AOBCDE24.1.2 垂直于弦的直径
课题 垂直于弦的直径（第一课时） 备课时间 2009-8-4
课型 新授课 上课时间
教
学
目
标 知识与技能 1. 研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.
2. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
过程与方法 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点 垂径定理及其推论的运用。
教具 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教
学
过
程 问题与情境 师生行为 备注与修改
创设情境导入新课 1. 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2. 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3. 一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？ 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知 1. 圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2. 垂径定理
（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
① 这个图形是对称图形吗
② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。
学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并
ODCOABDCOABPAOBCD24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）
一、知识探究
1、圆既是 图形，又是 图形。对称轴是
，对称中心是 。
2、按要求作图
（1）作⊙O的任意一条弦AB；
（2）过圆心O，作垂直于弦AB的直径CD，交AB于点E。
观察并回答：
问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：
问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧：
证明过程：已知：CD是⊙O的直径，且CD⊥AB。 求证：AE=BE
结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。
几何语言的写法：∵
∴
强调：（1） ；（2） ；（3）
（4） ；（5）
二、例题解析
例1：在⊙O中，弦AB长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O半径为
例2：⊙O的半径为5，M是⊙O内一点，OM=3，则过M点的最短弦的长为
例3：如图：已知线段AB交⊙O于C、D两点，若AC=BD，求证：OA=OB。
三、课堂练习：
1 永宁中学九年级数学（上）导学案
备课组长： 教研组长： 教科室：
课题 垂径定理 第 1 课时 共3 课时 设计人 唐伟文
学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：
探究垂径定理及推论 、
学习过程：
一、知识点回顾（知识准备）：
圆的对称性：
二、探究新知：
如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。沿CD对折纸片，发现：
① 这个图形是对称图形吗
② 图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③ 你能用一句话概括这些结论吗
垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)
④ 你能用符号语言表达这个结论吗
符号语言：
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E
∴_____________，__________________，________________
⑤ 由对折以上纸片我们还进一步发现：
平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)
符号语言：
∵CD为⊙O的直径，且AE = BE
∴_____________，__________________，_______________ 三、教师引导：
垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
宜春八中九年级上数学学案 主备：吕晚生 学习日期：2012年9月18日星期二
姓名： 24．1 垂径定理
学习目标
1、理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
2、理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
学习过程
一、复习引入
1、什么是圆？右边的圆如何表示？
2．什么是弦、直径、弧、半圆？写出右图中的弦与弧：
二、探索新知
每位同学制作一个圆形纸片，通过折叠，旋转，看看你有什么发现？
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？
2．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
图形的认识：如右图中，线段AB叫做弦，直径CD⊥AB于M，
则垂线段OM叫做弦心距，垂线段CM、DM叫做拱高，
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？用轴对称的性质说一说你理由．
通过以上证明你能得出什么结论：
3、判断下列命题是否正确：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（3）垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（4）平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦；
4、利用垂径定理解决有关计算：
如上图，在⊙O中，已知弦AB=8cm，弦心距OM=3cm，求⊙O的半径？
BACDOMBACO宜春八中九年级上数学学案 主备：吕晚生 学习日期：2012年9月18日星期二
