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系统开环频率特性的绘制

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实验三 系统频率特性曲线的绘制及系统分析

实验三 系统频率特性曲线的绘制及系统分析

《自动控制原理》实践报告实验三系统频率特性曲线的绘制及系统分析熟悉利用计算机绘制系统伯德图、乃奎斯特曲线的方法，并利用所绘制图形分析系统性能。

一、实验目的1．熟练掌握使用MATLAB软件绘制Bode图及Nyquist曲线的方法；2．进一步加深对Bode图及Nyquist曲线的了解；3．利用所绘制Bode图及Nyquist曲线分析系统性能。

二、主要实验设备及仪器实验设备：每人一台计算机奔腾系列以上计算机，配置硬盘≥2G，内存≥64M。

实验软件：WINDOWS操作系统（WINDOWS XP 或WINDOWS 2000），并安装MATLAB 语言编程环境。

三、实验内容已知系统开环传递函数分别为如下形式， （1）)2)(5(50)(++=s s s G （2）)15)(5(250)(++=s s s s G（3）210()(21)s G s s s s +=++ （4）)12.0)(12(8)(++=s s s s G （5）23221()0.21s s G s s s s ++=+++ （6）)]105.0)125.0)[(12()15.0(4)(2++++=s s s s s s G 1．绘制其Nyquist 曲线和Bode 图，记录或拷贝所绘制系统的各种图形； 1、 程序代码： num=[50];den=conv([1 5],[1 2]); bode(num,den)num=[50];den=conv([1 5],[1 2]); nyquist(num,den)-80-60-40-20020M a g n i t u d e (d B)10-210-110101102103-180-135-90-450P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)-1012345-4-3-2-11234Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s2、 程序代码： num=[250];den=conv(conv([1 0],[1 5]),[1 15]); bode(num,den)num=[250];den=conv(conv([1 0],[1 5]),[1 15]);-150-100-5050M a g n i t u d e (d B )10-110101102103-270-225-180-135-90P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)nyquist(num,den)3、 程序代码： num=[1 10];den=conv([1 0],[2 1 1]); bode(num,den)-150-100-50050100M a g n i t u d e (d B)10-210-110101102103-270-225-180-135-90P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-15-10-551015System: sys Real: -0.132Imag: -0.0124Frequency (rad/sec): -10.3Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i snum=[1 10];den=conv([1 0],[2 1 1]); nyquist(num,den)-25-20-15-10-5-200-150-100-5050100150200Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s-100-5050100M a g n i t u d e (d B )10-210-110101102-270-225-180-135-90P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)4、 程序代码： num=[8];den=conv(conv([1 0],[2 1]),[0.2 1]); bode(num,den)-18-16-14-12-10-8-6-4-20-250-200-150-100-50050100150200250Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i snum=[8];den=conv(conv([1 0],[2 1]),[0.2 1]); nyquist(num,den)5、 程序代码： num=[1 2 1]; den=[1 0.2 1 1]; bode(num,den)num=[1 2 1];den=[1 0.2 1 1]; nyquist(num,den)-40-30-20-10010M a g n i t u d e (d B )10-210-110101102-360-270-180-90P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.5-3-2-1123Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s-100-5050100M a g n i t u d e (d B )10-210-110101102-270-225-180-135-90P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)6、 num=[2 4];den=conv(conv([1 0],[2 1]),[0.015625 0.05 1]); bode(num,den)num=[2 4];den=conv(conv([1 0],[2 1]),[0.015625 0.05 1]); nyquist(num,den)2．利用所绘制出的Nyquist 曲线及Bode 图对系统的性能进行分析：（1）利用以上任意一种方法绘制的图形判断系统的稳定性； 由Nyquist 曲线判断系统的稳定性，Z=P-2N 。

自动控制理论_19开环对数频率特性曲线的绘制

自动控制理论_19开环对数频率特性曲线的绘制

穿越法判断包围圈数 设 N 为开环幅相频率特性曲线穿越（－ 1 ， j0 ） 点左侧负实轴的次数， N ＋表示正穿越的次数（从 上往下穿越）， N －表示负穿越的次数（从下往上 穿越），则
R 2N 2( N N )
5.2 例 系统开环传递函数为 G ( s) H ( s) 2 ( s 2)(s 2s 5)
圈时，F(s)总的相角增量为
n i 1
F ( s) ( s zi ) ( s pi )
i 1
n
( s z1 ) ( s z2 ) ( s zn ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
s
s zi
B
A
F ( s)
F
F
z 1 p1 z 2
z i 1
j
s
s zi
zi
s
j
B
A
F ( s)
F
F
z 1 p1 z 2
z i 1
S 平面上的闭合曲线 Γs 内部仅有 1 个 F(s) 的零点， F (s) 的其 它零极点如图所示。当闭合曲线Γs上任一点S沿顺时针方向转动一
第五章
频率域方法
5.3
开环对数频率特性曲线的绘制
根据叠加原理，绘出各环节的对数幅频特性 分量，再将各分量的纵坐标相加，就得到整个系 统的开环对数幅频特性；将各环节的相频特性分 量相加，就成为系统的开环对数相频特性。
例
10(0.5s 1) G( s) s ( s 1)(0.05s 1)
1 180 ，即A() 1 （－1，j0）点表示成幅角形式是 ( ) 180 而A(ω)＝1对应于对数幅频坐标图上L(ω)＝0 的水平线； () 180则对应于对数相频坐标图上－ 180°的水平线。因此可以进行坐标系转换。

某系统开环传递函数为 ,绘制开环对数幅频特性曲线

某系统开环传递函数为 ,绘制开环对数幅频特性曲线

绘制开环对数幅频特性曲线
在控制系统的分析与设计中，开环传递函数是一个重要的概念。

开环传递函数可以反映系统的频率响应特性，为系统的调节与控制提供重要的依据。

本文将以某系统的开环传递函数为例，介绍如何绘制开环对数幅频特性曲线。

开环传递函数是指系统的输出与输入之间的函数关系。

在频率域中，它可以表示为H(jω)，其中ω 是角频率。

对数幅频特性曲线是将开环传递函数的幅值以对数形式绘制的曲线，表示系统在不同频率下的幅值响应。

绘制对数幅频特性曲线的步骤如下：
计算开环传递函数的幅值：H(jω) = |H(jω)|
设定横坐标的范围和刻度，并按照要求选择合适的频率单位。

将开环传递函数的幅值用对数形式表示，即y = log |H(jω)|。

绘制曲线，并观察系统在不同频率下的幅值响应。

绘制完成后，我们就可以通过观察对数幅频特性曲线来了解系统的频率响应特性。

例如，当频率单位为赫兹时，如果对数幅频特性曲线呈现出典型的高通特性，即随着频率的增大，幅值也随之增大，那么这意味着系统在高频时更加灵敏。

如果对数幅频特性曲线呈现出典
型的低通特性，即随着频率的增大，幅值减小，那么这意味着系统在低频时更加稳定。

绘制开环对数幅频特性曲线是了解系统频率响应特性的重要方法。

通过观察对数幅频特性曲线，我们可以了解系统在不同频率下的幅值响应，为系统的调节与控制提供重要的依据。

03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法

03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法
i=1 n-ι Sv∏(TjS+1) j=1
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；

开环伯德图的绘制

开环伯德图的绘制
20dB / dec 40 20 40dB / dec 20dB / dec 40dB / dec
( ) 90 arctan

2
arctan arctan

10
arctan

20
L() 0 A(c ) 1
c ?
?
g ?
h?
G( j )
1
2
10
100

1 1 G( j ) 100 (0.5 j 1) j ( j 1)
一个比例环节、积分环节、一阶惯性环节 和一阶微分环节构成
转角频率分别为 1
1 2 2 T2
1 1 T1
3
开环伯德图的绘制
L( ) 20dB / dec
40 20 40dB / dec 20dB / dec
G( s)
50( s 2) s( s 1)
50( j 2) G( j ) j ( j 1)
( ) ( j 2) j ( j 1) arctg 90 arctg
2
1
2 2
10 10
100 100
0.1
Байду номын сангаас1 2
( )
-90
10
100
1
( )
-92.8 -108.4 -108.4 -95.6 -90.5

4
-120
开环伯德图（习题一）
系统对数幅频特性如图所示，确定传递函数
L( ) 20dB / dec
0
20 20dB / dec
1. 确定每一个环节的转角频率30 2. 找到对应的典型环节 3. 确定变量的值

5-2(2) 开环系统的频率特性

5-2(2) 开环系统的频率特性

分子分母同乘以 1
•
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1] 2型系统， 2
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 (an2 1 2 1)
1
2
1
3
2
所以，开环频率特性为：
G ( j ) A( ) e j ( ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j )
A1 ( ) A2 ( ) A3 ( ) e j ( ) ( ) ( )
1 2 3
开环幅频特性 开环相频特性
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 典型环节与开环系统的 频率特性
5-2-2 开环系统频率特性的绘制
项目 内 容
教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。
掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对
教 学 重 点 标图的绘制。
控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐
教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。
i 1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
K 例题2：设系统的开环传递函数 G( s) H ( s) sT1 s 1T2 s 1
（T1 ＞T2 ＞ 0，K ＞ 0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解： 因为系统的开环频率特性为：G( j ) 1）对数幅频特性
K j ( jT1 1)( jT2 1)
0
lim G ( j ) K0

lim G ( j ) 0 180
曲线与坐标轴的交点
可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在 交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）

自动控制_05c开环频率特性曲线的绘制

自动控制_05c开环频率特性曲线的绘制

K (1 T1T2 2 ) Q( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
而 A( ) K
1
1 T
2 1
2

1 1 T
2 2 2
( ) 90 arctanT1 arctanT2 ,
当ω＝0时 P(0) K (T1 T2 ),Q() , A(0) , (0) 90 表 明低频率段的渐近线是一条过实轴－K(T1+T2)点且平行于 虚轴的直线。 当ω→∞时 P() 0, Q() 0, A() 0, () 90 90 90 270 可见，此时高频段是以－270°作为极限角而卷入坐标原点 的。
设系统开环传递函数 G ( s ) 中含有V个积分环节，其相应 的频率特性为 m1 m2 2 2 ( 1 j ) [ ( j ) 2 k k ( j ) 1] i k K i 1 k 1 G ( j ) n1 n2 v ( j ) (1 jT j ) [Tl 2 ( j ) 2 2 lTl ( j ) 1]
图5-26 例5-2系统的幅相频率特性
在绘制系统的开环极坐标时，应注意曲线所具 有的一些特征。例如：当ω→0时低频段曲线从何 处出发？而当 ω→∞时的高频段特性曲线以什么姿 态卷向原点？曲线在ω值为多大时跨越实轴或虚轴？ 跨越点的坐标值如何？等等。后两个问题我们已经 作过说明，下面讨论前两个问题。
K (1 jT1 )(1 jT2 ) G ( j ) (1 jT1 )(1 jT2 )(1 jT1 )(1 jT2 )
K [(1 T1T2 2 ) j (T1 T2 ) ] 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) K (1 T1T2 2 ) K (T1 T2 ) j 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )

开环系统的频率特性绘制伯德图

开环系统的频率特性绘制伯德图

1
s(1 s)(1 5s)
G(s)
10
s(1 s)(1 5s)
[具有积分环节的系统的频率特性的特点]：
m
频率特性可表示为：G(
j )
(
1
j )
i 1 n
(1 i s)
(1 Tj s)
j 1
m
其相角为： ( ) tg 1i
i 1
2
n j 1
tg 1Tj
当
0 时，(0)
,G(0)
比较开环系统极坐标方法，用伯德图表示的频率特性有如下优点： （1）把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。
（2）在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从 而大大简化了图形的绘制。
（3）在采用实验方法时，可将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对 数坐标纸上。
开环系统频率特性为：
j )
K
1 1
jT2 jT1
两个系统的幅频特性完全相同。而它们的相频特性则有很大的区
别。由系统a、b的相频表达式：
a ( ) tan 1 T2 tan 1 T1 b ( ) tan 1 T2 tan 1 T1
40 35 30 25 20
0
a
-90
b
180
10-1
100
101
(K=100,T1=1,T2=0.1)
且有： (0)
2
, ()
(n
m)
2
。n
n1
2n2 ,
m
m1
2m2
由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方 法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
[例]：开环系统传递函数为：G(s) 画出该系统的波德图。

5.3开环系统频率特性的绘制详解

5.3开环系统频率特性的绘制详解
2 2 i 1 k 1 m1 m2
20 lg 20 lg 1 Tp 2 20 lg (1 Tl 2 ) 2 (2 lTl ) 2
2 2 p 1 l 1
n1
n2
2 k k 相频特性： ( ) tg i tg 2 2 1 k i 1 k 1

0.2 3.85 -5.77
1 5
0
5 6
0.8 -0.79 -1.72

0 0
( ) tg 1 tg 15 相角：
0 ( ) 0

0.2 -56.31

1 5
0.8
-114.62

-180
-90
用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。
Thursday, October 11, 2018
1 1 1 4, 2 2,20lg k 20dB 则， T1 T2
2、低频渐进线：斜率为 20 0dB，过点（1，20）
3、波德图如下：
A( )
20
40
4 60
1
2
10
lg
Thursday, October 11, 2018
16
40 60
2
4
3
k (1 jT1 )(1 jT2 ) 试列出实频和虚频特性的表达式。当 k 1, T1 1, T2 5 绘制奈氏 G( j ) [例5-1]设开环系统的频率特性为：
图。
k (1 jT1 )(1 jT2 ) k (1 T1T2 2 ) 解：G( j ) 2 2 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T1 2 )(1 T2 2 ) k (T1 T2 ) j P( ) jQ( ) 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 )

bode图 nyquist图

bode图 nyquist图

系统开环Bode图的绘制

单回路开环系统Bode图的绘制步骤
确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上； 计算20lgK，在ω＝1 rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的点， 过该点作斜率等于 -20v dB/dec的直线，向左延长此线至所 有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次 渐近线斜率； 对惯性环节，- 20dB/dec 振荡环节， - 40dB/dec 一阶微分环节，+20dB/dec 二阶微分环节，+40dB/dec 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。
延迟环节 是不是 最小相位环节 ？
系统开环Bode图的绘制

Bode图的绘制举例
系统开环Bode图的绘制

单回路开环系统Bode图的绘制
系统开环Nyquist图的绘制

概述
K ( n s 1) ( k s 2 k k s 1)
2 2


G( s) s
v
n 1
k 1
2 2 i 1 j 1


系统开环Nyquist图的绘制

概述
G( s ) G1 ( s )G2 ( s )...Gn ( s )
G( j ) A1 ( )e
j1 ( )
A2 ( )e
j 2 ( )
.. An ( )e
j n ( )
A( ) A1 ( ) A2 ( )... An ( )
系统开环Bode图的绘制

最小相位环节的频率特性
（1）定义
凡在右半S 平面上有开环零点或极点的系 统，称为非最小相位系统。 “最小相位” 是指，具有相同幅频特性的 一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称 为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最 小可能值的环节称为非最小相位环节；后者常 在传递函数中包含右半S平面的零点或极点。

试绘制系统开环频率特性的Bode图

试绘制系统开环频率特性的Bode图
L( c ) 0 或 A( c ) 1
时的频率 c 称为穿越频率。穿越频率 c 是开环对数相 频特性的一个很重要的参量。
–绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量
的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可
以得到系统的开环对数相频特性。
二、系统类型与开环对数频率特性
不同类型的系统，低频段的对数幅频特性显著不同 。 1、0型系统
当ω＝1时，L(1)=20logK(dB)。由此可绘出过ω＝1，L(1)=20logK(dB) 点的斜率为－20νdB的一条直线，即为低频渐近线。 3、以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频端开始沿频率增大的方向， 每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率 当遇到 ωi 时，斜率的变化量为＋20dB/dec； 当遇到 ω k 时，斜率的变化量为＋40dB/dec； 当遇到 ω j 时，斜率的变化量为－20dB/dec； 当遇到 ωl 时，斜率的变化量为－40dB/dec； 4、高频渐近线，其斜率为 20(n m)dB / dec n为极点数，m为零点数
例1：设系统的开环传递函数为 相频特性。
G K (s)
10 ，试绘出系统的对数幅频特性和对数 (1 s )(1 0.1s )
解：1、K＝10，ν ＝0，交接频率ω 1＝1，
2、低频渐近线的斜率为－20νdB/dec=0dB/dec。
。 ω2
1 10 0.1
当ω＝1时，L(ω)=20logK＝20dB。即低频渐近线的斜率为0，且过点(1，20)。
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制及对数 稳定判据
一、Bode图的绘制
例5-1 一系统开环传递函数为
GK (s)
求得频率特性为
K s (1 T1s )(1 T2 s )

第四章 频域分析(第三节)1

第四章 频域分析(第三节)1
v
G (s) =
jt m w )
? ( j w ) (1 + jT1 w )(1 + jT 2 w ) 鬃 (1 + jT n - v w )
(n
m)
其分母阶次为n-m，分子阶次为m，v=0，1，2…， 乃奎斯特图具有以下特点： (1) 当ω=0时，乃奎斯特图的起点取决于系统的型次：
0型系统(v=0) 起始于正实轴上某一有限点；
由系统的频率特性
G ( jw ) = = K j w (1 + jT w ) - KT 1+ T w
2 2
= - K
K j w (1 - jT w )
( j w ) (1 + jT w )(1 - jT w )
w (1 + T w
2 2
2
+ j
)
- KT
则系统的实频特性为
U (w ) = R e 轾 ( jw ) = G 2 2 臌 1+ T w
ω=0

Im
K (T1T2 ) T1 T2
3 2
[G ( j )]
O ω=∞
Re
例 4-6 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G (s) =
K (1 + T1 s ) s (1 + T 2 s )
(T1＞ T 2 ) , 试 绘 制 其 N y q u i s t 图 。
解 系统是由一个比例环节﹑一个积分环节﹑ 一个一阶微分环节和一个惯性环节串联组成， 其频率特性为 K (1 + jT1 w ) G ( jw ) = ( j w )(1 + jT 2 w ) = K (T1 - T 2 )
(1 + T 2 w

5-2频率特性曲线的绘制

5-2频率特性曲线的绘制

由图可见无论是欠 阻尼还是过阻尼系 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。
-2
0.2
04:54 16
（2）Bode图（对数频率特性）：
幅频特性为：
A( )
1 (1 T 2 2 )2 (2T )2
相频特性为：
( ) tg 1
04:54
1 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T
17
1 相频特性： ( ) tg
2 T 1 T 2 2
1 , ( ) ; , ( ) 。 T 2
几个特征点： 0, ( ) 0;
下图是当T=1时的图
G ( j ) jT 1
j 0
（1）Nyquist图（幅相频率特性）：
ω
1
A( ) 1 T 2 2 , ( ) tg 1T
（2）Bode图（对数频率特性）：
L( ) 20lg 1 T 2 2
对数幅频特性（用渐近线近似）：
L( ) 0 20lg A( ) 0 L( ) 20lg A( ) 20lgT
20
16 12

0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 .0
10
8 4 0 -4 -8
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T
0
渐近线

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-10
0 .7 0 .8 1 .0
04:54
低频段渐进线 高频段渐进线
12
这是斜率为+20dB/Dec的直线。

4.4.2 开环频率和奈奎斯特图

4.4.2 开环频率和奈奎斯特图

3. 如果Nyquist图经过(-1,j0)，则系统临界稳定。
4. 如果Nyquist图的的变化范围为0到＋∞， 那么Z＝P－2N
推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不稳定。
(N = P － Z , 若N<0，P不会为负值，则必有Z ≥1)
k 例4-6 已知开环传递函数 G0 ( j ) ( T1 j 1 )( T2 j 1 ) 判断系统稳定性
C'
s 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋转 的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。图 4-9（a）、（b）分别表 示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆 弧在GH平面上的映射。

( 2)
j
S
R
0 I m
GH
k , k 100 例4-7 G0 ( j ) ( j 1)(0.5 j 1)(0.2 j 1)
画Nyquist图：
1
0
G0 ( j 0 ) 10000 G ( j ) 0 2700
2

0 单调变化
与实轴有交点，为－7.9
(分母有理化，按虚实部讨论)
j S 平面 j
2 1 - j D形围线 3
s
半径无限大
j j
S平面
Im G 平面 0

j
-1
Re
N= -2
Im G 平面 0
N= 0 • 注意域的映射关系
-1
Re
Nyquist稳定判据(在G0 (s)平面上) : 必须使得Z=0(Z为不稳定闭环特征根的个数)。 1. 若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist图不包 围(-1,j0)点。 （N = P － Z = 0－0 ＝ 0) 2. 闭环系统稳定的充要条件是 N = P ( N = P － Z = P 所以 Z = 0 )

频率响应分析法(2)典型环节的频率特性与伯德图的绘制

频率响应分析法(2)典型环节的频率特性与伯德图的绘制

传递函数
积分环节
频率特性 幅频特性 对数幅频特性
理想微分环节
2. 典型环节的频率特性
（2）惯性2环.热节模和型一阶微分环节
惯性环节
一阶微分环节
传递函数
惯性环节的频率特性
倒数关系
幅频特性
相频特性
2. 典型环节的频率特性
（2）惯2性.热环模节型和一阶微分环节
惯性环节的极坐标图
一阶微分环节
2. 典型环节的频率特性
（2）惯性2.热环节模和型一阶微分环节
惯性环节
传递函数 频率特性
幅频特性
对数幅频特性
一阶微分环节
2. 典型环节的频率特性
（3）振荡2.环热节模和型二阶微分环节
振荡环节
传递函数
二阶微分环节
振荡环节的频率特性
对数幅频
L() 20lg
(1
2 n2
)2

(2
n
)2
转折频率
倒数关系
相频特性
实际的对数幅频和相频曲线
2. 典型环节的频率特性
（3）振荡2.环热节模和型二阶微分环节
振荡环节的对数相频曲线
极坐标图
振荡环节的相频曲线图 振荡环节的极坐标图
2. 典型环节的频率特性
（3）振荡2.环热节模和型二阶微分环节
二阶微分环节，与积分和微分环节，一阶微分和惯性环节相类似，二阶微分环节的 频率特性是振荡的逆频率特性
最小相位的典型环节有那些?（第二章） 比例环节、积分环节、惯性环节、振荡环节、理想微分环节、 一/二阶微分环节，
非最小相位：时滞环节
2. 典型环节的频率特性
（1）比2例.热环模节型
a）传递函数 b）频率特性 幅频特性
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5.3 系统开环频率特性的绘制对自动控制系统进行频域分析时，通常是根据开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性和估算闭环系统时域响应的各项性能指标，或者根据开环系统的频率特性绘制闭环系统的频率特性，然后再分析及估算时域性能指标。

因此，掌握开环系统的频率特性曲线的绘制和特点是十分重要的。

5.3.1 开环幅相曲线的绘制开环系统的幅相频率特性曲线简称为开环幅相曲线。

准确的开环幅相曲线可以根据系统的开环幅频特性和相频特性的表达式，用解析计算法绘制。

显然，这种方法比较麻烦。

在一般情况下，只需要绘制概略开环幅相曲线，概略开环幅相曲线的绘制方法比较简单，但是概略曲线应保持准确曲线的重要特征，并且在要研究的点附近有足够的准确性。

下面首先介绍幅相频率特性曲线的一般规律与特点，然后举例说明概略绘制开环幅相曲线的方法。

设系统开环传递函数的一般形式为)1()1()()(11++=∏∏-==s T s s K s H s G j vn j v mi i τ )(m n ≥ （5-49）式中，K 为开环增益；v 为系统中积分环节的个数。

则系统的开环频率特性为)1()()1()()(11∏∏-==++=v n j jvmi i Tj j j K j H j G ωωωτωω （5-50）1．开环幅相曲线的起点在低频段当0→ω时，由式（5-50）可得 )90(0lim)(lim)()(lim ︒⋅-→→→==v j vve Kj K j H j G ωωωωωωω （5-51）由式（5-51）可知，当0→ω时，开环幅相曲线的起点取决于开环传递函数中积分环节的个数v 和开环增益K ，参见图5-23（a ）。

0型（v =0）系统，开环幅相曲线起始于实轴上的)0,(j K 点。

Ⅰ型（v =1）系统，开环幅相曲线起始于相角为︒-90的无穷远处。

当+→0ω时，曲线渐近于与虚轴的平行的直线，其横坐标[])()(Re lim 0ωωωj H j G V x +→= (5-52)Ⅱ型（v =2）系统，开环幅相曲线起始于相角为︒-180的无穷远处。

当+→0ω时，曲线渐近于负实轴。

2．开环幅相曲线的终点在高频段∞→ω时，由于系统一般有m n ≥，故开环幅相曲线总是以顺时针方向趋于∞=ω点。

由式（5-50）可得︒--∞→=90)(0)()(lim m n j ej H j G ωωω （5-53）即开环幅相曲线以︒⨯--90)(m n 方向终止于坐标原点，如图5-23（b ）所示。

3. 开环幅相曲线与实轴的交点开环幅相曲线与实轴的交点频率x ω可由下式求出，即令式（5-50）的虚部为零 []0)()(Im =ωωj H j G （5-54） 将求出的交点频率x ω代入式（5-50）的实部，即[])()(Re x x j H j G ωω （5-55） 由式（5-55）可计算出开环幅相曲线与实轴的交点坐标值。

4. 开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）在式（5-50）中，如果),,2,1(0m i i Λ==τ，即不存在一阶微分环节时，则当ω从∞→0变化过程中，开环幅相曲线的相角将单调减小，曲线平滑地变化；若式（5-50）中有一阶微分环节，则视这些环节时间常数的数值大小不同，开环幅相曲线的相角可能不是以同一方向单调地变化，这时曲线上将会出现凹凸现象。

下面举例说明概略开环幅相曲线的绘制。

图5-23 不同类型系统的幅相频率特性例5.1已知某单位反馈系统，其开环传递函数为 )1)(1()(21++=s T s T s Ks G ,试绘制概略开环幅相曲线。

解 系统的开环频率特性 )1)(1()(21++=T j T j j Kj G ωωωω422212222122121)(1)1)(()(ωωωωT T T T T T Kj T T K +++--+-=①曲线的起点：该系统是Ⅰ型系统，由式（5-51）可知，系统的幅相曲线起始于相角为︒-90的无穷远处。

②曲线的终点：该系统的3=n 、0=m ，由式（5-53）可知，系统的幅相曲线以︒-=︒--27090)03(方向终止于坐标原点。

③曲线的变化范围：该系统不存在一阶微分环节，因此，系统幅相曲线的相角将由︒-90单调减小到︒-270，曲线平滑地变化。

④低频渐近线：低频渐近线坐标为 [])(Re lim 0ωωj G V x +→=4222122221210)(1)(lim ωωωT T T T T T K ++++-=+→)(21T T K +-=⑤曲线与实轴的交点：令[]0)(Im =ωj G ，可求出开环幅相曲线与实轴交点处的频率为211T T x =ω将频率x ω代入[])(Re ωj G ，可得出开环幅相曲线与实轴交点的坐标为[]2121)(Re T T T KT j G x +-=ω系统概略开环幅相曲线如图5-24所示。

例5.2 已知系统的开环传递函数为 )1()1()()(122++=s T s s T K s H s G ，试绘制概略开环幅相曲线。

解 系统的开环频率特性图5-24 例5.1开环幅相曲线)1()1()()(122+-+=T j T j K j H j G ωωωωω)arctan 180(arctan 21222121)(1)(ωωωωωT T j e T T K -︒-++=该系统是Ⅱ型（v =2）系统。

开环幅相曲线的起点：∞=+)0(A ，︒-=+180)0(ϕ 开环幅相曲线的终点：0)(=∞A ，︒-=∞180)(ϕ系统的开环幅相曲线的形状视时间常数1T 和2T 的数值大小不同而不同，下面讨论两种典型情况。

①12T T >：由于12T T >，因此∞<<+ω0时，12arctan arctan T T ωω>，开环幅相曲线位于第三象限，见图5-25（a ）所示。

②12T T <：由于12T T <，因此∞<<+ω0时，12arctan arctan T T ωω<，开环幅相曲线位于第二象限，见图5-25（b ）所示。

5.3.2 开环对数频率特性曲线的绘制开环系统的对数频率特性曲线简称为开环对数频率特性曲线。

根据典型环节的对数频率特性曲线，能够方便地绘制出开环对数频率特性曲线。

设系统的开环传递函数由n 个典型环节串联组成，即 ∏===ni in s G s G s G s G s H s G 121)()()()()()(Λ系统的开环频率特性为图5-25 例5.2的开环幅相曲线)()(11)()()()()(1ωϕωϕωωωωωj jn i in i ie A eA j G j H j G ni i =∑===∏∏==故系统的开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为∑===ni iA A L 1)(lg 20)(lg 20)(ωωω （5-56）∑==ni i 1)()(ωϕωϕ （5-57）由式（5-56）和（5-57）表明，若系统开环传递函数由n 个典型环节串联组成，其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线可由各典型环节的对数频率特性曲线叠加而得。

例 5.3 已知单位反馈系统的开环传递函数 )1()(+=Ts s Ks G ，试绘制系统的开环对数频率特性曲线。

解 系统的开环传递函数是由三个典型环节的组成：比例环节K 、积分环节s1和惯性环节11+Ts 。

分别做出各典型环节对数频率特性曲线，如图5-26所示。

图5-26中1L 、2L 、3L 分别为比例环节、积分环节和惯性环节的对数幅频特性曲线；1ϕ、2ϕ、3ϕ分别为比例环节、积分环节和惯性环节的对数相频特性曲线。

将各典型环节的对数幅频特性曲线叠加，即得系统开环对数幅频特性曲线，见图5-26中的)(ωL 。

在交接频率附近加以修正可得到精确曲线。

将各典型环节的对数相频特性曲线叠加，即得系统开环对数相频特性曲线，见图5-26中的)(ωϕ。

鉴于系统开环对数幅频近似特性曲线在控制系统的分析与设计中具有十分重要的作用，以下着重介绍开环对数幅频近似特性曲线的绘制方法。

图5-26 例5.3伯德图分析图5-26中系统的对数幅频近似特性曲线，可以看出开环对数幅频特性曲线有如下特点： （1） 低频段的斜率为v 20-dB/dec ，其中v 为开环系统中所包含的串联积分环节的个数。

（2） 在1=ω时，低频段或其延长线（当1<ω的频率范围内有交接频率时）的分贝值是K lg 20，如图5-27所示。

低频段或其延长线与零分贝线的交点频率为v K =0ω。

（3）在典型环节的交接频率处，对数幅频近似特性曲线的斜率要发生变化，变化的情况取决于典型环节的类型。

若遇到1)1()(±+=Ts s G 的环节，在交接频率处斜率改变20±dB/dec ；当遇到122)12()(±++=Ts s T s G ζ的环节时，在交接频率处斜率改变40± dB/dec 。

了解了以上特点，可以根据开环传递函数直接绘制近似对数幅频特性曲线。

绘制对数幅频特性曲线的步骤归纳如下：（1）将系统的开环传递函数化成典型环节串联组成的标准形式； （2）根据系统的开环增益K ，计算K lg 20的分贝值；（3）在1=ω处，标出K L lg 20)1(=点，过（K lg 20，1）点绘制斜率为v 20-dB/dec 的低频段；（4）根据交接频率绘制出相应的线段：（5）若有必要，可以利用误差修正曲线，对交接频率附近的曲线进行修正，则可以得到精确的特性曲线。

例5.4 已知某系统的开环传递函数为)252)(15()1(50)()(2++++=s s s s s s H s G ，试绘制其开环对数幅频特性曲线。

解 此系统是由一个比例环节、一个一阶微分环节、一个积分环节、一个惯性环节、一个振荡环节组成。

①先将开环传递函数为)()(s H s G 化成典型环节串联组成的标准形式，即图5-271=ω时，近似对数幅频特性曲线低频段或其延长线的纵坐标为K lg 20)152.025)(15()1(2)()(22+⨯+++=s s s s s s H s G②由2=K ，可得02.6lg 20=K dB 。

③在图中1=ω处标出02.6)1(=L dB ，过（6.02，1）点画一条斜率为20-dB/dec 的直线，它就是低频段的渐近线。

④在横坐标上标出各典型环节的交接频率，即惯性环节的交接频率2.01=ω，一阶微分环节的交接频率12=ω，振荡环节的交接频率53=ω。

在各交接频率处依次改变斜率，直接绘制开环对数幅频特性曲线的渐近线。

在2.0=ω处，曲线斜率由20-dB/dec 变为40-dB/dec ；在1=ω处，曲线斜率由40-dB/dec 变为20-dB/dec ；在5=ω处，曲线斜率由20-dB/dec 变为60-dB/dec 。