2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义·

二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号；2.能借助二次函数的图像进行推理探究；3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.4.经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点x…-1 0 1 2 …y…-174--274-…【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。

根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。

因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。

本题应选B。

【变式题组】1.2x…-2 -1 0 1 2 …y…162--4122--2122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。

2.已知二次函数2x…-1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法.解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。

故应选C。

【变式题组】3.已知0a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0m≠)的图像可能是（）5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。

2020年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，a用）的函数，叫做二次函数.、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c （a, b, c 为常数，a用）.（2）顶点式：y=a （x士）2+k （a, h, k为常数，a用），顶点坐标是（h, k）.（3）交点式：y=a （xx）（x二2）,其中xi, x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a照三、二次函数的图象及性质1.二次函数的图象与性质2a, b, c四、抛物线的平移1 .将抛物线解析式化成顶点式y=a （x-h）2+k,顶点坐标为（h, k）2 .保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h, k）处，具体平移方法如下:I——71向上假刘【或下俊中）】平移肉个单位一——7—1［ ------------------------- 1 -- ------------------ >jy=ajr+A向右啊., 向右"）平移I引个单位〃程渗& 平移回个单位艮* 扪I向上代浏［或卜（心）］平移密个单位"户""蛆也3.注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.五、二次函数与一元二次方程的关系1 .二次函数y=ax2+bx+c （a希），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a照）.2. ax2+bx+c=0 （a用）的解是抛物线y=ax2+bx+c （a照）的图象与x轴交点的横坐标.3.（1） b2Yac>0?方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2） b2』ac=0?方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2』ac<0?方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等;最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.(2) 解答动点函数图象问题， 要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运 动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做 到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.(3)解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动， 运动速度是 多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最 后结合题干中与动点有关的条件进行计算.考点一二次函数的有关概念1 .二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零.2. 一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化.典型例题典例2下列函数是二次函数的是【解析】直接根据二次函数的定义判定即可.A 、y=2x+2,是一次函数，故此选项错误;典例1)如果 y= ( m -2) x m2m是关于x 的二次函数，则 m=B.D. m 不存在【解析】依题意m2解得m = -1,故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意0.A. y=2x+2B. y=- 2xC. y=x 2+2D. y=x — 2B、y=- 2x,是正比例函数，故此选项错误;C 、y=x 2+2是二次函数，故此选项正确;D 、y=x- 2,是一次函数，故此选项错误.故选C.考点2二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线， 叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点^典型例题典例3 函数y=ax 2+bx+a+b （a 用）的图象可能是【答案】C【解析】A,由图象可知，开口向下，贝U a<0,又因为顶点在 y 轴左侧，贝U b<0,则a+b<0,而图象与y 轴交点为（0, a+b ）在y 轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B,由图象可知，开口向下，贝U a<0，又因为顶点在y 轴左侧，贝Ub<0,则a+b<0,而图象与 y 轴交点为（0, 1）在y 轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C, 由图象可知，开口向上，贝U a>0,顶点在y 轴右侧，贝U b<0, a+b=1可能成立，故此选项 正确；D, 由图象可知，开口向上，则a>0,顶点在y 轴右侧，则b<0，与y 轴交于正半轴，则a+b>0, 而图象与x 轴的交点为（1, 0）,则a+b+a+b=0,显然a+b=0与a+b>0矛盾，故此选项错误.故 选C.典例4 如果二次函数y=ax 2+bx+c （a 为）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A. C.B.D.A. a>0C. ac<0D. bc<0【答案】Cb 【解析】..•抛物线开口向下，a<0, 抛物线的对称轴在y轴的右侧，x=-2 >0, b>0, 2a..•抛物线与y轴的交点在x轴上方，••• c>0, ac<0, bc>0.故选C.考点4二次函数的性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置.若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，贝U它们的二次项系数a必相等.典型例题典例5 由二次函数y=3 (x-4) 2- 2可知A.其图象的开口向下C.其顶点坐标为(4, 2)【答案】B【解析】Q y 3(x 4)22,a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确;对称轴为x 4,故B正确；顶点坐标为(4, ~2),故C不正确；当x 4时，V随x的增大而增大，故D不正确; 故选B. B.其图象的对称轴为直线x=4 D.当x>3时，y随x的增大而增大B. b<0【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y a(x h)2 k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴x h . a决定了开口方向.典例6 (2019福建厦门外国语学校初三期中)在函数y (x 1)23中，当y随X的增大而减小时，则X的取值范围是A. x 1B. x 0C. x 3D.x 1【答案】D【解析】二次函数y(x 1)23的对称轴为直线x 1,a 0, x1y随x的增大而减小.故选D.时，【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性. 二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c为常数，a乒0 ,当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小考点4二次函数的平移1 .抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.2.涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a (x-h) 2+k的形式.3.抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是(0, 0) , y=a (x士)2的顶点是(h, 0) , y=a (x-h) 2+k的顶点是(h, k).4.抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移.典型例题典例7如果将抛物线疗以2七向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A. y= ^2-5B. y=^2+1C. y=-( xH3) 2 72D. y=-(x+3) 2T2【答案】C【解析】疗)2七的顶点坐标为(0,七)，：向右平移3个单位长度，平移后的抛物线的顶点坐标为(3, ~2) , 所得到的新抛物线的表达式是y= - (x -3) 2~2.故选C.【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题.典例8如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移2 J2个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A. y= (x+2^2)2+2 厄B. y= (x+2) 2+2C. y= (x^ 72)2+2 扼D. y= (x%) 2+2【答案】D【解析】如图，过点A作AB± x轴于B, •.•直线y=x与x轴夹角为45° , OA=2j2 , .•.OB=AB=2也X—=2, 点A的坐标为(2, 2) , 平移后的抛物线解析式是y= (XT2) 2+2.故选2D.考点5二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax 2+bx+c （a 希）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由 0b 2Nac决定.1.当A>0,即抛物线与x 轴有两个交点时，方程 ax 2+bx+c= 0有两个不相等的实数根，这两 个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根.2 .当00,即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程 ax 2+bx+c= 0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标.3.当A<0,即抛物线与x 轴无交点时，方程 ax 2+bx+c= 0无实数根，此时抛物线在 x 轴的上方（a>0时）或在x 轴的下方（a<0时）.典型例题典例9 二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则方程ax 2+bx+c=0 的一个解的范围是A. -0.03<x<-0.01 C. 6.18<x<6.19 【答案】C【解析】由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0,故x 应取对应的范围为：6.18<x<6.19, 故选C. x 6.17 6.18 6.19y-0.03 -0.01 0.02 D. 6.17<x<6.18B. -0.01<x<0.02典例10 如图是二次函数 y=a (x+1) 2+2图象的一部分，则关于 x 的不等式a (x+1) 2+2>0 的解集是A. x<2 D. x<-3 或 x>1【答案】C【解析】二次函数 y=a (x+1) 2+2的对称轴为x=-1, •.•二次函数y=a (x+1) 2+2与x 轴的一 个交点是(书，0) , ..•二次函数 y=a (x+1) 2+2与x 轴的另一个交点是(1, 0) , 由图 象可知关于x 的不等式a (x+1) 2+2>0的解集是-3<x<1.故选C.考点六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先 要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系， 再根据题目中 的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式， 然后运用数形结合的思想，根据函数性质去 解决实际问题.典型例题 典例11飞机着陆后滑行的距离 y (单位：m)关于滑行时间以(单位：)的函数解析式是 y=6t - j t 2.在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是s. A. 10 B. 20 C. 30 D. 10 或 30【答案】A【解析】当y 取得最大值时，飞机停下来，贝U y=60t - 1.5t 2=- 1.5 (t- 20) 2+600,C. T<x<1 B. x> 书此时t=20,飞机着陆后滑行 600米才能停下来.因此 t 的取值范围是0WV 20 即当 y=600 - 150=450 时，即 60t - - t 2=450 2解得：t=10, t=30 (不合题意舍去)，滑行最后的150m 所用的时间是 20-10=10,故选A.【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程 典例12如图，一段抛物线：y=- x (x-4) (0孑＜ 今记为G,它与x 轴交于两点 将G 绕A 1旋转180得到C 2,交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180得到C 3,交x 轴于 此变换进行下去，若点 P (17, m)在这种连续变换的图象上，则 m 的值为A. 2B. - 2C. - 3D. 3【答案】D【解析】y=-x (x- 4) (0孑＜4记为C 〔，它与x 轴交于两点O, A 1,• •点 A 1 (4, 0) , OA 1 =4,•, OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4 ； OA 1 =A 1A 2 =A 2A 3=A 3A 4 =4•••点P (17, m)在这种连续变换的图象上， 17+ 4=4……,1.••点P (17, m)在C 5上，x=17和x=1时的函数值相等， •••m=- 1X (1— 4) =— 1X(— 3) =3,故选 D.【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出 x=17和x=1时的函数值相等是 解题关键. O, A1； A3； •-Cl。

二次函数复习讲义知识点1：二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的 .细节剖析如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为，也可以同时都为．a 的绝对值，抛物线的开口 .知识点2：二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的：当时，开口；当时，开口；相等，抛物线的相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定 ，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线 .由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点 ：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于 ；③，与轴交于 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a ≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择(2)顶点式：（a ≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用（a ≠0）.(由此得根与系数的关系：).细节剖析求抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法： ，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点3：二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的 ，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个 ；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程 .通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解细节剖析二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程 .知识点4：利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的；(2)把实际问题中的一些数据与点的联系起来；(3)用待定系数法求出；(4)利用二次函数的图象及其性质去细节剖析常见的问题：求最大(小)值(如求、最大、最小等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的考点1：二次函数的图象【例题1】（2020•青岛模拟）如图，0a <，0b >，0c <，那么二次函数2y ax bx c =++的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2019•海曙区一模）在坐标平面内，以x 轴上的1个单位长为底边按一定规律向上画矩形条．现已知其中几个矩形条的位置如图，其相应信息如表 单位底位置 ⋯3~2-- 2~1-- 1~0- 0~1 1~2 2~3 3~4⋯矩形条高⋯1⋯ ⋯3.5⋯ ⋯15⋯若所有矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上．（1）根据所给信息，直接写出这个函数图象上的三个点的坐标 ． （2）求这个函数解析式；（3）若在坐标平面内画出所有这样依次排列的矩形条，求这些矩形条中面积最小矩形条的面积．考点2：二次函数的性质【例题2】（2020秋•福清市期中）抛物线2(4)3y x =--的顶点坐标是( ) A ．(4,3)-B ．(4,3)--C ．(4,3)D ．(4,3)-【变式2-1】（2019秋•鄄城县期末）已知：二次函数为2y x x m =-+， （1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m 为何值时，顶点在x 轴上方；（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作//AB x 轴交抛物线于另一点B ，当4AOB S ∆=时，求此二次函数的解析式．考点3：二次函数图象与系数的关系【例题3】（2020•田家庵区校级自主招生）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：（1）2b a <；（2）0a c b +->；（3）b c a >>；（4）223b ac ab +<．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【变式3-1】（2017秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中， 抛物线2444(0)y ax ax a a =++-≠的顶点为A ． （1） 求顶点A 的坐标；（2） 过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线2444(0)y ax ax a =++-≠交于B 、C 两点 ． ①当1a =时， 求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于 8 时， 直接写出a 的取值范围 ．考点4：二次函数图象上点的坐标特征【例题4】（2020•河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲：若5b =，则点P 的个数为0； 乙：若4b =，则点P 的个数为1； 丙：若3b =，则点P 的个数为1． 下列判断正确的是( )A ．乙错，丙对B ．甲和乙都错C ．乙对，丙错D ．甲错，丙对【变式4-1】（2020•周村区一模）如图，过函数2(0)y ax a =>图象上的点B ，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A ，C ．线段AC 与抛物线的交点为D ，则ADAC的值为 ．【变式4-2】（2020•温州）已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,2)-，(2,13)-． （1）求a ，b 的值．（2）若1(5,)y ，2(,)m y 是抛物线上不同的两点，且2112y y =-，求m 的值．考点5：二次函数图象与几何变换【例题5】（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线2(1)(1)y x m x m m =--+>沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式5-1】（2020秋•广陵区校级期中）把二次函数2y ax =的图象向左平移1个单位后经过点(0,2)，所得到的抛物线解析式是 ．考点6：二次函数的最值【例题6】（2020•泉州模拟）二次函数2y x px q =++，当01x 时，此函数最大值与最小值的差( ) A ．与p 、q 的值都有关 B ．与p 无关，但与q 有关C ．与p 、q 的值都无关D ．与p 有关，但与q 无关【变式6-1】（2020•碑林区校级模拟）如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，3AE CF ==，点G 、H 在正方形ABCD 的内部或边上，若四边形EGFH 是菱形，则菱形EGFH 的最大面积为 ．考点7：待定系数法求二次函数解析式【例题7】（2020•昌图县校级一模）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为( )A ．223y x x =-+B ．223y x x =--C ．223y x x =++D ．223y x x =+-【变式7-1】（2020•浙江自主招生）如图，平面直角坐标系中，点A 在y 轴的负半轴上，点B ，C 在x 轴上，8OA =，10AB AC ==，点D 在AB 上，CD 与y 轴交于点E ，且满足COE ADE S S ∆∆=，则过点B ，C ，E 的抛物线的函数解析式为 ．考点8：二次函数的三种形式【例题8】（2020秋•西林县期中）将二次函数2231y x x =+-化为2()y x h k =++的形式为( ) A ．23112()22y x =+-B ．23132()44y x =+-C ．23172()48y x =+-D ．23112()48y x =+-考点9：抛物线与x 轴的交点【例题9】（2020秋•丰南区期中）如图，一段抛物线：(3)(03)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ；⋯，如此进行下去，直至得13C ．若(32,)P m 在第11段抛物线11C 上，则m 值为( )A ．2B ．1.5C ．2-D ． 2.25-【变式9-1】（2020秋•思明区校级期中）老师给出了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分对应值如表：x⋯ 3- 2-0 1 3 5 ⋯ y⋯78-9-5-7⋯下列结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线2x =；③当24x -<<时，0y <；④3x =是方程250ax bx c +++=的一个根；⑤若1(A x ，5)，2(B x ，6)是抛物线上两点，则12x x <．其中正确的是 （只填写序号）．【变式9-2】（2020•温州二模）如图，抛物线234(0)y ax ax a =-+<与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y m =，交抛物线于D 、E 两点．（1）当25a =-时，求A ，B 两点的坐标；（2）当2m =，4DE =时，求抛物线的解析式；（3）当1a =-时，方程234ax ax m -+=在64x -<的范围内有实数解，请直接写出m 的取值范围： ．考点10：图象法求一元二次方程的近似根【例题10】（2018秋•平度市期末）如表给出了二次函数2210y x x =+-中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程22100x x +-=的一个近似解为( )x⋯ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 ⋯ y⋯1.39-0.76-0.11-0.561.25⋯A ．2.2B ．2.3C ．2.4D ．2.5【变式10-1】（2019秋•灌云县期末）已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则方程20ax bx c ++=的一个解的范围是 ．x6.17 6.18 6.19 6.20 y0.03-0.01-0.020.04【变式10-2】（2017秋•郯城县月考）已知二次函数222y x x =--+． （1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；x⋯ 4-3- 2-1-0 1 2 ⋯ y⋯⋯（2）结合函数图象，直接写出方程2220x x --+=的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．考点11：二次函数与不等式（组）【例题11】（2020秋•东城区校级期中）如图，直线12y x =和抛物线224y x x =-+，当12y y >时，x 的取值范围是( )A ．02x <<B ．0x <或2x >C ．0x <或4x >D ．04x <<【变式11-1】（2020秋•庆阳期中）已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y mx n m =+≠的图象相交于点(1,6)A -和(7,3)B ，如图所示，则使不等式2ax bx c mx n ++<+成立的x 的取值范围是 ．【变式11-2】（2020•拱墅区模拟）已知抛物线213(0)y ax bx a =+-≠经过点(2,3)--． （1）若点(1,)A m ，(3,)B n 为抛物线上的两点，比较m ，n 的大小． （2）当2x -时，12y -，求抛物线的解析式．（3）无论a 取何值，若一次函数22y a x m =+总经过1y 的顶点，求证：134m -．考点12：二次函数的应用【例题12】（2020秋•硚口区期中）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽增加(264)m-时，则水面应下降的高度是()A．2m B．1m C．6m D．(62)m-【变式12-1】（2020秋•莱州市期中）一座抛物线形的拱桥如图所示，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．。

第二十二章 二次函数1．二次函数的概念及解析式(1)概念：形如y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，且a≠0) 的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c表示成y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)；②交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ，x 1，x 2是常数，a≠0)(x 1，0)、(x 2，0)是函数与x 轴的交点坐标；③顶点式y ＝a(x ＋h)2＋k(a ，h ，k 是常数，a≠0)，其顶点坐标为 ． ④三种解析式之间的关系： 顶点式――→配方一般式――→因式分解交点式 ⑤解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a ，b ，c(或a ，h ，k 或a ，x 1，x 2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a ．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式． b ．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式．c ．已知抛物线与x 轴两个交点的坐标(或横坐标x 1，x 2)时，选用交点式． 2．二次函数的图象和性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，且a≠0)的图象是抛物线． (1)当a ＞0时，抛物线的开口向上；对称轴是直线x ＝－b2a ； 当x ＝－b2a 时，y 有最小值，为4ac －b 24a；在对称轴左边(即x ＜－b2a )时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右边(即x>－b2a )时，y 随x 的增大而增大；顶点(－b 2a ，4ac －b 24a)是抛物线上位置最低的点；(2)当a ＜0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线x ＝－b2a；当x ＝－b 2a 时，y 有最大值，为4ac －b 24a ，在对称轴左边(即x<－b2a)时，y随x的增大而增大．在对称轴右边(即x>－b2a)时，y随x的增大而减小；顶点(－b2a，4ac－b24a)是抛物线上位置最高的点．4．二次函数函数的变换(1)二次函数图象的平移：①二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数的平移．②平移规律：将抛物线y＝a(x－h)2＋k向左移m个单位得y＝a(x－h＋m)2＋k；向右平移m 个单位得y＝a(x－h－m)2＋k；向上平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k＋m；向下平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k－m．简记为“h：左加右减，k：上加下减”．(2)二次函数图象的对称：①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 的符号相反；②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．5．二次函数与一元二次方程之间的关系方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．(1)当b2＋4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根；(3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根．6．二次函数与一元二次不等式之间的关系“一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y＞0, y＜0或y≥0，y≤0”，一元二次不等式的解集从图象上看是指抛物线在x 轴上方或x 轴下方的部分对应x的取值范围【例题1】二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【例题2】已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x -<<时，0y >，正确的是 （填写序号）．【答案】①③④【解析】根据图象可得：0a <，0c >， 对称轴：12bx a=-=， 2b a ∴=-， 0a <Q ， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；把1x =-代入函数关系式2y ax bx c =++中得：y a b c =-+，由抛物线的对称轴是直线1x =，且过点(3,0)，可得当1x =-时，0y =， 0a b c ∴-+=，故②错误； 2b a =-Q ，(2)0a a c ∴--+=，即：30a c +=，故③正确； 由图形可以直接看出④正确． 故答案为：①③④．【例题3】某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：x （元） 15 20 30 … y （袋）252010…若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元 【答案】见解析。

2020年中考总复习：二次函数—知识讲解【考纲要求】1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等； 2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数．要点诠释：二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．(2)二次项系数a ≠0．考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象是一条抛物线，顶点为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 2.当a ＞0时，抛物线的开口向上；当a ＜0时，抛物线的开口向下．3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． ②c 的大小决定抛物线与y 轴的交点位置．c ＝0时，抛物线过原点；c ＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴；c ＜0时，抛物线与y 轴交于负半轴．③ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab ＝0时，对称轴为y 轴；当ab ＞0时，对称轴在y 轴左侧；当ab ＜0时，对称轴在y 轴的右侧．4.抛物线2()y a x h k =++的图象，可以由2y ax =的图象移动而得到．将2y ax =向上移动k 个单位得：2y ax k =+．将2y ax =向左移动h 个单位得：2()y a x h =+．将2y ax =先向上移动k(k ＞0)个单位，再向右移动h(h ＞0)个单位，即得函数2()y a x h k =-+的图象． 要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三、二次函数的解析式1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：12()()(0)y a x x x x m a =--+≠．若已知二次函数图象上两对称点(x 1，m)，(x 2，m)，则可设所求二次函数为12()()(0)y a x x x x m a =--+≠，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).2y ax bx c =++考点四、二次函数2y ax bx c =++(a ≠0) 的图象的位置与系数a 、b 、c 的关系1.开口方向：a ＞0时，开口向上，否则开口向下．2.对称轴：02b a ->时，对称轴在y 轴的右侧；当02b a-<时，对称轴在y 轴的左侧． 3.与x 轴交点：240b ac ->时，有两个交点；240b ac -=时，有一个交点；240b ac -<时，没有交点．要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ；当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.当a ＞0时，抛物线2y ax bx c =++有最低点，函数有最小值，当2bx a=-时，244ac b y a -=最小．2.当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++有最高点，函数有最大值，当2bx a=-时，244ac b y a -=最大．要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数2y ax bx c =++的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1．二次函数y=x 2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y 轴的右侧，则k 的值是 ． 【思路点拨】举一反三：【变式】已知24(3)k k y k x +-=+是二次函数，求k 的值．【答案】∵24(3)k k y k x+-=+是二次函数，则242,30k k k ⎧+-=⎨+≠⎩，由242k k +-=得260k k +-=，即(3)(2)0k k +-=，得13k =-，22k =．显然，当k ＝-3时， 原函数为y ＝0，不是二次函数． ∴ k ＝2即为所求．类型二、二次函数的图象及性质的应用2．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )．A ．2(1)3y x =---B ．2(1)3y x =-+-C ．2(1)3y x =--+ D ．2(1)3y x =-++【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x 2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式． 【答案】 D ；【解析】根据抛物线的平移规律可知：2y x =-向左平移1个单位可变成2(1)y x =-+，再向上平移3个单位后可变成2(1)3y x =-++．【总结升华】(1)2y ax =图象向左或向右平移|h|个单位，可得2()y a x h =-的图象(h ＜0时向左，h ＞0时向右)．(2)2y ax =的图象向上或向下平移|k|个单位，可得2y ax k =+的图象(k ＞0时向上，k ＜0时向下)．举一反三：【变式】将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是( )A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =+-【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得2(1)2y x =-+．故选A.类型三、求二次函数的解析式3．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为92，求这个二次【思路点拨】【答案与解析】解法一：由题意得0,2550,942,2a b c a b c a b c ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-+=⎩ 解得1,22,5.2a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩所以二次函数的解析式为215222y x x =--+． 解法二：由题意得 (1)(5)y a x x =-+．把2x =-92y =代入，得9(21)(25)2a --⨯-+=，解得12a =-． 所以二次函数的解析式为1(1)(5)2y x x =--+，即 215222y x x =--+．解法三：因为二次函数的图象与x 轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，对称轴是直线2x =-．所以，抛物线的顶点是92,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 可设函数解析式为29(2)2y a x =++．即215222y x x =--+． 【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．举一反三：【变式】已知：抛物线经过点． （1）求的值；（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考） 【答案】解：（1）依题意得：，．（2）当时，，抛物线的顶点坐标是．（3）解法1：当时，抛物线对称轴， 对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，且．2(1)y x b x c =+-+(12)P b --，b c +3b =3b >P PA y ⊥y A B 2BP PA =2(1)(1)(1)2b c b -+--+=-2b c ∴+=-3b =5c =-2225(1)6y x x x ∴=+-=+-∴(16)--，3b >112b x -=-<-∴P (12)P b --，2BP PA =(32)B b ∴--，． ．又，．抛物线所对应的二次函数关系式．解法2：当时，， 对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，，且 ．又，解得：这条抛物线对应的二次函数关系式是．解法3：，，轴，即：．解得：，即 由，．这条抛物线对应的二次函数关系式.类型四、二次函数图象的位置与a 、b 、c 的关系4．如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过A 点（3，0），对称轴为x=1，给出四个结论：①b 2-4ac ＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x=-1或x=3时，函数y 的值都等于0．把正确结论的序号填在横线上 ．122b -∴-=-5b ∴=2b c +=-7c ∴=-∴247y x x =+-3b >112b x -=-<-∴P (12)P b --，2(32)BP PA B b =∴--，，2(3)3(2)2b c b ∴---+=-2b c +=-57b c ==-，∴247y x x =+-2b c +=-2c b ∴=--2(1)2y x b x b ∴=+---BP x ∥2(1)22x b x b b ∴+---=-2(1)20x b x b +-+-=121(2)x x b =-=--，(2)B x b =--2BP PA =1(2)21b ∴-+-=⨯57b c ∴==-，∴247y x x =+-举一反三：【变式】如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为1x =-．给出四个结论：①24b ac >；②20a b +=；③0a b c -+=；④5a b <．其中正确结论是（ ）．A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a 、b 、c 的和、差、积的符号问题，其中利用直线1x =，1x =-交抛物线的位置来判断a b c ++，a b c -+的符号问题应注意理解和掌握．由图象开口向下，可知a ＜0，图象与x 轴有两个交点，所以240b ac =->△，24b ac >， ①正确．对称轴为12bx a=-=-，所以2b a =，又由a ＜0，b ＝2a ，可得5b ＜b ，④正确． 故选B.类型五、求二次函数的最值5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为)y 元．(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【思路点拨】（1）每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x 元时，每个月可卖出（210-10x ）件，每件商品的利润为x+50-40=10+x ； （2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x ）（10+x ），当每个月的利润恰为2200元时得到方程（210-10x ）（10+x ）=2200．求此方程中x 的值． 【答案与解析】(1)y ＝(210-l0x)(50+x-40)＝-10x 2+110x+2100(0<x ≤15且x 为整数)．(2)y ＝-10(x-5.5)2+2402.5．∵ a ＝-10＜0，∴ 当x ＝5.5时，y 有最大值2402.5． ∵ 0<x ≤15，且x 为整数，∴ 当x ＝5时，50+x ＝55，y ＝2400(元)；当x ＝6时，50+x ＝56，y ＝2400(元)．∴ 当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．(3)当y ＝2200时，-10x 2+110x+2100＝2200， 解得x 1＝1，x 2＝10．∴ 当x ＝1时，50+x ＝51；当x ＝10时，50+x ＝60．∴ 当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元． 【总结升华】做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程． 举一反三：【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高l 元，平均每天少销售3箱。

二次函数的图像和性质一、基础知识1、二次函数的三种形式:一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且 顶点式:)0()(2≠+−=a k h x a y ; 交点式:)0)()((21≠−−=a x x x x a y .2、一般地,抛物线k h x a y +−=2)(与2ax y =的形状相同,位置不同.把抛物线2axy =向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线k h x a y +−=2)(.平移的方向、距离要根据h ,k 的值来决定.抛物线k h x a y +−=2)(有如下特点:(1)当0>a 时,开口向上,函数有最小值k ;当0<a 时,开口向下,函数有最大值k ; (2)对称轴是h x =; (3)顶点是),(k h .3、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且的图像是抛物线.○1顶点是：)44,(2ab ac a b −−，对称轴是：a b x 2−=. ○2开口方向：0>a 时，开口向上；0<a 时，开口向下. ○3增减性：当0>a ，在a b x 2−<时，y 随x 的增大而减小，在abx 2−>时,y 随x 的增大而增大；即离函数图像对称轴越远的点函数值越大 当0<a 时，在a b x 2−<时，y 随x 的增大而增大，在ab x 2−>时,y 随x 的增大而减小. 即离函数图像对称轴越远的点函数值越小○4最值:当0>a 时，函数有最小值,且当a b x 2−=时，y 有最小值是ab ac 442−；0<a 时，函数有最大值,且当a b x 2−=时，y 有最大值是ab ac 442−.○5开口大小:a 越大抛物线的开口越小,反之越大.4、我们可以利用根的判别式来判断函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且与x 轴交点的个数(1)当042>−=∆ac b 时,抛物线与x 轴有两个交点; (2)当042=−=∆ac b 时,抛物线与x 轴有一个交点; (3)当042<−=∆ac b 时,抛物线与x 轴无交点. 5、抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且与y 轴的交点是),0(c .6、函数图像与a 、b 、c 的关系（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2−=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.口诀---左同，右异 （a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧）（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab.补充知识点、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x −+− （这实际上是根据勾股定理得出来的）2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为， ，中点的坐标为．由，得，同理，所以的中点坐标为．3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2，那么k 1=k 2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。

第12讲二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.二次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-. x=2ba-，y最大＝244ac ba-.xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O物线y=x2+2x+7的最小值为7 .3.系数a、b、c a决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：①a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.③2a+b的符号，需判断对称轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.a、b决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识点三：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＜0，无实根例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.6.二次函抛物线y= a x2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下数与不等式方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx ＋c＜0的解集.知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.①据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；③根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.二、典例讲解内参P44------3、4、6、7、10、11、12、14、16 P46-----19、20、4、5、7、8、9、13三、课后反思：。