 x=0 时，y=﹣x 2+2x+3=3，则 C （0，3）， 当 y=0 时，﹣x 2+2x+3=0，解得 x 1=﹣1，x 2=3，则 A （﹣1，0），B （3，0）， ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线 x=1，而点 D 和点 C 关于直线 x=1 对称， ∴D （2，3），设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ， 把 A （﹣1，0），D （2，3）分别代入得，解得，∴直线 AD 的解析式为 y=x+1； （2）当 x=0 时，y=x+1=1，则 E （0，1）， ∵OA=OE ，∴△OAE 为等腰直角三角形， ∴∠EAO=45°， ∵FH ∥OA ，∴△FGH 为等腰直角三角形，过点 F 作 FN ⊥x 轴交 AD 于 N ，如图， ∴FN ⊥FH ，∴△FNH 为等腰直角三角形， 而 FG ⊥HN ， ∴GH=NG ，∴△FGH 周长等于△FGN 的周长， ∵FG=GN=FN ，∴△FGN 周长）FN ，∴当 FN 最大时，△FGN 周长的最大， 设 F （x ，﹣x 2+2x+3），则 N （x ，x+1）， ∴FN=﹣x 2+2x+3﹣x ﹣1=﹣（x ﹣）2+ ，当时，FH 有最大，∴△FGN 周长的最大值为（1+ =，即△FGH 周长的最大值；（3）直线AM 交y 轴于R，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4）设直线AM 的解析式为y=mx+n，把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得，解得，∴直线AM 的解析式为y=2x+2，当x=0时，y=2x+2=2，则R（0，2），当AQ 为矩形APQM 的对角线，如图1，∵∠RAP=90°，而AO⊥PR，∴Rt△AOR∽Rt△POA，∴AO：OP=OR：OA，即1：OP=2：1，解得，∴P点坐标为（0，﹣），∵点A（﹣1，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M（1，4），∴点P（0，﹣）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q（2，），∵点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，∴T点坐标为（0，）；当AP 为矩形AMPQ 的对角线，反向延长QA 交y 轴于S，如图2，同理可得S点坐标为（0，﹣），∵R 点为AM 的中点，∴R 点为PS 的中点，∴PM=SA，P（0，），∵PM=AQ，∴AQ=AS，∴点Q 关于AM 的对称点为S，即T点坐标为（0，﹣）．综上所述，点T的坐标为（0，）或（0，﹣）．15、【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），∴m2﹣1=0，∴m=±1∴y=x2+x 或y=x2﹣3x，∵当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，∴y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0 时，0＜x＜3；（2）①如图，当BC=1 时，由抛物线的对称性，得点A 的纵坐标为﹣2，∴矩形的周长为6；②∵A的坐标为（a，b），∴当点A 在对称轴左侧时，如图，矩形ABCD 的一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2，周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜，当a=时，L=，A点坐标为（，﹣），最大当点A 在对称轴右侧时如图，矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2，=，A点坐标为（周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=时，L最大，﹣）；综上所述：当时）2+，=，A点坐标为（，∴当a=时，L最大﹣），当＜a＜3 时）2+，=，A点坐标为（，﹣）．∴当a=时，L最大16、【解答】解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC 的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2 异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2 异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3 得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1 时，y 随x 增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2 异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y 1=ax2+bx+3 得，解得：，∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1 时，y 随x 增大而增大，综上所述，若c=3，当y 随x 增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y 随x 增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1 向左平移n 个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1 不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1 向左平移n 个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n= 时，2n2﹣5n 的最小值为：﹣．。

2020-2021学年度上册人教版九年级上册数学第22章二次函数复习训练题一．选择题1．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y ＝C．y＝3x2+x﹣1D．y＝2x3﹣12．关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y 的最小值为﹣3．已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥﹣2C．m＜﹣2D．m≤﹣24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第18页（共18页）5．表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中，x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7x…x1x2x3x4x5x6x7…y…6m12k12m6…根据表中提供的信息，有以下4个判断：①a＜0；②6＜m＜12；③当x ＝时，y的值是k；④b2≤4a（c﹣k），其中正确的有（）个A．1B．2C．3D．46．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m ≤C．﹣2≤m ≤﹣D．m ≤﹣7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．第18页（共18页）C ．D ．8．已知直线l经过点（0，6）且平行于x轴，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线l相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜4B．x＞4C．x＜﹣4D．﹣2＜x＜49．已知抛物线y ＝x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（）A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定10．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3二．填空题11．抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是．12．已知二次函数y＝2x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则m＝．第18页（共18页）13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①﹣a＜b＜﹣2a；②b2+8a＞4ac；③a＜﹣1；④方程ax2+（b+c﹣2）x＝0的解为x1＝0，x2＝1．其中正确的是．14．已知某商品每箱盈利10元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．设每箱涨价x元时（其中x为正整数），每天的总利润为y元，则y与x之间的关系式为．15．若整数a使关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a+3）x+a+2的图象在x轴的下方，且使关于x的分式方程2+＝有负整数解，则所有满足条件的整数a的和为．三．解答题16．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．第18页（共18页）17．已知二次函数y＝x2﹣4x+5．（1）用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标；的取值范围．（2）观察图象填空，使y随x增大而增大的x第18页（共18页）18．学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米．（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？19．二次函数f（x）＝ax2+bx+c对一切实数x，不等式x≤f（x ）≤恒成立，并且f（x ﹣4）＝f（2﹣x）．求函数f（x）的解析式．20．已知，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），点B（3，3），二次函数y＝x2﹣4ax+4a2+a （a为常数）．（1）当a＝1时，请写出该二次函数的三条性质；（2）用含a的代数式表示二次函数顶点P的坐标，并判断说明点P是否在直线y ＝x第18页（共18页）上？（3）若二次函数的顶点P落在△OAB的内部（不包括边界），求a的取值范围．第18页（共18页）参考答案一．选择题1．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意；B、y ＝不是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝3x2+x﹣1是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝2x3﹣1不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．解：A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故A选项不符合题意；B．图象的对称轴是x ＝在y轴的左侧，故B选项不符合题意；C．当x时，y的值随x值的增大而减小，当x时，y的值随x值的增大而增大，故C选项不符合题意；D．∵y＝2x2+x﹣1＝2（x +）2﹣，∴当x ＝﹣时，y取最小值，y 的最小值为﹣，故D选项符合题意；故选：D．3．解：二次函数y＝（x+m）2﹣3，中，a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，∴二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，即m≥﹣2，第18页（共18页）故选：B．4．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故此选项错误；②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x ＝﹣＝1，即a ＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．故②④⑤正确．故选：B．5．解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，∴抛物线开口向下，第18页（共18页）∴a＜0，①符合题意；∴6＜m＜12＜k，∴6＜m＜12，②符合题意；根据图表中的数据知，只有当x ＝＝x4时，抛物线的顶点坐标纵坐标是k，即y 的值是k，③不符合题意；∵≥k，a＜0，∴4ac﹣b2≤4ak，∴b2≥4a（c﹣k），④不符合题意．综上，可得判断正确的是：①②2个．故选：B．6．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x ＝﹣，∴当x ＝﹣时，y有最小值，此时y ＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m ≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x ＝﹣，∴当x ＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m ≤﹣；∴﹣2≤m ≤﹣．第18页（共18页）故选：C．7．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．故选：C．8．解：∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，∵C（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；则CD＝6﹣（﹣2）＝8，则点B（8，6），将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a ＝，故抛物线的表达式为：y ＝x2﹣2，令y＝0，则x＝±4，故y＜0时，﹣4＜x＜4，故选：A．9．解：∵抛物线y ＝x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，第18页（共18页）∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝﹣＝1，∵x0＜1＜x1，∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；故选：A．10．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1＝4，∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m＝﹣3，故选：C．二．填空题11．解：对于y＝（x﹣1）（x+3），令y＝0，即0＝（x﹣1）（x+3），第18页（共18页）解得x＝﹣3或1，故答案为（1，0），（﹣3，0）．12．解：∵二次函数y＝2x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴0＝2×12﹣3×1+m，解得，m＝1，故答案为：1．13．解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，∵﹣＜1，∴b＜﹣2a，∴a＜b＜﹣2a，故错误；由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故②正确，由题意知，a+b+c＝2，（1）a﹣b+c＜0，（2）4a+2b+c＜0，（3）第18页（共18页）把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，则a ＜．由（1）代入（2）得到：b＞1．则a＜﹣1．故③正确．∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），∴x＝1时，y＝a+b+c＝2，把x1＝0代入方程使等式成立，把x2＝1代入方程得a+b+c﹣2＝0，即a+b+c＝2．∴方程ax2+（b+c﹣2）x＝0的解为x1＝0，x2＝1，故④正确；综上所述，正确的结论是②③④．故答案为②③④．14．解：设每箱涨价x元时（其中x为正整数），每天可售出50箱，每箱涨价1元，日销售量将减少2箱，则每天的销量为50﹣2x，则y与x之间的关系式为：y＝（50﹣2x）（10+x）＝﹣2x2+30x+500（x为正整数），故答案为：y＝﹣2x2+30x+500（x为正整数）．15．解：由题意得：a﹣1＜0且△＝（﹣2a﹣3）2﹣4（a﹣1）（a+2）＜0，解得a ＜﹣；解分式方程2+＝得，x ＝，∵x＜0且x≠﹣3，即＜0且≠﹣3第18页（共18页）解得：a＜1且a≠﹣3，故a ＜﹣且a≠﹣3，a＝﹣5或﹣11时，x ＝有负整数解，故所有满足条件的整数a的和为﹣16．故答案为﹣16．三．解答题16．解：（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，a），∴OA＝1，OB＝﹣a，∵S△AOB ＝．∴＝，解得，a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2；（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），∴直线AB为y＝﹣x﹣1，过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），∴CD＝﹣（x+1）2+x+1，∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD ＝[﹣（x+1）2+x+1]×1，∴S△ABC ＝﹣（x +）2+，第18页（共18页）∵﹣＜0，∴△ABC 面积的最大值是．17．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，对称轴为：x＝2，顶点坐标：（2，1）；（2）画出函数图象如图：由图象可知使y随x增大而增大的x的取值范围是x＞2，第18页（共18页）故答案为x＞2．18．解：（1）由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；∵墙的长度为18，∴0＜30﹣2x≤18，解得，6≤x＜15，即x的取值范围是6≤x＜15；（2）由（1）知，y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x ﹣）2+，而6≤x＜15，∴当x＝7.5时，y取得最大值，此时y＝112.5，即当x＝7.5时，y的最大值是112.5．19．解：由f（x﹣4）＝f（2﹣x ）得对称轴，∴b＝2a．又∵1≤f（1）≤1，∴f（1）＝1，∴a+b+c＝1，∴c＝1﹣3a．又∵x≤f（x）＝ax2+bx+c，第18页（共18页）∴方程组只有一个解，∴ax2+（b﹣1）x+c＝0只有一个解，∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝（2a﹣1）2﹣4a（1﹣3a）＝4a2﹣4a+1﹣4a+12a2＝（4a﹣1）2＝0，∴，∴函数f（x ）的解析式为：．20．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+4+1＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）∵y＝x2﹣4ax+4a2+a＝（x﹣2a）2+a，∴抛物线的顶点坐标为P（2a，a），把x＝2a代入y ＝x得，y＝a，∴点P在直线y ＝x上；（3）∵点A（6，0），点B（3，3），∴直线AB为：y＝﹣x+6；由得，∴若二次函数的顶点P落在△OAB的内部（不包括边界），a的取值范围是0＜a＜4．第18页（共18页）。

人教版中考数学《二次函数》专项练习题一、单选题（每小题3分，共36分）1．若关于x 的一元二次方程2()0a x h k ++=的一个实数根是1，则关于x 的一元二次方程2(1)0a x h k +-+=一定有一个实数根为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．函数ky x-=与2(0)y kx k k =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．3．关于函数y ＝﹣x 2﹣2x 的图象，有下列说法：①对称轴为直线x ＝﹣1；②抛物线开口向上；③从图象可以判断出，当x ＞﹣1时，y 随着x 的增大而减小．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．若()12,y -，()25,y 是图象上的两点，则12y y <B ．30a c +=C ．当13x 时，0y <D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小5．关于函数y ＝﹣x 2﹣2x 的图象，有下列说法：①对称轴为直线x ＝﹣1；②抛物线开口向上；③从图象可以判断出，当x ＞﹣1时，y 随着x 的增大而减小．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，其对称轴为直线x ＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab 2c 3＞0；②b +2a ＝0；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝4；④9a +c ＞3b ，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．y ＝ax 2+bx +cB ．21y x =C ．y ＝（a 2+1）x 2D ．y ＝ax 28．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．若()12,y -，()25,y 是图象上的两点，则12y y <B ．30a c +=C ．当13x 时，0y <D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小9．抛物线y ＝﹣15x 2+3不具有的性质是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ．函数有最小值10．已知二次函数y ＝（m ﹣1）x 2+3x ﹣1与x 轴有交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m 54>-B ．m 54≥-C ．m 54>-且m ≠1 D ．m 54≥-且m ≠1 11．若要得到抛物线y =（x +5）2-3，可以将抛物线y =x 2（ ）A ．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 12．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x ＝1；③ax 2+bx +c ＝5的另一个解是x ＝4；④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0；⑤抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题3分，共24分）13．已知S ＝t 2﹣2t ﹣15，则S 的最小值为_______．14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个．设单价降价x 元，则每天的利润y 与x 的关系式是：________；最大利润为________元．15．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______． 16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1）．当x ＝﹣2时，与其对应的函数值y ＞1．有下列结论：①a ﹣b ＋c ＝﹣1；②abc ＞0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ﹣3＝0有两个不等的实数根；④2a ﹣b ＞0．其中正确的有____．（把正确结论的序号都填上） 17．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．18．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y 轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．19．在函数y ＝（x ﹣1）2中，当x ＞1时，则y 的取值范围是_______．20．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a ＜0，b ＞0，c ＜0；②当时x ＝2，y 的值等于1；③当x ＞3，y 的值小于0．正确的序号是_____．三、解答题（共60分）21．已知抛物线()()12y a x x x x =--经过点(2,0)A -和点B (3,0)，与y 轴负半轴交于点C ，OC OB =．（1）求抛物线的解析式；（2）若在x 轴上方有一点(,)P m n ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．（8分）22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）交y 轴于点C ，且OC ＝3． （1）求该抛物线的解析式；（2）点P 为直线BC 下方抛物线上的一点，连接AC 、BC 、CP 、BP ，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P 的坐标；（3）把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ,R 为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来．（10分）23．已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的的左侧），与y轴交于点C．（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为点D，求四边形ABDC的面积．（10分）24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以AC为边向右作正方形ACDE，点P从点C出发，沿射线CD以1cm/s的速度向右运动，过点P作直线l与射线BA交于点Q，使得∠BPQ＝∠B，设运动时间为t（s），△BPQ与正方形ACDE重合部分的面积为S（cm2）．（1）当直线l经过点E时，t的值为．（2）求S 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．（12分）25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面1AA 的距离为8m ，过1AA 的中点O 建立如图所示的直角坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）要在隧道入口顶部的抛物线上，左右对称地安装两个摄像头，使得这两个摄像头与地面距离相同，并且这两个摄像头之间的距离为6米，求摄像头距离地面的距离．（10分）26．我们知道，如图1，点P 为线段AB 上一点，且PA PB >，如果PB PAk PA AB==，那么点P 是线段AB 的一个黄金分割点，比值51k -=（0.618≈）叫做黄金分割比． （1）如图1，若线段AB 的长为2，P 是线段AB 的黄金分割点（PA PB >），则PB 的长为_______；（保留根号）（2）如图2，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 的黄金分割点，其中BD AD >，BE CE >，AE 与CD 相交于点O ，若△AOC 的面积为2，求△ABC 的面积；（3）如图3，直线2y x =-与抛物线222y x mx m m =---++（m 为常数）交于M 、N 两点，若点O 为线段MN 的黄金分割点（OM ON <），求m 的值．（12分）参考答案1．D2．B3．B4．B5．B6．C7．C8．B9．D10．D11．B12．C 13．﹣1614．2240600y x x =-++ 80015．14m >-且0m ≠16．①②③④ 17．2± 18．23y x =-+ 19．0y > 20．①③21．（1）211322y x x =--；（2）39(2)4S m m =+>-22．（1）223y x x =--；（2）当32x =时，四边形ACPB 的面积最大，最大面积为：75,8此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）511,24R ⎛⎫- ⎪⎝⎭或111,24R ⎛⎫- ⎪⎝⎭或549,24R ⎛⎫- ⎪⎝⎭23．（1）()()1,0,3,0A B -，(0,6)C -；（2）24 24．（1）7；（2）()222033466(34)22850(47)33316(7)t t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪⎪>⎩25．（1）21812y x =-+；（2）7.25米 26．（1）3PB =（2）4+（3）m =27．（1）48000；（2）37；（3）两公司月利润差的最大值为33150元．28．（1）抛物线l 1的表达式为217422y x x =-+-；抛物线l 2的表达式213222y x x =-+；（2）2≤x ≤4；（3）线段MN 的最大值是12．。

2020年九年级数学中考复习二次函数专题导学案【课前练习】1．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大2．已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＜3C．﹣1＜m≤3D．3＜m≤43．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2 4．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞﹣1C．﹣1＜a≤2D．﹣1≤a＜2 5．二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是（填写序号）．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）8．已知抛物线y＝ax2+2ax+a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于2，则代数式a2﹣a﹣2的最小值是．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A 作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．12．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为．13．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．2020年九年级数学中考复习二次函数专题。

2020年中考复习二次函数练习题一、选择题1．抛物线y＝x2－8x－1的对称轴为()A．直线x＝4 B．直线x＝－4 C．直线x＝8 D．直线x＝－82．二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是()A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下，顶点坐标为(1，4)C．开口向上，顶点坐标为(1，4)D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)3．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋34．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大5．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S cm2的长方形，S的值不可能为() A．20 B．40 C．100 D．1206．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD边AB，BC，CD，DA上的点，AE＝BF ＝CG＝DH.设A，E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为()7．抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是()A．4 B．6 C．8 D．108．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．二次函数y＝－2(x－3)(x＋1)的图象与y轴的交点坐标是________．10.若抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的交点坐标为(m ，0)，则代数式m 2－m ＋2015的值为________．11．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象满足下列条件：(1)当x ＜2时，y 随x 的增大而增大；(2)当x ≥2时，y 随x 的增大而减小．请写一个这样的二次函数解析式是________________．12．已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m ，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是________m.第13题图 第14题图14．如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 上的两个动点，AE ⊥EF .则AF 的最小值是________．三、解答题15．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下图是两位学生争议的情境．请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB ＝x 米(x ＞0)，试用含x 的代数式表示BC 的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？16．某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y (间)与其价格x (元)(180≤x ≤300)x (元)180260280300y(间)100605040(1)求y与x(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每周空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值(宾馆当日利润＝当日房费收入－当日支出)．17．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，点E的坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过O，A，E三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△P AD的周长最小时，求点P的坐标．参考答案与解析1．A 2.A 3.C 4.D5．D 解析：设所围成长方形的长为x cm ，则由题意得S ＝x (20－x )＝－x 2＋20x .∵a ＝－1<0，∴S 有最大值．即当x ＝－b 2a ＝－202×（－1）＝10时，S 最大＝100.由于120＞100，故选D.6．A 解析：设正方形的边长为m ，则m ＞0.∵AE ＝x ，∴DH ＝x ，∴AH ＝m －x .在Rt △EAH 中，∵EH 2＝AE 2＋AH 2，∴y ＝x 2＋(m －x )2＝2(x －12m )2＋12m 2，∴y 与x 的函数图象可能是A.7．A 解析：∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b ＋c ＝6，1≤－b2×1≤3，解得6≤c ≤14，故选A. 8．C 解析：∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间，∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，即b ＝－2a ，∴3a＋b ＝3a －2a ＝a ，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n )，∴4ac －b 24a ＝n ，∴b 2＝4ac －4an＝4a (c －n )，∴③正确；∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，a ＜0，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．故选C.9．(0，6) 10.201611．y ＝－x 2＋4x ＋3(答案不唯一) 解析：根据已知得图象开口向下，对称轴为直线x ＝2，则二次项系数为负数，不妨设为－1，代入x ＝－b2a＝2，得b ＝4，c 取任意数即可，如3，可得y ＝－x 2＋4x ＋3.只要写出符合要求的二次函数即可．12．－2.5 13.314．5 解析：根据题意，若AF 取最小值，则DF 取最小值，则CF 取最大值．设BE ＝x ，CF ＝y .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.又∵AE ⊥EF ，∴∠B ＝∠AEF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CEF ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BE CF ，∴44－x ＝x y ，∴y ＝－x 2＋4x 4＝－14(x －2)2＋1.∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值为1，此时DF 有最小值，最小值为3，由勾股定理得到AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋32＝5. 15．解：(1)BC ＝54－2x ＋2＝(56－2x )(米)；(2)小英的说法正确．理由如下：设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝x (56－2x )＝－2(x －14)2＋392.∵56－2x ＞0，∴x ＜28，∴0＜x ＜28，∴当x ＝14时，S 取最大值，此时x ≠56－2x ，∴面积最大的不是正方形．16．解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧180k ＋b ＝100，260k ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝190，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－12x ＋190(180≤x≤300)；(2)设房价为x 元(180≤x ≤300)时，宾馆当日利润为w 元，依题意，得w ＝⎝⎛⎭⎫－12x ＋190(x －100)－60⎣⎡⎦⎤100－⎝⎛⎭⎫－12x ＋190÷7＝－12x 2＋16507x －1276007＝－12⎝⎛⎭⎫x －165072＋46805049，∴当x ＝16507时，w 取最大值，最大值为46805049.答：当房价为16507元时，宾馆当日利润最大，最大利润为46805049元．17．解：(1)∵四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标是(10，8)，∴点A 的坐标是(10，0)．把A (10，0)，E (6，8)，O (0，0)代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＋c ＝0，36a ＋6b ＋c ＝8，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝103，c ＝0.∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋103x ；(2)由题意可知AD ＝ED ，BE ＝10－6＝4，AB ＝8.设AD ＝x ，则ED ＝x ，BD ＝AB －AD＝8－x .在Rt △BDE 中，由勾股定理可知ED 2＝BE 2＋BD 2，即x 2＝42＋(8－x )2，解得x ＝5，∴AD ＝5；(3)由(1)可知y ＝－13x 2＋103x ，∴其对称轴为直线x ＝5.∵A ，O 两点关于对称轴对称，∴P A＝PO .当P ，O ，D 三点在一条直线上时，P A ＋PD ＝PO ＋PD ＝OD ，此时△P AD 的周长最小．如图，连接OD 交对称轴于点P ，则该点即为满足条件的点P .由(2)可知AD ＝5，∴点D 的坐标为(10，5)．设直线OD 解析式为y ＝kx ，把点D 的坐标代入可得5＝10k ，解得k ＝12，∴直线OD 解析式为y ＝12x .令x ＝5，可得y ＝52，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，52.。

第二十二章 二次函数一、选择题1. 已知函数 y =(m−3)x m2−7是二次函数，则 m 的值为 ( )A ． −3B ． ±3C ． 3D ． ±72. 把抛物线 y =x 2+1 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线的解析式为 A ．y =(x +3)2−1B ．y =(x +3)2+3C ．y =(x−3)2−1D ．y =(x−3)2+33. 已知函数 y =(k−3)x 2+2x +1 的图象与 x 轴有交点．则 k 的取值范围是 ( ) A ． k <4B ． k ≤4C ． k <4 且 k ≠3D ． k ≤4 且 k ≠34. 已知 A (4,y 1)，B (1,y 2)，C (−3,y 3) 在函数 y =−3(x−2)2+m （m 为常数）的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是 ( ) A ． y 3<y 1<y 2B ． y 1<y 3<y 2C ． y 3<y 2<y 1D ． y 1<y 2<y 35. 已知二次函数 y =x 2−6x +m （m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为 (1,0)，则关于 x 的一元二次方程 x 2−6x +m =0 的两个实数根是 ( ) A ． x 1=1，x 2=−1 B ． x 1=−1，x 2=3 C ． x 1=−1，x 2=4D ． x 1=1，x 2=56. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 m ，水面宽 4 m ．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是A ．y =−12x 2B ．y =2x 2C ．y =−2x 2D ．y =12x 27. 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx−8=0(a≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为( )A．−4B．−2C．1D．38. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b>2a；③方程ax2+bx+c=0的两根分别为−3和1；④a−2b+c≥0，其中正确的命题是( )A．①②③B．①③C．①④D．①③④二、填空题9. 二次函数y=−(x+5)2−3，图象的顶点坐标是．10. 如果二次函数的图象经过点(1,2)，且在对称轴x=2的右侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．11. 小明推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−1(x−4)2+3，则小明12推铅球的成绩是m．12. 当−3≤x≤2时，函数y=ax2−4ax+2(a≠0)的最大值是8，则a=．13. 如图，一次函数y=mx+n的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A(−1,p)，B(4,q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是．14. 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则抛物线与x轴负半轴的交点坐标是．15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点Aʹ的横坐标为1，则AʹC的长为．16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线y=ax2−4ax+3(a<0)上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为．三、解答题17. 已知二次函数y=x2−mx−m−3．(1) 求证：无论m为何值，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点；(2) 若函数y的最小值为−2，求此二次函数的解析式，18. 已知二次函数y=−x2+2x+3．(1) 求函数图象的顶点坐标，并在图中画出这个函数的图象；(2) 根据图象，直接写出：①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当−2<x<2时，函数值y的取值范围．19. 百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元．为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件．(1) 要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？(2) 要使每天盈利最多，每件应降价多少元？20. 如图，已知抛物线y=x2−4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．(1) 求线段AD的长；(2) 平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为Cʹ．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CCʹ平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．21. 音乐喷泉（如图①）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．已知某种音乐喷泉喷出的水柱形状是抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（如图②），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx．(1) 若k=1，且喷出的抛物线水柱最大高度为3 m，求此时a，b的值；(2) 若k=1，喷出的水柱恰好到达岸边，则此时喷出的抛物线水柱的最大高度是多少？(3) 若k=3，a=−2，则喷出的抛物线水柱能否到达岸边？722. 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到原点O的距离为6 m．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如果该隧道内设双行道，现在一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．23. 学校”科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品，试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该产品的成本价是40元/件，且销售价格高于成本价．(1) 求y与x之间的数关系式．(2) 求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，并求出当销售量为多少件时，销售利润最大？最大值是多少元？(3) 该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少元？答案一、选择题1. A2. C3. B4. A5. D6. A7. B8. B二、填空题9. (−5,−3)10. y=x2−4x+5（答案不唯一）11. 1012. 27或−3213. x<−1或x>414. (−3,0)15. 316. 4三、解答题17.(1) 令x2−mx−m−3=0，则Δ=m2−4(−m−3)=m2+4m+12=(m+2)2+8>0．∴无论m为何值，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点．(2) ∵函数y的最小值为−2，∴4×1×(−m−3)−(−m)24×1=−2．解得m1=m2=−2．∴此二次函数的解析式为y=x2+2x−1．18.(1) ∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴图象的顶点坐标为(1,4)．图象如图．(2) ①当−1<x<3时，函数值y为正数．②当−2<x<2时，函数值y的取值范围为−5<y≤4．19.(1) 设每件童装应降价x元，根据题意列方程得(40−x)(20+2x)=1200,解得x1=20,x2=10.∵增加盈利，减少库存，∴x=10（舍去）．答：每件童装降价20元．(2) 设每天销售这种童装利润为y元，则y=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250.答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．20.(1) 由x2−4=0，得x1=−2，x2=2，∵点A位于点B的左侧，∴A(−2,0)，∵直线y=x+m经过点A，∴−2+m=0，解得m=2，∴点D的坐标为(0,2)，∴AD=OA2+OD2=22．(2) 设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2，则y=x2+bx+2=(x+b2)2+2−b24，则点Cʹ的坐标为(−b2,2−b24)，∵CCʹ平行于直线AD，且经过C(0,−4)，∴直线CCʹ的表达式为y=x−4，∴2−b24=−b2−4，解得b1=−4，b2=6，∴新抛物线对应的函数表达式为y=x2−4x+2或y=x2+6x+2．21.(1) 当k=1时，抛物线的顶点在直线y=x上．∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标为(−b2a,−b24a)，抛物线水柱最大高度为3 m，∴{−b2a=−b24a,−b24a=3.解得{a=−13,b=2.∴此时a，b的值分别是−13，2．(2) 当k=1时，抛物线的顶点在直线y=x上，∵喷出的水柱恰好到达岸边，出水口离岸边18 m，∴此时抛物线的对称轴为直线x=9．∴y=x=9．∴此时喷出的抛物线水柱的最大高度是9 m．(3) ∵y=ax2+bx的顶点(−b2a,−b24a)在直线y=kx上，且k=3，a=−27，∴−b2a ⋅k=−b24a，即−b−27×2×3=−b2−27×4．解得b=6或0（舍）．∴抛物线的解析式为y=−27x2+6x．当y=0时，0=−27x2+6x．解得x1=21，x2=0．∵21>18，∴喷出的抛物线水柱能到达岸边．22.(1) 据题意，设抛物线的解析式为y=ax2+c．∵EO=6，∴c=6，∵D(4,2)，∴16a+c=2，得a=−14，∴抛物线解析式为y=−14x2+6．(2) 当x=2.4时，y=4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该遂道．23.(1) 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b．由题意，得{64=80k+b,70=50k+b.解得{k=−15,b=80.∴y=−15x+80．∵y>40，∴−15x+80>40．解得x<200．∴y与x之间的数关系式为y=−15x+80(0<x<200)．(2) 由题意，得w=(y−40)x=(−15x+80−40)x=−15x2+40x=−15(x−100)2+2000.∵−15<0，0<x<200，∴当x=100时，w取得最大值，最大值为2000元．∴当销售最为100件时，销售利润最大，最大值是2000元．(3) 设科技创新后该产品的成本价格为a元．由题意，得w=(y−a)x=−15x2+(80−a)x．∵当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，∴−80−a2×(−15)>120．解得a<32．答：科技创新后该产品的成本价格应低于32元．。

二次函数一、选择题1．(2016·浙江镇江·模拟)已知点E （2，1）在二次函数m x x y +-=82（m 为常数）的图像上，则点A 关于图像对称轴的对称点坐标是（ ） A ．（4，1） B ．（5，1） C ．（6，1） D ．（7，1） 答案：C2．(2016·浙江金华东区·4月诊断检测一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（ ）A ．最大值1B ．最大值－1C ．最小值2D ．最小值－2 答案：C3．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)设函数y=x 2+2kx+k ﹣1（k 为常数），下列说法正确的是（ ）A ．对任意实数k ，函数与x 轴都没有交点B ．存在实数n ，满足当x≥n 时，函数y 的值都随x 的增大而减小C ．k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条直线上D ．对任意实数k ，抛物线y=x 2+2kx+k ﹣1都必定经过唯一定点 【考点】二次函数的性质．【分析】A 、计算出△，根据△的值进行判断； B 、根据二次函数的性质即可判断；C 、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k 得y=﹣x 2﹣x ﹣1，即可判断；D 、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；【解答】解：A 、∵△=（2k ）2﹣4（k ﹣1）=4k 2﹣4k+4=4（k ﹣）2+3＞0， ∴抛物线的与x 轴都有两个交点，故A 错误；B 、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=﹣=﹣k ，∴在对称轴的左侧函数y 的值都随x 的增大而减小， 即当x ＜k 时，函数y 的值都随x 的增大而减小，当n=﹣k 时，当x≥n 时，函数y 的值都随x 的增大而增大，故B 错误；C 、∵y=x 2+2kx+k ﹣1=（x+k ）2﹣k 2+k ﹣1，∴抛物线的顶点为（﹣k ，﹣k 2+k ﹣1），∴，消去k 得，y=﹣x 2﹣x ﹣1由此可见，不论k 取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y=﹣x 2﹣x ﹣1，即在二次函数y=﹣x 2﹣x ﹣1的图象上．故C 错误；D 、令k=1和k=0，得到方程组：，解得，将代入x2+2kx+k﹣1得，﹣k+k﹣1=﹣，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（﹣，﹣），故D正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．4、（2016泰安一模）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．5.（2016枣庄41中一模）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D ．6、（2016枣庄41中一模）设A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A 的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图， ∴对称轴是x=﹣1，∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ．7．（2016·天津北辰区·一摸）已知抛物线2(1)y x m =--+（m 是常数），点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）在抛物线上，若12x x <1<，122x x +>，则下列大小比较正确的是（ ）.（A ）12m y y >> （B ）21m y y >> （C ）12y y m >> （D ）21y y m >>答案：A 8．（2016·天津南开区·二模）下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ）A ．②③B ．③④C ．①②D ．①④考点：二次函数的图像及其性质反比例函数与一次函数综合 答案：A试题解析：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S 阴影=×2×2=2； ③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2； ④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；②③的面积相等，故选：A ．9．（2016·天津南开区·二模）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0;②2a+b=0;③当m≠1时，a+b ＞am 2+bm;④a ﹣b+c ＞0;⑤若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤ 考点：二次函数的图像及其性质 答案：D试题解析：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a ＞0，即2a+b=0，所以②正确； ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误； ∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c ， ∴当m≠1时，a+b+c ＞am 2+bm+c ，即a+b ＞am 2+bm ，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b+c ＜0，所以④错误；∵ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，∴ax 12+bx 1﹣ax 22﹣bx 2=0，∴a （x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+b （x 1﹣x 2）=0， ∴（x 1﹣x 2）[a （x 1+x 2）+b]=0，而x 1≠x 2，∴a （x 1+x 2）+b=0，即x 1+x 2=﹣， ∵b=﹣2a ，∴x 1+x 2=2，所以⑤正确．故选：D ．10．（2016·天津市和平区·一模）将抛物线C ：y=x 2+3x ﹣10，将抛物线C 平移到C′．若两条抛物线C ，C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（ ）A ．将抛物线C 向右平移个单位B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】压轴题．【分析】主要是找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称．抛物线C 与y 轴的交点为A （0，﹣10），与A 点以对称轴对称的点是B （﹣3，﹣10）．若将抛物线C 平移到C′，就是要将B 点平移后以对称轴x=1与A 点对称．则B 点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C 向右平移5个单位．【解答】解：∵抛物线C：y=x2+3x﹣10=，∴抛物线对称轴为x=﹣．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（2016·天津市南开区·一模）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a﹣b=0；③a+b+c=0；④5a＜b．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=﹣=﹣1可以判定②；由图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，即可判定①；由x=1时y=0，即可判定③．把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理即可判定④．【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，正确；②∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a=b，∴2a﹣b=0，正确；③∵抛物线的一个交点为（﹣3，））对称轴为x=﹣1，∴另一个交点为（1，0），∴当x=1时，y=a+b+c=0，正确；④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b，正确．故正确的为①②③④，故选D．【点评】解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．12．（2016·天津五区县·一模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＜0；③a=c﹣2；④方程ax2+bx+c=0的根为﹣1．其中正确的结论为（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，据此判断即可．②根据二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．③首先根据x=﹣，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是=2，据此判断即可．④根据x=﹣1时，y≠0，所以方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，据此判断即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴结论①正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论②正确；∵x=﹣，∴b=2a，∴顶点的纵坐标是=2，∴a=c﹣2， ∴结论③正确；∵x=﹣1时，y≠0，∴方程ax 2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确， ∴结论④不正确．∴正确的结论为：①②③． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）． 13.(2016·四川峨眉 ·二模）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 为常数）的图象如图6所示，下列5个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④4c b <；⑤()a b k ka b +<+（k 为常数,且1k ≠）.其中正确的结论有()A 2个 ()B 3个()C 4个 ()D 5个答案：B14．(2016·重庆巴蜀 ·一模）如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③a+c ＜2﹣b ；④a ＜﹣；⑤x=﹣5和x=7时函数值相等．其中错误的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由抛物线开口方向得a ＜0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＞0，所以ac ＜0；由于抛物线与x 轴有2个交点，所以b 2﹣4ac ＞0；根据抛物线的对称轴为直线x=1，则x=1时，y 最大，所以a+b+c ＞2，即a+c ＞2﹣b ；由于x=﹣2时，y ＜0，所以4a ﹣2b+c ＜0，由于﹣=1，yx1o2 3 1-1x =c=2，则4a+4a+2＜0，所以a＜﹣；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称性得到x=﹣5和x=7时函数值相等．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y最大，即a+b+c＞2，∴a+c＞2﹣b，所以③错误；∵x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，而﹣=1，c=2，∴4a+4a+2＜0，∴a＜﹣，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=﹣5和x=7时函数值相等，所以⑤正确．所以①③两个，故选B．15．(2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0 5 B．0 1 C．﹣4 5 D．﹣4 1【考点】二次函数的三种形式．【分析】把y=（x﹣2）2+k化为一般式，根据对应相等得出b，k的值．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k，∴x2+bx+5=x2﹣4x+4+k，∴b=﹣4，4+k=5，∴k=1．故选D．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，把一般式化为顶点式，或把顶点式化为一般式是解题的关键．16．(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．17．(2016·云南省·二模)已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（）A．开口方向向上，y有最小值是﹣2B．抛物线与x轴有两个交点C．顶点坐标是（﹣1，﹣2）D．当x＜1时，y随x增大而增大【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可．【解答】解：y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，a=﹣1，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣2），△=4﹣12=﹣8＜0，抛物线与x轴没有交点，当x＜1时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】此题考查二次函数的性质，正确判定开口方向，求得对称轴与顶点坐标是解决问题的关键．二、填空题1．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)已知二次函数y=x2+bx+c（其中b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数y=2x和y=的其中一个交点．则当a2+ab+c＞2a＞时，a的取值范围是﹣1＜a ＜0或a＞3 ．【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】数形结合．【分析】只需先求出抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与直线y=2x 的交点，然后结合函数图象就可解决问题．【解答】解：解方程组，得，．①当抛物线y=x 2+bx+c 顶点为（1，2）时，抛物线的解析式为y=（x ﹣1）2+2=x 2﹣2x+3．解方程组，得，．结合图象可得：当a 2+ab+c ＞2a ＞时，a 的取值范围是﹣1＜a ＜0或a ＞3；②当抛物线y=x 2+bx+c 顶点为（﹣1，﹣2）时，抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣2=x 2+2x ﹣1． ∴c=﹣1＜0，与条件c ＞0矛盾，故舍去． 故答案为﹣1＜a ＜0或a ＞3．【点评】本题主要考查了直线与反比例函数图象的交点、抛物线的顶点坐标公式、直线与抛物线的交点等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键． 2．（2016·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A 、B 、C 、D 分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为23232-=x y ，则图中CD 的长为 ▲ ． 答案：32-3. （2016·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）已知二次函数c bx x y 2++=（其中b ，c 为常数，c ＞0）的顶点恰为函数x 2y =和x2y =的其中一个交点。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度九年级数学上册22二次函数练习3无答案新版新人教版______年______月______日____________________部门一、选择题1.把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是（）A．(－5，1)B．(1，－5)C．(－1，1)D．(－1，3)2.若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则它的对称轴是（）A．B．x＝1C．x＝2D．x＝33.二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是（）A．y＝xB．x轴C．y＝－xD．y轴4.下列命题中，正确的是（）①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＜0；②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；③若b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根．A．②④B．①③C．②③D．③④5.将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（）A．y＝－x2B．y＝－x2＋1C．y＝x2－1D．y＝－x2－16.抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是（）A．无交点B．一个交点C．两个交点D．无法确定7.函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为（）A．4和－3B．5和－3C．5和－4D．－1和48.已知函数y＝a(x＋2)和y＝a(x2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是（）9.y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc，b2－4ac，a－b＋c，a＋b＋c，2a－b，9a－4b中，值小于0的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10.若b＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．B．－1C．D．1。